Téma: Desatinné zlomky. Sčítanie a odčítanie desatinných miest
Lekcia: Desatinný zápis zlomkových čísel
Menovateľ zlomku môže byť vyjadrený ľubovoľným prirodzeným číslom. Zlomkové čísla, v ktorých je menovateľ vyjadrený ako 10; 100; 1000;…, kde n, sme sa dohodli, že to napíšeme bez menovateľa. Akékoľvek zlomkové číslo, ktorého menovateľ je 10; 100; 1000 atď. (to znamená, že jedna, za ktorou nasleduje niekoľko núl) môže byť reprezentovaná v desiatkovej sústave (ako desiatkové číslo). Najprv napíšte celú časť, potom čitateľa zlomkovej časti a celú časť oddelíme od zlomku čiarkou.
Napríklad,
Ak chýba celá časť, t.j. Ak je zlomok správny, potom sa celá časť zapíše ako 0.
Ak chcete správne napísať desatinné číslo, čitateľ zlomku musí mať toľko číslic, koľko núl je v zlomku.
1. Napíšte ako desatinné číslo.
2. Predstavte desatinné číslo ako zlomok alebo zmiešané číslo.
3. Prečítajte si desatinné miesta.
12,4 - 12 bod 4;
0,3 - 0 bod 3;
1,14 - 1 bod 14 stotín;
2,07 - 2 body 7 stotín;
0,06 - 0 bod 6 stotín;
0,25 - 0 bod 25;
1,234 - 1 bod 234 tisícin;
1,230 - 1 bod 230 tisícin;
1,034 - 1 bod 34 tisícin;
1,004 - 1 bod 4 tisíciny;
1,030 - 1 bod 30 tisícin;
0,010101 - 0 bodov 10101 milióntin.
4. Posuňte čiarku na každej číslici o 1 miesto doľava a prečítajte si čísla.
34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.
5. Posuňte čiarku v každom čísle o 1 miesto doprava a prečítajte si výsledné číslo.
1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.
6. Vyjadrite v metroch a centimetroch.
3,28 m = 3 m+.
7. Vyjadrite v tonách a kilogramoch.
24,030 t = 24 t.
8. Napíšte podiel ako desatinný zlomok.
1710: 100 = 
;
64: 10000 = 
803: 100 = 
407: 10 = 
9. Vyjadrite v dm.
5 dm 6 cm = 5 dm + 
;
9 mm = 
zlomkové číslo.
Desatinný zápis zlomkového čísla je množina dvoch alebo viacerých číslic od $0$ do $9$, medzi ktorými je takzvaný \textit (desatinná čiarka).
Príklad 1
Napríklad 35,02 $; 100,7 USD; 123 $\456,5 $; 54,89 dolárov.
Číslica úplne vľavo v desatinnom zápise čísla nemôže byť nula, jedinou výnimkou je prípad, keď je desatinná čiarka hneď za prvou číslicou $0$.
Príklad 2
Napríklad 0,357 $; 0,064 USD.
Desatinná čiarka sa často nahrádza desatinnou čiarkou. Napríklad 35,02 $; 100,7 USD; $ 123\456,5 $; 54,89 dolárov.
Desatinná definícia
Definícia 1
Desatinné čísla-- toto sú zlomkové čísla, ktoré sú vyjadrené v desiatkovej sústave.
Napríklad 121,05 USD; 67,9 USD; 345,6700 $.
Desatinné čísla sa používajú na kompaktnejšie písanie vlastných zlomkov, ktorých menovateľmi sú čísla $10$, $100$, $1\000$ atď. a zmiešané čísla, ktorých menovateľmi zlomkovej časti sú čísla $10$, $100$, $1\000$ atď.
Napríklad bežný zlomok $\frac(8)(10)$ možno zapísať ako desatinné číslo $0,8$ a zmiešané číslo $405\frac(8)(100)$ možno zapísať ako desatinné číslo $405,08$.
Čítanie desatinných miest
Desatinné čísla, ktoré zodpovedajú bežným zlomkom, sa čítajú rovnakým spôsobom ako obyčajné zlomky, len sa dopredu pridá fráza „nulové celé čísla“. Napríklad bežný zlomok $\frac(25)(100)$ (čítaj „dvadsaťpäť stotín“) zodpovedá desatinnému zlomku $0.25$ (čítaj „nula dvadsaťpäť stotín“).
Desatinné zlomky, ktoré zodpovedajú zmiešaným číslam, sa čítajú rovnakým spôsobom ako zmiešané čísla. Napríklad zmiešané číslo $43\frac(15)(1000)$ zodpovedá desatinnému zlomku $43,015$ (čítaj „štyridsaťtri pätnásť tisícin“).
Miesta v desatinných číslach
Pri písaní desatinného zlomku význam každej číslice závisí od jej polohy. Tie. v desatinných zlomkoch platí aj tento pojem kategórii.
Miesta v desatinných zlomkoch až po desatinnú čiarku sa nazývajú rovnako ako miesta v prirodzených číslach. Desatinné miesta za desatinnou čiarkou sú uvedené v tabuľke:
Obrázok 1.
Príklad 3
Napríklad v desatinnom zlomku $ 56,328 $ je číslica $ 5 $ na mieste desiatok, $ 6 $ je na mieste jednotiek, $ 3 $ je na desatinnom mieste, $ 2 $ je na mieste stotín, $ 8 $ je na tisícinách miesto.
Miesta v desatinných zlomkoch sú odlíšené prioritou. Pri čítaní desatinného zlomku sa pohybujte zľava doprava - od senior zaradiť do mladší.
Príklad 4
Napríklad v desatinnom zlomku $ 56,328 $ je najvýznamnejším (najvyšším) miestom desiatky a najnižším (najnižším) miestom je tisícina.
Desatinný zlomok môže byť rozšírený na číslice podobne ako pri číslicovom rozklade prirodzeného čísla.
Príklad 5
Napríklad, rozložme desatinný zlomok $ 37,851 $ na číslice:
$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$
Koncové desatinné miesta
Definícia 2
Koncové desatinné miesta sa nazývajú desatinné zlomky, ktorých záznamy obsahujú konečný počet znakov (číslic).
Napríklad 0,138 $; 5,34 USD; 56,123456 $; 350 972,54 USD.
Akýkoľvek konečný desatinný zlomok možno previesť na zlomok alebo zmiešané číslo.
Príklad 6
Napríklad konečný desatinný zlomok $7,39$ zodpovedá zlomkovému číslu $7\frac(39)(100)$ a konečný desatinný zlomok $0,5$ zodpovedá vlastnému spoločnému zlomku $\frac(5)(10)$ (alebo ľubovoľný zlomok, ktorý sa mu rovná, napríklad $\frac(1)(2)$ alebo $\frac(10)(20)$.
Prevod zlomku na desatinné číslo
Prevod zlomkov s menovateľmi $10, 100, \dots$ na desatinné miesta
Pred prevodom niektorých správnych zlomkov na desatinné miesta je potrebné ich najprv „pripraviť“. Výsledkom takejto prípravy by mal byť rovnaký počet číslic v čitateli a rovnaký počet núl v menovateli.
Podstatou „predbežnej prípravy“ správnych obyčajných zlomkov na prevod na desatinné zlomky je pridanie takého počtu núl vľavo v čitateľovi, aby sa celkový počet číslic rovnal počtu núl v menovateli.
Príklad 7
Pripravme si napríklad zlomok $\frac(43)(1000)$ na prevod na desatinné číslo a získame $\frac(043)(1000)$. A obyčajný zlomok $\frac(83)(100)$ nepotrebuje žiadnu prípravu.
Poďme formulovať pravidlo na prevod správneho spoločného zlomku s menovateľom 10 $ alebo 100 $ alebo $ 1\000 $, $\bodky$ na desatinný zlomok:
napíšte $0$;
za ním vložte desatinnú čiarku;
zapíšte si číslo z čitateľa (spolu s pridanými nulami po príprave, ak je to potrebné).
Príklad 8
Preveďte správny zlomok $\frac(23)(100)$ na desatinné číslo.
Riešenie.
Menovateľ obsahuje číslo $100$, ktoré obsahuje $2$ a dve nuly. Čitateľ obsahuje číslo $23$, ktoré je zapísané s $2$.číslicou. To znamená, že nie je potrebné pripravovať tento zlomok na prevod na desatinné číslo.
Napíšme $0$, dáme desatinnú čiarku a zapíšeme číslo $23$ z čitateľa. Dostaneme desatinný zlomok $ 0,23 $.
Odpoveď: $0,23$.
Príklad 9
Napíšte správny zlomok $\frac(351)(100000)$ ako desatinné číslo.
Riešenie.
Čitateľ tohto zlomku obsahuje $3$ číslic a počet núl v menovateli je $5$, takže tento obyčajný zlomok musí byť pripravený na prevod na desatinné číslo. Ak to chcete urobiť, musíte pridať $5-3=2$ nuly doľava v čitateli: $\frac(00351)(100000)$.
Teraz môžeme vytvoriť požadovaný desatinný zlomok. Ak to chcete urobiť, zapíšte si $0$, potom pridajte čiarku a zapíšte číslo z čitateľa. Dostaneme desatinný zlomok $ 0,00351 $.
Odpoveď: $0,00351$.
Poďme formulovať pravidlo na prevod nesprávnych zlomkov s menovateľmi $10$, $100$, $\bodky$ na desatinné zlomky:
zapíšte si číslo z čitateľa;
Pomocou desatinnej čiarky oddeľte toľko číslic napravo, koľko núl je v menovateli pôvodného zlomku.
Príklad 10
Preveďte nesprávny zlomok $\frac(12756)(100)$ na desatinné číslo.
Riešenie.
Zapíšme si číslo z čitateľa $12756$, potom oddeľte číslice $2$ napravo desatinnou čiarkou, pretože menovateľ pôvodného zlomku $2$ je nula. Dostaneme desatinný zlomok $ 127,56 $.
V tomto článku pochopíme, čo je desatinný zlomok, aké vlastnosti a vlastnosti má. Choď! 🙂
Desatinný zlomok je špeciálny prípad obyčajných zlomkov (kde menovateľ je násobkom 10).
Definícia
Desatinné čísla sú zlomky, ktorých menovateľmi sú čísla pozostávajúce z jednotky a za ňou nasledujúcich núl. To znamená, že ide o zlomky s menovateľom 10, 100, 1000 atď. V opačnom prípade možno desatinný zlomok charakterizovať ako zlomok s menovateľom 10 alebo jednou z mocnín desiatich.
Príklady zlomkov:
, ,
Desatinné zlomky sa píšu inak ako bežné zlomky. Operácie s týmito zlomkami sa tiež líšia od operácií s obyčajnými. Pravidlá pre operácie s nimi sú do značnej miery podobné pravidlám pre operácie s celými číslami. To vysvetľuje najmä ich požiadavku na riešenie praktických problémov.
Znázornenie zlomkov v desiatkovom zápise
Desatinný zlomok nemá menovateľa, zobrazuje číslo čitateľa. Vo všeobecnosti sa desatinný zlomok zapisuje podľa nasledujúcej schémy:
kde X je celá časť zlomku, Y je jeho zlomková časť, "," je desatinná čiarka.
Na správne znázornenie zlomku ako desatinného miesta je potrebné, aby išlo o bežný zlomok, to znamená so zvýraznenou časťou celého čísla (ak je to možné) a čitateľom, ktorý je menší ako menovateľ. Potom sa v desiatkovom zápise celá časť zapíše pred desatinnú čiarku (X) a čitateľ spoločného zlomku sa zapíše za desatinnú čiarku (Y).
Ak čitateľ obsahuje číslo s menším počtom číslic, ako je počet núl v menovateli, potom sa v časti Y chýbajúci počet číslic v desiatkovom zápise doplní nulami pred číslicami čitateľa.
Príklad: 
Ak je spoločný zlomok menší ako 1, t.j. nemá celú časť, potom pre X v desiatkovom tvare napíšte 0.
V zlomkovej časti (Y) za poslednou platnou (nenulovou) číslicou možno zadať ľubovoľný počet núl. Nemá to vplyv na hodnotu zlomku. Naopak, všetky nuly na konci zlomkovej časti desatinnej čiarky možno vynechať.
Čítanie desatinných miest
Časť X sa vo všeobecnosti číta takto: „X celých čísel“.
Časť Y sa číta podľa čísla v menovateli. Pre menovateľ 10 by ste mali čítať: “Y desatiny”, pre menovateľ 100: “Y stotiny”, pre menovateľ 1000: “Y tisíciny” a tak ďalej... 😉
Iný prístup k čítaniu založený na počítaní počtu číslic zlomkovej časti sa považuje za správnejší. Aby ste to dosiahli, musíte pochopiť, že zlomkové číslice sú umiestnené v zrkadlovom obraze vzhľadom na číslice celej časti zlomku.
Názvy pre správne čítanie sú uvedené v tabuľke:
Na základe toho by čítanie malo byť založené na súlade s názvom číslice poslednej číslice zlomkovej časti.
- 3.5 znie "tri body päť"
- 0,016 znie "nulový bod šestnásť tisícin"
Prevod ľubovoľného zlomku na desatinné číslo
Ak je menovateľ spoločného zlomku 10 alebo nejaká mocnina desať, potom sa prevod zlomku vykoná tak, ako je opísané vyššie. V iných situáciách sú potrebné ďalšie transformácie.
Existujú 2 spôsoby prekladu.
Prvý spôsob prenosu
Čitateľ a menovateľ sa musia vynásobiť takým celým číslom, aby v menovateli vzniklo číslo 10 alebo jedna z mocnín desať. A potom je zlomok znázornený v desiatkovej sústave.
Táto metóda je použiteľná pre zlomky, ktorých menovateľ môže byť rozšírený len na 2 a 5. Takže v predchádzajúcom príklade 
. Ak rozšírenie obsahuje ďalšie hlavné faktory (napríklad ), budete sa musieť uchýliť k 2. metóde.
Druhá metóda prekladu
2. spôsob je rozdeliť čitateľa menovateľom v stĺpci alebo na kalkulačke. Celá časť, ak existuje, sa nezúčastňuje transformácie.
Pravidlo pre dlhé delenie, ktorého výsledkom je desatinný zlomok, je popísané nižšie (pozri Delenie desatinných miest).
Prevod desatinného zlomku na bežný zlomok
Ak to chcete urobiť, zapíšte si jeho zlomkovú časť (napravo od desatinnej čiarky) ako čitateľa a výsledok prečítania zlomkovej časti ako zodpovedajúce číslo v menovateli. Ďalej, ak je to možné, musíte znížiť výsledný zlomok.
Konečný a nekonečný desatinný zlomok
Desatinný zlomok sa nazýva konečný zlomok, ktorého zlomková časť pozostáva z konečného počtu číslic.
Všetky vyššie uvedené príklady obsahujú konečné desatinné zlomky. Nie každý obyčajný zlomok však môže byť vyjadrený ako koncové desatinné miesto. Ak 1. metóda prevodu nie je použiteľná pre daný zlomok a 2. metóda preukáže, že delenie nemožno dokončiť, potom je možné získať iba nekonečný desatinný zlomok.
Nie je možné napísať nekonečný zlomok v jeho kompletnej forme. V neúplnej forme môžu byť tieto zlomky reprezentované:
- v dôsledku zníženia na požadovaný počet desatinných miest;
- ako periodický zlomok.
Zlomok sa nazýva periodický, ak za desatinnou čiarkou je možné rozlíšiť nekonečne sa opakujúci sled číslic.
Zvyšné zlomky sa nazývajú neperiodické. Pre neperiodické zlomky je povolený len 1. spôsob zobrazenia (zaokrúhľovanie).
Príklad periodického zlomku: 0,8888888... Tu je opakujúce sa číslo 8, ktoré sa, samozrejme, bude opakovať donekonečna, pretože nie je dôvod predpokladať opak. Tento údaj sa nazýva obdobie zlomku.
Periodické frakcie môžu byť čisté alebo zmiešané. Čistý desatinný zlomok je zlomok, ktorého bodka začína bezprostredne za desatinnou čiarkou. Zmiešaný zlomok má 1 alebo viac číslic pred desatinnou čiarkou.
54,33333… – periodický čistý desatinný zlomok
2,5621212121… – periodická zmiešaná frakcia
Príklady zápisu nekonečných desatinných zlomkov:
2. príklad ukazuje, ako správne naformátovať bodku pri písaní periodického zlomku.
Prevod periodických desatinných zlomkov na obyčajné zlomky
Ak chcete previesť čistý periodický zlomok na obyčajnú bodku, zapíšte ho do čitateľa a do menovateľa napíšte číslo pozostávajúce z deviatok v množstve rovnajúcom sa počtu číslic v perióde.
Zmiešaný periodický desatinný zlomok sa prekladá takto:
- musíte vytvoriť číslo pozostávajúce z čísla za desatinnou čiarkou pred bodkou a prvou bodkou;
- Od výsledného čísla odčítajte číslo za desatinnou čiarkou pred bodkou. Výsledkom bude čitateľ spoločného zlomku;
- do menovateľa je potrebné zadať číslo pozostávajúce z deviatich rovnajúcich sa počtu číslic bodky, za ktorými nasledujú nuly, ktorých počet sa rovná počtu číslic čísla za desatinnou čiarkou pred 1. obdobie.
Porovnanie desatinných miest
Desatinné zlomky sa najprv porovnávajú podľa celých častí. Zlomok, ktorého celá časť je väčšia, je väčší.
Ak sú celé časti rovnaké, porovnajte číslice zodpovedajúcich číslic zlomkovej časti, počnúc od prvej (od desatiny). Platí tu rovnaký princíp: väčší zlomok je ten, ktorý má viac desatín; ak sa desatinné číslice rovnajú, porovnajú sa desatinné číslice atď.
Pretože
, keďže pri rovnakých celých častiach a rovnakých desatinách v zlomkovej časti má 2. zlomok väčší počet stotín.
Sčítanie a odčítanie desatinných miest
Desatinné miesta sa sčítavajú a odčítavajú rovnakým spôsobom ako celé čísla tak, že sa zodpovedajúce číslice zapisujú pod seba. Aby ste to dosiahli, musíte mať pod sebou desatinné čiarky. Potom budú jednotky (desiatky atď.) celočíselnej časti, ako aj desatiny (stotiny atď.) zlomkovej časti v súlade. Chýbajúce číslice zlomkovej časti sú vyplnené nulami. Priamo Proces sčítania a odčítania sa vykonáva rovnakým spôsobom ako pri celých číslach.
Násobenie desatinných miest
Ak chcete násobiť desatinné miesta, musíte ich písať pod sebou, zarovnané s poslednou číslicou a nedávať pozor na umiestnenie desatinných čiarok. Potom musíte čísla vynásobiť rovnakým spôsobom ako pri násobení celých čísel. Po obdržaní výsledku by ste mali prepočítať počet číslic za desatinnou čiarkou v oboch zlomkoch a oddeliť celkový počet zlomkových číslic vo výslednom čísle čiarkou. Ak nie je dostatok číslic, nahradia sa nulami.
Násobenie a delenie desatinných miest 10n
Tieto akcie sú jednoduché a obmedzujú sa na posunutie desatinnej čiarky. P Pri násobení sa desatinná čiarka posunie doprava (zlomok sa zväčší) o počet číslic, ktorý sa rovná počtu núl v 10n, kde n je ľubovoľná mocnina celého čísla. To znamená, že určitý počet číslic sa prenesie z zlomkovej časti do celej časti. Pri delení sa teda čiarka posunie doľava (číslo sa zníži) a niektoré číslice sa prenesú z celočíselnej časti do zlomkovej časti. Ak nie je dostatok čísel na prenos, chýbajúce bity sú vyplnené nulami.
Tento článok je o desatinné miesta. Tu pochopíme desatinný zápis zlomkových čísel, predstavíme si pojem desatinný zlomok a uvedieme príklady desatinných zlomkov. Ďalej budeme hovoriť o čísliciach desatinných zlomkov a uvedieme názvy číslic. Potom sa zameriame na nekonečné desatinné zlomky, povedzme si o periodických a neperiodických zlomkoch. Ďalej uvádzame základné operácie s desatinnými zlomkami. Na záver stanovme polohu desatinných zlomkov na súradnicovom lúči.
Navigácia na stránke.
Desatinný zápis zlomkového čísla
Čítanie desatinných miest
Povedzme si pár slov o pravidlách čítania desatinných zlomkov.
Desatinné zlomky, ktoré zodpovedajú vlastným obyčajným zlomkom, sa čítajú rovnakým spôsobom ako tieto obyčajné zlomky, len sa najprv pridá „nulové celé číslo“. Napríklad desatinný zlomok 0,12 zodpovedá bežnému zlomku 12/100 (čítaj „dvanásť stotín“), preto sa 0,12 číta ako „nula dvanásť stotín“.
Desatinné zlomky, ktoré zodpovedajú zmiešaným číslam, sa čítajú presne rovnako ako tieto zmiešané čísla. Napríklad desatinný zlomok 56.002 zodpovedá zmiešanému číslu, takže desatinný zlomok 56.002 sa číta ako „päťdesiatšesť desatinných čiarok dve tisíciny“.
Miesta v desatinných číslach
Pri písaní desatinných zlomkov, ako aj pri písaní prirodzených čísel, význam každej číslice závisí od jej polohy. V skutočnosti číslo 3 v desatinnom zlomku 0,3 znamená tri desatiny, v desatinnom zlomku 0,0003 - tri desaťtisíciny a v desatinnom zlomku 30 000,152 - tri desaťtisíce. Takže môžeme hovoriť o desatinné miesta, ako aj o čísliciach v prirodzených číslach.
Názvy číslic v desatinnom zlomku až po desatinnú čiarku sa úplne zhodujú s názvami číslic v prirodzených číslach. A názvy desatinných miest za desatinnou čiarkou sú uvedené v nasledujúcej tabuľke.
Napríklad v desatinnom zlomku 37,051 je číslica 3 na mieste desiatok, 7 je na mieste jednotiek, 0 je na mieste desatiny, 5 je na mieste stotín a 1 je na mieste tisíciny.
Miesta v desatinných zlomkoch sa líšia aj prioritou. Ak sa pri písaní desatinného zlomku pohybujeme z číslice na číslicu zľava doprava, potom sa budeme pohybovať od seniorov Komu juniorské hodnosti. Napríklad miesto stoviek je staršie ako desatinné miesto a miesto miliónov je nižšie ako miesto stoviek. V danom koncovom desatinnom zlomku môžeme hovoriť o veľkých a malých čísliciach. Napríklad v desatinnom zlomku 604,9387 senior (najvyšší) miesto je miesto stoviek a junior (najnižší)- desaťtisícová číslica.
V prípade desatinných zlomkov dochádza k expanzii na číslice. Je to podobné ako pri rozširovaní prirodzených čísel na číslice. Napríklad rozšírenie 45,6072 na desatinné miesta je nasledovné: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. A vlastnosti sčítania z rozkladu desatinného zlomku na číslice vám umožňujú prejsť na iné znázornenia tohto desatinného zlomku, napríklad 45,6072=45+0,6072, alebo 45,6072=40,6+5,007+0,0002, alebo 45,60702= 45,60702= . 0,6.
Koncové desatinné miesta
Doteraz sme hovorili len o desatinných zlomkoch, v zápise ktorých je za desatinnou čiarkou konečný počet číslic. Takéto zlomky sa nazývajú konečné desatinné čísla.
Definícia.
Koncové desatinné miesta- Ide o desatinné zlomky, ktorých záznamy obsahujú konečný počet znakov (číslic).
Tu je niekoľko príkladov konečných desatinných zlomkov: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.
Nie každý zlomok však môže byť vyjadrený ako konečné desatinné miesto. Napríklad zlomok 5/13 nemožno nahradiť rovnakým zlomkom s jedným z menovateľov 10, 100, ..., preto ho nemožno previesť na konečný desatinný zlomok. Viac si o tom povieme v teórii, prevod obyčajných zlomkov na desatinné miesta.
Nekonečné desatinné čísla: Periodické zlomky a neperiodické zlomky
Pri písaní desatinného zlomku za desatinnou čiarkou môžete predpokladať možnosť nekonečného počtu číslic. V tomto prípade budeme uvažovať o takzvaných nekonečných desatinných zlomkoch.
Definícia.
Nekonečné desatinné miesta- Sú to desatinné zlomky, ktoré obsahujú nekonečný počet číslic.
Je jasné, že nekonečné desatinné zlomky nemôžeme zapisovať v plnej forme, preto sa pri ich zaznamenávaní obmedzíme len na určitý konečný počet číslic za desatinnou čiarkou a elipsu označujúcu nekonečne pokračujúcu postupnosť číslic. Tu je niekoľko príkladov nekonečných desatinných zlomkov: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….
Ak sa pozriete pozorne na posledné dva nekonečné desatinné zlomky, tak v zlomku 2,111111111... je jasne viditeľné nekonečne sa opakujúce číslo 1 a v zlomku 69,74152152152..., počnúc od tretieho desatinného miesta, opakujúca sa skupina čísel 1, 5 a 2 je jasne viditeľný. Takéto nekonečné desatinné zlomky sa nazývajú periodické.
Definícia.
Pravidelné desatinné miesta(alebo jednoducho periodické zlomky) sú nekonečné desatinné zlomky, pri zápise ktorých sa počnúc od určitého desatinného miesta donekonečna opakuje nejaké číslo alebo skupina čísel, tzv. obdobie zlomku.
Napríklad perióda periodického zlomku 2,111111111... je číslica 1 a perióda zlomku 69,74152152152... je skupina číslic v tvare 152.
Pre nekonečné periodické desatinné zlomky sa používa špeciálna forma zápisu. Pre stručnosť sme sa dohodli, že bodku zapíšeme raz a dáme ju do zátvoriek. Napríklad periodický zlomok 2.111111111... sa zapíše ako 2,(1) a periodický zlomok 69,74152152152... sa zapíše ako 69,74(152) .
Stojí za zmienku, že pre rovnaký periodický desatinný zlomok možno zadať rôzne obdobia. Napríklad periodický desatinný zlomok 0,73333... možno považovať za zlomok 0,7(3) s periódou 3 a tiež za zlomok 0,7(33) s periódou 33, a tak ďalej 0,7(333), 0,7 (3333), ... Môžete sa pozrieť aj na periodický zlomok 0,73333 ... takto: 0,733 (3), alebo takto 0,73 (333) atď. Aby sme sa vyhli nejasnostiam a nezrovnalostiam, súhlasíme s tým, že za periódu desatinného zlomku považujeme najkratšiu zo všetkých možných postupností opakujúcich sa číslic a začíname od pozície najbližšie k desatinnej čiarke. To znamená, že perióda desatinného zlomku 0,73333... sa bude považovať za postupnosť jednej číslice 3 a periodicita začína od druhej pozície za desatinnou čiarkou, to znamená 0,73333...=0,7(3). Ďalší príklad: periodický zlomok 4,7412121212... má periódu 12, periodicita začína od tretej číslice za desatinnou čiarkou, teda 4,7412121212...=4,74(12).
Nekonečné desatinné periodické zlomky sa získajú prevodom obyčajných zlomkov na desatinné zlomky, ktorých menovateľ obsahuje prvočísla iné ako 2 a 5.
Tu stojí za zmienku periodické zlomky s periódou 9. Uveďme príklady takýchto zlomkov: 6,43(9) , 27,(9) . Tieto zlomky sú ďalším zápisom pre periodické zlomky s periódou 0 a zvyčajne sa nahrádzajú periodickými zlomkami s periódou 0. Na tento účel sa perióda 9 nahradí periódou 0 a hodnota ďalšej najvyššej číslice sa zvýši o jednu. Napríklad zlomok s periódou 9 v tvare 7.24(9) je nahradený periodickým zlomkom s periódou 0 v tvare 7.25(0) alebo rovnakým konečným desatinným zlomkom 7.25. Ďalší príklad: 4,(9)=5,(0)=5. Rovnosť zlomku s periódou 9 a jeho zodpovedajúceho zlomku s periódou 0 sa dá ľahko určiť po nahradení týchto desatinných zlomkov rovnakými obyčajnými zlomkami.
Nakoniec sa pozrime bližšie na nekonečné desatinné zlomky, ktoré neobsahujú donekonečna sa opakujúci sled číslic. Nazývajú sa neperiodické.
Definícia.
Neopakujúce sa desatinné miesta(alebo jednoducho neperiodické zlomky) sú nekonečné desatinné zlomky, ktoré nemajú bodku.
Niekedy majú neperiodické zlomky tvar podobný tvaru periodických zlomkov, napríklad 8,02002000200002... je neperiodický zlomok. V týchto prípadoch by ste mali byť obzvlášť opatrní, aby ste si všimli rozdiel.
Všimnite si, že neperiodické zlomky sa nekonvertujú na obyčajné zlomky; nekonečné neperiodické desatinné zlomky predstavujú iracionálne čísla.
Operácie s desatinnými miestami
Jednou z operácií s desatinnými zlomkami je porovnávanie, pričom sú definované aj štyri základné aritmetické funkcie operácie s desatinnými miestami: sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie. Uvažujme samostatne každú z akcií s desatinnými zlomkami.
Porovnanie desatinných miest v podstate založené na porovnaní bežných zlomkov zodpovedajúcich porovnávaným desatinným zlomkom. Prevod desatinných zlomkov na obyčajné zlomky je však dosť prácny proces a nekonečné neperiodické zlomky nemožno reprezentovať ako obyčajný zlomok, takže je vhodné použiť porovnanie desatinných zlomkov na mieste. Porovnávanie desatinných zlomkov na mieste je podobné porovnávaniu prirodzených čísel. Pre podrobnejšie informácie odporúčame preštudovať si článok: porovnanie desatinných zlomkov, pravidlá, príklady, riešenia.
Prejdime k ďalšiemu kroku - násobenie desatinných miest. Násobenie konečných desatinných zlomkov sa vykonáva podobne ako odčítanie desatinných zlomkov, pravidlá, príklady, riešenia násobenia stĺpcom prirodzených čísel. V prípade periodických zlomkov možno násobenie zredukovať na násobenie obyčajných zlomkov. Násobenie nekonečných neperiodických desatinných zlomkov po ich zaokrúhlení sa zase redukuje na násobenie konečných desatinných zlomkov. Odporúčame na ďalšie štúdium materiál v článku: násobenie desatinných zlomkov, pravidlá, príklady, riešenia.
Desatinné miesta na súradnicovom lúči
Medzi bodkami a desatinnými miestami existuje zhoda jedna ku jednej.
Poďme zistiť, ako sú konštruované body na súradnicovom lúči, ktoré zodpovedajú danému desatinnému zlomku.
Môžeme nahradiť konečné desatinné zlomky a nekonečné periodické desatinné zlomky rovnakými obyčajnými zlomkami a potom zostrojiť zodpovedajúce obyčajné zlomky na lúči súradníc. Napríklad desatinný zlomok 1,4 zodpovedá bežnému zlomku 14/10, takže bod so súradnicou 1,4 je odstránený z počiatku v kladnom smere o 14 segmentov rovnajúcich sa desatine jednotkového segmentu.
Desatinné zlomky môžu byť označené na súradnicovom lúči, počínajúc rozkladom daného desatinného zlomku na číslice. Napríklad, potrebujeme postaviť bod so súradnicou 16.3007, keďže 16.3007=16+0.3+0.0007, potom sa do tohto bodu môžeme dostať postupným ukladaním 16 jednotkových segmentov od začiatku súradníc, 3 segmentov, ktorých dĺžka sa rovná desatine jednotky a 7 segmentov, ktorých dĺžka sa rovná desaťtisícine segmentu jednotky.
Tento spôsob vytvárania desatinných čísel na lúči súradníc vám umožňuje dostať sa tak blízko, ako chcete, k bodu zodpovedajúcemu nekonečnému desatinnému zlomku.
Niekedy je možné presne vykresliť bod zodpovedajúci nekonečnému desatinnému zlomku. Napríklad, 
, potom tento nekonečný desatinný zlomok 1,41421... zodpovedá bodu na súradnicovom lúči, vzdialenému od začiatku súradníc dĺžkou uhlopriečky štvorca so stranou 1 jednotkovej úsečky.
Opačný proces získania desatinného zlomku zodpovedajúceho danému bodu na súradnicovom lúči je tzv. desiatkové meranie segmentu. Poďme zistiť, ako sa to robí.
Nech je našou úlohou dostať sa z počiatku do daného bodu na súradnici (alebo sa k nemu nekonečne približovať, ak sa k nemu nevieme dostať). Pri desiatkovom meraní segmentu môžeme postupne vyradiť z počiatku ľubovoľný počet jednotkových segmentov, potom segmenty, ktorých dĺžka sa rovná desatine jednotky, potom segmenty, ktorých dĺžka sa rovná stotine jednotky atď. Zaznamenaním počtu odložených segmentov každej dĺžky získame desatinný zlomok zodpovedajúci danému bodu na súradnicovom lúči.
Napríklad, aby ste sa dostali do bodu M na obrázku vyššie, musíte si vyčleniť 1 segment jednotky a 4 segmenty, ktorých dĺžka sa rovná desatine jednotky. Bod M teda zodpovedá desatinnému zlomku 1,4.
Je zrejmé, že body súradnicového lúča, ktoré nemožno dosiahnuť v procese desatinného merania, zodpovedajú nekonečným desatinným zlomkom.
Bibliografia.
- Matematika: učebnica pre 5. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / N. Ya. Vilenkin, V. I. Žochov, A. S. Česnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. 6. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [N. Ya, Vilenkin a ďalší]. - 22. vydanie, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.
Zlomky
Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Zlomky nie sú na strednej škole veľmi na obtiaž. Zatiaľ. Kým nenarazíte na mocniny s racionálnymi exponentmi a logaritmami. A tam... Stlačíte a stlačíte kalkulačku a zobrazí sa úplné zobrazenie niektorých čísel. Treba myslieť hlavou ako v tretej triede.
Poďme konečne prísť na zlomky! No ako veľmi sa v nich dá zmiasť!? Navyše je to všetko jednoduché a logické. takže, aké sú druhy zlomkov?
Druhy zlomkov. Premeny.
Existujú tri typy zlomkov.
1. Bežné zlomky , Napríklad:
Niekedy namiesto vodorovnej čiary dajú lomítko: 1/2, 3/4, 19/5, dobre atď. Tu budeme často používať tento pravopis. Zavolá sa najvyššie číslo čitateľ, nižšie - menovateľ. Ak si tieto mená neustále pletiete (stáva sa...), povedzte si frázu: " Zzzzz zapamätaj si! Zzzzz menovateľ - pohľad zzzzz uh!" Pozri, všetko sa bude zzzz pamätať.)
Pomlčka, horizontálna alebo naklonená, znamená divízie od horného čísla (čitateľ) po spodné číslo (menovateľ). To je všetko! Namiesto pomlčky je celkom možné umiestniť znak delenia - dve bodky.
Keď je možné úplné rozdelenie, musí sa to urobiť. Takže namiesto zlomku „32/8“ je oveľa príjemnejšie napísať číslo „4“. Tie. 32 je jednoducho delené 8.
32/8 = 32: 8 = 4
O zlomku "4/1" ani nehovorím. Čo je tiež len „4“. A ak to nie je úplne deliteľné, necháme to ako zlomok. Niekedy musíte urobiť opačnú operáciu. Previesť celé číslo na zlomok. Ale o tom neskôr.
2. Desatinné čísla , Napríklad:
V tejto forme si budete musieť zapísať odpovede na úlohy „B“.
3. Zmiešané čísla , Napríklad:
Zmiešané čísla sa na strednej škole prakticky nepoužívajú. Aby sa s nimi dalo pracovať, musia sa previesť na obyčajné zlomky. Ale určite to musíte vedieť! Inak na takéto číslo narazíte v probléme a zamrznete... Z ničoho nič. Ale tento postup si zapamätáme! Trochu nižšie.
Najvšestrannejšie bežné zlomky. Začnime nimi. Mimochodom, ak zlomok obsahuje všetky druhy logaritmov, sínusov a iných písmen, nič to nemení. V tom zmysle, že všetko akcie so zlomkovými výrazmi sa nelíšia od akcií s obyčajnými zlomkami!
Hlavná vlastnosť zlomku.
Tak, poďme! Na začiatok vás prekvapím. Celú škálu transformácií zlomkov poskytuje jediná vlastnosť! Tak sa to volá hlavná vlastnosť zlomku. Pamätajte: Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia (vydelia) rovnakým číslom, zlomok sa nezmení. tieto:
Je jasné, že môžete pokračovať v písaní, kým nebudete modrý v tvári. Nenechajte sa zmiasť sínusmi a logaritmy, budeme sa nimi zaoberať ďalej. Hlavná vec je pochopiť, že všetky tieto rôzne výrazy sú rovnaký zlomok . 2/3.
Potrebujeme to, všetky tieto premeny? A ako! Teraz uvidíte sami. Na začiatok použijeme základnú vlastnosť zlomku pre redukčné frakcie. Vyzeralo by to ako elementárna vec. Vydeľte čitateľa a menovateľa rovnakým číslom a je to! Nie je možné urobiť chybu! Ale... človek je tvor tvorivý. Chybu môžete urobiť kdekoľvek! Najmä ak musíte zmenšiť nie zlomok ako 5/10, ale zlomkový výraz so všetkými druhmi písmen.
Ako správne a rýchlo zmenšiť zlomky bez vykonania práce navyše si môžete prečítať v špeciálnej časti 555.
Normálny študent sa netrápi delením čitateľa a menovateľa rovnakým číslom (alebo výrazom)! Jednoducho prečiarkne všetko, čo je rovnaké hore aj dole! Tu sa skrýva typická chyba, ak chcete, prešľap.
Napríklad musíte zjednodušiť výraz:
Tu nie je o čom premýšľať, prečiarknite písmeno „a“ hore a „2“ dole! Dostaneme:
Všetko je správne. Ale naozaj ste sa rozdelili všetky čitateľ a všetky menovateľ je "a". Ak ste zvyknutí len prečiarknuť, potom môžete v zhone prečiarknuť „a“ vo výraze
a získajte to znova
Čo by bolo kategoricky nepravdivé. Pretože tu všetkyčitateľ na "a" už je nezdieľané! Tento zlomok nie je možné znížiť. Mimochodom, takéto zníženie je, ehm... vážna výzva pre učiteľa. Toto sa neodpúšťa! Pamätáš si? Pri redukcii treba deliť všetky čitateľ a všetky menovateľ!
Zmenšením zlomkov je život oveľa jednoduchší. Niekde dostanete zlomok, napríklad 375/1000. Ako s ňou teraz môžem pokračovať v práci? Bez kalkulačky? Vynásobte, povedzte, sčítajte, druhú mocninu!? A ak nie ste príliš leniví, opatrne to zredukujte o päť a o ďalších päť a dokonca... skrátka, kým sa to skracuje. Dáme 3/8! Oveľa krajšie, však?
Hlavná vlastnosť zlomku umožňuje previesť bežné zlomky na desatinné miesta a naopak bez kalkulačky! To je dôležité pre jednotnú štátnu skúšku, však?
Ako previesť zlomky z jedného typu na druhý.
S desatinnými zlomkami je všetko jednoduché. Ako sa počúva, tak sa aj píše! Povedzme 0,25. Toto je nula dvadsaťpäť stotín. Takže píšeme: 25/100. Zmenšíme (čitateľa a menovateľa vydelíme 25), dostaneme obvyklý zlomok: 1/4. Všetky. Stáva sa to a nič sa neznižuje. Ako 0,3. Ide o tri desatiny, t.j. 3/10.
Čo ak celé čísla nie sú nula? Je to v poriadku. Zapíšeme celý zlomok bez čiarok v čitateli a v menovateli - to, čo je počuť. Napríklad: 3.17. To sú tri bodové sedemnásť stotín. Do čitateľa napíšeme 317 a do menovateľa 100. Dostaneme 317/100. Nič sa nezmenšuje, to znamená všetko. Toto je odpoveď. Základný Watson! Zo všetkého, čo bolo povedané, je užitočný záver: akýkoľvek desatinný zlomok možno previesť na bežný zlomok .
Niektorí ľudia však nemôžu urobiť spätný prevod z obyčajného na desatinné miesto bez kalkulačky. A je to potrebné! Ako zapíšete odpoveď na Jednotnú štátnu skúšku!? Pozorne čítajte a osvojte si tento proces.
Aká je charakteristika desatinného zlomku? Jej menovateľom je Vždy stojí 10, alebo 100, alebo 1000, alebo 10000 a tak ďalej. Ak má váš spoločný zlomok menovateľa ako je tento, nie je problém. Napríklad 4/10 = 0,4. Alebo 7/100 = 0,07. Alebo 12/10 = 1,2. Čo ak je odpoveď na úlohu v časti „B“ 1/2? Čo napíšeme ako odpoveď? Vyžaduje sa desatinné číslo...
Spomeňme si hlavná vlastnosť zlomku ! Matematika priaznivo umožňuje vynásobiť čitateľa a menovateľa rovnakým číslom. Mimochodom, čokoľvek! Okrem nuly, samozrejme. Využime teda túto vlastnosť v náš prospech! Čím sa dá vynásobiť menovateľ, t.j. 2 tak, že z toho bude 10, alebo 100, alebo 1000 (samozrejme, že menšie je lepšie...)? O 5, samozrejme. Pokojne vynásobte menovateľa (to je nás potrebné) číslom 5. Potom však treba vynásobiť aj čitateľ číslom 5. Toto už je matematiky požiadavky! Dostaneme 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. To je všetko.
Narážajú však na všelijaké menovatele. Stretnete sa napríklad so zlomkom 3/16. Skúste prísť na to, čím vynásobiť 16, aby bolo 100 alebo 1000... Nefunguje to? Potom môžete jednoducho vydeliť 3 číslom 16. Ak nemáte kalkulačku, budete musieť deliť rohom na papieri, ako to učili na základnej škole. Dostaneme 0,1875.
A existujú aj veľmi zlé menovatele. Napríklad neexistuje spôsob, ako zmeniť zlomok 1/3 na dobré desatinné číslo. Na kalkulačke aj na papieri dostaneme 0,3333333... To znamená, že 1/3 je presný desatinný zlomok neprekladá. Rovnako ako 1/7, 5/6 atď. Je ich veľa, nepreložiteľné. To nás privádza k ďalšiemu užitočnému záveru. Nie každý zlomok sa dá previesť na desatinné číslo !
Mimochodom, toto sú užitočné informácie pre samotestovanie. V časti „B“ musíte vo svojej odpovedi zapísať desatinný zlomok. A dostali ste napríklad 4/3. Tento zlomok sa neprevádza na desatinné číslo. To znamená, že ste niekde na ceste urobili chybu! Vráťte sa a skontrolujte riešenie.
Takže sme prišli na bežné a desatinné zlomky. Ostáva už len vysporiadať sa so zmiešanými číslami. Aby ste s nimi mohli pracovať, musia sa previesť na bežné zlomky. Ako to spraviť? Môžete chytiť šiestaka a opýtať sa ho. Ale šiestak nebude vždy po ruke... Budete to musieť urobiť sami. Nie je to ťažké. Musíte vynásobiť menovateľa zlomkovej časti celou časťou a pridať čitateľa zlomkovej časti. Toto bude čitateľ spoločného zlomku. A čo menovateľ? Menovateľ zostane rovnaký. Znie to komplikovane, ale v skutočnosti je všetko jednoduché. Pozrime sa na príklad.
Predpokladajme, že ste boli zhrození, keď ste v probléme videli číslo:
Pokojne, bez paniky, myslíme si. Celá časť je 1. Jednotka. Zlomková časť je 3/7. Preto je menovateľ zlomkovej časti 7. Tento menovateľ bude menovateľom obyčajného zlomku. Počítame čitateľa. Vynásobíme 7 číslom 1 (celočíselná časť) a pridáme 3 (čitateľ zlomkovej časti). Dostaneme 10. Toto bude čitateľ spoločného zlomku. To je všetko. V matematickom zápise to vyzerá ešte jednoduchšie:
je to jasné? Potom si zabezpečte svoj úspech! Preveďte na obyčajné zlomky. Mali by ste dostať 10/7, 7/2, 23/10 a 21/4.
Opačná operácia – premena nesprávneho zlomku na zmiešané číslo – sa na strednej škole vyžaduje len zriedka. No, ak áno... A ak nie ste na strednej škole, môžete sa pozrieť do špeciálnej sekcie 555. Mimochodom, dozviete sa tam aj o nesprávnych zlomkoch.
No a to je prakticky všetko. Zapamätali ste si typy zlomkov a pochopili ste Ako preniesť ich z jedného typu na druhý. Otázkou zostáva: Prečo urob to? Kde a kedy uplatniť tieto hlboké znalosti?
Odpovedám. Každý príklad sám o sebe naznačuje potrebné kroky. Ak sa v príklade zmiešajú bežné zlomky, desatinné miesta a dokonca aj zmiešané čísla, všetko prevedieme na obyčajné zlomky. Vždy sa to dá. No, ak to hovorí niečo ako 0,8 + 0,3, potom to počítame tak, bez akéhokoľvek prekladu. Prečo potrebujeme prácu navyše? Vyberáme riešenie, ktoré je pohodlné nás !
Ak sú úlohou všetky desatinné zlomky, ale ehm... nejaké zlé, choďte na obyčajné a skúste to! Pozri, všetko bude fungovať. Napríklad budete musieť odmocniť číslo 0,125. Nie je to také ľahké, ak ste si nezvykli na používanie kalkulačky! Nielen, že musíte násobiť čísla v stĺpci, musíte tiež myslieť na to, kam vložiť čiarku! Vo vašej hlave to určite nepôjde! Čo ak prejdeme k obyčajnému zlomku?
0,125 = 125/1000. Znížime o 5 (to je pre začiatok). Dostaneme 25/200. Ešte raz o 5. Dostaneme 5/40. Ach, stále sa to zmenšuje! Späť na 5! Dostaneme 1/8. Ľahko to odmocníme (v našich mysliach!) a dostaneme 1/64. Všetky!
Zhrňme si túto lekciu.
1. Existujú tri typy zlomkov. Bežné, desatinné a zmiešané čísla.
2. Desatinné a zmiešané čísla Vždy možno previesť na obyčajné zlomky. Spätný prevod nie vždy k dispozícii.
3. Výber typu zlomkov na prácu s úlohou závisí od samotnej úlohy. Ak sú v jednej úlohe rôzne typy zlomkov, najspoľahlivejšie je prejsť na obyčajné zlomky.
Teraz môžete cvičiť. Najprv preveďte tieto desatinné zlomky na obyčajné zlomky:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Mali by ste dostať takéto odpovede (v neporiadku!):
Skončime tu. V tejto lekcii sme si osviežili pamäť na kľúčové body o zlomkoch. Stáva sa však, že nie je nič špeciálne na osvieženie...) Ak niekto úplne zabudol, alebo to ešte neovládol... Potom môžete ísť na špeciálny oddiel 555. Všetky základy sú tam podrobne popísané. Mnohí zrazu rozumieť všetkému začínajú. A zlomky riešia za chodu).
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)
Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.
