Súťaž pre mladých učiteľov

Brjanská oblasť

„Pedagogický debut – 2014“

akademický rok 2014-2015

Posilňovacia hodina z matematiky v 6. ročníku

na tému „GCD. Vzájomne prvočísla"

Miesto výkonu práce:MBOU „Stredná škola Glinishchevskaya“ v okrese Bryansk

Ciele:

Vzdelávacie:

• Upevniť a systematizovať študovaný materiál;
• Precvičte si schopnosti rozkladu čísel na prvočísla a hľadanie gcd;
• Testovať vedomosti študentov a identifikovať medzery;

Vzdelávacie:

• Podporovať rozvoj logického myslenia, reči a mentálnych operačných schopností študentov;
• Prispieť k rozvoju schopnosti všímať si vzory;
• Prispieť k zlepšeniu úrovne matematickej kultúry;

Vzdelávacie:

• Podporovať záujem o matematiku; schopnosť vyjadrovať svoje myšlienky, počúvať ostatných, brániť svoj názor;
• podpora nezávislosti, koncentrácie a koncentrácie;
• vštepiť zručnosti presnosti pri vedení notebookov.

Typ lekcie: lekcia zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí.

Vyučovacie metódy : výkladová a názorná, samostatná práca.

Vybavenie: počítač, obrazovka, prezentácia, letáky.

Počas tried:

1. Organizovanie času.

"Zvonček zazvonil a stíchol - lekcia sa začína."

Ticho si sadol k svojim stolom, všetci sa na mňa pozreli.

Poprajte si navzájom úspech svojimi očami.

A vpred k novým poznatkom.“

Priatelia, na stoloch vidíte “Score Sheet”, t.j. Okrem môjho hodnotenia sa budete hodnotiť splnením každej úlohy.

Hodnotiaci papier

Chlapci, akú tému ste študovali počas niekoľkých hodín? (Naučili sme sa nájsť najväčšieho spoločného deliteľa).

Čo si myslíte, že dnes budeme robiť? Formulujte tému našej lekcie. (Dnes budeme pokračovať v práci s najväčším spoločným deliteľom. Témou našej lekcie je „Najväčší spoločný deliteľ“. V tejto lekcii nájdeme najväčšieho spoločného deliteľa viacerých čísel a vyriešime úlohy pomocou znalostí o hľadaní najväčšieho spoločného deliteľa. ).

Otvorte si zošity, zapíšte si číslo, triednu prácu a tému hodiny: „Najväčší spoločný deliteľ. Vzájomne prvočísla."

1. Aktualizácia vedomostí

Niekoľko teoretických otázok

Sú výroky pravdivé? "Áno" - __; "Nie" - /\. Snímka 3-4

• Prvočíslo má práve dvoch deliteľov; (správny)
• 1 je prvočíslo; (nepravda)
• Najmenšie dvojciferné prvočíslo je 11; (správny)
• Najväčšie dvojciferné zložené číslo je 99; (správny)
• Čísla 8 a 10 sú coprime (nie sú pravdivé)
• Niektoré zložené čísla nemožno rozkladať na faktor; (nepravda).

Kľúč: _ /\ _ _/\ /\.

Vyhodnoťte svoj ústny prejav na výsledkovej listine.

1. Systematizácia vedomostí

Dnes v našej lekcii bude malá mágia.

Kde sa deje mágia? (v rozprávke)

Uhádni podľa obrázku, v ktorej rozprávke sa ocitneme. ( Snímka 5 ) Rozprávka o husiach a labutiach. Úplnú pravdu. Výborne. Skúsme si teraz všetci spoločne spomenúť na obsah tejto rozprávky. Reťaz je veľmi krátka.

Žili tam muž a žena. Mali dcéru a malého syna. Otec a matka odišli do práce a požiadali svoju dcéru, aby sa postarala o brata.

Posadila môjho brata do trávy pod oknom, vybehla von, začala sa hrať a prechádzať sa. Keď sa dievča vrátilo, jej brat tam už nebol. Začala ho hľadať, kričala, volala mu, no nikto sa neozval. Vybehla na otvorené pole a len videla: labutie husi sa vyrútili v diaľke a zmizli za tmavým lesom. Potom si dievča uvedomilo, že zobrali jej brata. O tom, že labutie husi odnášajú malé deti, vedela už dávno.

Ponáhľala sa za nimi. Cestou stretla piecku, jabloň a rieku. Ale naša rieka nie je mliečna rieka na brehoch želé, ale obyčajná, v ktorej je veľmi, veľmi veľa rýb. Nikto z nich nenavrhol, kam husi leteli, pretože ona sama nesplnila ich požiadavky.

Dievča dlho behalo po poliach a lesoch. Deň sa už blíži k večeru, zrazu vidí chatrč stojacu na kuracích stehnách, s jedným oknom, ako sa otáča. V chatrči stará Baba Yaga točí kúdeľ. A jej brat sedí na lavičke pri okne. Dievča nepovedalo, že si prišlo po brata, ale klamalo, že sa stratilo. Keby nebolo tej malej myšky, ktorú kŕmila kašou, Baba Yaga by ju vyprážala v rúre a zjedla. Dievča rýchlo schmatlo brata a bežalo domov. Všimli si ich husi a labute a leteli za nimi. A či sa dostanú bezpečne domov - všetko teraz závisí od nás, chlapci. Pokračujme v príbehu.

Bežali a bežali a dostali sa k rieke. Požiadali rieku o pomoc.

Ale rieka im pomôže schovať sa iba vtedy, ak „chytíte“ všetky ryby.

Teraz budete pracovať vo dvojiciach. Každému páru dávam obálku - sieťku, v ktorej sú zamotané tri ryby. Vašou úlohou je získať všetky ryby, zapísať číslo 1 a vyriešiť

Rybie úlohy. Dokážte, že čísla sú coprime

1) 40 a 15 2) 45 a 49 3) 16 a 21

Peer review. Venujte pozornosť hodnotiacim kritériám. Snímka 6-7

Zovšeobecnenie: Ako dokázať, že čísla sú relatívne prvočísla?

Ohodnotil(-a)

Výborne. Pomohol dievčaťu a chlapcovi. Rieka ich chránila pod svojim brehom. Okolo preleteli husi-labute.

Ako prejav vďaky vám chlapec dá fyzickú minútu (video) Snímka 9

V akom prípade ich ukryje jabloň?

Ak dievča vyskúša svoje lesné jablko.

Správny. Poďme všetci spolu „jesť“ lesné jablká. A jablká na ňom nie sú jednoduché, s nezvyčajnými úlohami sa tomu hovorí LOTTO. Veľké jablká „zjeme“ jedno na skupinu, t.j. Pracujeme v skupinách. Nájdite GCD v každej bunke na malých kartičkách pre odpoveď. Keď sú všetky bunky zatvorené, otočte karty a mali by ste získať obrázok.

Úlohy na lesné jablká

Nájsť GCD:

1 skupina		2. skupina
GCD(48,84)=	gcd(60,48)=	GCD(60,80)=	GCD (80,64)=
GCD (12,15)=	GCD(15,20)=	gcd(50,30)=	GCD (12,16)=
3 skupina		4 skupina
GCD (123,72)=	gcd(120,96)=	gcd(90,72)=	gcd(15;100)=
GCD(45,30)=	gcd(15.9)=	GCD(14,42)=	GCD (34,51)=

Kontrola: Prechádzam riadkami a kontrolujem obrázok

Zovšeobecnenie: Čo je potrebné urobiť na nájdenie GCD?

Výborne. Jabloň ich zatienila konármi a prikryla lístím. Husi a labute ich stratili a leteli ďalej. Takže čo bude ďalej?

Znova sa rozbehli. Neboli ďaleko a vtedy ich zazreli husi, začali biť krídlami a chceli mu brata vytrhnúť z rúk. Došli k sporáku. Sporák ich skryje, ak dievča vyskúša ražný koláč.

Pomôžme dievčaťu.Priradenie možností, test

TEST

Predmet

možnosť 1

1. Ktoré čísla sú spoločné faktory 24 a 16?

1) 4, 8; 2) 6, 2, 4;

3) 2, 4, 8; 4) 8, 6.

1. Je číslo 9 najväčším spoločným deliteľom čísel 27 a 36?

1. Áno; 2) č.

1. Dané čísla 128, 64 a 32. Ktoré z nich je najväčším deliteľom všetkých troch čísel?

1) 128; 2) 64; 3) 32.

1. Sú čísla 7 a 418 relatívne prvočísla?

1) áno; 2) č.

1) 5 a 25;

2) 64 a 2;

3) 12 a 10;

4) 100 a 9.

TEST

Predmet : KÝVNUTIE. Vzájomne prvočísla.

možnosť 1

1. Ktoré čísla sú spoločné faktory 18 a 12?

1) 9, 6, 3; 2) 2, 3, 4, 6;

3) 2, 3; 4) 2, 3, 6.

1. Je číslo 4 najväčším spoločným deliteľom čísel 16 a 32?

1. Áno; 2) č.

1. Dané čísla 300, 150 a 600. Ktoré z nich je najväčším deliteľom všetkých troch čísel?

1) 600; 2) 150; 3) 300.

1. Sú čísla 31 a 44 relatívne prvočísla?

1) áno; 2) č.

1. Ktoré čísla sú relatívne prvočísla?

1) 9 a 18;

2) 105 a 65;

3) 44 a 45;

4) 6 a 16.

Vyšetrenie. Autotest zo sklíčka. Hodnotiace kritériá. Snímka 10-11

Výborne. Jedli sme koláče. Dievčatko a jej brat si sadli do prieduchov a schovali sa. Labutie husi lietali a lietali, kričali a kričali a naprázdno odleteli k Baba Yaga.

Dievčina poďakovala sporáku a utekala domov.

Čoskoro sa otec a matka vrátili z práce.

Zhrnutie lekcie. Keď sme pomáhali dievčaťu a chlapcovi, aké témy sme si opakovali? (Nájdenie gcd dvoch čísel, prvočíselných čísel.)

Ako nájsť gcd niekoľkých prirodzených čísel?

Ako dokázať, že čísla sú relatívne prvočísla?

Počas hodiny som vám dával známky za každú úlohu a vy ste sa hodnotili. Ich porovnaním sa pridelí priemerné skóre za hodinu.

Reflexia.

Drahí priatelia! Aby som zhrnul lekciu, rád by som počul váš názor na lekciu.

• Čo bolo na lekcii zaujímavé a poučné?
• Môžem si byť istý, že sa dokážete vyrovnať s úlohami tohto typu?
• Ktoré úlohy sa ukázali ako najťažšie?
• Aké medzery vo vedomostiach sa objavili počas hodiny?
• Aké problémy spôsobila táto lekcia?
• Ako hodnotíte úlohu učiteľa? Pomohlo vám to získať zručnosti a znalosti na riešenie problémov tohto typu?

Prilepte jablká na strom. Kto splnil všetky úlohy a všetko bolo jasné - prilepte červené jablko. Tí, čo mali otázku – zelení, tí, čo nerozumeli – žltí. Snímka 12

Je výrok pravdivý? Najmenšie dvojciferné prvočíslo je 11

Je výrok pravdivý? Najväčšie dvojciferné zložené číslo je 99

Je výrok pravdivý? Čísla 8 a 10 sú coprime

Je výrok pravdivý? Niektoré zložené čísla nie je možné rozkladať

Kľúč k diktátu: _ /\ _ _ /\ /\ Hodnotiace kritériá Žiadne chyby – „5“ 1-2 chyby – „4“ 3 chyby – „3“ Viac ako tri – „2“

Dokážte, že čísla 16 a 21 sú dvojčíslo 3 Dokážte, že čísla 40 a 15 sú dvojčíslo Dokážte, že čísla 45 a 49 sú dvojčíslo 2 1 40=2·2·2·5 15=3·5 GCD(40; 15) =5, čísla nie sú dvojčlenné 45=3·3·5 49=7·7 gcd(45, 49)=, čísla sú dvojčlenné 16=2·2·2·2 21=3·7 gcd(45, 49) =1, čísla sú relatívne prvočísla

Hodnotiace kritériá Žiadne chyby – „5“ 1 chyba – „4“ 2 chyby – „3“ Viac ako dve – „2“

Skupina 1 GCD(48,84)= GCD(60,48)= GCD(12,15)= GCD(15,20)= Skupina 3 GCD(123,72)= GCD(120,96)= GCD(45,30)= GCD(15,9)= 2. skupina GCD( 60,80)= GCD(80,64)= GCD(50,30)= GCD(12,16)= 4. skupina GCD(90,72)= GCD (15100)= GCD (14,42)= GCD(34,51)=

Úlohy zo sporáka B1 3 2. 1 3. 3 4. 1 5. 4 B2 4 2. 2 3. 2 4. 1 5. 3

Hodnotiace kritériá Žiadne chyby – „5“ 1-2 chyby – „4“ 3 chyby – „3“ Viac ako tri – „2“

Reflexia mi bola jasná, zvládol som všetky úlohy, vyskytli sa menšie ťažkosti, ale vyrovnal som sa s nimi, zostalo niekoľko otázok

Pamätajte!

Ak je prirodzené číslo deliteľné iba 1 a samo sebou, potom sa nazýva prvočíslo.

Akékoľvek prirodzené číslo je vždy deliteľné 1 a samo sebou.

Číslo 2 je najmenšie prvočíslo. Toto je jediné párne prvočíslo, všetky ostatné prvočísla sú nepárne.

Existuje veľa prvočísel a prvé z nich je číslo 2. Neexistuje však žiadne posledné prvočíslo. V časti „Na štúdium“ si môžete stiahnuť tabuľku prvočísel do 997.

Mnohé prirodzené čísla sú však deliteľné aj inými prirodzenými číslami.

Napríklad:

• číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;
• Číslo 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Čísla, ktorými je číslo deliteľné celkom (pre 12 sú to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), sa nazývajú delitelia čísla.

Pamätajte!

Deliteľ prirodzeného čísla a je prirodzené číslo, ktoré delí dané číslo „a“ bezo zvyšku.

Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dvoch deliteľov, sa nazýva zložené.

Upozorňujeme, že čísla 12 a 36 majú spoločné faktory. Tieto čísla sú: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší deliteľ týchto čísel je 12.

Spoločný deliteľ dvoch daných čísel „a“ a „b“ je číslo, ktorým sa obe dané čísla „a“ a „b“ bezo zvyšku delia.

Pamätajte!

Najväčší spoločný deliteľ(GCD) dvoch daných čísel „a“ a „b“ je najväčšie číslo, ktorým sa obe čísla „a“ a „b“ bezo zvyšku delia.

Stručne povedané, najväčší spoločný deliteľ čísel „a“ a „b“ je zapísaný nasledovne:

GCD (a; b).

Príklad: gcd (12; 36) = 12.

Deliče čísel v zázname riešenia sú označené veľkým písmenom „D“.

D (7) = (1, 7)

D (9) = (1, 9)

GCD (7; 9) = 1

Čísla 7 a 9 majú iba jedného spoločného deliteľa - číslo 1. Takéto čísla sa nazývajú coprime čísla.

Pamätajte!

Coprime čísla- sú to prirodzené čísla, ktoré majú len jedného spoločného deliteľa - číslo 1. Ich gcd je 1.

Ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa

Na nájdenie gcd dvoch alebo viacerých prirodzených čísel potrebujete:

1. rozložiť deliteľa čísel na prvočísla;

Je vhodné písať výpočty pomocou zvislej čiary. Vľavo od riadku najskôr zapíšeme dividendu, vpravo deliteľ. Ďalej do ľavého stĺpca zapíšeme hodnoty kvocientov.

Poďme si to hneď vysvetliť na príklade. Rozložme čísla 28 a 64 na prvočísla.

1. V oboch číslach zdôrazňujeme rovnaké prvočísla.
   28 = 2 2 7

   64 = 2 2 2 2 2 2

2. Nájdite súčin rovnakých prvočiniteľov a zapíšte odpoveď;
   GCD (28; 64) = 22 = 4

   Odpoveď: GCD (28; 64) = 4

Umiestnenie GCD môžete formalizovať dvoma spôsobmi: v stĺpci (ako je uvedené vyššie) alebo „v rade“.

Prvočísla a zložené čísla

Definícia 1. Spoločným deliteľom viacerých prirodzených čísel je číslo, ktoré je deliteľom každého z týchto čísel.

Definícia 2. Najväčší spoločný deliteľ je tzv najväčší spoločný deliteľ (GCD).

Príklad 1 Spoločnými deliteľmi čísel 30, 45 a 60 sú čísla 3, 5, 15. Najväčší spoločný deliteľ týchto čísel je

GCD (30, 45, 10) = 15.

Definícia 3. Ak je najväčší spoločný deliteľ viacerých čísel 1, potom sa volajú tieto čísla vzájomne prvotriedne.

Príklad 2 Čísla 40 a 3 budú prvočísla, ale čísla 56 a 21 nie sú dvojčísla, pretože čísla 56 a 21 majú spoločný faktor 7, ktorý je väčší ako 1.

Poznámka. Ak sú čitateľ zlomku a menovateľ zlomku vzájomne prvočísla, potom je takýto zlomok nezredukovateľný.

Algoritmus na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa

Uvažujme Algoritmus na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa niekoľko čísel v nasledujúcom príklade.

Príklad 3 Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 100, 750 a 800.

Riešenie . Zoberme si tieto čísla do hlavných faktorov:

Prvočíslo 2 je zahrnuté v prvom rozklade na mocninu 2, v druhom rozklade na mocninu 1 a v treťom rozklade na mocninu 5. Označme najmenší týchto právomocí písmenom a. To je zrejmé a = 1 .

Prvočiniteľ 3 je zahrnutý v prvom rozklade na mocninu 0 (inými slovami, faktor 3 nie je zahrnutý v prvom rozklade vôbec), pri druhom rozklade je zahrnutý v mocnine 1 a v tretia faktorizácia – na mocninu 0. Označme najmenší týchto právomocí písmenom b. To je zrejmé b = 0 .

Prvočíslo 5 je zahrnuté v prvom rozklade na mocninu 2, v druhom rozklade na mocninu 3 a v treťom rozklade na mocninu 2. Označme najmenší týchto právomocí písmenom c. To je zrejmé c = 2 .

Hodina matematiky v 5. ročníku na tému:

(podľa učebnice G.V. Dorofeeva, L.G. Petersona)

Učiteľka matematiky: Danilova S.I.

Téma lekcie: Najväčší spoločný deliteľ. Vzájomne prvočísla.

Typ lekcie: Lekcia učenia sa nového materiálu.

Účel lekcie: Získajte univerzálny spôsob, ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel. Naučte sa nájsť gcd čísel pomocou metódy faktorizácie.

Vygenerované výsledky:

Predmet: zostaviť a osvojiť si algoritmus na nájdenie GCD, trénovať schopnosť jeho aplikácie v praxi.

Osobné: rozvíjať schopnosť riadiť proces a výsledok vzdelávacích a matematických činností.

Metapredmet: rozvíjať schopnosť nájsť gcd čísel, aplikovať kritériá deliteľnosti, budovať logické uvažovanie, odvodzovať a vyvodzovať závery.

Plánované výsledky:

Študent sa naučí nájsť gcd čísel rozkladom čísel na prvočiniteľa.

Základné pojmy: GCD čísel. Vzájomne prvočísla.

Formy práce študentov: frontálny, individuálny.

Potrebné technické vybavenie: učiteľský počítač, projektor, interaktívna tabuľa.

Štruktúra lekcie.

Organizovanie času.

Ústna práca. Gymnastika pre myseľ.

Správa k téme lekcie. Učenie sa nového materiálu.

Minúta telesnej výchovy.

Primárna konsolidácia nového materiálu.

Samostatná práca.

Domáca úloha. Odraz činnosti.

Počas vyučovania

Organizovanie času.(1 minúta.)

Ciele etapy: vytvoriť prostredie pre prácu študentov triedy a psychologicky ich pripraviť na komunikáciu v nadchádzajúcej hodine

pozdravujem:

Ahojte chalani!

Pozreli sme sa na seba,

A všetci si ticho sadli.

Zvonček už zazvonil.

Začnime našu lekciu.

Ústna práca. Gymnastika mysle. (5 minút.)

Ciele etapy: zapamätať si a konsolidovať algoritmy pre zrýchlené výpočty, zopakovať znaky deliteľnosti čísel.

Za starých čias v Rusku hovorili, že násobenie je muka, ale delenie je problém.

Každý, kto vedel rýchlo a presne deliť, bol považovaný za veľkého matematika.

Pozrime sa, či vás možno nazvať skvelými matematikmi.

Poďme robiť mentálnu gymnastiku.

1) Vyberte si zo širokej ponuky

A=(716, 9012, 11211, 123400, 405405, 23025, 11175)

čísla, ktoré sú násobkom 2, násobkom 5, násobkom 3.

2) Vypočítajte slovne:

5 . 37 . 2 = 3. 50 . 12 . 3 . 2 =

2. 25 . 51 . 3 . 4 = 4. 8 . 125 . 7 =

Motivácia k vzdelávacím aktivitám. Stanovenie cieľov a cieľov lekcie.(4 min.)

Cieľ :

1) začlenenie žiakov do vzdelávacích aktivít;

2) organizovať študentské aktivity na vytvorenie tematických rámcov: nové spôsoby zisťovania čísel GCD;

3) vytvárať u žiaka podmienky na rozvíjanie vnútornej potreby inklúzie do výchovno-vzdelávacej činnosti.

– Chlapci, akú tému ste spracovali v predchádzajúcich lekciách? (O rozklade čísel na prvočiniteľa) Aké vedomosti sme potrebovali? (Znaky delitelnosti)

Otvorili sme zošity, skontrolujeme číslo domu č. 638.

V domácej úlohe ste pomocou faktorizácie určili, či je číslo a deliteľné číslom b, a našli ste kvocient. Pozrime sa, čo máte. Pozrime sa na číslo 638. V akom prípade je a delené b? Ak je a deliteľné b, čo je potom b s a? Čo znamená b a a b? Čo si myslíte, ako nájsť gcd čísel, ak jedno z nich nie je deliteľné druhým? Aké sú vaše odhady?

Teraz sa pozrime na problém: „Aký je najväčší počet rovnakých darčekov, ktoré možno vyrobiť zo 48 „veveričkových“ cukríkov a 36 „inšpiračných“ čokolád, ak potrebujete použiť všetky cukríky a čokolády?

Napíšte na tabuľu a do zošitov:

36=2*2*3*3

48=2*2*2*2*3

GCD(36,48)=2*2*3=12

Ako môžeme použiť faktorizáciu na vyriešenie tohto problému? Čo vlastne nájdeme? GCD čísel. Aký je účel našej lekcie? Naučte sa nájsť gcd čísel novým spôsobom.

4. Nahláste tému hodiny. Učenie sa nového materiálu.(3,5 min.)

Zapíšte si číslo a tému hodiny: „Najväčší spoločný deliteľ“.

(Najväčší spoločný deliteľ je najväčšie číslo, ktoré delí každé z daných prirodzených čísel). Všetky prirodzené čísla majú aspoň jedného spoločného deliteľa - číslo 1.

Mnohé čísla však majú niekoľko spoločných faktorov. Univerzálny spôsob, ako nájsť GCD, je rozložiť tieto čísla na prvočísla.

Napíšme si algoritmus na nájdenie gcd niekoľkých čísel.

Rozdeľte dané čísla na prvočísla.

Nájdite rovnaké faktory a podčiarknite ich.

Nájdite súčin spoločných faktorov.

Minúta telesnej výchovy(vstali zo stolov) - flash video. (1,5 min.)

(Alternatívna možnosť:

Dosiahli sme spolu,

A usmievali sa na seba.

Jeden - tlieskať a dva - tlieskať.

Ľavá noha - dupať a pravá noha - dupať.

Pokrútili hlavami -

Natiahneme krk.

Nožný dupot, teraz ďalší

Spolu dokážeme všetko.)

Primárna konsolidácia nového materiálu. ( 15 minút. )

Realizácia dokončeného projektu

Cieľ:

1) organizovať realizáciu postaveného projektu v súlade s plánom;

2) organizovať nahrávanie novej metódy konania v reči;

3) organizovať fixáciu novej metódy pôsobenia v znakoch (pomocou štandardu);

4) organizovať záznam prekonania ťažkosti;

5) organizovať objasnenie všeobecnej povahy nových poznatkov (možnosť použitia novej metódy konania na riešenie všetkých úloh tohto typu).

Organizácia vzdelávacieho procesu: № 650(1-3), 651(1-3)

№ 650 (1-3).

№ 650 (2) podrobne rozobrať, pretože Neexistujú žiadne spoločné hlavné faktory.

Prvý bod bol dokončený.

2. D (A; b) = nie

3. GCD ( A; b ) = 1

Aké zaujímavé veci ste si všimli? (Čísla nemajú žiadne spoločné hlavné faktory.)

V matematike sa takéto čísla nazývajú prvočísla. Zápis do zošitov:

Volajú sa čísla, ktorých najväčší spoločný deliteľ je 1 obojstranne jednoduché.

A A b relatívne prvotriedne  gcd ( a ; b ) = 1

Čo môžete povedať o najväčšom spoločnom deliteľovi prvočísel?

(Najväčší spoločný deliteľ prvočíselných čísel je 1.)

№ 651 (1-3)

Úloha je splnená na tabuli s komentármi.

Rozložme čísla na prvočísla pomocou dobre známeho algoritmu:

75 3 135 3

25 5 45 3

5 5 15 3

1 5 5

GCD (75; 135) = 3 x 5 = 15.

180 2*5 210 2*5

18 2 21 3

9 3 7 7

3 3 1

GCD (180, 210) = 2 x 5 x 3 = 30

125 5 462 2

25 5 231 3

5 5 77 7

1 11 11

GCD (125, 462) = 1

7. Samostatná práca.(10 min.)

Ako dokážete, že ste sa novým spôsobom naučili nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel? (Musíte robiť samostatnú prácu.)

Samostatná práca.

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel pomocou prvočísel.

možnosť 1 Možnosť 2

a = 2 × 3 × 3 × 7 × 11 1) a = 2 × 3 × 5 × 7 × 7

b = 2 × 5 × 7 × 7 × 13 b = 3 × 3 × 7 × 13 × 19

60 a 165 2) 75 a 135

81 a 125 3) 49 a 125

4) 180, 210 a 240 (voliteľné)

Chlapci, skúste svoje vedomosti uplatniť pri samostatnej práci.

Študenti najprv vykonajú samostatnú prácu, potom sa otestujú a skontrolujú pomocou vzorky na snímke.

Kontrola samostatnej práce:

možnosť 1 Možnosť 2

GCD(a,b)=2 × 7=14 1) GCD(a,b)=3 × 7=21

GCD( 60, 165 ) = 3 × 5 = 15 2) GCD (75, 135) = 3 × 5 = 15

GCD(81, 125)=1 3) GCD(49, 125)=1

8. Odraz činnosti.(5 minút.)

Čo nové ste sa naučili v lekcii? (Nový spôsob, ako nájsť GCD pomocou prvočíselných rozkladov, aké čísla sa nazývajú coprime, ako nájsť GCD čísel, ak je väčšie číslo deliteľné menším číslom.)

Aký cieľ si si dal?

Dosiahli ste svoj cieľ?

Čo vám pomohlo dosiahnuť váš cieľ?

– Zistite si sami pravdivosť jedného z nasledujúcich tvrdení (R-1).

Čo musíte urobiť doma, aby ste lepšie porozumeli tejto téme? (Prečítajte si odsek a precvičte si hľadanie GCD pomocou novej metódy).

Domáca úloha:

klauzula 2, №№ 672 (1,2); 673 (1-3), 674.

Zistite, či je pre vás pravdivé jedno z nasledujúcich tvrdení:

"Prišiel som na to, ako nájsť gcd čísel,"

"Viem, ako nájsť gcd čísel, ale stále robím chyby,"

"Stále mám nevyriešené otázky."

Zobrazte svoje odpovede ako emotikony na kus papiera.

V tomto článku si povieme, čo sú to coprime čísla. V prvom odseku sformulujeme definície dvoch, troch alebo viacerých relatívne prvočísel, uvedieme niekoľko príkladov a ukážeme, v ktorých prípadoch možno dve čísla vo vzájomnom vzťahu považovať za prvočísla. Potom prejdeme k formulácii hlavných vlastností a ich dôkazov. V poslednom odseku si povieme niečo o príbuznom pojme – párové prvočísla.

Čo sú to coprime čísla

Dve celé čísla alebo viaceré z nich môžu byť navzájom prvočísla. Najprv si predstavme definíciu dvoch čísel, pre ktoré potrebujeme pojem ich najväčšieho spoločného deliteľa. Ak je to potrebné, zopakujte materiál na to určený.

Definícia 1

Dve takéto čísla a a b budú vzájomne prvočísla, ktorých najväčší spoločný deliteľ sa rovná 1, t.j. GCD (a, b) = 1.

Z tejto definície môžeme usúdiť, že jediný kladný spoločný deliteľ dvoch prvočísel sa bude rovnať 1. Len dve takéto čísla majú dvoch spoločných deliteľov – jeden a mínus jeden.

Aké sú príklady koprime čísel? Napríklad taký pár by bol 5 a 11. Majú len jedného spoločného kladného deliteľa, rovného 1, čo potvrdzuje ich vzájomnú jednoduchosť.

Ak vezmeme dve prvočísla, tak vo vzájomnom vzťahu budú vo všetkých prípadoch navzájom prvočísla, ale takéto vzájomné vzťahy vznikajú aj medzi zloženými číslami. Existujú prípady, keď jedno číslo v páre relatívne prvočísel je zložené a druhé je prvočíslo, alebo sú obe zložené.

Toto tvrdenie ilustruje nasledujúci príklad: zložené čísla 9 a 8 tvoria relatívne prvočíslo. Dokážme to výpočtom ich najväčšieho spoločného deliteľa. Za týmto účelom si zapíšeme všetkých ich deliteľov (odporúčame si znova prečítať článok o hľadaní deliteľov čísla). Pre 8 to budú čísla ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 a pre 9 – ± 1, ± 3, ± 9. Vyberáme zo všetkých deliteľov toho, ktorý bude spoločný a najväčší - to je jednota. Preto, ak GCD (8, − 9) = 1, potom 8 a - 9 budú navzájom rovnaké.

Prvotriedne čísla nie sú 500 a 45, pretože majú ďalšieho spoločného deliteľa - 5 (pozri článok o kritériách deliteľnosti 5). Päť je väčšie ako jedna a je kladné číslo. Ďalší podobný pár by mohol byť - 201 a 3, pretože oba môžu byť delené 3, ako je naznačené zodpovedajúcim znakom deliteľnosti.

V praxi je pomerne často potrebné určiť relatívnu prvočíslosť dvoch celých čísel. Zistenie tohto možno zredukovať na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa a jeho porovnanie s jednotou. Aby sa nerobili zbytočné výpočty, je vhodné použiť aj tabuľku prvočísel: ak je jedno z daných čísel v tejto tabuľke, potom je deliteľné iba jedným a samo sebou. Pozrime sa na riešenie takéhoto problému.

Príklad 1

podmienka: zisti, či sú čísla 275 a 84 coprime.

Riešenie

Obidve čísla majú jednoznačne viac ako jedného deliteľa, takže ich nemôžeme hneď označiť za relatívne prvočísla.

Najväčšieho spoločného deliteľa vypočítame pomocou euklidovského algoritmu: 275 = 84 3 + 23, 84 = 23 3 + 15, 23 = 15 1 + 8, 15 = 8 1 + 7, 8 = 7 1 + 1, 7 = 7 · 1.

odpoveď: keďže GCD (84, 275) = 1, potom budú tieto čísla relatívne prvočísla.

Ako sme už povedali, definícia takýchto čísel môže byť rozšírená na prípady, keď nemáme dve čísla, ale viac.

Definícia 2

Celé čísla a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 budú vzájomne prvočísla, ak majú najväčšieho spoločného deliteľa rovného 1 .

Inými slovami, ak máme množinu nejakých čísel s najväčším kladným deliteľom väčším ako 1, potom všetky tieto čísla nie sú navzájom inverzné.

Uveďme si pár príkladov. Celé čísla − 99, 17 a − 27 sú teda relatívne prvočísla. Ľubovoľný počet prvočísel bude priradených k všetkým členom populácie, ako v sekvenciách 2, 3, 11, 19, 151, 293 a 667. Ale čísla 12, − 9, 900 a − 72 nebude relatívne prvočíslo, pretože okrem jednoty budú mať ešte jedného kladného deliteľa rovného 3. To isté platí pre čísla 17, 85 a 187: okrem jedného môžu byť všetky delené 17.

Obyčajne vzájomná prvočíslosť čísel nie je na prvý pohľad zrejmá, túto skutočnosť treba dokázať. Ak chcete zistiť, či sú niektoré čísla relatívne prvočísla, musíte nájsť ich najväčšieho spoločného deliteľa a vyvodiť záver na základe jeho porovnania s jedným.

Príklad 2

podmienka: určiť, či sú čísla 331, 463 a 733 relatívne prvočísla.

Riešenie

Skontrolujeme tabuľku prvočísel a určíme, že všetky tri tieto čísla sú v nej. Potom ich spoločný deliteľ môže byť len jeden.

odpoveď: všetky tieto čísla budú navzájom spojené.

Príklad 3

podmienka: dokážte, že čísla − 14, 105, − 2 107 a − 91 nie sú dvojčlenné.

Riešenie

Začnime identifikáciou ich najväčšieho spoločného deliteľa a potom sa uistite, že sa nerovná 1. Keďže záporné čísla majú rovnakých deliteľov ako zodpovedajúce kladné čísla, potom gcd (− 14, 105, 2 107, − 91) = gcd (14, 105, 2 107, 91). Podľa pravidiel, ktoré sme uviedli v článku o hľadaní najväčšieho spoločného deliteľa, bude v tomto prípade gcd rovný siedmim.

odpoveď: sedem je väčšie ako jedna, čo znamená, že tieto čísla nie sú relatívne prvočísla.

Základné vlastnosti prvočísel

Takéto čísla majú niektoré prakticky dôležité vlastnosti. Uveďme ich v poradí a dokážme ich.

Definícia 3

Ak celé čísla a a b vydelíme číslom zodpovedajúcim ich najväčšiemu spoločnému deliteľovi, dostaneme relatívne prvočísla. Inými slovami, a: gcd (a, b) a b: gcd (a, b) bude relatívne prvočíslo.

Túto vlastnosť sme už dokázali. Dôkaz nájdete v článku o vlastnostiach najväčšieho spoločného deliteľa. Vďaka nej vieme určiť dvojice relatívne prvočísel: stačí vziať ľubovoľné dve celé čísla a vydeliť GCD. V dôsledku toho by sme mali dostať coprime čísla.

Definícia 4

Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre vzájomnú prvočíslosť čísel a a b je existencia takýchto celých čísel ty 0 A v 0, pre ktorú rovnosť a · u 0 + b · v 0 = 1 bude pravda.

Dôkaz 1

Začnime dôkazom nevyhnutnosti tejto podmienky. Povedzme, že máme dve relatívne prvočísla, označené a a b. Potom podľa definície tohto pojmu bude ich najväčší spoločný deliteľ rovný jednej. Z vlastností gcd vieme, že pre celé čísla a a b existuje Bezoutov vzťah a · u 0 + b · v 0 = gcd (a, b). Z toho nám to vychádza a · u 0 + b · v 0 = 1. Potom musíme preukázať dostatočnosť stavu. Nech rovnosť a · u 0 + b · v 0 = 1 bude v tomto prípade pravda, ak GCD (a, b) delí a a , a b , potom rozdelí aj súčet a · u 0 + b · v 0, respektíve jednotka (možno o tom tvrdiť na základe vlastností deliteľnosti). A to je možné len vtedy, ak GCD (a, b) = 1, čo dokazuje vzájomnú jednoduchosť a a b.

V skutočnosti, ak a a b sú koprimé, potom podľa predchádzajúcej vlastnosti bude rovnosť pravdivá a · u 0 + b · v 0 = 1. Vynásobíme obe strany c a dostaneme to a · c · u 0 + b · c · v 0 = c. Prvý termín môžeme rozdeliť a · c · u 0 + b · c · v 0 b, pretože to je možné pre a · c, a druhý člen je tiež deliteľný b, pretože jeden z našich faktorov sa rovná b. Z toho vyvodíme, že celý súčet možno deliť b, a keďže sa tento súčet rovná c, potom c možno deliť b.

Definícia 5

Ak sú dve celé čísla a a b rovnaké, potom gcd (a c, b) = gcd (c, b).

Dôkaz 2

Dokážme, že GCD (a c, b) rozdelí GCD (c, b) a potom, že GCD (c, b) rozdelí GCD (a c, b), čo bude dôkazom správnosti rovnosti GCD. (a · c, b) = GCD (c, b).

Keďže GCD (a · c, b) delí a · c aj b a GCD (a · c, b) delí b, potom rozdelí aj b · c. To znamená, že GCD (a c, b) delí aj a c aj b c, preto vzhľadom na vlastnosti GCD delí aj GCD (a c, b c), čo sa bude rovnať c GCD (a, b ) = c . Preto GCD (a · c, b) delí b aj c, teda delí aj GCD (c, b).

Dá sa tiež povedať, že keďže GCD (c, b) delí c aj b, potom rozdelí c aj c. To znamená, že GCD (c, b) delí a · c aj b, teda delí aj GCD (a · c, b).

Gcd (a c, b) a gcd (c, b) sa teda navzájom delia, čo znamená, že sú si rovné.

Definícia 6

Ak sú čísla zo sekvencie a 1 , a 2 , ... , k bude relatívne prvočíslo vzhľadom na čísla sekvencie b 1, b 2, …, b m(pre prirodzené hodnoty k a m), potom ich produkty a 1 · a 2 · … · a k A b 1 · b 2 · … · b m sú tiež relatívne prvotriedne, najmä a 1 = a 2 = … = a k = a A b 1 = b 2 = … = b m = b, To a k A b m- obojstranne jednoduché.

Dôkaz 3

Podľa predchádzajúcej vlastnosti môžeme zapísať rovnosti v nasledujúcom tvare: GCD (a 1 · a 2 · … · a k, b m) = GCD (a 2 · … · a k, b m) = … = GCD (a k, b m) = 1. Možnosť posledného prechodu je zabezpečená tým, že a k a b m sú relatívne prvočísla podľa podmienky. To znamená GCD (a 1 · a 2 · … · ak, b m) = 1 .

Označme a 1 · a 2 · … · a k = A a získame GCD (b 1 · b 2 · ... · b m , a 1 · a 2 · ... · a k) = GCD (b 1 · b 2 · ... · bm, A) = GCD (b2 · ... · b · bm, A) = ... = GCD (bm, A) = 1. Bude to pravda kvôli poslednej rovnosti z vyššie skonštruovaného reťazca. Máme teda rovnosť GCD (b 1 · b 2 · … · b m, a 1 · a 2 · … · a k) = 1, pomocou ktorej môžeme dokázať vzájomnú prvotriednosť súčinov a 1 · a 2 · … · a k A b 1 · b 2 · … · b m

Toto sú všetky vlastnosti prvotriednych čísel, o ktorých by sme vám chceli povedať.

Koncept párových prvočísel

Keď vieme, čo sú prvočísla, môžeme sformulovať definíciu párových prvočísel.

Definícia 7

Párové prvočísla je postupnosť celých čísel a 1 , a 2 , ... , a k , kde každé číslo bude relatívne prvočíslo vzhľadom na ostatné.

Príkladom postupnosti párových prvočísel by boli 14, 9, 17 a -25. Tu sú všetky páry (14 a 9, 14 a 17, 14 a - 25, 9 a 17, 9 a - 25, 17 a - 25) coprime. Všimnite si, že podmienka vzájomného prvočísla je povinná pre párové prvočísla, ale vzájomné prvočísla nebudú vo všetkých prípadoch párové prvočísla. Napríklad v sekvencii 8, 16, 5 a 15 čísla nie sú také čísla, pretože 8 a 16 nebudú spoločné.

Mali by ste sa tiež pozastaviť nad konceptom zbierky určitého počtu prvočísel. Vždy budú vzájomne aj párovo jednoduché. Príkladom môže byť sekvencia 71, 443, 857, 991. V prípade prvočísel sa budú pojmy vzájomného a párového prvočísla zhodovať.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter