s a prirodzené číslo n 2 .
Komplexné číslo Z volal koreňn– c, Ak Z n = c.
Nájdite všetky hodnoty koreňa n–
ach mocniny komplexného čísla s. Nechaj c=|
c|·(cos
Arg
c+
i·
hriech
Args), A
Z
= |
Z|·(sos
Arg
Z
+
i·
hriech
Arg
Z)
, Kde Z koreň n-
ach mocniny komplexného čísla s. Potom to musí byť
=
c
= |
c|·(cos
Arg
c+
i·
hriech
Args). Z toho vyplýva
A n·
Arg
Z
=
Args
Arg
Z
=
(k=0,1,…)
. teda Z
=
(cos
+
i·
hriech
),
(k=0,1,…)
. Je ľahké vidieť, že niektorá z hodnôt
,
(k=0,1,…)
sa líši od jednej zo zodpovedajúcich hodnôt
,(k
= 0,1,…,
n-1)
viacnásobným 2π. Preto , (k
= 0,1,…,
n-1)
.
Príklad.
Vypočítajme odmocninu z (-1).
, samozrejme |-1| = 1, arg (-1) = π
-1 = 1·(cos π + i· hriech π )
, (k = 0,1).
= i
Moc s ľubovoľným racionálnym exponentom
Zoberme si ľubovoľné komplexné číslo s. Ak n teda prirodzené číslo s n
= |
c|
n · (Sos
nArgs +i·
hriech
nArgs)(6). Tento vzorec platí aj v prípade n
= 0
(s≠0)
. Nechaj n
< 0
A n
Z A s ≠ 0, Potom
s n
=
(cos nArgs+i·sin nArgs)
=
(cos nArgs+ i·sin nArgs)
. Vzorec (6) teda platí pre všetky n.
Zoberme si racionálne číslo , Kde q prirodzené číslo a R je celý.
Potom pod stupňa
c r budeme rozumieť číslu
.
Chápeme to ,
(k = 0, 1, …, q-1). Tieto hodnoty q kusov, ak zlomok nie je redukovateľný.
Prednáška č. 3 Limita postupnosti komplexných čísel
Komplexne hodnotená funkcia prirodzeného argumentu sa nazýva postupnosť komplexných čísel a je určený (S n ) alebo s 1 , S 2 , ..., S n . s n = a n + b n · i (n = 1,2, ...) komplexné čísla.
s 1 , S 2 , … - členovia postupnosti; s n – spoločný člen
Komplexné číslo s
=
a+
b·
i volal limit postupnosti komplexných čísel (c n )
, Kde s n
= a n +
b n ·
i
(n
= 1, 2, …)
, kde pre hociktorého
že pred všetkými n
>
N nerovnosť platí
. Postupnosť s konečnou limitou sa nazýva konvergentné sekvencie.
Veta.
Aby sa vytvorila postupnosť komplexných čísel (s n ) (s n = a n + b n · i) konvergovalo k číslu s = a+ b· i, je nevyhnutné a postačujúce, aby rovnosť platilalim a n = a, lim b n = b.
Dôkaz.
Vetu dokážeme na základe nasledujúcej zjavnej dvojitej nerovnosti
, Kde Z = X + r· i (2)
Nevyhnutnosť. Nechaj lim(S n ) = s. Ukážme, že rovnosť je pravdivá lim a n = a A lim b n = b (3).
Jednoznačne (4)
Pretože
, Kedy n
→ ∞
, potom z ľavej strany nerovnosti (4) vyplýva, že
A
, Kedy n
→ ∞
. preto sú splnené rovnosti (3). Potreba bola preukázaná.
Primeranosť. Nech sú teraz splnené rovnosti (3). Z rovnosti (3) vyplýva, že
A
, Kedy n
→ ∞
, preto v dôsledku pravej strany nerovnosti (4) bude
, Kedy n→∞
, Prostriedky lim(S n )=c. Dostatočnosť bola preukázaná.
Takže otázka konvergencie postupnosti komplexných čísel je ekvivalentná s konvergenciou dvoch postupností reálnych čísel, preto všetky základné vlastnosti limity postupností reálnych čísel platia pre postupnosti komplexných čísel.
Napríklad pre postupnosti komplexných čísel platí Cauchyho kritérium: v poradí komplexných čísel (s n ) konverguje, je potrebné a postačujúce, aby pre akékoľvek
, že pre akékoľvekn,
m
>
Nnerovnosť platí
.
Veta.
Nech postupnosť komplexných čísel (s n ) A (z n ) konvergujú k c a respz, potom sú rovnosti pravdivélim(S n
z n )
=
c z,
lim(S n ·
z n )
=
c·
z. Ak je to s určitosťou známezsa nerovná 0, potom je rovnosť pravdivá
.
čísla v trigonometrickom tvare.
Moivreov vzorec
Nech z 1 = r 1 (cos 1 + isin 1) az 2 = r 2 (cos 2 + isin 2).
Trigonometrická forma zápisu komplexného čísla je vhodná na vykonávanie operácií násobenia, delenia, umocňovania na celé číslo a extrakcie odmocniny stupňa n.
z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + i sin( 1 + 2)).
Pri násobení dvoch komplexných čísel v trigonometrickej forme sa ich moduly vynásobia a ich argumenty sa sčítajú. Pri delení ich moduly sú rozdelené a ich argumenty sú odčítané.
Dôsledkom pravidla násobenia komplexného čísla je pravidlo zvyšovania komplexného čísla na mocninu.
z = r(cos + i sin ).
z n = r n (cos n + isin n).
Tento pomer sa nazýva Moivreov vzorec.
Príklad 8.1 Nájdite súčin a podiel čísel:
A
Riešenie
z 1 ∙z 2
∙
=
;
Príklad 8.2 Napíšte číslo v trigonometrickom tvare
∙
–i) 7.
Riešenie
Označme
a z2=
– i.
r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; 1 = arg z 1 = arktan ;
z 1 =
;
r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2; 2 = arg z 2 = arktan
;
z2 = 2
;
z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7
z = (
) 5 ·2 7
=
2 9
§ 9 Extrahovanie odmocniny komplexného čísla
Definícia. Rootnmocnina komplexného čísla z (označiť
) je komplexné číslo w také, že w n = z. Ak z = 0, potom
= 0.
Nech z 0, z = r(cos + isin). Označme w = (cos + sin), potom napíšeme rovnicu w n = z v nasledujúcom tvare
n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
Preto n = r,
=
Teda wk =
·
.
Medzi týmito hodnotami je presne n rôznych.
Preto k = 0, 1, 2, …, n – 1.
V komplexnej rovine sú tieto body vrcholmi pravidelného n-uholníka vpísaného do kruhu s polomerom
so stredom v bode O (obrázok 12).
Obrázok 12
Príklad 9.1 Nájdite všetky hodnoty
.
Riešenie.
Predstavme si toto číslo v trigonometrickom tvare. Poďme nájsť jeho modul a argument.
w k =
kde k = 0, 1, 2, 3.
w 0 =
.
w 1 =
.
w 2 =
.
w 3 =
.
V komplexnej rovine sú tieto body vrcholy štvorca vpísaného do kruhu s polomerom
so stredom v počiatku (obrázok 13).
Obrázok 13 Obrázok 14
Príklad 9.2 Nájdite všetky hodnoty
.
Riešenie.
z = – 64 = 64 (cos +isin);
w k =
kde k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
w 0 =
; w 1 =
;
w 2 =
w 3 =
w 4 =
; w 5 =
.
V komplexnej rovine sú tieto body vrcholy pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu s polomerom 2 so stredom v bode O (0; 0) - obrázok 14.
§ 10 Exponenciálny tvar komplexného čísla.
Eulerov vzorec
Označme
= cos + isin a
= cos - isin . Tieto vzťahy sa nazývajú Eulerove vzorce .
Funkcia
má obvyklé vlastnosti exponenciálnej funkcie:
Nech sa komplexné číslo z zapíše v goniometrickom tvare z = r(cos + isin).
Pomocou Eulerovho vzorca môžeme napísať:
z = r
.
Tento záznam sa nazýva exponenciálny tvar komplexné číslo. Pomocou neho získame pravidlá pre násobenie, delenie, umocňovanie a extrakciu odmocniteľov.
Ak z 1 = r 1 ·
a z2 = r2 ·
?To
z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
;
·
z n = r n ·
, kde k = 0, 1, …, n – 1.
Príklad 10.1 Napíšte číslo v algebraickom tvare
z =
.
Riešenie.
Príklad 10.2 Riešte rovnicu z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.
Riešenie.
Pre akékoľvek komplexné koeficienty má táto rovnica dva korene z 1 a z 1 (pravdepodobne sa zhodujú). Tieto korene možno nájsť pomocou rovnakého vzorca ako v skutočnom prípade. Pretože
má dve hodnoty, ktoré sa líšia iba znamienkom, potom tento vzorec vyzerá takto:
Keďže –9 = 9 e i, potom hodnoty
budú čísla:
Potom
A
.
Príklad 10.3 Riešte rovnice z 3 +1 = 0; z 3 = – 1. |
Riešenie.
Požadované korene rovnice budú hodnoty
.
Pre z = –1 máme r = 1, arg(–1) = .
w k =
k = 0, 1, 2.
Cvičenia
9 Prítomné čísla v exponenciálnom tvare:
b) |
G) |
10 Napíšte čísla v exponenciálnych a algebraických formách:
A) |
V) |
b) |
d) 7 (cos0 + isin0). |
11 Napíšte čísla v algebraických a geometrických tvaroch:
A) |
b) |
V) |
G) |
Je uvedených 12 čísel
Uveďte ich v exponenciálnej forme, nájdite
.
13 Pomocou exponenciálneho tvaru komplexného čísla vykonajte tieto kroky:
A)
b)
V)
G)
d) | |
. |