1.7.1. Lietadlo.

Uvažujme v karteziánskej báze ľubovoľnú rovinu P a normálový vektor (kolmý) na ňu `n (A, B, C). Zoberme si ľubovoľný pevný bod M0(x0, y0, z0) a aktuálny bod M(x, y, z) v tejto rovine.

Je zrejmé, že ?`n = 0 (1,53)

(pozri (1.20) pre j = p/2). Toto je rovnica roviny vo vektorovom tvare. Prejdeme na súradnice a získame všeobecnú rovnicu roviny

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1,54).

(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Dá sa ukázať, že v karteziánskych súradniciach je každá rovina určená rovnicou prvého stupňa a naopak každá rovnica prvého stupňa určuje rovinu (t.j. rovina je plocha prvého rádu a plocha prvý rád je lietadlo).

Uvažujme o niektorých špeciálnych prípadoch umiestnenia roviny špecifikovanej všeobecnou rovnicou:

A = 0 – rovnobežne s osou Ox; B = 0 – rovnobežne s osou Oy; C = 0 – rovnobežne s osou Oz. (Takéto roviny kolmé na jednu zo súradnicových rovín sa nazývajú premietacie roviny); D = 0 – prechádza cez začiatok; A = B = 0 – kolmá na os Oz (rovnobežná s rovinou xOy); A = B = D = 0 – zhoduje sa s rovinou xOy (z = 0). Všetky ostatné prípady sa analyzujú podobne.

Ak D? 0, potom vydelením oboch strán (1,54) -D dostaneme rovnicu roviny do tvaru: (1,55),

a = – D/A, b = –D/B, c = –D/C. Vzťah (1.55) sa nazýva rovnica roviny v segmentoch; a, b, c – úsečka, ordinácia a aplikácia priesečníkov roviny s osami Ox, Oy, Oz a |a|, |b|, |c| – dĺžky segmentov odrezaných rovinou na príslušných osiach od začiatku súradníc.

Vynásobenie oboch strán (1,54) normalizačným faktorom (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1,56)

kde cosa = Am, cosb = Bm, cosg = Cm sú smerové kosínusy normály k rovine, p je vzdialenosť k rovine od počiatku.

Uvažujme o základných vzťahoch použitých pri výpočtoch. Uhol medzi rovinami A1x + B1y + C1z + D1 = 0 a A2x + B2y + C2z + D2 = 0 možno jednoducho definovať ako uhol medzi normálami týchto rovín `n1 (A1, B1, C1) a

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

Z (1.57) je ľahké získať podmienku kolmosti

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

a paralelizmus (1,59) roviny a ich normály.

Vzdialenosť od ľubovoľného bodu M0(x0, y0, z0) k rovine (1.54)

sa určuje výrazom: (1.60)

Rovnicu roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) je najvhodnejšie napísať pomocou podmienky koplanarity (1.25) vektorov. kde M(x, y , z) – aktuálny bod roviny.

(1.61)

Uveďme rovnicu zväzku rovín (t.j.

Množiny rovín prechádzajúcich jednou priamkou) - je vhodné použiť pri mnohých problémoch.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Kde l О R a v zátvorkách sú rovnice akýchkoľvek dvoch rovín lúča.

Kontrolné otázky.

1) Ako skontrolovať, či daný bod leží na povrchu definovanom touto rovnicou?

2) Aký je charakteristický znak, ktorý odlišuje rovnicu roviny v karteziánskom súradnicovom systéme od rovnice iných plôch?

3) Ako je rovina umiestnená vzhľadom na súradnicový systém, ak jej rovnica neobsahuje: a) voľný člen; b) jedna zo súradníc; c) dve súradnice; d) jedna zo súradníc a voľný termín; d) dve súradnice a voľný termín?

1) Dané body M1(0,-1,3) a M2(1,3,5). Napíšte rovnicu roviny prechádzajúcej bodom M1 a kolmej na vektor Vyber správnu odpoveď:

A) ; b) .

2) Nájdite uhol medzi rovinami a . Vyber správnu odpoveď:

a) 135o, b) 45o

1.7.2. Rovno. Roviny, ktorých normály nie sú kolineárne alebo sa pretínajú, pričom priamku jednoznačne definujú ako priamku ich priesečníka, čo je napísané takto:

Cez túto čiaru (zväzok rovín (1.62)) možno nakresliť nekonečné množstvo rovín, vrátane tých, ktoré ju premietajú na súradnicové roviny. Na získanie ich rovníc stačí transformovať (1,63), pričom z každej rovnice vylúčime jednu neznámu a zredukujeme ich napr. (1.63`).

Stanovme si úlohu - nakresliť cez bod M0(x0,y0,z0) priamku rovnobežnú s vektorom `S (l, m, n) (nazýva sa to smerovacia čiara). Zoberme si ľubovoľný bod M(x,y,z) na želanej priamke. Vektory a musí byť kolineárne, z čoho získame kanonické rovnice priamky.

(1,64) alebo (1.64`)

kde cosa, cosb, cosg sú smerové kosínusy vektora `S. Z (1.64) je ľahké získať rovnicu priamky prechádzajúcej danými bodmi M1(x1, y1, z1) a M2(x2, y2, z2) (je rovnobežná )

Alebo (1,64")

(Hodnoty zlomkov v (1.64) sú rovnaké pre každý bod na priamke a možno ich označiť t, kde t R. To vám umožní zadať parametrické rovnice čiary

Každá hodnota parametra t zodpovedá množine súradníc x, y, z bodu na priamke alebo (inak) - hodnotám neznámych, ktoré spĺňajú rovnice priamky).

Pomocou už známych vlastností vektorov a operácií s nimi a kanonických rovníc priamky je ľahké získať nasledujúce vzorce:

Uhol medzi rovnými čiarami: (1.65)

Podmienka paralelnosti (1,66).

kolmosť l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1,67) priamky.

Uhol medzi priamkou a rovinou (ľahko sa získa nájdením uhla medzi priamkou a kolmicou k rovine, ktorý sa sčíta k požadovanému p/2)

(1.68)

Z (1.66) dostaneme podmienku rovnobežnosti Al + Bm + Cn = 0 (1,69)

a kolmosť (1,70) priamky a roviny. Nevyhnutnú a postačujúcu podmienku, aby dve čiary boli v rovnakej rovine, možno ľahko získať z podmienky koplanarity (1.25).

(1.71)

Kontrolné otázky.

1) Aké sú spôsoby, ako definovať priamku v priestore?

1) Napíšte rovnice priamky prechádzajúcej bodom A(4,3,0) rovnobežnej s vektorom Uveďte správnu odpoveď:

A) ; b) .

2) Napíšte rovnice priamky prechádzajúcej bodmi A(2,-1,3) a B(2,3,3). Uveďte správnu odpoveď.

A) ; b) .

3) Nájdite priesečník priamky s rovinou: , . Uveďte správnu odpoveď:

a) (6,4,5); b) (6,-4,5).

1.7.3. Povrchy druhého rádu. Ak lineárna rovnica v trojrozmernej karteziánskej báze jednoznačne definuje rovinu, každá nelineárna rovnica obsahujúca x, y, z opisuje nejaký iný povrch. Ak má rovnica tvar

Ax2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, potom opisuje povrch druhého rádu (všeobecná rovnica povrchu druhého rádu). Výberom alebo transformáciou karteziánskych súradníc možno rovnicu čo najviac zjednodušiť, čo vedie k jednej z nasledujúcich foriem opisujúcich zodpovedajúci povrch.

1. Ako vodidlá slúžia kanonické rovnice valcov druhého rádu, ktorých generátory sú rovnobežné s osou Oz a zodpovedajúce krivky druhého rádu ležiace v rovine xOy:

(1.72), (1,73), y2 = 2 pixely (1,74)

eliptický, hyperbolický a parabolický valec.

(Pripomeňme, že valcová plocha je plocha získaná pohybom priamky, nazývanej tvoriaca čiara, rovnobežne so sebou samým. Priamka priesečníka tejto plochy s rovinou kolmou na tvoriacu čiaru sa nazýva vodiaca čiara – určuje tvar povrch).

Analogicky môžeme zapísať rovnice rovnakých valcových plôch s tvoriacimi priamkami rovnobežnými s osou Oy a osou Ox. Vedenie môže byť definované ako priesečník povrchu valca a príslušnej súradnicovej roviny, t.j. sústava rovníc v tvare:

2. Rovnice kužeľa druhého rádu s vrcholom v počiatku:

(1.75)

(osi kužeľa sú osi Oz, Oy a Ox, v tomto poradí)

3. Kanonická rovnica elipsoidu: (1,76);

Špeciálnymi prípadmi sú napríklad elipsoidy revolúcie – povrch získaný rotáciou elipsy okolo osi Oz (At

a > c je elipsoid stlačený, pričom a x2 + y2+ z2 + = r2 – rovnica gule s polomerom r so stredom v počiatku).

4. Kanonická rovnica jednolistového hyperboloidu

(znak „–“ sa môže objaviť pred ktorýmkoľvek z troch pojmov na ľavej strane – mení sa iba poloha plochy v priestore). Špeciálnymi prípadmi sú napríklad jednovrstvové hyperboloidy revolúcie – povrch získaný rotáciou hyperboly okolo osi Oz (imaginárnej osi hyperboly).

5. Kanonická rovnica dvojlistového hyperboloidu

(znak „–“ sa môže objaviť pred ktorýmkoľvek z troch výrazov na ľavej strane).

Špeciálnymi prípadmi sú dvojlistové rotačné hyperboloidy, napríklad povrch získaný rotáciou hyperboly okolo osi Oz (reálna os hyperboly).

6. Kanonická rovnica eliptického paraboloidu

(p >0, q >0) (1,79)

7. Kanonická rovnica hyperbolického paraboloidu

(p >0, q >0) (1,80)

(premenná z môže meniť miesto s ktoroukoľvek z premenných x a y - zmení sa poloha plochy v priestore).

Všimnite si, že predstavu o vlastnostiach (tvare) týchto povrchov možno ľahko získať zvážením rezov týchto povrchov rovinami kolmými na súradnicové osi.

Kontrolné otázky.

1) Aká množina bodov v priestore určuje rovnicu?

2) Aké sú kanonické rovnice valcov druhého rádu; kužeľ druhého rádu; elipsoid; jednolistový hyperboloid; dvojlistový hyperboloid; eliptický paraboloid; hyperbolický paraboloid?

1) Nájdite stred a polomer gule a označte správnu odpoveď:

a) C(1,5;-2,5;2), ; b) C(1,5;2,5;2);

2) Určte typ povrchu daný rovnicami: . Uveďte správnu odpoveď:

a) jednolistový hyperboloid; hyperbolický paraboloid; eliptický paraboloid; kužeľ.

b) dvojlistový hyperboloid; hyperbolický paraboloid; eliptický paraboloid; kužeľ.

§7. Rovina ako plocha prvého rádu. Všeobecná rovnica roviny. Rovnica roviny prechádzajúcej daným bodom kolmým na daný vektor Zaveďme v priestore pravouhlý karteziánsky súradnicový systém Oxyz a uvažujme rovnicu prvého stupňa (alebo lineárnu rovnicu) pre x, y, z: (7.1) Ax  Podľa  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Veta 7.1. Akákoľvek rovina môže byť špecifikovaná v ľubovoľnom pravouhlom kartézskom súradnicovom systéme rovnicou v tvare (7.1). Presne tak, ako v prípade priamky v rovine, platí aj opačná veta 7.1. Veta 7.2. Akákoľvek rovnica tvaru (7.1) definuje rovinu v priestore. Dôkaz viet 7.1 a 7.2 možno vykonať podobne ako dôkaz viet 2.1, 2.2. Z viet 7.1 a 7.2 vyplýva, že rovina a iba ona je povrchom prvého rádu. Rovnica (7.1) sa nazýva všeobecná rovinná rovnica. Jeho  koeficienty A, B, C sú interpretované geometricky ako súradnice vektora n kolmé na rovinu definovanú touto rovnicou. Tento vektor  n(A, B, C) sa nazýva normálový vektor k danej rovine. Rovnica (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 pre všetky možné hodnoty koeficientov A, B, C definuje všetky roviny prechádzajúce bodom M 0 ( x0, y0, z0). Nazýva sa to rovnica zväzku rovín. Voľba konkrétnych hodnôt A, B, C v (7.2) znamená voľbu roviny P od spojnice prechádzajúcej bodom M 0 kolmo na daný vektor n(A, B, C) (obr. 7.1 ). Príklad 7.1. Napíšte rovnicu roviny P prechádzajúcej bodom   A(1, 2, 0) rovnobežným s vektormi a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Normálový vektor n až P je ortogonálny k daným vektorom a a b (obr. 7.2),   preto pre n môžeme vziať ich vektor n súčin: A    P i j k   1 2  1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n 2 0 1 n   a 4k. Dosadíme súradnice z obr. 7.2. Napríklad 7.1 P M0  bod M 0 a vektor n do rovnice (7.2), dostaneme Obr. 7.1. K rovnici roviny zväzku rovín P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 alebo P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1 Ak sú koeficienty dva A, B, C rovnice (7.1) sa rovnajú nule, udáva rovinu rovnobežnú s jednou zo súradnicových rovín. Napríklad, keď A  B  0, C  0 – rovina P1: Cz  D  0 alebo P1: z   D / C (obr. 7.3). Je rovnobežná s rovinou Oxy, pretože jej normálový vektor  n1(0, 0, C) je na túto rovinu kolmý. Pre A  C  0, B  0 alebo B  C  0, A  0 platí rovnica (7. 1) definuje roviny P2: Podľa  D  0 a P3: Ax  D  0, rovnobežné so súradnicovými rovinami Oxz a Oyz, pretože   ich normálové vektory n2(0, B, 0) a n3(A, 0 , 0 ) sú na ne kolmé (obr. 7.3). Ak sa len jeden z koeficientov A, B, C rovnice (7.1) rovná nule, potom udáva rovinu rovnobežnú s jednou zo súradnicových osí (alebo ju obsahuje, ak D  0). Rovina P: Ax  By  D  0 je teda rovnobežná s osou Oz, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Obr. 7.4. Rovina P: Ax  B y  D  0, rovnobežná s osou Oz Obr. 7.3. Roviny sú rovnobežné so súradnicovými rovinami , pretože jeho normálový vektor n(A, B, 0) je kolmý na os Oz. Všimnite si, že prechádza cez priamku L: Ax  By  D  0 ležiacu v rovine Oxy (obr. 7.4). Pre D  0 rovnica (7.1) špecifikuje rovinu prechádzajúcu počiatkom. Príklad 7.2. Nájdite hodnoty parametra , pre ktoré rovnica x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 definuje rovinu P: a) rovnobežnú s jednou súradnicových rovín; b) rovnobežne s jednou zo súradnicových osí; c) prechod cez počiatok súradníc. Napíšme túto rovnicu v tvare x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) Pre akúkoľvek hodnotu  definuje rovnica (7.3) určitú rovinu, keďže koeficienty x, y, z v (7.3) súčasne nezanikajú. a) Pre   0 rovnica (7.3) definuje rovinu P rovnobežnú s rovinou Oxy, P: z  3 / 2 a pre   2 definuje rovinu P 2 rovnobežnú s rovinou Oyz, P: x  5/ 2. Pre žiadne hodnoty  nie je rovina P definovaná rovnicou (7.3) rovnobežná s rovinou Oxz, keďže koeficienty x, z v (7.3) súčasne nemiznú. b) Pre   1 rovnica (7.3) definuje rovinu P rovnobežnú s osou Oz, P: x  3y  2  0. Pre ostatné hodnoty parametra  nedefinuje rovinu rovnobežnú len s jednou zo súradnicových osí. c) Pre   3 rovnica (7.3) definuje rovinu P prechádzajúcu počiatkom, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Príklad 7.3. Napíšte rovnicu roviny P prechádzajúcej: a) bodom M (1,  3, 2) rovnobežným s osou roviny Oxy; b) os Ox a bod M (2, – 1, 3).   a) Pre normálový vektor n až P tu môžeme vziať vektor k (0, 0,1) - jednotkový vektor osi Oz, pretože je kolmý na rovinu Oxy. Dosadíme súradnice bodu  M (1,  3, 2) a vektora n do rovnice (7.2), dostaneme rovnicu roviny P: z 3  0.   b) Normálny vektor n do P je ortogonálne k vektorom i (1, 0, 0) a OM (2,  1, 3) ,  preto ich vektorový súčin môžeme považovať za n:    i j k       i n  OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  Dosadíme súradnice bodu O a vektora n do rovnice (7.2), dostaneme rovnicu roviny P:  3(y  0)  (z  0)  0 alebo P: 3 y  z  0 .◄ 3

S tým rozdielom, že namiesto „plochých“ grafov zvážime najbežnejšie priestorové povrchy a tiež sa naučíme, ako ich kompetentne zostaviť ručne. Strávil som pomerne dlhý čas výberom softvérových nástrojov na vytváranie trojrozmerných výkresov a našiel som niekoľko dobrých aplikácií, ale napriek všetkej jednoduchosti použitia tieto programy neriešia dôležitý praktický problém. Faktom je, že v dohľadnej historickej budúcnosti budú študenti stále vyzbrojení pravítkom a ceruzkou a aj keď majú kvalitnú „strojovú“ kresbu, mnohí ju nedokážu správne preniesť na kockovaný papier. Preto je v návode venovaná zvláštna pozornosť technike ručnej stavby a značnú časť ilustrácií stránky tvorí ručná práca.

Ako sa tento referenčný materiál líši od analógov?

Keďže mám slušné praktické skúsenosti, veľmi dobre viem, s ktorými povrchmi sa najčastejšie musíme potýkať v reálnych úlohách vyššej matematiky a dúfam, že vám tento článok pomôže rýchlo doplniť batožinu o príslušné vedomosti a aplikované zručnosti, ktoré tvoria 90 -95% prípadov by malo byť dosť.

Čo potrebuješ momentálne vedieť?

Najzákladnejšie:

Po prvé, musíte byť schopní správne postaviť priestorový karteziánsky súradnicový systém (pozri začiatok článku Grafy a vlastnosti funkcií) .

Čo získate po prečítaní tohto článku?

Fľaša Po zvládnutí učebných materiálov sa naučíte rýchlo určovať typ povrchu podľa jeho funkcie a/alebo rovnice, predstavovať si jeho umiestnenie v priestore a samozrejme kresliť. Je v poriadku, ak si po prvom prečítaní neuvedomíte všetko – k akémukoľvek odseku sa môžete kedykoľvek vrátiť podľa potreby.

Informácie sú v moci každého – na ich zvládnutie nepotrebujete žiadne super znalosti, špeciálne umelecké nadanie či priestorové videnie.

Začať!

V praxi sa zvyčajne udáva priestorová plocha funkcia dvoch premenných alebo rovnica tvaru (konštanta na pravej strane sa najčastejšie rovná nule alebo jednotke). Prvé označenie je typickejšie pre matematickú analýzu, druhé - pre analytická geometria. Rovnica je v podstate implicitne dané funkcia 2 premenných, ktoré sa v typických prípadoch dajú ľahko zredukovať na tvar . Dovoľte mi pripomenúť najjednoduchší príklad c:

–rovinná rovnica milý .

– funkcia roviny v výslovne .

Začnime s tým:

Bežné rovnice rovín

Typické možnosti usporiadania rovín v pravouhlom súradnicovom systéme sú podrobne diskutované na samom začiatku článku. Rovinná rovnica. Zastavme sa však ešte raz pri rovniciach, ktoré majú pre prax veľký význam.

V prvom rade musíte plne automaticky rozpoznať rovnice rovín, ktoré sú rovnobežné so súradnicovými rovinami. Úlomky rovín sú štandardne zobrazené ako obdĺžniky, ktoré v posledných dvoch prípadoch vyzerajú ako rovnobežníky. V predvolenom nastavení si môžete vybrať ľubovoľné rozmery (samozrejme v rozumných medziach), ale je žiaduce, aby bod, v ktorom súradnicová os „prepichne“ rovinu, bol stredom symetrie:


Presne povedané, súradnicové osi by mali byť na niektorých miestach znázornené bodkovanými čiarami, ale aby sme sa vyhli nejasnostiam, túto nuanciu zanedbáme.

– (ľavý výkres) nerovnosť určuje polpriestor, ktorý je od nás najďalej, s výnimkou samotnej roviny;

– (stredná kresba) nerovnosť určuje správny polpriestor vrátane roviny;

– (pravá kresba) dvojitá nerovnosť definuje „vrstvu“ umiestnenú medzi rovinami, vrátane oboch rovín.

Na samozahriatie:

Príklad 1

Nakreslite teleso ohraničené rovinami
Vytvorte systém nerovností, ktoré definujú dané teleso.

Spod olova vašej ceruzky by sa mal vynoriť starý známy. kváder. Nezabudnite, že neviditeľné okraje a plochy musia byť nakreslené bodkovanou čiarou. Dokončené kreslenie na konci lekcie.

prosím, NEZANEDBAJTE učebné úlohy, aj keď sa zdajú príliš jednoduché. V opačnom prípade sa vám môže stať, že ste to minuli raz, dvakrát a potom ste strávili pevnú hodinu a snažili sa prísť na trojrozmernú kresbu na nejakom skutočnom príklade. Mechanická práca vám navyše pomôže naučiť sa látku oveľa efektívnejšie a rozvíjať vašu inteligenciu! Nie náhodou sú deti v materských a základných školách zaťažené kreslením, modelovaním, stavebnými hračkami a inými úlohami na jemnú motoriku prstov. Prepáčte za odbočenie, ale moje dva zošity z vývojovej psychológie by nemali chýbať =)

Ďalšiu skupinu rovín budeme podmienene nazývať „priama úmernosť“ - sú to roviny prechádzajúce súradnicovými osami:

2) rovnica tvaru špecifikuje rovinu prechádzajúcu osou;

3) rovnica tvaru špecifikuje rovinu prechádzajúcu osou.

Aj keď formálny znak je zrejmý (ktorá premenná v rovnici chýba – rovina prechádza touto osou), je vždy užitočné pochopiť podstatu udalostí, ktoré sa dejú:

Príklad 2

Konštruovať rovinu

Aký je najlepší spôsob stavania? Navrhujem nasledujúci algoritmus:

Najprv prepíšme rovnicu do tvaru , z ktorého je jasne vidieť, že „y“ môže byť akýkoľvek významy. Opravme hodnotu, to znamená, že budeme brať do úvahy rovinu súradníc. Sada rovníc vesmírna čiara, ležiace v danej súradnicovej rovine. Znázornime túto čiaru na výkrese. Priamka prechádza počiatkom súradníc, takže na jej zostrojenie stačí nájsť jeden bod. Nechaj . Odložte bod a nakreslite priamku.

Teraz sa vrátime k rovnici roviny. Keďže „Y“ prijíma akýkoľvek hodnoty, potom sa priamka zostrojená v rovine nepretržite „replikuje“ doľava a doprava. Presne tak vzniká naša rovina prechádzajúca osou. Na dokončenie výkresu položíme dve rovnobežné čiary vľavo a vpravo od priamky a „uzatvoríme“ symbolický rovnobežník s priečnymi horizontálnymi segmentmi:

Keďže táto podmienka nekladie ďalšie obmedzenia, fragment lietadla mohol byť zobrazený v mierne menších alebo mierne väčších veľkostiach.

Zopakujme si ešte raz význam priestorovej lineárnej nerovnosti na príklade. Ako určiť polovičný priestor, ktorý definuje? Vezmime si nejaký bod nepatriaci do rovine, napríklad bod z polpriestoru najbližšie k nám a jeho súradnice dosadíme do nerovnosti:

Prijaté skutočná nerovnosť, čo znamená, že nerovnosť udáva spodný (vzhľadom na rovinu) polpriestor, pričom samotná rovina nie je zahrnutá do riešenia.

Príklad 3

Konštruovať lietadlá
A);
b) .

Sú to úlohy na vlastnú výstavbu, v prípade ťažkostí použite podobné uvažovanie. Stručné pokyny a nákresy na konci hodiny.

V praxi sú bežné najmä roviny rovnobežné s osou. Špeciálny prípad, keď rovina prechádza osou, bol práve diskutovaný v odseku „be“ a teraz budeme analyzovať všeobecnejší problém:

Príklad 4

Konštruovať rovinu

Riešenie: premenná „z“ nie je explicitne zahrnutá v rovnici, čo znamená, že rovina je rovnobežná s osou aplikácie. Použime rovnakú techniku ​​ako v predchádzajúcich príkladoch.

Prepíšme rovnicu roviny do tvaru z čoho je zrejmé, že „zet“ môže brať akýkoľvek významy. Opravme to a nakreslíme pravidelnú „plochú“ priamku v „natívnej“ rovine. Na jeho konštrukciu je vhodné vziať referenčné body.

Keďže „Z“ prijíma Všetky hodnoty, potom sa zostrojená priamka plynule „násobí“ nahor a nadol, čím sa vytvorí požadovaná rovina . Starostlivo zostavujeme rovnobežník primeranej veľkosti:

Pripravený.

Rovnica roviny v segmentoch

Najdôležitejšia aplikovaná odroda. Ak Všetky kurzov všeobecná rovnica roviny nenulové, potom môže byť zastúpená vo forme ktorá sa volá rovnica roviny v segmentoch. Je zrejmé, že rovina pretína súradnicové osi v bodoch a veľkou výhodou takejto rovnice je jednoduchosť konštrukcie výkresu:

Príklad 5

Konštruovať rovinu

Riešenie: Najprv vytvorte rovnicu roviny v segmentoch. Hodíme voľný termín doprava a vydelíme obe strany 12:

Nie, nie je tu žiadny preklep a všetko sa deje vo vesmíre! Navrhovaný povrch skúmame pomocou rovnakej metódy, ktorá bola nedávno použitá pre lietadlá. Prepíšme rovnicu do tvaru , z ktorého vyplýva, že „zet“ berie akýkoľvek významy. Zafixujme a zostrojme elipsu v rovine. Keďže „zet“ akceptuje Všetky hodnoty, potom sa zostrojená elipsa nepretržite „replikuje“ nahor a nadol. Je ľahké pochopiť, že povrch nekonečné:

Tento povrch je tzv eliptický valec. Volá sa elipsa (v akejkoľvek výške). sprievodca valec a nazývajú sa rovnobežné čiary prechádzajúce každým bodom elipsy formovanie valec (ktoré ho doslova tvoria). Os je os symetrie povrch (ale nie jeho časť!).

Súradnice akéhokoľvek bodu prislúchajúceho danému povrchu nevyhnutne vyhovujú rovnici .

Priestorový nerovnosť definuje „vnútro“ nekonečnej „potrubia“, vrátane samotného valcového povrchu, a teda opačná nerovnosť definuje množinu bodov mimo valca.

V praktických problémoch je najobľúbenejší špeciálny prípad kedy sprievodca valec je kruh:

Príklad 8

Zostrojte povrch daný rovnicou

Nie je možné zobraziť nekonečnú „rúru“, takže umenie sa zvyčajne obmedzuje na „orezávanie“.

Najprv je vhodné vytvoriť kruh s polomerom v rovine a potom niekoľko ďalších kruhov nad a pod. Výsledné kruhy ( sprievodcov valec) opatrne spojte štyrmi rovnobežnými priamkami ( formovanie valec):

Nezabudnite použiť bodkované čiary na čiary, ktoré sú pre nás neviditeľné.

Súradnice ľubovoľného bodu patriaceho do daného valca vyhovujú rovnici . Súradnice akéhokoľvek bodu ležiaceho presne vo vnútri „rúry“ vyhovujú nerovnosti a nerovnosť definuje množinu bodov vonkajšej časti. Pre lepšie pochopenie odporúčam zvážiť niekoľko konkrétnych bodov v priestore a presvedčiť sa na vlastné oči.

Príklad 9

Zostrojte plochu a nájdite jej priemet do roviny

Prepíšme rovnicu do tvaru z čoho vyplýva, že „x“ berie akýkoľvek významy. Opravme a znázornime v rovine kruh– so stredom v počiatku, polomer jednotky. Pretože "x" nepretržite prijíma Všetky hodnoty, potom zostrojený kruh generuje kruhový valec s osou symetrie. Nakreslite ďalší kruh ( sprievodca valec) a opatrne ich spojte rovnými čiarami ( formovanie valec). Miestami boli prekrytia, ale čo robiť, taký sklon:

Tentokrát som sa obmedzil na kúsok valca v medzere, a to nie je náhodné. V praxi je často potrebné zobraziť len malý fragment povrchu.

Tu je mimochodom 6 generujúcich čiar - dve ďalšie priame čiary „pokrývajú“ povrch z ľavého horného a pravého dolného rohu.

Teraz sa pozrime na priemet valca do roviny. Mnoho čitateľov chápe, čo je to projekcia, ale napriek tomu urobme ďalšie päťminútové fyzické cvičenie. Postavte sa a sklonte hlavu nad kresbou tak, aby bod osi smeroval kolmo na vaše čelo. Z tohto uhla sa valec javí ako jeho priemet do roviny. Ale zdá sa, že je to nekonečný pás, uzavretý medzi rovnými čiarami, vrátane samotných priamych čiar. Táto projekcia je presne taká domény funkcie (horný „žľab“ valca), (spodný „žľab“).

Mimochodom, objasnime situáciu s projekciami na iné súradnicové roviny. Nechajte slnečné lúče svietiť na valec od špičky a pozdĺž osi. Tieň (priemet) valca do roviny je podobný nekonečný pás - časť roviny ohraničená priamkami (- ľubovoľnými), vrátane samotných priamok.

Ale projekcia do roviny je trochu iná. Ak sa pozriete na valec z vrcholu osi, potom sa premietne do kruhu s jednotkovým polomerom , ktorým sme stavbu začali.

Príklad 10

Zostrojte povrch a nájdite jeho projekcie do súradnicových rovín

Toto je úloha, ktorú musíte vyriešiť sami. Ak podmienka nie je veľmi jasná, urovnajte obe strany a analyzujte výsledok; zistiť, ktorá časť valca je určená funkciou. Použite stavebnú techniku ​​opakovane použitú vyššie. Krátke riešenie, kresba a komentáre na konci hodiny.

Eliptické a iné valcové plochy môžu byť posunuté vzhľadom na súradnicové osi, napríklad:

(na základe známych motívov článku o riadky 2. rádu) – valec jednotkového polomeru s čiarou súmernosti prechádzajúcou bodom rovnobežným s osou. V praxi sa však s takýmito valcami stretávame pomerne zriedkavo a je úplne neuveriteľné stretnúť sa s valcovou plochou, ktorá je „šikmá“ vzhľadom na súradnicové osi.

Parabolické valce

Ako už názov napovedá, sprievodca taký valec je parabola.

Príklad 11

Zostrojte povrch a nájdite jeho projekcie do súradnicových rovín.

Tomuto príkladu som nemohla odolať =)

Riešenie: Poďme po vychodených cestách. Prepíšme rovnicu do tvaru, z ktorého vyplýva, že „zet“ môže mať akúkoľvek hodnotu. Zafixujme a zostrojme obyčajnú parabolu na rovine, pričom sme predtým označili triviálne podporné body. Keďže „Z“ prijíma Všetky hodnoty, potom sa zostrojená parabola kontinuálne „replikuje“ hore a dole do nekonečna. Položíme rovnakú parabolu, povedzme, vo výške (v rovine) a opatrne ich spojíme rovnobežnými priamkami ( formovanie valca):

pripomínam ti užitočná technika: ak si spočiatku nie ste istí kvalitou kresby, potom je lepšie najskôr nakresliť čiary veľmi tenko ceruzkou. Potom zhodnotíme kvalitu skice, zistíme oblasti, kde je povrch skrytý našim očiam a až potom zatlačíme na stylus.

Projekcie.

1) Priemet valca do roviny je parabola. Treba poznamenať, že v tomto prípade sa o tom nedá hovoriť doména definície funkcie dvoch premenných– z dôvodu, že valcová rovnica nie je redukovateľná na funkčný tvar.

2) Priemet valca na rovinu je polrovina vrátane osi

3) A nakoniec, priemetom valca do roviny je celá rovina.

Príklad 12

Zostrojte parabolické valce:

a) obmedzte sa na fragment povrchu v blízkom polopriestore;

b) v intervale

V prípade ťažkostí sa neponáhľame a neuvažujeme analogicky s predchádzajúcimi príkladmi, našťastie je technológia dôkladne vyvinutá. Nie je kritické, ak sú povrchy trochu nemotorné - je dôležité správne zobraziť základný obrázok. Ja sám sa s krásou línií veľmi nezaoberám, ak dostanem prijateľnú kresbu s stupňom C, zvyčajne to nerobím. Mimochodom, vzorové riešenie využíva inú techniku ​​na zlepšenie kvality kresby ;-)

Hyperbolické valce

Sprievodcovia takéto valce sú hyperboly. Tento typ povrchu je podľa mojich pozorovaní oveľa menej bežný ako predchádzajúce typy, takže sa obmedzím na jediný schematický nákres hyperbolického valca:

Princíp uvažovania je tu úplne rovnaký - obvyklý školská hyperbola z roviny sa plynule „násobí“ hore a dole do nekonečna.

Uvažované valce patria medzi tzv Povrchy 2. rádu a teraz sa budeme aj naďalej zoznamovať s ďalšími predstaviteľmi tejto skupiny:

elipsoidný. Guľa a lopta

Kanonická rovnica elipsoidu v pravouhlom súradnicovom systéme má tvar , kde sú kladné čísla ( nápravové hriadele elipsoid), čo vo všeobecnom prípade rôzne. Elipsoid sa nazýva povrch, takže telo, obmedzený daným povrchom. Telo, ako mnohí uhádli, je určené nerovnosťou a súradnice akéhokoľvek vnútorného bodu (ako aj akéhokoľvek povrchového bodu) nevyhnutne spĺňajú túto nerovnosť. Návrh je symetrický vzhľadom na súradnicové osi a súradnicové roviny:

Pôvod pojmu „elipsoid“ je tiež zrejmý: ak je povrch „rozrezaný“ súradnicovými rovinami, výsledkom rezov budú tri rôzne (vo všeobecnom prípade)

Rovnica prvého rádu s tromi neznámymi má tvar Ax + Ву + Cz + D = 0 a aspoň jeden z koeficientov A, B, C sa musí líšiť od nuly. Špecifikuje v priestore v pravouhlý súradnicový systém Oxyz algebraická plocha prvého rádu.

Vlastnosti algebraickej plochy prvého rádu sú v mnohom podobné vlastnostiam priamky v rovine - geometrický obraz rovnice prvého rádu s dvoma neznámymi.

Veta 5.1. Akákoľvek rovina v priestore je plocha prvého rádu a každá plocha prvého rádu v priestore je rovina.

◄ Tvrdenie vety aj jej dôkaz sú podobné vete 4.1. Nech je totiž rovina π definovaná jej bodom M 0 a nenulový vektor n, ktorý je naň kolmý. Potom sa množina všetkých bodov v priestore rozdelí na tri podmnožiny. Prvý pozostáva z bodov patriacich do roviny a ďalšie dva - z bodov umiestnených na jednej a druhej strane roviny. Ktorá z týchto množín patrí do ľubovoľného bodu M priestoru závisí od znamienka skalárny súčin nM 0 M. Ak bod M patrí do roviny (obr. 5.1, a), potom uhol medzi vektormi n a M 0 M je priamy, a preto podľa vety 2.7 je ich skalárny súčin rovný nule:

nMo M = 0

Ak bod M nepatrí do roviny, potom je uhol medzi vektormi n a M 0 M ostrý alebo tupý, a preto nM 0 M > 0 alebo nM 0 M

Označme súradnice bodov M0, M a vektor n až (x°; y°; z°), (x; y; z) a (A; B; C). Pretože M 0 M = (x - x 0 0; y - y 0; z - z 0 ), potom zapísanie skalárneho súčinu z (5.1) v súradnicovom tvare (2.14) ako súčet párových súčinov rovnakých súradníc vektorov n a M 0 M získame podmienku, aby bod M patril do uvažovanej roviny v tvare

A(x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0. (5.2)

Otvorením zátvoriek získate rovnicu

Ax + Wu + Cz + D = 0, (5,3)

kde D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 a aspoň jeden z koeficientov A, B alebo C je odlišný od nuly, pretože vektor n = (A; B; C) je nenulový. To znamená, že rovina je geometrickým obrazom rovnice (5.3), t.j. algebraická plocha prvého rádu.

Vykonaním vyššie uvedeného dôkazu prvého tvrdenia vety v opačnom poradí dokážeme, že geometrickým obrazom rovnice Ax + Ву + Cz + D = 0, A 2 + В 2 + C 2 = 0 je rovina . Vyberme tri čísla (x = x 0, y = y 0, z = z 0), ktoré vyhovujú tejto rovnici. Takéto čísla existujú. Napríklad, keď A ≠ 0 môžeme dať y 0 = 0, z 0 = 0 a potom x 0 = - D/A. Zvoleným číslam zodpovedá bod M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0), ktorý patrí geometrickému obrazu danej rovnice. Z rovnosti Ax 0 + Ву 0 + Cz 0 + D = 0 vyplýva, že D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 . Dosadením tohto výrazu do uvažovanej rovnice dostaneme Ax + Ву + Cz - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 = 0, čo je ekvivalentné (5.2). Rovnosť (5.2) možno považovať za kritérium ortogonality vektora n = (A; B; C) a M 0 M, kde bod M má súradnice (x; y; z). Toto kritérium je splnené pre body roviny prechádzajúce bodom M 0 kolmým na vektor n = (A; B; C) a nie je splnené pre ostatné body v priestore. To znamená, že rovnica (5.2) je rovnicou označenej roviny.

Rovnica Ax + Wu + Cz + D = 0 sa nazýva všeobecná rovinná rovnica. Koeficienty A, B, C pre neznáme v tejto rovnici majú jasný geometrický význam: vektor n = (A; B; C) je kolmý na rovinu. Volá sa vektor normálnej roviny. Rovnako ako všeobecná rovnica roviny je určená až do (nenulového) číselného faktora.

Pomocou známych súradníc bodu patriaceho do určitej roviny a nenulového vektora naňho kolmého sa pomocou (5.2) zapíše rovnica roviny bez akýchkoľvek výpočtov.

Príklad 5.1. Nájdite všeobecnú rovnicu roviny kolmej na vektor polomeru bod A(2; 5; 7) a prechádzajúci bodom M 0 (3; - 4; 1).

Keďže nenulový vektor OA = (2; 5; 7) je kolmý na požadovanú rovinu, jeho rovnica typu (5.2) má tvar 2(x - 3) + 5(y + 4) + 7(z- 1) = 0. Otvorením zátvoriek získame požadovanú všeobecnú rovnicu roviny 2x + 5y + 7z + 7 = 0.