V tejto lekcii sa naučíme, ako rozložiť štvorcové trojčlenky na lineárne faktory. Na to je potrebné pripomenúť Vietovu vetu a jej inverznú. Táto zručnosť nám pomôže rýchlo a pohodlne rozložiť štvorcové trojčlenky na lineárne faktory a tiež zjednodušiť redukciu zlomkov pozostávajúcich z výrazov.

Takže späť ku kvadratickej rovnici, kde .

To, čo máme na ľavej strane, sa nazýva štvorcová trojčlenka.

Veta je pravdivá: Ak sú korene štvorcovej trojčlenky, potom je identita pravdivá

Kde je vodiaci koeficient, sú korene rovnice.

Máme teda kvadratickú rovnicu - štvorcový trinom, kde korene kvadratickej rovnice sa nazývajú aj korene kvadratickej trinómie. Ak teda máme korene štvorcovej trojčlenky, potom sa táto trojčlenka rozloží na lineárne faktory.

dôkaz:

Dôkaz tejto skutočnosti sa vykonáva pomocou Vietovej vety, o ktorej sme uvažovali v predchádzajúcich lekciách.

Pripomeňme si, čo nám hovorí Vietin teorém:

Ak sú odmocniny štvorcového trojčlenu pre ktoré , potom .

Z tejto vety vyplýva nasledujúce tvrdenie, že .

Vidíme, že podľa Vietovej vety, t.j. nahradením týchto hodnôt do vyššie uvedeného vzorca, dostaneme nasledujúci výraz

Q.E.D.

Pripomeňme si, že sme dokázali vetu, že ak sú korene štvorcového trojčlenu, rozklad je platný.

Teraz si pripomeňme príklad kvadratickej rovnice, ku ktorej sme pomocou Vietovej vety vybrali korene. Z tohto faktu môžeme vďaka dokázanej vete získať nasledujúcu rovnosť:

Teraz skontrolujeme správnosť tejto skutočnosti jednoduchým rozšírením zátvoriek:

Vidíme, že sme súčinili správne a každá trojčlenka, ak má korene, môže byť podľa tejto vety súčinená na lineárne súčiniteľa podľa vzorca

Pozrime sa však, či je pre niektorú rovnicu takáto faktorizácia možná:

Vezmime si napríklad rovnicu. Najprv skontrolujme znamienko diskriminantu

A pamätáme si, že na splnenie vety, ktorú sme sa naučili, musí byť D väčšie ako 0, preto je v tomto prípade faktorizácia podľa študovanej vety nemožná.

Preto formulujeme novú vetu: ak štvorcová trojčlenka nemá korene, potom ju nemožno rozložiť na lineárne faktory.

Takže sme zvážili Vietovu vetu, možnosť rozkladu štvorcového trinomu na lineárne faktory, a teraz vyriešime niekoľko problémov.

Úloha č.1

V tejto skupine budeme vlastne riešiť problém inverzne k predloženému. Mali sme rovnicu a našli sme jej korene, rozkladali sme sa na faktory. Tu urobíme opak. Povedzme, že máme korene kvadratickej rovnice

Inverzný problém je tento: napíšte kvadratickú rovnicu tak, aby boli jej korene.

Existujú 2 spôsoby, ako tento problém vyriešiť.

Pretože sú korene rovnice je kvadratická rovnica, ktorej korene sú dané číslami. Teraz otvorme zátvorky a skontrolujte:

Toto bol prvý spôsob, ako sme vytvorili kvadratickú rovnicu s danými koreňmi, ktorá nemá žiadne iné korene, pretože každá kvadratická rovnica má najviac dva korene.

Táto metóda zahŕňa použitie inverznej Vietovej vety.

Ak sú korene rovnice, potom spĺňajú podmienku, že .

Pre redukovanú kvadratickú rovnicu , , teda v tomto prípade a .

Takto sme vytvorili kvadratickú rovnicu, ktorá má dané korene.

Úloha č. 2

Musíte znížiť zlomok.

V čitateli máme trojčlenku a v menovateli trojčlenku a trojčlenky môžu alebo nemusia byť rozkladané na súčin. Ak sú čitateľ aj menovateľ faktorizovaný, potom medzi nimi môžu byť rovnaké faktory, ktoré možno znížiť.

V prvom rade je potrebné rozložiť čitateľa na faktor.

Najprv musíte skontrolovať, či je možné túto rovnicu faktorizovať, nájsť diskriminant . Keďže , potom znamienko závisí od súčinu (musí byť menšie ako 0), v tomto príklade , t.j. daná rovnica má korene.

Na riešenie používame Vietovu vetu:

V tomto prípade, keďže máme čo do činenia s koreňmi, bude dosť ťažké jednoducho vybrať korene. Vidíme však, že koeficienty sú vyrovnané, t. j. ak predpokladáme, že a túto hodnotu dosadíme do rovnice, dostaneme nasledujúci systém: t.j. 5-5=0. Zvolili sme teda jeden z koreňov tejto kvadratickej rovnice.

Druhý koreň budeme hľadať tak, že do sústavy rovníc dosadíme to, čo je už známe, napríklad , t.j. .

Našli sme teda obidva korene kvadratickej rovnice a ich hodnoty môžeme nahradiť do pôvodnej rovnice, aby sme ju vynásobili:

Pripomeňme si pôvodný problém, potrebovali sme znížiť zlomok.

Skúsme problém vyriešiť dosadením namiesto čitateľa .

Je potrebné nezabudnúť, že v tomto prípade sa menovateľ nemôže rovnať 0, t.j.

Ak sú tieto podmienky splnené, potom sme pôvodný zlomok zredukovali na tvar .

Úloha č. 3 (úloha s parametrom)

Pri akých hodnotách parametra je súčet koreňov kvadratickej rovnice

Ak korene tejto rovnice existujú, potom , otázka je kedy .

Aby bolo možné faktorizovať, je potrebné zjednodušiť výrazy. To je potrebné na to, aby bolo možné ďalej znižovať. Rozklad polynómu má zmysel vtedy, keď jeho stupeň nie je nižší ako druhý. Polynóm s prvým stupňom sa nazýva lineárny.

Článok odhalí všetky koncepty rozkladu, teoretické základy a metódy faktorizácie polynómu.

teória

Veta 1

Keď ľubovoľný polynóm so stupňom n má tvar P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , sú reprezentované ako súčin s konštantným faktorom s najvyšším stupňom a n a n lineárnych faktorov (x - x i), i = 1 , 2 , … , n , potom P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1). . . · (x - x 1) , kde x i , i = 1 , 2 , … , n - toto sú korene polynómu.

Veta je určená pre korene komplexného typu x i , i = 1 , 2 , … , n a pre komplexné koeficienty a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . To je základ každého rozkladu.

Keď koeficienty tvaru a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n sú reálne čísla, potom sa komplexné korene budú vyskytovať v konjugovaných pároch. Napríklad korene x 1 a x 2 súvisia s polynómom v tvare P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sa považujú za komplexne konjugované, potom sú ostatné korene reálne, a preto dostaneme, že polynóm má tvar P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, kde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).

Komentujte

Korene polynómu sa môžu opakovať. Uvažujme o dôkaze vety algebry, o dôsledkoch Bezoutovej vety.

Základná veta algebry

Veta 2

Každý polynóm so stupňom n má aspoň jeden koreň.

Bezoutova veta

Po delení polynómu tvaru P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s) , potom dostaneme zvyšok, ktorý sa rovná polynómu v bode s , potom dostaneme

Pn x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , kde Q n - 1 (x) je polynóm so stupňom n - 1 .

Dôsledok Bezoutovej vety

Keď sa koreň polynómu P n (x) považuje za s , potom P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Qn - 1 (x). Tento dôsledok je dostatočný, keď sa použije na opis riešenia.

Faktorizácia štvorcového trojčlenu

Štvorcový trojčlen v tvare a x 2 + b x + c možno rozdeliť do lineárnych faktorov. potom dostaneme, že a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), kde x 1 a x 2 sú korene (komplexné alebo skutočné).

To ukazuje, že samotný rozklad sa redukuje na neskoršie riešenie kvadratickej rovnice.

Príklad 1

Faktorizujte štvorcovú trojčlenku.

Riešenie

Je potrebné nájsť korene rovnice 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť hodnotu diskriminantu podľa vzorca, potom dostaneme D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Preto to máme

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Odtiaľ dostaneme, že 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Ak chcete vykonať kontrolu, musíte otvoriť zátvorky. Potom dostaneme výraz vo forme:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Po overení sa dostávame k pôvodnému výrazu. To znamená, že môžeme konštatovať, že rozšírenie je správne.

Príklad 2

Rozlož štvorcovú trojčlenku v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 .

Riešenie

Dostaneme, že je potrebné vypočítať výslednú kvadratickú rovnicu v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Ak chcete nájsť korene, musíte určiť hodnotu diskriminantu. Chápeme to

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816

Odtiaľ dostaneme, že 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

Príklad 3

Rozlož polynóm na faktor 2 x 2 + 1.

Riešenie

Teraz musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu 2 x 2 + 1 = 0 a nájsť jej korene. Chápeme to

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Tieto korene sa nazývajú komplexne konjugované, čo znamená, že samotný rozklad môže byť vyjadrený ako 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Príklad 4

Rozviňte štvorcovú trojčlenku x 2 + 1 3 x + 1 .

Riešenie

Najprv musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare x 2 + 1 3 x + 1 = 0 a nájsť jej korene.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

Po získaní koreňov píšeme

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Komentujte

Ak je hodnota diskriminantu záporná, potom polynómy zostanú polynómy druhého rádu. Z toho vyplýva, že ich nebudeme rozkladať na lineárne faktory.

Metódy faktorizácie polynómu vyššieho stupňa ako druhého

Rozklad predpokladá univerzálnu metódu. Väčšina všetkých prípadov je založená na dôsledku Bezoutovej vety. Aby ste to dosiahli, musíte vybrať hodnotu odmocniny x 1 a znížiť jej stupeň delením polynómom číslom 1 delením číslom (x - x 1) . Výsledný polynóm potrebuje nájsť koreň x 2 a proces vyhľadávania je cyklický, kým nedosiahneme úplný rozklad.

Ak sa koreň nenájde, potom sa použijú iné metódy faktorizácie: zoskupenie, ďalšie výrazy. Táto téma predpokladá riešenie rovníc s vyššími mocninami a celočíselnými koeficientmi.

Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek

Uvažujme prípad, keď sa voľný člen rovná nule, potom tvar polynómu bude P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Je vidieť, že koreň takéhoto polynómu sa bude rovnať x 1 \u003d 0, potom môžete polynóm reprezentovať vo forme výrazu P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)

Táto metóda sa považuje za vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek.

Príklad 5

Rozlož polynóm tretieho stupňa na faktor 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Riešenie

Vidíme, že x 1 \u003d 0 je koreň daného polynómu, potom môžeme x z celého výrazu uzavrieť. Dostaneme:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Prejdime k hľadaniu koreňov štvorcového trojčlenu 4 x 2 + 8 x - 1. Poďme nájsť diskriminant a korene:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Potom z toho vyplýva

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Na začiatok zoberme do úvahy metódu rozkladu obsahujúcu celočíselné koeficienty v tvare P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , kde koeficient najvyššej moci je 1 .

Ak má polynóm celé číslo, potom sa považujú za deliteľa voľného člena.

Príklad 6

Rozviňte výraz f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Riešenie

Zvážte, či existujú celé čísla. Je potrebné zapísať deliteľa čísla - 18. Dostaneme, že ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Z toho vyplýva, že tento polynóm má celočíselné korene. Môžete skontrolovať podľa Hornerovej schémy. Je to veľmi pohodlné a umožňuje vám rýchlo získať koeficienty expanzie polynómu:

Z toho vyplýva, že x \u003d 2 a x \u003d - 3 sú korene pôvodného polynómu, ktorý možno znázorniť ako súčin tvaru:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Prejdeme k rozkladu štvorcového trojčlenu v tvare x 2 + 2 x + 3 .

Keďže diskriminant je záporný, znamená to, že neexistujú žiadne skutočné korene.

odpoveď: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Komentujte

Namiesto Hornerovej schémy je dovolené použiť výber koreňa a delenie polynómu polynómom. Pristúpme k úvahe o rozvoji polynómu obsahujúceho celočíselné koeficienty tvaru P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , pričom najvyššia z nich sa nerovná jednej.

Tento prípad sa odohráva pre zlomkové racionálne zlomky.

Príklad 7

Faktorizujte f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Riešenie

Je potrebné zmeniť premennú y = 2 x , treba prejsť na polynóm s koeficientmi rovnými 1 na najvyššom stupni. Musíte začať vynásobením výrazu číslom 4. Chápeme to

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Keď má výsledná funkcia tvaru g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 celé čísla, potom ich nájdenie patrí medzi deliteľov voľného člena. Záznam bude vyzerať takto:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

Pristúpme k výpočtu funkcie g (y) v týchto bodoch, aby sme dostali nulu. Chápeme to

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Dostaneme, že y \u003d - 5 je koreň rovnice tvaru y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, čo znamená, že x \u003d y 2 \u003d - 5 2 je koreň pôvodnej funkcie.

Príklad 8

Je potrebné deliť stĺpcom 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2.

Riešenie

Napíšeme a dostaneme:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Kontrola deliteľov zaberie veľa času, preto je výhodnejšie použiť faktorizáciu výsledného štvorcového trinómu tvaru x 2 + 7 x + 3. Vyrovnaním nuly nájdeme diskriminant.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Z toho teda vyplýva

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Umelé triky pri faktorizácii polynómu

Racionálne korene nie sú vlastné všetkým polynómom. Aby ste to dosiahli, musíte použiť špeciálne metódy na nájdenie faktorov. Ale nie všetky polynómy sa dajú rozložiť alebo reprezentovať ako súčin.

Metóda zoskupovania

Existujú prípady, keď môžete zoskupiť členy polynómu, aby ste našli spoločný faktor a vyňali ho zo zátvoriek.

Príklad 9

Rozložte polynóm na faktor x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Riešenie

Pretože koeficienty sú celé čísla, potom korene môžu byť pravdepodobne aj celé čísla. Na kontrolu vezmeme hodnoty 1, - 1, 2 a - 2, aby sme vypočítali hodnotu polynómu v týchto bodoch. Chápeme to

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

To ukazuje, že neexistujú žiadne korene, je potrebné použiť iný spôsob rozkladu a riešenia.

Vyžaduje sa zoskupenie:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Po zoskupení pôvodného polynómu je potrebné ho znázorniť ako súčin dvoch štvorcových trojčlenov. Aby sme to dosiahli, musíme faktorizovať. dostaneme to

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Komentujte

Jednoduchosť zoskupovania neznamená, že výber výrazov je dostatočne jednoduchý. Neexistuje jednoznačný spôsob, ako to vyriešiť, preto je potrebné použiť špeciálne vety a pravidlá.

Príklad 10

Rozložte polynóm na faktor x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Riešenie

Daný polynóm nemá celočíselné korene. Pojmy by mali byť zoskupené. Chápeme to

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Po faktoringu to dostaneme

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Použitie skráteného násobenia a Newtonových binomických vzorcov na rozklad polynómu

Zo vzhľadu často nie je vždy jasné, aký spôsob pri rozklade použiť. Po vykonaní transformácií môžete zostaviť priamku pozostávajúcu z Pascalovho trojuholníka, inak sa nazývajú Newtonov binom.

Príklad 11

Rozlož polynóm na faktor x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Riešenie

Je potrebné previesť výraz do formy

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Postupnosť koeficientov súčtu v zátvorkách je označená výrazom x + 1 4 .

Takže máme x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

Po nanesení rozdielu štvorcov dostaneme

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Zvážte výraz, ktorý je v druhej zátvorke. Je jasné, že tam nie sú žiadne kone, takže by sa mal znova použiť vzorec pre rozdiel štvorcov. Dostávame výraz ako

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Príklad 12

Faktorizujte x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Riešenie

Zmeňme výraz. Chápeme to

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie rozdielu kociek. Dostaneme:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metóda nahradenia premennej pri faktorizácii polynómu

Pri zmene premennej sa stupeň zníži a polynóm sa rozkladá na faktor.

Príklad 13

Rozlož polynóm v tvare x 6 + 5 x 3 + 6 .

Riešenie

Z podmienky je zrejmé, že je potrebné urobiť náhradu y = x 3 . Dostaneme:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Korene výslednej kvadratickej rovnice sú teda y = - 2 a y = - 3

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie súčtu kociek. Dostávame výrazy vo forme:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

To znamená, že sme dosiahli požadované rozšírenie.

Vyššie uvedené prípady pomôžu pri zvažovaní a faktorizácii polynómu rôznymi spôsobmi.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

V tejto lekcii sa naučíme, ako rozložiť štvorcové trojčlenky na lineárne faktory. Na to je potrebné pripomenúť Vietovu vetu a jej inverznú. Táto zručnosť nám pomôže rýchlo a pohodlne rozložiť štvorcové trojčlenky na lineárne faktory a tiež zjednodušiť redukciu zlomkov pozostávajúcich z výrazov.

Takže späť ku kvadratickej rovnici, kde .

To, čo máme na ľavej strane, sa nazýva štvorcová trojčlenka.

Veta je pravdivá: Ak sú korene štvorcovej trojčlenky, potom je identita pravdivá

Kde je vodiaci koeficient, sú korene rovnice.

Máme teda kvadratickú rovnicu - štvorcový trinom, kde korene kvadratickej rovnice sa nazývajú aj korene kvadratickej trinómie. Ak teda máme korene štvorcovej trojčlenky, potom sa táto trojčlenka rozloží na lineárne faktory.

dôkaz:

Dôkaz tejto skutočnosti sa vykonáva pomocou Vietovej vety, o ktorej sme uvažovali v predchádzajúcich lekciách.

Pripomeňme si, čo nám hovorí Vietin teorém:

Ak sú odmocniny štvorcového trojčlenu pre ktoré , potom .

Z tejto vety vyplýva nasledujúce tvrdenie, že .

Vidíme, že podľa Vietovej vety, t.j. nahradením týchto hodnôt do vyššie uvedeného vzorca, dostaneme nasledujúci výraz

Q.E.D.

Pripomeňme si, že sme dokázali vetu, že ak sú korene štvorcového trojčlenu, rozklad je platný.

Teraz si pripomeňme príklad kvadratickej rovnice, ku ktorej sme pomocou Vietovej vety vybrali korene. Z tohto faktu môžeme vďaka dokázanej vete získať nasledujúcu rovnosť:

Teraz skontrolujeme správnosť tejto skutočnosti jednoduchým rozšírením zátvoriek:

Vidíme, že sme súčinili správne a každá trojčlenka, ak má korene, môže byť podľa tejto vety súčinená na lineárne súčiniteľa podľa vzorca

Pozrime sa však, či je pre niektorú rovnicu takáto faktorizácia možná:

Vezmime si napríklad rovnicu. Najprv skontrolujme znamienko diskriminantu

A pamätáme si, že na splnenie vety, ktorú sme sa naučili, musí byť D väčšie ako 0, preto je v tomto prípade faktorizácia podľa študovanej vety nemožná.

Preto formulujeme novú vetu: ak štvorcová trojčlenka nemá korene, potom ju nemožno rozložiť na lineárne faktory.

Takže sme zvážili Vietovu vetu, možnosť rozkladu štvorcového trinomu na lineárne faktory, a teraz vyriešime niekoľko problémov.

Úloha č.1

V tejto skupine budeme vlastne riešiť problém inverzne k predloženému. Mali sme rovnicu a našli sme jej korene, rozkladali sme sa na faktory. Tu urobíme opak. Povedzme, že máme korene kvadratickej rovnice

Inverzný problém je tento: napíšte kvadratickú rovnicu tak, aby boli jej korene.

Existujú 2 spôsoby, ako tento problém vyriešiť.

Pretože sú korene rovnice je kvadratická rovnica, ktorej korene sú dané číslami. Teraz otvorme zátvorky a skontrolujte:

Toto bol prvý spôsob, ako sme vytvorili kvadratickú rovnicu s danými koreňmi, ktorá nemá žiadne iné korene, pretože každá kvadratická rovnica má najviac dva korene.

Táto metóda zahŕňa použitie inverznej Vietovej vety.

Ak sú korene rovnice, potom spĺňajú podmienku, že .

Pre redukovanú kvadratickú rovnicu , , teda v tomto prípade a .

Takto sme vytvorili kvadratickú rovnicu, ktorá má dané korene.

Úloha č. 2

Musíte znížiť zlomok.

V čitateli máme trojčlenku a v menovateli trojčlenku a trojčlenky môžu alebo nemusia byť rozkladané na súčin. Ak sú čitateľ aj menovateľ faktorizovaný, potom medzi nimi môžu byť rovnaké faktory, ktoré možno znížiť.

V prvom rade je potrebné rozložiť čitateľa na faktor.

Najprv musíte skontrolovať, či je možné túto rovnicu faktorizovať, nájsť diskriminant . Keďže , potom znamienko závisí od súčinu (musí byť menšie ako 0), v tomto príklade , t.j. daná rovnica má korene.

Na riešenie používame Vietovu vetu:

V tomto prípade, keďže máme čo do činenia s koreňmi, bude dosť ťažké jednoducho vybrať korene. Vidíme však, že koeficienty sú vyrovnané, t. j. ak predpokladáme, že a túto hodnotu dosadíme do rovnice, dostaneme nasledujúci systém: t.j. 5-5=0. Zvolili sme teda jeden z koreňov tejto kvadratickej rovnice.

Druhý koreň budeme hľadať tak, že do sústavy rovníc dosadíme to, čo je už známe, napríklad , t.j. .

Našli sme teda obidva korene kvadratickej rovnice a ich hodnoty môžeme nahradiť do pôvodnej rovnice, aby sme ju vynásobili:

Pripomeňme si pôvodný problém, potrebovali sme znížiť zlomok.

Skúsme problém vyriešiť dosadením namiesto čitateľa .

Je potrebné nezabudnúť, že v tomto prípade sa menovateľ nemôže rovnať 0, t.j.

Ak sú tieto podmienky splnené, potom sme pôvodný zlomok zredukovali na tvar .

Úloha č. 3 (úloha s parametrom)

Pri akých hodnotách parametra je súčet koreňov kvadratickej rovnice

Ak korene tejto rovnice existujú, potom , otázka je kedy .

Rozšírenie polynómov na získanie produktu sa niekedy zdá mätúce. Ale nie je to také ťažké, ak pochopíte proces krok za krokom. Článok podrobne popisuje, ako rozdeliť štvorcovú trojčlenku na rozklad.

Mnohí nechápu, ako faktorizovať štvorcovú trojčlenku a prečo sa to robí. Spočiatku sa môže zdať, že ide o zbytočné cvičenie. Ale v matematike sa nič nerobí len tak. Transformácia je potrebná na zjednodušenie výrazu a pohodlia výpočtu.

Polynóm v tvare - ax² + bx + c, sa nazýva štvorcová trojčlenka. Výraz „a“ musí byť záporný alebo kladný. V praxi sa tento výraz nazýva kvadratická rovnica. Preto niekedy hovoria inak: ako rozšíriť kvadratickú rovnicu.

Zaujímavé!Štvorcový polynóm sa nazýva podľa jeho najväčšieho stupňa - štvorec. A trojčlenka - kvôli 3 zložkovým pojmom.

Niektoré ďalšie druhy polynómov:

• lineárny binomický (6x+8);
• kubický štvoruholník (x³+4x²-2x+9).

Faktorizácia štvorcového trojčlenu

Po prvé, výraz sa rovná nule, potom musíte nájsť hodnoty koreňov x1 a x2. Nemusí tam byť žiadne korene, môže existovať jeden alebo dva korene. Prítomnosť koreňov je určená diskriminantom. Jeho vzorec musí byť známy naspamäť: D=b²-4ac.

Ak je výsledok D negatívny, neexistujú žiadne korene. Ak je kladný, existujú dva korene. Ak je výsledok nula, koreň je jedna. Korene sú tiež vypočítané podľa vzorca.

Ak je výsledkom výpočtu diskriminantu nula, môžete použiť ktorýkoľvek zo vzorcov. V praxi sa vzorec jednoducho skráti: -b / 2a.

Vzorce pre rôzne hodnoty diskriminantu sú rôzne.

Ak je D kladné:

Ak je D nula:

Online kalkulačky

Na internete je online kalkulačka. Dá sa použiť na faktorizáciu. Niektoré zdroje poskytujú možnosť vidieť riešenie krok za krokom. Takéto služby pomáhajú lepšie porozumieť téme, ale musíte sa pokúsiť dobre pochopiť.

Užitočné video: Faktorizácia štvorcového trojčlenu

Príklady

Odporúčame pozrieť sa na jednoduché príklady, ako faktorizovať kvadratickú rovnicu.

Príklad 1

Tu je jasne ukázané, že výsledok bude dva x, pretože D je kladné. Je potrebné ich nahradiť do vzorca. Ak sú korene záporné, znamienko vo vzorci sa obráti.

Poznáme vzorec na rozklad štvorcového trinomu: a(x-x1)(x-x2). Hodnoty vložíme do zátvoriek: (x+3)(x+2/3). V exponente nie je žiadne číslo pred členom. To znamená, že existuje jednotka, je znížená.

Príklad 2

Tento príklad jasne ukazuje, ako vyriešiť rovnicu, ktorá má jeden koreň.

Dosaďte výslednú hodnotu:

Príklad 3

Dané: 5x²+3x+7

Najprv vypočítame diskriminant, ako v predchádzajúcich prípadoch.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminant je záporný, čo znamená, že neexistujú žiadne korene.

Po obdržaní výsledku sa oplatí otvoriť zátvorky a skontrolovať výsledok. Mal by sa objaviť pôvodný trojčlen.

Alternatívne riešenie

Niektorí ľudia sa nikdy nedokázali spriateliť s diskriminantmi. Existuje ďalší spôsob rozkladu štvorcového trojčlenu. Pre pohodlie je spôsob uvedený v príklade.

Dané: x²+3x-10

Vieme, že by sme mali skončiť s 2 zátvorkami: (_)(_). Keď výraz vyzerá takto: x² + bx + c, umiestnime x na začiatok každej zátvorky: (x_) (x_). Zvyšné dve čísla sú súčin, ktorý dáva "c", t.j. v tomto prípade -10. Ak chcete zistiť, aké sú tieto čísla, môžete použiť iba metódu výberu. Nahradené čísla sa musia zhodovať so zostávajúcim termínom.

Napríklad vynásobením nasledujúcich čísel získate -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nie
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nie
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nie
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Pasuje.

Transformácia výrazu x2+3x-10 teda vyzerá takto: (x-2)(x+5).

Dôležité! Mali by ste byť opatrní, aby ste si nepomýlili znamenia.

Rozklad komplexnej trojčlenky

Ak je „a“ väčšie ako jedna, začínajú ťažkosti. Ale všetko nie je také ťažké, ako sa zdá.

Aby sme mohli faktorizovať, musíme najprv zistiť, či je možné niečo vypočítať.

Napríklad pri výraze: 3x²+9x-30. Tu je číslo 3 vyňaté zo zátvoriek:

3(x²+3x-10). Výsledkom je už známa trojčlenka. Odpoveď vyzerá takto: 3(x-2)(x+5)

Ako rozložiť, ak je výraz na druhú mocninu záporný? V tomto prípade je číslo -1 vyňaté zo zátvorky. Napríklad: -x²-10x-8. Výraz potom bude vyzerať takto:

Schéma sa len málo líši od predchádzajúcej. Je tam len pár nových vecí. Povedzme, že je daný výraz: 2x²+7x+3. Odpoveď je tiež napísaná v 2 zátvorkách, ktoré je potrebné vyplniť (_) (_). X je napísané v 2. zátvorke a to, čo zostalo v 1. zátvorke. Vyzerá to takto: (2x_) (x_). V opačnom prípade sa zopakuje predchádzajúca schéma.

Číslo 3 udáva čísla:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Rovnice riešime dosadením daných čísel. Posledná možnosť sedí. Transformácia výrazu 2x²+7x+3 teda vyzerá takto: (2x+1)(x+3).

Iné prípady

Nie vždy je možné výraz transformovať. V druhej metóde sa riešenie rovnice nevyžaduje. Ale možnosť premeny výrazov na produkt sa kontroluje len cez diskriminant.

Oplatí sa precvičiť si riešenie kvadratických rovníc, aby pri používaní vzorcov nevznikali žiadne ťažkosti.

Užitočné video: faktorizácia trinomu

Záver

Môžete ho použiť akýmkoľvek spôsobom. Ale je lepšie pracovať na automatizme. Taktiež tí, ktorí sa chystajú spojiť svoj život s matematikou, sa musia naučiť dobre riešiť kvadratické rovnice a rozkladať polynómy na faktory. Na tom sú postavené všetky nasledujúce matematické témy.

V kontakte s

Faktorizácia štvorcových trojčlenov je jednou zo školských úloh, s ktorou sa skôr či neskôr stretne každý. Ako to spraviť? Aký je vzorec na rozklad štvorcového trojčlenu? Poďme si to prejsť krok za krokom na príkladoch.

Všeobecný vzorec

Faktorizácia štvorcových trinómov sa uskutočňuje riešením kvadratickej rovnice. Ide o jednoduchú úlohu, ktorú je možné vyriešiť viacerými metódami – nájdením diskriminantu, pomocou Vietovej vety, existuje aj grafický spôsob riešenia. Prvé dve metódy sa študujú na strednej škole.

Všeobecný vzorec vyzerá takto:lx 2 + kx + n = l (x-x 1) (x-x 2) (1)

Algoritmus vykonávania úlohy

Na rozklad na štvorcové trojčlenky potrebujete poznať Witovu vetu, mať po ruke program na riešenie, vedieť nájsť riešenie graficky alebo hľadať korene rovnice druhého stupňa cez diskriminačný vzorec. Ak je zadaná štvorcová trojčlenka a musí byť zohľadnená, algoritmus akcií je nasledujúci:

1) Prirovnajte pôvodný výraz k nule, aby ste dostali rovnicu.

2) Uveďte podobné výrazy (ak je to potrebné).

3) Nájdite korene akoukoľvek známou metódou. Grafická metóda sa najlepšie používa, ak je vopred známe, že korene sú celé čísla a malé čísla. Je potrebné mať na pamäti, že počet koreňov sa rovná maximálnemu stupňu rovnice, to znamená, že kvadratická rovnica má dva korene.

4) Náhradná hodnota X do výrazu (1).

5) Napíšte rozklad na štvorcové trojčlenky.

Príklady

Cvičenie vám umožňuje konečne pochopiť, ako sa táto úloha vykonáva. Príklady ilustrujú rozklad štvorcového trinomu:

musíte rozšíriť výraz:

Použime náš algoritmus:

1) x 2 -17 x + 32 = 0

2) podobné výrazy sú redukované

3) podľa vzorca Vieta je ťažké nájsť korene tohto príkladu, preto je lepšie použiť výraz pre diskriminant:

D = 289-128 = 161 = (12,69) 2

4) Nahraďte korene, ktoré sme našli v hlavnom vzorci pre expanziu:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Potom bude odpoveď:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Pozrime sa, či riešenia nájdené diskriminantom zodpovedajú vzorcom Vieta:

14,845 . 2,155=32

Pre tieto korene sa aplikuje Vietova veta, našli sa správne, čo znamená, že aj faktorizácia, ktorú sme získali, je správna.

Podobne rozširujeme 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

V predchádzajúcom prípade boli riešeniami necelé, ale reálne čísla, ktoré sa dajú ľahko nájsť s kalkulačkou pred vami. Teraz zvážte zložitejší príklad, v ktorom sú korene zložité: faktorizujte x 2 + 4x + 9. Podľa vzorca Vieta sa korene nedajú nájsť a diskriminant je negatívny. Korene budú v komplexnej rovine.

D = -20

Na základe toho dostaneme korene, o ktoré máme záujem -4 + 2i * 5 1/2 a -4-2i * 5 1/2 pretože (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Požadovanú expanziu získame dosadením koreňov do všeobecného vzorca.

Ďalší príklad: musíte rozložiť výraz 23x 2 -14x + 7.

Máme rovnicu 23x 2 -14x+7 =0

D = -448

Takže korene sú 14+21,166i a 14-21,166i. Odpoveď bude:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14 + 21,166i ).

Uveďme príklad, ktorý sa dá vyriešiť aj bez pomoci diskriminanta.

Nech je potrebné rozložiť kvadratickú rovnicu x 2 -32x + 255. Je zrejmé, že to môže vyriešiť aj diskriminant, ale v tomto prípade je rýchlejšie nájsť korene.

x 1 = 15

x2 = 17

Prostriedky x 2 – 32 x + 255 = (x-15) (x-17).