Toto je jeden z najzákladnejších spôsobov zjednodušenia výrazu. Aby sme použili túto metódu, spomeňme si na distributívny zákon násobenia s ohľadom na sčítanie (nebojte sa týchto slov, tento zákon určite poznáte, len ste možno zabudli jeho názov).

Zákon hovorí: ak chcete vynásobiť súčet dvoch čísel tretím číslom, musíte vynásobiť každý výraz týmto číslom a výsledky sčítať, inými slovami,.

Môžete tiež vykonať spätnú operáciu a práve táto spätná operácia nás zaujíma. Ako je možné vidieť na vzorke, spoločný faktor a, možno vybrať zo zátvorky.

Podobnú operáciu je možné vykonať s premennými, ako napríklad a, ako aj s číslami: .

Áno, toto je príliš elementárny príklad, rovnako ako príklad uvedený vyššie, s expanziou čísla, pretože každý vie, čo sú čísla a sú deliteľné, ale čo keby ste dostali komplikovanejší výraz:

Ako zistiť, na čo je napríklad číslo rozdelené, nie, s kalkulačkou to môže každý, ale bez nej je to slabé? A preto existujú znaky deliteľnosti, tieto znaky sa naozaj oplatí poznať, pomôžu vám rýchlo pochopiť, či je možné vyňať spoločný faktor zo zátvorky.

Známky deliteľnosti

Nie je také ťažké si ich zapamätať, s najväčšou pravdepodobnosťou vám väčšina z nich už bola známa a niečo bude novým užitočným objavom, viac podrobností v tabuľke:

Poznámka: V tabuľke chýba znak deliteľnosti 4. Ak sú posledné dve číslice deliteľné 4, potom je celé číslo deliteľné 4.

No ako sa vám páči znamenie? Radím vám, aby ste si to zapamätali!

No vráťme sa k výrazu, možno ho vytiahnuť zo zátvorky a stačí z toho? Nie, pre matematikov je zvykom zjednodušovať, takže naplno, vytiahnite VŠETKO, čo je vybraté!

Takže hráčovi je všetko jasné, ale čo číselná časť výrazu? Obidve čísla sú nepárne, takže ich nemôžete deliť

Môžete použiť znamienko deliteľnosti, súčet číslic a, z ktorých sa číslo skladá, sa rovná a je deliteľné, čo znamená, že je deliteľné číslom.

Keď to viete, môžete sa bezpečne rozdeliť do stĺpca, ako výsledok delenia dostaneme (známky deliteľnosti sa hodili!). Číslo teda môžeme vyňať zo zátvorky, rovnako ako y, a výsledkom je:

Aby ste sa uistili, že je všetko správne rozložené, môžete expanziu skontrolovať násobením!

Spoločný činiteľ môže byť vyňatý aj z mocenských výrazov. Vidíte tu napríklad spoločný faktor?

Všetky členy tohto výrazu majú x - vyberieme, všetky sú delené - znova vyberieme, pozrieme sa, čo sa stalo: .

2. Skrátené vzorce násobenia

Skrátené vzorce na násobenie už boli teoreticky spomenuté, ak si už len ťažko pamätáte, čo to je, tak by ste si ich mali osviežiť v pamäti.

No ak sa považujete za veľmi bystrého a ste leniví čítať taký oblak informácií, tak len čítajte ďalej, pozerajte sa na vzorce a hneď si berte príklady.

Podstatou tohto rozkladu je všimnúť si nejaký určitý vzorec vo výraze pred vami, použiť ho a získať tak súčin niečoho a niečoho, to je celý rozklad. Nasledujú vzorce:

Teraz skúste faktorizovať nasledujúce výrazy pomocou vyššie uvedených vzorcov:

A tu je to, čo sa malo stať:

Ako ste si všimli, tieto vzorce sú veľmi efektívnym spôsobom faktoringu, nie je to vždy vhodné, ale môže byť veľmi užitočné!

3. Zoskupovanie alebo metóda zoskupovania

Tu je ďalší príklad pre vás:

No a čo s tým budeš robiť? Zdá sa, že je deliteľné niečím a na niečo a niečo do a do

Ale nemôžete všetko rozdeliť do jednej veci, dobre neexistuje žiadny spoločný faktor, ako nehľadať čo, a nechať to bez faktoringu?

Tu musíte ukázať vynaliezavosť a názov tejto vynaliezavosti je zoskupenie!

Používa sa práve vtedy, keď nie všetci členovia majú spoločných deliteľov. Na zoskupenie potrebujete nájsť skupiny výrazov, ktoré majú spoločných deliteľov a preusporiadať ich tak, aby sa z každej skupiny dal získať rovnaký multiplikátor.

Samozrejme, nie je potrebné miestami preskupovať, ale to dáva viditeľnosť, pre prehľadnosť môžete jednotlivé časti výrazu brať do zátvoriek, nie je zakázané ich dávať koľko chcete, hlavnou vecou nie je pomýliť si znamenia.

To všetko nie je veľmi jasné? Vysvetlím to na príklade:

V polynóme - vložte člen - za člen - dostaneme

prvé dva výrazy zoskupíme do samostatnej zátvorky a tretí a štvrtý výraz zoskupíme rovnakým spôsobom, pričom znamienko mínus necháme mimo zátvorky, dostaneme:

A teraz sa pozrieme samostatne na každú z dvoch „kôp“, do ktorých sme rozbili výraz so zátvorkami.

Trik je rozbiť ho na také kôpky, z ktorých bude možné vybrať čo najväčší faktor, alebo sa ako v tomto príklade pokúsiť zoskupiť členy tak, aby sme po vybratí faktorov zo zátvoriek z kôp majú rovnaké výrazy v zátvorkách.

Z oboch zátvoriek vyberieme spoločné faktory členov, z prvej zátvorky a z druhej zátvorky dostaneme:

Ale to nie je rozklad!

Psomár rozklad by mal zostať len násobením, ale zatiaľ máme polynóm jednoducho rozdelený na dve časti ...

ALE! Tento polynóm má spoločný faktor. Toto

mimo držiaka a dostaneme konečný produkt

Bingo! Ako vidíte, súčin už existuje a mimo zátvoriek nie je sčítanie ani odčítanie, rozklad je dokončený, pretože už nemáme čo vyťahovať zo zátvoriek.

Môže sa zdať ako zázrak, že po vyňatí faktorov zo zátvoriek máme v zátvorkách stále tie isté výrazy, ktoré sme opäť vyňali zo zátvoriek.

A nie je to vôbec zázrak, faktom je, že príklady v učebniciach a na skúške sú špeciálne urobené tak, že väčšina výrazov v úlohách na zjednodušenie resp. faktorizácia so správnym prístupom k nim sa ľahko zjednodušia a po stlačení tlačidla sa náhle zrútia ako dáždnik, takže v každom výraze hľadajte práve toto tlačidlo.

Niečo som odbočil, čo tam máme so zjednodušením? Zložitý mnohočlen nadobudol jednoduchšiu podobu: .

Súhlasíte, nie je taký objemný, ako býval?

4. Výber plného štvorca.

Niekedy, aby bolo možné použiť vzorce pre skrátené násobenie (opakovať tému), je potrebné transformovať existujúci polynóm tak, že jeden z jeho členov predstavíme ako súčet alebo rozdiel dvoch členov.

V takom prípade to musíte urobiť, dozviete sa z príkladu:

Polynóm v tomto tvare nemožno rozložiť pomocou skrátených vzorcov na násobenie, preto ho treba previesť. Možno vám spočiatku nebude jasné, ktorý pojem rozdeliť na ktorý, no postupom času sa naučíte okamžite vidieť vzorce pre skrátené násobenie, aj keď nie sú prítomné celé, a rýchlo zistíte, čo tu chýba na plný vzorec, ale zatiaľ - učte sa , študent, presnejšie školák.

Pre úplný vzorec druhej mocniny rozdielu potrebujete namiesto toho tu. Predstavme si tretí člen ako rozdiel, dostaneme: Na výraz v zátvorkách môžeme použiť vzorec rozdielového štvorca (nezamieňať s rozdielom štvorcov!!!), máme: , na tento výraz môžeme použiť vzorec pre rozdiel druhých mocnín (nezamieňať s druhou mocninou rozdielu!!!), keď si predstavíme ako, dostaneme: .

Výraz, ktorý nie je vždy započítaný do faktorov, vyzerá jednoduchšie a menší ako pred rozkladom, ale v tejto forme sa stáva mobilnejším v tom zmysle, že sa nemusíte obávať zmeny znamienka a iných matematických nezmyslov. Aby ste sa mohli rozhodnúť sami, je potrebné zohľadniť nasledujúce výrazy.

Príklady:

Odpovede:

5. Faktorizácia štvorcového trojčlenu

Faktorizáciu štvorcového trinomu pozri nižšie v príkladoch rozkladu.

Príklady 5 metód na faktorizáciu polynómu

1. Vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek. Príklady.

Pamätáte si, čo je distributívny zákon? Toto je také pravidlo:

Príklad:

Faktorizujte polynóm.

Riešenie:

Ďalší príklad:

Vynásobte.

Riešenie:

Ak je celý výraz vyňatý zo zátvoriek, jeden zostane v zátvorkách namiesto neho!

2. Vzorce na skrátené násobenie. Príklady.

Najčastejšie používané vzorce sú rozdiel štvorcov, rozdiel kociek a súčet kociek. Pamätáte si tieto vzorce? Ak nie, naliehavo zopakujte tému!

Príklad:

Zvážte výraz.

Riešenie:

V tomto výraze je ľahké zistiť rozdiel kociek:

Príklad:

Riešenie:

3. Metóda zoskupovania. Príklady

Niekedy je možné zameniť pojmy takým spôsobom, že z každej dvojice susedných členov možno extrahovať jeden a ten istý faktor. Tento spoločný faktor možno vyňať zo zátvorky a pôvodný polynóm sa zmení na súčin.

Príklad:

Vypočítajte polynóm.

Riešenie:

Pojmy zoskupujeme nasledovne:
.

V prvej skupine vyberieme spoločný faktor zo zátvoriek a v druhej - :
.

Teraz je možné spoločný faktor vyňať aj zo zátvoriek:
.

4. Spôsob výberu plného štvorca. Príklady.

Ak je možné polynóm znázorniť ako rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov, ostáva už len použiť skrátený vzorec násobenia (rozdiel druhých mocnín).

Príklad:

Vypočítajte polynóm.

Riešenie:Príklad:

\begin(pole)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\zátvorka(((x)^(2))+2\cbodka 3\cbodka x+9)_(štvorec\ súčty\ ((\vľavo (x+3 \vpravo))^(2)))-9-7=((\vľavo(x+3 \vpravo))^(2))-16= \\
=\vľavo(x+3+4 \vpravo)\vľavo (x+3-4 \vpravo)=\vľavo (x+7 \vpravo)\vľavo (x-1 \vpravo) \\
\end(pole)

Vypočítajte polynóm.

Riešenie:

\begin(pole)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(štvorec\ rozdiely((\vľavo(((x)^(2))-2 \vpravo))^(2)))-4-1=((\vľavo(((x)^) (2))-2 \vpravo))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(pole)

5. Faktorizácia štvorcového trojčlenu. Príklad.

Štvorcový trojčlen je polynóm v tvare, kde je neznáma, sú nejaké čísla.

Premenné hodnoty, ktoré menia štvorcovú trojčlenku na nulu, sa nazývajú korene trojčlenky. Preto korene trojčlenky sú koreňmi kvadratickej rovnice.

Veta.

Príklad:

Rozložme štvorcovú trojčlenku na faktor: .

Najprv vyriešime kvadratickú rovnicu: Teraz môžeme zapísať rozklad tohto štvorcového trinomu na faktory:

Teraz tvoj názor...

Podrobne sme opísali, ako a prečo faktorizovať polynóm.

Uviedli sme veľa príkladov, ako to urobiť v praxi, poukázali na úskalia, dali riešenia ...

Čo hovoríš?

Ako sa vám páči tento článok? Používate tieto triky? Chápete ich podstatu?

Napíšte do komentárov a... pripravte sa na skúšku!

Zatiaľ je to najdôležitejšia vec vo vašom živote.

V tejto lekcii sa naučíme, ako rozložiť štvorcové trojčlenky na lineárne faktory. Na to je potrebné pripomenúť Vietovu vetu a jej inverznú. Táto zručnosť nám pomôže rýchlo a pohodlne rozložiť štvorcové trojčlenky na lineárne faktory a tiež zjednodušiť redukciu zlomkov pozostávajúcich z výrazov.

Takže späť ku kvadratickej rovnici, kde .

To, čo máme na ľavej strane, sa nazýva štvorcová trojčlenka.

Veta je pravdivá: Ak sú korene štvorcovej trojčlenky, potom je identita pravdivá

Kde je vodiaci koeficient, sú korene rovnice.

Máme teda kvadratickú rovnicu - štvorcový trinom, kde korene kvadratickej rovnice sa nazývajú aj korene kvadratickej trinómie. Ak teda máme korene štvorcovej trojčlenky, potom sa táto trojčlenka rozloží na lineárne faktory.

dôkaz:

Dôkaz tejto skutočnosti sa vykonáva pomocou Vietovej vety, o ktorej sme uvažovali v predchádzajúcich lekciách.

Pripomeňme si, čo nám hovorí Vietin teorém:

Ak sú odmocniny štvorcového trojčlenu pre ktoré , potom .

Z tejto vety vyplýva nasledujúce tvrdenie, že .

Vidíme, že podľa Vietovej vety, t.j. nahradením týchto hodnôt do vyššie uvedeného vzorca, dostaneme nasledujúci výraz

Q.E.D.

Pripomeňme si, že sme dokázali vetu, že ak sú korene štvorcového trojčlenu, rozklad je platný.

Teraz si pripomeňme príklad kvadratickej rovnice, ku ktorej sme pomocou Vietovej vety vybrali korene. Z tohto faktu môžeme vďaka dokázanej vete získať nasledujúcu rovnosť:

Teraz skontrolujeme správnosť tejto skutočnosti jednoduchým rozšírením zátvoriek:

Vidíme, že sme súčinili správne a každá trojčlenka, ak má korene, môže byť podľa tejto vety súčinená na lineárne súčiniteľa podľa vzorca

Pozrime sa však, či je pre niektorú rovnicu takáto faktorizácia možná:

Vezmime si napríklad rovnicu. Najprv skontrolujme znamienko diskriminantu

A pamätáme si, že na splnenie vety, ktorú sme sa naučili, musí byť D väčšie ako 0, preto je v tomto prípade faktorizácia podľa študovanej vety nemožná.

Preto formulujeme novú vetu: ak štvorcová trojčlenka nemá korene, potom ju nemožno rozložiť na lineárne faktory.

Takže sme zvážili Vietovu vetu, možnosť rozkladu štvorcového trinomu na lineárne faktory, a teraz vyriešime niekoľko problémov.

Úloha č.1

V tejto skupine budeme vlastne riešiť problém inverzne k predloženému. Mali sme rovnicu a našli sme jej korene, rozkladali sme sa na faktory. Tu urobíme opak. Povedzme, že máme korene kvadratickej rovnice

Inverzný problém je tento: napíšte kvadratickú rovnicu tak, aby boli jej korene.

Existujú 2 spôsoby, ako tento problém vyriešiť.

Pretože sú korene rovnice je kvadratická rovnica, ktorej korene sú dané číslami. Teraz otvorme zátvorky a skontrolujte:

Toto bol prvý spôsob, ako sme vytvorili kvadratickú rovnicu s danými koreňmi, ktorá nemá žiadne iné korene, pretože každá kvadratická rovnica má najviac dva korene.

Táto metóda zahŕňa použitie inverznej Vietovej vety.

Ak sú korene rovnice, potom spĺňajú podmienku, že .

Pre redukovanú kvadratickú rovnicu , , teda v tomto prípade a .

Takto sme vytvorili kvadratickú rovnicu, ktorá má dané korene.

Úloha č. 2

Musíte znížiť zlomok.

V čitateli máme trojčlenku a v menovateli trojčlenku a trojčlenky môžu alebo nemusia byť rozkladané na súčin. Ak sú čitateľ aj menovateľ faktorizovaný, potom medzi nimi môžu byť rovnaké faktory, ktoré možno znížiť.

V prvom rade je potrebné rozložiť čitateľa na faktor.

Najprv musíte skontrolovať, či je možné túto rovnicu faktorizovať, nájsť diskriminant . Keďže , potom znamienko závisí od súčinu (musí byť menšie ako 0), v tomto príklade , t.j. daná rovnica má korene.

Na riešenie používame Vietovu vetu:

V tomto prípade, keďže máme čo do činenia s koreňmi, bude dosť ťažké jednoducho vybrať korene. Vidíme však, že koeficienty sú vyrovnané, t. j. ak predpokladáme, že a túto hodnotu dosadíme do rovnice, dostaneme nasledujúci systém: t.j. 5-5=0. Zvolili sme teda jeden z koreňov tejto kvadratickej rovnice.

Druhý koreň budeme hľadať tak, že do sústavy rovníc dosadíme to, čo je už známe, napríklad , t.j. .

Našli sme teda obidva korene kvadratickej rovnice a ich hodnoty môžeme nahradiť do pôvodnej rovnice, aby sme ju vynásobili:

Pripomeňme si pôvodný problém, potrebovali sme znížiť zlomok.

Skúsme problém vyriešiť dosadením namiesto čitateľa .

Je potrebné nezabudnúť, že v tomto prípade sa menovateľ nemôže rovnať 0, t.j.

Ak sú tieto podmienky splnené, potom sme pôvodný zlomok zredukovali na tvar .

Úloha č. 3 (úloha s parametrom)

Pri akých hodnotách parametra je súčet koreňov kvadratickej rovnice

Ak korene tejto rovnice existujú, potom , otázka je kedy .

Faktorizácia štvorcových trojčlenov je jednou zo školských úloh, s ktorou sa skôr či neskôr stretne každý. Ako to spraviť? Aký je vzorec na rozklad štvorcového trojčlenu? Poďme si to prejsť krok za krokom na príkladoch.

Všeobecný vzorec

Faktorizácia štvorcových trinómov sa uskutočňuje riešením kvadratickej rovnice. Ide o jednoduchú úlohu, ktorú je možné vyriešiť niekoľkými metódami – nájdením diskriminantu, pomocou Vietovej vety, existuje aj grafický spôsob riešenia. Prvé dve metódy sa študujú na strednej škole.

Všeobecný vzorec vyzerá takto:lx 2 + kx + n = l (x-x 1) (x-x 2) (1)

Algoritmus vykonávania úlohy

Na rozklad na štvorcové trojčlenky potrebujete poznať Witovu vetu, mať po ruke program na riešenie, vedieť nájsť riešenie graficky alebo hľadať korene rovnice druhého stupňa cez diskriminačný vzorec. Ak je zadaná štvorcová trojčlenka a musí byť zohľadnená, algoritmus akcií je nasledujúci:

1) Prirovnajte pôvodný výraz k nule, aby ste dostali rovnicu.

2) Uveďte podobné výrazy (ak je to potrebné).

3) Nájdite korene akoukoľvek známou metódou. Grafická metóda sa najlepšie používa, ak je vopred známe, že korene sú celé čísla a malé čísla. Je potrebné mať na pamäti, že počet koreňov sa rovná maximálnemu stupňu rovnice, to znamená, že kvadratická rovnica má dva korene.

4) Náhradná hodnota X do výrazu (1).

5) Napíšte rozklad na štvorcové trojčlenky.

Príklady

Cvičenie vám umožňuje konečne pochopiť, ako sa táto úloha vykonáva. Príklady ilustrujú rozklad štvorcového trinomu:

musíte rozšíriť výraz:

Použime náš algoritmus:

1) x 2 -17 x + 32 = 0

2) podobné výrazy sú redukované

3) podľa vzorca Vieta je ťažké nájsť korene tohto príkladu, preto je lepšie použiť výraz pre diskriminant:

D = 289-128 = 161 = (12,69) 2

4) Nahraďte korene, ktoré sme našli v hlavnom vzorci pre rozklad:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Potom bude odpoveď:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Pozrime sa, či riešenia nájdené diskriminantom zodpovedajú vzorcom Vieta:

14,845 . 2,155=32

Pre tieto korene sa aplikuje Vietova veta, našli sa správne, čo znamená, že aj faktorizácia, ktorú sme získali, je správna.

Podobne rozširujeme 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

V predchádzajúcom prípade boli riešeniami necelé, ale reálne čísla, ktoré sa dajú ľahko nájsť s kalkulačkou pred vami. Teraz zvážte zložitejší príklad, v ktorom sú korene zložité: faktorizujte x 2 + 4x + 9. Podľa vzorca Vieta sa korene nedajú nájsť a diskriminant je negatívny. Korene budú v komplexnej rovine.

D = -20

Na základe toho dostaneme korene, o ktoré máme záujem -4 + 2i * 5 1/2 a -4-2i * 5 1/2 pretože (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Požadovanú expanziu získame dosadením koreňov do všeobecného vzorca.

Ďalší príklad: musíte rozložiť výraz 23x 2 -14x + 7.

Máme rovnicu 23x 2 -14x+7 =0

D = -448

Takže korene sú 14+21,166i a 14-21,166i. Odpoveď bude:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14 + 21,166i ).

Uveďme príklad, ktorý sa dá vyriešiť aj bez pomoci diskriminanta.

Nech je potrebné rozložiť kvadratickú rovnicu x 2 -32x + 255. Je zrejmé, že to môže vyriešiť aj diskriminant, ale v tomto prípade je rýchlejšie nájsť korene.

x 1 = 15

x2 = 17

Prostriedky x 2 – 32 x + 255 = (x-15) (x-17).

Aby bolo možné faktorizovať, je potrebné zjednodušiť výrazy. To je potrebné na to, aby bolo možné ďalej znižovať. Rozklad polynómu má zmysel vtedy, keď jeho stupeň nie je nižší ako druhý. Polynóm s prvým stupňom sa nazýva lineárny.

Článok odhalí všetky koncepty rozkladu, teoretické základy a metódy faktorizácie polynómu.

teória

Veta 1

Keď ľubovoľný polynóm so stupňom n má tvar P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , sú reprezentované ako súčin s konštantným faktorom s najvyšším stupňom a n a n lineárnych faktorov (x - x i), i = 1 , 2 , … , n , potom P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1). . . · (x - x 1) , kde x i , i = 1 , 2 , … , n - toto sú korene polynómu.

Veta je určená pre korene komplexného typu x i , i = 1 , 2 , … , n a pre komplexné koeficienty a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . To je základ každého rozkladu.

Keď koeficienty tvaru a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n sú reálne čísla, potom sa komplexné korene budú vyskytovať v konjugovaných pároch. Napríklad korene x 1 a x 2 súvisia s polynómom v tvare P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sa považujú za komplexne konjugované, potom sú ostatné korene reálne, a preto dostaneme, že polynóm má tvar P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, kde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).

Komentujte

Korene polynómu sa môžu opakovať. Uvažujme o dôkaze vety algebry, o dôsledkoch Bezoutovej vety.

Základná veta algebry

Veta 2

Každý polynóm so stupňom n má aspoň jeden koreň.

Bezoutova veta

Po delení polynómu tvaru P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s) , potom dostaneme zvyšok, ktorý sa rovná polynómu v bode s , potom dostaneme

Pn x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , kde Q n - 1 (x) je polynóm so stupňom n - 1 .

Dôsledok Bezoutovej vety

Keď sa koreň polynómu P n (x) považuje za s , potom P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Qn - 1 (x). Tento dôsledok je dostatočný, keď sa použije na opis riešenia.

Faktorizácia štvorcového trojčlenu

Štvorcový trojčlen v tvare a x 2 + b x + c možno rozdeliť do lineárnych faktorov. potom dostaneme, že a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), kde x 1 a x 2 sú korene (komplexné alebo skutočné).

To ukazuje, že samotný rozklad sa redukuje na neskoršie riešenie kvadratickej rovnice.

Príklad 1

Faktorizujte štvorcovú trojčlenku.

Riešenie

Je potrebné nájsť korene rovnice 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť hodnotu diskriminantu podľa vzorca, potom dostaneme D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Preto to máme

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Odtiaľ dostaneme, že 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Ak chcete vykonať kontrolu, musíte otvoriť zátvorky. Potom dostaneme výraz vo forme:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Po overení sa dostávame k pôvodnému výrazu. To znamená, že môžeme konštatovať, že rozšírenie je správne.

Príklad 2

Rozlož štvorcovú trojčlenku v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 .

Riešenie

Dostaneme, že je potrebné vypočítať výslednú kvadratickú rovnicu v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Ak chcete nájsť korene, musíte určiť hodnotu diskriminantu. Chápeme to

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816

Odtiaľ dostaneme, že 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

Príklad 3

Rozlož polynóm na faktor 2 x 2 + 1.

Riešenie

Teraz musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu 2 x 2 + 1 = 0 a nájsť jej korene. Chápeme to

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Tieto korene sa nazývajú komplexne konjugované, čo znamená, že samotný rozklad môže byť vyjadrený ako 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Príklad 4

Rozviňte štvorcovú trojčlenku x 2 + 1 3 x + 1 .

Riešenie

Najprv musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare x 2 + 1 3 x + 1 = 0 a nájsť jej korene.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

Po získaní koreňov píšeme

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Komentujte

Ak je hodnota diskriminantu záporná, potom polynómy zostanú polynómy druhého rádu. Z toho vyplýva, že ich nebudeme rozkladať na lineárne faktory.

Metódy faktorizácie polynómu vyššieho stupňa ako druhého

Rozklad predpokladá univerzálnu metódu. Väčšina všetkých prípadov je založená na dôsledku Bezoutovej vety. Aby ste to dosiahli, musíte vybrať hodnotu odmocniny x 1 a znížiť jej stupeň delením polynómom číslom 1 delením číslom (x - x 1) . Výsledný polynóm potrebuje nájsť koreň x 2 a proces vyhľadávania je cyklický, kým nedosiahneme úplné rozšírenie.

Ak sa koreň nenájde, potom sa použijú iné metódy faktorizácie: zoskupenie, ďalšie výrazy. Táto téma predpokladá riešenie rovníc s vyššími mocninami a celočíselnými koeficientmi.

Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek

Uvažujme prípad, keď sa voľný člen rovná nule, potom tvar polynómu bude P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Je vidieť, že koreň takéhoto polynómu sa bude rovnať x 1 \u003d 0, potom môžete polynóm reprezentovať vo forme výrazu P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)

Táto metóda sa považuje za vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek.

Príklad 5

Rozlož polynóm tretieho stupňa na faktor 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Riešenie

Vidíme, že x 1 \u003d 0 je koreň daného polynómu, potom môžeme x z celého výrazu uzavrieť. Dostaneme:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Prejdime k hľadaniu koreňov štvorcového trojčlenu 4 x 2 + 8 x - 1. Poďme nájsť diskriminant a korene:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Potom z toho vyplýva

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Na začiatok zoberme do úvahy metódu rozkladu obsahujúcu celočíselné koeficienty v tvare P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , kde koeficient najvyššej moci je 1 .

Ak má polynóm celé číslo, potom sa považujú za deliteľa voľného člena.

Príklad 6

Rozviňte výraz f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Riešenie

Zvážte, či existujú celé čísla. Je potrebné zapísať deliteľa čísla - 18. Dostaneme, že ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Z toho vyplýva, že tento polynóm má celočíselné korene. Môžete skontrolovať podľa Hornerovej schémy. Je to veľmi pohodlné a umožňuje vám rýchlo získať koeficienty expanzie polynómu:

Z toho vyplýva, že x \u003d 2 a x \u003d - 3 sú korene pôvodného polynómu, ktorý možno znázorniť ako súčin tvaru:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Prejdeme k rozkladu štvorcového trojčlenu v tvare x 2 + 2 x + 3 .

Keďže diskriminant je záporný, znamená to, že neexistujú žiadne skutočné korene.

odpoveď: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Komentujte

Namiesto Hornerovej schémy je dovolené použiť výber koreňa a delenie polynómu polynómom. Pristúpme k úvahe o rozvoji polynómu obsahujúceho celočíselné koeficienty tvaru P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , pričom najvyššia z nich sa nerovná jednej.

Tento prípad sa odohráva pre zlomkové racionálne zlomky.

Príklad 7

Faktorizujte f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Riešenie

Je potrebné zmeniť premennú y = 2 x , treba prejsť na polynóm s koeficientmi rovnými 1 na najvyššom stupni. Musíte začať vynásobením výrazu číslom 4. Chápeme to

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Keď má výsledná funkcia tvaru g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 celé čísla, potom ich nájdenie patrí medzi deliteľov voľného člena. Záznam bude vyzerať takto:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

Pristúpme k výpočtu funkcie g (y) v týchto bodoch, aby sme dostali nulu. Chápeme to

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Dostaneme, že y \u003d - 5 je koreň rovnice tvaru y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, čo znamená, že x \u003d y 2 \u003d - 5 2 je koreň pôvodnej funkcie.

Príklad 8

Je potrebné deliť stĺpcom 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2.

Riešenie

Napíšeme a dostaneme:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Kontrola deliteľov zaberie veľa času, preto je výhodnejšie použiť faktorizáciu výsledného štvorcového trinómu tvaru x 2 + 7 x + 3. Vyrovnaním nuly nájdeme diskriminant.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Z toho teda vyplýva

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Umelé triky pri faktorizácii polynómu

Racionálne korene nie sú vlastné všetkým polynómom. Aby ste to dosiahli, musíte použiť špeciálne metódy na nájdenie faktorov. Ale nie všetky polynómy sa dajú rozložiť alebo reprezentovať ako súčin.

Metóda zoskupovania

Existujú prípady, keď môžete zoskupiť členy polynómu, aby ste našli spoločný faktor a vyňali ho zo zátvoriek.

Príklad 9

Rozložte polynóm na faktor x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Riešenie

Pretože koeficienty sú celé čísla, potom korene môžu byť pravdepodobne aj celé čísla. Na kontrolu vezmeme hodnoty 1, - 1, 2 a - 2, aby sme vypočítali hodnotu polynómu v týchto bodoch. Chápeme to

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

To ukazuje, že neexistujú žiadne korene, je potrebné použiť iný spôsob rozkladu a riešenia.

Vyžaduje sa zoskupenie:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Po zoskupení pôvodného polynómu je potrebné ho znázorniť ako súčin dvoch štvorcových trojčlenov. Aby sme to dosiahli, musíme faktorizovať. dostaneme to

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Komentujte

Jednoduchosť zoskupovania neznamená, že výber výrazov je dostatočne jednoduchý. Neexistuje jednoznačný spôsob, ako to vyriešiť, preto je potrebné použiť špeciálne vety a pravidlá.

Príklad 10

Rozložte polynóm na faktor x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Riešenie

Daný polynóm nemá celočíselné korene. Pojmy by mali byť zoskupené. Chápeme to

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Po faktoringu to dostaneme

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Použitie skráteného násobenia a Newtonových binomických vzorcov na rozklad polynómu

Zo vzhľadu často nie je vždy jasné, aký spôsob pri rozklade použiť. Po vykonaní transformácií môžete zostaviť priamku pozostávajúcu z Pascalovho trojuholníka, inak sa nazývajú Newtonov binom.

Príklad 11

Rozlož polynóm na faktor x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Riešenie

Je potrebné previesť výraz do formy

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Postupnosť koeficientov súčtu v zátvorkách je označená výrazom x + 1 4 .

Takže máme x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

Po nanesení rozdielu štvorcov dostaneme

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Zvážte výraz, ktorý je v druhej zátvorke. Je jasné, že tam nie sú žiadne kone, takže by sa mal znova použiť vzorec pre rozdiel štvorcov. Dostávame výraz ako

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Príklad 12

Faktorizujte x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Riešenie

Zmeňme výraz. Chápeme to

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie rozdielu kociek. Dostaneme:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metóda nahradenia premennej pri faktorizácii polynómu

Pri zmene premennej sa stupeň zníži a polynóm sa rozkladá na faktor.

Príklad 13

Rozlož polynóm v tvare x 6 + 5 x 3 + 6 .

Riešenie

Z podmienky je zrejmé, že je potrebné urobiť náhradu y = x 3 . Dostaneme:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Korene výslednej kvadratickej rovnice sú teda y = - 2 a y = - 3

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie súčtu kociek. Dostávame výrazy vo forme:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

To znamená, že sme dosiahli požadované rozšírenie.

Vyššie uvedené prípady pomôžu pri zvažovaní a faktorizácii polynómu rôznymi spôsobmi.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter