Vyberieme si pravouhlý súradnicový systém v rovine a vykreslíme hodnoty argumentu na osi x. X a na osi y - hodnoty funkcie y = f(x).

Graf funkcií y = f(x) volá sa množina všetkých bodov, pre ktoré úsečky patria do oblasti funkcie a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.

Inými slovami, graf funkcie y \u003d f (x) je množina všetkých bodov v rovine, súradnice X, pri ktoré uspokojujú vzťah y = f(x).

Na obr. 45 a 46 sú grafy funkcií y = 2x + 1 A y \u003d x 2 – 2x.

Prísne vzaté, treba rozlišovať medzi grafom funkcie (ktorej presná matematická definícia bola uvedená vyššie) a nakreslenou krivkou, ktorá vždy poskytuje len viac-menej presný náčrt grafu (a aj vtedy spravidla nie celý graf, ale iba jeho časť nachádzajúcu sa v koncových častiach roviny). V nasledujúcom texte sa však zvyčajne budeme odvolávať na „graf“ a nie na „náčrt grafu“.

Pomocou grafu môžete nájsť hodnotu funkcie v bode. Totiž, ak bod x = a patrí do rozsahu funkcie y = f(x) a potom nájsť číslo f(a)(t.j. funkčné hodnoty v bode x = a) by tak mal urobiť. Treba cez bodku s osou x x = a nakreslite priamku rovnobežnú s osou y; táto čiara bude pretínať graf funkcie y = f(x) v jednom bode; ordináta tohto bodu bude na základe definície grafu rovná f(a)(obr. 47).

Napríklad pre funkciu f(x) = x 2 - 2x pomocou grafu (obr. 46) zistíme f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 atď.

Funkčný graf vizuálne znázorňuje správanie a vlastnosti funkcie. Napríklad z úvahy na obr. 46 je zrejmé, že funkcia y \u003d x 2 – 2x nadobúda kladné hodnoty, keď X< 0 a pri x > 2, záporné - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 – 2x prijíma na x = 1.

Na vykreslenie funkcie f(x) musíte nájsť všetky body roviny, súradnice X,pri ktoré spĺňajú rovnicu y = f(x). Vo väčšine prípadov je to nemožné, pretože takýchto bodov je nekonečne veľa. Preto je graf funkcie znázornený približne - s väčšou či menšou presnosťou. Najjednoduchšia je metóda viacbodového vykresľovania. Spočíva v tom, že argument X zadajte konečný počet hodnôt - povedzme x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k a vytvorte tabuľku, ktorá obsahuje vybrané hodnoty funkcie.

Tabuľka vyzerá takto:

Po zostavení takejto tabuľky môžeme na grafe funkcie načrtnúť niekoľko bodov y = f(x). Potom spojením týchto bodov hladkou čiarou získame približný pohľad na graf funkcie y = f(x).

Treba však poznamenať, že metóda viacbodového vykresľovania je veľmi nespoľahlivá. V skutočnosti správanie grafu medzi označenými bodmi a jeho správanie mimo segmentu medzi zachytenými krajnými bodmi zostáva neznáme.

Príklad 1. Na vykreslenie funkcie y = f(x) niekto zostavil tabuľku hodnôt argumentov a funkcií:

Zodpovedajúcich päť bodov je znázornených na obr. 48.

Na základe umiestnenia týchto bodov usúdil, že graf funkcie je priamka (na obr. 48 znázornená bodkovanou čiarou). Dá sa tento záver považovať za spoľahlivý? Pokiaľ neexistujú ďalšie úvahy na podporu tohto záveru, ťažko ho možno považovať za spoľahlivý. spoľahlivý.

Na podloženie nášho tvrdenia zvážte funkciu

.

Výpočty ukazujú, že hodnoty tejto funkcie v bodoch -2, -1, 0, 1, 2 sú práve opísané vyššie uvedenou tabuľkou. Graf tejto funkcie však vôbec nie je rovný (je znázornený na obr. 49). Ďalším príkladom je funkcia y = x + l + sinx; jeho významy sú tiež opísané v tabuľke vyššie.

Tieto príklady ukazujú, že vo svojej „čistej“ forme je metóda viacbodového vykresľovania nespoľahlivá. Preto na vykreslenie danej funkcie spravidla postupujte nasledovne. Najprv sa študujú vlastnosti tejto funkcie, pomocou ktorej je možné zostrojiť náčrt grafu. Potom výpočtom hodnôt funkcie v niekoľkých bodoch (ktorých výber závisí od nastavených vlastností funkcie) sa nájdu zodpovedajúce body grafu. A nakoniec sa cez zostrojené body nakreslí krivka pomocou vlastností tejto funkcie.

Niektoré (najjednoduchšie a najčastejšie používané) vlastnosti funkcií používaných na nájdenie náčrtu grafu zvážime neskôr a teraz rozoberieme niektoré bežne používané metódy vykresľovania grafov.

Graf funkcie y = |f(x)|.

Často je potrebné vykresliť funkciu y = |f(x)|, kde f(x) - danú funkciu. Pripomeňme si, ako sa to robí. Definíciou absolútnej hodnoty čísla možno písať

To znamená, že graf funkcie y=|f(x)| možno získať z grafu, funkcií y = f(x) takto: všetky body grafu funkcie y = f(x), ktorého ordináty nie sú záporné, by mali zostať nezmenené; ďalej, namiesto bodov grafu funkcie y = f(x), ktoré majú záporné súradnice, by sa mali zostrojiť zodpovedajúce body grafu funkcie y = -f(x)(t.j. časť funkčného grafu
y = f(x), ktorá leží pod osou X, by sa mali odrážať symetricky okolo osi X).

Príklad 2 Nakreslite funkciu y = |x|.

Zoberieme graf funkcie y = x(obr. 50, a) a časť tohto grafu s X< 0 (ležiace pod osou X) sa symetricky odráža okolo osi X. Výsledkom je, že dostaneme graf funkcie y = |x|(obr. 50, b).

Príklad 3. Nakreslite funkciu y = |x 2 - 2x|.

Najprv nakreslíme funkciu y = x 2 - 2x. Grafom tejto funkcie je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, vrchol paraboly má súradnice (1; -1), jej graf pretína os x v bodoch 0 a 2. Na intervale (0; 2 ) funkcia nadobúda záporné hodnoty, preto sa táto časť grafu odráža symetricky okolo osi x. Obrázok 51 zobrazuje graf funkcie y \u003d |x 2 -2x | na základe grafu funkcie y = x 2 - 2x

Graf funkcie y = f(x) + g(x)

Zvážte problém vykreslenia funkcie y = f(x) + g(x). ak sú uvedené grafy funkcií y = f(x) A y = g(x).

Všimnite si, že definičný obor funkcie y = |f(x) + g(x)| je množina všetkých tých hodnôt x, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) a y = g(x), t.j. táto oblasť definície je priesečníkom domén definície, funkcií f(x) ) a g(x).

Nechajte body (x 0, y 1) A (x 0, y 2) patria medzi funkčné grafy y = f(x) A y = g(x), t.j 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Potom bod (x0;. y1 + y2) patrí do grafu funkcie y = f(x) + g(x)(pre f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. a ľubovoľný bod grafu funkcie y = f(x) + g(x) možno získať týmto spôsobom. Preto graf funkcie y = f(x) + g(x) možno získať z funkčných grafov y = f(x). A y = g(x) nahradenie každého bodu ( x n, y 1) funkčná grafika y = f(x) bodka (x n, y 1 + y 2), Kde y2 = g(x n), t.j. posunutím každého bodu ( x n, y 1) funkčný graf y = f(x) pozdĺž osi pri podľa sumy y 1 \u003d g (x n). V tomto prípade sa berú do úvahy iba také body. X n, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) A y = g(x).

Tento spôsob vykresľovania funkčného grafu y = f(x) + g(x) sa nazýva sčítanie grafov funkcií y = f(x) A y = g(x)

Príklad 4. Na obrázku je metódou pridávania grafov zostrojený graf funkcie
y = x + sinx.

Pri vykresľovaní funkcie y = x + sinx predpokladali sme to f(x) = x, A g(x) = sinx. Na vytvorenie funkčného grafu vyberieme body s úsečkami -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Hodnoty f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx spočítame vo vybraných bodoch a výsledky umiestnime do tabuľky.

1. Lineárna zlomková funkcia a jej graf

Funkcia tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) sú polynómy, sa nazýva zlomková racionálna funkcia.

Pravdepodobne už poznáte pojem racionálne čísla. Podobne racionálne funkcie sú funkcie, ktoré možno znázorniť ako podiel dvoch polynómov.

Ak je zlomková racionálna funkcia podielom dvoch lineárnych funkcií - polynómov prvého stupňa, t.j. funkcia zobrazenia

y = (ax + b) / (cx + d), potom sa nazýva zlomková lineárna.

Všimnite si, že vo funkcii y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (inak sa funkcia stane lineárnou y = ax/d + b/d) a že a/c ≠ b/d (inak funkcia je konštantná). Funkcia lineárnych zlomkov je definovaná pre všetky reálne čísla okrem x = -d/c. Grafy lineárnych zlomkových funkcií sa tvarom nelíšia od grafu, ktorý poznáte y = 1/x. Krivka, ktorá je grafom funkcie y = 1/x, sa nazýva hyperbola. Pri neobmedzenom náraste x v absolútnej hodnote funkcia y = 1/x donekonečna klesá v absolútnej hodnote a obe vetvy grafu sa približujú k osi x: pravá zhora a ľavá zdola. Čiary, ku ktorým sa približujú vetvy hyperboly, sa nazývajú jej asymptoty.

Príklad 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Riešenie.

Vyberieme celú časť čísla: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Teraz je ľahké vidieť, že graf tejto funkcie sa získa z grafu funkcie y = 1/x nasledujúcimi transformáciami: posunutie o 3 jednotkové segmenty doprava, natiahnutie pozdĺž osi Oy 7-krát a posunutie o 2 segmenty jednotky nahor.

Akýkoľvek zlomok y = (ax + b) / (cx + d) je možné zapísať rovnakým spôsobom, pričom sa zvýrazní „celá časť“. V dôsledku toho sú grafy všetkých lineárnych zlomkových funkcií hyperboly posunuté pozdĺž súradnicových osí rôznymi spôsobmi a natiahnuté pozdĺž osi Oy.

Na vykreslenie grafu ľubovoľnej lineárnej zlomkovej funkcie nie je vôbec potrebné transformovať zlomok, ktorý túto funkciu definuje. Keďže vieme, že graf je hyperbola, bude stačiť nájsť priamky, ku ktorým sa približujú jeho vetvy - hyperbola asymptoty x = -d/c a y = a/c.

Príklad 2

Nájdite asymptoty grafu funkcie y = (3x + 5)/(2x + 2).

Riešenie.

Funkcia nie je definovaná, keď x = -1. Čiara x = -1 teda slúži ako vertikálna asymptota. Aby sme našli horizontálnu asymptotu, zistime, k čomu sa približujú hodnoty funkcie y(x), keď argument x rastie v absolútnej hodnote.

Aby sme to dosiahli, vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Ako x → ∞ zlomok smeruje k 3/2. Horizontálna asymptota je teda priamka y = 3/2.

Príklad 3

Nakreslite funkciu y = (2x + 1)/(x + 1).

Riešenie.

Vyberieme „celú časť“ zlomku:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Teraz je ľahké vidieť, že graf tejto funkcie sa získa z grafu funkcie y = 1/x nasledujúcimi transformáciami: posunom o 1 jednotku doľava, symetrickým zobrazením vzhľadom na Ox a posunom o 2 jednotkové intervaly nahor pozdĺž osi Oy.

Doména definície D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Rozsah hodnôt E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Priesečníky s osami: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcia sa zvyšuje na každom z intervalov definičného oboru.

Odpoveď: obrázok 1.

2. Zlomkovo-racionálna funkcia

Uvažujme zlomkovú racionálnu funkciu tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) sú polynómy vyššieho stupňa ako prvý.

Príklady takýchto racionálnych funkcií:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) alebo y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ak je funkcia y = P(x) / Q(x) podielom dvoch polynómov stupňa vyššieho ako prvý, potom bude jej graf spravidla zložitejší a niekedy môže byť ťažké ho presne zostaviť. , so všetkými podrobnosťami. Často však stačí aplikovať techniky podobné tým, s ktorými sme sa už stretli vyššie.

Nech je zlomok vlastný (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) +. .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + ... + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + ...+

+ (M1x + N1) / (x2 + ptx + qt) m1 + ... + (Mm1 x + Nm1) / (x2 + ptx + qt).

Je zrejmé, že graf zlomkovej racionálnej funkcie možno získať ako súčet grafov elementárnych zlomkov.

Vykresľovanie zlomkových racionálnych funkcií

Zvážte niekoľko spôsobov, ako vykresliť zlomkovo-racionálnu funkciu.

Príklad 4

Nakreslite funkciu y = 1/x 2 .

Riešenie.

Graf funkcie y \u003d x 2 použijeme na vykreslenie grafu y \u003d 1 / x 2 a použijeme metódu „rozdelenia“ grafov.

Doména D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Rozsah hodnôt E(y) = (0; +∞).

Neexistujú žiadne priesečníky s osami. Funkcia je rovnomerná. Zvyšuje pre všetky x z intervalu (-∞; 0), znižuje pre x od 0 do +∞.

Odpoveď: obrázok 2.

Príklad 5

Nakreslite funkciu y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Riešenie.

Doména D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Tu sme použili techniku ​​faktoringu, redukcie a redukcie na lineárnu funkciu.

Odpoveď: obrázok 3.

Príklad 6

Nakreslite funkciu y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Riešenie.

Definičný obor je D(y) = R. Keďže funkcia je párna, graf je symetrický podľa osi y. Pred vykreslením výraz opäť transformujeme zvýraznením celej časti:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Všimnite si, že výber celočíselnej časti vo vzorci zlomkovo-racionálnej funkcie je jedným z hlavných pri vykresľovaní grafov.

Ak x → ±∞, potom y → 1, t.j. priamka y = 1 je vodorovná asymptota.

Odpoveď: obrázok 4.

Príklad 7

Uvažujme funkciu y = x/(x 2 + 1) a pokúste sa nájsť presne jej najväčšiu hodnotu, t.j. najvyšší bod v pravej polovici grafu. Na presné zostavenie tohto grafu dnešné znalosti nestačia. Je zrejmé, že naša krivka nemôže „vyliezť“ veľmi vysoko, od r menovateľ rýchlo začne „predbiehať“ čitateľa. Pozrime sa, či sa hodnota funkcie môže rovnať 1. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť rovnicu x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Táto rovnica nemá žiadne skutočné korene. Náš predpoklad je teda nesprávny. Ak chcete nájsť najväčšiu hodnotu funkcie, musíte zistiť, pre ktoré najväčšie A bude mať rovnica A \u003d x / (x 2 + 1) riešenie. Pôvodnú rovnicu nahraďme kvadratickou rovnicou: Ax 2 - x + A \u003d 0. Táto rovnica má riešenie, keď 1 - 4A 2 ≥ 0. Odtiaľ nájdeme najväčšiu hodnotu A \u003d 1/2.

Odpoveď: Obrázok 5, maximálne y(x) = ½.

Máte nejaké otázky? Neviete, ako vytvárať grafy funkcií?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Na definičnom obore mocninnej funkcie y = x p platia tieto vzorce:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Vlastnosti mocninných funkcií a ich grafy

Mocninná funkcia s exponentom rovným nule, p = 0

Ak je exponent mocninnej funkcie y = x p rovný nule, p = 0 , potom je mocninná funkcia definovaná pre všetky x ≠ 0 a je konštantná, rovná jednej:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Mocninná funkcia s prirodzeným nepárnym exponentom, p = n = 1, 3, 5, ...

Uvažujme mocninnú funkciu y = x p = x n s prirodzeným nepárnym exponentom n = 1, 3, 5, ... . Takýto ukazovateľ možno zapísať aj ako: n = 2k + 1, kde k = 0, 1, 2, 3, ... je nezáporné celé číslo. Nižšie sú uvedené vlastnosti a grafy takýchto funkcií.

Graf mocninnej funkcie y = x n s prirodzeným nepárnym exponentom pre rôzne hodnoty exponentu n = 1, 3, 5, ... .

doména: -∞ < x < ∞
Viaceré hodnoty: -∞ < y < ∞
Parita: nepárne, y(-x) = - y(x)
Monotónne: zvyšuje monotónne
Extrémy: Nie
Konvexné:
pri -∞< x < 0 выпукла вверх
na 0< x < ∞ выпукла вниз
Body zlomu: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Obmedzenia:
;
Súkromné ​​hodnoty:
pri x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pre x = 0, y(0) = 0 n = 0
pre x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrátená funkcia:
pre n = 1 je funkcia inverzná k sebe samej: x = y
pre n ≠ 1 je inverzná funkcia koreňom stupňa n:

Mocninná funkcia s prirodzeným párnym exponentom, p = n = 2, 4, 6, ...

Uvažujme mocninnú funkciu y = x p = x n s prirodzeným párnym exponentom n = 2, 4, 6, ... . Takýto ukazovateľ možno zapísať aj ako: n = 2k, kde k = 1, 2, 3, ... je prirodzené číslo. Vlastnosti a grafy takýchto funkcií sú uvedené nižšie.

Graf mocninnej funkcie y = x n s prirodzeným párnym exponentom pre rôzne hodnoty exponentu n = 2, 4, 6, ... .

doména: -∞ < x < ∞
Viaceré hodnoty: 0 ≤ r< ∞
Parita: párne, y(-x) = y(x)
Monotónne:
pre x ≤ 0 monotónne klesá
pre x ≥ 0 monotónne rastie
Extrémy: minimum, x=0, y=0
Konvexné: konvexné nadol
Body zlomu: Nie
Priesečníky so súradnicovými osami: x = 0, y = 0
Obmedzenia:
;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
pre x = 0, y(0) = 0 n = 0
pre x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrátená funkcia:
pre n = 2, druhá odmocnina:
pre n ≠ 2, koreň stupňa n:

Mocninná funkcia s celočíselným záporným exponentom, p = n = -1, -2, -3, ...

Uvažujme mocninnú funkciu y = x p = x n s exponentom celého záporného čísla n = -1, -2, -3, ... . Ak dáme n = -k, kde k = 1, 2, 3, ... je prirodzené číslo, môžeme ho znázorniť ako:

Graf mocninnej funkcie y = x n so záporným celočíselným exponentom pre rôzne hodnoty exponentu n = -1, -2, -3, ... .

Nepárny exponent, n = -1, -3, -5, ...

Nižšie sú uvedené vlastnosti funkcie y = x n s nepárnym záporným exponentom n = -1, -3, -5, ... .

doména: x ≠ 0
Viaceré hodnoty: y ≠ 0
Parita: nepárne, y(-x) = - y(x)
Monotónne: klesá monotónne
Extrémy: Nie
Konvexné:
pri x< 0 : выпукла вверх
pre x > 0 : konvexné nadol
Body zlomu: Nie
Priesečníky so súradnicovými osami: Nie
Znamenie:
pri x< 0, y < 0
pre x > 0, y > 0
Obmedzenia:
; ; ;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrátená funkcia:
pre n = -1,
pre n< -2 ,

Párny exponent, n = -2, -4, -6, ...

Nižšie sú uvedené vlastnosti funkcie y = x n s párnym záporným exponentom n = -2, -4, -6, ... .

doména: x ≠ 0
Viaceré hodnoty: y > 0
Parita: párne, y(-x) = y(x)
Monotónne:
pri x< 0 : монотонно возрастает
pre x > 0 : monotónne klesajúci
Extrémy: Nie
Konvexné: konvexné nadol
Body zlomu: Nie
Priesečníky so súradnicovými osami: Nie
Znamenie: y > 0
Obmedzenia:
; ; ;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrátená funkcia:
pre n = -2,
pre n< -2 ,

Mocninná funkcia s racionálnym (zlomkovým) exponentom

Uvažujme mocninnú funkciu y = x p s racionálnym (zlomkovým) exponentom , kde n je celé číslo, m > 1 je prirodzené číslo. Navyše n, m nemajú spoločných deliteľov.

Menovateľ zlomkového ukazovateľa je nepárny

Nech je menovateľ zlomkového exponentu nepárny: m = 3, 5, 7, ... . V tomto prípade je výkonová funkcia x p definovaná pre kladné aj záporné hodnoty x. Zvážte vlastnosti takýchto mocninných funkcií, keď je exponent p v určitých medziach.

p je záporné, p< 0

Nech je racionálny exponent (s nepárnym menovateľom m = 3, 5, 7, ... ) menší ako nula: .

Grafy exponenciálnych funkcií s racionálnym záporným exponentom pre rôzne hodnoty exponentu, kde m = 3, 5, 7, ... je nepárne.

Nepárny čitateľ, n = -1, -3, -5, ...

Tu sú vlastnosti mocninovej funkcie y = x p s racionálnym záporným exponentom , kde n = -1, -3, -5, ... je nepárne záporné celé číslo, m = 3, 5, 7 ... je nepárne prirodzené číslo.

doména: x ≠ 0
Viaceré hodnoty: y ≠ 0
Parita: nepárne, y(-x) = - y(x)
Monotónne: klesá monotónne
Extrémy: Nie
Konvexné:
pri x< 0 : выпукла вверх
pre x > 0 : konvexné nadol
Body zlomu: Nie
Priesečníky so súradnicovými osami: Nie
Znamenie:
pri x< 0, y < 0
pre x > 0, y > 0
Obmedzenia:
; ; ;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
pre x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrátená funkcia:

Párny čitateľ, n = -2, -4, -6, ...

Vlastnosti mocninovej funkcie y = x p s racionálnym záporným exponentom, kde n = -2, -4, -6, ... je párne záporné celé číslo, m = 3, 5, 7 ... je nepárne prirodzené číslo .

doména: x ≠ 0
Viaceré hodnoty: y > 0
Parita: párne, y(-x) = y(x)
Monotónne:
pri x< 0 : монотонно возрастает
pre x > 0 : monotónne klesajúci
Extrémy: Nie
Konvexné: konvexné nadol
Body zlomu: Nie
Priesečníky so súradnicovými osami: Nie
Znamenie: y > 0
Obmedzenia:
; ; ;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
pre x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrátená funkcia:

Hodnota p je kladná, menšia ako jedna, 0< p < 1

Graf mocninovej funkcie s racionálnym exponentom (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Nepárny čitateľ, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

doména: -∞ < x < +∞
Viaceré hodnoty: -∞ < y < +∞
Parita: nepárne, y(-x) = - y(x)
Monotónne: zvyšuje monotónne
Extrémy: Nie
Konvexné:
pri x< 0 : выпукла вниз
pre x > 0 : konvexné nahor
Body zlomu: x = 0, y = 0
Priesečníky so súradnicovými osami: x = 0, y = 0
Znamenie:
pri x< 0, y < 0
pre x > 0, y > 0
Obmedzenia:
;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = -1, y(-1) = -1
pre x = 0, y(0) = 0
pre x = 1, y(1) = 1
Obrátená funkcia:

Párny čitateľ, n = 2, 4, 6, ...

Prezentované sú vlastnosti mocninnej funkcie y = x p s racionálnym exponentom , ktorý je v rámci 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

doména: -∞ < x < +∞
Viaceré hodnoty: 0 ≤ r< +∞
Parita: párne, y(-x) = y(x)
Monotónne:
pri x< 0 : монотонно убывает
pre x > 0 : monotónne rastúce
Extrémy: minimum pri x = 0, y = 0
Konvexné: konvexné smerom nahor pri x ≠ 0
Body zlomu: Nie
Priesečníky so súradnicovými osami: x = 0, y = 0
Znamenie: pre x ≠ 0, y > 0
Obmedzenia:
;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = -1, y(-1) = 1
pre x = 0, y(0) = 0
pre x = 1, y(1) = 1
Obrátená funkcia:

Exponent p je väčší ako jedna, p > 1

Graf mocninnej funkcie s racionálnym exponentom (p > 1 ) pre rôzne hodnoty exponentu, kde m = 3, 5, 7, ... je nepárne.

Nepárny čitateľ, n = 5, 7, 9, ...

Vlastnosti mocninnej funkcie y = x p s racionálnym exponentom väčším ako jedna: . Kde n = 5, 7, 9, ... je nepárne prirodzené číslo, m = 3, 5, 7 ... je nepárne prirodzené číslo.

doména: -∞ < x < ∞
Viaceré hodnoty: -∞ < y < ∞
Parita: nepárne, y(-x) = - y(x)
Monotónne: zvyšuje monotónne
Extrémy: Nie
Konvexné:
pri -∞< x < 0 выпукла вверх
na 0< x < ∞ выпукла вниз
Body zlomu: x = 0, y = 0
Priesečníky so súradnicovými osami: x = 0, y = 0
Obmedzenia:
;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = -1, y(-1) = -1
pre x = 0, y(0) = 0
pre x = 1, y(1) = 1
Obrátená funkcia:

Párny čitateľ, n = 4, 6, 8, ...

Vlastnosti mocninnej funkcie y = x p s racionálnym exponentom väčším ako jedna: . Kde n = 4, 6, 8, ... je párne prirodzené číslo, m = 3, 5, 7 ... je nepárne prirodzené číslo.

doména: -∞ < x < ∞
Viaceré hodnoty: 0 ≤ r< ∞
Parita: párne, y(-x) = y(x)
Monotónne:
pri x< 0 монотонно убывает
pre x > 0 monotónne rastie
Extrémy: minimum pri x = 0, y = 0
Konvexné: konvexné nadol
Body zlomu: Nie
Priesečníky so súradnicovými osami: x = 0, y = 0
Obmedzenia:
;
Súkromné ​​hodnoty:
pre x = -1, y(-1) = 1
pre x = 0, y(0) = 0
pre x = 1, y(1) = 1
Obrátená funkcia:

Menovateľ zlomkového ukazovateľa je párny

Nech je menovateľ zlomkového exponentu párny: m = 2, 4, 6, ... . V tomto prípade mocninná funkcia x p nie je definovaná pre záporné hodnoty argumentu. Jeho vlastnosti sa zhodujú s vlastnosťami mocninnej funkcie s iracionálnym exponentom (pozri nasledujúcu časť).

Mocninná funkcia s iracionálnym exponentom

Uvažujme mocninnú funkciu y = x p s iracionálnym exponentom p . Vlastnosti takýchto funkcií sa líšia od vlastností uvedených vyššie v tom, že nie sú definované pre záporné hodnoty argumentu x. Pre kladné hodnoty argumentu závisia vlastnosti iba od hodnoty exponentu p a nezávisia od toho, či je p celé číslo, racionálne alebo iracionálne.

y = x p pre rôzne hodnoty exponentu p .

Mocninná funkcia so zápornou p< 0

doména: x > 0
Viaceré hodnoty: y > 0
Monotónne: klesá monotónne
Konvexné: konvexné nadol
Body zlomu: Nie
Priesečníky so súradnicovými osami: Nie
Obmedzenia: ;
súkromná hodnota: Pre x = 1, y(1) = 1 p = 1

Mocninná funkcia s kladným exponentom p > 0

Indikátor je menší ako jedna 0< p < 1

doména: x ≥ 0
Viaceré hodnoty: y ≥ 0
Monotónne: zvyšuje monotónne
Konvexné: konvexne nahor
Body zlomu: Nie
Priesečníky so súradnicovými osami: x = 0, y = 0
Obmedzenia:
Súkromné ​​hodnoty: Pre x = 0, y(0) = 0 p = 0.
Pre x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indikátor je väčší ako jedno p > 1

doména: x ≥ 0
Viaceré hodnoty: y ≥ 0
Monotónne: zvyšuje monotónne
Konvexné: konvexné nadol
Body zlomu: Nie
Priesečníky so súradnicovými osami: x = 0, y = 0
Obmedzenia:
Súkromné ​​hodnoty: Pre x = 0, y(0) = 0 p = 0.
Pre x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.

Pozri tiež:

Dĺžka segmentu na súradnicovej osi sa zistí podľa vzorca:

Dĺžka segmentu v rovine súradníc sa hľadá podľa vzorca:

Na nájdenie dĺžky segmentu v trojrozmernom súradnicovom systéme sa používa nasledujúci vzorec:

Súradnice stredu segmentu (pre súradnicovú os sa používa iba prvý vzorec, pre rovinu súradníc - prvé dva vzorce, pre trojrozmerný súradnicový systém - všetky tri vzorce) sa vypočítajú podľa vzorcov:

Funkcia je zhoda s formulárom r= f(X) medzi premennými, vďaka čomu každá uvažovala o hodnote nejakej premennej X(argument alebo nezávislá premenná) zodpovedá určitej hodnote inej premennej, r(závislá premenná, niekedy sa táto hodnota nazýva jednoducho hodnota funkcie). Všimnite si, že funkcia predpokladá, že jedna hodnota argumentu X môže existovať iba jedna hodnota závislej premennej pri. Avšak rovnakú hodnotu pri možno získať s rôznymi X.

Rozsah funkcie sú všetky hodnoty nezávislej premennej (argument funkcie, zvyčajne X) pre ktorý je funkcia definovaná, t.j. jeho význam existuje. Je uvedená doména definície D(r). Celkovo tento pojem už poznáte. Rozsah funkcie sa inak nazýva doména platných hodnôt alebo ODZ, ktorú ste už dlho vedeli nájsť.

Rozsah funkcií sú všetky možné hodnoty závislej premennej tejto funkcie. Označené E(pri).

Funkcia stúpa na intervale, na ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Funkcia klesá na intervale, na ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

Funkčné intervaly sú intervaly nezávislej premennej, v ktorých si závislá premenná zachováva svoje kladné alebo záporné znamienko.

Funkčné nuly sú tie hodnoty argumentu, pre ktoré sa hodnota funkcie rovná nule. V týchto bodoch graf funkcie pretína os x (osa OX). Potreba nájsť nuly funkcie veľmi často znamená jednoduché riešenie rovnice. Tiež často potreba nájsť intervaly konštantného znamienka znamená potrebu jednoducho vyriešiť nerovnosť.

Funkcia r = f(X) sa volajú dokonca X

To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty párnej funkcie rovnaké. Graf párnej funkcie je vždy symetrický okolo osi y operačného zosilňovača.

Funkcia r = f(X) sa volajú zvláštny, ak je definovaný na symetrickej množine a pre ľubovoľnú X z oblasti definície je splnená rovnosť:

To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty nepárnej funkcie tiež opačné. Graf nepárnej funkcie je vždy symetrický podľa počiatku.

Súčet koreňov párnych a nepárnych funkcií (priesečníkov osi x x) je vždy rovný nule, pretože za každý kladný koreň X má negatívny koreň X.

Je dôležité poznamenať, že niektoré funkcie nemusia byť párne alebo nepárne. Existuje veľa funkcií, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takéto funkcie sú tzv všeobecné funkcie a neplatí pre nich žiadna z vyššie uvedených rovností alebo vlastností.

Lineárna funkcia sa nazýva funkcia, ktorá môže byť daná vzorcom:

Graf lineárnej funkcie je priamka a vo všeobecnom prípade vyzerá takto (uvádzame príklad pre prípad, keď k> 0, v tomto prípade je funkcia rastúca; pre túto príležitosť k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graf kvadratickej funkcie (Parabola)

Graf paraboly je daný kvadratickou funkciou:

Kvadratická funkcia, ako každá iná funkcia, pretína os OX v bodoch, ktoré sú jej koreňmi: ( X 1; 0) a ( X 2; 0). Ak neexistujú žiadne korene, potom kvadratická funkcia nepretína os OX, ak existuje jeden koreň, potom v tomto bode ( X 0; 0) kvadratická funkcia sa iba dotýka osi OX, ale nepretína ju. Kvadratická funkcia vždy pretína os OY v bode so súradnicami: (0; c). Graf kvadratickej funkcie (paraboly) môže vyzerať takto (obrázok ukazuje príklady, ktoré zďaleka nevyčerpajú všetky možné typy parabol):

kde:

• ak koeficient a> 0, vo funkcii r = sekera 2 + bx + c, potom sú vetvy paraboly nasmerované nahor;
• ak a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Súradnice vrcholov paraboly možno vypočítať pomocou nasledujúcich vzorcov. X topy (p- na obrázkoch vyššie) paraboly (alebo bodu, v ktorom štvorcová trojčlenka dosiahne svoju maximálnu alebo minimálnu hodnotu):

Y topy (q- na obrázkoch vyššie) paraboly alebo maximálne, ak vetvy paraboly smerujú nadol ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), hodnota štvorcového trinomu:

Grafy iných funkcií

výkonová funkcia

Tu je niekoľko príkladov grafov mocninových funkcií:

Nepriamo úmerná závislosť zavolajte funkciu danú vzorcom:

V závislosti od znamienka čísla k Nepriamo úmerný graf môže mať dve základné možnosti:

Asymptota je priamka, ku ktorej sa priamka grafu funkcie nekonečne blízko približuje, ale nepretína sa. Asymptoty pre grafy inverznej úmernosti znázornené na obrázku vyššie sú súradnicové osi, ku ktorým sa graf funkcie nekonečne približuje, ale nepretína ich.

exponenciálna funkcia so základňou A zavolajte funkciu danú vzorcom:

a graf exponenciálnej funkcie môže mať dve základné možnosti (uvedieme aj príklady, pozri nižšie):

logaritmická funkcia zavolajte funkciu danú vzorcom:

Podľa toho, či je číslo väčšie alebo menšie ako jedna a Graf logaritmickej funkcie môže mať dve základné možnosti:

Graf funkcií r = |X| nasledovne:

Grafy periodických (trigonometrických) funkcií

Funkcia pri = f(X) sa nazýva periodikum, ak takéto nenulové číslo existuje T, Čo f(X + T) = f(X), pre hocikoho X mimo rozsahu funkcie f(X). Ak je funkcia f(X) je periodické s bodkou T, potom funkcia:

Kde: A, k, b sú konštantné čísla a k nerovná sa nule, tiež periodické s bodkou T 1, ktorý je určený vzorcom:

Väčšina príkladov periodických funkcií sú goniometrické funkcie. Tu sú grafy hlavných goniometrických funkcií. Nasledujúci obrázok znázorňuje časť grafu funkcie r= hriech X(celý graf pokračuje nekonečne doľava a doprava), graf funkcie r= hriech X volal sínusoida:

Graf funkcií r= cos X volal kosínusová vlna. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Od grafu sínusu pokračuje donekonečna pozdĺž osi OX doľava a doprava:

Graf funkcií r=tg X volal tangentoida. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.

A nakoniec graf funkcie r=ctg X volal kotangentoid. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických a goniometrických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.

• späť
• Vpred

Ako sa úspešne pripraviť na CT z fyziky a matematiky?

Pre úspešnú prípravu na CT z fyziky a matematiky musia byť okrem iného splnené tri kritické podmienky:

1. Preštudujte si všetky témy a vyplňte všetky testy a úlohy uvedené v študijných materiáloch na tejto stránke. K tomu nepotrebujete vôbec nič, a to: venovať sa každý deň tri až štyri hodiny príprave na CT z fyziky a matematiky, štúdiu teórie a riešeniu úloh. Faktom je, že DT je ​​skúška, pri ktorej nestačí vedieť len fyziku či matematiku, ale treba vedieť rýchlo a bez neúspechov vyriešiť veľké množstvo problémov na rôzne témy a rôznej zložitosti. To posledné sa dá naučiť len riešením tisícok problémov.
2. Naučte sa všetky vzorce a zákony vo fyzike a vzorce a metódy v matematike. V skutočnosti je to tiež veľmi jednoduché, vo fyzike je len asi 200 potrebných vzorcov a v matematike ešte o niečo menej. V každom z týchto predmetov je asi tucet štandardných metód na riešenie problémov základnej úrovne zložitosti, ktoré sa možno aj naučiť, a tak úplne automaticky a bez problémov vyriešiť väčšinu digitálnej transformácie v správnom čase. Potom už budete musieť myslieť len na tie najťažšie úlohy.
3. Zúčastnite sa všetkých troch stupňov skúšobného testovania z fyziky a matematiky. Každý RT je možné navštíviť dvakrát, aby sa vyriešili obe možnosti. Opäť platí, že na CT je okrem schopnosti rýchlo a efektívne riešiť problémy a znalosti vzorcov a metód potrebné aj vedieť si správne naplánovať čas, rozložiť sily a hlavne správne vyplniť odpoveďový formulár. , bez toho, aby ste si pomýlili čísla odpovedí a úloh, ani svoje vlastné meno. Taktiež je počas RT dôležité zvyknúť si na štýl kladenia otázok v úlohách, ktorý sa nepripravenému človeku na DT môže zdať veľmi nezvyčajný.

Úspešné, usilovné a zodpovedné plnenie týchto troch bodov, ako aj zodpovedné štúdium záverečných tréningových testov vám umožní ukázať na CT výborný výsledok, maximum toho, čoho ste schopní.

Našli ste chybu?

Ak ste, ako sa vám zdá, našli chybu v školiacich materiáloch, napíšte o nej e-mailom (). V liste uveďte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo témy alebo testu, číslo úlohy, prípadne miesto v texte (strane), kde je podľa vás chyba. Popíšte tiež, čo je údajná chyba. Váš list nezostane bez povšimnutia, chyba bude buď opravená, alebo vám bude vysvetlené, prečo nejde o chybu.

Zostavte funkciu

Dávame do pozornosti službu na vykresľovanie funkčných grafov online, ku ktorej patria všetky práva spoločnosti Desmos. Na zadávanie funkcií použite ľavý stĺpec. Môžete zadať manuálne alebo pomocou virtuálnej klávesnice v spodnej časti okna. Ak chcete zväčšiť okno grafu, môžete skryť ľavý stĺpec aj virtuálnu klávesnicu.

Výhody online grafov

• Vizuálne zobrazenie predstavených funkcií
• Vytváranie veľmi zložitých grafov
• Vykresľovanie implicitne definovaných grafov (napr. elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Možnosť ukladať grafy a získať na ne odkaz, ktorý bude dostupný pre každého na internete
• Ovládanie mierky, farba čiary
• Schopnosť vykresľovať grafy podľa bodov, použitie konštánt
• Konštrukcia viacerých grafov funkcií súčasne
• Vykresľovanie v polárnych súradniciach (použite r a θ(\theta))

S nami je jednoduché vytvárať online grafy rôznej zložitosti. Stavba je hotová okamžite. Služba je žiadaná na nájdenie priesečníkov funkcií, na zobrazenie grafov na ich ďalší prenos do dokumentu Word ako ilustrácie pri riešení problémov, na analýzu behaviorálnych vlastností grafov funkcií. Najlepší prehliadač na prácu s grafmi na tejto stránke webu je Google Chrome. Pri použití iných prehliadačov nie je zaručené správne fungovanie.