Teorema sinusurilor. Demonstrarea teoremei sinusului. Demonstrarea teoremei uzuale a sinusurilor

Teorema sinusurilor

Teorema sinusului stabilește relația dintre dimensiunea unghiurilor unui triunghi și laturile sale opuse.

Enunțul teoremei sinusului:
Laturile unui triunghi sunt proportionale cu sinusurile unghiurilor opuse

Unde
R- raza cercului circumscris triunghiului
a, b, c- laturile unui triunghi
α, β, γ - mărimea unghiurilor opuse acestor laturi

Dovada teoremei sinusurilor

Demonstrarea teoremei sinusurilor se face folosind construcții suplimentare.

Să construim un triunghi arbitrar, înscris într-un cerc. Să-l notăm ca ABC.
În plus, construim diametrul cercului, în care este înscris un triunghi arbitrar, dar astfel încât să treacă prin unul dintre unghiurile sale. Diametrul este egal cu dublul razei cercului (2R).

Să luăm în considerare că una dintre proprietățile unui triunghi dreptunghic înscris într-un cerc este că ipotenuza sa este diametrul cercului în care este înscris.

Să notăm diametrul cercului circumferitor ca BD. Triunghiul rezultat BCD este dreptunghic deoarece ipotenuza sa se află pe diametrul cercului circumscris (proprietatea unghiurilor înscrise într-un cerc).

Astfel, un triunghi construit suplimentar, care are o latură comună cu triunghiul arbitrar construit anterior, iar ipotenuza coincide cu diametrul cercului - este dreptunghiulară. Adică triunghiul DBC este dreptunghic.

Pentru a demonstra întreaga teoremă, deoarece dimensiunile triunghiului ABC sunt alese arbitrar, este suficient să se demonstreze că raportul dintre o latură arbitrară și unghiul opus acesteia este egal cu 2R.

Fie 2R = a / sin α, adică dacă luăm din desen 2R = BC / sin A.

Deoarece, Unghiurile înscrise într-un cerc și care subtind același arc sunt egale, atunci unghiul CDB este fie egal cu unghiul CAB (dacă punctele A și D se află de aceeași parte a dreptei BC), fie egal cu π - CAB (în caz contrar).

Să ne întoarcem la proprietățile funcțiilor trigonometrice. Deoarece sin(π − α) = sin α, atunci opțiunile indicate pentru construirea unui triunghi vor duce în continuare la același rezultat.

Să calculăm valoarea 2R = a / sin α, conform desenului 2R = BC / sin A. Pentru a face acest lucru, înlocuiți sin A cu raportul laturilor corespunzătoare ale triunghiului dreptunghic.

2R = BC / sin A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB

Și, deoarece DB a fost construit ca diametrul unui cerc, atunci egalitatea este satisfăcută.
Repetând același raționament pentru celelalte două laturi ale triunghiului, obținem:

Teorema sinusului a fost demonstrată.

Laturile unui triunghi sunt proportionale cu sinusurile unghiurilor opuse.

Dovada:

Fie triunghiul ABC, latura AB = c, latura BC = a, latura CA = b.

Să încercăm să demonstrăm că a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Să folosim teorema ariei triunghiului și să o scriem pentru fiecare pereche de laturi și unghiul corespunzător:

S = (1/2)*a*b*sin(C),

S = (1/2)*b*c*sin(A),

S = (1/2)*c*a*sin(B).

Deoarece părțile stângi ale primelor două egalități sunt aceleași, părțile drepte pot fi egalate între ele. Se obține (1/2)*a*b*sin(C) = (1/2)*b*c*sin(A). Să reducem această egalitate cu ½*b, obținem:

a*sin(C) = c*sin(A).

a/sin(A) = c/sin(C).

Deoarece părțile din stânga celei de-a doua și a treia egalități sunt aceleași, părțile din dreapta pot fi echivalate între ele. Se obține (1/2)*b*c*sin(C) = (1/2)*c*a*sin(B). Să reducem această egalitate cu 1/2*c, obținem:

b*sin(A) = a*sin(B).

Prin proprietatea proporției obținem:

a/sin(A) = b/sin(B).

Combinând cele două rezultate obținem: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Q.E.D.

Rezolvarea problemei

Se poate dovedi și următorul fapt. Raportul dintre orice latură a unui triunghi și sinusul unghiului opus este egal cu diametrul cercului circumscris triunghiului.

Cu alte cuvinte, pentru orice triunghi ABC cu latura AB = c, latura BC = a, latura CA = b, sunt valabile următoarele egalități: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2*R. Aici R este raza cercului circumscris triunghiului.

Ai nevoie de ajutor cu studiile tale?

Subiect anterior:

Trigonometria este utilizată pe scară largă nu numai în secțiunea de algebră - începutul analizei, ci și în geometrie. În acest sens, este rezonabil să presupunem existența teoremelor și a demonstrațiilor lor legate de funcțiile trigonometrice. Într-adevăr, teoremele cosinusurilor și sinusurilor derivă relații foarte interesante și, cel mai important, utile între laturile și unghiurile triunghiurilor.

Folosind această formulă, puteți obține oricare dintre laturile triunghiului:

Dovada afirmației este derivată pe baza teoremei lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC. De la vârful C coborâm înălțimea h până la baza figurii în acest caz lungimea sa nu este absolut importantă. Acum, dacă luăm în considerare un triunghi arbitrar ACB, atunci putem exprima coordonatele punctului C prin funcțiile trigonometrice cos și sin.

Să ne amintim definiția cosinusului și să notăm raportul laturilor triunghiului ACD: cos α = AD/AC | înmulțiți ambele părți ale egalității cu AC; AD = AC * cos α.

Luăm lungimea AC ca b și obținem o expresie pentru prima coordonată a punctului C:
x = b * cos⁡α. În mod similar, găsim valoarea ordonatei C: y = b * sin α. Apoi, aplicăm teorema lui Pitagora și exprimăm alternativ h pentru triunghiul ACD și DCB:

Este evident că ambele expresii (1) și (2) sunt egale între ele. Să echivalăm părțile din dreapta și să prezentăm altele similare:

În practică, această formulă vă permite să găsiți lungimea laturii necunoscute a unui triunghi la unghiuri date. Teorema cosinusului are trei consecințe: pentru unghiurile drepte, acute și obtuze ale unui triunghi.

Să înlocuim valoarea lui cos α cu variabila obișnuită x, apoi pentru unghiul ascuțit al triunghiului ABC obținem:

Dacă unghiul se dovedește a fi drept, atunci 2bx va dispărea din expresie, deoarece cos 90° = 0. Grafic, a doua consecință poate fi reprezentată după cum urmează:

În cazul unui unghi obtuz, semnul „-” înainte de argumentul dublu din formulă se va schimba în „+”:

După cum se vede din explicație, nu este nimic complicat în relații. Teorema cosinusului nu este altceva decât o traducere a teoremei lui Pitagora în mărimi trigonometrice.

Aplicarea practică a teoremei

Exercitiul 1. Dat un triunghi ABC, a cărui latură BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm și cos α = ½. Trebuie să găsiți lungimea laturii AB.

Pentru a face calculul corect, trebuie să determinați unghiul α. Pentru a face acest lucru, ar trebui să consultați tabelul de valori pentru funcțiile trigonometrice, conform căruia cosinusul arcului este egal cu 1/2 pentru un unghi de 60°. Pe baza acestui lucru, folosim formula primului corolar al teoremei:

Sarcina 2. Pentru triunghiul ABC se cunosc toate laturile: AB =4√2,BC=5,AC=7. Trebuie să găsiți toate unghiurile figurii.

În acest caz, nu puteți face fără un desen al condițiilor problemei.

Deoarece valorile unghiului rămân necunoscute, trebuie utilizată formula completă pentru un unghi acut pentru a găsi soluții.

Prin analogie, nu este dificil să creați formule și să calculați valorile altor unghiuri:

Suma celor trei unghiuri ale triunghiului ar trebui să fie 180°: 53 + 82 + 45 = 180, prin urmare, soluția a fost găsită.

Teorema sinusurilor

Teorema afirmă că toate laturile unui triunghi arbitrar sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse. Relațiile sunt scrise sub formă de egalitate triplă:

Dovada clasică a afirmației se realizează folosind exemplul unei figuri înscrise într-un cerc.

Pentru a verifica veridicitatea afirmației folosind exemplul triunghiului ABC din figură, este necesar să confirmăm faptul că 2R = BC / sin A. Apoi dovediți că celelalte laturi sunt legate de sinusurile unghiurilor opuse, cum ar fi 2R sau D al unui cerc.

Pentru a face acest lucru, trageți diametrul cercului din vârful B. Din proprietatea unghiurilor înscrise într-un cerc, ∠GCB este o linie dreaptă, iar ∠CGB este fie egal cu ∠CAB, fie (π - ∠CAB). În cazul sinusului, această din urmă împrejurare nu este semnificativă, deoarece sin (π –α) = sin α. Pe baza concluziilor de mai sus, se poate afirma că:

sin ∠CGB = BC/ BG sau sin A = BC/2R,

Dacă luăm în considerare alte unghiuri ale figurii, obținem o formulă extinsă pentru teorema sinusurilor:

Sarcinile tipice pentru practicarea teoremei sinusului se reduc la găsirea unei laturi sau unghi necunoscute a unui triunghi.

După cum se poate observa din exemple, rezolvarea unor astfel de probleme nu provoacă dificultăți și constă în efectuarea de calcule matematice.

Să construim un triunghi arbitrar înscris într-un cerc. Să-l notăm ca ABC.
Pentru a demonstra întreaga teoremă, deoarece dimensiunile triunghiului sunt alese arbitrar, este suficient să demonstrăm că raportul dintre o latură arbitrară și unghiul opus acesteia este egal cu 2R. Fie 2R = a / sin α, adică dacă luăm din desen 2R = BC / sin A.

Să calculăm diametrul BD pentru cercul circumferitor. Triunghiul rezultat BCD este dreptunghic deoarece ipotenuza sa se află pe diametrul cercului circumscris (proprietatea unghiurilor înscrise într-un cerc).

Deoarece unghiurile înscrise într-un cerc și care se sprijină pe același arc sunt egale, atunci unghiul CDB este fie egal cu unghiul CAB (dacă punctele A și D se află de aceeași parte a dreptei BC), fie egal cu π - CAB (în caz contrar) .

Să ne întoarcem la proprietățile funcțiilor trigonometrice. Deoarece sin(π − α) = sin α, opțiunile indicate pentru construirea unui triunghi vor duce în continuare la același rezultat.

Să calculăm valoarea 2R = a / sin α, conform desenului 2R = BC / sin A. Pentru a face acest lucru, înlocuiți sin A cu raportul laturilor corespunzătoare ale triunghiului dreptunghic.

2R = BC / sin A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB

Și, deoarece DB a fost construit ca diametrul unui cerc, atunci egalitatea este satisfăcută.
Repetând același raționament pentru celelalte două laturi ale triunghiului, obținem:

Teorema sinusului a fost demonstrată.

Teorema sinusurilor

Notă. Aceasta face parte dintr-o lecție cu probleme de geometrie (teorema secțiunii sinusurilor). Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie care nu este aici, scrieți despre ea pe forum. În sarcini, în locul simbolului „rădăcină pătrată”, se folosește funcția sqrt(), în care sqrt este simbolul rădăcinii pătrate, iar expresia radicalului este indicată între paranteze.

Teorema sinusurilor:
Laturile unui triunghi sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse sau, într-o formulare extinsă:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
unde R este raza cercului circumscris

Pentru teorie - formularea și demonstrarea teoremei, vezi în detaliu în capitolul „Teorema sinurilor” .

Sarcină

În triunghiul XYZ, unghiul X=30, unghiul Z=15. Perpendiculara YQ pe ZY împarte latura XZ în părți XQ și QZ Aflați XY dacă QZ = 1,5 m

Soluţie.
Înălțimea a format două triunghiuri dreptunghiulare XYQ și ZYQ.
Pentru a rezolva problema, vom folosi teorema sinusurilor.
QZ / sin(QYZ) = QY / sin(QZY)

QZY = 15 grade, în consecință, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Deoarece lungimea altitudinii triunghiului este acum cunoscută, să găsim XY folosind aceeași teoremă a sinusurilor.

QY / sin(30) = XY / sin(90)

Să luăm în considerare valorile tabelare ale unor funcții trigonometrice:

sinusul de 30 de grade este egal cu sin(30) = 1 / 2
sinusul de 90 de grade este egal cu sin(90) = 1

QY = XY sin (30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2 XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0,8 m

Răspuns: 0,8 m sau 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

Teorema sinusurilor (partea 2)

Notă. Aceasta face parte dintr-o lecție cu probleme de geometrie (teorema secțiunii sinusurilor). Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie care nu este aici, scrieți despre ea pe forum .

Vezi teoria în detaliu în capitolul „Teorema sinusurilor” .

Sarcină

Latura AB a triunghiului ABC este de 16 cm. Unghiul A este de 30 de grade. Unghiul B este de 105 grade. Calculați lungimea laturii BC.