Să luăm în considerare metoda operațională de rezolvare a ecuațiilor diferențiale folosind exemplul unei ecuații de ordinul trei.

Să presupunem că trebuie să găsim o anumită soluție la o ecuație diferențială liniară de ordinul trei cu coeficienți constanți

indeplinirea conditiilor initiale:

c 0, c 1, c 2 - numere date.

Folosind proprietatea de diferențiere a originalului, scriem:

În ecuația (6.4.1), să trecem de la originale la imagini

Ecuația rezultată se numește operator sau o ecuație în imagini. Rezolvați-l relativ la Y.

Polinoame algebrice într-o variabilă R.

Egalitatea se numește soluție operator a ecuației diferențiale (6.4.1).

Găsirea originalului YT), corespunzător imaginii găsite, obținem o soluție particulară a ecuației diferențiale.

Exemplu: folosind metoda calculului operațional, găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale care satisface condițiile inițiale date

Să trecem de la originale la imagini

Să scriem ecuația originală în imagini și să o rezolvăm Y

Pentru a găsi originalul imaginii rezultate, factorizăm numitorul fracției și scriem fracția rezultată ca sumă de fracții simple.

Să găsim coeficienții A, B,Și CU.

Folosind tabelul, înregistrăm originalul imaginii rezultate

Soluție particulară a ecuației inițiale.

Metoda operațională se aplică în mod similar pentru rezolvarea sistemelor de ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți

Funcții necunoscute.

Să trecem la imagini

Obținem un sistem de reprezentare a ecuațiilor

Rezolvăm sistemul folosind metoda lui Cramer. Găsim determinanții:

Găsirea unei soluții pentru sistemul de imagistică X(p), Y(p), Z(p).

Am obținut soluția necesară a sistemului

Folosind calculul operațional, puteți găsi soluții la ecuații diferențiale liniare cu coeficienți variabili și ecuații diferențiale parțiale; calcula integrale. În același timp, rezolvarea problemelor este mult simplificată. Este folosit în rezolvarea problemelor de ecuații de fizică matematică.

Întrebări pentru autocontrol.

1. Care funcție se numește originală?

2. Ce funcție se numește imaginea originalului?

3. Funcția Heaviside și imaginea acesteia.

4. Obțineți o imagine pentru funcțiile originalelor folosind definiția imaginii: f(t) =t , .

5. Obțineți imagini pentru funcții folosind proprietățile transformărilor Laplace.

6. Găsiți funcțiile originalelor folosind tabelul de imagini: ;

7. Găsiți o anumită soluție pentru o ecuație diferențială liniară folosind metode de calcul operațional.

Literatură: p. 411-439, p. 572-594.

Exemple: pp. 305-316.

LITERATURĂ

1. Danko P.E. Matematică superioară în exerciții și probleme. În 2 părți.Partea I: Manual. manual pentru colegii/P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova - M.: Mai înaltă. şcoală, 1997.– 304 p.

2. Danko P.E. Matematică superioară în exerciții și probleme. În 2 părți.Partea a II-a: Manual. manual pentru colegii./ P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova - M.: Mai înaltă. şcoală, 1997.– 416 p.

3. Kaplan I.A. Curs practice de matematică superioară. Partea 4./ I.A. Kaplan - Editura Universității de Stat din Harkov, 1966, 236 p.

4. Piskunov N.S. Calcul diferențial și integral. În 2 volume, volumul 1: manual. manual pentru colegii./ N.S. Piskunov - M.: ed. „Știință”, 1972. – 456 p.

5. Piskunov N.S. Calcul diferențial și integral pentru colegii. În 2 volume, volumul 2: manual. Un manual pentru colegii../ N.S. Piskunov – M.: ed. „Știință”, 1972. – 456 p.

6. Scris D.T. Note de curs de matematică superioară: curs complet.–ed. a IV-a/ D.T. Scris – M.: Iris-press, 2006.–608 p. - (Educatie inalta).

7. Slobodskaya V.A. Curs scurt de matematică superioară. Ed. al 2-lea, reluat si suplimentare Manual manual pentru colegii/V.A. Slobodskaya - M.: Mai înaltă. şcoală, 1969.– 544 p.

Note de curs Matematică superioară

pentru studenții direcției 6.070104 „Transport maritim și fluvial”

specialitatea „Exploarea centralelor electrice de nave”

cursuri full-time și part-time anul 2

Tiraj______ exemplare Semnat pentru publicare ______________

Comandă nu.__________. Volum__2,78__p.l.

Editura „Universitatea Tehnologică Marină de Stat Kerch”

98309 Kerci, Ordzhonikidze, 82

Cum se rezolvă o ecuație diferențială
metoda de calcul operațional?

În această lecție, o sarcină tipică și larg răspândită de analiză complexă va fi discutată în detaliu - găsirea unei anumite soluții la un DE de ordinul 2 cu coeficienți constanți folosind metoda calculului operațional. Din când în când te scap de preconcepția că materialul este inimaginabil de complex și inaccesibil. Este amuzant, dar pentru a stăpâni exemplele, este posibil să nu poți să diferențiezi, să integrezi și chiar să nu știi ce este numere complexe. Este necesară abilitățile de aplicare metoda coeficienților nesiguri, despre care se discută în detaliu în articol Integrarea Funcțiilor Fracționale-Raționale. De fapt, piatra de temelie a temei sunt operațiile algebrice simple și sunt încrezător că materialul este accesibil chiar și unui elev de liceu.

În primul rând, informații teoretice concise despre secțiunea de analiză matematică luată în considerare. Punctul principal calcul operațional este după cum urmează: funcţia valabil variabilă folosind așa-numita Transformarea Laplace afisat in funcţie cuprinzătoare variabil :

Terminologie și denumiri:
funcția este numită original;
funcția este numită imagine;
litera mare denotă Transformarea Laplace.

În termeni simpli, o funcție reală (originală) după anumite reguli trebuie convertită într-o funcție complexă (imagine). Săgeata indică tocmai această transformare. Și „anumite reguli” în sine sunt Transformarea Laplace, pe care o vom lua în considerare doar formal, ceea ce va fi destul de suficient pentru rezolvarea problemelor.

Transformarea Laplace inversă este de asemenea fezabilă, atunci când imaginea este transformată în original:

De ce este nevoie de toate acestea? Într-un număr de probleme de matematică superioare, poate fi foarte benefic să treceți de la originale la imagini, deoarece în acest caz soluția problemei este simplificată semnificativ (doar glumesc). Și vom lua în considerare doar una dintre aceste probleme. Dacă ați trăit pentru a vedea calculul operațional, atunci formularea ar trebui să vă fie foarte familiară:

Găsiți o soluție specială pentru o ecuație neomogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți pentru condiții inițiale date.

Notă: uneori, ecuația diferențială poate fi omogenă: , pentru aceasta în formularea de mai sus este aplicabilă și metoda de calcul operațional. Cu toate acestea, în exemple practice DE omogen de ordinul II este extrem de rar, iar în continuare vom vorbi despre ecuații neomogene.

Și acum va fi discutată a treia metodă - rezolvarea ecuațiilor diferențiale folosind calculul operațional. Încă o dată subliniez faptul că vorbim despre găsirea unei anumite soluții, In afara de asta, conditiile initiale au strict forma(„X-urile” egale cu zerouri).

Apropo, despre „X”. Ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:
, unde „x” este o variabilă independentă, iar „y” este o funcție. Nu este o coincidență că vorbesc despre asta, deoarece în problema luată în considerare sunt cele mai des folosite alte litere:

Adică, rolul variabilei independente este jucat de variabila „te” (în loc de „x”), iar rolul funcției este jucat de variabila „x” (în loc de „y”)

Înțeleg că este incomod, desigur, dar este mai bine să rămânem la notațiile care se găsesc în majoritatea cărților cu probleme și a manualelor de instruire.

Deci, problema noastră cu alte litere este scrisă după cum urmează:

Găsiți o soluție specială pentru o ecuație neomogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți pentru condiții inițiale date .

Sensul sarcinii nu s-a schimbat deloc, ci doar literele s-au schimbat.

Cum se rezolvă această problemă folosind metoda calculului operațional?

În primul rând, vei avea nevoie tabel cu originale și imagini. Acesta este un instrument cheie de soluție și nu vă puteți descurca fără el. Prin urmare, dacă este posibil, încercați să tipăriți materialul de referință furnizat. Permiteți-mi să explic imediat ce înseamnă litera „pe”: o variabilă complexă (în loc de „z”) obișnuit. Deși acest fapt nu este deosebit de important pentru rezolvarea problemelor, „pe” este „pe”.

Folosind tabelul, originalele trebuie transformate în niște imagini. Ceea ce urmează este o serie de acțiuni tipice și este folosită transformarea Laplace inversă (de asemenea, în tabel). Astfel, se va găsi soluția particulară dorită.

Toate problemele, ceea ce este frumos, sunt rezolvate conform unui algoritm destul de strict.

Exemplul 1

, ,

Soluţie:În primul pas, vom trece de la originale la imaginile corespunzătoare. Folosim partea stângă.

Mai întâi, să ne uităm la partea stângă a ecuației originale. Pentru transformarea Laplace avem reguli de liniaritate, deci ignorăm toate constantele și lucrăm separat cu funcția și derivatele ei.

Folosind formula tabulară nr. 1, transformăm funcția:

Conform formulei nr.2 , ținând cont de condiția inițială, transformăm derivata:

Folosind formula nr. 3, luând în considerare condițiile inițiale, transformăm derivata a doua:

Nu te confunda cu semnele!

Recunosc că este mai corect să spunem „transformări” decât „formule”, dar pentru simplitate, din când în când voi numi conținutul tabelului formule.

Acum să ne uităm la partea dreaptă, care conține polinomul. Datorita acelorasi reguli de liniaritate Transformarea Laplace, lucrăm cu fiecare termen separat.

Să ne uităm la primul termen: - aceasta este variabila independentă „te” înmulțită cu o constantă. Ignorăm constanta și, folosind punctul nr. 4 din tabel, efectuăm transformarea:

Să ne uităm la al doilea termen: –5. Când o constantă este găsită singură, nu mai poate fi omisă. Cu o singură constantă, ei fac acest lucru: pentru claritate, poate fi reprezentat ca un produs: , iar transformarea poate fi aplicată unității:

Astfel, pentru toate elementele (originalele) ecuației diferențiale, imaginile corespunzătoare au fost găsite folosind tabelul:

Să înlocuim imaginile găsite în ecuația originală:

Următoarea sarcină este de a exprima soluție pentru operator prin orice altceva, și anume printr-o fracție. În acest caz, este recomandabil să urmați următoarea procedură:

Mai întâi, deschideți parantezele din partea stângă:

Prezentăm termeni similari în partea stângă (dacă există). În acest caz, adunăm numerele –2 și –3. Recomand cu tărie ca ceainicele să nu săriți peste acest pas:

În stânga lăsăm termenii care conțin și mutam termenii rămași la dreapta cu o schimbare de semn:

În partea stângă punem soluția operatorului din paranteze, în partea dreaptă reducem expresia la un numitor comun:

Polinomul din stânga ar trebui factorizat (dacă este posibil). Rezolvarea ecuației pătratice:

Prin urmare:

Resetăm la numitorul din partea dreaptă:

Scopul a fost atins - soluția operatorului este exprimată în termeni de o fracție.

Actul doi. Folosind metoda coeficienților nesiguri, soluția operatorului a ecuației ar trebui extinsă într-o sumă de fracții elementare:

Să echivalăm coeficienții la puterile corespunzătoare și să rezolvăm sistemul:

Dacă aveți probleme cu vă rog să ajungeți din urmă cu articolele Integrarea unei funcții fracționale-raționaleȘi Cum se rezolvă un sistem de ecuații? Acest lucru este foarte important deoarece fracțiile sunt în esență cea mai importantă parte a problemei.

Deci, se găsesc coeficienții: , iar soluția operatorului ne apare sub formă dezasamblată:

Vă rugăm să rețineți că constantele nu sunt scrise în numărătoare de fracții. Această formă de înregistrare este mai profitabilă decât . Și este mai profitabil, deoarece acțiunea finală va avea loc fără confuzie și erori:

Etapa finală a problemei este de a folosi transformarea Laplace inversă pentru a trece de la imagini la originalele corespunzătoare. Folosind coloana din dreapta tabele cu originale și imagini.

Poate că nu toată lumea înțelege conversia. Formula punctului nr. 5 din tabel se utilizează aici: . In detaliu: . De fapt, pentru cazuri similare formula poate fi modificată: . Și toate formulele tabelare de la punctul nr. 5 sunt foarte ușor de rescris într-un mod similar.

După tranziția inversă, soluția parțială dorită a DE este obținută pe un platou de argint:

A fost:

A devenit:

Răspuns: solutie privata:

Dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să efectuați o verificare. Verificarea se efectuează conform schemei standard, care a fost deja discutată la clasă. Ecuații diferențiale neomogene de ordinul 2. Să repetăm:

Să verificăm îndeplinirea condiției inițiale:
- Terminat.

Să găsim prima derivată:

Să verificăm îndeplinirea celei de-a doua condiții inițiale:
- Terminat.

Să găsim derivata a doua:

Să înlocuim , și în partea stângă a ecuației inițiale:

Se obține partea dreaptă a ecuației inițiale.

Concluzie: sarcina a fost finalizată corect.

Un mic exemplu pentru propria dvs. soluție:

Exemplul 2

Folosind calculul operațional, găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale în condiții inițiale date.

O mostră aproximativă din tema finală la sfârșitul lecției.

Cel mai obișnuit invitat în ecuațiile diferențiale, așa cum mulți au observat de mult, este exponențiale, așa că să luăm în considerare câteva exemple cu ei, rudele lor:

Exemplul 3

, ,

Soluţie: Folosind tabelul de transformare Laplace (partea stângă a tabelului), trecem de la originale la imaginile corespunzătoare.

Să ne uităm mai întâi la partea stângă a ecuației. Nu există nicio derivată întâi acolo. Şi ce dacă? Grozav. Mai puțină muncă. Ținând cont de condițiile inițiale, folosind formulele tabelare Nr. 1, 3 găsim imaginile:

Acum priviți partea dreaptă: – produsul a două funcții. Pentru a profita proprietăți de liniaritate Transformarea Laplace, trebuie să deschideți parantezele: . Deoarece constantele sunt în produse, uităm de ele și folosind grupul nr. 5 de formule tabelare, găsim imaginile:

Să înlocuim imaginile găsite în ecuația originală:

Permiteți-mi să vă reamintesc că următoarea sarcină este de a exprima soluția operatorului în termenii unei singure fracțiuni.

În partea stângă lăsăm termenii care conțin și mutam termenii rămași în partea dreaptă. În același timp, în partea dreaptă începem să reducem încet fracțiile la un numitor comun:

În stânga îl scoatem din paranteze, în dreapta aducem expresia la un numitor comun:

În partea stângă obținem un polinom care nu poate fi factorizat. Dacă polinomul nu poate fi factorizat, atunci bietul trebuie să fie imediat aruncat în partea de jos a părții drepte, cu picioarele betonate în bazin. Și în numărător deschidem parantezele și prezentăm termeni similari:

A sosit etapa cea mai minuțioasă: metoda coeficienților nedeterminați Să extindem soluția operatorului a ecuației într-o sumă de fracții elementare:

Prin urmare:

Observați cum se descompune fracția: , voi explica în curând de ce este așa.

Finalizare: să trecem de la imagini la originalele corespunzătoare, folosiți coloana din dreapta a tabelului:

În cele două transformări inferioare, s-au folosit formulele nr. 6 și 7 din tabel, iar fracția a fost pre-extinsă doar pentru a o „potrivi” la transformările din tabel.

Ca urmare, o soluție specială:

Răspuns: soluția specială necesară:

Un exemplu similar pentru o soluție DIY:

Exemplul 4

Găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale folosind metoda calculului operațional.

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

În exemplul 4, una dintre condițiile inițiale este zero. Acest lucru simplifică cu siguranță soluția, iar opțiunea cea mai ideală este atunci când ambele condiții inițiale sunt zero: . În acest caz, derivatele sunt convertite în imagini fără cozi:

După cum sa menționat deja, cel mai dificil aspect tehnic al problemei este extinderea fracției metoda coeficienților nedeterminați, și am la dispoziție exemple destul de laborioase. Cu toate acestea, nu voi intimida pe nimeni cu monștri; să luăm în considerare câteva variante tipice ale ecuației:

Exemplul 5

Folosind metoda calculului operațional, găsiți o soluție particulară a ecuației diferențiale care satisface condițiile inițiale date.
, ,

Soluţie: Folosind tabelul de transformare Laplace, trecem de la originale la imaginile corespunzătoare. Avand in vedere conditiile initiale :

Nici cu partea dreaptă nu există probleme:

(Rețineți că constantele multiplicatorului sunt ignorate)

Să înlocuim imaginile rezultate în ecuația originală și să efectuăm acțiuni standard, pe care, sper, le-ați funcționat deja bine:

Luăm constanta din numitor în afara fracției, principalul lucru este să nu uităm de ea mai târziu:

Mă gândeam dacă să scot încă doi de la numărător, însă, după ce am făcut bilanțul, am ajuns la concluzia că acest pas practic nu va simplifica decizia ulterioară.

Particularitatea sarcinii este fracția rezultată. Se pare că descompunerea ei va fi lungă și dificilă, dar aparențele sunt înșelătoare. Desigur, există lucruri dificile, dar în orice caz - înainte, fără teamă și îndoială:

Faptul că unele cote s-au dovedit a fi fracționale nu ar trebui să fie confuz; această situație nu este neobișnuită. Dacă tehnologia de calcul nu ar eșua. În plus, există întotdeauna posibilitatea de a verifica răspunsul.

Ca urmare, soluția operatorului:

Să trecem de la imagini la originalele corespunzătoare:

Astfel, o soluție specială:

Dimensiune: px

Începeți să afișați de pe pagină:

Transcriere

1 Rezolvarea ecuațiilor diferențiale folosind transformata Laplace (metoda operațională) Calculul operațional este una dintre cele mai economice metode de integrare a ecuațiilor diferențiale liniare cu coeficienți constanți și este foarte popular în rândul inginerilor. Metoda a fost propusă de celebrul inginer electrician și fizician american O. Heaviside (892). El a propus reguli formale de manipulare a operatorului d dx și a unor funcții de la acest operator, folosindu-se de care a rezolvat o serie de probleme importante din electrodinamică. Totuși, calculul operațional nu a primit o justificare matematică în lucrările lui O. Heaviside („matematica lui a luat naștere într-un context fizic din care nu era ușor de izolat” [, p. 8]), multe dintre rezultatele sale au rămas nedovedite. Abia în anii 2 ai secolului XX metoda a primit justificare în lucrările lui Bromwich (T. J. I A. Bromwich) și Carson (J. R. Carson) 2.. Conceptul de original și imaginea după Definiția Laplace. O funcție inițială este orice funcție cu valori complexe f(x) a unui argument real x care îndeplinește următoarele condiții:) f(x) este continuă pentru x, cu excepția, poate, pentru un număr finit de puncte de discontinuitate ale --lea drăguț; 2) pentru toate x< f(x) = ; 3) существуют такие постоянные M >și a >, pentru care f(x) M e ax pentru x. () Ecuații diferențiale și integrale: un manual pentru studenții Facultății de Fizică și Tehnologie: în 3 ore Partea 2 / comp. : N. Yu. Svetova, E. E. Semyonova. Petrozavodsk: Editura PetrSU, Încercările de justificare riguroasă și prezentare „acceptabilă din punct de vedere matematic” a calculului semăna cu un „asalt general”: matematicianul englez Bromwich (96), inginerul american Carson (925), inginerul electric olandez Van der Pol ( ) a atras rezultatele diverselor teorii, a conectat calculul lui Heaviside cu transformata Laplace, cu teoria funcțiilor unei variabile complexe.

2 2 Infimumul a tuturor numerelor a pentru care inegalitatea () este valabilă se numește exponent de creștere al funcției f(x). Rețineți că pentru orice funcție mărginită indicele de creștere a =. Cel mai simplu original este funcția Heaviside (, x ; χ(x) =, x<. Очевидно, для любой функции ϕ(x) { ϕ(x), x, ϕ(x) χ(x) =, x <. Если при x функция ϕ(x) удовлетворяет условиям и 3 определения, то функция ϕ(x)χ(x) является оригиналом. В дальнейшем для сокращения записи будем, как правило, записывать ϕ(x) вместо ϕ(x)χ(x), считая, что рассматриваемые нами функции продолжены нулем для отрицательных значений аргумента x. Определение 2. Функция F (p) комплексного переменного p (p C), определяемая интегралом F (p) = e px f(x) dx, () называется преобразованием Лапласа, или изображением по Лапласу 3, функции f(x). Для указания соответствия между оригиналом и изображением будем использовать следующую запись 4: f(x) F (p). 3 В мемуарах П. Лапласа (782 82) современные оригинал и изображение именуются fonction determinant и fonction generatrice «определяющая функция» и «производящая». Эти названия, хотя и признанные неудачными, сохранились до XX в. Хевисайд употреблял названия «подоператорная функция» (892). Оператор он обозначал буквой p, которая употребляется в современном исчислении . 4 Названия original и image и знак предложил Ван дер Поль в статьях гг. В русской литературе термин изображение и символ, по-видимому, впервые появились в книге харьковских математиков А. М. Эфроса и А. М. Данилевского «Операционное исчисление и контурные интегралы» (937), а термин оригинал только в 953 г. . Используются и другие варианты записи соответствия между оригиналами и изображениями. Например, f(x) F (p) или L{f(x)} = F (p).

3 Pentru orice original f(x), imaginea sa F (p) este definită în semiplanul Re p > a (a este indicele de creștere al funcției f(x)), unde integrala improprie () converge. Exemplu. Folosind definiția, găsiți imaginea funcției f(x) = sin 3x. Soluţie. Pentru funcția f(x) = sin 3x avem a =. Prin urmare, imaginea F (p) va fi definită în semiplanul Re p >. Să aplicăm formula () funcției date, folosind regula integrării pe părți și o restricție asupra mulțimii de valori ale variabilei p, asigurând convergența integralei: F (p) = + e px sin 3x dx = = p e px sin 3x x= = 3 p p e px cos 3x = 3 p 2 9 p 2 Obținem egalitatea: Unde găsim + x=+ + 3 p x=+ x= + 3 p e px cos 3x dx = + e px sin 3x dx = 3 p 2 9 p 2 F (p ). F (p) = 3 p 2 9 p 2 F (p). F (p) = 3 p Astfel, următoarea corespondență este adevărată: sin 3x 3 p 2, Re p >. + 9 e px sin 3x dx = 3

4 4 2. Proprietăţile transformării Laplace În practică, la construirea imaginilor, se folosesc diverse tehnici bazate pe proprietăţile transformării Laplace. Să enumerăm principalele proprietăți, a căror validitate poate fi ușor stabilită folosind definițiile imaginii și ale originalului.Proprietatea liniarității. Dacă f(x) F (p), g(x) G(p), atunci pentru orice α, β C αf(x) + βg(x) αf (p) + βg(p), Re p > max( a, b). Aici și mai jos, a și b sunt indicatori de creștere pentru funcțiile f(x) și, respectiv, g(x). 2. Teorema asemănării. Dacă f(x) F (p), atunci pentru orice α > f(αx) α F (p α), Re p > αa. 3. Teorema deplasării. Dacă f(x) F (p), atunci pentru orice λ C e λx f(x) F (p λ), Re p > a + Re λ. 4. Diferențierea originalului. Fie funcția f(x) diferențiabilă de n ori. Atunci f (x) pf (p) f(+), f (x) p 2 F (p) pf(+) f (+), f (n) (x) p n F (p) p n f(+). .. pf (n 2) (+) f (n) (+), unde f (k) (+) = lim x + f (k) (x), k =, n. Cometariu. Atunci când se construiesc imagini ale derivatelor funcțiilor continue la zero, semnul plus este omis în scris argumentul unei funcții și al derivatelor acesteia. 5. Diferențierea imaginii. Dacă f(x) F (p), atunci În special, pentru n = avem F (n) (p) (x) n f(x), Re p >. F (p) xf(x).

5 5 6. Integrarea originalului. Dacă f(x) F (p), atunci x f(ξ) dξ F (p) p, Re p > α. 7. Integrarea imaginii. Dacă integrala și F (p) f(x), atunci p F (p) dp f(x) x, Re p > α. p F (p) dp converge 8. Teorema înmulțirii imaginii (teorema convoluției) Dacă f(x) F (p), g(x) G(p), atunci F (p)g(p) x f(t) g( x t) dt = x f(x t)g(t) dt, când Re p > max(a, b). Integralele din partea dreaptă a corespondenței se numesc convoluția funcțiilor f(x) și g(x). 9. Teorema întârzierii. Dacă f(x) F (p), atunci pentru orice ξ > f(x ξ)χ(x ξ) e ξp F (p), Re p > α. Originalul este restaurat din imagine într-un mod unic, exact la valorile de la punctele de întrerupere. În practică, se folosesc de obicei tabele gata făcute cu originale și imagini 5. Tabelul listează principalele originale și imaginile găsite adesea în aplicații. Exemplul 2. Folosind proprietățile transformării Laplace și tabelul de originale și imagini de bază, găsiți imagini ale următoarelor funcții:) f(x) = e 4x sin 3x cos 2x; 3) f(x) = x 2 e 3x ; 2) f(x) = e (x 2) sin (x 2); 4) f(x) = sin2 x x. 5 Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Manual de calcul operațional. M., 965.

6 6 Tabel. Originale și imagini de bază Imagine originală Imagine originală p cos ωx p p 2 + ω 2 x n n! p n+ e λx p + λ sin ωx x cos ωx x n e λx n! (p + λ) n+ x sin ωx ω p 2 + ω 2 p 2 ω 2 (p 2 + ω 2) 2 2pω (p 2 + ω 2) 2 Soluție.) Transformați expresia funcției f(x) ca urmează: f(x) = e 4x sin 3x cos 2x = 2 e 4x (sin 5x + sin x) = = 2 e 4x sin 5x + 2 e 4x sin x. Deoarece sin x 5 p 2 și sin 5x + p, atunci, folosind proprietatea de liniaritate și teorema deplasării, pentru a descrie funcția f(x) vom avea: F (p) = () 5 2 (p + 4) ( p + 4 )) Deoarece sin x p 2 +, ex sin x (p) 2 +, atunci, folosind teorema de întârziere, vom avea f(x) = e x 2 sin (x 2) F (p) = e 2p ( p)) Deci ca x 2 2 p 3, atunci prin teorema deplasării avem: f(x) = x 2 e 3x F (p) = 2 (p 3) 3.

7 Pentru comparație, prezentăm o metodă de construire a unei imagini a funcției f(x) = x 2 e 3x folosind proprietatea diferențierii imaginii: Am obținut același rezultat. 4) Deoarece e 3x p 3 ; xe 3x d () = dp p 3 (p 3) 2 ; x 2 e 3x d () 2 dp (p 3) 2 = (p 3) 3. sin 2 x = 2 2 cos 2x 2p 2 p p 2 + 4, atunci, folosind proprietatea integrării imaginii, vom avea: sin 2 x ( x 2p) 2 p p 2 dp = + 4 p (= 4 ln p2) 4 ln(p2 + 4) = p 4 ln p 2 p p = 4 ln p2 + 4 p Restaurarea originalului din imagine Lasă imaginea Y (p) să fie o fracție rațională proprie (este o funcție rațională). Dacă o fracție este descompusă într-o sumă a celor mai simple fracții (elementare), atunci pentru fiecare dintre ele originalul corespunzător poate fi găsit folosind proprietățile transformării Laplace și un tabel de originale și imaginile acestora. Într-adevăr, A p a A eax ; A (p a) n A (n)! xn e ax.

8 8 După conversia fracției Ap + B A(p a) + aa + B A(p a) (p a) 2 = + b2 (p a) 2 + b 2 = (p a) 2 + b 2 + aa + B (p a) 2 + b 2, obținem Ap + B (p a) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ax sin bx. b Pentru a construi originalul corespunzător fracției Ap + B ((p a) 2 + b 2) n, puteți folosi teorema înmulțirii. De exemplu, pentru n = 2 avem Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 = Ap + B (p a) 2 + b 2 (p a) 2 + b 2. Deoarece și atunci Pentru n = 3: Ap + B (p a) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ax sin bx = h (x) b (p a) 2 + b 2 b eax sin bx = g(x), Ap + B ((p a) ) 2 + b 2) 2 = x Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 (p a) 2 + b 2 g(x t) h (t) dt = h 2 (t). x g(x t) h 2 (t) dt, În mod similar, putem considera restaurarea originalelor pentru n > 3. Numitorul funcției raționale Y (p) este un polinom de ordinul k. Dacă are k zerouri distincte p i, i =, k, atunci se extinde

9 numitor prin factori (p p i), originalul corespunzător pentru Y (p) poate fi găsit prin formula: y(x) = k (Y (p)(p p i)e px) p=pi. (2) i= Produsul Y (p)(p p i) dă o funcție rațională, al cărei numitor nu conține un factor (p p i), iar calculat la p = p i determină coeficientul cu care fracția este inclusă în p p i extinderea funcției Y (p) în suma fracțiilor elementare. Exemplul 3. Găsiți originalul corespunzător imaginii: Y (p) = p 3 p. Soluţie. După ce am extins imaginea dată într-o sumă de fracții elementare: p 3 p = p(p)(p +) = p + 2(p) + 2(p +), găsim răspunsul original: y(x) = + ch x. y(x) = + 2 ex + 2 e x = + ch x. Exemplul 4. Găsiți originalul pentru imagine: Y (p) = p(p 2 +). Soluţie. Deoarece p 2 sin x, atunci, aplicând proprietatea de integrare a originalului, + obținem: p(p 2 +) x Răspuns: y(x) = cos x. sin t dt = cos t x = cos x. Exemplul 5. Găsiți originalul corespunzător imaginii: Y (p) = (p 2 + 4) 2. 9

10 Soluție. Aplicând proprietatea imaginii de convoluție, avem: Y (p) = (p 2 + 4) 2 = p p x sin 2(x t) sin 2t dt. După ce am calculat integrala, obținem expresia dorită pentru original. Răspuns: y(x) = 6 sin 2x x cos 2x. 8 Exemplul 6. Găsiți originalul corespunzător imaginii: Y (p) = p p 3 p 2 6p. Soluţie. Deoarece p 3 p 2 6p = p(p 3)(p + 2), atunci numitorul fracției Y (p) are trei rădăcini simple: p =, p 2 = 3 și p 3 = 2. Să construim corespunzătoare original folosind formula (2): y(x) = (p2 + 2)e px (p 3)(p + 2) + (p2 + 2)e px p= p(p + 2) + (p2 + 2) )e px p =3 p(p 3) = p= 2 = e3x e 2x. Exemplul 7. Găsiți originalul corespunzător imaginii: Y (p) = e p 2 p(p +)(p 2 + 4). Soluţie. Să ne imaginăm fracția inclusă în expresie sub formă de fracții simple: p(p +)(p 2 + 4) = A p + B p + + Cp + D p Aplicând la expansiune metoda coeficienților nedeterminați, obținem : Imaginea va arăta astfel: A = 4 ; B = D = 5; C = 2. Y (p) = e p 2 4 p 5 e p 2 p + pe p 2 2 p e p 2 5 p (a)

11 Folosind relațiile: p χ(x), p + e x χ(x), p p cos 2x χ(x), p sin 2x χ(x) 2 și ținând cont de teorema retardării, obținem originalul dorit pentru imagine (A). Răspuns: y(x) = (4 5 e (x 2) cos (2x) sin (2x) 2) χ (x) Rezolvarea problemei Cauchy pentru o ecuație diferențială cu coeficienți constanți Metoda de rezolvare a diferitelor clase de ecuații folosind transformata Laplace se numește metodă operațională. Proprietatea transformării Laplace, diferențierea originalului, ne permite să reducem soluția ecuațiilor diferențiale liniare cu coeficienți constanți la soluția ecuațiilor algebrice. Luați în considerare problema Cauchy pentru o ecuație neomogenă cu condiții inițiale y (n) + a y (n) a n y + a n y = f(x) (3) y() = y, y () = y,..., y (n) ) ( ) = y n. (4) Fie funcția f(x) și soluția necesară îndeplinesc condițiile de existență a transformării Laplace. Să notăm cu Y (p) imaginea funcției necunoscute (original) y(x), iar cu F (p) imaginea părții drepte a lui f(x): y(x) Y (p), f (x) F (p). Prin regula de diferențiere a originalului avem y (x) py (p) y, y (x) p 2 Y (p) py y, y (n) (x) p n Y (p) p n y p n 2 y.. .y n.

12 2 Apoi, datorită proprietății de liniaritate a transformării Laplace, după aplicarea acesteia la părțile din stânga și din dreapta ecuației (3), obținem ecuația operatorului M(p)Y (p) N(p) = F (p). ), (5) unde M(p) polinomul caracteristic al ecuației (3): M(p) = p n + a p n a n p + a n y, N(p) polinomul care conține datele inițiale ale problemei Cauchy (dispare când datele inițiale sunt zero ): N(p) = y (p n + a p n a n) + + y (p n 2 + a p n a n 2) y n 2 (p + a) + y n, F (p) imaginea funcției f(x). Rezolvând ecuația operatorului (5), obținem imaginea Laplace Y (p) a soluției dorite y(x) sub forma Y (p) = F (p) + N(p). M(p) Restabilind originalul pentru Y (p), găsim o soluție a ecuației (3) care satisface condițiile inițiale (4). Exemplul 8. Găsiți o soluție a ecuației diferențiale: y (x) + y(x) = e x, îndeplinind condiția: y() =. Soluţie. Fie y(x) Y (p). Deoarece y (x) py (p) y() = py (p), e x p +, atunci aplicând transformata Laplace la ecuația dată, folosind proprietatea de liniaritate, obținem o ecuație algebrică pentru Y (p): py ( p) + Y (p) = p +. Unde găsim expresia pentru Y (p):

13 De atunci avem Y (p) = p + e x, (p +) 2 + p +. (p +) 2 xe x, Y (p) y(x) = e x x + e x. Verificare: Să arătăm că funcția găsită este într-adevăr o soluție la problema Cauchy. Inlocuim expresia functiei y(x) si derivata acesteia in ecuatia data: y (x) = e x x + e x e x = e x x e x x + e x x + e x = e x. După ce aducem termeni similari în partea stângă a ecuației, obținem identitatea corectă: e x e x. Astfel, funcția construită este o soluție a ecuației. Să verificăm dacă îndeplinește condiția inițială y() = : y() = e + e =. În consecință, funcția găsită este o soluție la problema Cauchy. Răspuns: y(x) = e x x + e x. Exemplul 9. Rezolvați problema Cauchy y + y =, y() =, y() =. Soluţie. Fie y(x) Y (p). Deoarece 3 y (x) p 2 Y (p) py() y (), /p, atunci, aplicând transformata Laplace la ecuație, ținând cont de condițiile inițiale obținem (p 2 +)Y (p) = p = Y ( p) = p(p 2 +). Să descompunăm fracția în fracții mai simple: Y (p) = p Din tabel găsim y(x) = cos x. p p 2 +.

14 4 De asemenea, puteți restaura originalul dintr-o imagine aplicând proprietatea de integrare a originalului (vezi exemplul 4). Răspuns: y(x) = cos x. Exemplu. Rezolvați problema Cauchy y +3y = e 3x, y() =, y() =. Soluţie. Fie y(x) Y (p). Deoarece y py (p) y(), y (x) p 2 Y (p) py() y (), și e 3x p + 3, atunci, ținând cont de condițiile inițiale, obținem ecuația operatorului (p 2 + 3p) Y (p) + = p + 2 = Y (p) = p + 3 (p + 3) 2 p. Să descompunăm funcția rațională în fracții simple: p + 2 (p + 3) 2 p = A p + B p C (p + 3) 2 = A(p2 + 6p + 9) + B(p 2 + 3p) + Cp p (p + 3) 2. Să creăm un sistem de ecuații pentru a găsi coeficienții A, B și C: A + B =, 6A + 3B + C =, 9A = 2, rezolvând pe care îl găsim A = 2/9 , B = 2/9, C = /3. Prin urmare, Y (p) = 2 9 p p (p + 3) 2. Folosind tabelul obținem răspunsul. Răspuns: y(x) = e 3x 3 xe 3x. Exemplu. Găsiți o soluție a ecuației diferențiale: y (x) + 2y (x) + 5y (x) =, îndeplinind condițiile: y() =, y () = 2, y () =. Soluţie. Fie y(x) Y (p). Deoarece, ținând cont de condițiile date, avem y (x) p Y (p) y() = py (p) () = py (p) +, y (x) p 2 Y (p) p y() y () = = p 2 Y (p) p () 2 = p 2 Y (p) + p 2, y (x) p 3 Y (p) p 2 y() p y () y () = = p 3 Y ( p) p 2 () p 2 = p 3 Y (p) + p 2 2p,

15 apoi după aplicarea transformării Laplace la ecuația dată obținem următoarea ecuație a operatorului: p 3 Y (p) + p 2 2p + 2p 2 Y (p) + 2p 4 + 5pY (p) + 5 = sau după transformări: Y (p) (p 3 + 2p 2 + 5p) = p 2. Rezolvând această ecuație pentru Y (p), obținem Y (p) = p 2 p(p 2 + 2p + 5). Să descompunăm expresia rezultată în fracții simple: p 2 p(p 2 + 2p + 5) = A p + Bp + C p 2 + 2p + 5. Folosind metoda coeficienților nedeterminați, găsim A, B, C. Pentru a face acest lucru, reducem fracțiile la numitorul general și echivalăm coeficienții pentru puteri egale ale lui p: p 2 p(p 2 + 2p + 5) = Ap2 + 2Ap + 5A + Bp 2 + Cp p(p p + 5) Obținem un sistem de ecuații algebrice pentru A, B, C: a cărui soluție va fi: A + B =, 2A + C =, 5A =, A = 5, B = 4 5, C = 2 5. Atunci Y (p) = 5p + 5 4p + 2 p 2 + 2p + 5. Pentru a găsi originalul celei de-a doua fracții, selectăm pătratul complet la numitorul său: p 2 + 2p + 5 = (p +) 2 + 4, apoi la numărător selectăm termenul p+: 4p+2 = 4(p+)+6 și descompunem fracția în suma a două fracții : 5 4p + 2 p 2 + 2p + 5 = 4 5 p + (p +) (p +) În continuare, folosind teorema deplasării și tabelul de corespondență dintre imagini și originale, obținem o soluție a ecuației inițiale. Răspuns: y(x) = e x cos 2x e x sin 2x.

16 6 Folosind metoda operațională, se poate construi o soluție generală a ecuației (3). Pentru a face acest lucru, este necesar să înlocuiți valorile specifice y, y,..., y (n) ale condițiilor inițiale cu constante arbitrare C, C 2,..., C n. Bibliografie. Aleksandrova N.V. Istoria termenilor, conceptelor, notațiilor matematice: Dicționar-carte de referință. M.: Editura LKI, p. 2. Vasilyeva A. B. Ecuații diferențiale și integrale, calculul variațiilor în exemple și probleme / A. B. Vasilyeva, G. N. Medvedev, N. A. Tikhonov, T. A. Urazgildina. M.: FIZ-MATLIT, p. 3. Sidorov Yu. V. Prelegeri despre teoria funcțiilor unei variabile complexe / Yu. V. Sidorov, M. V. Fedoryuk, M. I. Shabunin. M.: Science, 989.

CALCUL OPERAȚIONAL Calculul operațional se referă la calculul simbolic, care se bazează pe construcția analizei matematice ca un sistem de operații formale asupra introduse artificial.

Lecția 18 Originalele și imaginile lor Calculul operațional este una dintre metodele de analiză matematică pe care o vom aplica pentru rezolvarea ecuațiilor și sistemelor diferențiale. Esența utilizării acestei metode

Ecuații de fizică matematică Colecție de exemple și exerciții Petrozavodsk 1 Universitatea de Stat din Petrozavodsk Facultatea de Matematică Ecuații de fizică matematică Culegere de exemple și exerciții

Cuprins Introducere. Concepte de bază.... 4 1. Ecuațiile integrale ale lui Volterra... 5 Opțiuni pentru teme.... 8 2. Rezolvantul ecuației integrale a lui Volterra. 10 opțiuni pentru teme.... 11

1 Tema 4. Metoda operatorului pentru rezolvarea ecuațiilor și sistemelor diferențiale liniare 4.1 Transformată Laplace Un original este orice funcție f(t) a unei variabile reale t care satisface următoarele

ELEMENTE ALE CALCULULUI OPERAȚIONAL EDITURA TSTU MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL FEDERAȚIEI RUSE GOU VPO „Universitatea Tehnică de Stat Tambov” ELEMENTE ALE CALCULULUI OPERAȚIONAL

Analiză matematică Secțiunea: calcul operațional Tema: Transformarea Laplace și proprietățile ei Lector Pakhomova E.G. 2011 11. Original și imagine. Teorema inversării DEFINIȚIE 1. Fie:R C. Funcție

Numere complexe, funcții și operații pe ele y modulul R parte reală număr real, yim parte imaginară număr real iy formă algebrică de scriere a numerelor complexe Valoarea principală a argumentului

Rezolvarea variantelor standard de lucru de testare pe tema Integrale ale unei funcții a unei variabile Instrucțiuni metodice UDC 517.91 Instrucțiunile metodice conțin soluții detaliate la variantele tipice de lucru de testare

Capitolul 1 Calcul operațional. 1. Definiția transformării Laplace. Transformarea Laplace asociază funcția f(t) cu o variabilă reală t cu funcția F() a unei variabile complexe = x + iy

MINISTERUL TRANSPORTURILOR AL FEDERATIEI RUSĂ BUGETARE DE STAT FEDERALĂ INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT SUPERIOR „UNIVERSITATEA RUSĂ DE TRANSPORT (MIIT)” Departamentul „Învățământ superior și informatic”

INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNTUL SUPERIOR BUGETAR DE STAT FEDERAL „UNIVERSITATEA DE STAT DE TRANSPORTURI MOSCOVA IMPĂRAT NICHOLAS II” Departamentul de „Matematică superioară și computațională”

82 4. Secțiunea 4. Serii funcționale și de putere 4.2. Lecția 3 4.2. Lecția 3 4.2.. Extinderea unei funcții într-o serie Taylor DEFINIȚIA 4.2.. Fie funcția y = f(x) să fie infinit derivabilă într-o vecinătate

Curs INTEGRAREA fracțiilor raționale Fracții raționale Integrarea fracțiilor raționale simple Descompunerea fracțiilor raționale în fracții simple Integrarea fracțiilor raționale Rațional

TEMA 5 Ecuația liniară Volterra de tipul -Definiții și teoreme de bază Ecuația y = λ K(,) y() d+ f(), [, sau sub forma operatorului y = λ By+ f, se numește ecuația Volterra de tipul Lăsa

Cursul 6 Calcul operațional Transformată Laplace Imagini ale funcțiilor simple Proprietăți de bază ale transformării Laplace Imagine a derivatei originalei Calcul operațional Transformată Laplace

Lecția 19 Rezolvarea ecuațiilor diferențiale și a sistemelor folosind metoda operațională 19.1 Rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare cu coeficienți constanți Fie că este necesar să se găsească o anumită soluție la o soluție liniară

2.2. Metoda operatorului pentru calcularea proceselor tranzitorii. Informații teoretice. Calculul proceselor tranzitorii în circuite complexe folosind metoda clasică este foarte adesea complicat de găsirea constantelor de integrare.

DOROKHOV VM GHID PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR ÎN CALCULUL OPERAȚIONAL MOSCOVA, 4 PREFAȚĂ Acest manual prezintă bazele teoretice ale calculului operațional.Sunt subliniate metodele de rezolvare a problemelor.

Ministerul Educației și Științei Federației Ruse Bugetul de stat federal Instituție de învățământ de învățământ profesional superior „Universitatea Chimică-Tehnologică Rusă numită după DI Mendeleev” Institutul Novomoskovsk (filiala) Testul 8 la matematică (operațional

UDC 53.7 DESPRE O METODĂ DE GĂSIRE A O SOLUȚIE PARȚIALĂ A ECUATIILOR DIFERENȚIALE LINEARE CU COEFICIENȚI CONSTANTI Zhanybekova A.A., [email protected] Universitatea Tehnică Kazah-Britanică,

CALCUL INTEGRAL INDEMNIT INTEGRAL Funcția antiderivată și integrala nedefinită a lemei antiderivate Funcția F(se numește antiderivată pentru funcția f(pe intervalul X dacă F (= f(X Funcția,

Ecuații de ordinul întâi nerezolvate în raport cu derivata Vom considera ecuațiile de ordinul întâi nerezolvate în raport cu derivata: F (x, y, y) = 0, (1) unde F este o funcție dată a acesteia

II ECUAȚII DIFERENȚIALE Ecuații diferențiale de ordinul întâi Definiție Relațiile în care variabilele necunoscute și funcțiile lor sunt sub semnul derivat sau diferențial se numesc

ELEMENTE ALE TEORIEI FUNCȚILOR ALE UNUI CALCUL OPERAȚIONAL VARIABIL COMPLEX În urma studierii acestei teme, elevul trebuie să învețe: să găsească formele trigonometrice și exponențiale ale unui număr complex conform

Ministerul Educației și Științei din Federația Rusă „MATI” Universitatea Tehnologică de Stat Rusă numită după. K.E. Catedra Ciolkovski de matematică superioară Numere complexe și calcul operațional

1 Tema 3. Ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți 3.1 Ecuație liniară omogenă Ecuație diferențială de forma y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) unde A

INTEGRAL NEDETERMINAT. Antiderivată și integrală nedefinită Sarcina principală a calculului diferențial este de a găsi derivata (sau diferențiala) unei funcții date. Calcul integral

Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse filiala Achinsk a Statului Federal Instituție Autonomă de Învățământ de Învățământ Profesional Superior „Universitatea Federală Siberiană” MATEMATICĂ

Limita functiei. Relevanța studierii temei Teoria limitelor joacă un rol fundamental în analiza matematică și ne permite să determinăm natura comportamentului unei funcții pentru o anumită modificare a argumentului. Prin utilizarea

Integrală antiderivată și nedefinită Concepte și formule de bază 1. Definiția integrală antiderivată și nedefinită. Definiție. Funcția F(x) se numește antiderivată pentru funcția f(x) pe interval

Capitolul 1 Ecuații diferențiale 1.1 Conceptul de ecuație diferențială 1.1.1 Probleme care duc la ecuații diferențiale. În fizica clasică, fiecare mărime fizică este asociată

ECUAȚII DIFERENȚIALE ORDINARE DE ORDINUL I Concepte de bază Ecuații diferențiale cu variabile separabile Multe probleme din știință și tehnologie sunt reduse la ecuații diferențiale Luați în considerare

Dezvoltare metodologică Rezolvarea problemelor pe TFKP Numere complexe Operații pe numere complexe Plan complex Un număr complex poate fi reprezentat în exponențial algebric și trigonometric

Cursul 3 Seria Taylor și Maclaurin Aplicarea serii de puteri Extinderea funcțiilor în serii de puteri Seria Taylor și Maclaurin Pentru aplicații, este important să puteți extinde o funcție dată într-o serie de puteri, acele funcții

Versiunea tipică „Numere complexe Polinoame și fracții raționale” Sarcina Având în vedere două numere complexe și cos sn Găsiți și scrieți rezultatul în formă algebrică scrieți rezultatul în formă trigonometrică

Agenția Federală pentru Educație Instituția de Învățământ de Stat Federal de Învățământ Profesional Superior UNIVERSITATEA FEDERALĂ DE SUD R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodologică

S P PREOBRAZHENSKY, SR TIKHOMIROV INTEGRAREA ECUATIILOR DIFERENȚIALE UTILIZAREA POWER SERIES 987 CUPRINS Prefață Formularea sarcinii 3 Opțiuni pentru sarcina 3 Exemplu de sarcină și comentarii

Analiză matematică Secțiunea: Integrală nedefinită Tema: Integrarea fracțiilor raționale Lector E.G. Pakhomova 0 g. 5. Integrarea fracţiilor raţionale DEFINIŢIE. O fracție rațională se numește

Ministerul Transporturilor al Federației Ruse BUGETARE DE STAT FEDERALĂ INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT SUPERIOR „UNIVERSITATEA RUSĂ DE TRANSPORT (MIIT)” Institutul de Economie și Finanțe

CALCUL OPERAȚIONAL Transformată Laplace și formulă de inversare Fie în intervalul Dirichlet și anume: integrala Fourier (l l) a) este mărginită pe acest interval; funcţia îndeplineşte condiţiile b) continuu pe bucăţi

Ministerul Educației al Federației Ruse Universitatea de Stat Rusă de Petrol și Gaze numită după IM Gubkin VI Ivanov Orientări pentru studierea temei „ECUAȚII DIFERENȚIALE” (pentru studenți

57 Să considerăm integrarea celei mai simple fracții raționale de al patrulea tip (M N) d () p q p Să facem o schimbare de variabilă setând d. unde a p q. Apoi Integral M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

O ecuație diferențială de ordinul al n-lea se numește liniară dacă este de gradul întâi față de funcția y și derivatele ei y..., y (n), adică are forma a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), unde

Analiză matematică Secțiunea: Integrală nedeterminată Tema: Integrarea fracțiilor raționale Lector Rozhkova S.V. 0 g. 5. Integrarea fracţiilor raţionale DEFINIŢIE. O fracție rațională se numește

Ministerul Telecomunicațiilor și Comunicațiilor de Masă al Federației Ruse Instituție de învățământ de stat de învățământ profesional superior VOLGA UNIVERSITATEA DE STAT DE TELECOMUNICAȚII

Ecuații diferențiale de ordinul întâi rezolvate în raport cu teorema derivată a existenței și unicității soluției În cazul general, o ecuație diferențială de ordinul întâi are forma F ()

T A Matveeva V B Vetlichnaya D K Agisheva A Zotova CAPITOLULE SPECIALE DE MATEMATICĂ: STUDIU OPERAȚIONAL AGENȚIA FEDERALĂ PENTRU EDUCAȚIE INSTITUTUL POLITEHNIC VOLZHKY FILIALA ÎNVĂȚĂMÂNTULUI DE STAT

CALCUL INTEGRAL INDEMNIT INTEGRAL Funcția antiderivată și integrala nedefinită a antiderivatei Funcția F() se numește antiderivată pentru funcția f() pe intervalul X dacă F / () = f() X.

5. 4 Metode de bază de integrare Integrare directă. Calculul integralelor pe baza reducerii integrandului la formă tabelară și folosind proprietățile nedefinitului

Cursul 3 Descrierea matematică a sistemelor de control În teoria controlului, la analizarea și sintetizarea sistemelor de control, ne ocupăm de modelul matematic al acestora.Modelul matematic al sistemului de control automat este ecuația

Integrarea unui sistem de ecuații diferențiale prin eliminarea variabilelor Una dintre principalele metode de integrare a unui sistem de ecuații diferențiale este următoarea: din ecuațiile normale.

Ecuații cu diferențe parțiale de ordinul întâi Unele probleme de mecanică clasică, mecanică a continuumului, acustică, optică, hidrodinamică, transferul de radiații sunt reduse la ecuații diferențiale parțiale

Cele mai simple integrale nedefinite Exemple de rezolvare a problemelor Următoarele integrale sunt reduse la integrale tabelare prin transformarea identică a integrandului. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

LECȚIA PRACTICĂ Integrarea fracțiilor raționale O fracție rațională este o fracție de forma P Q, unde P și Q sunt polinoame.O fracție rațională se numește propriu-zisă dacă gradul polinomului P este mai mic decât gradul

[F] Filippov AV Colecția de probleme privind ecuațiile diferențiale Moscova-Izhevsk: Centrul de cercetare științifică „Dinamica regulată și haotică” 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [M] Matveev NM Culegere de probleme și exerciții privind

E ocupatie. Seria Taylor. Însumarea seriei de putere Mat. analiză, apl. matematică, semestrul III Aflați extinderea unei funcții într-o serie de puteri în puteri, calculați raza de convergență a seriei de puteri: A f()

Sarcina 1.1. Găsiți în regiunea indicată soluții neidentice zero y = y(x) ale ecuației diferențiale care satisfac condițiile la limită date (problema Sturm-Liouville) Soluție: Se consideră

9. Integrală antiderivată și nedefinită 9.. Fie dată funcția f() pe intervalul I R. Funcția F () se numește antiderivată a funcției f () pe intervalul I dacă F () = f () pentru orice I, iar antiderivată

~ ~ Integrale nedefinite și definite Conceptul de integrală antiderivată și nedefinită. Definiție: O funcție F se numește antiderivată a unei funcții f dacă aceste funcții sunt legate după cum urmează

Cursul 5 7 Teorema Hilbert-Schmidt Vom considera un operator integral A al cărui nucleu K(îndeplinește următoarele condiții: K(s) este simetric, continuu în mulțimea de variabile pe [, ]

Ministerul Educației al Republicii Belarus Universitatea de Stat din Belarus Facultatea de Fizică Departamentul de Matematică Superioară și Fizică Matematică O A Kononova, N I Ilyinkova, N K Filippova Linear

Subiectul 9 Seria de puteri O serie de puteri este o serie funcțională de forma în care numerele... sunt coeficienții seriei, iar punctul de expansiune al seriei.,...,... R... se numește centru Seria puterii Termenul general al seriei puterii

SISTEME DE ECUATII DIFERENTIALE LINEARE CU COEFICIENTI CONSTANTI Reducerea la o ecuatie de ordinul al treilea Din punct de vedere practic, sistemele liniare cu coeficienti constanti sunt foarte importante

Integrale și ecuații diferențiale Modulul 1. Integrale nedefinite Cursul 1.2 Rezumat Fracții raționale. Descompunerea unei fracții raționale propriu-zise în cea mai simplă sumă. Integrarea celor mai simple

Formula de expansiune Heaviside

Fie imaginea funcției o funcție rațională fracțională.

Teorema. Fie, unde și sunt funcții diferențiabile. Să introducem ambii polii ai funcției, i.e. rădăcinile (zerourile) numitorului său. Atunci, dacă obținem formula Heaviside:

Efectuăm demonstrația pentru cazul în care și sunt polinoame de grade TȘi Pîn consecinţă, în timp ce T P. Atunci este o fracție rațională adecvată. Să o prezentăm ca o sumă de fracții simple:

De aici găsim coeficienții din identitate (17.2), rescriindu-i sub forma

Să înmulțim ambele părți ale ultimei egalități cu și să mergem la limita la. Având în vedere asta și, obținem

de unde rezultă (17.1). Teorema a fost demonstrată.

Nota 1. Dacă coeficienții polinoamelor sunt reali, atunci rădăcinile complexe ale polinomului sunt conjugate în perechi. În consecință, în formula (17.1) mărimile complexe conjugate vor fi termenii corespunzători rădăcinilor complexe conjugate ale polinomului, iar formula Heaviside va lua forma

unde prima sumă este extinsă la toate rădăcinile reale ale polinomului, a doua - la toate rădăcinile sale complexe cu părți imaginare pozitive.

Nota 2. Fiecare termen al formulei (17.1) reprezintă o oscilație scrisă în formă complexă, unde. Astfel, rădăcinile reale () corespund oscilațiilor aperiodice, rădăcinilor complexe cu părți reale negative corespund oscilațiilor amortizate, iar rădăcinilor pur imaginare corespund oscilațiilor armonice neamortizate.

Dacă numitorul nu are rădăcini cu părți reale pozitive, atunci pentru valori suficient de mari obținem o stare de echilibru:

Rădăcini pur imaginare ale unui polinom cu părți imaginare pozitive.

Oscilațiile corespunzătoare rădăcinilor cu părți reale negative se diminuează exponențial la și, prin urmare, nu intră în starea staționară.

Exemplul 1. Găsiți imaginea originală

Soluţie. Avem. Să notăm rădăcinile polinomului: .

Conform formulei (17.1)

Aici, deoarece numerele sunt rădăcinile ecuației. Prin urmare,

Exemplul 2. Găsiți imaginea originală

Unde A 0; .

Soluţie. Aici funcția, pe lângă rădăcina evidentă, are infinit de rădăcini, care sunt zerouri ale funcției. Rezolvând ecuația, ajungem unde

Astfel, rădăcinile numitorului au forma și, unde

Folosind formula (17.3) găsim originalul

Metoda operatorului pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale

Ecuatii diferentiale. Luați în considerare problema Cauchy pentru o ecuație diferențială liniară

(aici) cu condiții inițiale

Trecând la imaginile din (18.1), datorită liniarității transformării Laplace, vom avea

Folosind teorema 3 din § 16 și condițiile inițiale (18.2), scriem imaginile derivatelor sub forma

Înlocuind (18.4) în (18.3), după transformări simple obținem ecuația operatorului

unde (polinom caracteristic); .

Din ecuația (18.5) găsim soluția operatorului

Soluția problemei Cauchy (18.1), (18.2) este soluția originală a operatorului (18.6):

Pentru problema Cauchy, în notația acceptată putem scrie

Ecuația operatorului are forma

Să descompunăm soluția operatorului în fracții simple:

Folosind formulele obținute la § 15, obținem originalele:

Astfel, rezolvarea problemei Cauchy va avea forma

Exemplul 1. Rezolvați problema Cauchy pentru o ecuație diferențială cu condiții inițiale, unde.

Soluţie.

Soluția sa are forma

Folosind teorema 2 din § 16, găsim în mod constant:

Exemplul 2. Rezolvați problema Cauchy pentru o ecuație diferențială cu condiții inițiale zero, unde este funcția impuls de pas.

Soluţie. Să scriem ecuația operatorului

si decizia lui

Din teorema 2 din § 16 rezultă

în conformitate cu teorema retardării (§ 15)

In cele din urma,

Exemplul 3. Masa pe punct T, prins de arc printr-o rigiditate Cu si situata pe un plan orizontal neted actioneaza o forta in schimbare periodica. La un moment dat, punctul a fost supus unui impact purtând un impuls. Neglijând rezistența, găsiți legea mișcării unui punct dacă la momentul inițial de timp acesta era în repaus la originea coordonatelor.

Soluţie. Scriem ecuația de mișcare sub forma

unde este forța elastică; - Funcția Dirac. Să rezolvăm ecuația operatorului

Dacă (caz de rezonanță), atunci

Prin teorema de întârziere

In cele din urma,

Integrala lui Duhamel (formula). Să luăm în considerare problema Cauchy pentru ecuația (18.1) în condiții inițiale. Soluția operatorului în acest caz are forma

Lăsați funcția de greutate să fie originalul pentru. apoi prin Teorema 1 din § 16 obţinem

Relația (18.7) se numește integrală (formula) a lui Duhamel.

Cometariu. Pentru condițiile inițiale diferite de zero, formula lui Duhamel nu este direct aplicabilă. În acest caz, este necesar să se transforme mai întâi problema inițială într-o problemă cu condiții inițiale omogene (zero). Pentru a face acest lucru, introducem o nouă funcție, presupunând

unde sunt valorile inițiale ale soluției dorite.

Cât de ușor este de văzut și, prin urmare, .

Astfel, funcția este o soluție a ecuației (18.1) cu partea dreaptă obținută prin înlocuirea (18.8) în (18.1), cu date inițiale zero.

Folosind (18.7), găsim și.

Exemplul 4. Folosind integrala Duhamel, găsiți o soluție la problema Cauchy

cu conditiile initiale.

Soluţie. Datele inițiale sunt diferite de zero. Presupunem, în conformitate cu (18.8), . Apoi, pentru definiție, obținem o ecuație cu condiții inițiale omogene.

Pentru problema luată în considerare, un polinom caracteristic, o funcție de pondere. Conform formulei lui Duhamel

In cele din urma,

Sisteme de ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți. Problema Cauchy pentru un sistem de ecuații diferențiale liniare în notație matriceală are forma

unde este vectorul funcțiilor necesare; - vector al laturilor drepte; - matricea coeficientilor; - vector de date inițiale.

Calculul operațional a devenit acum unul dintre cele mai importante capitole ale analizei matematice practice. Metoda operațională este utilizată direct în rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite și a sistemelor de astfel de ecuații; poate fi folosit și pentru rezolvarea ecuațiilor cu diferențe parțiale.

Fondatorii calculului simbolic (operațional) sunt considerați a fi oamenii de știință ruși M.E. Vashchenko - Zakharchenko și A.V. Letnikov.

Calculul operațional a atras atenția după ce inginerul electric englez Heaviside, folosind calculul simbolic, a obținut o serie de rezultate importante. Dar neîncrederea în calculul simbolic a persistat până când Georgi, Bromwich, Carson, A. M. Efros, A. I. Lurie, V. A. Ditkin și alții au stabilit legături între calculul operațional și transformările integrale.

Ideea de a rezolva o ecuație diferențială folosind metoda operațională este aceea din ecuația diferențială în raport cu funcția originală dorită f ( t ) treceți la o ecuație pentru o altă funcție F ( p ), numită imagine f ( t ) . Ecuația rezultată (operațională) este de obicei deja algebrică (ceea ce înseamnă mai simplă decât cea originală). Rezolvarea în raport cu imaginea F ( p ) și apoi trecând la originalul corespunzător, ei găsesc soluția dorită pentru această ecuație diferențială.

Metoda operațională de rezolvare a ecuațiilor diferențiale poate fi comparată cu calcularea diferitelor expresii folosind logaritmi, atunci când, de exemplu, la înmulțire, calculele se efectuează nu pe numerele în sine, ci pe logaritmii acestora, ceea ce duce la înlocuirea înmulțirii cu o operațiune mai simplă – adăugare.

La fel ca în cazul logaritmului, atunci când utilizați metoda operațională aveți nevoie de:

1) tabel de originale și imagini corespunzătoare;

2) cunoasterea regulilor de efectuare a operatiilor asupra unei imagini corespunzatoare actiunilor efectuate asupra originalului.

§1. Originale și imagini ale funcțiilor Laplace

Definiția 1.Vom fi o funcție reală a unui argument real f (t) apel original, dacă îndeplinește trei cerințe:

1) f (t) 0 , la t 0

2) f ( t ) crește nu mai repede decât o funcție exponențială

, la t0 , unde M 0, s 00 - unele constante reale, s 0 numit indicator de creștere al funcției f(t) .

3) Pe orice segment finit  A , bsemiaxa pozitivă Ot funcţie f (t) satisface conditiile Dirichlet, i.e.

a) limitat,

b) este fie continuă, fie are doar un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel;

c) are un număr finit de extreme.

Funcțiile care îndeplinesc aceste trei cerințe sunt numite în calculul operațional reprezentat de Laplace sau originale .

Cel mai simplu original este funcția de unitate Heaviside

Dacă funcţia

satisface condiția 2 și nu satisface condiția 1, atunci produsul va îndeplini și condiția 1, adică. va fi original. Pentru a simplifica notația, vom folosi, de regulă, multiplicatorul H (t) omiteți, având în vedere că toate funcțiile luate în considerare sunt egale cu zero pentru valori negative t .

integrala Laplace pentru original f (t) se numește integrală improprie a formei