Definiția diamantului

Romb este un paralelogram în care toate laturile sunt egale între ele.

Calculator online

Dacă laturile rombului formează un unghi drept, atunci obținem pătrat.

Diagonalele rombului se intersectează în unghi drept.
Diagonalele unui romb sunt bisectoarele unghiurilor sale.

Zona unui romb, ca și zonele celor mai multe forme geometrice, poate fi găsită în mai multe moduri. Vom înțelege esența lor și vom lua în considerare exemple de soluții.

Formula pentru aria unui romb după lateral și înălțime

Să ni se dea un romb cu o latură a a A si inaltime h h h atras de această parte. Deoarece un romb este un paralelogram, îi găsim aria în același mod ca aria unui paralelogram.

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

A a A- latură;
h h h- înălțime coborâtă în lateral a a A.

Să rezolvăm un exemplu simplu.

Exemplu

Latura rombului este 5 (vezi). Înălțimea coborâtă în această parte are o lungime de 2 (cm). Găsiți aria unui romb S S S.

Soluţie

A=5 a=5 a =5
h=2 h=2 h =2

Folosim formula noastră și calculăm:
S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 S=a\cdot h=5\cdot 2=10S=a ⋅h =5 ⋅ 2 = 1 0 (vezi mp)

Răspuns: 10 cm pătrat

Formula pentru aria unui romb în termeni de diagonale

Totul este la fel de simplu aici. Trebuie doar să luați jumătate din produsul diagonalelor și să obțineți zona.

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 S=\frac(1)(2)\cdot d_1\cdot d_2S=2 1 ​ ⋅ d 1 ​ ⋅ d 2 ​

D 1 , d 2 d_1, d_2 d 1 ​ , d 2 ​ - diagonalele unui romb.

Exemplu

Una dintre diagonalele rombului este 7 (vezi), iar cealaltă este de 2 ori prima. Găsiți aria figurii.

Soluţie

D1=7 d_1=7 d 1 ​ = 7
d 2 = 2 ⋅ d 1 d_2=2\cdot d_1d 2 ​ = 2 ⋅ d 1 ​

Să găsim a doua diagonală:
d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 14 d_2=2\cdot d_1=2\cdot 7=14d 2 ​ = 2 ⋅ d 1 ​ = 2 ⋅ 7 = 1 4
Apoi zona:
S = 1 2 ⋅ 7 ⋅ 14 = 49 S=\frac(1)(2)\cdot7\cdot14=49S=2 1 ​ ⋅ 7 ⋅ 1 4 = 4 9 (vezi mp)

Răspuns: 49 cm patrati.

Formula pentru aria unui romb în termeni de două laturi și unghiul dintre ele

S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) S=a^2\cdot\sin(\alpha)S=A 2 ⋅ păcat(α)

A a A- laterala rombului;
α\alfa α - orice colt al rombului.

Exemplu

Aflați aria unui romb dacă fiecare dintre laturile sale este de 10 cm și unghiul dintre două laturi adiacente este de 30 de grade.

Soluţie

A=10 a=10 a =1 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

După formula obținem:
S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) = 100 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 50 S=a^2\cdot\sin(\alpha)=100\cdot\sin(30^(\circ))= 50S=A 2 ⋅ sin(α) =1 0 0 ⋅ păcatul (3 0 ∘ ) = 5 0 (vezi mp)

Răspuns: 50 cm patrati.

Formula pentru aria unui romb având în vedere raza cercului înscris și unghiul

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))S=păcat(α)4 ⋅ r 2 ​

R r r- raza cercului înscris în romb;
α\alfa α - orice colt al rombului.

Exemplu

Găsiți aria unui romb dacă unghiul dintre baze este de 60 de grade și raza cercului înscris este 4 (vezi).

Soluţie

R=4 r=4 r=4
α = 6 0 ∘ \alpha=60^(\circ)α = 6 0 ∘

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) = 4 ⋅ 16 sin ⁡ (6 0 ∘) ≈ 73,9 S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))=\frac(4\ cdot 16)(\sin(60^(\circ)))\approx73.9S=păcat(α)4 ⋅ r 2 ​ = păcatul (6 0 ∘ ) 4 ⋅ 1 6 ​ ≈ 7 3 . 9 (vezi mp)

Răspuns: 73,9 cm mp.

Formula pentru aria unui romb având în vedere raza cercului înscris și latura

S = 2 ⋅ a ⋅ r S=2\cdot a\cdot rS=2 ⋅ a ⋅r

A a A- laterala rombului;
r r r este raza cercului înscris în romb.

Exemplu

Luăm condiția din problema anterioară, dar să ne spunem latura rombului, egală cu 5 cm, în loc de unghi.

Soluţie

A=5 a=5 a =5
r=4 r=4 r=4

S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 40 S=2\cdot a\cdot r=2\cdot5\cdot4=40S=2 ⋅ a ⋅r=2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 4 0 (vezi mp)

Răspuns: 40 cm patrati.

Un romb este o figură specială în geometrie. Datorită proprietăților sale speciale, nu există una, ci mai multe formule care calculează aria unui romb. Care sunt aceste proprietăți și care sunt cele mai comune formule pentru a găsi suprafața acestei figuri? Să ne dăm seama.

Ce figură geometrică se numește romb

Înainte de a afla care este aria unui romb, merită să știți ce fel de figură este.

Din vremea geometriei euclidiene, un romb a fost numit patrulater simetric, toate cele patru laturi fiind egale ca lungime și paralele în perechi.

Originea termenului

Numele acestei figuri a venit în majoritatea limbilor moderne din greacă, prin medierea latinei. „Progenitorul” cuvântului „romb” a fost substantivul grecesc ῥόμβος (tamburin). Deși locuitorii secolului al XX-lea, obișnuiți cu tamburinele rotunde, este greu să le imaginezi într-o formă diferită, dar la eleni aceste instrumente muzicale erau fabricate în mod tradițional nu în formă rotundă, ci în formă de diamant.

În majoritatea limbilor moderne, acest termen matematic este folosit, ca și în latină: rombus. Cu toate acestea, în engleză, diamantele sunt uneori numite diamant (diamond sau diamant). Această figură a primit o astfel de poreclă datorită formei sale speciale, care amintește de o piatră prețioasă. De regulă, un termen similar nu este folosit pentru toate romburi, ci numai pentru cele în care unghiul de intersecție a celor două laturi este de șaizeci sau patruzeci și cinci de grade.

Pentru prima dată această cifră a fost menționată în scrierile matematicianului grec care a trăit în primul secol al unei noi ere - Heron din Alexandria.

Care sunt proprietățile acestei figuri geometrice

Pentru a găsi aria unui romb, mai întâi trebuie să știți ce caracteristici are o anumită figură geometrică.

În ce condiții un paralelogram este un romb?

După cum știți, fiecare romb este un paralelogram, dar nu orice paralelogram este un romb. Pentru a afirma cu acuratețe că figura prezentată este într-adevăr un romb, și nu un simplu paralelogram, trebuie să corespundă uneia dintre cele trei trăsături principale care disting rombul. Sau toate trei deodată.

1. Diagonalele unui paralelogram se intersectează la un unghi de nouăzeci de grade.
2. Diagonalele împart colțurile în două, acționând ca bisectoare.
3. Nu numai laturile paralele, ci și adiacente au aceeași lungime. Aceasta, apropo, este una dintre principalele diferențe dintre un romb și un paralelogram, deoarece a doua figură are doar laturi paralele care au aceeași lungime, dar nu și cele adiacente.

În ce condiții un romb este un pătrat?

Conform proprietăților sale, în unele cazuri, un romb poate deveni simultan un pătrat. Pentru a confirma vizual această afirmație, este suficient să rotiți pătratul în orice direcție cu patruzeci și cinci de grade. Figura rezultată va fi un romb, fiecare dintre colțurile căruia este egal cu nouăzeci de grade.

De asemenea, pentru a confirma că pătratul este un romb, puteți compara semnele acestor figuri: în ambele cazuri, toate laturile sunt egale, iar diagonalele sunt bisectoare și se intersectează la un unghi de nouăzeci de grade.

Cum să găsiți aria unui romb folosind diagonalele sale

În lumea modernă, pe Internet puteți găsi aproape toate materialele pentru a efectua calculele necesare. Deci, există o mulțime de resurse echipate cu programe pentru calcularea automată a ariei unei anumite figuri. În plus, dacă (ca și în cazul unui romb) există mai multe formule pentru aceasta, atunci este posibil să alegeți care dintre ele va fi cel mai convenabil de utilizat. Cu toate acestea, în primul rând, trebuie să puteți calcula aria unui romb fără ajutorul unui computer și să navigați prin formule. Sunt multe pentru un romb, dar cele mai faimoase dintre ele sunt patru.

Una dintre cele mai ușoare și mai comune modalități de a afla zona acestei figuri este dacă aveți informații despre lungimea diagonalelor sale. Dacă problema are aceste date, în acest caz, puteți aplica următoarea formulă pentru a găsi aria: S = KM x LN / 2 (KM și LN sunt diagonalele rombului KLMN).

Puteți verifica validitatea acestei formule în practică. Să presupunem că rombul KLMN are lungimea uneia dintre diagonalele sale KM - 10 cm, iar a doua LN - 8 cm. Apoi înlocuim aceste date în formula de mai sus și obținem următorul rezultat: S \u003d 10 x 8 / 2 \u003d 40 cm 2.

Formula pentru calcularea ariei unui paralelogram

Există o altă formulă. După cum sa menționat mai sus în definiția unui romb, acesta nu este doar un patrulater, ci și un paralelogram și are toate caracteristicile acestei figuri. În acest caz, pentru a-și găsi aria, este destul de recomandabil să folosiți formula utilizată pentru un paralelogram: S \u003d KL x Z. În acest caz, KL este lungimea laturii paralelogramului (romb), iar Z este lungimea înălțimii trasate în această parte.

În unele probleme, lungimea laturii nu este dată, dar se cunoaște perimetrul rombului. Deoarece formula pentru găsirea acesteia a fost indicată mai sus, poate fi folosită și pentru a afla lungimea laturii. Deci, perimetrul figurii este de 10 cm. Lungimea laturii poate fi găsită inversând formula perimetrului și împărțind 10 la 4. Rezultatul va fi de 2,5 cm - aceasta este lungimea laterală dorită a rombului.

Acum merită să încercați să înlocuiți acest număr în formulă, știind că lungimea înălțimii trasate în lateral este, de asemenea, de 2,5 cm. Acum, să încercăm să punem aceste valori în formula de mai sus pentru zona \u200b\ u200bparalelogramul. Se pare că aria rombului este S = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm 2.

Alte moduri de a calcula aria unui romb

Cei care au stăpânit deja sinusurile și cosinusurile pot folosi formule care le conțin pentru a găsi aria unui romb. Un exemplu clasic este următoarea formulă: S = KM 2 x Sin KLM. În acest caz, aria figurii este egală cu produsul celor două laturi ale rombului, înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele. Și deoarece într-un romb toate laturile sunt aceleași, este mai ușor să faceți imediat o latură într-un pătrat, așa cum se arată în formulă.

Verificăm această schemă în practică, și nu doar la un romb, ci la un pătrat, în care, după cum știți, toate unghiurile sunt drepte, ceea ce înseamnă că sunt egale cu nouăzeci de grade. Să presupunem că una dintre laturi are 15 cm. De asemenea, se știe că sinusul unui unghi de 90 ° este egal cu unu. Apoi, conform formulei, S \u003d 15 x 15 x Sin 90 ° \u003d 255x1 \u003d 255 cm 2.

În plus față de cele de mai sus, în unele cazuri, se utilizează o altă formulă, folosind un sinus pentru a determina aria unui romb: S \u003d 4 x R 2 / Sin KLM. În această versiune se folosește raza cercului înscris în romb. Se ridică la puterea pătratului și se înmulțește cu patru. Și întregul rezultat este împărțit la sinusul unghiului adiacent figurii înscrise.

De exemplu, pentru simplitatea calculelor, să luăm din nou un pătrat (sinusul unghiului său va fi întotdeauna egal cu unu). Raza cercului înscris în el este de 4,4 cm. Apoi aria rombului va fi calculată după cum urmează: S \u003d 4 x 4,4 2 / Sin 90 ° \u003d 77,44 cm 2

Formulele de mai sus pentru găsirea razei unui romb sunt departe de a fi singurele de acest fel, dar sunt cele mai ușor de înțeles și de efectuat calcule.

În ciuda faptului că matematica este regina științelor, iar aritmetica este regina matematicii, geometria este cel mai dificil lucru de învățat pentru școlari. Planimetria este o ramură a geometriei care studiază figurile plane. Una dintre aceste figuri este un romb. Cele mai multe probleme în rezolvarea patrulaterelor se rezumă la găsirea zonelor lor. Sistematizăm formulele cunoscute și diverse metode de calculare a ariei unui romb.

Un romb este un paralelogram cu toate cele patru laturi egale. Amintiți-vă că un paralelogram are patru unghiuri și patru laturi egale paralele în perechi. Ca orice patrulater, un romb are o serie de proprietăți care se rezumă la următoarele: atunci când traversează diagonalele, ele formează un unghi egal cu 90 de grade (AC ⊥ BD), punctul de intersecție le împarte fiecare în două segmente egale. Diagonalele unui romb sunt și bisectoarele unghiurilor sale (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD etc.). Rezultă că ele împart rombul în patru triunghiuri dreptunghice egale. Suma lungimilor diagonalelor ridicate la a doua putere este egală cu lungimea laturii la a doua putere înmulțită cu 4, adică. BD 2 + AC 2 = 4AB 2 . Există multe metode utilizate în planimetrie pentru a calcula aria unui romb, a căror aplicare depinde de datele sursă. Dacă știți lungimea unei laturi și orice unghi, puteți folosi următoarea formulă: aria unui romb este egală cu pătratul laturii înmulțit cu sinusul unghiului. Din cursul trigonometriei se știe că sin (π - α) = sin α, ceea ce înseamnă că sinusul oricărui unghi, atât acut, cât și obtuz, poate fi folosit în calcule. Un caz special este un romb, în ​​care toate unghiurile sunt drepte. Acesta este un pătrat. Se știe că sinusul unui unghi drept este egal cu unu, deci aria unui pătrat este egală cu lungimea laturii sale ridicate la a doua putere.

Dacă lungimea laturilor este necunoscută, folosim lungimea diagonalelor. În acest caz, aria rombului este jumătate din produsul diagonalelor majore și minore.

Cu o lungime cunoscută a diagonalelor și valoarea oricărui unghi, aria unui romb este determinată în două moduri. În primul rând: aria este jumătate din pătratul diagonalei mai mari, înmulțită cu tangenta a jumătate din gradul de măsură a unghiului ascuțit, adică. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), unde D este o diagonală mare, α este un unghi ascuțit. Dacă cunoașteți dimensiunea diagonalei mai mici, utilizați formula 1/2*d 2 *tg(β/2), unde d este diagonala mai mică și β este un unghi obtuz. Amintiți-vă că măsura unui unghi ascuțit este mai mică de 90 de grade (măsura unui unghi drept), iar un unghi obtuz, respectiv, este mai mare de 90 0 .

Aria unui romb poate fi găsită folosind lungimea unei laturi (amintim, toate laturile unui romb sunt egale) și înălțimea. Înălțimea este o perpendiculară coborâtă pe partea opusă colțului sau pe continuarea acestuia. Pentru ca baza înălțimii să fie situată în interiorul rombului, aceasta trebuie coborâtă dintr-un unghi obtuz.

Uneori, într-o problemă, este necesar să găsiți aria unui romb, pe baza datelor referitoare la cercul înscris. În acest caz, trebuie să-i cunoașteți raza. Există două formule care pot fi folosite pentru a calcula. Deci, pentru a răspunde la întrebarea pusă, putem dubla produsul dintre latura rombului și raza cercului înscris. Cu alte cuvinte, trebuie să înmulțiți diametrul cercului înscris cu partea rombului. Dacă valoarea unghiului este prezentată în starea problemei, atunci aria este prin câtul dintre pătratul razei, înmulțit cu patru, și sinusul unghiului.

După cum puteți vedea, există multe modalități de a găsi zona unui romb. Desigur, pentru a vă aminti pe fiecare dintre ele, veți avea nevoie de răbdare, atenție și, bineînțeles, timp. Dar mai târziu, puteți alege cu ușurință metoda care se potrivește sarcinii dvs. și vă puteți asigura că geometria este ușoară.

Zona geometrică- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței delimitată de un contur închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.

Formulele ariei triunghiulare

1. Formula ariei triunghiulare pentru latură și înălțime
   Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură
   
2. Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza cercului circumscris
   
3. Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza unui cerc înscris
   Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris.
   
unde S este aria triunghiului,
- lungimile laturilor triunghiului,
- înălțimea triunghiului,
- unghiul dintre laturi și,
- raza cercului înscris,
R - raza cercului circumscris,

Formule de suprafață pătrată

1. Formula pentru aria unui pătrat dată fiind lungimea unei laturi
   suprafata patrata este egal cu pătratul lungimii laturii sale.
2. Formula pentru aria unui pătrat având în vedere lungimea diagonalei
   suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.
   

   S=	1	2
   	2

unde S este aria pătratului,
este lungimea laturii pătratului,
este lungimea diagonalei pătratului.

Formula zonei dreptunghiulare

Zona dreptunghiulară este egal cu produsul lungimilor celor două laturi adiacente ale sale

unde S este aria dreptunghiului,
sunt lungimile laturilor dreptunghiului.

Formule pentru aria unui paralelogram

1. Formula ariei de paralelogram pentru lungimea și înălțimea laturii
   Zona paralelogramului
2. Formula pentru aria unui paralelogram dat două laturi și unghiul dintre ele
   Zona paralelogramului este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.
   

   a b sinα

unde S este aria paralelogramului,
sunt lungimile laturilor paralelogramului,
este înălțimea paralelogramului,
este unghiul dintre laturile paralelogramului.

Formule pentru aria unui romb

1. Formula ariei romb datând lungimea și înălțimea laturii
   Zona rombului este egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură.
2. Formula pentru aria unui romb având în vedere lungimea laturii și unghiul
   Zona rombului este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului.
3. Formula pentru aria unui romb din lungimile diagonalelor sale
   Zona rombului este egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale.
unde S este aria rombului,
- lungimea laturii rombului,
- lungimea înălțimii rombului,
- unghiul dintre laturile rombului,
1, 2 - lungimile diagonalelor.

Formulele zonei trapezului

1. Formula lui Heron pentru un trapez

   Unde S este aria trapezului,
   - lungimea bazelor trapezului,
   - lungimea laturilor trapezului,
   

În articol vom lua în considerare formula ariei rombului si nici unul! Imaginile arată cât de ușor este să fii aria unui romb folosind formule simple.

Există un număr mare de sarcini pentru a găsi una sau alta valoare într-un romb, iar formulele care vor fi discutate ne vor ajuta în acest sens.
Un romb aparține unui tip separat de patrulater, deoarece toate laturile sunt egale în el. De asemenea, reprezintă un caz special al unui paralelogram în care laturile AB=BC=CD=AD sunt egale.

Notă: Dacă aveți nevoie de o lucrare la termen, de control sau de diplomă, atunci sunteți pe webmath.ru. sau doar urmați linkul pentru a comanda o lucrare de termen (http://www.webmath.ru/zakaz_kursovye.php).

Rombul are următoarele proprietăți:

Un romb are unghiuri paralele egale
- adăugarea a două unghiuri adiacente este egală cu 180 de grade,
- Intersecția diagonalelor la un unghi de 90 de grade,
- Bisectoare ale unui romb, diagonalele sale cad,
- Diagonala la intersecție este împărțită în părți egale.

Rhombus are următoarele caracteristici:

Dacă un paralelogram în care diagonalele se întâlnesc la un unghi de 90 de grade, atunci se numește romb.
- Dacă un paralelogram în care bisectoarea este o diagonală, atunci se numește romb.
Dacă un paralelogram are laturile egale, este un romb.
- Dacă un patrulater are laturile egale, este un romb.
- Dacă un patrulater în care bisectoarea este o diagonală și diagonalele se întâlnesc la un unghi de 90 de grade, atunci este un romb.
- Dacă un paralelogram are aceleași înălțimi, este un romb.

Din semnele de mai sus, putem concluziona că sunt necesare pentru a învăța cum să separă un romb de alte figuri similare cu acesta.

Întrucât într-un romb toate laturile sunt la fel perimetrul este după următoarea formulă:
P=4a
Formula zonei romb

Există mai multe formule. Cel mai simplu se rezolvă ca adunarea ariei a 2 triunghiuri, care se obțin prin împărțirea diagonalelor.

Folosind cea de-a doua formulă, puteți rezolva probleme cu diagonalele cunoscute ale unui romb. În acest caz, aria rombului va fi: suma diagonalelor împărțită la doi.

Foarte usor de rezolvat si nu va fi uitat.

A treia formulă poate fi folosită atunci când cunoașteți unghiul dintre laturi. Cunoscând-o, puteți găsi aria unui romb, aceasta va fi egală cu pătratul laturilor cu sinusul unghiului. Nu contează ce unghi. deoarece sinusul unui unghi are aceeași valoare.

Este important de reținut că aria se măsoară în pătrate, iar perimetrul în unități. Aceste formule sunt foarte ușor de aplicat în practică.

Pot exista și sarcini pentru găsirea razei de-a lungul unui cerc înscris într-un romb.

Există, de asemenea, mai multe formule pentru aceasta:

În prima formulă, raza se găsește ca produsul diagonalelor împărțit la numărul obținut din adunarea tuturor laturilor. sau egal cu jumătate din înălțime (r=h/2).

În a doua formulă se ia principiul din prima, aplicăm cunoaștem diagonalele și laturile rombului.

În a treia formulă, raza provine de la înălțimea celui mai mic dintre triunghiurile rezultate în urma intersecției.