Linii de ordinul doi.
Elipsa și ecuația ei canonică. Cerc

După un studiu amănunțit linii drepte pe plan continuăm să studiem geometria lumii bidimensionale. Miza este dublată și vă invit să vizitați pitoreasca galerie de elipse, hiperbole, parabole, care sunt reprezentanți tipici ai linii de ordinul doi. Turul a început deja și, mai întâi, o scurtă informare despre întreaga expoziție de la diferite etaje ale muzeului:

Conceptul dreptei algebrice și ordinea acesteia

O linie pe un plan se numește algebric, dacă în sistem de coordonate afine ecuația sa are forma , unde este un polinom format din termeni de forma ( este un număr real, sunt numere întregi nenegative).

După cum puteți vedea, ecuația unei linii algebrice nu conține sinusuri, cosinusuri, logaritmi și alte frumoase monde funcționale. Doar „x” și „y” în întreg nenegativ grade.

Ordine de linie este egală cu valoarea maximă a termenilor incluși în acesta.

Conform teoremei corespunzătoare, conceptul de dreptă algebrică, precum și ordinea acesteia, nu depind de alegere sistem de coordonate afine, prin urmare, pentru ușurința de a fi, considerăm că toate calculele ulterioare au loc în coordonate carteziene.

Ecuația generală linia de ordinul doi are forma , unde sunt numere reale arbitrare (se obișnuiește să scrieți cu un multiplicator - „două”), iar coeficienții nu sunt simultan egali cu zero.

Dacă , atunci ecuația se simplifică la , iar dacă coeficienții nu sunt simultan egali cu zero, atunci acesta este exact ecuația generală a unei linii drepte „plate”., care reprezintă prima linie de comandă.

Mulți au înțeles sensul noilor termeni, dar, cu toate acestea, pentru a asimila materialul 100%, băgăm degetele în priză. Pentru a determina ordinea liniilor, repetați toți termenii ecuațiile sale și pentru fiecare dintre ele găsiți suma puterilor variabilele de intrare.

De exemplu:

termenul conține „x” până la gradul I;
termenul conține „Y” până la gradul I;
nu există variabile în termen, deci suma puterilor lor este zero.

Acum să ne dăm seama de ce ecuația stabilește linia al doilea Ordin:

termenul conține „x” în gradul II;
termenul are suma gradelor variabilelor: 1 + 1 = 2;
termenul conține „y” în gradul II;
toți ceilalți termeni - mai puțin grad.

Valoarea maximă: 2

Dacă adăugăm în plus la ecuația noastră, să spunem, , atunci se va determina deja linia de ordine a treia. Este evident că forma generală a ecuației liniei de ordinul 3 conține un „mult complet” de termeni, suma gradelor de variabile în care este egală cu trei:
, unde coeficienții nu sunt simultan egali cu zero.

În cazul în care se adaugă unul sau mai mulți termeni potriviți care conțin , atunci vom vorbi despre linii de ordinul 4, etc.

Va trebui să ne ocupăm de linii algebrice de ordinul al 3-lea, al 4-lea și superior de mai multe ori, în special, atunci când ne familiarizăm cu sistem de coordonate polare.

Cu toate acestea, să revenim la ecuația generală și să ne amintim cele mai simple variații școlare ale acesteia. Exemple sunt parabola, a cărei ecuație poate fi ușor redusă la o formă generală, și hiperbola cu o ecuație echivalentă. Cu toate acestea, nu totul este atât de lin ....

Un dezavantaj semnificativ al ecuației generale este că aproape întotdeauna nu este clar ce linie definește. Chiar și în cel mai simplu caz, nu îți vei da seama imediat că aceasta este o hiperbolă. Astfel de amenajări sunt bune numai la o mascarada, prin urmare, în cursul geometriei analitice, este considerată o problemă tipică reducerea ecuației liniei de ordinul 2 la forma canonică.

Care este forma canonică a unei ecuații?

Aceasta este forma standard acceptată în general a ecuației, când în câteva secunde devine clar ce obiect geometric definește. În plus, forma canonică este foarte convenabilă pentru rezolvarea multor probleme practice. Deci, de exemplu, conform ecuației canonice „plat” drept, în primul rând, este imediat clar că aceasta este o linie dreaptă, iar în al doilea rând, punctul care îi aparține și vectorul de direcție sunt pur și simplu vizibile.

Evident, oricare Prima linie de comandă reprezintă o linie dreaptă. La etajul doi, nu ne mai așteaptă un portar, ci o companie mult mai diversă de nouă statui:

Clasificarea liniilor de ordinul doi

Cu ajutorul unui set special de acțiuni, orice ecuație de linie de ordinul doi este redusă la unul dintre următoarele tipuri:

(și sunt numere reale pozitive)

1) este ecuația canonică a elipsei;

2) este ecuația canonică a hiperbolei;

3) este ecuația canonică a parabolei;

4) – imaginar elipsă;

5) - o pereche de linii care se intersectează;

6) - cuplu imaginar linii de intersectare (cu singurul punct real de intersecție la origine);

7) - o pereche de drepte paralele;

8) - cuplu imaginar linii paralele;

9) este o pereche de linii care coincid.

Unii cititori pot avea impresia că lista este incompletă. De exemplu, în paragraful numărul 7, ecuația stabilește perechea direct, paralel cu axa, și se pune întrebarea: unde este ecuația care determină liniile paralele cu axa y? Raspunde nu este considerat canon. Liniile drepte reprezintă același caz standard rotit cu 90 de grade, iar intrarea suplimentară în clasificare este redundantă, deoarece nu poartă nimic fundamental nou.

Astfel, există nouă și doar nouă tipuri diferite de linii de ordinul 2, dar în practică cele mai comune sunt elipsa, hiperbola si parabola.

Să ne uităm mai întâi la elipsă. Ca de obicei, mă concentrez asupra acelor puncte care sunt de mare importanță pentru rezolvarea problemelor și, dacă aveți nevoie de o derivare detaliată a formulelor, demonstrații de teoreme, vă rugăm să consultați, de exemplu, manualul lui Bazylev / Atanasyan sau Aleksandrov.

Elipsa și ecuația ei canonică

Ortografie ... vă rugăm să nu repetați greșelile unor utilizatori Yandex care sunt interesați de „cum să construiți o elipsă”, „diferența dintre o elipsă și un oval” și „excentricitatea elbs”.

Ecuația canonică a unei elipse are forma , unde sunt numere reale pozitive și . Voi formula mai târziu definiția unei elipse, dar deocamdată este timpul să luăm o pauză de la vorbire și să rezolvăm o problemă comună:

Cum se construiește o elipsă?

Da, ia-l și desenează-l. Sarcina este obișnuită, iar o parte semnificativă a studenților nu se descurcă destul de competent cu desenul:

Exemplul 1

Construiți o elipsă dată de ecuație

Soluţie: mai întâi aducem ecuația la forma canonică:

De ce să aduci? Unul dintre avantajele ecuației canonice este că vă permite să determinați instantaneu vârfuri de elipsă, care sunt la punctele . Este ușor de observat că coordonatele fiecăruia dintre aceste puncte satisfac ecuația .

În acest caz :

Segment de linie numit axa majoră elipsă;
segment de linie – axa minoră;
număr numit semi-axa mare elipsă;
număr – semi-axă minoră.
în exemplul nostru: .

Pentru a vă imagina rapid cum arată aceasta sau acea elipsă, priviți doar valorile „a” și „fi” ale ecuației sale canonice.

Totul este bine, îngrijit și frumos, dar există o avertizare: am finalizat desenul folosind programul. Și poți desena cu orice aplicație. Cu toate acestea, în realitate dură, o bucată de hârtie în carouri stă pe masă, iar șoarecii dansează în jurul mâinilor noastre. Oamenii cu talent artistic, desigur, se pot certa, dar ai și șoareci (deși mai mici). Nu degeaba omenirea a inventat o riglă, o busolă, un raportor și alte dispozitive simple pentru desen.

Din acest motiv, este puțin probabil să reușim să desenăm cu precizie o elipsă, cunoscând doar vârfurile. În regulă, dacă elipsa este mică, de exemplu, cu semiaxele. Alternativ, puteți reduce scara și, în consecință, dimensiunile desenului. Dar, în cazul general, este foarte de dorit să găsiți puncte suplimentare.

Există două abordări pentru construirea unei elipse - geometrică și algebrică. Nu-mi place să construiesc cu o busolă și o riglă din cauza algoritmului scurt și a dezordinei semnificative a desenului. În caz de urgență, vă rugăm să consultați manualul, dar în realitate este mult mai rațional să folosiți instrumentele algebrei. Din ecuația elipsei de pe schiță, exprimăm rapid:

Ecuația este apoi împărțită în două funcții:
– definește arcul superior al elipsei;
– definește arcul inferior al elipsei.

Elipsa dată de ecuația canonică este simetrică față de axele de coordonate, precum și față de origine. Și asta este grozav - simetria este aproape întotdeauna un prevestitor al unui om gratuit. Evident, este suficient să ne ocupăm de primul trimestru de coordonate, așa că avem nevoie de o funcție . Sugerează găsirea de puncte suplimentare cu abscise . Am lovit trei SMS-uri pe calculator:

Desigur, este, de asemenea, plăcut că, dacă se face o eroare gravă în calcule, aceasta va deveni imediat clară în timpul construcției.

Marcați puncte pe desen (culoare roșie), puncte simetrice pe celelalte arce (culoare albastră) și conectați cu atenție întreaga companie cu o linie:

Este mai bine să desenați schița inițială subțire și subțire și abia apoi să aplicați presiune pe creion. Rezultatul ar trebui să fie o elipsă destul de decentă. Apropo, ai vrea să știi ce este această curbă?

Definiţia an elipse. Focare de elipsă și excentricitate de elipsă

O elipsă este un caz special al unui oval. Cuvântul „oval” nu trebuie înțeles în sensul filistin („copilul a desenat un oval”, etc.). Acesta este un termen matematic cu o formulare detaliată. Scopul acestei lecții nu este de a lua în considerare teoria ovalelor și diferitele lor tipuri, cărora practic nu li se acordă atenție în cursul standard de geometrie analitică. Și, în conformitate cu nevoile mai actuale, trecem imediat la definiția strictă a unei elipse:

Elipsă- aceasta este mulțimea tuturor punctelor planului, suma distanțelor până la fiecare dintre care de la două puncte date, numite trucuri elipsa, este o valoare constanta, numeric egala cu lungimea axei majore a acestei elipse: .
În acest caz, distanța dintre focare este mai mică decât această valoare: .

Acum va deveni mai clar:

Imaginează-ți că punctul albastru „călărește” pe o elipsă. Deci, indiferent de ce punct al elipsei luăm, suma lungimilor segmentelor va fi întotdeauna aceeași:

Să ne asigurăm că în exemplul nostru valoarea sumei este într-adevăr egală cu opt. Puneți mental punctul „em” în vârful din dreapta al elipsei, apoi: , care trebuia verificat.

O altă modalitate de a desena o elipsă se bazează pe definiția unei elipse. Matematica superioară, uneori, este cauza tensiunii și a stresului, așa că este timpul să mai avem o sesiune de descărcare. Vă rugăm să luați o bucată de hârtie sau o coală mare de carton și fixați-o pe masă cu două cuie. Acestea vor fi trucuri. Legați un fir verde de capetele proeminente ale unghiilor și trageți-l până la capăt cu un creion. Gâtul creionului va fi la un moment dat, care aparține elipsei. Acum începeți să ghidați creionul pe foaia de hârtie, păstrând firul verde foarte întins. Continuați procesul până reveniți la punctul de plecare... excelent... desenul poate fi depus spre verificare de către medic profesorului =)

Cum să găsești focalizarea unei elipse?

În exemplul de mai sus, am descris punctele de focalizare „gata”, iar acum vom învăța cum să le extragem din adâncimea geometriei.

Dacă elipsa este dată de ecuația canonică , atunci focarele sale au coordonate , unde este distanța de la fiecare focar până la centrul de simetrie al elipsei.

Calculele sunt mai ușoare decât napii aburiți:

! Cu sensul „ce” este imposibil să identifici coordonatele specifice ale trucurilor! Repet, asta este DISTANTA de la fiecare focalizare la centru(care în cazul general nu trebuie să fie situat exact la origine).
Și, prin urmare, distanța dintre focare nu poate fi legată nici de poziția canonică a elipsei. Cu alte cuvinte, elipsa poate fi mutată în alt loc, iar valoarea va rămâne neschimbată, în timp ce focarele își vor schimba în mod natural coordonatele. Vă rugăm să țineți cont de acest lucru pe măsură ce explorați subiectul în continuare.

Excentricitatea unei elipse și semnificația ei geometrică

Excentricitatea unei elipse este un raport care poate lua valori în interiorul .

În cazul nostru:

Să aflăm cum forma unei elipse depinde de excentricitatea acesteia. Pentru aceasta fixați vârfurile stânga și dreapta a elipsei luate în considerare, adică valoarea semiaxei majore va rămâne constantă. Atunci formula excentricității va lua forma: .

Să începem să aproximăm valoarea excentricității la unitate. Acest lucru este posibil doar dacă . Ce înseamnă? ...amintind trucuri . Aceasta înseamnă că focarele elipsei se vor „dispersa” de-a lungul axei absciselor către vârfurile laterale. Și, deoarece „segmentele verzi nu sunt cauciuc”, elipsa va începe inevitabil să se aplatizeze, transformându-se într-un cârnați din ce în ce mai subțiri înșirat pe o axă.

Prin urmare, cu cât excentricitatea elipsei este mai aproape de unul, cu atât elipsa este mai alungită.

Acum să simulăm procesul opus: focarele elipsei s-au dus unul spre altul, apropiindu-se de centru. Aceasta înseamnă că valoarea lui „ce” este din ce în ce mai mică și, în consecință, excentricitatea tinde spre zero: .
În acest caz, „segmentele verzi”, dimpotrivă, vor „deveni aglomerate” și vor începe să „împingă” linia elipsei în sus și în jos.

Prin urmare, cu cât valoarea excentricității este mai aproape de zero, cu atât elipsa arată mai mult... uitați-vă la cazul limitativ, când focarele sunt reunite cu succes la origine:

Un cerc este un caz special al unei elipse

Într-adevăr, în cazul egalității semiaxelor, ecuația canonică a elipsei ia forma, care se transformă reflexiv în binecunoscuta ecuație a cercului din școala cu centrul la originea razei „a”.

În practică, notația cu litera „vorbitoare” „er” este mai des folosită:. Raza se numește lungimea segmentului, în timp ce fiecare punct al cercului este îndepărtat din centru cu distanța razei.

Rețineți că definiția unei elipse rămâne complet corectă: focarele s-au potrivit, iar suma lungimilor segmentelor potrivite pentru fiecare punct de pe cerc este o valoare constantă. Deoarece distanța dintre focare este excentricitatea oricărui cerc este zero.

Un cerc se construiește ușor și rapid, este suficient să te înarmezi cu o busolă. Cu toate acestea, uneori este necesar să aflăm coordonatele unora dintre punctele sale, în acest caz mergem pe calea familiară - aducem ecuația la forma unui Matan vesel:

este funcția semicercului superior;
este funcția semicercului inferior.

Apoi găsim valorile dorite, diferentiabil, integrași să faci alte lucruri bune.

Articolul, desigur, este doar pentru referință, dar cum se poate trăi fără iubire în lume? Sarcină creativă pentru soluție independentă

Exemplul 2

Alcătuiți ecuația canonică a unei elipse dacă unul dintre focarele sale și semiaxa mică sunt cunoscute (centrul este la origine). Găsiți vârfuri, puncte suplimentare și trageți o linie pe desen. Calculați excentricitatea.

Rezolvare și desen la sfârșitul lecției

Să adăugăm o acțiune:

Rotiți și traduceți o elipsă

Să revenim la ecuația canonică a elipsei, și anume la condiția, a cărei ghicitoare chinuie mințile iscoditoare încă de la prima mențiune a acestei curbe. Aici am considerat o elipsă , dar în practică nu poate ecuația ? La urma urmei, aici, totuși, pare a fi ca o elipsă!

O astfel de ecuație este rară, dar apare. Și definește o elipsă. Să risipim misticul:

În urma construcției, se obține elipsa noastră nativă, rotită cu 90 de grade. Acesta este, - Acest intrare necanonică elipsă . Record!- ecuația nu specifică nicio altă elipsă, deoarece nu există puncte (focale) pe axă care să satisfacă definiția unei elipse.

Oval- aceasta este o curbă casetă închisă, având două axe de simetrie și formată din două cercuri de sprijin de același diametru, conjugate intern prin arce (Fig. 13.45). Ovalul este caracterizat de trei parametri: lungimea, lățimea și raza ovalului. Uneori sunt specificate doar lungimea și lățimea ovalului, fără a se determina razele acestuia, atunci problema construirii unui oval are un număr mare de soluții (vezi Fig. 13.45, a ... d).

De asemenea, folosesc metode de construire a ovalelor pe baza a două cercuri de referință identice care sunt în contact (Fig. 13.46, a), se intersectează (Fig. 13.46, b) sau nu se intersectează (Fig. 13.46, c). În acest caz, sunt setați efectiv doi parametri: lungimea ovalului și una dintre razele acestuia. Această problemă are multe soluții. Este evident că R > OA nu are limita superioară. În special R \u003d O 1 O 2(vezi fig. 13.46.a și fig. 13.46.c), iar centrele Cam 3Și Cam 4 sunt definite ca punctele de intersecție ale cercurilor de bază (vezi Fig. 13.46, b). Conform teoriei generale a punctului, conjugările sunt definite pe o linie dreaptă care leagă centrele de arc ale cercurilor învecinate.

Construirea unui oval cu cercuri de sprijin care se ating(problema are multe solutii) ( orez. 3.44). Din centrele cercurilor de sprijin DESPREȘi 0 1 cu o rază egală, de exemplu, cu distanța dintre centrele lor, se desenează arce de cerc până când se intersectează în puncte DESPRE 2 și Aproximativ 3 .

Figura 3.44

Dacă din puncte DESPRE 2 și Cam 3 trage linii drepte prin centre DESPREȘi O 1, apoi la intersecția cu cercurile de sprijin obținem puncte de conjugare CU, C1, DȘi D1. Din puncte DESPRE 2 și Cam 3 ca din centre cu o rază R2 conduce arcuri de conjugare.

Construirea unui oval cu cercuri de sprijin care se intersectează(problema are și multe soluții) (Fig. 3.45). Din punctele de intersecție ale cercurilor de sprijin De la 2Și Cam 3 trageți linii drepte, de exemplu, prin centre DESPREȘi O 1 până la intersecția cu cercurile de referință în punctele de joncțiune C, C1 DȘi D1, iar razele R2, egal cu diametrul cercului suport - arcul de conjugare.

Figura 3.45 Figura 3.46

Construcția unui oval de-a lungul a două axe date AB și CD(Fig. 3.46). Mai jos este una dintre multele soluții posibile. Un segment este trasat pe axa verticală OE, jumătate din axa majoră AB. De la un punct CU cum să desenezi un arc din centru cu o rază CE până la intersecția cu segmentul AC la punct E 1. Până la mijlocul segmentului AE 1 restabiliți perpendiculara și marcați punctele de intersecție a acesteia cu axele ovalului O 1Și 0 2 . Construiți puncte O 3Și 0 4 , simetric față de puncte O 1Și 0 2 despre topoare CDȘi AB. puncte O 1Și 0 3 vor fi centrele cercurilor de sprijin de rază R1, egal cu segmentul Aproximativ 1 A,și puncte O2Și 0 4 - centrele arcelor de conjugare a razei R2, egal cu segmentul Aproximativ 2 C. Linii drepte care leagă centrele O 1Și 0 3 Cu O2Și 0 4 la intersectia cu ovalul se vor determina punctele de jonctiune.

În AutoCAD, un oval este construit folosind două cercuri de referință cu aceeași rază, care sunt:

1. au un punct de contact;

2. se intersectează;

3. nu se intersectează.

Să luăm în considerare primul caz. Se construieste un segment OO 1 =2R, paralel cu axa X, la capetele acestuia (punctele O si O 1) se plaseaza centrele a doua cercuri de referinta de raza R si centrele a doua cercuri auxiliare de raza R 1 =2R. Din punctele de intersecție ale cercurilor auxiliare O 2 și O 3 se construiesc arce CD și respectiv C 1 D 1. Cercurile auxiliare sunt îndepărtate, apoi, în raport cu arcele CD și C 1 D 1, părțile interioare ale cercurilor de sprijin sunt tăiate. În figura bb, ovalul rezultat este marcat cu o linie groasă.

Figura Construirea unui oval cu cercuri de sprijin care se ating de aceeași rază

În astronomie, când se ia în considerare mișcarea corpurilor cosmice pe orbite, conceptul de „elipsă” este adesea folosit, deoarece traiectoriile lor sunt caracterizate tocmai de această curbă. Luați în considerare în articol întrebarea care este figura marcată și, de asemenea, dați formula pentru lungimea unei elipse.

Ce este o elipsă?

Conform definiției matematice, o elipsă este o curbă închisă, pentru care suma distanțelor de la oricare dintre punctele sale la alte două anumite puncte situate pe axa principală și numite focare este o constantă. Mai jos este o figură care explică această definiție.

În figură, suma distanțelor PF „și PF este egală cu 2 * a, adică PF” + PF \u003d 2 * a, unde F „și F sunt focarele elipsei, „a” este lungimea semiaxei sale majore. Segmentul BB "se numește semiaxa minoră, iar distanța CB = CB" = b este lungimea semiaxei minore. Aici punctul C definește centrul figurii.

Figura de mai sus arată, de asemenea, o metodă simplă de șir și două știfturi, care este utilizată pe scară largă pentru trasarea curbelor eliptice. O altă modalitate de a obține această cifră este de a efectua la orice unghi față de axa sa care nu este egal cu 90 o .

Dacă elipsa este rotită de-a lungul uneia dintre cele două axe ale sale, atunci formează o figură tridimensională, care se numește sferoid.

Formula circumferinței elipsei

Deși figura luată în considerare este destul de simplă, circumferința circumferinței sale poate fi determinată exact prin calculul așa-numitelor integrale eliptice de al doilea fel. Cu toate acestea, matematicianul autodidact hindus Ramanujan, la începutul secolului al XX-lea, a propus o formulă destul de simplă pentru lungimea unei elipse, care se apropie de dedesubt de rezultatul integralelor de mai sus. Adică, valoarea valorii considerate calculată din aceasta va fi puțin mai mică decât lungimea reală. Această formulă arată astfel: P ≈ pi * , unde pi = 3,14 este numărul de pi.

De exemplu, să fie lungimile celor două semiaxe ale elipsei a = 10 cm și b = 8 cm, apoi lungimea acesteia P = 56,7 cm.

Toată lumea poate verifica că dacă a = b = R, adică se consideră un cerc obișnuit, atunci formula lui Ramanujan se reduce la forma P = 2 * pi * R.

Rețineți că manualele școlare oferă adesea o formulă diferită: P = pi * (a + b). Este mai simplu, dar și mai puțin precis. Deci, dacă se aplică la cazul considerat, atunci obținem valoarea P = 56,5 cm.

Ce este o elipsă?

Te va interesa:

Figura de mai sus arată, de asemenea, o metodă simplă de șir și două știfturi, care este utilizată pe scară largă pentru trasarea curbelor eliptice. O altă modalitate de a obține această cifră este să tăiați conul la orice unghi față de axa sa care nu este egal cu 90o.

Dacă elipsa este rotită de-a lungul uneia dintre cele două axe ale sale, atunci formează o figură tridimensională, care se numește sferoid.

Formula circumferinței elipsei

De exemplu, să fie lungimile celor două semiaxe ale elipsei a = 10 cm și b = 8 cm, apoi lungimea acesteia P = 56,7 cm.

Toată lumea poate verifica că dacă a = b = R, adică se consideră un cerc obișnuit, atunci formula lui Ramanujan se reduce la forma P = 2 * pi * R.

circumferinţă Se numește o curbă plană închisă, toate punctele care sunt echidistante de un punct dat (centrul cercului). Distanța de la orice punct al cercului \(P\left((x,y)\right)\) până la centrul său se numește rază. Centrul cercului și cercul însuși se află în același plan. Ecuația unui cerc cu raza \(R\) centrat la origine ( ecuația canonică a unui cerc ) are forma
\((x^2) + (y^2) = (R^2)\).

Ecuația cercului raza \(R\) centrat într-un punct arbitrar \(A\left((a,b) \right)\) se scrie ca
\((\left((x - a) \right)^2) + (\left((y - b) \right)^2) = (R^2)\).

Ecuația unui cerc care trece prin trei puncte , scris ca: \(\left| (\begin(array)(*(20)(c)) ((x^2) + (y^2)) & x & y & 1\\ (x_1^2 + y_1^2) & ((x_1)) & ((y_1)) & 1\\ (x_2^2 + y_2^2) & ((x_2)) & ((y_2)) & 1\\ (x_3^2 + y_3^2) & ((x_3)) & ((y_3)) & 1 \end(array)) \right| = 0.\\\)
Aici \(A\left(((x_1),(y_1)) \right)\), \(B\left(((x_2),(y_2)) \right)\), \(C\left(( (x_3),(y_3)) \right)\) sunt trei puncte situate pe cerc.

Ecuație cerc în formă parametrică
\(\left\( \begin(aligned) x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
unde \(x\), \(y\) sunt coordonatele punctelor cercului, \(R\) este raza cercului, \(t\) este un parametru.

Ecuația generală a unui cerc
\(A(x^2) + A(y^2) + Dx + Ey + F = 0\)
cu condiția \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Centrul cercului este situat în punctul cu coordonatele \(\left((a,b)\right)\), unde
\(a = - \large\frac(D)((2A))\normalsize,\;\;b = - \large\frac(E)((2A))\normalsize.\)
Raza cercului este
\(R = \sqrt (\large\frac(((D^2) + (E^2) - 4AF))((2\left| A \right|))\normalsize) \)

Elipsă se numește curbă plană, pentru fiecare punct din care suma distanțelor până la două puncte date ( trucuri de elipsă ) este constantă. Distanța dintre focare se numește distanta focala și se notează cu \(2c\). Mijlocul segmentului care leagă focarele se numește centrul elipsei . Elipsa are două axe de simetrie: prima sau axă focală, care trece prin focare, și a doua axă perpendiculară pe aceasta. Se numesc punctele de intersecție a acestor axe cu elipsa culmi. Se numește segmentul de linie care leagă centrul elipsei cu vârful semiaxa unei elipse . Semiaxa majoră se notează cu \(a\), semiaxa minoră - cu \(b\). O elipsă al cărei centru este la originea coordonatelor și ale cărei semi-axe se află pe liniile de coordonate, este descrisă de următoarele ecuație canonică :
\(\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalsize + \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ dimensiune normală = 1.\)

Suma distanțelor de la orice punct al elipsei până la focarele sale constant:
\((r_1) + (r_2) = 2a\),
unde \((r_1)\), \((r_2)\) sunt distanțele de la un punct arbitrar \(P\left((x,y) \right)\) până la focare \((F_1)\) și \(( F_2)\), \(a\) este semiaxa majoră a elipsei.

Relația dintre semiaxele unei elipse și distanța focală
\((a^2) = (b^2) + (c^2)\),
unde \(a\) este semiaxa majoră a elipsei, \(b\) este semiaxa minoră, \(c\) este jumătate din distanța focală.

Excentricitatea elipsei
\(e = \large\frac(c)(a)\normalsize

Ecuații directrice elipse
Directricea unei elipse este o linie dreaptă perpendiculară pe axa ei focală și care o intersectează la o distanță \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) de centru. Elipsa are două directrice situate pe laturile opuse ale centrului. Ecuațiile directrice sunt scrise ca
\(x = \pm \large\frac(a)(e)\normalsize = \pm \large\frac(((a^2)))(c)\normalsize.\)

Ecuația elipsei în formă parametrică
\(\left\( \begin(aligned) x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
unde \(a\), \(b\) sunt semiaxele elipsei, \(t\) este un parametru.

Ecuația generală a unei elipse
\(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
unde \((B^2) - 4AC

Ecuația generală a unei elipse ale cărei semiaxe sunt paralele cu axele de coordonate
\(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
unde \(AC > 0\).

Perimetrul elipsei
\(L = 4aE\stanga(e\dreapta)\),
unde \(a\) este semiaxa majoră a elipsei, \(e\) este excentricitatea, \(E\) este integrală eliptică completă de al doilea fel.

Formule aproximative pentru perimetrul unei elipse
\(L \aprox \pi \left[ (\large\frac(3)(2)\normalsize\left((a + b) \right) - \sqrt (ab) ) \right],\;\;L \aproximativ \pi \sqrt (2\left(((a^2) + (b^2)) \right)),\)
unde \(a\),\(b\) sunt semiaxele elipsei.

Zona elipsei
\(S = \pi ab\)

Linii de ordinul doi. Elipsa și ecuația ei canonică. Cerc

Conceptul dreptei algebrice și ordinea acesteia

Care este forma canonică a unei ecuații?

Clasificarea liniilor de ordinul doi

Elipsa și ecuația ei canonică

Cum se construiește o elipsă?

Definiţia an elipse. Focare de elipsă și excentricitate de elipsă

Cum să găsești focalizarea unei elipse?

Excentricitatea unei elipse și semnificația ei geometrică

Un cerc este un caz special al unei elipse

Rotiți și traduceți o elipsă

Ce este o elipsă?

Formula circumferinței elipsei

Ce este o elipsă?

Formula circumferinței elipsei

Citeste si

Linii de ordinul doi.
Elipsa și ecuația ei canonică. Cerc