Am arătat anterior că $1\frac25$ este aproape de $\sqrt2$. Dacă ar fi exact egal cu $\sqrt2$, . Atunci raportul este $\frac(1\frac25)(1)$, care poate fi transformat într-un raport întreg $\frac75$ înmulțind partea de sus și de jos a fracției cu 5 și ar fi valoarea dorită.

Dar, din păcate, $1\frac25$ nu este valoarea exactă a $\sqrt2$. Un răspuns mai precis, $1\frac(41)(100)$, ne oferă relația $\frac(141)(100)$. Obținem o acuratețe și mai mare atunci când echivalăm $\sqrt2$ cu $1\frac(207)(500)$. În acest caz, raportul în numere întregi va fi egal cu $\frac(707)(500)$. Dar $1\frac(207)(500)$ nu este valoarea exactă a rădăcinii pătrate a lui 2. Matematicienii greci au petrecut mult timp și efort pentru a calcula valoarea exactă a lui $\sqrt2$, dar nu au reușit niciodată. Ei nu au putut reprezenta raportul $\frac(\sqrt2)(1)$ ca raport al numerelor întregi.

În cele din urmă, marele matematician grec Euclid a demonstrat că oricât de mult crește acuratețea calculelor, este imposibil să se obțină valoarea exactă a $\sqrt2$. Nu există nicio fracție care, la pătrat, să dea rezultatul 2. Se spune că Pitagora a fost primul care a ajuns la această concluzie, dar acest fapt inexplicabil l-a uimit atât de tare pe om de știință încât s-a jurat și a jurat de la studenții săi că va păstra acest secret de descoperire. Cu toate acestea, este posibil ca aceste informații să nu fie adevărate.

Dar dacă numărul $\frac(\sqrt2)(1)$ nu poate fi reprezentat ca un raport de numere întregi, atunci niciun număr care să conțină $\sqrt2$, de exemplu $\frac(\sqrt2)(2)$ sau $\frac De asemenea, (4)(\sqrt2)$ nu poate fi reprezentat ca un raport al numerelor întregi, deoarece toate astfel de fracții pot fi convertite în $\frac(\sqrt2)(1)$ înmulțit cu un anumit număr. Deci $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Sau $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, care poate fi convertit prin înmulțirea de sus și de jos cu $\sqrt2$ pentru a obține $\frac(4) (\sqrt2)$. (Ar trebui să ne amintim că indiferent de numărul $\sqrt2$, dacă îl înmulțim cu $\sqrt2$ obținem 2.)

Deoarece numărul $\sqrt2$ nu poate fi reprezentat ca raport de numere întregi, se numește număr irațional. Pe de altă parte, toate numerele care pot fi reprezentate ca raport de numere întregi sunt numite raţional.

Toate numerele întregi și fracționale, atât pozitive, cât și negative, sunt raționale.

După cum se dovedește, majoritatea rădăcinilor pătrate sunt numere iraționale. Numai numerele din seria de numere pătrate au rădăcini pătrate raționale. Aceste numere sunt numite și pătrate perfecte. Numerele raționale sunt, de asemenea, fracții formate din aceste pătrate perfecte. De exemplu, $\sqrt(1\frac79)$ este un număr rațional deoarece $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ sau $1\frac13$ (4 este rădăcina rădăcina pătrată a lui 16, iar 3 este rădăcina pătrată a lui 9).

Setul de numere iraționale este de obicei notat cu o literă mare I (\displaystyle \mathbb (I) )în stil îndrăzneț fără umbrire. Prin urmare: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), adică mulțimea numerelor iraționale este diferența dintre mulțimile numerelor reale și raționale.

Existența numerelor iraționale, mai exact, a segmentelor incomensurabile cu un segment de unitate de lungime, era deja cunoscută de matematicienii antici: ei cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii unui pătrat, ceea ce echivalează cu iraționalitatea lui. numarul.

YouTube enciclopedic

• 1 / 5

  Iraționale sunt:

  Exemple de dovezi de iraționalitate

  Rădăcina lui 2

  Să presupunem contrariul: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rațional, adică reprezentat ca o fracție m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Unde m (\displaystyle m) este un număr întreg și n (\displaystyle n)- numar natural .

  Să punem la pătrat presupusa egalitate:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Săgeată la dreapta m^(2)=2n^(2)).

  Poveste

  Antichitate

  Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manava (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) și-a dat seama că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, cum ar fi 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit. [ ] .

  Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreian. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care includea un număr întreg de ori în orice segment. ] .

  Nu există date exacte despre care număr a fost dovedit irațional de Hippasus. Potrivit legendei, el a găsit-o studiind lungimile laturilor pentagramei. Prin urmare, este rezonabil să presupunem că aceasta a fost raportul de aur [ ] .

  Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(de nespus), dar conform legendelor nu i-au adus respectul cuvenit lui Hippasus. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreeni „pentru că a creat un element al universului care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor”. Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza care stă la baza că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.

  Ce sunt numerele iraționale? De ce se numesc asa? Unde se folosesc si ce sunt? Puțini oameni pot răspunde la aceste întrebări fără să se gândească. Dar, de fapt, răspunsurile la ele sunt destul de simple, deși nu toată lumea are nevoie de ele și în situații foarte rare

  Esența și denumirea

  Numerele iraționale sunt numere infinite neperiodice.Necesitatea introducerii acestui concept se datorează faptului că pentru a rezolva probleme noi care apar, conceptele existente anterior de numere reale sau reale, întreg, naturale și rațional nu mai erau suficiente. De exemplu, pentru a calcula ce cantitate este pătratul lui 2, trebuie să utilizați zecimale infinite neperiodice. În plus, multe ecuații simple nu au nicio soluție fără a introduce conceptul de număr irațional.

  Această mulțime este desemnată cu I. Și, după cum este deja clar, aceste valori nu pot fi reprezentate ca o fracție simplă, al cărei numărător va fi un număr întreg, iar numitorul va fi

  Pentru prima dată, într-un fel sau altul, matematicienii indieni au întâlnit acest fenomen în secolul al VII-lea când s-a descoperit că rădăcinile pătrate ale unor cantități nu pot fi indicate în mod explicit. Și prima dovadă a existenței unor astfel de numere este atribuită lui Hippasus Pitagora, care a făcut acest lucru în timp ce studia un triunghi dreptunghic isoscel. Alți oameni de știință care au trăit înaintea erei noastre au adus o contribuție serioasă la studiul acestui set. Introducerea conceptului de numere iraționale a presupus o revizuire a sistemului matematic existent, motiv pentru care sunt atât de importante.

  originea numelui

  Dacă raportul tradus din latină este „fracție”, „raport”, atunci prefixul „ir”
  dă acestui cuvânt sensul opus. Astfel, denumirea mulțimii acestor numere indică faptul că acestea nu pot fi corelate cu un întreg sau cu o fracție și au un loc separat. Acest lucru rezultă din esența lor.

  Locul în clasamentul general

  Numerele iraționale, împreună cu numerele raționale, aparțin grupului numerelor reale sau reale, care la rândul lor aparțin numerelor complexe. Nu există submulțimi, dar există varietăți algebrice și transcendentale, care vor fi discutate mai jos.

  

  Proprietăți

  Deoarece numerele iraționale fac parte din mulțimea numerelor reale, li se aplică toate proprietățile lor care sunt studiate în aritmetică (se mai numesc și legi algebrice de bază).

  a + b = b + a (comutativitate);

  (a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate);

  a + (-a) = 0 (existența numărului opus);

  ab = ba (legea comutativă);

  (ab)c = a(bc) (distributivitate);

  a(b+c) = ab + ac (legea distribuției);

  a x 1/a = 1 (existența unui număr reciproc);

  Comparația se realizează, de asemenea, în conformitate cu legile și principiile generale:

  Dacă a > b și b > c, atunci a > c (tranzitivitatea relației) și. etc.

  Desigur, toate numerele iraționale pot fi convertite folosind aritmetica de bază. Nu există reguli speciale pentru asta.

  

  În plus, axioma lui Arhimede se aplică numerelor iraționale. Afirmă că pentru oricare două mărimi a și b, este adevărat că dacă luați a ca termen de suficient de multe ori, puteți depăși b.

  Utilizare

  În ciuda faptului că nu le întâlniți foarte des în viața de zi cu zi, numerele iraționale nu pot fi numărate. Există un număr mare de ele, dar sunt aproape invizibile. Numerele iraționale sunt peste tot în jurul nostru. Exemple care sunt familiare tuturor sunt numărul pi, egal cu 3,1415926..., sau e, care este în esență baza logaritmului natural, 2,718281828... În algebră, trigonometrie și geometrie, acestea trebuie utilizate constant. Apropo, faimoasa semnificație a „raportului de aur”, adică raportul dintre părțile mai mari și partea mai mică și invers, de asemenea

  

  aparține acestui set. De asemenea, cel mai puțin cunoscut „argint”.

  Pe linia numerică ele sunt situate foarte dens, astfel încât între oricare două mărimi clasificate drept raționale, cu siguranță va apărea una irațională.

  Există încă o mulțime de probleme nerezolvate asociate cu acest set. Există criterii precum măsura iraționalității și normalitatea unui număr. Matematicienii continuă să studieze cele mai semnificative exemple pentru a determina dacă aparțin unui grup sau altuia. De exemplu, se crede că e este un număr normal, adică probabilitatea ca diferite cifre să apară în notația sa este aceeași. În ceea ce privește pi, cercetările sunt încă în desfășurare cu privire la acesta. Măsura iraționalității este o valoare care arată cât de bine poate fi aproximat un anumit număr prin numere raționale.

  Algebric și transcendental

  După cum sa menționat deja, numerele iraționale sunt împărțite în mod convențional în algebrice și transcendentale. Condițional, deoarece, strict vorbind, această clasificare este folosită pentru a împărți mulțimea C.

  Această desemnare ascunde numere complexe, care includ numere reale sau reale.

  Deci, algebricul este o valoare care este rădăcina unui polinom care nu este identic egal cu zero. De exemplu, rădăcina pătrată a lui 2 ar fi în această categorie deoarece este o soluție a ecuației x 2 - 2 = 0.

  Toate celelalte numere reale care nu îndeplinesc această condiție se numesc transcendentale. Această varietate include cele mai faimoase și deja menționate exemple - numărul pi și baza logaritmului natural e.

  

  Interesant este că nici una, nici alta nu au fost dezvoltate inițial de matematicieni în această calitate; iraționalitatea și transcendența lor au fost dovedite la mulți ani după descoperirea lor. Pentru pi, dovada a fost dată în 1882 și simplificată în 1894, punând capăt unei dezbateri de 2.500 de ani despre problema pătrarii cercului. Încă nu a fost studiat pe deplin, așa că matematicienii moderni au la ce să lucreze. Apropo, primul calcul destul de precis al acestei valori a fost efectuat de Arhimede. Înaintea lui, toate calculele erau prea aproximative.

  Pentru e (numărul lui Euler sau Napier), dovada transcendenței sale a fost găsită în 1873. Este folosit în rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

  Alte exemple includ valorile sinusului, cosinusului și tangentei pentru orice valoare algebrică diferită de zero.

  
  

  Materialul din acest articol oferă informații inițiale despre numere irationale. Mai întâi vom da definiția numerelor iraționale și o vom explica. Mai jos dăm exemple de numere iraționale. În cele din urmă, să ne uităm la câteva abordări pentru a afla dacă un anumit număr este irațional sau nu.

  Navigare în pagină.

  Definiție și exemple de numere iraționale

  Când studiem zecimale, am luat în considerare separat zecimale infinite neperiodice. Astfel de fracții apar atunci când se măsoară lungimi zecimale ale segmentelor care sunt incomensurabile cu un segment unitar. De asemenea, am observat că fracțiile zecimale neperiodice infinite nu pot fi convertite în fracții obișnuite (vezi conversia fracțiilor ordinare în zecimale și invers), prin urmare, aceste numere nu sunt numere raționale, ele reprezintă așa-numitele numere iraționale.

  Așa că ajungem la definirea numerelor iraționale.

  Definiție.

  Se numesc numere care reprezintă infinite fracții zecimale neperiodice în notație zecimală numere irationale.

  Definiția vocală ne permite să dăm exemple de numere iraționale. De exemplu, fracția zecimală neperiodică infinită 4,10110011100011110000... (numărul de unu și zero crește de fiecare dată cu unul) este un număr irațional. Să dăm un alt exemplu de număr irațional: −22,353335333335... (numărul de trei trei care separă opt crește de fiecare dată cu doi).

  Trebuie remarcat faptul că numerele iraționale se găsesc destul de rar sub formă de fracții zecimale neperiodice nesfârșite. Ele se găsesc de obicei sub forma , etc., precum și sub formă de litere special introduse. Cele mai cunoscute exemple de numere iraționale din această notație sunt rădăcina pătrată aritmetică a lui doi, numărul „pi” π=3,141592..., numărul e=2,718281... și numărul de aur.

  Numerele iraționale pot fi definite și în termeni de numere reale, care combină numerele raționale și iraționale.

  Definiție.

  Numere irationale sunt numere reale care nu sunt numere raționale.

  Este acest număr irațional?

  Când un număr este dat nu ca o fracție zecimală, ci ca o rădăcină, logaritm etc., atunci a răspunde la întrebarea dacă este irațional este destul de dificil în multe cazuri.

  Fără îndoială, atunci când răspundem la întrebarea pusă, este foarte util să știm care numere nu sunt iraționale. Din definiția numerelor iraționale rezultă că numerele iraționale nu sunt numere raționale. Astfel, numerele iraționale NU sunt:

  • fracții zecimale periodice finite și infinite.

  De asemenea, orice compoziție de numere raționale legate prin semnele operațiilor aritmetice (+, −, ·, :) nu este un număr irațional. Acest lucru se datorează faptului că suma, diferența, produsul și câtul a două numere raționale este un număr rațional. De exemplu, valorile expresiilor și sunt numere raționale. Aici observăm că dacă astfel de expresii conțin un singur număr irațional dintre numerele raționale, atunci valoarea întregii expresii va fi un număr irațional. De exemplu, în expresie numărul este irațional, iar numerele rămase sunt raționale, prin urmare este un număr irațional. Dacă ar fi un număr rațional, atunci ar urma raționalitatea numărului, dar nu este rațional.

  Dacă expresia care specifică numărul conține mai multe numere iraționale, semne rădăcină, logaritmi, funcții trigonometrice, numere π, e etc., atunci este necesar să se dovedească iraționalitatea sau raționalitatea numărului dat în fiecare caz concret. Cu toate acestea, există o serie de rezultate deja obținute care pot fi utilizate. Să le enumerăm pe cele principale.

  S-a dovedit că o rădăcină a k-a a unui număr întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub rădăcină este puterea a k-a a altui număr întreg; în alte cazuri, o astfel de rădăcină specifică un număr irațional. De exemplu, numerele și sunt iraționale, deoarece nu există un întreg al cărui pătrat este 7 și nu există un întreg a cărui creștere la puterea a cincea dă numărul 15. Și numerele nu sunt iraționale, deoarece și .

  În ceea ce privește logaritmii, uneori este posibil să se demonstreze iraționalitatea lor folosind metoda contradicției. Ca exemplu, să demonstrăm că log 2 3 este un număr irațional.

  Să presupunem că log 2 3 este un număr rațional, nu irațional, adică poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită m/n. şi permiteţi-ne să scriem următorul lanţ de egalităţi: . Ultima egalitate este imposibilă, deoarece pe partea stângă numar impar, iar pe partea dreaptă – chiar. Așa că am ajuns la o contradicție, ceea ce înseamnă că presupunerea noastră s-a dovedit a fi incorectă și asta a demonstrat că log 2 3 este un număr irațional.

  Rețineți că lna pentru orice a rațional pozitiv și non-un este un număr irațional. De exemplu, și sunt numere iraționale.

  De asemenea, se dovedește că numărul e a pentru orice rațional diferit de zero a este irațional și că numărul π z pentru orice număr întreg diferit de zero z este irațional. De exemplu, numerele sunt iraționale.

  Numerele iraționale sunt și funcțiile trigonometrice sin, cos, tg și ctg pentru orice valoare rațională și diferită de zero a argumentului. De exemplu, sin1 , tan(−4) , cos5,7 sunt numere iraționale.

  Există și alte rezultate dovedite, dar ne vom limita la cele deja enumerate. De asemenea, trebuie spus că atunci când se demonstrează rezultatele de mai sus, teoria asociată cu numere algebriceȘi numere transcendentale.

  În concluzie, observăm că nu trebuie să tragem concluzii pripite cu privire la iraționalitatea numerelor date. De exemplu, pare evident că un număr irațional într-un grad irațional este un număr irațional. Cu toate acestea, acest lucru nu este întotdeauna cazul. Pentru a confirma faptul afirmat, vă prezentăm gradul. Se știe că - este un număr irațional și s-a dovedit, de asemenea, că - este un număr irațional, dar este un număr rațional. De asemenea, puteți da exemple de numere iraționale, a căror sumă, diferența, produsul și coeficientul sunt numere raționale. Mai mult, raționalitatea sau iraționalitatea numerelor π+e, π−e, π·e, π π, π e și multe altele nu au fost încă dovedite.

  Bibliografie.

  • Matematică. Clasa a VI-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
  • Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

  Înțelegerea numerelor, în special a numerelor naturale, este una dintre cele mai vechi „abilități” matematice. Multe civilizații, chiar și cele moderne, au atribuit numerelor anumite proprietăți mistice datorită importanței lor enorme în descrierea naturii. Deși știința și matematica modernă nu confirmă aceste proprietăți „magice”, importanța teoriei numerelor este incontestabilă.

  Din punct de vedere istoric, au apărut mai întâi o varietate de numere naturale, apoi li s-au adăugat destul de repede fracții și numere iraționale pozitive. Numerele zero și negative au fost introduse după aceste submulțimi ale mulțimii numerelor reale. Ultimul set, mulțimea numerelor complexe, a apărut abia odată cu dezvoltarea științei moderne.

  În matematica modernă, numerele nu sunt introduse în ordine istorică, deși destul de aproape de ea.

  Numere naturale $\mathbb(N)$

  Setul de numere naturale este adesea notat ca $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ și este adesea completat cu zero pentru a denota $\mathbb(N)_0$.

  $\mathbb(N)$ definește operațiile de adunare (+) și înmulțire ($\cdot$) cu următoarele proprietăți pentru orice $a,b,c\în \mathbb(N)$:

  1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ multimea $\mathbb(N)$ este închisă sub operațiile de adunare și înmulțire
  2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ comutativitate
  3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asociativitate
  4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributivitate
  5. $a\cdot 1=a$ este un element neutru pentru înmulțire

  Deoarece mulțimea $\mathbb(N)$ conține un element neutru pentru înmulțire, dar nu pentru adunare, adăugarea unui zero la această mulțime asigură că include un element neutru pentru adunare.

  Pe lângă aceste două operații, relațiile „mai puțin decât” ($

  1. $a b$ tricotomie
  2. dacă $a\leq b$ și $b\leq a$, atunci $a=b$ antisimetrie
  3. dacă $a\leq b$ și $b\leq c$, atunci $a\leq c$ este tranzitiv
  4. dacă $a\leq b$ atunci $a+c\leq b+c$
  5. dacă $a\leq b$ atunci $a\cdot c\leq b\cdot c$

  Numerele întregi $\mathbb(Z)$

  Exemple de numere întregi:
  $1, -20, -100, 30, -40, 120...$

  Rezolvarea ecuației $a+x=b$, unde $a$ și $b$ sunt numere naturale cunoscute, iar $x$ este un număr natural necunoscut, necesită introducerea unei noi operații - scăderea(-). Dacă există un număr natural $x$ care satisface această ecuație, atunci $x=b-a$. Cu toate acestea, această ecuație particulară nu are neapărat o soluție pentru mulțimea $\mathbb(N)$, așa că considerațiile practice necesită extinderea setului de numere naturale pentru a include soluții la o astfel de ecuație. Aceasta duce la introducerea unui set de numere întregi: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

  Deoarece $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, este logic să presupunem că operațiile introduse anterior $+$ și $\cdot$ și relațiile $ 1. $0+a=a+0=a$ există un element neutru pentru adăugare
  2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ există un număr opus $-a$ pentru $a$
  

  Proprietatea 5.:
  5. dacă $0\leq a$ și $0\leq b$, atunci $0\leq a\cdot b$

  Mulțimea $\mathbb(Z)$ este de asemenea închisă sub operația de scădere, adică $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

  Numere raționale $\mathbb(Q)$

  Exemple de numere raționale:
  $\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

  Acum luați în considerare ecuații de forma $a\cdot x=b$, unde $a$ și $b$ sunt numere întregi cunoscute, iar $x$ este o necunoscută. Pentru ca soluția să fie posibilă, este necesar să se introducă operația de împărțire ($:$), iar soluția ia forma $x=b:a$, adică $x=\frac(b)(a)$ . Din nou apare problema că $x$ nu aparține întotdeauna lui $\mathbb(Z)$, așa că mulțimea numerelor întregi trebuie extinsă. Aceasta introduce mulțimea numerelor raționale $\mathbb(Q)$ cu elemente $\frac(p)(q)$, unde $p\in \mathbb(Z)$ și $q\in \mathbb(N)$. Mulțimea $\mathbb(Z)$ este o submulțime în care fiecare element $q=1$, deci $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ și operațiile de adunare și înmulțire se extind la această mulțime conform următoarele reguli, care păstrează toate proprietățile de mai sus pe mulțimea $\mathbb(Q)$:
  $\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
  $\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

  Împărțirea se introduce după cum urmează:
  $\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

  Pe mulțimea $\mathbb(Q)$, ecuația $a\cdot x=b$ are o soluție unică pentru fiecare $a\neq 0$ (diviziunea la zero este nedefinită). Aceasta înseamnă că există un element invers $\frac(1)(a)$ sau $a^(-1)$:
  $(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\există \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

  Ordinea mulțimii $\mathbb(Q)$ poate fi extinsă după cum urmează:
  $\frac(p_1)(q_1)

  Mulțimea $\mathbb(Q)$ are o proprietate importantă: între oricare două numere raționale există infinite alte numere raționale, prin urmare, nu există două numere raționale adiacente, spre deosebire de mulțimile de numere naturale și întregi.

  Numere iraționale $\mathbb(I)$

  Exemple de numere iraționale:
  $\sqrt(2) \aproximativ 1,41422135...$
  $\pi\aproximativ 3,1415926535...$

  Deoarece între oricare două numere raționale există infinit de alte numere raționale, este ușor să concluzionați în mod eronat că mulțimea numerelor raționale este atât de densă încât nu este nevoie să o extindeți mai mult. Până și Pitagora a făcut o asemenea greșeală la vremea lui. Cu toate acestea, contemporanii săi au infirmat deja această concluzie când au studiat soluțiile ecuației $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) pe mulțimea numerelor raționale. Pentru a rezolva o astfel de ecuație, este necesar să introduceți conceptul de rădăcină pătrată, iar apoi soluția acestei ecuații are forma $x=\sqrt(2)$. O ecuație precum $x^2=a$, unde $a$ este un număr rațional cunoscut și $x$ este unul necunoscut, nu are întotdeauna o soluție pentru mulțimea numerelor raționale și, din nou, apare necesitatea extinderii a stabilit. Apare un set de numere iraționale, iar numere precum $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... aparțin acestei mulțimi.

  Numere reale $\mathbb(R)$

  Unirea mulțimilor de numere raționale și iraționale este mulțimea numerelor reale. Deoarece $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, este din nou logic să presupunem că operațiile și relațiile aritmetice introduse își păstrează proprietățile pe noua mulțime. Dovada formală a acestui lucru este foarte dificilă, astfel încât proprietățile menționate mai sus ale operațiilor și relațiilor aritmetice pe mulțimea numerelor reale sunt introduse ca axiome. În algebră, un astfel de obiect se numește câmp, deci se spune că mulțimea numerelor reale este un câmp ordonat.

  Pentru ca definiția mulțimii numerelor reale să fie completă, este necesar să se introducă o axiomă suplimentară care să distingă mulțimile $\mathbb(Q)$ și $\mathbb(R)$. Să presupunem că $S$ este o submulțime nevidă a mulțimii de numere reale. Un element $b\in \mathbb(R)$ se numește limita superioară a unei mulțimi $S$ dacă $\forall x\in S$ deține $x\leq b$. Apoi spunem că mulțimea $S$ este mărginită mai sus. Cea mai mică limită superioară a mulțimii $S$ se numește supremum și se notează $\sup S$. Conceptele de limită inferioară, set mărginit mai jos și infinit $\inf S$ sunt introduse în mod similar. Acum axioma lipsă este formulată după cum urmează:

  Orice submulțime nevidă și mărginită superioară a mulțimii de numere reale are un supremum.
  De asemenea, se poate dovedi că câmpul numerelor reale definite în modul de mai sus este unic.

  Numere complexe$\mathbb(C)$

  Exemple de numere complexe:
  $(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
  $1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ unde $i = \sqrt(-1)$ sau $i^2 = -1$

  Mulțimea numerelor complexe reprezintă toate perechile ordonate de numere reale, adică $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, pe care operațiile de adunarea și înmulțirea sunt definite după cum urmează:
  $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
  $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

  Există mai multe forme de scriere a numerelor complexe, dintre care cea mai comună este $z=a+ib$, unde $(a,b)$ este o pereche de numere reale, iar numărul $i=(0,1)$ se numește unitatea imaginară.

  Este ușor de arătat că $i^2=-1$. Extinderea multimii $\mathbb(R)$ la multimea $\mathbb(C)$ ne permite sa determinam radacina patrata a numerelor negative, care a fost motivul introducerii multimii numerelor complexe. De asemenea, este ușor să arătăm că o submulțime a mulțimii $\mathbb(C)$, dată de $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, satisface toate axiomele pentru numerele reale, prin urmare $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, sau $R\subset\mathbb(C)$.

  Structura algebrică a mulțimii $\mathbb(C)$ în raport cu operațiile de adunare și înmulțire are următoarele proprietăți:
  1. comutativitatea adunării și înmulțirii
  2. asociativitatea adunării și înmulțirii
  3. $0+i0$ - element neutru pentru adunare
  4. $1+i0$ - element neutru pentru înmulțire
  5. Înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea
  6. Există un singur invers atât pentru adunare, cât și pentru înmulțire.