Vom considera o dreaptă pe un plan drept locul punctelor M(x, y) care satisface o anumită condiție.

Dacă notăm într-un sistem de coordonate carteziene o proprietate pe care o au toate punctele de pe o dreaptă, legând coordonatele și unele constante, putem obține o ecuație de forma: F(x, y) = 0 sau .

Exemplu. Scrieți ecuația unui cerc cu centrul în punctul C(x 0 , y 0) și raza R.

Un cerc este locul geometric al punctelor echidistante de punctul C. Să luăm punctul M cu coordonatele curente. Apoi |CM| = R sau sau .

Dacă centrul cercului este la origine, atunci x 2 + y 2 = R 2 .

Nu orice ecuație de forma F(x, y) = 0 definește o dreaptă în sensul indicat: x 2 + y 2 = 0 este un punct.

Direct într-un avion.

Liniile de pe un plan dat sunt un caz special de drepte în spațiu. Prin urmare, ecuațiile lor pot fi obținute din ecuațiile corespunzătoare ale liniilor din spațiu.

Ecuația generală a unei drepte pe un plan. Ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular.

Orice linie dreaptă din planul XOY poate fi definită ca linia de intersecție a planului Ax + By + Cz + D = 0 cu planul XOY: z = 0.

- linie dreaptă în planul XOY: Ax + By + D = 0.

Ecuația rezultată se numește ecuația generală a dreptei. Pe viitor îl vom scrie sub forma:

Ax + By + C = 0 (1)

1) Fie , atunci sau y = kx + b (2) – ecuația unei drepte cu coeficient unghiular. Să aflăm semnificația geometrică a lui k și b.

Să punem x = 0. Atunci y = b este ordonata inițială a dreptei.

Să punem y = 0. Atunci ; - coeficientul de panta al unei drepte.

Cazuri speciale: a) b = 0, y=kx – dreapta trece prin origine; b) k = 0, y = b – dreaptă paralelă cu axa OX; b) dacă B = 0, atunci Ax + C = 0, ,

Acesta este locul punctelor cu abscise constante egale cu a, i.e. linia dreaptă este perpendiculară pe axa OX.

Ecuația unei drepte în segmente.

Să fie dată ecuația generală a dreptei: Ax + By + C = 0 și . Să împărțim ambele părți cu –C:

sau (3),

Unde ; . Aceasta este ecuația unei linii în segmente. Numerele a și b sunt valorile segmentelor tăiate pe axele de coordonate.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat cu o pantă dată.

Să fie dat un punct M 0 (x 0 , y 0) situat pe o dreaptă L și un coeficient unghiular k. Să scriem ecuația:

Aici b este necunoscut. Să o găsim, ținând cont de faptul că M 0 L:

y 0 = kx 0 + b (**).

Scădeți termen cu termen din (1) (2):

y – y 0 = k(x – x 0) (4).

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.

Să fie date două puncte M 1 (x 1 , y 1) și M 2 (x 2 , y 2) L. Să scriem ecuația (4) sub forma: y – y 1 = k(x – x 1). Deoarece M 2 L, atunci y 2 – y 1 = k(x 2 – x 1). Să-l împărțim termen cu termen:

(5),

Această ecuație are sens dacă , . Dacă x 1 = x 2, atunci M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 1, y 2). Dacă y 2 = y 1, atunci M 1 (x 1, y 1); M2 (x 2, y 1).

Astfel, dacă unul dintre numitorii din (5) devine zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero.

Exemplu. M1 (3, 1) şi M2 (-1, 4). Scrieți ecuația dreptei care trece prin aceste puncte. Găsiți k.

Ecuația unei drepte pe un plan

Principalele întrebări ale prelegerii: ecuațiile unei drepte pe un plan; diverse forme ale ecuației unei drepte pe un plan; unghiul dintre liniile drepte; condiții de paralelism și perpendicularitate a dreptelor; distanța de la un punct la o linie; curbe de ordinul doi: cerc, elipsă, hiperbola, parabolă, ecuațiile și proprietățile geometrice ale acestora; ecuații ale unui plan și ale unei linii în spațiu.

O ecuație de formă se numește ecuație a unei linii drepte în formă generală.

Dacă exprimăm în această ecuație, atunci după înlocuire obținem o ecuație numită ecuația unei drepte cu coeficient unghiular, și unde este unghiul dintre dreapta și direcția pozitivă a axei absciselor. Dacă în ecuația generală a unei drepte transferăm coeficientul liber în partea dreaptă și împărțim la el, obținem o ecuație în segmente

Unde și sunt punctele de intersecție ale dreptei cu axele absciselor și, respectiv, ordonatelor.

Două drepte dintr-un plan se numesc paralele dacă nu se intersectează.

Dreptele se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept.

Lăsați două rânduri și să fie date.

Pentru a găsi punctul de intersecție al dreptelor (dacă se intersectează), este necesar să rezolvăm sistemul cu aceste ecuații. Soluția acestui sistem va fi punctul de intersecție a liniilor. Să găsim condițiile pentru poziția relativă a două drepte.

Deoarece , atunci unghiul dintre aceste linii este găsit prin formula

De aici putem concluziona că atunci când liniile vor fi paralele și când vor fi perpendiculare. Dacă liniile sunt date în formă generală, atunci liniile sunt paralele sub condiție și perpendiculare sub condiție

Distanța de la un punct la o linie dreaptă poate fi găsită folosind formula

Ecuația normală a unui cerc:

O elipsă este locul geometric al punctelor dintr-un plan, suma distanțelor de la care două puncte date, numite focare, este o valoare constantă.

Ecuația canonică a unei elipse are forma:

. Vârfurile elipsei sunt punctele , , ,. Excentricitatea unei elipse este raportul

O hiperbola este locul punctelor dintr-un plan, modulul diferenței de distanțe de la care la două puncte date, numite focare, este o valoare constantă.

Ecuația canonică a unei hiperbole are forma:

unde este semiaxa majoră, este semiaxa minoră și . Focalizările sunt în puncte . Vârfurile unei hiperbole sunt punctele , . Excentricitatea unei hiperbole este raportul

Liniile drepte se numesc asimptote ale hiperbolei. Dacă , atunci hiperbola se numește echilaterală.

Din ecuație obținem o pereche de drepte care se intersectează și .

O parabolă este locul geometric al punctelor dintr-un plan, de la fiecare dintre ele distanța până la un punct dat, numit focar, este egală cu distanța până la o dreaptă dată, numită directriză și este o valoare constantă.

Ecuația parabolei canonice

Linia dreaptă se numește directrice, iar punctul se numește focar.

Conceptul de dependență funcțională

Principalele întrebări ale prelegerii: decoruri; operații de bază pe platouri; definirea unei funcții, domeniul său de existență, metode de atribuire; funcții elementare de bază, proprietățile și graficele acestora; secvențe de numere și limitele acestora; limita unei funcții într-un punct și la infinit; cantități infinit de mici și infinit de mari și proprietățile lor; teoreme de bază despre limite; limite minunate; continuitatea unei funcții într-un punct și pe un interval; proprietățile funcțiilor continue.

Dacă fiecare element al unei mulțimi este asociat cu un element complet specific al mulțimii, atunci ei spun că o funcție este definită pe mulțime. În acest caz, se numește variabilă sau argument independent și variabilă dependentă, iar litera denotă legea corespondenței.

O mulțime se numește domeniul definiției sau existenței unei funcții, iar o mulțime se numește domeniul valorilor unei funcții.

Există următoarele moduri de a specifica o funcție

1. Metoda analitica, daca functia este data printr-o formula de forma

2. Metoda tabulară este că funcția este specificată printr-un tabel care conține valorile argumentului și valorile corespunzătoare ale funcției

3. Metoda grafică constă în reprezentarea unui grafic al unei funcții - un set de puncte pe plan, ale căror abscise sunt valorile argumentului, iar ordonatele sunt valorile corespunzătoare ale funcției

4. Metoda verbală, dacă funcția este descrisă de regula pentru alcătuirea ei.

Proprietățile de bază ale unei funcții

1. Par și impar. O funcție este apelată chiar dacă pentru toate valorile din domeniul definiției și impar dacă . În caz contrar, funcția se numește funcție generală.

2. Monotonie. Se spune că o funcție este în creștere (descrescătoare) pe interval dacă o valoare mai mare a argumentului din acest interval corespunde unei valori mai mari (mai mici) a funcției.

3. Limitat. Se spune că o funcție este mărginită pe un interval dacă există un număr pozitiv astfel încât pentru orice . În caz contrar, funcția se numește nemărginită.

4. Frecvența. O funcție se numește periodică cu punct dacă pentru oricare din domeniul de definiție al funcției .

Clasificarea funcțiilor.

1. Funcția inversă. Să existe o funcție a unei variabile independente definite pe o mulțime cu un interval de valori. Să asociem fiecare cu o singură valoare la care . Apoi funcția rezultată definită pe o mulțime cu un interval de valori se numește inversă.

2. Funcție complexă. Fie o funcție o funcție a unei variabile definite pe o mulțime cu un interval de valori, iar variabila la rândul ei este o funcție.

Următoarele funcții sunt cel mai des folosite în economie.

1. Funcția de utilitate și funcție de preferință - în sens larg, dependența de utilitate, adică rezultatul, efectul unei acțiuni asupra nivelului de intensitate a acestei acțiuni.

2. Funcția de producție - dependența rezultatului activității de producție de factorii care l-au determinat.

3. Funcția de ieșire (un anumit tip de funcție de producție) – dependența volumului producției de începutul sau consumul de resurse.

4. Funcția de cost (un anumit tip de funcție de producție) – dependența costurilor de producție de volumul de producție.

5. Funcțiile cererii, consumului și ofertei - dependența volumului cererii, consumului sau ofertei pentru bunuri sau servicii individuale de diverși factori.

Dacă, conform unei legi, fiecare număr natural este asociat cu un număr foarte specific, atunci ei spun că este dată o succesiune de numere.

:

Numerele sunt numite membri ai unei secvențe, iar un număr este un membru comun al secvenței.

Un număr se numește limita unei secvențe de numere dacă pentru orice număr mic există un număr (în funcție de) astfel încât egalitatea să fie adevărată pentru toți membrii șirului cu numere.Limita unei secvențe de numere se notează cu .

O secvență care are o limită se numește convergent, în caz contrar se numește divergent.

Un număr se numește limita unei funcții la dacă pentru orice număr mic există un număr pozitiv astfel încât pentru toate astfel de numere inegalitatea este adevărată.

Limita unei funcții într-un punct. Fie ca funcția să fie dată într-o anumită vecinătate a punctului, cu excepția, poate, a punctului însuși. Un număr se numește limita unei funcții la , dacă pentru oricare, chiar și în mod arbitrar mic, există un număr pozitiv (în funcție de ) astfel încât pentru toate și satisfacând condiția inegalitatea . Această limită este desemnată.

O funcție se numește infinitezimală dacă limita sa este zero.

Proprietăți ale mărimilor infinitezimale

1. Suma algebrică a unui număr finit de mărimi infinitezimale este o mărime infinitezimală.

2. Produsul unei mărimi infinitezimale și unei funcții mărginite este o mărime infinitezimală

3. Cât de împărțire a unei mărimi infinitezimale la o funcție a cărei limită este diferită de zero este o mărime infinitezimală.

Conceptul de derivată și diferențială a unei funcții

Principalele întrebări ale prelegerii: probleme care duc la conceptul de derivată; definiția derivatului; semnificația geometrică și fizică a derivatului; conceptul de funcție diferențiabilă; reguli de bază de diferențiere; derivate ale funcțiilor elementare de bază; derivată a unei funcții complexe și inverse; derivate de ordin superior, teoreme de bază ale calculului diferenţial; teorema lui L'Hopital; dezvăluirea incertitudinilor; funcția de creștere și scădere; extremul unei funcții; convexitatea și concavitatea graficului unei funcții; semne analitice de convexitate și concavitate; puncte de inflexiune; asimptotele verticale și oblice ale graficului unei funcții; schema generala pentru studierea unei functii si construirea graficului acesteia, definind o functie a mai multor variabile; limită și continuitate; derivate parțiale și funcții diferențiale; derivată direcțională, gradient; extremul unei funcții a mai multor variabile; cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții; extremul condiționat, metoda Lagrange.

Derivata unei funcții este limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul variabilei independente deoarece aceasta din urmă tinde spre zero (dacă această limită există)

.

Dacă o funcție într-un punct are o derivată finită, atunci se spune că funcția este diferențiabilă în acel punct. O funcție care este diferențiabilă în fiecare punct al intervalului se numește diferențiabilă pe acest interval.

Sensul geometric al derivatei: derivata este panta (tangenta unghiului de inclinare) tangentei redusa la curba in punct.

Apoi, ecuația tangentei la curba în punct ia forma

Semnificația mecanică a derivatei: derivata unei căi în raport cu timpul este viteza unui punct la un moment de timp:

Sensul economic al derivatului: derivata volumului producției în raport cu timpul este productivitatea muncii la momentul actual

Teorema. Dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct, atunci este continuă în acel punct.

Derivata unei funcții poate fi găsită folosind următoarea schemă

1. Dați argumentului o creștere și găsiți valoarea incrementată a funcției .

2. Găsiți incrementul funcției.

3. Cream o relatie.

4. Aflați limita acestui raport la, adică (dacă această limită există).

Reguli de diferențiere

1. Derivata unei constante este zero, adica.

2. Derivata argumentului este egală cu 1, adică.

3. Derivata unei sume algebrice a unui numar finit de functii diferentiabile este egala cu aceeasi suma a derivatelor acestor functii, adica.

4. Derivata produsului a doua functii diferentiabile este egala cu produsul derivatei primului factor cu al doilea plus produsul primului factor cu derivata celui de-al doilea, adica

5. Derivata coeficientului a doua functii diferentiabile poate fi gasita folosind formula:

.

Teorema. Dacă și sunt funcții diferențiabile ale variabilelor lor, atunci derivata unei funcții complexe există și este egală cu derivata acestei funcții în raport cu argumentul intermediar și înmulțită cu derivata argumentului intermediar însuși în raport cu variabila independentă, că este

Teorema. Pentru o funcție diferențiabilă cu o derivată diferită de zero, derivata funcției inverse este egală cu reciproca derivatei acestei funcții, adică.

Elasticitatea unei funcții este limita raportului dintre incrementul relativ al unei funcții și incrementul relativ al unei variabile la:

Elasticitatea unei funcții arată aproximativ câte procente se va modifica funcția atunci când variabila independentă se modifică cu un procent.

Geometric, aceasta înseamnă că elasticitatea unei funcții (în valoare absolută) este egală cu raportul distanțelor tangente de la un punct dat de pe graficul funcției și punctele de intersecție a acesteia cu axele și.

Proprietățile de bază ale funcției de elasticitate:

1. Elasticitatea unei funcții este egală cu produsul variabilei independente și rata de modificare a funcției , acesta este .

2. Elasticitatea produsului (coeficientului) a două funcții este egală cu suma (diferența) elasticităților acestor funcții:

, .

3. Elasticitatea funcțiilor reciproce – mărimi reciproce:

Funcția de elasticitate este utilizată în analiza cererii și a consumului.

teorema lui Fermat. Dacă o funcție diferențiabilă pe un interval atinge valoarea sa cea mai mare sau minimă într-un punct intern al acestui interval, atunci derivata funcției în acest punct este egală cu zero, adică.

teorema lui Rolle. Fie ca funcția să îndeplinească următoarele condiții:

1) continuu pe segment;

2) diferenţiabil pe interval ;

3) la capetele segmentului ia valori egale, adică.

Apoi în interiorul segmentului există cel puțin un punct în care derivata funcției este egală cu zero: .

teorema lui Lagrange. Fie ca funcția să îndeplinească următoarele condiții

1. Continuă pe segment.

2. Diferențiabil pe interval ;

Apoi în interiorul segmentului există cel puțin un punct în care derivata este egală cu câtul incrementului funcției împărțit la incrementul argumentului de pe acest segment, adică .

Teorema. Limita raportului a două funcții infinitezimale sau infinit de mari este egală cu limita raportului derivatelor lor (finite sau infinite), dacă aceasta din urmă există în sensul indicat. Deci, dacă există incertitudinea formei sau , atunci

Teoremă (condiție suficientă pentru ca funcția să crească)

Dacă derivata unei funcții diferențiabile este pozitivă în interiorul unui anumit interval X, atunci ea crește în acest interval.

Teoremă (condiție suficientă pentru ca o funcție să scadă), Dacă derivata unei funcții diferențiabile este negativă în interiorul unui anumit interval, atunci ea scade pe acest interval.

Un punct se numește punct maxim al unei funcții dacă inegalitatea este valabilă într-o vecinătate a punctului.

Un punct se numește punct minim al unei funcții dacă inegalitatea este valabilă într-o vecinătate a punctului.

Valorile funcției în puncte și sunt numite maxim și, respectiv, minim al funcției. Maximul și minimul unei funcții sunt unite prin denumirea comună a extremului funcției.

Pentru ca o funcție să aibă un extremum într-un punct, derivata sa în acest punct trebuie să fie egală cu zero sau să nu existe.

Prima condiție suficientă pentru un extremum. Teorema.

Dacă, la trecerea printr-un punct, derivata funcției diferențiabile își schimbă semnul din plus în minus, atunci punctul este punctul maxim al funcției, iar dacă de la minus la plus, atunci punctul minim.

Schemă pentru studierea unei funcții la un extrem.

1. Găsiți derivata.

2. Aflați punctele critice ale funcției la care derivata sau nu există.

3. Investigați semnul derivatei la stânga și la dreapta fiecărui punct critic și trageți o concluzie despre prezența extremelor funcției.

4. Găsiți extremele (valorile extreme) ale funcției.

A doua condiție suficientă pentru un extremum. Teorema.

Dacă prima derivată a unei funcții de două ori diferențiabile este egală cu zero la un moment dat, iar derivata a doua în acest punct este pozitivă, adică punctul minim al funcției; dacă este negativă, atunci este punctul maxim.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori pe un segment, folosim următoarea schemă.

1. Găsiți derivata.

2. Găsiți punctele critice ale funcției în care există sau nu.

3. Găsiți valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului și selectați cel mai mare și cel mai mic dintre ele.

Se spune că o funcție este convexă în sus pe intervalul X dacă segmentul care leagă oricare două puncte de pe grafic se află sub graficul funcției.

O funcție se numește convexă în jos pe intervalul X dacă segmentul care leagă oricare două puncte de pe grafic se află deasupra graficului funcției.

Teorema. O funcție este convexă în jos (în sus) pe intervalul X dacă și numai dacă prima sa derivată crește (descrește) monoton pe acest interval.

Teorema. Dacă derivata a doua a unei funcții diferențiabile de două ori este pozitivă (negativă) în interiorul unui interval X, atunci funcția este convexă în jos (în sus) pe acest interval.

Punctul de inflexiune al graficului unei funcții continue este punctul care separă intervalele în care funcția este convexă în jos și în sus.

Teoremă (condiție necesară pentru inflexiune). A doua derivată a unei funcții de două ori diferențiabile la punctul de inflexiune este egală cu zero, adică.

Teoremă (condiție suficientă pentru inflexiune). Dacă derivata a doua a unei funcții de două ori diferențiabile își schimbă semnul atunci când trece printr-un anumit punct, atunci există un punct de inflexiune în graficul său.

Schema pentru studierea unei funcții pentru punctele de convexitate și de inflexiune:

1. Aflați derivata a doua a funcției.

2. Aflați punctele în care derivata a doua sau nu există.

3. Investigați semnul derivatei a doua în stânga și dreapta punctelor găsite și trageți o concluzie despre intervalele de convexitate și prezența punctelor de inflexiune.

4. Găsiți valorile funcției la punctele de inflexiune.

Când studiați funcțiile pentru a-și construi graficele, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

1. Găsiți domeniul de definire al funcției.

2. Investigați funcția pentru egalitate - ciudat.

3. Găsiți asimptote verticale

4. Investigați comportamentul unei funcții la infinit, găsiți asimptote orizontale sau oblice.

5. Găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției.

6. Aflați intervalele de convexitate ale funcției și punctele de inflexiune.

7. Aflați punctele de intersecție cu axele de coordonate și, eventual, câteva puncte suplimentare care clarifică graficul.

Diferenţialul unei funcţii este partea principală, relativ liniară, a incrementului unei funcţii, egală cu produsul derivatei cu incrementul variabilei independente.

Să fie cantități variabile, iar fiecare set de valori ale acestora dintr-un anumit set X corespunde unei valori bine definite a variabilei. Apoi spunem că este dată o funcție a mai multor variabile .

Variabilele sunt numite variabile independente sau argumente - variabilă dependentă. Mulțimea X se numește domeniul de definire al funcției.

Un analog multidimensional al funcției de utilitate este funcția , exprimând dependența de bunurile achiziționate.

De asemenea, în cazul variabilelor, conceptul de funcție de producție este generalizat, exprimând rezultatul activității de producție din factorii care au determinat-o. mai puțin decât prin definiție și continuu în punctul însuși. Apoi derivate parțiale și găsiți punctele critice ale funcției.

3. Găsiți derivate parțiale de ordinul doi, calculați valorile lor în fiecare punct critic și, folosind o condiție suficientă, trageți o concluzie despre prezența extremelor.

Găsiți extremele (valorile extreme) ale funcției.

Literatură

1. Matematică superioară pentru economiști: Manual pentru universități / Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITATEA, 2003.

2.E.S. Kochetkov, S.O. Smerchinskaya Teoria probabilității în probleme și exerciții / M. INFRA-M 2005.

3. Matematică superioară pentru economiști: Atelier / Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITATEA, 2004. Părțile 1, 2

4. Gmurman V.E. Un ghid pentru rezolvarea problemelor în teoria probabilităților și statistica matematică. M., Liceul, 1977

5. Gmurman V.E. Teoria Probabilității și Statistica Matematică. M., Liceul, 1977

6. M.S. Matematică Crasă pentru specialități economice: Manual / M. INFRA-M 1998.

7. Vygodsky M.Ya. Manual de matematică superioară. – M., 2000.

8.Berman G.N. Culegere de probleme pentru cursul analizei matematice. – M.: Nauka, 1971.

9.A.K. Kazashev Colecție de probleme de matematică superioară pentru economiști - Almaty - 2002.

10. Piskunov N.S. Calcul diferențial și integral. – M.: Nauka, 1985, T. 1,2.

11.P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikov Matematică superioară în exerciții și probleme / M. ONICS-2005.

12.I.A. Matematică superioară Zaitsev / Şcoala superioară M. - 1991

13. Golovina L.I. Algebra liniară și unele dintre aplicațiile sale. – M.: Nauka, 1985.

14. Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.N. Metode matematice de analiză economică. – M.: DIS, 1997.

15. Karasev A.I., Aksyutina Z.M., Savelyeva T.I. Curs de matematică superioară pentru universitățile economice. – M.: Liceu, 1982 – Partea 1, 2.

16. Kolesnikov A.N. Un scurt curs de matematică pentru economiști. – M.: Infra-M, 1997.

17.V.S. Shipatsev Carte de probleme în matematică superioară-M. Liceu, 2005

După cum se știe, orice punct din plan este determinat de două coordonate într-un sistem de coordonate. Sistemele de coordonate pot fi diferite în funcție de alegerea bazei și a originii.

Definiție. Ecuația liniilor se numeşte relaţia y = f(x) între coordonatele punctelor care alcătuiesc această dreaptă.

Rețineți că ecuația unei linii poate fi exprimată parametric, adică fiecare coordonată a fiecărui punct este exprimată printr-un parametru independent t.

Un exemplu tipic este traiectoria unui punct în mișcare. În acest caz, rolul parametrului este jucat de timp.

Ecuația unei drepte pe un plan.

Definiție. Orice linie dreaptă de pe plan poate fi specificată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ax + Wu + C = 0,

Mai mult, constantele A și B nu sunt egale cu zero în același timp, adică. A 2 + B 2 ¹ 0. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte.

În funcție de valorile constantelor A, B și C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – linia dreaptă trece prin origine

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - linie dreaptă paralelă cu axa Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – linie dreaptă paralelă cu axa Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – linia dreaptă coincide cu axa Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – linia dreaptă coincide cu axa Ox

Ecuația unei linii drepte poate fi prezentată în diferite forme în funcție de orice condiții inițiale date.

Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector normal.

Definiție. În sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B) este perpendicular pe dreapta dată de ecuația Ax + By + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul A(1, 2) perpendicular pe vectorul (3, -1).

Cu A = 3 și B = -1, să compunem ecuația dreptei: 3x – y + C = 0. Pentru a găsi coeficientul C, înlocuim coordonatele punctului dat A în expresia rezultată.

Se obține: 3 – 2 + C = 0, deci C = -1.

Total: ecuația necesară: 3x – y – 1 = 0.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.

Fie date două puncte M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2) în spațiu, atunci ecuația dreptei care trece prin aceste puncte este:

Dacă oricare dintre numitori este zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero.

Pe plan, ecuația dreptei scrise mai sus este simplificată:

dacă x 1 ¹ x 2 și x = x 1, dacă x 1 = x 2.

Se numește fracția = k pantă Drept.

Exemplu. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).

Aplicând formula scrisă mai sus, obținem:

Ecuația unei drepte folosind un punct și panta.

Dacă ecuația generală a dreptei Ax + By + C = 0 se reduce la forma:

și notăm , atunci se numește ecuația rezultată ecuația unei drepte cu panta k.

Ecuația unei drepte dintr-un punct și un vector de direcție.

Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei drepte printr-un vector normal, puteți introduce definiția unei drepte printr-un punct și vectorul de direcție al dreptei.

Definiție. Fiecare vector diferit de zero (a 1 , a 2), ale cărui componente îndeplinesc condiția Aa 1 + Ba 2 = 0 se numește vector de direcție al dreptei

Ax + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu un vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).

Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției, coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile.

Ţintă: Luați în considerare conceptul de linie pe un plan, dați exemple. Pe baza definiției unei drepte, introduceți conceptul de ecuație a unei drepte pe un plan. Luați în considerare tipurile de linii drepte, oferiți exemple și metode de definire a unei linii drepte. Întăriți capacitatea de a traduce ecuația unei linii drepte dintr-o formă generală într-o ecuație a unei linii drepte „în segmente”, cu un coeficient unghiular.

1. Ecuația unei drepte pe un plan.
2. Ecuația unei drepte pe un plan. Tipuri de ecuații.
3. Metode de specificare a unei linii drepte.

1. Fie x și y două variabile arbitrare.

Definiție: Se numește o relație de forma F(x,y)=0 ecuaţie , dacă nu este adevărat pentru vreo pereche de numere x și y.

Exemplu: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Dacă egalitatea F(x,y)=0 este valabilă pentru orice x, y, atunci, prin urmare, F(x,y) = 0 este o identitate.

Exemplu: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Ei spun că numerele x sunt 0 și y sunt 0 satisface ecuația , dacă la înlocuirea lor în această ecuație se transformă într-o egalitate adevărată.

Cel mai important concept de geometrie analitică este conceptul de ecuație a unei linii.

Definiție: Ecuația unei linii date este ecuația F(x,y)=0, care este satisfăcută de coordonatele tuturor punctelor aflate pe această dreaptă și nu este satisfăcută de coordonatele niciunuia dintre punctele care nu se află pe această dreaptă.

Linia definită de ecuația y = f(x) se numește graficul lui f(x). Variabilele x și y se numesc coordonate curente, deoarece sunt coordonatele unui punct variabil.

niste exemple definiții de linii.

1) x – y = 0 => x = y. Această ecuație definește o linie dreaptă:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => punctele trebuie să satisfacă fie ecuația x - y = 0, fie ecuația x + y = 0, care corespunde în plan cu o pereche de linii drepte care se intersectează care sunt bisectoare ale unghiurilor de coordonate:

3) x 2 + y 2 = 0. Această ecuație este îndeplinită de un singur punct O(0,0).

2. Definiție: Orice linie dreaptă de pe plan poate fi specificată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ax + Wu + C = 0,

Mai mult, constantele A și B nu sunt egale cu zero în același timp, adică. A 2 + B 2 ¹ 0. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte.

În funcție de valorile constantelor A, B și C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – linia dreaptă trece prin origine

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - linie dreaptă paralelă cu axa Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – linie dreaptă paralelă cu axa Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – linia dreaptă coincide cu axa Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – linia dreaptă coincide cu axa Ox

Ecuația unei linii drepte poate fi prezentată în diferite forme în funcție de orice condiții inițiale date.

Ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular.

Dacă ecuația generală a dreptei Ax + By + C = 0 se reduce la forma:

și notăm , atunci se numește ecuația rezultată ecuația unei drepte cu panta k.

Ecuația unei drepte în segmente.

Dacă în ecuația generală a dreptei Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, atunci, împărțind la –С, obținem: sau , unde

Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul A este coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Ox și b– coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oy.

Ecuația normală a unei linii.

Dacă ambele părți ale ecuației Ax + By + C = 0 sunt împărțite la un număr numit factor de normalizare, apoi primim

xcosj + ysinj - p = 0 – ecuația normală a unei drepte.

Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât m×С< 0.

p este lungimea perpendicularei coborâte de la origine la dreapta, iar j este unghiul format de această perpendiculară cu direcția pozitivă a axei Ox.

3. Ecuația unei drepte folosind un punct și panta.

Fie coeficientul unghiular al dreptei egal cu k, dreapta trece prin punctul M(x 0, y 0). Atunci ecuația dreptei se găsește cu formula: y – y 0 = k(x – x 0)

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.

Fie date două puncte M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2) în spațiu, atunci ecuația dreptei care trece prin aceste puncte este:

Dacă oricare dintre numitori este zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero.

Pe plan, ecuația dreptei scrise mai sus este simplificată:

dacă x 1 ¹ x 2 și x = x 1, dacă x 1 = x 2.

Se numește fracția = k pantă Drept.

Principalele întrebări ale prelegerii: ecuațiile unei drepte pe un plan; diverse forme ale ecuației unei drepte pe un plan; unghiul dintre liniile drepte; condiții de paralelism și perpendicularitate a dreptelor; distanța de la un punct la o linie; curbe de ordinul doi: cerc, elipsă, hiperbola, parabolă, ecuațiile și proprietățile geometrice ale acestora; ecuații ale unui plan și ale unei linii în spațiu.

O ecuație de formă se numește ecuație a unei linii drepte în formă generală.

Dacă o exprimăm în această ecuație, atunci după înlocuire obținem o ecuație numită ecuația unei drepte cu coeficient unghiular și unde este unghiul dintre dreapta și direcția pozitivă a axei absciselor. Dacă în ecuația generală a unei drepte transferăm coeficientul liber în partea dreaptă și împărțim la el, obținem o ecuație în segmente

Unde și sunt punctele de intersecție ale dreptei cu axele absciselor și, respectiv, ordonatelor.

Două drepte dintr-un plan se numesc paralele dacă nu se intersectează.

Dreptele se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept.

Lăsați două rânduri și să fie date.

Pentru a găsi punctul de intersecție al dreptelor (dacă se intersectează), este necesar să rezolvăm sistemul cu aceste ecuații. Soluția acestui sistem va fi punctul de intersecție a liniilor. Să găsim condițiile pentru poziția relativă a două drepte.

Deoarece, unghiul dintre aceste linii drepte este găsit prin formula

De aici putem concluziona că atunci când liniile vor fi paralele și când vor fi perpendiculare. Dacă liniile sunt date în formă generală, atunci liniile sunt paralele sub condiție și perpendiculare sub condiție

Distanța de la un punct la o linie dreaptă poate fi găsită folosind formula

Ecuația normală a unui cerc:

O elipsă este locul geometric al punctelor dintr-un plan, suma distanțelor de la care două puncte date, numite focare, este o valoare constantă.

Ecuația canonică a unei elipse are forma:

unde este semiaxa mare, este semiaxa minoră și. Punctele focale sunt la puncte. Vârfurile unei elipse sunt punctele. Excentricitatea unei elipse este raportul

O hiperbola este locul punctelor dintr-un plan, modulul diferenței de distanțe de la care la două puncte date, numite focare, este o valoare constantă.

Ecuația canonică a unei hiperbole are forma:

unde este semiaxa mare, este semiaxa minoră și. Punctele focale sunt la puncte. Vârfurile unei hiperbole sunt punctele. Excentricitatea unei hiperbole este raportul