Labai dažnai trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra algebrinės išraiškos, kurias pirmiausia reikia išskaidyti į veiksnius, o tada, tarp jų radus tą patį, padalinti į juos ir skaitiklį, ir vardiklį, tai yra sumažinti trupmeną. Visas 7 klasės algebros vadovėlio skyrius skirtas daugianario faktorinavimo užduotims. Faktoringas gali būti atliktas 3 būdai, taip pat šių metodų derinys.

1. Sutrumpintų daugybos formulių taikymas

Kaip žinoma padauginkite daugianarį iš daugianario, reikia padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito daugianario ir pridėti gautus sandaugus. Į sąvoką įtraukti bent 7 (septyni) dažni daugianario daugybos atvejai. Pavyzdžiui,

1 lentelė. Faktorizavimas 1-uoju būdu

2. Bendrojo koeficiento išėmimas iš skliaustų

Šis metodas pagrįstas daugybos paskirstymo dėsnio taikymu. Pavyzdžiui,

Kiekvieną pradinės išraiškos narį padalijame iš koeficiento, kurį išimame, ir tuo pat metu gauname išraišką skliausteliuose (tai yra, skliausteliuose lieka padalyti tai, kas buvo iš to, ką išėmėme). Visų pirma, jums reikia teisingai nustatyti daugiklį, kuris turi būti skliausteliuose.

Polinomas skliausteliuose taip pat gali būti bendras veiksnys:

Atliekant „faktorizavimo“ užduotį, reikia ypač atsargiai elgtis su ženklais, kai iš skliaustų išimamas bendras veiksnys. Norėdami pakeisti kiekvieno termino ženklą skliausteliuose (b – a), išimame bendrą koeficientą -1 , o kiekvienas terminas skliausteliuose yra padalintas iš -1: (b - a) = - (a - b) .

Jei skliausteliuose esanti išraiška yra kvadratinė (arba bet kokia lyginė laipsnė), tada skaičiai skliausteliuose gali būti keičiami visiškai nemokama, nes iš skliaustų išimti minusai padauginus vis tiek virs pliusu: (b – a) 2 = (a – b) 2, (b – a) 4 = (a – b) 4 ir taip toliau…

3. Grupavimo metodas

Kartais ne visi išraiškos terminai turi bendrą veiksnį, o tik kai kurie. Tada galite pabandyti grupės terminai skliausteliuose, kad iš kiekvieno būtų galima išskirti kokį nors veiksnį. Grupavimo metodas yra bendrų veiksnių dvigubas skliaustas.

4. Naudojant kelis metodus vienu metu

Kartais reikia taikyti ne vieną, o kelis būdus, kaip vienu metu padalyti daugianarį į veiksnius.

Tai šios temos santrauka. "faktorizavimas". Pasirinkite kitus veiksmus:

• Eikite į kitą santrauką:

• 1. Bendrojo veiksnio išėmimas iš skliaustų ir grupavimo metodas. Kai kuriais atvejais patartina kai kuriuos terminus pakeisti panašių terminų suma (skirtumu) arba įvesti vienas kitą panaikinančius terminus.
• 2. Sutrumpintų daugybos formulių naudojimas. Kartais tenka ištraukti veiksnius iš skliaustų, sugrupuoti terminus, pasirinkti visą kvadratą ir tik tada kubelių sumą, kvadratų skirtumą ar kubelių skirtumą pavaizduoti kaip sandaugą.
• 3. Naudojant Bezout teoremą ir neapibrėžtųjų koeficientų metodą.

Pavyzdys . Padauginti:

P 3 (x) = x 3 +4x 2 +5x+2;

Kadangi P 3 (-1)=0, tai daugianomas P 3 (x) dalijasi iš x+1. Naudodami neapibrėžtųjų koeficientų metodą randame daugianario dalybos koeficientą

P 3 (x) = x 3 +4x 2 +5x+2 pagal dvinarį x+1.

Tegul koeficientas yra daugianario x 2 +. Kadangi x 3 +4x 2 +5x+2=(x+1) (x 2 +)=

X 3 +(+1) x 2 +() x+, gauname sistemą:

Kur. Todėl P 3 (x)=(x+1)·(x 2 +3x+2).

Kadangi x 2 +3x+2=x 2 +x+2x+2=x (x+1)+2 (x+1)=(x+1) (x+2), tada P 3 (x )=( x+1) 2 (x+2).

4. Naudojant Bezout teoremą ir padalijimą iš „stulpelio“.

Pavyzdys . Faktorizuoti

P 4 (x) \u003d 5 x 4 +9 x 3 -2 x 2 -4 x -8.

Sprendimas . Kadangi P 4 (1) = 5+9-2-4-8 = 0, tai P 4 (x) dalijasi iš (x-1). Padalijus iš „stulpelio“ randame koeficientą

Vadinasi,

P 4 (x) \u003d (x-) (5 x 3 + 14x 2 + 12x + 8) \u003d

= (x-1) P 3 (x).

Kadangi P 3 (-2) = -40+56-24+8=0, tai daugianomas P 3 (x) = 5 x 3 +14x 2 +12x+8 dalijasi iš x+2.

Raskime koeficientą padalydami „stulpelį“:

Vadinasi,

P 3 (x) \u003d (x + 2) (5 x 2 + 4x + 4).

Kadangi kvadratinio trinalio 5 x 2 +4x+4 diskriminantas yra D = -24<0, то этот

kvadratinis trinaris neskyla į tiesinius veiksnius.

Taigi, P 4 (x) = (x-1) (x+2) (5 x 2 +4x+4)

5. Bezout teoremos ir Hornerio schemos panaudojimas. Šiais metodais gautas koeficientas gali būti koeficientas bet kokiu kitu būdu arba tokiu pačiu būdu.

Pavyzdys . Padauginti:

P 3 (x) \u003d 2 x 3 -5 x 2 -196 x + 99;

Sprendimas .

Jei šis daugianomas turi racionalias šaknis, tada jos gali būti tik tarp skaičių 1/2, 1, 3/2, 3, 9/2, 11/2, 9, 33, 99, 11.

Norėdami rasti šio daugianario šaknį, naudojame šį teiginį:

Jei tam tikro segmento galuose daugianario reikšmės turi skirtingus ženklus, tada intervale (a; b) šio daugianario yra bent viena šaknis.

Duotajam daugianario P 3 (0) =99, P 3 (1) = - 100. Todėl intervale (0; 1) yra bent viena šio daugianario šaknis. Todėl tarp 24 aukščiau parašytų skaičių patartina pirmiausia patikrinti tuos skaičius, kurie priklauso intervalui

(0; 1). Iš šių skaičių tik vienas priklauso šiam intervalui.

P 3 (x) reikšmę esant x=1/2 galima rasti ne tik tiesioginiu pakeitimu, bet ir kitais būdais, pavyzdžiui, pagal Hornerio schemą, nes P () yra lygus dalijant daugianario P (x) x-. Be to, daugelyje pavyzdžių šis metodas yra geresnis, nes tuo pačiu metu randami ir koeficiento koeficientai.

Pagal šio pavyzdžio Hornerio schemą gauname:

Kadangi P 3 (1/2) = 0, tai x =1/2 yra daugianario P 3 (x) šaknis, o daugianomas P 3 (x) dalijasi iš x-1/2, t.y. 2 x 3 -5 x 2 -196 x + 99 \u003d (x-1/2) (2 x 2 -4 x-198).

Kadangi 2 x 2 -4 x-198 = 2 (x 2 -2 x+1-100) = 2 ((x-1) 2 -10 2) = 2 (x+9) ( x-11), tada

P 3 (x) \u003d 2 x 3 -5 x 2 -196 x + 99 \u003d 2 (x-1/2) (x + 9) (x-11).

Daugianario žiedo samprata

Leisti KAM Ir L komutaciniai žiedai

1 apibrėžimas : Žiedas KAM vadinamas paprastu žiedo pratęsimu K naudojant elementus x ir parašyk:

L=K[x] jei tenkinamos šios sąlygos:

žiedo subringas

Pagrindinis komplektas K[x]žymimas simboliais L, K[x].

2 apibrėžimas : paprastas plėtinys L=K[x]žiedai K naudojant x- paprastas transcendentinis žiedo pratęsimas K naudojant x jei tenkinamos šios sąlygos:

žiedo subringas

Jei tada

3 apibrėžimas : Elementas x vadinamas transcendentiniu virš žiedo K, jei tenkinama sąlyga: , jei, tada

Pasiūlyti. Leisti K[x] paprastas transcendentinis pratęsimas. Jei ir kur tada

Įrodymas . Pagal sąlygą, atimdami antrąjį iš pirmosios išraiškos, gauname: nuo elemento x transcendentinis virš K, tada iš (3) gauname:.

Išvada. Bet koks paprasto transcendentinio nenulinio komutacinio žiedo tęsinio elementas K naudojant elementą x pripažįsta unikalų atvaizdavimą kaip tiesinį sveikųjų skaičių neneigiamų elemento galių derinį x

Apibrėžimas: Polinominis žiedas iš nežinomybės x per ne nulį žiedą K vadinamas paprastu nulinio komutacinio žiedo transcendentiniu pratęsimu K naudojant elementą x.

Teorema . Bet kokiam nenuliniam komutaciniam žiedui K, yra paprastas transcendentinis jo pratęsimas su elementu x, k[x]

Operacijos su daugianariais

Tegu k[x] yra nenulinio komutacinio žiedo daugianario žiedas K

1 apibrėžimas: Polinomai f ir g, priklausantys k[x], vadinami lygiais ir rašome f = g, jei visi daugianario f ir g koeficientai yra lygūs vienas kitam, esant vienodoms nežinomojo laipsnėms. x.

Pasekmė . Rašant daugianarį, terminų tvarka nėra esminė. Priskyrimas ir neįtraukimas į daugianario įrašą terminus su nuliniu koeficientu daugianario nekeičia.

2 apibrėžimas. Polinomų f ir g suma yra daugianomas f + g, apibrėžtas lygybe:

3 apibrėžimas : - daugianario sandauga, pažymėta, kuri nustatoma pagal taisyklę:

Polinomų laipsnis

Tegul komutacinis skambutis. k[x] daugianario žiedas virš lauko K : ,

Apibrėžimas : Leisti būti bet koks daugianario. Jei, tada neneigiamas sveikasis skaičius n yra daugianario laipsnis f. Tuo pačiu jie rašo n=deg f.

Skaičiai yra daugianario koeficientai, kur yra pagrindinis koeficientas.

Jei, f- normalizuotas. Nulinio daugianario laipsnis yra neapibrėžtas.

Polinomo laipsnio savybės

K- vientisumo sritis

Įrodymas :

Nuo ir. KAM- vientisumo sritis.

1 išvada : k[x] virš lauko KAM(vientisumo sritis) savo ruožtu yra vientisumo sritis. Bet kuriai vientisumo sričiai yra išskirtinumo sritis.

2 pasekmė : Bet kuriam k[x] vientisumo srityje KAM yra privatus laukas.

Dalijimas iš dvinario ir daugianario šaknys.

Tegul elementas vadinamas daugianario reikšme f iš argumento.

Bezouto teorema : Bet kuriam daugianariui ir elementui yra elementas: .

Įrodymas : Leisti būti bet koks daugianario

Pasekmė : polinomo dalijimo iš liekana lygi.

Apibrėžimas : Elementas vadinamas daugianario šaknimi f, Jei.

Teorema : Tegul elementas yra šaknis f jei ir tik dalijant f

Įrodymas:

Būtinumai. Tegu iš Bezout teoremos išplaukia, kad iš dalomumo savybių išplaukia, kad

Pakankamumas. Tegul tai. h.t.d.

Didžiausias daugianario šaknų skaičius vientisumo srityje.

Teorema : Tegu k yra vientisumo sritis. Polinomo šaknų skaičius f vientisumo srityje k nebėra laipsnio n daugianario f.

Įrodymas :

Indukcija į daugianario laipsnį. Tegul daugianario f turi nulį šaknų, o jų skaičius neviršija.

Tegu teorema įrodoma bet kuriai.

Parodykime, kad 2 punktas reiškia daugianario teoremos teiginio teisingumą.

Leiskite ir, yra du galimi atvejai:

• A) daugianario f neturi šaknų, todėl teoremos teiginys yra teisingas.
• B) daugianario f pagal Bezouto teoremą turi bent šaknį, nes k- vientisumo plotas, tada pagal savybę 3 (polinomo laipsniai), iš to išplaukia, kad

nes, k- vientisumo sritis.

Taigi visos daugianario šaknys yra daugianario šaknis g kadangi, remiantis indukcijos hipoteze, visų daugianario šaknų skaičius g ne daugiau n, vadinasi, f daugiau neturi ( n+ 1) šaknis.

Pasekmė : Leisti k- vientisumo plotas, jei daugianario šaknų skaičius f daugiau numerio n, kur tada f yra nulinis daugianomas.

Algebrinė ir funkcinė daugianario lygybė

Tegu – koks nors daugianario, jis apibrėžia kokią nors funkciją

apskritai bet kuris daugianomas gali apibrėžti vieną funkciją.

Teorema : Leisti k- vientisumo sritis, taigi polinomų lygybei ir lygybei (identiška lygybė ()), apibrėžta ir.

Įrodymas :

Būtinumai. Tegul ir yra vientisumo sritis, .

Leisk, tai yra

Pakankamumas. Apsimeskime tai. Apsvarstykite, nes k vientisumo sritis, tada daugianomas h turi daug šaknų, iš to išplaukia, kad h nulinis daugianario. Taigi, h.t.d.

Dalijimosi teorema su liekana

Apibrėžimas : Euklido žiedas K tokia vientisumo sritis vadinama k, kad funkcija apibrėžta rinkinyje h,įgauna neneigiamas sveikųjų skaičių vertes ir tenkina sąlygą

Ieškant šių elementų elementų, tai vadinama padalijimu su likučiu, - nepilnu koeficientu, - padalijimo liekana.

Leisti būti daugianario žiedas virš lauko.

Teorema (apie padalijimą su liekana) : Leisti būti polinomų žiedas virš lauko ir daugianario egzistuoja unikali daugianario pora, tokia, kad ir sąlyga arba yra įvykdyta. arba

Įrodymas : daugianario egzistavimas. Leisk, tai yra. Teorema yra teisinga, aišku, jei - nulis arba, nes arba. Įrodykime teoremą kada. Įrodymą atliksime indukuodami daugianario laipsnį, tarkime, kad teorema (išskyrus unikalumą) įrodyta daugianario atveju. Parodykime, kad šiuo atveju teoremos teiginys galioja . Iš tiesų, tegul yra daugianario pirmaujantis koeficientas, todėl daugianario pirminis koeficientas ir laipsnis bus toks pat kaip ir daugianario, todėl daugianomas turės arba yra nulinis polinomas. Jei, vadinasi, už ir gauname. Jei, tai pagal indukcinę prielaidą, tai yra, mes gauname arba. Įrodytas daugianario egzistavimas.

Parodykime, kad tokia daugianario pora yra unikali.

Leiskite egzistuoti arba atimkite: . Yra du atvejai arba.

Kitoje pusėje. Pagal laipsnio sąlygą arba, arba.

Jeigu. Taip gaunamas prieštaravimas. Unikalumas įrodytas.

1 išvada : Polinomų žiedas virš lauko yra Euklido erdvė.

2 pasekmė : Daugiavardžių žiedas yra pagrindinių idealų žiedas (bet kuris idealas turi unikalų generatorių)

Bet kuris Euklido žiedas yra faktorialus: polinominis žiedas virš vadinamas faktorialiniu žiedu.

Euklido algoritmas. Dviejų daugianario GCD

Tegul daugianario žiedas baigiasi.

1 apibrėžimas : Tegu ir, jei yra daugianario, tai dalybos liekana lygi nuliui, tada ji vadinama daugianario dalikliu ir žymima: ().

2 apibrėžimas : Didžiausias bendras daugianario daliklis vadinamas daugianario:

ir (- bendras daliklis ir).

(į bet kurį bendrą daliklį ir).

Didžiausias bendras daugianario daliklis žymimas gcd(;). Į bendruosius bet kurių daugianarių daliklius įeina visi nulinio laipsnio polinomai iš, tai yra, nenulinio lauko. Gali pasirodyti, kad du duoti daugianariai ir neturi bendrų daliklių, kurie nėra nuliniai daugianariai.

Apibrėžimas : Jei daugianariai ir neturi bendrų daliklių, kurie nėra nulinio laipsnio daugianariai, tada jie vadinami koprime.

Lemma : Jei daugianariai iš lauko, galioja, tada didžiausias bendras daugianario daliklis ir yra susietas su gcd. ~

Įrašas ( a ~ b) reiškia, kad (ir) pagal apibrėžimą.

Įrodymas : Leisk ir

ir iš to išplaukia, kad mokome, kad tai yra bendras daugianario ir daliklis.

bendras daliklis ir, gauname

Euklido algoritmas

Naudodami konkrečius pavyzdžius apsvarstykite, kaip daugianarį koeficientuoti.

Daugiavardžius išplėsime pagal .

Faktoringo polinomai:

Patikrinkite, ar yra bendras veiksnys. taip, tai lygu 7cd. Išimkime jį iš skliaustų:

Išraiška skliausteliuose susideda iš dviejų terminų. Nebėra bendro faktoriaus, išraiška nėra kubų sumos formulė, vadinasi, skaidymas baigtas.

Patikrinkite, ar yra bendras veiksnys. Nr. Polinomas susideda iš trijų narių, todėl patikriname, ar yra viso kvadrato formulė. Du nariai yra reiškinių kvadratai: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², trečiasis narys yra lygus šių išraiškų dvigubai sandaugai: 2∙5x∙3y=30xy. Taigi šis daugianomas yra tobulas kvadratas. Kadangi dvigubas produktas yra su minuso ženklu, tai yra:

Patikriname, ar galima iš skliaustų išimti bendrą koeficientą. Yra bendras koeficientas, jis lygus a. Išimkime jį iš skliaustų:

Skliausteliuose yra du terminai. Patikriname, ar yra kvadratų skirtumo ar kubelių skirtumo formulė. a² yra a kvadratas, 1=1². Taigi, išraišką skliausteliuose galima parašyti pagal kvadratų skirtumo formulę:

Yra bendras koeficientas, jis lygus 5. Išimame jį iš skliaustų:

skliausteliuose yra trys terminai. Patikrinkite, ar išraiška yra tobulas kvadratas. Du nariai yra kvadratai: 16=4² ir a² yra a kvadratas, trečiasis narys yra lygus dvigubai 4 ir a sandaugai: 2∙4∙a=8a. Todėl tai tobula aikštė. Kadangi visi terminai yra su „+“ ženklu, skliausteliuose esanti išraiška yra visas sumos kvadratas:

Bendrasis koeficientas -2x išimamas iš skliaustų:

Skliausteliuose yra dviejų terminų suma. Patikriname, ar pateikta išraiška yra kubų suma. 64 = 4³, x³ kubas x. Taigi, dvinarį galima išplėsti pagal formulę:

Yra bendras veiksnys. Bet kadangi daugianarį sudaro 4 nariai, iš pradžių išimsime bendrą koeficientą ir tik tada išimsime iš skliaustų. Pirmąjį terminą sugrupuojame su ketvirtuoju, antrąjį - su trečiuoju:

Iš pirmųjų skliaustų išimame bendrą koeficientą 4a, iš antrojo - 8b:

Bendro daugiklio dar nėra. Norėdami jį gauti, iš antrųjų skliaustų išimsime skliaustus „-“, o kiekvienas skliausteliuose esantis ženklas pasikeis į priešingą:

Dabar iš skliaustų išimame bendrą koeficientą (1-3a):

Antruose skliaustuose yra bendras koeficientas 4 (tai yra tas pats veiksnys, kurio nepaėmėme iš skliaustų pavyzdžio pradžioje):

Kadangi daugianomas susideda iš keturių narių, atliekame grupavimą. Pirmąjį terminą sugrupuojame su antruoju, trečiąjį su ketvirtuoju:

Pirmuosiuose skliaustuose nėra bendro koeficiento, tačiau yra kvadratų skirtumo formulė, antruose skliaustuose bendras koeficientas yra -5:

Atsirado bendras faktorius (4m-3n). Išimkime jį iš skliaustų.

Norint faktorizuoti, reikia supaprastinti išraiškas. Tai būtina, kad būtų galima dar labiau sumažinti. Polinomo išskaidymas yra prasmingas, kai jo laipsnis nėra žemesnis už antrąjį. Dauginamas su pirmuoju laipsniu vadinamas tiesiniu.

Straipsnyje bus atskleistos visos dekompozicijos sąvokos, teoriniai pagrindai ir daugianario faktorinavimo metodai.

teorija

1 teorema

Kai bet kuris n laipsnio daugianomas, turintis formą P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , pateikiami kaip sandauga su pastoviu koeficientu su didžiausiu laipsniu a n ir n tiesiniais koeficientais (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , tada P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , kur x i , i = 1 , 2 , … , n - tai daugianario šaknys.

Teorema skirta kompleksinio tipo x i , i = 1 , 2 , … , n šaknims ir kompleksiniams koeficientams a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Tai yra bet kokio skilimo pagrindas.

Kai a k ​​, k = 0 , 1 , 2 , … , n formos koeficientai yra tikrieji skaičiai, tada konjuguotose porose atsiras kompleksinės šaknys. Pavyzdžiui, šaknys x 1 ir x 2 yra susijusios su P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formos daugianario. . . + a 1 x + a 0 laikomi kompleksiniais konjugatais, tada kitos šaknys yra tikrosios, taigi gauname, kad daugianario forma yra P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, kur x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

komentuoti

Polinomo šaknys gali kartotis. Apsvarstykite algebros teoremos įrodymą, Bezouto teoremos pasekmes.

Pagrindinė algebros teorema

2 teorema

Bet kuris n laipsnio daugianomas turi bent vieną šaknį.

Bezouto teorema

Padalijus P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formos daugianarį. . . + a 1 x + a 0 ant (x - s) , tada gauname liekaną, kuri lygi polinomui taške s , tada gauname

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , kur Q n - 1 (x) yra daugianaris, kurio laipsnis n - 1 .

Išvada iš Bezout teoremos

Kai daugianario P n (x) šaknis laikoma s , tai P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Šios išvados pakanka, kai ji naudojama sprendimui apibūdinti.

Kvadratinio trinalio faktorinavimas

A x 2 + b x + c formos kvadratinis trinaris gali būti įtrauktas į tiesinius koeficientus. tada gauname, kad a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , kur x 1 ir x 2 yra šaknys (sudėtingos arba tikrosios).

Tai rodo, kad pats skilimas redukuojasi iki kvadratinės lygties sprendimo vėliau.

1 pavyzdys

Kvadratinės trinario koeficientas.

Sprendimas

Būtina rasti lygties 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 šaknis. Norėdami tai padaryti, pagal formulę turite rasti diskriminanto reikšmę, tada gausime D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Todėl mes tai turime

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Iš čia gauname, kad 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Norėdami atlikti patikrinimą, turite atidaryti skliaustus. Tada gauname formos išraišką:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Po patikrinimo pasiekiame pradinę išraišką. Tai yra, galime daryti išvadą, kad plėtra yra teisinga.

2 pavyzdys

Padalinkite koeficientą kvadratinį trinarį formos 3 x 2 - 7 x - 11 .

Sprendimas

Gauname, kad reikia apskaičiuoti gautą kvadratinę lygtį, kurios forma yra 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Norėdami rasti šaknis, turite nustatyti diskriminanto reikšmę. Mes tai gauname

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816 m

Iš čia gauname, kad 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

3 pavyzdys

Padalinkite daugianario koeficientą 2 x 2 + 1.

Sprendimas

Dabar reikia išspręsti kvadratinę lygtį 2 x 2 + 1 = 0 ir rasti jos šaknis. Mes tai gauname

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Šios šaknys vadinamos kompleksiniu konjugatu, o tai reiškia, kad patį skaidymą galima pavaizduoti kaip 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

4 pavyzdys

Išplėskite kvadratinį trinarį x 2 + 1 3 x + 1 .

Sprendimas

Pirmiausia reikia išspręsti x 2 + 1 3 x + 1 = 0 formos kvadratinę lygtį ir rasti jos šaknis.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

Gavę šaknis, rašome

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

komentuoti

Jei diskriminanto reikšmė yra neigiama, tai daugianariai liks antros eilės daugianariais. Iš to išplaukia, kad mes jų neskaidysime į tiesinius veiksnius.

Didesnio už antrąjį laipsnio daugianario faktorinavimo metodai

Skaidymo metodas yra universalus. Dauguma atvejų yra pagrįsti Bezouto teoremos išvadomis. Norėdami tai padaryti, turite pasirinkti šaknies reikšmę x 1 ir sumažinti jos laipsnį, padalydami iš daugianario iš 1, padalydami iš (x - x 1) . Gautame daugianaryje reikia rasti šaknį x 2, o paieškos procesas vyksta cikliškai, kol gauname visišką skaidymą.

Jei šaknis nerasta, tada naudojami kiti faktorizavimo būdai: grupavimas, papildomi terminai. Šioje temoje sprendžiamos lygtys su didesniais laipsniais ir sveikųjų skaičių koeficientais.

Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų

Panagrinėkime atvejį, kai laisvasis narys lygus nuliui, tada daugianario forma tampa P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1 x .

Matyti, kad tokio daugianario šaknis bus lygi x 1 \u003d 0, tada daugianarį galite pavaizduoti išraiškos P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 + forma. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Laikoma, kad šis metodas išima bendrą veiksnį iš skliaustų.

5 pavyzdys

Trečiojo laipsnio daugianario koeficientas 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Sprendimas

Matome, kad x 1 \u003d 0 yra nurodyto daugianario šaknis, tada galime skliausteliuose x iš visos išraiškos. Mes gauname:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Pereikime prie kvadratinio trinalio 4 x 2 + 8 x - 1 šaknų paieškos. Raskime diskriminantą ir šaknis:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Tada iš to seka

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Pirmiausia panagrinėkime skaidymo metodą, kuriame yra sveikųjų skaičių P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formos koeficientai. . . + a 1 x + a 0 , kur didžiausios galios koeficientas yra 1 .

Kai daugianario šaknys yra sveikosios, tada jos laikomos laisvojo termino dalikliais.

6 pavyzdys

Išplėskite išraišką f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Sprendimas

Apsvarstykite, ar yra sveikųjų skaičių šaknų. Būtina išrašyti skaičiaus daliklius - 18. Gauname ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Iš to išplaukia, kad šis daugianomas turi sveikųjų skaičių šaknis. Galite patikrinti pagal Hornerio schemą. Tai labai patogu ir leidžia greitai gauti daugianario plėtimosi koeficientus:

Iš to išplaukia, kad x \u003d 2 ir x \u003d - 3 yra pradinio daugianario šaknys, kurios gali būti pavaizduotos kaip formos sandauga:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Kreipiamės į x 2 + 2 x + 3 formos kvadratinio trinalio skaidymą.

Kadangi diskriminantas yra neigiamas, tai reiškia, kad nėra tikrų šaknų.

Atsakymas: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

komentuoti

Vietoj Hornerio schemos leidžiama naudoti šaknies pasirinkimą ir daugianario padalijimą iš daugianario. Toliau nagrinėkime daugianario, turinčio sveikųjų skaičių P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formos koeficientus, išplėtimą. . . + a 1 x + a 0 , iš kurių didžiausias nelygu vienetui.

Šis atvejis taikomas trupmeninėms racionaliosioms trupmenoms.

7 pavyzdys

Faktorizuoti f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Sprendimas

Reikia pakeisti kintamąjį y = 2 x , pereiti prie daugianario, kurio koeficientai lygūs 1 aukščiausiu laipsniu. Pradėti reikia padauginus išraišką iš 4. Mes tai gauname

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Kai gautos formos g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 funkcija turi sveikųjų skaičių šaknis, tada jų radinys yra tarp laisvojo termino daliklių. Įrašas atrodys taip:

±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60

Pereikime prie funkcijos g (y) skaičiavimo šiuose taškuose, kad gautume nulį. Mes tai gauname

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Gauname, kad y \u003d - 5 yra y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 lygties šaknis, o tai reiškia, kad x \u003d y 2 \u003d - 5 2 yra pradinės funkcijos šaknis.

8 pavyzdys

Būtina padalyti iš stulpelio 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 iš x + 5 2.

Sprendimas

Rašome ir gauname:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Patikrinti daliklius užtruks daug laiko, todėl pelningiau skaičiuoti gautą kvadratinį trinarį, kurio formos x 2 + 7 x + 3. Prilyginę nuliui, randame diskriminantą.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Iš to išplaukia

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Dirbtinės gudrybės skaičiuojant daugianarį

Racionalios šaknys būdingos ne visiems daugianariams. Norėdami tai padaryti, turite naudoti specialius metodus, kad surastumėte veiksnius. Tačiau ne visi daugianariai gali būti išskaidyti arba pateikti kaip sandauga.

Grupavimo metodas

Yra atvejų, kai galite sugrupuoti daugianario sąlygas, kad surastumėte bendrą veiksnį ir išimtumėte jį iš skliaustų.

9 pavyzdys

Padalinkite daugianarį x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Sprendimas

Kadangi koeficientai yra sveikieji skaičiai, tada šaknys taip pat gali būti sveikieji skaičiai. Norėdami patikrinti, imame reikšmes 1 , - 1 , 2 ir - 2, kad apskaičiuotume daugianario reikšmę šiuose taškuose. Mes tai gauname

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Tai rodo, kad nėra šaknų, reikia naudoti kitokį skaidymo ir tirpinimo būdą.

Grupuoti būtina:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Sugrupavus pradinį daugianarį, reikia jį pavaizduoti kaip dviejų kvadratinių trinarių sandaugą. Norėdami tai padaryti, turime atlikti faktorių. mes tai gauname

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

komentuoti

Grupavimo paprastumas nereiškia, kad terminus pasirinkti pakankamai lengva. Tikslaus sprendimo būdo nėra, todėl reikia naudoti specialias teoremas ir taisykles.

10 pavyzdys

Padalinkite daugianarį x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Sprendimas

Pateiktas daugianomas neturi sveikųjų skaičių šaknų. Terminai turi būti sugrupuoti. Mes tai gauname

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Po faktoringo tai gauname

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2-5 2

Sutrumpintos daugybos ir Niutono dvinario formulių naudojimas daugianariui koeficientuoti

Išvaizda dažnai ne visada aiškiai parodo, kokį būdą naudoti skaidant. Atlikę transformacijas, galite sukurti liniją, sudarytą iš Paskalio trikampio, kitaip jie vadinami Niutono dvinariu.

11 pavyzdys

Padalinkite daugianarį x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Sprendimas

Būtina išraišką konvertuoti į formą

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Sumos koeficientų seka skliausteliuose nurodoma išraiška x + 1 4 .

Taigi turime x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

Pritaikę kvadratų skirtumą, gauname

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Apsvarstykite išraišką, esančią antrajame skliaustelyje. Aišku, kad ten nėra arklių, todėl vėl reikėtų taikyti kvadratų skirtumo formulę. Gauname tokią išraišką kaip

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

12 pavyzdys

Faktorizuoti x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Sprendimas

Pakeiskime išraišką. Mes tai gauname

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Būtina taikyti sutrumpinto kubelių skirtumo dauginimo formulę. Mes gauname:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metodas kintamajam pakeičiant daugianarį

Keičiant kintamąjį, laipsnis sumažinamas, o daugianomas koeficientas.

13 pavyzdys

Faktorizuoti daugianarį formos x 6 + 5 x 3 + 6 .

Sprendimas

Pagal sąlygą aišku, kad reikia pakeisti y = x 3 . Mes gauname:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Gautos kvadratinės lygties šaknys yra y = - 2 ir y = - 3, tada

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Būtina taikyti sutrumpinto kubelių sumos dauginimo formulę. Gauname formos išraiškas:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Tai yra, mes gavome norimą plėtrą.

Aukščiau aptarti atvejai padės įvairiais būdais apsvarstyti ir apskaičiuoti daugianarį.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šioje pamokoje priminsime visus anksčiau išnagrinėtus daugianario faktoringo metodus ir apsvarstysime jų taikymo pavyzdžius, be to, išnagrinėsime naują metodą - pilno kvadrato metodą ir išmoksime jį pritaikyti sprendžiant įvairias problemas.

Tema:Faktoringo polinomai

Pamoka:Polinomų faktorizavimas. Viso kvadrato pasirinkimo metodas. Metodų derinys

Prisiminkite pagrindinius daugianario faktoringo metodus, kurie buvo ištirti anksčiau:

Metodas, kai iš skliaustų išimamas bendras veiksnys, tai yra veiksnys, esantis visuose daugianario nariuose. Apsvarstykite pavyzdį:

Prisiminkite, kad monomialas yra galių ir skaičių sandauga. Mūsų pavyzdyje abu nariai turi keletą bendrų, identiškų elementų.

Taigi, išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

;

Prisiminkite, kad padauginę pateiktą daugiklį iš skliausto, galite patikrinti atvaizdavimo teisingumą.

grupavimo metodas. Ne visada įmanoma išskirti bendrą daugianario veiksnį. Tokiu atveju reikia suskirstyti jos narius į grupes taip, kad kiekvienoje grupėje būtų galima išskirti bendrą veiksnį ir pabandyti jį suskaidyti taip, kad išėmus veiksnius grupėse atsirastų bendras veiksnys. visa išraiška, o plėtra gali būti tęsiama. Apsvarstykite pavyzdį:

Pirmąjį terminą sugrupuokite atitinkamai su ketvirtuoju, antrąjį su penktuoju ir trečiąjį su šeštuoju:

Paimkime bendrus veiksnius grupėse:

Išraiška turi bendrą veiksnį. Išimkime:

Sutrumpintų daugybos formulių taikymas. Apsvarstykite pavyzdį:

;

Parašykime išraišką išsamiai:

Akivaizdu, kad prieš mus yra skirtumo kvadrato formulė, nes yra dviejų išraiškų kvadratų suma ir iš jos atimama jų dviguba sandauga. Vykstame pagal formulę:

Šiandien mes išmoksime kitą būdą - pilno kvadrato pasirinkimo metodą. Jis pagrįstas sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato formulėmis. Prisiminkite juos:

Sumos kvadrato formulė (skirtumas);

Šių formulių ypatumas yra tas, kad jose yra dviejų išraiškų kvadratai ir jų dviguba sandauga. Apsvarstykite pavyzdį:

Parašykime išraišką:

Taigi pirmoji išraiška yra , o antroji .

Norint sudaryti sumos arba skirtumo kvadrato formulę, neužtenka dvigubos išraiškų sandaugos. Jį reikia pridėti ir atimti:

Sutraukime visą sumos kvadratą:

Pakeiskime gautą išraišką:

Taikome kvadratų skirtumo formulę, primename, kad dviejų išraiškų kvadratų skirtumas yra sandauga, o sumos pagal jų skirtumą:

Taigi, šis metodas visų pirma susideda iš to, kad būtina identifikuoti išraiškas a ir b, kurios yra kvadratinės, tai yra, nustatyti, kurios išraiškos yra kvadratinės šiame pavyzdyje. Po to turite patikrinti, ar yra dvigubas sandaugas, o jei jo nėra, pridėkite ir atimkite, tai nepakeis pavyzdžio reikšmės, tačiau daugianomas gali būti apskaičiuotas naudojant kvadrato formules. kvadratų suma arba skirtumas ir skirtumas, jei įmanoma.

Pereikime prie pavyzdžių sprendimo.

1 pavyzdys – koeficientas:

Raskite išraiškas, kurios yra kvadratinės:

Parašykime, koks turėtų būti jų dvigubas produktas:

Sudėkime ir atimkime dvigubą sandaugą:

Sutraukime visą sumos kvadratą ir pateikiame panašius:

Rašysime pagal kvadratų skirtumo formulę:

2 pavyzdys – išspręskite lygtį:

;

Kairėje lygties pusėje yra trinaris. Turite tai įvertinti. Mes naudojame skirtumo kvadrato formulę:

Turime pirmosios išraiškos kvadratą ir dvigubą sandaugą, antrosios išraiškos kvadrato trūksta, pridėkime ir atimkime:

Sutraukime visą kvadratą ir pateikiame panašius terminus:

Taikykime kvadratų skirtumo formulę:

Taigi turime lygtį

Žinome, kad sandauga lygi nuliui tik tada, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Remdamiesi tuo, parašysime lygtis:

Išspręskime pirmąją lygtį:

Išspręskime antrąją lygtį:

Atsakymas: arba

;

Elgiamės panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje – pasirenkame skirtumo kvadratą.