Մաթեմատիկայի աստիճան հասկացությունը ներդրվում է դեռևս 7-րդ դասարանում՝ հանրահաշվի դասաժամին: Եվ ապագայում, մաթեմատիկայի ուսումնասիրության ողջ ընթացքում, այս հասկացությունը ակտիվորեն օգտագործվում է իր տարբեր ձևերով: Դիպլոմները բավականին բարդ թեմա են, որը պահանջում է արժեքների անգիր և ճիշտ և արագ հաշվելու ունակություն: Մաթեմատիկայի աստիճանների հետ ավելի արագ և լավ աշխատանքի համար նրանք եկան աստիճանի հատկությունների: Դրանք օգնում են կրճատել մեծ հաշվարկները, հսկայական օրինակը որոշ չափով վերածել մեկ թվի։ Հատկություններն այնքան էլ շատ չեն, և դրանք բոլորը հեշտ է հիշել և կիրառել գործնականում: Հետևաբար, հոդվածում քննարկվում են աստիճանի հիմնական հատկությունները, ինչպես նաև որտեղ են դրանք կիրառվում:

աստիճանի հատկություններ

Մենք կդիտարկենք աստիճանի 12 հատկություն, ներառյալ նույն հիմքով հզորությունների հատկությունները, և յուրաքանչյուր հատկության համար կտանք օրինակ: Այս հատկություններից յուրաքանչյուրը կօգնի ձեզ ավելի արագ լուծել աստիճանների հետ կապված խնդիրները, ինչպես նաև կփրկի ձեզ բազմաթիվ հաշվողական սխալներից:

1-ին սեփականություն.

Շատերը հաճախ մոռանում են այս հատկության մասին, սխալվում են՝ զրոյական աստիճանի թիվը ներկայացնելով որպես զրո:

2-րդ սեփականություն.

3-րդ սեփականություն.

Պետք է հիշել, որ այս հատկությունը կարող է օգտագործվել միայն թվերը բազմապատկելիս, այն չի աշխատում գումարի հետ: Եվ չպետք է մոռանալ, որ այս և հետևյալ հատկությունները վերաբերում են միայն միևնույն բազա ունեցող ուժերին։

4-րդ սեփականություն.

Եթե ​​հայտարարի թիվը հասցվում է բացասական հզորության, ապա հանելիս փակագծերում վերցվում է հայտարարի աստիճանը՝ հետագա հաշվարկներում նշանը ճիշտ փոխարինելու համար։

Գույքը գործում է միայն բաժանելիս, այլ ոչ թե հանելիս։

5-րդ սեփականություն.

6-րդ սեփականություն.

Այս հատկությունը կարող է կիրառվել նաև հակառակ ուղղությամբ: Միավորը, որը որոշ չափով բաժանվում է թվի, այդ թիվը բացասական է:

7-րդ սեփականություն.

Այս հատկությունը չի կարող կիրառվել գումարի և տարբերության նկատմամբ: Գումարը կամ տարբերությունը մեծացնելու դեպքում օգտագործվում են կրճատված բազմապատկման բանաձևեր, այլ ոչ թե հզորության հատկությունները:

8-րդ սեփականություն.

9-րդ սեփականություն.

Այս հատկությունը գործում է մեկին հավասար համարիչ ունեցող ցանկացած կոտորակային աստիճանի համար, բանաձևը կլինի նույնը, միայն արմատի աստիճանը կփոխվի՝ կախված աստիճանի հայտարարից։

Բացի այդ, այս հատկությունը հաճախ օգտագործվում է հակառակ հերթականությամբ: Թվի ցանկացած ուժի արմատը կարող է ներկայացվել որպես այդ թիվ մեկի ուժի մեջ, որը բաժանվում է արմատի ուժի վրա: Այս հատկությունը շատ օգտակար է այն դեպքերում, երբ թվի արմատը չի հանվում։

10-րդ սեփականություն.

Այս հատկությունը աշխատում է ոչ միայն քառակուսի արմատով և երկրորդ աստիճանով։ Եթե ​​արմատի աստիճանը և այս արմատի բարձրացման աստիճանը նույնն են, ապա պատասխանը կլինի արմատական ​​արտահայտություն։

11-րդ սեփականություն.

Դուք պետք է կարողանաք ժամանակին տեսնել այս հատկությունը լուծելիս, որպեսզի փրկվեք հսկայական հաշվարկներից։

12-րդ սեփականություն.

Այս հատկություններից յուրաքանչյուրը ձեզ կհանդիպի ավելի քան մեկ անգամ առաջադրանքներում, այն կարող է տրվել իր մաքուր ձևով, կամ կարող է պահանջել որոշակի փոխակերպումներ և այլ բանաձևերի օգտագործում: Ուստի ճիշտ լուծման համար բավարար չէ միայն հատկությունները իմանալը, հարկավոր է պարապել և միացնել մաթեմատիկական մնացած գիտելիքները։

Աստիճանների և դրանց հատկությունների կիրառումը

Ակտիվորեն օգտագործվում են հանրահաշվի և երկրաչափության մեջ։ Առանձին, կարևոր տեղ ունեն մաթեմատիկայի աստիճանները։ Նրանց օգնությամբ լուծվում են էքսպոնենցիալ հավասարումներ և անհավասարություններ, ինչպես նաև հզորությունները հաճախ բարդացնում են մաթեմատիկայի այլ բաժինների հետ կապված հավասարումները և օրինակները։ Ցուցանիշները օգնում են խուսափել մեծ և երկար հաշվարկներից, ավելի հեշտ է կրճատել և հաշվարկել ցուցանիշները։ Բայց մեծ հզորությունների կամ մեծ թվերի հզորությունների հետ աշխատելու համար անհրաժեշտ է իմանալ ոչ միայն աստիճանի հատկությունները, այլև գրագետ աշխատել հիմքերի հետ, կարողանալ դրանք քայքայել, որպեսզի հեշտացնեք ձեր խնդիրը: Հարմարության համար դուք պետք է իմանաք նաև հզորության բարձրացված թվերի նշանակությունը: Սա կնվազեցնի ձեր ժամանակը լուծելու համար՝ վերացնելով երկար հաշվարկների անհրաժեշտությունը:

Լոգարիթմներում հատուկ դեր է խաղում աստիճան հասկացությունը։ Քանի որ լոգարիթմը, ըստ էության, թվի ուժ է։

Կրճատ բազմապատկման բանաձևերը հզորությունների օգտագործման ևս մեկ օրինակ են։ Նրանք չեն կարող օգտագործել աստիճանների հատկությունները, դրանք քայքայվում են հատուկ կանոնների համաձայն, բայց յուրաքանչյուր կրճատված բազմապատկման բանաձևում անփոփոխ աստիճաններ կան։

Դիպլոմները ակտիվորեն օգտագործվում են նաև ֆիզիկայի և համակարգչային գիտության մեջ: SI համակարգում բոլոր թարգմանությունները կատարվում են աստիճանների կիրառմամբ, իսկ ապագայում խնդիրներ լուծելիս կիրառվում են աստիճանի հատկությունները։ Համակարգչային գիտության մեջ ակտիվորեն օգտագործվում են երկուսի ուժերը՝ թվերի ընկալումը հաշվելու և պարզեցնելու համար։ Չափման միավորների փոխակերպման կամ խնդիրների հաշվարկների հետագա հաշվարկները, ինչպես ֆիզիկայում, տեղի են ունենում աստիճանի հատկությունների կիրառմամբ:

Աստիճանները շատ օգտակար են նաև աստղագիտության մեջ, որտեղ հազվադեպ կարելի է գտնել աստիճանի հատկությունների օգտագործումը, բայց աստիճաններն իրենք ակտիվորեն օգտագործվում են տարբեր քանակությունների և հեռավորությունների գրանցումը կրճատելու համար:

Աստիճաններն օգտագործվում են նաև առօրյա կյանքում, տարածքները, ծավալները, հեռավորությունները հաշվելիս։

Դիպլոմների օգնությամբ գիտության ցանկացած բնագավառում գրվում են շատ մեծ և շատ փոքր արժեքներ։

էքսպոնենցիալ հավասարումներ և անհավասարություններ

Աստիճանի հատկությունները հատուկ տեղ են գրավում հենց էքսպոնենցիալ հավասարումների և անհավասարությունների մեջ։ Այս առաջադրանքները շատ տարածված են ինչպես դպրոցական դասընթացում, այնպես էլ քննությունների ժամանակ։ Դրանք բոլորը լուծվում են աստիճանի հատկությունների կիրառմամբ։ Անհայտը միշտ բուն աստիճանի մեջ է, հետևաբար, իմանալով բոլոր հատկությունները, դժվար չի լինի լուծել նման հավասարումը կամ անհավասարությունը։

Եթե ​​ուշադրություն չդարձնենք ութերորդ աստիճանին, ի՞նչ ենք տեսնում այստեղ։ Եկեք նայենք 7-րդ դասարանի ծրագրին: Այսպիսով, հիշո՞ւմ եք: Սա կրճատված բազմապատկման բանաձևն է, այն է՝ քառակուսիների տարբերությունը։ Մենք ստանում ենք.

Մենք ուշադիր նայում ենք հայտարարին. Այն շատ նման է համարիչի գործոններից մեկին, բայց ինչն է սխալ: Պայմանների սխալ հերթականություն. Եթե ​​դրանք փոխանակվեին, կանոնը կարող էր կիրառվել:

Բայց ինչպե՞ս դա անել: Պարզվում է, որ դա շատ հեշտ է՝ այստեղ մեզ օգնում է հայտարարի զույգ աստիճանը։

Պայմանները կախարդական կերպով փոխվել են տեղերը: Այս «ֆենոմենը» հավասարաչափ վերաբերում է ցանկացած արտահայտության. մենք կարող ենք ազատորեն փոխել փակագծերի նշանները։

Բայց կարևոր է հիշել. բոլոր նշանները փոխվում են միաժամանակ!

Վերադառնանք օրինակին.

Եվ կրկին բանաձևը.

ամբողջանվանում ենք բնական թվերը, դրանց հակադիրները (այսինքն՝ վերցված «» նշանով) և թիվը։

դրական ամբողջ թիվ, և դա ոչնչով չի տարբերվում բնականից, այնուհետև ամեն ինչ ճիշտ է թվում, ինչպես նախորդ բաժնում:

Հիմա անդրադառնանք նոր դեպքերին։ Սկսենք հավասար ցուցանիշից.

Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:

Ինչպես միշտ, մենք ինքներս մեզ հարցնում ենք՝ ինչո՞ւ է այդպես։

Հաշվի առեք բազայի հետ որոշ հզորություն: Վերցրեք, օրինակ, և բազմապատկեք հետևյալով.

Այսպիսով, մենք թիվը բազմապատկեցինք և ստացանք նույնը, ինչ եղել է -: Ի՞նչ թվով պետք է բազմապատկել, որպեսզի ոչինչ չփոխվի: Ճիշտ է, շարունակվում է: Միջոցներ.

Նույնը կարող ենք անել կամայական թվով.

Կրկնենք կանոնը.

Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:

Բայց կան բացառություններ շատ կանոններից: Եվ այստեղ այն նույնպես կա - սա թիվ է (որպես հիմք):

Մի կողմից, այն պետք է հավասար լինի ցանկացած աստիճանի - ինչքան էլ զրոն իր վրա բազմապատկես, միեւնույն է, զրո ես ստանում, սա պարզ է։ Բայց մյուս կողմից, ինչպես զրոյական աստիճանի ցանկացած թիվ, այն պետք է հավասար լինի։ Այսպիսով, ո՞րն է սրա ճշմարտությունը: Մաթեմատիկոսները որոշեցին չխառնվել և հրաժարվեցին զրոն հասցնել զրո հզորության: Այսինքն՝ այժմ մենք կարող ենք ոչ միայն զրոյի բաժանել, այլև այն հասցնել զրոյական հզորության։

Եկեք ավելի հեռու գնանք: Բացի բնական թվերից և թվերից, ամբողջ թվերը ներառում են բացասական թվեր: Որպեսզի հասկանանք, թե ինչ է բացասական աստիճանը, եկեք անենք նույնը, ինչ նախորդ անգամ.

Այստեղից արդեն հեշտ է արտահայտել ցանկալիը.

Այժմ մենք ընդլայնում ենք ստացված կանոնը կամայական աստիճանի.

Այսպիսով, եկեք ձևակերպենք կանոնը.

Բացասական հզորության թիվը նույն թվի հակադարձն է դրական հզորությանը: Բայց միևնույն ժամանակ հիմքը չի կարող զրոյական լինել.(որովհետև հնարավոր չէ բաժանել):

Ամփոփենք.

I. Արտահայտությունը գործով սահմանված չէ: Եթե, ապա.

II. Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի.

III. Թիվը, որը հավասար չէ զրոյի բացասական հզորությանը, նույն թվի հակադարձն է դրական հզորությանը.

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

Դե, ինչպես միշտ, օրինակներ անկախ լուծման համար.

Անկախ լուծման համար առաջադրանքների վերլուծություն.

Գիտեմ, գիտեմ, թվերը սարսափելի են, բայց քննության ժամանակ պետք է պատրաստ լինել ամեն ինչի: Լուծե՛ք այս օրինակները կամ վերլուծե՛ք դրանց լուծումը, եթե չկարողացաք լուծել այն, և դուք կսովորեք, թե ինչպես հեշտությամբ վարվել դրանց հետ քննության ժամանակ:

Շարունակենք ընդլայնել «հարմար» թվերի շրջանակը որպես ցուցիչ։

Հիմա հաշվի առեք ռացիոնալ թվեր.Ո՞ր թվերն են կոչվում ռացիոնալ:

Պատասխան. այն ամենը, ինչ կարելի է ներկայացնել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են, ընդ որում:

Հասկանալու համար, թե ինչ է «կոտորակային աստիճան»Դիտարկենք կոտորակը.

Եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ հասցնենք հզորության.

Հիմա հիշեք կանոնը «աստիճանից աստիճան»:

Ի՞նչ թիվ պետք է բարձրացվի մինչև ուժ ստանալու համար:

Այս ձևակերպումը րդ աստիճանի արմատի սահմանումն է։

Հիշեցնեմ՝ թվի ()-ի րդ աստիճանի արմատը այն թիվն է, որը, երբ բարձրացվում է աստիճանի, հավասար է։

Այսինքն՝ րդ աստիճանի արմատը հզորության հակադարձ գործողությունն է.

Պարզվում է, որ. Ակնհայտ է, որ այս հատուկ դեպքը կարող է երկարաձգվել.

Հիմա ավելացրեք համարիչը. ինչ է դա: Պատասխանը հեշտ է ստանալ իշխանությունից իշխանություն կանոնով.

Բայց հիմքը կարո՞ղ է լինել որևէ թիվ: Ի վերջո, արմատը չի կարող արդյունահանվել բոլոր թվերից:

Ոչ ոք!

Հիշեք կանոնը. ցանկացած թիվ, որը բարձրացվում է մինչև զույգ մեծության, դրական թիվ է: Այսինքն՝ բացասական թվերից անհնար է զույգ աստիճանի արմատներ հանել։

Իսկ սա նշանակում է, որ նման թվերը չի կարելի հասցնել կոտորակային աստիճանի զույգ հայտարարով, այսինքն՝ արտահայտությունն իմաստ չունի։

Ինչ վերաբերում է արտահայտությանը:

Բայց այստեղ խնդիր է առաջանում.

Թիվը կարող է ներկայացվել որպես այլ, կրճատված կոտորակներ, օրինակ, կամ.

Եվ պարզվում է, որ այն կա, բայց չկա, և դրանք ընդամենը երկու տարբեր գրառումներ են նույն թվով։

Կամ մեկ այլ օրինակ՝ մեկ անգամ, հետո կարող ես գրել: Բայց հենց որ ցուցիչն այլ կերպ ենք գրում, նորից անախորժություն ենք ունենում. (այսինքն՝ լրիվ այլ արդյունք ենք ստացել):

Նման պարադոքսներից խուսափելու համար մտածեք միայն դրական բազային ցուցիչ կոտորակային ցուցիչով.

Այսպիսով, եթե.

• - բնական թիվ;
• ամբողջ թիվ է;

Օրինակներ.

Ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժերը շատ օգտակար են արմատներով արտահայտությունները փոխակերպելու համար, օրինակ.

5 պրակտիկայի օրինակ

Վերապատրաստման 5 օրինակների վերլուծություն

1. Մի մոռացեք աստիճանների սովորական հատկությունների մասին.

2. . Այստեղ մենք հիշում ենք, որ մենք մոռացել ենք սովորել աստիճանների աղյուսակը.

ի վերջո - սա կամ. Լուծումը հայտնաբերվում է ինքնաբերաբար.

Դե, հիմա - ամենադժվարը: Այժմ մենք կվերլուծենք աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով.

Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները ճիշտ նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանների համար, բացառությամբ

Իրոք, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (այսինքն, իռացիոնալ թվերը բոլորն իրական թվեր են, բացառությամբ ռացիոնալ թվերի):

Բնական, ամբողջ թվով և ռացիոնալ ցուցիչով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ ավելի ծանոթ տերմիններով որոշակի «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն էինք կազմում:

Օրինակ, բնական ցուցիչը իրենից մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է.

...զրոյական հզորություն- սա, այսպես ասած, ինքն իրենով մեկ անգամ բազմապատկված թիվ է, այսինքն, այն դեռ չի սկսել բազմապատկվել, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքնին դեռ չի հայտնվել, հետևաբար արդյունքը միայն որոշակի «դատարկ թիվ» է: , մասնավորապես համարը;

...բացասական ամբողջ թվի ցուցիչ- կարծես ինչ-որ «հակառակ գործընթաց» է տեղի ունեցել, այսինքն՝ թիվն ինքն իրենով չի բազմապատկվել, այլ բաժանվել է։

Ի դեպ, գիտությունը հաճախ օգտագործում է աստիճան բարդ ցուցիչով, այսինքն՝ աստիճանը նույնիսկ իրական թիվ չէ։

Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում:

ՈՐՏԵՂ ՎՍՏԱՀ ԵՆՔ, ԴՈՒ ԳՆԱԼՈՒ ԵՔ: (եթե սովորես, թե ինչպես լուծել նման օրինակները :))

Օրինակ:

Ինքներդ որոշեք.

Լուծումների վերլուծություն.

1. Սկսենք աստիճանի աստիճանի բարձրացման արդեն սովորական կանոնից.

Հիմա նայեք հաշիվը. Նա ձեզ ինչ-որ բան հիշեցնու՞մ է: Մենք հիշում ենք քառակուսիների տարբերության կրճատ բազմապատկման բանաձևը.

Այս դեպքում,

Ստացվում է, որ.

Պատասխան. .

2. Ցուցանիշներով կոտորակները բերում ենք նույն ձևին՝ երկուսն էլ տասնորդական, կամ երկուսն էլ սովորական: Մենք, օրինակ, ստանում ենք.

Պատասխան՝ 16

3. Ոչ մի առանձնահատուկ բան, մենք կիրառում ենք աստիճանների սովորական հատկությունները.

Ընդլայնված ՄԱՐԴԱԿ

աստիճանի սահմանում

Աստիճանը ձևի արտահայտությունն է՝ , որտեղ.

• — աստիճանի հիմք;
• - ցուցիչ.

Աստիճան բնական ցուցիչով (n = 1, 2, 3,...)

Թիվը բնական n հզորության հասցնելը նշանակում է թիվն ինքն իրենով բազմապատկել.

Հզորությունը ամբողջ թվային ցուցիչով (0, ±1, ±2,...)

Եթե ​​ցուցիչն է դրական ամբողջ թիվթիվ:

էրեկցիա զրոյական հզորության:

Արտահայտությունն անորոշ է, քանի որ, մի կողմից, ցանկացած աստիճան սա է, իսկ մյուս կողմից՝ երրորդ աստիճանի ցանկացած թիվ սա է։

Եթե ​​ցուցիչն է ամբողջ բացասականթիվ:

(որովհետև հնարավոր չէ բաժանել):

Եվս մեկ անգամ nulls-ի մասին. արտահայտությունը գործով սահմանված չէ։ Եթե, ապա.

Օրինակներ.

Աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով

• - բնական թիվ;
• ամբողջ թիվ է;

Օրինակներ.

Դիպլոմային հատկություններ

Խնդիրների լուծումը հեշտացնելու համար փորձենք հասկանալ՝ որտեղի՞ց են առաջացել այդ հատկությունները: Եկեք ապացուցենք դրանք։

Տեսնենք՝ ինչ է և.

A-priory:

Այսպիսով, այս արտահայտության աջ կողմում ստացվում է հետևյալ արտադրանքը.

Բայց ըստ սահմանման, սա ցուցիչով թվի ուժ է, այսինքն.

Ք.Ե.Դ.

Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:

Լուծում : .

Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:

Լուծում Կարևոր է նշել, որ մեր կանոնում Պարտադիրպետք է ունենա նույն հիմքը. Հետևաբար, մենք միավորում ենք աստիճանները հիմքի հետ, բայց մնում ենք առանձին գործոն.

Մեկ այլ կարևոր նշում. այս կանոնը. միայն հզորությունների արտադրանքի համար!

Ոչ մի դեպքում դա չպետք է գրեմ։

Ինչպես նախորդ հատկության դեպքում, եկեք անդրադառնանք աստիճանի սահմանմանը.

Եկեք վերադասավորենք այն այսպես.

Ստացվում է, որ արտահայտությունը բազմապատկվում է ինքն իրեն մեկ անգամ, այսինքն, ըստ սահմանման, սա թվի --րդ ուժն է.

Իրականում սա կարելի է անվանել «ցուցանիշի փակագծում»։ Բայց դուք երբեք չեք կարող դա անել ընդհանուր առմամբ:

Հիշենք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը՝ քանի՞ անգամ ենք ուզում գրել։ Բայց դա իրականում ճիշտ չէ:

Հզորությունը բացասական հիմքով:

Մինչ այս պահը մենք քննարկել ենք միայն այն, ինչ պետք է լինի ցուցանիշըաստիճան. Բայց ի՞նչը պետք է հիմք լինի։ ից աստիճաններով բնական ցուցիչ հիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ .

Իրոք, մենք կարող ենք միմյանցով բազմապատկել ցանկացած թիվ, լինի դրանք դրական, բացասական կամ զույգ: Եկեք մտածենք, թե ո՞ր նշանները («» կամ «») կունենան դրական և բացասական թվերի աստիճաններ։

Օրինակ՝ թիվը դրական կլինի, թե բացասական։ Ա. ?

Առաջինի հետ ամեն ինչ պարզ է՝ ինչքան էլ դրական թվեր բազմապատկենք միմյանց հետ, արդյունքը կլինի դրական։

Բայց բացասականները մի քիչ ավելի հետաքրքիր են։ Ի վերջո, մենք հիշում ենք 6-րդ դասարանից մի պարզ կանոն. Այսինքն, կամ. Բայց եթե բազմապատկենք (-ով), կստանանք -.

Եվ այսպես անվերջ. յուրաքանչյուր հաջորդ բազմապատկման հետ նշանը կփոխվի: Դուք կարող եք ձևակերպել այս պարզ կանոնները.

1. նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
2. Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
3. Ցանկացած ուժի դրական թիվը դրական թիվ է:
4. Զրո ցանկացած հզորության հավասար է զրոյի:

Ինքներդ որոշեք, թե ինչ նշան կունենան հետևյալ արտահայտությունները.

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Դուք հասցրե՞լ եք: Ահա պատասխանները.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Առաջին չորս օրինակներում հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է: Մենք պարզապես նայում ենք բազային և ցուցիչին և կիրառում ենք համապատասխան կանոնը։

Օրինակ 5-ում, ամեն ինչ նույնպես այնքան սարսափելի չէ, որքան թվում է. կարևոր չէ, թե ինչին է հավասար հիմքը, աստիճանը հավասար է, ինչը նշանակում է, որ արդյունքը միշտ դրական կլինի: Դե, բացառությամբ այն դեպքերի, երբ հիմքը զրո է: Հիմքը նույնը չէ, չէ՞։ Ակնհայտորեն ոչ, քանի որ (որովհետև):

Օրինակ 6) այլևս այնքան էլ պարզ չէ: Այստեղ դուք պետք է պարզեք, թե որն է ավելի քիչ. Եթե ​​դա հիշում եք, պարզ է դառնում, որ դա նշանակում է, որ հիմքը զրոյից փոքր է։ Այսինքն՝ մենք կիրառում ենք 2-րդ կանոնը՝ արդյունքը կլինի բացասական։

Եվ կրկին օգտագործում ենք աստիճանի սահմանումը.

Ամեն ինչ սովորական է. մենք գրում ենք աստիճանների սահմանումը և դրանք բաժանում ենք միմյանց, բաժանում դրանք զույգերի և ստանում.

Նախքան վերջին կանոնը վերլուծելը, լուծենք մի քանի օրինակ։

Հաշվարկել արտահայտությունների արժեքները.

Լուծումներ :

Եթե ​​ուշադրություն չդարձնենք ութերորդ աստիճանին, ի՞նչ ենք տեսնում այստեղ։ Եկեք նայենք 7-րդ դասարանի ծրագրին: Այսպիսով, հիշո՞ւմ եք: Սա կրճատված բազմապատկման բանաձևն է, այն է՝ քառակուսիների տարբերությունը։

Մենք ստանում ենք.

Մենք ուշադիր նայում ենք հայտարարին. Այն շատ նման է համարիչի գործոններից մեկին, բայց ինչն է սխալ: Պայմանների սխալ հերթականություն. Եթե ​​դրանք չեղարկվեին, կարող էր կիրառվել 3-րդ կանոնը: Բայց ինչպե՞ս դա անել: Պարզվում է, որ դա շատ հեշտ է՝ այստեղ մեզ օգնում է հայտարարի զույգ աստիճանը։

Եթե ​​այն բազմապատկես, ոչինչ չի փոխվում, չէ՞: Բայց հիմա այն ունի հետևյալ տեսքը.

Պայմանները կախարդական կերպով փոխվել են տեղերը: Այս «ֆենոմենը» հավասարաչափ վերաբերում է ցանկացած արտահայտության. մենք կարող ենք ազատորեն փոխել փակագծերի նշանները։ Բայց կարևոր է հիշել. բոլոր նշանները փոխվում են միաժամանակ:Այն չի կարող փոխարինվել մեզ համար միայն մեկ անընդունելի մինուս փոխելով:

Վերադառնանք օրինակին.

Եվ կրկին բանաձևը.

Այսպիսով, հիմա վերջին կանոնը.

Ինչպե՞ս ենք դա ապացուցելու։ Իհարկե, ինչպես միշտ. եկեք ընդլայնենք աստիճան հասկացությունը և պարզեցնենք.

Դե, հիմա բացենք փակագծերը։ Քանի՞ տառ կլինի: անգամ բազմապատկիչներով - ինչ տեսք ունի: Սա ոչ այլ ինչ է, քան գործողության սահմանում բազմապատկումԸնդամենը պարզվեց, որ բազմապատկիչներ կան: Այսինքն, դա, ըստ սահմանման, թվի ուժ է ցուցիչով.

Օրինակ:

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով

Ի հավելումն միջին մակարդակի աստիճանների մասին տեղեկատվության, մենք աստիճանը կվերլուծենք իռացիոնալ ցուցանիշով: Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները ճիշտ նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար, բացառությամբ, ի վերջո, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (այսինքն. , իռացիոնալ թվերը բոլոր իրական թվերն են, բացառությամբ ռացիոնալ թվերի):

Բնական, ամբողջ թվով և ռացիոնալ ցուցիչով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ ավելի ծանոթ տերմիններով որոշակի «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն էինք կազմում: Օրինակ, բնական ցուցիչը իրենից մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է. զրոյական աստիճանի թիվն, ասես, ինքն իրենով մեկ անգամ բազմապատկված թիվ է, այսինքն՝ այն դեռ չի սկսել բազմապատկվել, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքը դեռ չի էլ հայտնվել, հետևաբար, արդյունքը միայն որոշակի «թվի պատրաստում», այն է՝ թիվ. աստիճան ամբողջ թվով բացասական ցուցանիշով - կարծես որոշակի «հակառակ գործընթաց» է տեղի ունեցել, այսինքն՝ թիվը ինքն իրենով չի բազմապատկվել, այլ բաժանվել է։

Չափազանց դժվար է պատկերացնել աստիճանը իռացիոնալ ցուցիչով (ինչպես դժվար է պատկերացնել 4-չափ տարածությունը): Ավելի շուտ, դա զուտ մաթեմատիկական օբյեկտ է, որը մաթեմատիկոսները ստեղծել են աստիճանի հասկացությունը թվերի ողջ տարածության վրա տարածելու համար։

Ի դեպ, գիտությունը հաճախ օգտագործում է աստիճան բարդ ցուցիչով, այսինքն՝ աստիճանը նույնիսկ իրական թիվ չէ։ Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում:

Այսպիսով, ի՞նչ անենք, եթե տեսնենք իռացիոնալ ցուցիչ: Մենք ամեն ինչ անում ենք, որ ձերբազատվենք դրանից :)

Օրինակ:

Ինքներդ որոշեք.

1)

2)

3)

Պատասխանները:

1. Հիշեք քառակուսիների բանաձևի տարբերությունը. Պատասխան.
2. Կոտորակները բերում ենք միևնույն ձևի` կամ երկու տասնորդական, կամ երկուսն էլ սովորական: Մենք, օրինակ, ստանում ենք.
3. Ոչ մի առանձնահատուկ բան, մենք կիրառում ենք աստիճանների սովորական հատկությունները.

ԲԱԺԻՆ ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎԸ

Աստիճանկոչվում է ձևի արտահայտություն՝ , որտեղ.

Աստիճան՝ ամբողջ թվով ցուցիչով

աստիճան, որի ցուցիչը բնական թիվ է (այսինքն՝ ամբողջ թիվ և դրական)։

Աստիճան ռացիոնալ ցուցիչով

աստիճան, որի ցուցիչը բացասական և կոտորակային թվերն են։

Աստիճան իռացիոնալ ցուցիչով

Ցուցանիշ, որի ցուցիչը անվերջ տասնորդական կոտորակ կամ արմատ է:

Դիպլոմային հատկություններ

Աստիճանների առանձնահատկությունները.

• Բացասական թիվը բարձրացված է նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
• Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
• Ցանկացած ուժի դրական թիվը դրական թիվ է:
• Զրոն հավասար է ցանկացած հզորության:
• Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է:

ՀԻՄԱ ԽՈՍՔ ՈՒՆԵՍ...

Ինչպե՞ս եք հավանում հոդվածը: Տեղեկացրեք ինձ ստորև ներկայացված մեկնաբանություններում՝ ձեզ դուր եկավ, թե ոչ:

Պատմեք մեզ էներգիայի հատկությունների հետ կապված ձեր փորձի մասին:

Երևի հարցեր ունեք։ Կամ առաջարկություններ.

Գրեք մեկնաբանություններում։

Եվ հաջողություն ձեր քննություններին:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է որոշակի թիվ բարձրացնել հզորության վրա, կարող եք օգտագործել . Այժմ մենք ավելի մանրամասն կանդրադառնանք լիազորությունների հատկությունները.

Էքսպոնենցիալ թվերբացում են մեծ հնարավորություններ, դրանք մեզ թույլ են տալիս բազմապատկումը վերածել գումարման, իսկ գումարումը շատ ավելի հեշտ է, քան բազմապատկումը:

Օրինակ՝ մենք պետք է 16-ը բազմապատկենք 64-ով։ Այս երկու թվերի բազմապատկման արտադրյալը 1024 է։ Բայց 16-ը 4x4 է, իսկ 64-ը՝ 4x4x4։ Այսպիսով, 16 անգամ 64=4x4x4x4x4, որը նույնպես 1024 է:

16 թիվը կարող է ներկայացվել նաև որպես 2x2x2x2, իսկ 64-ը՝ 2x2x2x2x2x2, և եթե բազմապատկենք, նորից կստանանք 1024։

Հիմա եկեք օգտագործենք կանոնը. 16=4 2, կամ 2 4, 64=4 3 կամ 2 6, մինչդեռ 1024=6 4 =4 5, կամ 2 10:

Հետևաբար մեր խնդիրը կարելի է գրել այլ կերպ՝ 4 2 x4 3 =4 5 կամ 2 4 x2 6 =2 10, և ամեն անգամ ստանում ենք 1024։

Մենք կարող ենք լուծել մի շարք նմանատիպ օրինակներ և տեսնել, որ հզորությամբ թվերի բազմապատկումը նվազում է մինչև ցուցիչների ավելացում, կամ ցուցիչ, իհարկե, պայմանով, որ գործոնների հիմքերը հավասար են։

Այսպիսով, մենք կարող ենք, առանց բազմապատկելու, անմիջապես ասել, որ 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20:

Այս կանոնը ճիշտ է նաև թվերը հզորություններով բաժանելիս, սակայն այս դեպքում էլ բաժանարարի ցուցիչը հանվում է շահաբաժնի ցուցիչից. Այսպիսով, 2 5:2 3 =2 2, որը սովորական թվերում հավասար է 32:8=4, այսինքն՝ 2 2: Ամփոփենք.

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, որտեղ m և n-ն ամբողջ թվեր են:

Առաջին հայացքից կարող է թվալ, որ Թվերի բազմապատկում և բաժանում ուժերովշատ հարմար չէ, քանի որ նախ պետք է թիվը ներկայացնել էքսպոնենցիալ տեսքով: Դժվար չէ 8 և 16 թվերն այս ձևով ներկայացնել, այսինքն՝ 2 3 և 2 4, բայց ինչպե՞ս դա անել 7 և 17 թվերի հետ: Կամ ինչ անել այն դեպքերում, երբ թիվը կարող է ներկայացվել էքսպոնենցիալ տեսքով, բայց թվերի էքսպոնենցիալ արտահայտությունների հիմքերը շատ տարբեր են։ Օրինակ, 8×9-ը 2 3 x 3 2 է, որի դեպքում մենք չենք կարող գումարել աստիճանները: Ոչ 2 5, ոչ 3 5 պատասխանն է, ոչ էլ պատասխանը երկուսի միջև է:

Այդ դեպքում արժե՞ ընդհանրապես անհանգստանալ այս մեթոդով: Անպայման արժե այն: Այն հսկայական առավելություններ է տալիս հատկապես բարդ և ժամանակատար հաշվարկների համար:

Դասի բովանդակությունը

Ի՞նչ է աստիճանը:

Աստիճանկոչվում է մի քանի նույնական գործոնների արտադրյալ: Օրինակ:

2×2×2

Այս արտահայտության արժեքը 8 է

2 x 2 x 2 = 8

Այս հավասարման ձախ կողմը կարելի է կարճացնել. նախ գրեք կրկնվող գործակիցը և նշեք, թե քանի անգամ է այն կրկնվում: Կրկնվող բազմապատկիչն այս դեպքում 2 է։ Այն կրկնվում է երեք անգամ։ Հետևաբար, դյուզի վրա մենք գրում ենք եռակի.

2 3 = 8

Այս արտահայտությունը կարդում է այսպես. երկուսից երրորդ ուժը հավասար է ութին կամ " 2-ի երրորդ հզորությունը 8-ն է։

Ավելի հաճախ օգտագործվում է նույն գործոնների բազմապատկումը գրելու կարճ ձևը։ Հետևաբար, մենք պետք է հիշենք, որ եթե որևէ թվի վրա մակագրված է մեկ այլ թիվ, ապա սա մի քանի նույնական գործակիցների բազմապատկում է:

Օրինակ, եթե տրված է 5 3 արտահայտությունը, ապա պետք է նկատի ունենալ, որ այս արտահայտությունը համարժեք է 5 × 5 × 5 գրելուն։

Այն թիվը, որը կրկնվում է, կոչվում է աստիճանի հիմք. 5 3 արտահայտության մեջ աստիճանի հիմքը 5 թիվն է։

Իսկ այն թիվը, որը մակագրված է 5 թվի վերևում, կոչվում է ցուցիչ. 5 3 արտահայտության մեջ ցուցիչը 3 թիվն է։ Ցուցանիշը ցույց է տալիս, թե քանի անգամ է կրկնվում աստիճանի հիմքը։ Մեր դեպքում 5-րդ հիմքը կրկնվում է երեք անգամ։

Նույնական գործոնների բազմապատկման գործողությունը կոչվում է հզորացում.

Օրինակ, եթե ձեզ անհրաժեշտ է գտնել չորս միանման գործակիցների արտադրյալը, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 2-ի, ապա ասում են, որ 2 թիվը. բարձրացվել է չորրորդ իշխանության:

Մենք տեսնում ենք, որ չորրորդ աստիճանի 2 թիվը 16 թիվն է։

Նշենք, որ այս դասում մենք նայում ենք աստիճաններ բնական ցուցանիշով. Սա մի տեսակ աստիճան է, որի ցուցիչը բնական թիվ է։ Հիշեցնենք, որ բնական թվերը զրոյից մեծ ամբողջ թվեր են: Օրինակ՝ 1, 2, 3 և այլն։

Ընդհանուր առմամբ, բնական ցուցանիշով աստիճանի սահմանումը հետևյալն է.

աստիճանը աբնական ցուցանիշով nձևի արտահայտությունն է a n, որը հավասար է արտադրյալին nբազմապատկիչներ, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է ա

Օրինակներ.

Զգույշ եղեք, երբ թիվը մեծացնում եք: Հաճախ անուշադրության պատճառով մարդը աստիճանի հիմքը բազմապատկում է ցուցիչով։

Օրինակ՝ երկրորդ աստիճանի 5 թիվը երկու գործոնի արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 5-ի։ Այս արտադրյալը հավասար է 25-ի։

Հիմա պատկերացրեք, որ մենք ակամա բազմապատկել ենք 5-ի հիմքը 2-ով

Սխալ է տեղի ունեցել, քանի որ երկրորդ աստիճանի 5 թիվը հավասար չէ 10-ի։

Բացի այդ, պետք է նշել, որ 1 չափիչ ունեցող թվի հզորությունը հենց այն թիվն է.

Օրինակ, առաջին հզորության 5 թիվը հենց 5-ն է:

Ըստ այդմ, եթե թիվը չունի ցուցիչ, ապա պետք է ենթադրել, որ ցուցանիշը հավասար է մեկի։

Օրինակ՝ 1, 2, 3 թվերը տրված են առանց աստիճանի, ուստի դրանց ցուցանիշները հավասար կլինեն մեկի։ Այս թվերից յուրաքանչյուրը կարելի է գրել 1 ցուցիչով

Իսկ եթե 0-ը բարձրացնեք ցանկացած հզորության, կստանաք 0: Իրոք, ինչքան էլ ոչինչ ինքն իրենով բազմապատկվի, ոչինչ չի ստացվի: Օրինակներ.

Իսկ 0 0 արտահայտությունն անիմաստ է։ Բայց մաթեմատիկայի որոշ ճյուղերում, մասնավորապես վերլուծության և բազմությունների տեսության մեջ, 0 0 արտահայտությունը կարող է իմաստալից լինել:

Վերապատրաստման համար մենք կլուծենք թվերը հզորության բարձրացման մի քանի օրինակ:

Օրինակ 1Թիվ 3 բարձրացրեք երկրորդ ուժի վրա:

Երկրորդ աստիճանի 3 թիվը երկու գործոնի արտադրյալ է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 3-ի

3 2 = 3 × 3 = 9

Օրինակ 2Թիվ 2 բարձրացրեք չորրորդ ուժի:

Չորրորդ աստիճանի 2 թիվը չորս գործոնի արտադրյալ է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 2-ի

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Օրինակ 3Թիվ 2 բարձրացրեք երրորդ ուժի վրա:

Երրորդ աստիճանի 2 թիվը երեք գործոնի արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 2-ի

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

10 թվի աստիճանականացում

10 թիվը հզորության հասցնելու համար բավական է միավորից հետո գումարել զրոների թիվը՝ հավասար ցուցիչին։

Օրինակ՝ 10 թիվը բարձրացնենք երկրորդ ուժի։ Նախ, մենք ինքնին գրում ենք 10 թիվը և որպես ցուցիչ նշում ենք 2 թիվը

10 2

Այժմ դնում ենք հավասարության նշան, գրում ենք մեկը և այս մեկից հետո գրում ենք երկու զրո, քանի որ զրոների թիվը պետք է հավասար լինի ցուցիչին.

10 2 = 100

Այսպիսով, երկրորդ աստիճանի 10 թիվը 100 թիվն է: Դա պայմանավորված է նրանով, որ երկրորդ աստիճանի 10 թիվը երկու գործոնի արտադրյալ է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 10-ի:

10 2 = 10 × 10 = 100

Օրինակ 2. 10 թիվը բարձրացնենք երրորդ ուժի։

Այս դեպքում մեկից հետո կլինի երեք զրո.

10 3 = 1000

Օրինակ 3. 10 թիվը բարձրացնենք չորրորդ ուժի։

Այս դեպքում մեկից հետո կլինի չորս զրո.

10 4 = 10000

Օրինակ 4. 10 թիվը բարձրացնենք առաջին ուժի։

Այս դեպքում մեկից հետո կլինի մեկ զրո.

10 1 = 10

10, 100, 1000 թվերը որպես 10 հիմքով հզորություն ներկայացնելը

10, 100, 1000 և 10000 թվերը որպես 10 հիմքով հզորություն ներկայացնելու համար հարկավոր է գրել 10 հիմքը և որպես ցուցիչ նշել սկզբնական թվի զրոների թվին հավասար թիվ։

Ներկայացնենք 10 թիվը որպես հզորություն 10 հիմքով։ Տեսնում ենք, որ այն ունի մեկ զրո։ Այսպիսով, 10 թիվը որպես 10 հիմք ունեցող հզորություն կներկայացվի որպես 10 1

10 = 10 1

Օրինակ 2. Ներկայացնենք 100 թիվը որպես հզորություն 10 հիմքով։ Տեսնում ենք, որ 100 թիվը պարունակում է երկու զրո։ Այսպիսով, 100 թիվը որպես 10 հիմք ունեցող հզորություն կներկայացվի որպես 10 2

100 = 10 2

Օրինակ 3. Ներկայացնենք 1000 թիվը որպես 10 հիմքով հզորություն։

1 000 = 10 3

Օրինակ 4. Ներկայացնենք 10000 թիվը որպես հզորություն 10 հիմքով։

10 000 = 10 4

Բացասական թվի աստիճանականացում

Բացասական թիվը մեծացնելու դեպքում այն ​​պետք է փակցվի փակագծերում:

Օրինակ՝ −2 բացասական թիվը հասցնենք երկրորդ աստիճանի։ Երկրորդ աստիճանի −2 թիվը երկու գործոնի արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է (−2)

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

Եթե ​​-2 թիվը փակագծեր չդնեինք, ապա կստացվեր, որ հաշվում ենք -2 2 արտահայտությունը, որը. ոչ հավասար 4 . -2² արտահայտությունը հավասար կլինի -4-ի: Հասկանալու համար, թե ինչու, անդրադառնանք որոշ կետերի։

Երբ դրական թվի դիմաց մինուս ենք դնում, դրանով իսկ կատարում ենք հակառակ արժեքը վերցնելու գործողությունը.

Ենթադրենք տրված է 2 թիվը, և դուք պետք է գտնեք դրա հակառակ թիվը։ Մենք գիտենք, որ 2-ի հակառակը −2 է: Այսինքն՝ 2-ի հակառակ թիվը գտնելու համար բավական է այս թվի դիմաց մինուս դնել։ Թվի դիմաց մինուս դնելը մաթեմատիկայում արդեն համարվում է լիարժեք գործողություն։ Այս գործողությունը, ինչպես նշվեց վերևում, կոչվում է հակառակ արժեքը վերցնելու գործողություն:

-2 2 արտահայտության դեպքում տեղի է ունենում երկու գործողություն՝ հակառակ արժեքը վերցնելու և հզորացման գործողություն։ Հզորության բարձրացումը ավելի առաջնահերթ գործողություն է, քան հակառակ արժեքի ընդունումը:

Հետևաբար, −2 2 արտահայտությունը հաշվարկվում է երկու քայլով։ Նախ, կատարվում է հզորացման գործողությունը: Այս դեպքում դրական թիվ 2-ը բարձրացվել է երկրորդ ուժի։

Այնուհետև վերցվեց հակառակ արժեքը. Այս հակառակ արժեքը գտնվել է 4 արժեքի համար: Իսկ 4-ի հակառակ արժեքը −4 է

−2 2 = −4

Փակագծերն ունեն կատարման ամենաբարձր գերակայությունը: Ուստի (−2) 2 արտահայտությունը հաշվելու դեպքում սկզբում վերցվում է հակառակ արժեքը, իսկ հետո −2 բացասական թիվը հասցվում է երկրորդ աստիճանի։ Արդյունքը 4-ի դրական պատասխանն է, քանի որ բացասական թվերի արտադրյալը դրական թիվ է:

Օրինակ 2. −2 թիվը բարձրացրեք երրորդ աստիճանի։

Երրորդ աստիճանի −2 թիվը երեք գործոնի արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է (−2)

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

Օրինակ 3. −2 թիվը բարձրացրեք չորրորդ աստիճանի։

Չորրորդ աստիճանի −2 թիվը չորս գործոնի արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է (−2)

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Հեշտ է տեսնել, որ բացասական թիվը հասցնելիս կարելի է կամ դրական պատասխան ստանալ, կամ բացասական։ Պատասխանի նշանը կախված է սկզբնական աստիճանի ցուցիչից։

Եթե ​​ցուցանիշը զույգ է, ապա պատասխանը այո է: Եթե ​​ցուցիչը կենտ է, պատասխանը բացասական է: Սա ցույց տանք −3 թվի օրինակով

Առաջին և երրորդ դեպքերում ցուցանիշը եղել է տարօրինակհամարը, ուստի պատասխանը դարձավ բացասական.

Երկրորդ և չորրորդ դեպքերում ցուցանիշը եղել է նույնիսկհամարը, ուստի պատասխանը դարձավ դրական.

Օրինակ 7-5 թիվը բարձրացրեք երրորդ ուժի:

Երրորդ աստիճանի -5 թիվը երեք գործոնի արտադրյալ է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է -5-ի: 3 աստիճանը կենտ թիվ է, ուստի նախօրոք կարող ենք ասել, որ պատասխանը կլինի բացասական.

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

Օրինակ 8-4 թիվը բարձրացրեք չորրորդ աստիճանի։

Չորրորդ աստիճանի -4 թիվը չորս գործոնի արտադրյալ է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է -4-ի: Այս դեպքում 4-րդ ցուցանիշը հավասար է, ուստի նախապես կարող ենք ասել, որ պատասխանը կլինի դրական.

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

Արտահայտման արժեքների որոնում

Արտահայտության արժեքներ գտնելիս, որոնք չեն պարունակում փակագծեր, նախ կիրականացվի հզորացում, որին հաջորդում է բազմապատկումն ու բաժանումը իրենց հերթականությամբ, իսկ հետո գումարում և հանում ըստ հերթականության:

Օրինակ 1. Գտե՛ք 2 + 5 2 արտահայտության արժեքը

Նախ, կատարվում է աստիճանավորում: Այս դեպքում 5 թիվը բարձրացվում է երկրորդ ուժի՝ ստացվում է 25։ Այնուհետև այս արդյունքը ավելացվում է 2-րդ համարին։

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

Օրինակ 10. Գտե՛ք −6 2 × (−12) արտահայտության արժեքը

Նախ, կատարվում է աստիճանավորում: Նկատի ունեցեք, որ −6 թիվը փակագծերում չէ, ուստի 6 թիվը կբարձրացվի երկրորդ աստիճանի, այնուհետև արդյունքի դիմաց կտեղադրվի մինուս.

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

Մենք ավարտում ենք օրինակը՝ −36-ը բազմապատկելով (−12)-ով:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

Օրինակ 11. Գտե՛ք −3 × 2 2 արտահայտության արժեքը

Նախ, կատարվում է աստիճանավորում: Այնուհետև արդյունքը բազմապատկվում է −3 թվով

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

Եթե ​​արտահայտությունը պարունակում է փակագծեր, ապա նախ պետք է կատարել գործողություններ այս փակագծերում, ապա աստիճանականացում, ապա բազմապատկում և բաժանում, իսկ հետո գումարում և հանում:

Օրինակ 12. Գտե՛ք (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5 արտահայտության արժեքը

Նախ անենք փակագծերը։ Փակագծերի ներսում մենք կիրառում ենք նախկինում սովորած կանոնները, այն է՝ նախ 3 թիվը բարձրացնում ենք երկրորդ ուժի, այնուհետև կատարում ենք 1 × 3 բազմապատկում, ապա ավելացնում ենք 3 թիվը հզորության բարձրացման և 1 × 3 բազմապատկելու արդյունքները։ Այնուհետև հանումն ու գումարումը կատարվում են այն հերթականությամբ, որով նրանք հայտնվում են։ Բնօրինակ արտահայտության վրա գործողության կատարման հետևյալ հաջորդականությունը դասավորենք.

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

Օրինակ 13. Գտե՛ք 2 × 5 3 + 5 × 2 3 արտահայտության արժեքը

Սկզբում մենք թվերը բարձրացնում ենք հզորության, այնուհետև կատարում ենք բազմապատկում և ավելացնում արդյունքները.

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

Իշխանությունների ինքնության փոխակերպումներ

Հզորությունների վրա կարող են կատարվել տարբեր նույնական փոխակերպումներ՝ դրանով իսկ պարզեցնելով դրանք։

Ենթադրենք, պահանջվում էր հաշվարկել (2 3) 2 արտահայտությունը: Այս օրինակում երկուից երրորդ ուժը բարձրացվում է երկրորդ ուժի: Այսինքն՝ աստիճանը բարձրացվում է մեկ այլ աստիճանի։

(2 3) 2-ը երկու հզորությունների արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 2 3-ի

Ընդ որում, այս հզորություններից յուրաքանչյուրը երեք գործոնի արտադրյալ է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 2-ի

Մենք ստացանք 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 արտադրյալը, որը հավասար է 64-ի: Այսպիսով, (2 3) արտահայտության արժեքը 2 կամ հավասար է 64-ի:

Այս օրինակը կարելի է շատ պարզեցնել: Դրա համար (2 3) 2 արտահայտության ցուցիչները կարելի է բազմապատկել և այս արտադրյալը գրել 2 հիմքի վրա։

Ստացա 2 6: Երկուսից մինչև վեցերորդ աստիճանը վեց գործոնի արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 2-ի: Այս արտադրյալը հավասար է 64-ի:

Այս հատկությունն աշխատում է, քանի որ 2 3-ը 2 × 2 × 2-ի արտադրյալն է, որն իր հերթին կրկնվում է երկու անգամ: Հետո պարզվում է, որ 2-րդ հիմքը կրկնվում է վեց անգամ։ Այստեղից կարող ենք գրել, որ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2-ը 2 6 է

Ընդհանրապես, ցանկացած պատճառով ացուցանիշներով մԵվ n, գործում է հետևյալ հավասարությունը.

(a n)m = a n × m

Այս նույնական փոխակերպումը կոչվում է հզորացում. Այն կարելի է կարդալ այսպես. «Հզորությունը հզորության բարձրացնելիս հիմքը մնում է անփոփոխ, իսկ ցուցիչները բազմապատկվում են» .

Ցուցանիշները բազմապատկելուց հետո ստանում եք մեկ այլ աստիճան, որի արժեքը կարելի է գտնել։

Օրինակ 2. Գտե՛ք (3 2) արտահայտության արժեքը 2

Այս օրինակում հիմքը 3-ն է, իսկ 2-ը և 2-ը ցուցիչներն են: Եկեք օգտագործենք հզորության կանոնը. Մենք հիմքը թողնում ենք անփոփոխ և բազմապատկում ենք ցուցանիշները.

Ստացա 3 4: Իսկ չորրորդ աստիճանի 3 թիվը 81 է

Դիտարկենք մնացած վերափոխումները:

Հզորության բազմապատկում

Աստիճանները բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է առանձին հաշվարկել յուրաքանչյուր աստիճանը և բազմապատկել արդյունքները:

Օրինակ, եկեք 2 2-ը բազմապատկենք 3 3-ով:

2 2-ը 4-րդ թիվն է, իսկ 3-ը` 27-ը: Բազմապատկում ենք 4 և 27 թվերը, ստանում ենք 108

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

Այս օրինակում տերությունների հիմքերը տարբեր էին։ Եթե ​​հիմքերը նույնն են, ապա կարելի է գրել մեկ հիմք, իսկ որպես ցուցիչ գրել սկզբնական աստիճանների ցուցիչների գումարը։

Օրինակ, 2 2-ը բազմապատկեք 2 3-ով

Այս օրինակում ցուցիչներն ունեն նույն հիմքը։ Այս դեպքում կարող եք գրել մեկ հիմք 2 և որպես ցուցիչ գրել 2 2 և 2 3 ցուցիչների գումարը: Այլ կերպ ասած, թողնել հիմքը անփոփոխ, և ավելացնել սկզբնական աստիճանների ցուցիչները։ Այն այսպիսի տեսք կունենա.

Ստացա 2 5: Հինգերորդ իշխանության համար 2-ը 32 է

Այս հատկությունն աշխատում է, քանի որ 2 2-ը 2 × 2-ի արտադրյալն է, իսկ 2 3-ը 2 × 2 × 2-ի արտադրյալն է: Այնուհետև ստացվում է հինգ միանման գործակիցների արտադրյալ, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 2-ի։ Այս ապրանքը կարող է ներկայացվել որպես 2 5

Ընդհանուր առմամբ, ցանկացածի համար աև ցուցանիշներ մԵվ nգործում է հետևյալ հավասարությունը.

Այս նույնական փոխակերպումը կոչվում է աստիճանի հիմնական հատկությունը. Այն կարելի է կարդալ այսպես. ՊՆույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելիս հիմքը մնում է անփոփոխ, իսկ ցուցիչները գումարվում են։ .

Նշենք, որ այս փոխակերպումը կարող է կիրառվել ցանկացած աստիճանի համար: Հիմնական բանը այն է, որ հիմքը նույնն է:

Օրինակ, եկեք գտնենք 2 1 × 2 2 × 2 3 արտահայտության արժեքը: Հիմնադրամ 2

Որոշ խնդիրների դեպքում կարող է բավարար լինել կատարել համապատասխան փոխակերպումն առանց վերջնական աստիճանը հաշվարկելու: Սա, իհարկե, շատ հարմար է, քանի որ այնքան էլ հեշտ չէ մեծ հզորությունները հաշվարկել:

Օրինակ 1. Արտահայտե՛ք որպես ուժ 5 8 × 25 արտահայտությունը

Այս խնդրի մեջ պետք է այնպես անել, որ 5 8 × 25 արտահայտության փոխարեն ստացվի մեկ աստիճան։

25 թիվը կարող է ներկայացվել որպես 5 2: Այնուհետև մենք ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը.

Այս արտահայտության մեջ կարող եք կիրառել աստիճանի հիմնական հատկությունը՝ թողնել 5-րդ հիմքը անփոփոխ և ավելացնել 8 և 2 ցուցիչները.

Եկեք կարճ գրենք լուծումը.

Օրինակ 2. Արտահայտե՛ք որպես ուժ 2 9 × 32 արտահայտությունը

32 թիվը կարող է ներկայացվել որպես 2 5: Այնուհետև մենք ստանում ենք 2 9 × 2 5 արտահայտությունը: Հաջորդը, կարող եք կիրառել աստիճանի հիմնական հատկությունը՝ թողնել 2-րդ հիմքը անփոփոխ և ավելացնել 9-րդ և 5-րդ ցուցիչները: Սա կհանգեցնի հետևյալ լուծմանը.

Օրինակ 3. Հաշվեք 3 × 3 արտադրյալը՝ օգտագործելով հիմնական հզորության հատկությունը:

Բոլորը լավ գիտեն, որ երեք անգամ երեքը հավասար է ինը, բայց առաջադրանքը պահանջում է օգտագործել աստիճանի հիմնական հատկությունը լուծման ընթացքում։ Ինչպե՞ս դա անել:

Հիշում ենք, որ եթե թիվը տրվում է առանց ցուցիչի, ապա ցուցանիշը պետք է հավասար համարել մեկի։ Այսպիսով, 3 և 3 գործոնները կարելի է գրել 3 1 և 3 1

3 1 × 3 1

Այժմ մենք օգտագործում ենք աստիճանի հիմնական հատկությունը. Մենք թողնում ենք հիմքը 3 անփոփոխ և ավելացնում ենք 1 և 1 ցուցանիշները.

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

Օրինակ 4. Հաշվեք 2 × 2 × 3 2 × 3 3 արտադրյալը՝ օգտագործելով հիմնական հզորության հատկությունը:

2 × 2 արտադրանքը փոխարինում ենք 2 1 × 2 1-ով, այնուհետև 2 1 + 1-ով, այնուհետև 2 2-ով: 3 2 × 3 3-ի արտադրյալը փոխարինվում է 3 2 + 3-ով, այնուհետև 3 5-ով

Օրինակ 5. Կատարել բազմապատկում x × x

Սրանք երկու նույնական այբբենական գործոն են 1-ին ցուցանիշներով: Պարզության համար մենք գրում ենք այս ցուցանիշները: Հետագա հիմք xթողեք այն անփոփոխ և ավելացրեք ցուցանիշները.

Գտնվելով գրատախտակի մոտ՝ չպետք է նույն հիմքերով ուժերի բազմապատկումը գրի առնել այնքան մանրամասն, ինչպես արվում է այստեղ։ Նման հաշվարկները պետք է կատարվեն մտքում։ Մանրամասն գրառումը, ամենայն հավանականությամբ, կզայրացնի ուսուցչին, և նա դրա համար կիջեցնի գնահատականը: Այստեղ մանրամասն արձանագրություն է տրվում, որպեսզի նյութը հնարավորինս մատչելի լինի հասկանալու համար։

Այս օրինակի լուծումը պետք է գրվի այսպես.

Օրինակ 6. Կատարել բազմապատկում x 2 × x

Երկրորդ գործոնի ինդեքսը հավասար է մեկի։ Եկեք գրենք այն պարզության համար: Այնուհետև մենք հիմքը թողնում ենք անփոփոխ և ավելացնում ենք ցուցանիշները.

Օրինակ 7. Կատարել բազմապատկում y 3 y 2 y

Երրորդ գործոնի ցուցանիշը հավասար է մեկի։ Եկեք գրենք այն պարզության համար: Այնուհետև մենք հիմքը թողնում ենք անփոփոխ և ավելացնում ենք ցուցանիշները.

Օրինակ 8. Կատարել բազմապատկում աա 3 ա 2 ա 5

Առաջին գործոնի ինդեքսը հավասար է մեկի։ Եկեք գրենք այն պարզության համար: Այնուհետև մենք հիմքը թողնում ենք անփոփոխ և ավելացնում ենք ցուցանիշները.

Օրինակ 9. 3 8-ի հզորությունը արտահայտե՛ք նույն հիմքով հզորությունների արտադրյալով:

Այս խնդրի մեջ պետք է կազմել հզորությունների արտադրյալ, որի հիմքերը հավասար կլինեն 3-ի, իսկ ցուցիչների գումարը հավասար կլինի 8-ի։ Դուք կարող եք օգտագործել ցանկացած ցուցանիշ: Մենք ներկայացնում ենք 3 8 աստիճանը որպես 3 5 և 3 3 հզորությունների արտադրյալ

Այս օրինակում մենք կրկին հիմնվեցինք աստիճանի հիմնական հատկության վրա։ Ի վերջո, 3 5 × 3 3 արտահայտությունը կարելի է գրել 3 5 + 3, որտեղից էլ 3 8:

Իհարկե, հնարավոր էր 3 8 իշխանությունը ներկայացնել որպես այլ ուժերի արտադրյալ։ Օրինակ՝ 3 7 × 3 1 ձևով, քանի որ այս արտադրյալը նույնպես 3 8 է

Դիպլոմը որպես նույն հիմքով լիազորությունների արդյունք ներկայացնելը հիմնականում ստեղծագործական աշխատանք է։ Այսպիսով, մի վախեցեք փորձարկումներից:

Օրինակ 10. Ներկայացրեք աստիճանը x 12 որպես հզորությունների տարբեր արտադրատեսակներ՝ հիմքերով x .

Օգտագործենք աստիճանի հիմնական հատկությունը. Պատկերացնել x 12 որպես հիմքերով ապրանքներ x, իսկ ցուցիչների գումարը հավասար է 12-ի

Պարզության համար արձանագրվել են ցուցանիշների հանրագումարներով շինությունները։ Ժամանակի մեծ մասը դրանք կարող են բաց թողնել: Այնուհետև մենք ստանում ենք կոմպակտ լուծում.

Արտադրանքի ընդլայնում

Արտադրանքը հզորության բարձրացնելու համար անհրաժեշտ է այս ապրանքի յուրաքանչյուր գործակիցը հասցնել նշված հզորությանը և բազմապատկել արդյունքները:

Օրինակ, եկեք արտադրանքը 2 × 3 բարձրացնենք երկրորդ հզորության: Մենք վերցնում ենք այս ապրանքը փակագծերում և որպես ցուցիչ նշում ենք 2-ը

Այժմ եկեք 2 × 3 արդյունքի յուրաքանչյուր գործակիցը բարձրացնենք երկրորդ հզորության և բազմապատկենք արդյունքները.

Այս կանոնի գործողության սկզբունքը հիմնված է աստիճանի սահմանման վրա, որը տրվել է հենց սկզբում։

2 × 3 արտադրյալը երկրորդ հզորության բարձրացնելը նշանակում է կրկնել այս արտադրանքը երկու անգամ: Եվ եթե կրկնեք այն երկու անգամ, կարող եք ստանալ հետևյալը.

2×3×2×3

Գործոնների տեղերի փոխարկումից արդյունքը չի փոխվում։ Սա թույլ է տալիս խմբավորել նույն բազմապատկիչները.

2×2×3×3

Կրկնվող բազմապատկիչները կարող են փոխարինվել կարճ գրառումներով՝ ցուցիչներով հիմքեր: 2 × 2 արտադրյալը կարող է փոխարինվել 2 2-ով, իսկ 3 × 3 արտադրյալը կարող է փոխարինվել 3 2-ով: Այնուհետև 2 × 2 × 3 × 3 արտահայտությունը վերածվում է 2 2 × 3 2 արտահայտության:

Թող աբօրիգինալ աշխատանք. Այս ապրանքը հզորացնելու համար n, պետք է առանձին բարձրացնել գործոնները աԵվ բնշված աստիճանով n

Այս հատկությունը վավեր է ցանկացած մի շարք գործոնների համար: Վավերական են նաև հետևյալ արտահայտությունները.

Օրինակ 2. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը (2 × 3 × 4) 2

Այս օրինակում դուք պետք է արտադրանքը 2 × 3 × 4 բարձրացնեք երկրորդ հզորության: Դա անելու համար դուք պետք է այս ապրանքի յուրաքանչյուր գործոնը բարձրացնեք երկրորդ հզորության և բազմապատկեք արդյունքները.

Օրինակ 3. Բարձրացրեք արտադրանքը երրորդ ուժի վրա a×b×c

Այս ապրանքը փակցնում ենք փակագծերում և որպես ցուցիչ նշում ենք 3 թիվը

Օրինակ 4. Բարձրացրեք արտադրանքը երրորդ հզորության 3 xyz

Այս ապրանքը փակցնում ենք փակագծերում և որպես ցուցիչ նշում ենք 3-ը

(3xyz) 3

Եկեք այս ապրանքի յուրաքանչյուր գործակից բարձրացնենք երրորդ ուժի.

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 զ 3

Երրորդ աստիճանի 3 թիվը հավասար է 27 թվին։ Մնացածը թողնում ենք անփոփոխ.

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 զ 3 = 27x 3 y 3 զ 3

Որոշ օրինակներում նույն ցուցիչներով հզորությունների բազմապատկումը կարող է փոխարինվել նույն ցուցիչով հիմքերի արտադրյալով։

Օրինակ, եկեք հաշվարկենք 5 2 × 3 2 արտահայտության արժեքը։ Յուրաքանչյուր թիվը բարձրացրեք երկրորդ աստիճանի և բազմապատկեք արդյունքները.

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

Բայց դուք չեք կարող հաշվարկել յուրաքանչյուր աստիճանը առանձին: Փոխարենը, այս հզորությունների արտադրյալը կարող է փոխարինվել մեկ ցուցիչով (5 × 3) 2 արտադրյալով: Հաջորդը, հաշվարկեք արժեքը փակագծերում և արդյունքը բարձրացրեք երկրորդ ուժի.

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

Այս դեպքում կրկին կիրառվել է ապրանքի հզորացման կանոնը։ Ի վերջո, եթե (ա x բ)n = a n × b n , Դա a n × b n = (a × b) n. Այսինքն՝ հավասարման ձախ և աջ կողմերը հակադարձված են։

Էքսպոենտացիա

Այս փոխակերպումը մենք դիտարկեցինք որպես օրինակ, երբ փորձեցինք հասկանալ աստիճանների նույնական փոխակերպումների էությունը։

Հզորությունը հզորության բարձրացնելիս հիմքը մնում է անփոփոխ, իսկ ցուցիչները բազմապատկվում են.

(a n)m = a n × m

Օրինակ, (2 3) 2 արտահայտությունը բարձրացնում է հզորությունը մի ուժի - երկուսից երրորդ ուժը բարձրացվում է երկրորդ ուժի: Այս արտահայտության արժեքը գտնելու համար հիմքը կարելի է թողնել անփոփոխ, իսկ ցուցիչները կարելի է բազմապատկել.

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Այս կանոնը հիմնված է նախորդ կանոնների վրա՝ արտադրանքի հզորացում և աստիճանի հիմնական հատկություն։

Վերադառնանք (2 3) 2 արտահայտությանը։ 2 3 փակագծերում արտահայտությունը երեք նույնական գործոնի արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 2-ի: Այնուհետև (2 3) 2 արտահայտության մեջ փակագծերի ներսում հզորությունը կարող է փոխարինվել 2 × 2 × 2 արտադրյալով:

(2×2×2) 2

Եվ սա այն արտադրանքի հզորացումն է, որը մենք ավելի վաղ ուսումնասիրել ենք: Հիշեք, որ արտադրանքը հզորության բարձրացնելու համար դուք պետք է բարձրացնեք այս արտադրանքի յուրաքանչյուր գործակից մինչև նշված հզորությունը և բազմապատկեք արդյունքները.

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

Հիմա գործ ունենք աստիճանի հիմնական հատկության հետ։ Մենք հիմքը թողնում ենք անփոփոխ և ավելացնում ենք ցուցանիշները.

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Ինչպես նախկինում, ստացանք 2 6: Այս աստիճանի արժեքը 64 է

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Արտադրանքը, որի գործոնները նույնպես ուժեր են, կարող են նաև բարձրացվել հզորության:

Օրինակ՝ եկեք գտնենք (2 2 × 3 2) 3 արտահայտության արժեքը։ Այստեղ յուրաքանչյուր բազմապատկիչի ցուցանիշները պետք է բազմապատկվեն ընդհանուր 3-ով: Հաջորդը, գտեք յուրաքանչյուր աստիճանի արժեքը և հաշվարկեք արտադրյալը.

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

Մոտավորապես նույն բանը տեղի է ունենում արտադրանքի հզորությունը բարձրացնելիս: Մենք ասացինք, որ արտադրանքը հզորության բարձրացնելիս այս ապրանքի յուրաքանչյուր գործակից բարձրացվում է նշված հզորության:

Օրինակ, 2 × 4-ի արտադրյալը երրորդ հզորության բարձրացնելու համար անհրաժեշտ է գրել հետևյալ արտահայտությունը.

Բայց ավելի վաղ ասվում էր, որ եթե թիվ տրվում է առանց ցուցիչի, ապա ցուցանիշը պետք է հավասար համարել մեկի։ Ստացվում է, որ 2 × 4 արտադրյալի գործակիցներն ի սկզբանե ունեն 1-ի հավասար ցուցիչներ: Սա նշանակում է, որ 2 1 × 4 1 ​​արտահայտությունը բարձրացվել է երրորդ աստիճանի: Եվ սա աստիճանի բարձրացում է իշխանության։

Եկեք վերաշարադրենք լուծումը՝ օգտագործելով հզորության կանոնը։ Մենք պետք է ստանանք նույն արդյունքը.

Օրինակ 2. Գտե՛ք (3 3) արտահայտության արժեքը 2

Մենք հիմքը թողնում ենք անփոփոխ և բազմապատկում ենք ցուցանիշները.

Ստացա 3 6: Վեցերորդ աստիճանի 3 թիվը 729 թիվն է

Օրինակ 3xy)³

Օրինակ 4. Կատարեք հզորացում արտահայտության մեջ ( աբգ)⁵

Արտադրանքի յուրաքանչյուր գործակիցը բարձրացնենք հինգերորդ աստիճանի.

Օրինակ 5կացին) 3

Եկեք արտադրանքի յուրաքանչյուր գործակից բարձրացնենք երրորդ ուժի.

Քանի որ −2 բացասական թիվը հասցվել է երրորդ աստիճանի, այն վերցվել է փակագծերում։

Օրինակ 6. Արտահայտության մեջ կատարեք հզորացում (10 xy) 2

Օրինակ 7. Կատարե՛ք հզորացում (−5 x) 3

Օրինակ 8. Կատարե՛ք հզորացում (−3 y) 4

Օրինակ 9. Կատարե՛ք հզորացում (−2 աբքս)⁴

Օրինակ 10. Պարզեցրեք արտահայտությունը x 5×( x 2) 3

Աստիճան x 5-ն առայժմ կմնա անփոփոխ, իսկ արտահայտության մեջ ( x 2) 3-ը կատարում է հզորության աստիճանը.

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6

Հիմա կատարենք բազմապատկումը x 5 × x 6. Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք աստիճանի հիմնական հատկությունը՝ հիմքը xթողեք այն անփոփոխ և ավելացրեք ցուցանիշները.

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11

Օրինակ 9. Գտե՛ք 4 3 × 2 2 արտահայտության արժեքը՝ օգտագործելով աստիճանի հիմնական հատկությունը:

Աստիճանի հիմնական հատկությունը կարող է օգտագործվել, եթե սկզբնական աստիճանների հիմքերը նույնն են։ Այս օրինակում հիմքերը տարբեր են, հետևաբար, սկզբից սկզբնական արտահայտությունը պետք է մի փոքր փոփոխվի, այն է, որ աստիճանների հիմքերը դառնան նույնը:

Եկեք ուշադիր նայենք 4 3-ի հզորությանը: Այս աստիճանի հիմքը 4 թիվն է, որը կարող է ներկայացվել որպես 2 2: Այնուհետև սկզբնական արտահայտությունը կստանա (2 2) 3 × 2 2 ձևը: (2 2) 3 արտահայտության մեջ հզորության աստիճանավորելով՝ ստանում ենք 2 6: Այնուհետև սկզբնական արտահայտությունը կունենա 2 6 × 2 2 ձև, որը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով աստիճանի հիմնական հատկությունը։

Գրենք այս օրինակի լուծումը.

Լիազորությունների բաժանում

Հզորության բաժանումը կատարելու համար անհրաժեշտ է գտնել յուրաքանչյուր հզորության արժեքը, այնուհետև կատարել սովորական թվերի բաժանումը։

Օրինակ՝ 4 3-ը բաժանենք 2 2-ի:

Հաշվի՛ր 4 3, ստանում ենք 64։ Հաշվում ենք 2 2, ստանում ենք 4: Այժմ 64-ը բաժանում ենք 4-ի, ստանում ենք 16:

Եթե ​​հիմքի աստիճանները բաժանելիս պարզվի, որ դրանք նույնն են, ապա հիմքը կարելի է թողնել անփոփոխ, իսկ բաժանարարի աստիճանը հանել դիվիդենտի աստիճանից։

Օրինակ, եկեք գտնենք 2 3: 2 2 արտահայտության արժեքը

Մենք թողնում ենք 2-րդ հիմքը անփոփոխ և բաժանարարի աստիճանը հանում ենք դիվիդենտի ցուցիչից.

Այսպիսով, 2 3: 2 2 արտահայտության արժեքը 2 է:

Այս հատկությունը հիմնված է նույն հիմքերով հզորությունների բազմապատկման կամ, ինչպես ասում էինք, աստիճանի հիմնական հատկության վրա։

Վերադառնանք նախորդ օրինակին 2 3: 2 2: Այստեղ շահաբաժինը 2 3 է, իսկ բաժանարարը՝ 2 2:

Մի թիվը մյուսի վրա բաժանել նշանակում է գտնել մի թիվ, որը բաժանարարով բազմապատկելու դեպքում արդյունքում ստացվում է դիվիդենտ:

Մեր դեպքում, 2 3-ը 2 2-ի բաժանելը նշանակում է գտնել մի ուժ, որը 2 2-ով բազմապատկելու դեպքում կստացվի 2 3: Ո՞ր հզորությունը կարելի է բազմապատկել 2 2-ով և ստանալ 2 3: Ակնհայտ է, որ միայն 2-րդ աստիճանը 1: Գիտական ​​աստիճանի հիմնական հատկությունից ունենք.

Դուք կարող եք ստուգել, ​​որ 2 3: 2 2 արտահայտության արժեքը 2 1 է, ուղղակիորեն գնահատելով 2 3: 2 2 արտահայտությունը: Դա անելու համար նախ գտնում ենք 2 3 աստիճանի արժեքը, ստանում ենք 8: Հետո գտնում ենք 2 2 աստիճանի արժեքը, ստանում ենք 4: 8-ը բաժանեք 4-ի, ստանում ենք 2 կամ 2 1, քանի որ 2 = 2 1:

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

Այսպիսով, նույն հիմքով լիազորությունները բաժանելիս գործում է հետևյալ հավասարությունը.

Կարող է պատահել նաև, որ ոչ միայն հիմքերը, այլ նաև ցուցանիշները նույնը լինեն։ Այս դեպքում պատասխանը կլինի մեկը.

Օրինակ՝ եկեք գտնենք 2 2: 2 2 արտահայտության արժեքը։ Եկեք հաշվարկենք յուրաքանչյուր աստիճանի արժեքը և կատարենք ստացված թվերի բաժանումը.

Օրինակ 2 2: 2 2 լուծելիս կարելի է կիրառել նաև նույն հիմքերով աստիճանները բաժանելու կանոնը։ Արդյունքը զրոյական հզորության թիվ է, քանի որ 2 2 և 2 2 ցուցիչների միջև տարբերությունը զրո է.

Ինչու է զրոյական աստիճանի 2 թիվը հավասար մեկի, մենք պարզեցինք վերևում։ Եթե ​​սովորական եղանակով հաշվում եք 2 2: 2 2, առանց աստիճանների բաժանման կանոնի օգտագործման, կստանաք մեկը:

Օրինակ 2. Գտե՛ք 4 12: 4 10 արտահայտության արժեքը

Մենք թողնում ենք 4-ը անփոփոխ և բաժանարարի աստիճանը հանում ենք դիվիդենտի ցուցիչից.

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

Օրինակ 3. Ներկայացրեք մասնավոր x 3: xորպես հիմքով աստիճան x

Եկեք կիրառենք լիազորությունների բաժանման կանոնը. Հիմք xթողնել անփոփոխ և բաժանարարի աստիճանը հանել դիվիդենտի աստիճանից: Բաժանարարի աստիճանը հավասար է մեկի: Պարզության համար գրենք.

Օրինակ 4. Ներկայացրեք մասնավոր x 3: x 2 որպես հենակետ ունեցող ուժ x

Եկեք կիրառենք լիազորությունների բաժանման կանոնը. Հիմք x

Աստիճանների բաժանումը կարելի է գրել կոտորակի տեսքով։ Այսպիսով, նախորդ օրինակը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Կոտորակի համարիչը և հայտարարը կարող են գրվել ընդլայնված ձևով, այն է՝ նույնական գործակիցների արտադրյալների տեսքով: Աստիճան x 3-ը կարելի է գրել այսպես x × x × x, և աստիճանը x 2 որպես x × x. Հետո շինարարությունը x 3 − 2-ը կարելի է բաց թողնել և օգտագործել կոտորակի կրճատում: Համարիչում և հայտարարում հնարավոր կլինի կրճատել երկու գործոն x. Արդյունքը կլինի մեկ բազմապատկիչ x

Կամ նույնիսկ ավելի կարճ.

Նաև օգտակար է կարողանալ արագորեն կրճատել հզորություններից բաղկացած կոտորակները: Օրինակ, կոտորակը կարող է կրճատվել մինչև x 2. Կոտորակը փոքրացնելու համար x 2 պետք է կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանել x 2

Աստիճանների բաժանումը չի կարելի մանրամասն նկարագրել։ Վերոհիշյալ հապավումը կարելի է ավելի կարճ դարձնել.

Կամ նույնիսկ ավելի կարճ.

Օրինակ 5. Կատարել բաժանումը x 12 : x 3

Եկեք կիրառենք լիազորությունների բաժանման կանոնը. Հիմք xթողեք այն անփոփոխ և բաժանարարի աստիճանը հանեք շահաբաժնի ցուցիչից.

Լուծումը գրում ենք կոտորակի կրճատման միջոցով: Լիազորությունների բաժանում x 12 : x 3-ը կգրվի որպես . Այնուհետև մենք կրճատում ենք այս կոտորակը x 3 .

Օրինակ 6. Գտեք արտահայտության արժեքը

Համարիչում մենք կատարում ենք հզորությունների բազմապատկում նույն հիմքերով.

Այժմ մենք կիրառում ենք նույն հիմքերով լիազորությունները բաժանելու կանոնը. Մենք թողնում ենք 7-րդ հիմքը անփոփոխ և բաժանարարի աստիճանը հանում ենք դիվիդենտի ցուցիչից.

Օրինակը լրացնում ենք՝ 7 2-ի հզորությունը հաշվարկելով

Օրինակ 7. Գտեք արտահայտության արժեքը

Եկեք կատարենք աստիճանը համարիչում. Դուք պետք է դա անեք (2 3) 4 արտահայտությամբ

Այժմ կատարենք նույն հիմքերով հզորությունների բազմապատկումը համարիչում։

Նախորդ հոդվածում մենք խոսեցինք այն մասին, թե ինչ են միանունները։ Այս նյութում մենք կվերլուծենք, թե ինչպես լուծել օրինակներ և խնդիրներ, որոնցում դրանք օգտագործվում են: Այստեղ մենք կդիտարկենք այնպիսի գործողություններ, ինչպիսիք են հանումը, գումարումը, բազմապատկումը, միանդամների բաժանումը և դրանց բնական չափանիշով հզորության հասցնելը: Մենք ցույց կտանք, թե ինչպես են սահմանվում նման գործողությունները, ցույց կտանք դրանց իրականացման հիմնական կանոնները և ինչ արդյունք պետք է տա: Բոլոր տեսական դրույթները, ինչպես միշտ, կներկայացվեն խնդիրների օրինակներով՝ լուծումների նկարագրությամբ:

Առավել հարմար է աշխատել մոնոմների ստանդարտ նշման հետ, հետևաբար, մենք ներկայացնում ենք բոլոր արտահայտությունները, որոնք կօգտագործվեն հոդվածում ստանդարտ ձևով: Եթե ​​դրանք ի սկզբանե այլ կերպ են դրված, խորհուրդ է տրվում նախ դրանք բերել ընդհանուր ընդունված ձևի:

Միանդամների գումարման և հանման կանոններ

Ամենապարզ գործողությունները, որոնք կարելի է կատարել միանդամների հետ՝ հանումն ու գումարումն են։ Ընդհանուր դեպքում այդ գործողությունների արդյունքը կլինի բազմանդամը (որոշ հատուկ դեպքերում հնարավոր է միանդամ):

Երբ գումարում կամ հանում ենք միանդամներ, նախ գրում ենք համապատասխան գումարը և տարբերությունը ընդհանուր ընդունված ձևով, որից հետո պարզեցնում ենք ստացված արտահայտությունը։ Եթե ​​կան նմանատիպ տերմիններ, պետք է տրվեն, փակագծերը բացվեն։ Բացատրենք օրինակով.

Օրինակ 1

Վիճակը:գումարել միանունները − 3 · x և 2, 72 · x 3 · y 5 · z:

Լուծում

Գրենք սկզբնական արտահայտությունների գումարը. Ավելացրե՛ք փակագծեր և դրանց միջև դրեք գումարած նշան։ Մենք կստանանք հետևյալը.

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Երբ մենք ընդլայնում ենք փակագծերը, ստանում ենք - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z: Սա ստանդարտ ձևով գրված բազմանդամ է, որը կլինի այս միանդամների գումարման արդյունքը։

Պատասխան.(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z.

Եթե ​​մենք ունենք երեք, չորս կամ ավելի տերմիններ, մենք կատարում ենք այս գործողությունը նույն կերպ:

Օրինակ 2

Վիճակը:տրված գործողությունները կատարել բազմանդամների հետ ճիշտ հերթականությամբ

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Լուծում

Սկսենք փակագծերը բացելուց։

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Մենք տեսնում ենք, որ ստացված արտահայտությունը կարելի է պարզեցնել՝ կրճատելով նման տերմինները.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 ա 2 + 1 1 3 ա գ + 4 9

Մենք ունենք բազմանդամ, որը կլինի այս գործողության արդյունքը։

Պատասխան. 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Սկզբունքորեն, մենք կարող ենք կատարել երկու միանդամների գումարում և հանում, որոշ սահմանափակումներով, այնպես որ ստացվում է միանդամ: Դա անելու համար անհրաժեշտ է պահպանել որոշ պայմաններ՝ կապված տերմինների և հանված միանունների հետ: Մենք նկարագրելու ենք, թե ինչպես է դա արվում առանձին հոդվածում:

Միանդամների բազմապատկման կանոններ

Բազմապատկման գործողությունը որևէ սահմանափակում չի դնում բազմապատկիչների վրա: Բազմապատկվող միանդամները չպետք է բավարարեն որևէ լրացուցիչ պայման, որպեսզի արդյունքը լինի միանդամ:

Միանդամների բազմապատկում կատարելու համար անհրաժեշտ է կատարել հետևյալ քայլերը.

1. Ձայնագրեք կտորը ճիշտ:
2. Ընդարձակեք փակագծերը ստացված արտահայտության մեջ:
3. Հնարավորության դեպքում խմբավորեք նույն փոփոխականներով և թվային գործոնները առանձին:
4. Կատարե՛ք թվերով անհրաժեշտ գործողությունները և կիրառե՛ք նույն հիմքերով հզորությունների բազմապատկման հատկությունը մնացած գործոնների վրա։

Տեսնենք, թե ինչպես է դա արվում գործնականում:

Օրինակ 3

Վիճակը:բազմապատկել միանդամները 2 · x 4 · y · z և - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11:

Լուծում

Սկսենք ստեղծագործության կազմից.

Բացելով դրա մեջ փակագծերը՝ ստանում ենք հետևյալը.

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Մեզ մնում է միայն բազմապատկել առաջին փակագծերի թվերը և ուժի հատկությունը կիրառել երկրորդի վրա: Արդյունքում մենք ստանում ենք հետևյալը.

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Պատասխան. 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14:

Եթե ​​պայմանում ունենք երեք կամ ավելի բազմանդամ, մենք դրանք բազմապատկում ենք՝ օգտագործելով ճիշտ նույն ալգորիթմը։ Առանձին նյութում ավելի մանրամասն կանդրադառնանք միանդամների բազմապատկման խնդրին։

Միավորը իշխանության հասցնելու կանոններ

Մենք գիտենք, որ որոշակի թվով միանման գործոնների արտադրյալը կոչվում է աստիճան՝ բնական ցուցիչով: Նրանց թիվը նշվում է ցուցիչի թվով: Համաձայն այս սահմանման, միանդամը մեծացնելը համարժեք է նույնական միանդամների նշված թիվը բազմապատկելուն։ Տեսնենք, թե ինչպես է դա արվում:

Օրինակ 4

Վիճակը:− 2 · a · b 4 միանդամը բարձրացրեք 3-ի։

Լուծում

Մենք կարող ենք աստիճանականացումը փոխարինել 3 միանդամների բազմապատկմամբ − 2 · a · b 4: Եկեք գրենք և ստանանք ցանկալի պատասխանը.

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4) b 4) = − 8 a 3 b 12

Պատասխան.(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12.

Բայց ի՞նչ կարելի է ասել, երբ աստիճանն ունի մեծ ցուցանիշ: Մեծ թվով մուլտիպլիկատորներ գրանցելը անհարմար է: Այնուհետև նման խնդիր լուծելու համար պետք է կիրառել աստիճանի հատկությունները, այն է՝ արտադրանքի աստիճանի հատկությունը և աստիճանի հատկությունը։

Վերևում բերված խնդիրը լուծենք նշված ձևով։

Օրինակ 5

Վիճակը:բարձրացնել − 2 · a · b 4 երրորդ աստիճանի:

Լուծում

Իմանալով աստիճանի հատկությունը աստիճանի մեջ՝ կարող ենք անցնել հետևյալ ձևի արտահայտմանը.

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Դրանից հետո մենք բարձրացնում ենք հզորությունը՝ 2 և կիրառում ենք ցուցիչ հատկությունը.

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12.

Պատասխան.− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12.

Առանձին հոդված ենք հատկացրել նաև իշխանությանը մենաշնորհ բարձրացնելուն։

Միանդամների բաժանման կանոններ

Միանդամների հետ վերջին գործողությունը, որը մենք կվերլուծենք այս նյութում, միանդամի բաժանումն է միանդամի: Արդյունքում պետք է ստանանք ռացիոնալ (հանրահաշվական) կոտորակ (որոշ դեպքերում հնարավոր է միանդամ ստանալ)։ Անմիջապես պարզաբանենք, որ զրոյական միանդամի բաժանումը սահմանված չէ, քանի որ 0-ի բաժանումը սահմանված չէ։

Բաժանում կատարելու համար պետք է նշված միանունները գրել կոտորակի տեսքով և հնարավորության դեպքում փոքրացնել։

Օրինակ 6

Վիճակը:− 9 x 4 y 3 z 7 միանդամը բաժանեք − 6 p 3 t 5 x 2 y 2-ի:

Լուծում

Սկսենք միանդամները կոտորակի տեսքով գրելով։

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Այս մասնաբաժինը կարող է կրճատվել: Դա անելուց հետո մենք ստանում ենք.

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Պատասխան.- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5:

Առանձին հոդվածում բերված են այն պայմանները, որոնց դեպքում միանդամների բաժանման արդյունքում ստանում ենք միանդամ։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter