Շատ հաճախ C2 խնդրի մեջ պահանջվում է աշխատել հատվածը կիսով չափ բաժանող կետերի հետ: Նման կետերի կոորդինատները հեշտությամբ հաշվարկվում են, եթե հայտնի են հատվածի ծայրերի կոորդինատները։

Այսպիսով, թող հատվածը տրվի իր ծայրերով՝ A \u003d (x a; y a; z a) և B \u003d (x b; y b; z b) կետերով: Այնուհետև հատվածի կեսի կոորդինատները - մենք այն նշում ենք H կետով - կարելի է գտնել բանաձևով.

Այլ կերպ ասած, հատվածի միջնամասի կոորդինատները նրա ծայրերի կոորդինատների միջին թվաբանականն են:

· Առաջադրանք . ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 միավորի խորանարդը տեղադրվում է կոորդինատային համակարգում այնպես, որ x, y և z առանցքներն ուղղված լինեն համապատասխանաբար AB, AD և AA 1 եզրերի երկայնքով, և սկզբնաղբյուրը համընկնի A կետի հետ: K կետը: A 1 B 1 եզրի միջնակետն է: Գտե՛ք այս կետի կոորդինատները:

Լուծում. Քանի որ K կետը A 1 B 1 հատվածի միջինն է, դրա կոորդինատները հավասար են ծայրերի կոորդինատների միջին թվաբանականին։ Եկեք գրենք ծայրերի կոորդինատները՝ A 1 = (0; 0; 1) և B 1 = (1; 0; 1): Այժմ եկեք գտնենք K կետի կոորդինատները.

Պատասխանել K = (0.5; 0; 1)

· Առաջադրանք . ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 միավոր խորանարդը տեղադրվում է կոորդինատների համակարգում այնպես, որ x, y և z առանցքներն ուղղված են համապատասխանաբար AB, AD և AA 1 եզրերի երկայնքով, իսկ սկզբնաղբյուրը համընկնում է A կետի հետ: Գտեք կոորդինատները: L կետի, որտեղ նրանք հատում են A 1 B 1 C 1 D 1 քառակուսու անկյունագծերը:

Լուծում. Պլանաչափության ընթացքից հայտնի է, որ քառակուսու անկյունագծերի հատման կետը հավասար է նրա բոլոր գագաթներից։ Մասնավորապես, A 1 L = C 1 L, այսինքն. L կետը A 1 C 1 հատվածի միջնակետն է: Բայց A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), ուստի մենք ունենք.

Պատասխանել L = (0.5; 0.5; 1)

Անալիտիկ երկրաչափության ամենապարզ խնդիրները.
Գործողություններ վեկտորների հետ կոորդինատներում

Առաջադրանքները, որոնք կքննարկվեն, շատ ցանկալի է սովորել, թե ինչպես լուծել դրանք ամբողջությամբ ավտոմատ կերպով, և բանաձևերը. անգիր անել, դիտմամբ էլ մի հիշեք, իրենք իրենք կհիշեն =) Սա շատ կարևոր է, քանի որ անալիտիկ երկրաչափության մյուս խնդիրները հիմնված են ամենապարզ տարրական օրինակների վրա, և ձանձրալի կլինի հավելյալ ժամանակ հատկացնել լոմբարդ ուտելու վրա։ Շապիկի վերևի կոճակները պետք չէ ամրացնել, շատ բաներ քեզ ծանոթ են դպրոցից։

Նյութի ներկայացումը կանցնի զուգահեռ ընթացքով՝ և՛ հարթության, և՛ տիեզերքի համար: Այն պատճառով, որ բոլոր բանաձեւերը ... դուք ինքներդ կտեսնեք:

Քրտնաջան աշխատանքից հետո ես հանկարծ նկատեցի, որ վեբ էջերի չափերը բավականին մեծ են, և եթե այսպես շարունակվի, ապա դուք կարող եք հանգիստ հանգիստ դառնալ դաժան =) Ուստի ձեր ուշադրությանն եմ ներկայացնում մի փոքրիկ շարադրություն մի շատ տարածված երկրաչափական խնդրի վերաբերյալ: - հատվածի այս առումով բաժանման վերաբերյալև, որպես հատուկ դեպք, հատվածը կիսով չափ բաժանելու մասին.

Այս կամ այն ​​պատճառով այս առաջադրանքը չէր տեղավորվում այլ դասերի մեջ, բայց այժմ հիանալի հնարավորություն կա այն մանրամասնորեն և դանդաղ դիտարկելու համար: Լավ նորությունն այն է, որ մենք մի փոքր կդադարենք վեկտորներից և կկենտրոնանանք կետերի և գծերի հատվածների վրա:

Այս առումով բաժինների բաժանման բանաձևերը

Այս առումով հատվածի բաժանման հայեցակարգը

Հաճախ դուք ընդհանրապես պետք չէ սպասել խոստացվածին, մենք անմիջապես կքննարկենք մի քանի կետ և, ակնհայտորեն, անհավանական մի հատված.

Քննարկվող խնդիրը վավեր է ինչպես հարթության, այնպես էլ տարածության հատվածների համար։ Այսինքն՝ ցուցադրական հատվածը կարող է ցանկացած կերպ տեղադրվել ինքնաթիռում կամ տիեզերքում։ Բացատրության հեշտության համար ես այն գծեցի հորիզոնական:

Ի՞նչ ենք անելու այս հատվածի հետ։ Այս անգամ տեսա: Ինչ-որ մեկը սղոցում է բյուջեն, մեկը սղոցում է ամուսնուն, մեկը սղոցում է վառելափայտը, և մենք կսկսենք սղոցել հատվածը երկու մասի: Հատվածը բաժանված է երկու մասի, օգտագործելով ինչ-որ կետ, որը, իհարկե, գտնվում է անմիջապես դրա վրա.

Այս օրինակում կետը բաժանում է հատվածն այնպես, որ հատվածը երկու անգամ կարճ է հատվածից: ԴԵՌ կարող ենք ասել, որ կետը բաժանում է հատվածը առնչությամբ («մեկից երկու»)՝ հաշվելով վերևից։

Չոր մաթեմատիկական լեզվով այս փաստը գրվում է հետևյալ կերպ՝ , կամ ավելի հաճախ ծանոթ համամասնության տեսքով. Հատվածների հարաբերակցությունը սովորաբար նշվում է հունարեն «լամբդա» տառով, այս դեպքում՝ .

Հեշտ է համամասնությունը կազմել այլ հերթականությամբ. - այս գրառումը նշանակում է, որ հատվածը երկու անգամ ավելի երկար է, քան հատվածը, բայց դա հիմնարար նշանակություն չունի խնդիրների լուծման համար: Այդպես էլ կարող է լինել, և այդպես էլ կարող է լինել։

Իհարկե, հատվածը հեշտ է բաժանել այլ առումով, և որպես հայեցակարգի ամրապնդում, երկրորդ օրինակը.

Այստեղ հարաբերակցությունը վավեր է. Եթե ​​համամասնությունը դարձնենք հակառակը, ապա կստանանք.

Այն բանից հետո, երբ պարզեցինք, թե ինչ է նշանակում այս առումով հատվածի բաժանումը, եկեք անցնենք գործնական խնդիրների դիտարկմանը:

Եթե ​​հարթության երկու կետերը հայտնի են, ապա այն կետի կոորդինատները, որը բաժանում է հատվածի նկատմամբ, արտահայտվում են բանաձևերով.

Որտեղի՞ց են առաջացել այս բանաձեւերը: Անալիտիկ երկրաչափության ընթացքում այս բանաձևերը խստորեն ստացվում են վեկտորների միջոցով (որտե՞ղ կլինեինք մենք առանց դրանց: =)): Բացի այդ, դրանք վավեր են ոչ միայն դեկարտյան կոորդինատային համակարգի, այլև կամայական աֆինային կոորդինատային համակարգի համար (տես դաս. Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածություն. Վեկտորային հիմք) Այդպիսին է համընդհանուր խնդիրը։

Օրինակ 1

Գտե՛ք այն կետի կոորդինատները, որը բաժանում է հատվածը ի նկատմամբ, եթե կետերը հայտնի են

ԼուծումԱյս խնդրի մեջ: Այս առումով հատվածը բաժանելու բանաձևերի համաձայն մենք գտնում ենք կետը.

Պատասխանել:

Ուշադրություն դարձրեք հաշվարկման տեխնիկայի վրա՝ նախ պետք է առանձին հաշվարկել համարիչը և առանձին՝ հայտարարը: Արդյունքը հաճախ (բայց ոչ միշտ) երեք կամ չորս հարկանի կոտորակ է: Դրանից հետո մենք ազատվում ենք բազմահարկ ֆրակցիոնից և կատարում վերջնական պարզեցումներ։

Առաջադրանքը չի պահանջում նկարչություն, բայց միշտ օգտակար է այն լրացնել սևագրի վրա.

Իսկապես, կապը բավարարված է, այսինքն՝ հատվածը երեք անգամ ավելի կարճ է, քան հատվածը: Եթե ​​համամասնությունն ակնհայտ չէ, ապա հատվածները միշտ կարելի է հիմարորեն չափել սովորական քանոնով։

Համարժեք լուծման երկրորդ ճանապարհըդրանում հետհաշվարկը սկսվում է մի կետից և հարաբերությունն արդար է. (մարդկային բառերով ասած՝ հատվածը երեք անգամ երկար է հատվածից)։ Այս առումով հատված բաժանելու բանաձևերի համաձայն.

Պատասխանել:

Նկատի ունեցեք, որ բանաձևերում անհրաժեշտ է կետի կոորդինատները տեղափոխել առաջին տեղ, քանի որ փոքրիկ թրիլլերը սկսվել է դրանով։

Կարելի է նաև տեսնել, որ երկրորդ մեթոդն ավելի ռացիոնալ է ավելի պարզ հաշվարկների շնորհիվ։ Բայց այնուամենայնիվ, այս խնդիրը հաճախ լուծվում է «ավանդական» կարգով։ Օրինակ, եթե հատվածը տրվում է պայմանով, ապա ենթադրվում է, որ դուք կկազմեք համամասնություն, եթե հատվածը տրված է, ապա «լռելյայն» նշանակում է համամասնություն:

Իսկ երկրորդ մեթոդը ես մեջբերեցի այն պատճառով, որ հաճախ փորձում են միտումնավոր շփոթել խնդրի վիճակը։ Այդ իսկ պատճառով շատ կարևոր է կատարել գծագրություն՝ նախ՝ վիճակը ճիշտ վերլուծելու, և երկրորդ՝ ստուգման նպատակով։ Նման պարզ առաջադրանքում սխալվելը ամոթ է։

Օրինակ 2

Տրված միավորներ . Գտնել.

ա) կետը, որը բաժանում է հատվածը ի նկատմամբ.
բ) կետը, որը բաժանում է հատվածը ի նկատմամբ:

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Երբեմն կան խնդիրներ, որտեղ հատվածի ծայրերից մեկն անհայտ է.

Օրինակ 3

Կետը պատկանում է հատվածին. Հայտնի է, որ հատվածը երկու անգամ ավելի երկար է, քան հատվածը: Գտեք կետ, եթե .

ԼուծումՀետևում է այն պայմանից, որ կետը բաժանում է հատվածը ի նկատմամբ՝ հաշվելով վերևից, այսինքն՝ համամասնությունը վավեր է. Այս առումով հատված բաժանելու բանաձևերի համաձայն.

Այժմ մենք չգիտենք : կետի կոորդինատները, բայց դա առանձնահատուկ խնդիր չէ, քանի որ դրանք հեշտությամբ կարող են արտահայտվել վերը նշված բանաձևերից: Ընդհանրապես, չարժե որևէ բան արտահայտել, շատ ավելի հեշտ է փոխարինել կոնկրետ թվեր և ուշադիր զբաղվել հաշվարկներով.

Պատասխանել:

Ստուգելու համար կարող եք վերցնել հատվածի ծայրերը և, օգտագործելով բանաձևերը ուղղակի հերթականությամբ, համոզվել, որ հարաբերակցությունը իսկապես մի կետ է: Եվ, իհարկե, իհարկե, նկարչությունն ավելորդ չի լինի։ Եվ որպեսզի վերջապես համոզեմ ձեզ վանդակավոր նոթատետրի, պարզ մատիտի և քանոնի առավելությունների մեջ, ես առաջարկում եմ ինքնուրույն լուծման մի բարդ խնդիր.

Օրինակ 4

Կետ . Հատվածը մեկուկես անգամ կարճ է հատվածից: Գտի՛ր կետ, եթե հայտնի են կետերի կոորդինատները .

Լուծում դասի վերջում. Ի դեպ, դա միակը չէ, եթե դուք ընտրանքից տարբեր ճանապարհով գնաք, ապա սա սխալ չի լինի, գլխավորն այն է, որ պատասխանները համընկնեն։

Տարածական հատվածների համար ամեն ինչ նույնն է լինելու, կավելացվի ևս մեկ կոորդինատ։

Եթե ​​տարածության երկու կետերը հայտնի են, ապա հատվածը բաժանող կետի կոորդինատները արտահայտվում են բանաձևերով.
.

Օրինակ 5

Տրված են միավորներ։ Գտե՛ք հատվածին պատկանող կետի կոորդինատները, եթե հայտնի է, որ .

ԼուծումՀարաբերությունը բխում է պայմանից. . Այս օրինակը վերցված է իրական թեստից, և դրա հեղինակն իրեն թույլ է տվել մի փոքր կատակ (հանկարծ ինչ-որ մեկը սայթաքում է) - ավելի ռացիոնալ կլիներ համամասնությունը գրել այս վիճակում. .

Համաձայն հատվածի կեսի կոորդինատների բանաձևերի.

Պատասխանել:

Ստուգման նպատակով եռաչափ գծագրերը շատ ավելի դժվար են կատարել: Այնուամենայնիվ, դուք միշտ կարող եք կատարել սխեմատիկ գծագրություն, որպեսզի հասկանաք առնվազն պայմանը. որ հատվածները պետք է փոխկապակցվեն:

Ինչ վերաբերում է պատասխանի կոտորակներին, մի զարմացեք, դա սովորական է։ Բազմիցս ասել եմ, բայց կրկնում եմ՝ բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ ընդունված է օգտագործել սովորական կանոնավոր և ոչ պատշաճ կոտորակներ։ Պատասխանեք ձևով կանի, բայց ոչ պատշաճ կոտորակներով տարբերակը ավելի ստանդարտ է:

Անկախ լուծման համար տաքացման առաջադրանք.

Օրինակ 6

Տրվում են միավորներ։ Գտե՛ք կետի կոորդինատները, եթե հայտնի է, որ այն բաժանում է հատվածը ըստ .

Լուծում և պատասխան՝ դասի վերջում։ Եթե ​​դժվար է կողմնորոշվել համամասնություններով, կատարեք սխեմատիկ նկար:

Անկախ և հսկիչ աշխատանքներում դիտարկված օրինակները հայտնաբերվում են ինչպես ինքնուրույն, այնպես էլ ավելի մեծ առաջադրանքների անբաժանելի մաս: Այս առումով բնորոշ է եռանկյան ծանրության կենտրոնը գտնելու խնդիրը։

Ես այնքան էլ իմաստ չեմ տեսնում վերլուծելու մի տեսակ առաջադրանք, որտեղ հատվածի ծայրերից մեկն անհայտ է, քանի որ ամեն ինչ նման կլինի հարթ գործի, բացառությամբ, որ կան մի փոքր ավելի շատ հաշվարկներ: Ավելի լավ է հիշել դպրոցական տարիները.

Հատվածի միջին մասի կոորդինատների բանաձևեր

Նույնիսկ անպատրաստ ընթերցողները կարող են հիշել, թե ինչպես կտրել հատվածը կիսով չափ: Հատվածը երկու հավասար մասերի բաժանելու խնդիրն այս առումով հատված բաժանելու հատուկ դեպք է։ Երկու ձեռքով սղոցն աշխատում է ամենադեմոկրատական ​​ձևով, և գրասեղանի յուրաքանչյուր հարևան ստանում է նույն փայտիկը.

Այս հանդիսավոր ժամին թմբուկները զարկեցին՝ ողջունելով զգալի մասը։ Եվ ընդհանուր բանաձևեր հրաշքով վերածվել է ծանոթ և պարզ բանի.

Հարմար պահ է այն փաստը, որ հատվածի ծայրերի կոորդինատները կարող են ցավ չպատճառել վերադասավորվել.

Ընդհանուր բանաձեւերում նման շքեղ համարը, ինչպես հասկանում եք, չի աշխատում։ Այո, և այստեղ դրա հատուկ կարիքը չկա, ուրեմն՝ հաճելի մանրուք։

Տարածական գործի համար ակնհայտ անալոգիան վավեր է. Եթե ​​տրված են հատվածի ծայրերը, ապա դրա միջին կոորդինատներն արտահայտվում են բանաձևերով.

Օրինակ 7

Զուգահեռագիծը տրված է նրա գագաթների կոորդինատներով։ Գտե՛ք նրա անկյունագծերի հատման կետը:

ԼուծումՑանկացողները կարող են լրացնել նկարը։ Հատկապես գրաֆիտի եմ խորհուրդ տալիս նրանց, ովքեր լիովին մոռացել են դպրոցական երկրաչափության դասընթացը։

Ըստ հայտնի հատկության՝ զուգահեռագծի անկյունագծերը կիսով չափ բաժանվում են իրենց հատման կետով, ուստի խնդիրը կարող է լուծվել երկու եղանակով.

Մեթոդ առաջինԴիտարկենք հակառակ գագաթները . Օգտագործելով հատվածը կիսով չափ բաժանելու բանաձևերը, մենք գտնում ենք անկյունագծի միջնակետը.

Նախնական երկրաչափական տեղեկատվություն

Հատված հասկացությունը, ինչպես կետ, ուղիղ գիծ, ​​ճառագայթ և անկյուն հասկացությունը, վերաբերում է սկզբնական երկրաչափական տեղեկատվությանը: Երկրաչափության ուսումնասիրությունը սկսվում է այս հասկացություններից:

«Նախնական տեղեկատվության» տակ սովորաբար հասկացվում է որպես տարրական և պարզ բան: Հասկանալով, գուցե դա այդպես է: Այնուամենայնիվ, նման պարզ հասկացություններ հաճախ են հանդիպում և անհրաժեշտ են դառնում ոչ միայն մեր առօրյայում, այլև արտադրության, շինարարության և մեր կյանքի այլ ոլորտներում։

Սկսենք սահմանումներից:

Սահմանում 1

Հատվածը ուղիղ գծի մի մասն է, որը սահմանափակված է երկու կետով (ծայրերով):

Եթե ​​հատվածի ծայրերը $A$ և $B$ կետերն են, ապա ձևավորված հատվածը գրվում է $AB$ կամ $BA$: Նման հատվածին են պատկանում $A$ և $B$ կետերը, ինչպես նաև այդ կետերի միջև ընկած գծի բոլոր կետերը։

Սահմանում 2

Հատվածի միջնակետը հատվածի այն կետն է, որը այն բաժանում է երկու հավասար հատվածների:

Եթե ​​դա $C$ կետ է, ապա $AC=CB$:

Հատվածը չափվում է որոշակի հատվածի հետ համեմատությամբ՝ որպես չափման միավոր: Առավել հաճախ օգտագործվում է սանտիմետրը: Եթե ​​սանտիմետրը տեղավորվում է ուղիղ չորս անգամ տվյալ հատվածում, ապա դա նշանակում է, որ այս հատվածի երկարությունը հավասար է $4$ սմ։

Ներկայացնենք մի պարզ դիտարկում. Եթե ​​կետը բաժանում է հատվածը երկու հատվածի, ապա ամբողջ հատվածի երկարությունը հավասար է այդ հատվածների երկարությունների գումարին։

Հատվածի միջնակետի կոորդինատը գտնելու բանաձևը

Հատվածի միջնակետի կոորդինատը գտնելու բանաձևը վերաբերում է հարթության վրա վերլուծական երկրաչափության ընթացքին:

Սահմանենք կոորդինատները.

Սահմանում 3

Կոորդինատները սահմանված (կամ պատվիրված) թվեր են, որոնք ցույց են տալիս կետի դիրքը հարթության, մակերեսի կամ տարածության վրա:

Մեր դեպքում կոորդինատները նշվում են կոորդինատային առանցքներով սահմանված հարթության վրա։

Նկար 3. Կոորդինատային հարթություն: Հեղինակ24 - ուսանողական աշխատանքների առցանց փոխանակում

Եկեք նկարագրենք նկարը. Հարթության վրա ընտրվում է մի կետ, որը կոչվում է կոորդինատների ծագում: Այն նշվում է $O$ տառով։ Կոորդինատների սկզբնակետով գծված են երկու ուղիղ գծեր (կոորդինատային առանցքներ), որոնք հատվում են ուղիղ անկյան տակ, որոնցից մեկը խիստ հորիզոնական է, իսկ մյուսը՝ ուղղահայաց։ Այս իրավիճակը նորմալ է համարվում։ Հորիզոնական ուղիղը կոչվում է աբսցիսայի առանցք և նշվում է $OX$, ուղղահայացը կոչվում է օրդինատների առանցք $OY$։

Այսպիսով, առանցքները սահմանում են $XOY$ հարթությունը։

Նման համակարգում կետերի կոորդինատները որոշվում են երկու թվերով.

Կան տարբեր բանաձեւեր (հավասարումներ), որոնք որոշում են որոշակի կոորդինատներ։ Սովորաբար, անալիտիկ երկրաչափության ընթացքում ուսումնասիրում են ուղիղների, անկյունների, հատվածի երկարությունների և այլնի տարբեր բանաձևեր։

Անցնենք ուղիղ հատվածի միջին մասի կոորդինատների բանաձեւին։

Սահմանում 4

Եթե ​​$E(x,y)$ կետի կոորդինատները $M_1M_2$ հատվածի միջնակետն են, ապա.

Նկար 4. Հատվածի միջին մասի կոորդինատը գտնելու բանաձևը. Հեղինակ24 - ուսանողական աշխատանքների առցանց փոխանակում

Գործնական մաս

Դպրոցական երկրաչափության դասընթացի օրինակները բավականին պարզ են. Դիտարկենք հիմնականներից մի քանիսը:

Ավելի լավ հասկանալու համար սկսենք տարրական պատկերավոր օրինակով։

Օրինակ 1

Մենք ունենք նկար.

Նկարում $AC, CD, DE, EB$ հատվածները հավասար են:

1. Ո՞ր հատվածների միջնակետն է $D$ կետը:
2. Ո՞ր կետն է $DB$ հատվածի միջին կետը:

1. $D$ կետը $AB$ և $CE$ հատվածների միջնակետն է.
2. կետ $E$.

Դիտարկենք ևս մեկ պարզ օրինակ, որտեղ մենք պետք է հաշվարկենք երկարությունը:

Օրինակ 2

$B$ կետը $AC$ հատվածի միջնակետն է: $AB = 9$ սմ Որքա՞ն է $AC$-ի երկարությունը:

Քանի որ m $B$-ը կիսում է $AC$-ը, ապա $AB = BC= 9$ սմ, ուրեմն $AC = 9+9=18$ սմ:

Պատասխան՝ 18 սմ։

Նմանատիպ այլ օրինակներ սովորաբար նույնական են և կենտրոնացած են երկարության արժեքները և դրանց ներկայացումը հանրահաշվական գործողությունների հետ համեմատելու ունակության վրա: Հաճախ առաջադրանքներում լինում են դեպքեր, երբ սանտիմետրը զույգ անգամ չի տեղավորվում հատվածի մեջ: Այնուհետեւ չափման միավորը բաժանվում է հավասար մասերի։ Մեր դեպքում սանտիմետրը բաժանված է 10 միլիմետրի: Մնացածը առանձին չափեք՝ համեմատելով միլիմետրի հետ։ Բերենք նման դեպք ցույց տվող օրինակ։

Ոչ մի աշխատանք չի առաջացնում: Դրանք հաշվարկելու համար կա մի պարզ արտահայտություն, որը հեշտ է հիշել. Օրինակ, եթե հատվածի ծայրերի կոորդինատները համապատասխանաբար (x1; y1) և (x2; y2) են, ապա դրա միջին կոորդինատները հաշվարկվում են որպես այդ կոորդինատների միջին թվաբանական, այսինքն.

Սա է ամբողջ դժվարությունը:
Դիտարկենք հատվածներից մեկի կենտրոնի կոորդինատների հաշվարկը կոնկրետ օրինակի վրա, ինչպես դուք խնդրեցիք:

Առաջադրանք.
Գտե՛ք M որոշակի կետի կոորդինատները, եթե այն KR հատվածի միջնակետն է (կենտրոնը), որի ծայրերն ունեն հետևյալ կոորդինատները՝ համապատասխանաբար (-3; 7) և (13; 21):

Լուծում.
Մենք օգտագործում ենք վերը նշված բանաձևը.

Պատասխանել. Մ (5; 14).

Օգտագործելով այս բանաձևը, կարող եք նաև գտնել ոչ միայն հատվածի կեսի կոորդինատները, այլև դրա ծայրերը: Դիտարկենք մի օրինակ։

Առաջադրանք.
Տրված են երկու (7; 19) և (8; 27) կետերի կոորդինատները: Գտե՛ք հատվածի ծայրերից մեկի կոորդինատները, եթե նախորդ երկու կետերը նրա վերջն ու միջինն են։

Լուծում.
Հատվածի ծայրերը նշանակենք K և P-ով, իսկ միջինը՝ S: Վերաշարադրենք բանաձևը՝ հաշվի առնելով նոր անունները.

Փոխարինեք հայտնի կոորդինատները և հաշվարկեք առանձին կոորդինատները.

Ստորև բերված հոդվածում կքննարկվեն հատվածի միջնամասի կոորդինատները գտնելու հարցերը նրա ծայրահեղ կետերի կոորդինատների առկայության դեպքում՝ որպես նախնական տվյալ։ Բայց մինչ հարցի ուսումնասիրությանը անցնելը ներկայացնում ենք մի շարք սահմանումներ.

Սահմանում 1

Գծի հատված- երկու կամայական կետեր միացնող ուղիղ գիծ, ​​որը կոչվում է հատվածի ծայրեր: Որպես օրինակ, թող դրանք լինեն A և B կետերը և, համապատասխանաբար, A B հատվածը:

Եթե ​​A B հատվածը շարունակվի երկու ուղղություններով A և B կետերից, ապա կստանանք A B ուղիղ գիծ: Այնուհետև A B հատվածը ստացված ուղիղ գծի մի մասն է, որը սահմանափակված է A և B կետերով: A B հատվածը միավորում է A և B կետերը, որոնք նրա ծայրերն են, ինչպես նաև դրանց միջև ընկած կետերի բազմությունը: Եթե, օրինակ, վերցնենք ցանկացած կամայական K կետ, որը գտնվում է A և B կետերի միջև, ապա կարող ենք ասել, որ K կետը գտնվում է A B հատվածի վրա:

Սահմանում 2

Կտրեք երկարությունըտրված մասշտաբով հատվածի ծայրերի միջև հեռավորությունն է (միավոր երկարության հատված): A B հատվածի երկարությունը նշում ենք հետևյալ կերպ՝ A B .

Սահմանում 3

միջնակետԳծային հատվածի մի կետ, որը հավասար է նրա ծայրերից: Եթե ​​A B հատվածի կեսը նշանակվի C կետով, ապա հավասարությունը ճիշտ կլինի՝ A C \u003d C B

Սկզբնական տվյալներ՝ կոորդինատային O x և դրա վրա անհամապատասխան կետեր՝ A և B: Այս կետերը համապատասխանում են իրական թվերին x Ա և x Բ. C կետը A B հատվածի միջնակետն է. անհրաժեշտ է որոշել կոորդինատը x C.

Քանի որ C կետը A B հատվածի միջնակետն է, ապա հավասարությունը ճիշտ կլինի՝ | A C | = | Գ Բ | . Կետերի միջև հեռավորությունը որոշվում է դրանց կոորդինատների տարբերության մոդուլով, այսինքն.

| A C | = | Գ Բ | ⇔ x C - x A = x B - x C

Այնուհետև հնարավոր է երկու հավասարություն՝ x C - x A = x B - x C և x C - x A = - (x B - x C)

Առաջին հավասարությունից մենք բխում ենք C կետի կոորդինատի բանաձևը. x C \u003d x A + x B 2 (հատվածի ծայրերի կոորդինատների գումարի կեսը):

Երկրորդ հավասարությունից ստանում ենք՝ x A = x B , ինչը անհնար է, քանի որ սկզբնական տվյալների մեջ՝ անհամապատասխան կետեր: Այսպիսով, A (x A) ծայրերով A B հատվածի միջնակետի կոորդինատները որոշելու բանաձևը. B (xB):

Ստացված բանաձեւը հիմք կհանդիսանա հարթության վրա կամ տարածության վրա հատվածի միջնակետի կոորդինատները որոշելու համար։

Սկզբնական տվյալներ՝ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y հարթության վրա, երկու կամայական չհամընկնող կետեր՝ տրված A x A, y A և B x B, y B կոորդինատներով: C կետը A B հատվածի միջնակետն է: C կետի համար անհրաժեշտ է որոշել x C և y C կոորդինատները:

Վերլուծության համար վերցնենք այն դեպքը, երբ A և B կետերը չեն համընկնում և չեն գտնվում նույն կոորդինատային գծի կամ առանցքներից մեկին ուղղահայաց գծի վրա։ A x, A y; B x, B y և C x, C y - A, B և C կետերի կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների վրա (ուղիղ գծեր O x և O y):

Ըստ կառուցման՝ A A x, B B x, C C x ուղիղները զուգահեռ են; գծերը նույնպես զուգահեռ են միմյանց: Սրա հետ մեկտեղ, ըստ Թալեսի թեորեմի, A C \u003d C B հավասարությունից հետևում են հավասարությունները՝ A x C x \u003d C x B x և A y C y \u003d C y B y, և նրանք, իր հերթին, նշեք, որ C x կետը A x B x հատվածի միջինն է, իսկ C y-ը A y B y հատվածի միջինն է: Եվ հետո, հիմնվելով ավելի վաղ ստացված բանաձևի վրա, մենք ստանում ենք.

x C = x A + x B 2 և y C = y A + y B 2

Նույն բանաձևերը կարող են օգտագործվել այն դեպքում, երբ A և B կետերը գտնվում են նույն կոորդինատային գծի կամ առանցքներից մեկին ուղղահայաց գծի վրա։ Մենք այս դեպքի մանրամասն վերլուծություն չենք անցկացնի, այն կդիտարկենք միայն գրաֆիկորեն.

Ամփոփելով վերը նշված բոլորը՝ A B հատվածի կեսի կոորդինատները հարթության վրա ծայրերի կոորդինատներով A (x A, y A) Եվ B(x B, y B) սահմանվում է որպես:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Սկզբնական տվյալներ՝ կոորդինատային համակարգ О x y z և երկու կամայական կետեր A (x A, y A, z A) և B (x B, y B, z B) կոորդինատներով: Անհրաժեշտ է որոշել C կետի կոորդինատները, որը A B հատվածի միջինն է:

A x, A y, A z; B x, B y, B z և C x, C y, C z - կոորդինատային համակարգի առանցքների վրա տրված բոլոր կետերի կանխատեսումները:

Համաձայն Թալեսի թեորեմի՝ հավասարությունները ճշմարիտ են՝ A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z.

Հետևաբար, C x, C y, C z կետերը համապատասխանաբար A x B x, A y B y, A z B z հատվածների միջնակետերն են: Հետո, Տիեզերքում հատվածի կեսի կոորդինատները որոշելու համար ճշմարիտ են հետևյալ բանաձևերը.

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Ստացված բանաձևերը կիրառելի են նաև այն դեպքերում, երբ A և B կետերը գտնվում են կոորդինատային գծերից մեկի վրա. առանցքներից մեկին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա; մեկ կոորդինատային հարթությունում կամ կոորդինատային հարթություններից մեկին ուղղահայաց հարթությունում:

Հատվածի միջին հատվածի կոորդինատների որոշում նրա ծայրերի շառավղային վեկտորների կոորդինատների միջոցով

Հատվածի կեսի կոորդինատները գտնելու բանաձևը կարող է ստացվել նաև ըստ վեկտորների հանրահաշվական մեկնաբանության։

Նախնական տվյալներ՝ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգ O x y, կետեր A (x A, y A) և B (x B, x B) կոորդինատներով: C կետը A B հատվածի միջնակետն է:

Վեկտորների վրա գործողությունների երկրաչափական սահմանման համաձայն՝ ճշմարիտ կլինի հետևյալ հավասարությունը՝ O C → = 1 2 · O A → + O B → . C կետն այս դեպքում O A → և O B → վեկտորների հիման վրա կառուցված զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է, այսինքն. անկյունագծերի կեսի կետը Կետի շառավիղի վեկտորի կոորդինատները հավասար են կետի կոորդինատներին, ապա ճիշտ են հավասարությունները՝ O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y Բ) . Կատարենք մի քանի գործողություններ վեկտորների վրա կոորդինատներով և ստացենք.

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

Հետևաբար, C կետն ունի կոորդինատներ.

x A + x B 2, y A + y B 2

Անալոգիայով սահմանվում է բանաձև՝ տարածության մեջ հատվածի միջնակետի կոորդինատները գտնելու համար.

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Հատվածի միջնամասի կոորդինատները գտնելու խնդիրների լուծման օրինակներ

Վերևում ստացված բանաձևերի օգտագործումը ներառող առաջադրանքների թվում կան և՛ այնպիսիք, որոնցում հարցն ուղղակիորեն պետք է հաշվարկի հատվածի կեսի կոորդինատները, և՛ նրանք, որոնք ներառում են տվյալ պայմանները այս հարցին բերելը. «միջին» տերմինը: հաճախ օգտագործվում է, նպատակը հատվածի ծայրերից մեկի կոորդինատները գտնելն է, ինչպես նաև համաչափության վերաբերյալ խնդիրներ, որոնց լուծումն ընդհանուր առմամբ նույնպես չպետք է դժվարություններ առաջացնի այս թեման ուսումնասիրելուց հետո։ Դիտարկենք բնորոշ օրինակներ.

Օրինակ 1

Նախնական տվյալներ.հարթության վրա՝ A (- 7, 3) և B (2, 4) կոորդինատներով կետեր: Անհրաժեշտ է գտնել A B հատվածի միջնակետի կոորդինատները։

Լուծում

A B հատվածի կեսը նշանակենք C կետով: Դրա կոորդինատները կորոշվեն որպես հատվածի ծայրերի կոորդինատների գումարի կեսը, այսինքն. A և B կետերը.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Պատասխանել A B հատվածի կեսի կոորդինատները - 5 2, 7 2:

Օրինակ 2

Նախնական տվյալներ.Հայտնի են A B C եռանկյան կոորդինատները՝ A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) ։ Անհրաժեշտ է գտնել A M միջնագծի երկարությունը:

Լուծում

1. Խնդրի պայմանով A M-ը միջինն է, ինչը նշանակում է, որ M-ը B C հատվածի միջնակետն է: Առաջին հերթին, մենք գտնում ենք B C հատվածի կեսի կոորդինատները, այսինքն. M միավորներ:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Քանի որ մենք այժմ գիտենք մեդիանայի երկու ծայրերի կոորդինատները (կետ A և M), մենք կարող ենք օգտագործել բանաձևը կետերի միջև հեռավորությունը որոշելու և A M միջնայի երկարությունը հաշվարկելու համար.

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Պատասխան. 58

Օրինակ 3

Նախնական տվյալներ.Եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տրված է զուգահեռականաչափ A B C D A 1 B 1 C 1 D 1: Տրված են C 1 (1, 1, 0) կետի կոորդինատները, սահմանվում է նաև M կետը, որը B D 1 անկյունագծի միջնակետն է և ունի M (4, 2, - 4) կոորդինատները։ Անհրաժեշտ է հաշվարկել Ա կետի կոորդինատները։

Լուծում

Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում, որը բոլոր անկյունագծերի միջնակետն է: Ելնելով այս պնդումից՝ կարող ենք նկատի ունենալ, որ խնդրի պայմաններով հայտնի M կետը А С 1 հատվածի միջինն է։ Տիեզերքում հատվածի կեսի կոորդինատները գտնելու բանաձևի հիման վրա մենք գտնում ենք A կետի կոորդինատները՝ x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Պատասխան. A կետի կոորդինատները (7, 3, - 8) .

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter