U ovom ćemo članku pokriti sljedeće:

• što su kolinearni vektori;
• koji su uvjeti za kolinearne vektore;
• koja su svojstva kolinearnih vektora;
• kolika je linearna ovisnost kolinearnih vektora.

Definicija 1

Kolinearni vektori su vektori koji su paralelni s istim pravcem ili leže na istom pravcu.

Primjer 1

Uvjeti za kolinearne vektore

Dva vektora su kolinearna ako je ispunjen bilo koji od sljedećih uvjeta:

• stanje 1 . Vektori a i b su kolinearni ako postoji broj λ takav da je a = λ b ;
• stanje 2 . Vektori a i b su kolinearni s jednakim omjerom koordinata:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• stanje 3 . Vektori a i b su kolinearni ako su vektorski produkt i nulti vektor jednaki:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Napomena 1

Uvjet 2 nije primjenjivo ako je jedna od koordinata vektora nula.

Napomena 2

Uvjet 3 primjenjiv samo na one vektore koji su zadani u prostoru.

Primjeri problema za proučavanje kolinearnosti vektora

Primjer 1

Ispitujemo kolinearnost vektora a \u003d (1; 3) i b \u003d (2; 1).

Kako odlučiti?

U ovom slučaju potrebno je koristiti 2. uvjet kolinearnosti. Za zadane vektore to izgleda ovako:

Jednakost je pogrešna. Iz ovoga možemo zaključiti da vektori a i b nisu kolinearni.

Odgovor : a | | b

Primjer 2

Koja vrijednost m vektora a = (1 ; 2) i b = (- 1 ; m) je potrebna da bi vektori bili kolinearni?

Kako odlučiti?

Korištenjem drugog kolinearnog uvjeta, vektori će biti kolinearni ako su im koordinate proporcionalne:

To pokazuje da je m = - 2 .

Odgovor: m = - 2 .

Kriteriji linearne ovisnosti i linearne neovisnosti sustava vektora

Teorema

Sustav vektora u vektorskom prostoru je linearno ovisan samo ako se jedan od vektora sustava može izraziti u terminima ostalih vektora sustava.

Dokaz

Neka je sustav e 1 , e 2 , . . . , e n je linearno ovisan. Zapišimo linearnu kombinaciju ovog sustava jednaku nultom vektoru:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

u kojoj barem jedan od koeficijenata kombinacije nije jednak nuli.

Neka je a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Obje strane jednakosti dijelimo s koeficijentom koji nije nula:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Označiti:

A k-1 a m, gdje je m ∈ 1, 2, . . . , k - 1 , k + 1 , n

U ovom slučaju:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

ili e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Slijedi da je jedan od vektora sustava izražen kroz sve ostale vektore sustava. Što je i trebalo dokazati (p.t.d.).

Adekvatnost

Neka je jedan od vektora linearno izražen kroz sve ostale vektore sustava:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Prenosimo vektor e k na desnu stranu ove jednakosti:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Kako je koeficijent vektora e k jednak - 1 ≠ 0 , dobivamo netrivijalnu reprezentaciju nule sustavom vektora e 1 , e 2 , . . . , e n , a to pak znači da je zadani sustav vektora linearno ovisan. Što je i trebalo dokazati (p.t.d.).

Posljedica:

• Sustav vektora je linearno neovisan kada se niti jedan od njegovih vektora ne može izraziti preko svih ostalih vektora sustava.
• Vektorski sustav koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno ovisan.

Svojstva linearno zavisnih vektora

1. Za 2- i 3-dimenzionalne vektore ispunjen je uvjet: dva linearno zavisna vektora su kolinearna. Dva kolinearna vektora su linearno ovisna.
2. Za 3-dimenzionalne vektore ispunjen je uvjet: tri linearno zavisna vektora su koplanarna. (3 koplanarna vektora - linearno ovisna).
3. Za n-dimenzionalne vektore ispunjen je uvjet: n + 1 vektora uvijek je linearno ovisno.

Primjeri rješavanja zadataka za linearnu ovisnost ili linearnu neovisnost vektora

Primjer 3

Provjerimo linearnu neovisnost vektora a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0.

Riješenje. Vektori su linearno ovisni jer je dimenzija vektora manja od broja vektora.

Primjer 4

Provjerimo vektore a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 na linearnu neovisnost.

Riješenje. Nalazimo vrijednosti koeficijenata pri kojima će linearna kombinacija biti jednaka nultom vektoru:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektorsku jednadžbu zapisujemo u obliku linearne:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ovaj sustav rješavamo Gaussovom metodom:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Od 2. retka oduzimamo 1., od 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Oduzmite 2. od 1. retka, dodajte 2. do 3. retka:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Iz rješenja proizlazi da sustav ima više rješenja. To znači da postoji različita od nule kombinacija vrijednosti takvih brojeva x 1 , x 2 , x 3 za koje je linearna kombinacija a , b , c jednaka nultom vektoru. Stoga su vektori a , b , c linearno ovisna. ​​​​​​​

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Vektori, njihova svojstva i djelovanje s njima

Vektori, akcije s vektorima, linearni vektorski prostor.

Vektori su uređeni skup konačnog broja realnih brojeva.

Radnje: 1. Množenje vektora brojem: lambda * vektor x \u003d (lambda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3,4, 0,7) * 3 \u003d (9, 12,0,21 )

2. Zbrajanje vektora (pripadaju istom vektorskom prostoru) vektor x + vektor y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-dimenzionalni (linearni prostor) vektor x + vektor 0 = vektor x

Teorema. Da bi sustav od n vektora u n-dimenzionalnom linearnom prostoru bio linearno ovisan, potrebno je i dovoljno da jedan od vektora bude linearna kombinacija ostalih.

Teorema. Bilo koji skup od n+ 1. vektora n-dimenzionalnog linearnog prostora yavl. linearno ovisna.

Zbrajanje vektora, množenje vektora brojevima. Oduzimanje vektora.

Zbroj dva vektora je vektor usmjeren od početka vektora prema kraju vektora, pod uvjetom da se početak poklapa s krajem vektora. Ako su vektori zadani svojim proširenjima u terminima baznih vektora, tada zbrajanjem vektora zbrajaju se njihove odgovarajuće koordinate.

Razmotrimo to na primjeru kartezijanskog koordinatnog sustava. Neka

Pokažimo to

Slika 3 to pokazuje

Zbroj bilo kojeg konačnog broja vektora može se pronaći pomoću pravila poligona (slika 4): da bi se konstruirao zbroj konačnog broja vektora, dovoljno je spojiti početak svakog sljedećeg vektora s krajem prethodnog. i konstruirajte vektor koji povezuje početak prvog vektora s krajem posljednjeg.

Svojstva operacije zbrajanja vektora:

U ovim izrazima m, n su brojevi.

Razlika vektora naziva se vektor.Drugi član je vektor suprotan vektoru po smjeru, ali mu jednak po duljini.

Dakle, operacija oduzimanja vektora zamijenjena je operacijom zbrajanja

Vektor čiji je početak u ishodištu koordinata, a kraj u točki A (x1, y1, z1) naziva se radijus vektor točke A i označava ili jednostavno. Budući da se njegove koordinate poklapaju s koordinatama točke A, njegovo vektorsko širenje ima oblik

Vektor koji počinje u točki A(x1, y1, z1) i završava u točki B(x2, y2, z2) može se napisati kao

gdje je r 2 radijus vektor točke B; r 1 - radijus vektor točke A.

Prema tome, proširenje vektora u terminima orta ima oblik

Njegova duljina jednaka je udaljenosti između točaka A i B

MNOŽENJE

Dakle, u slučaju ravnog problema, umnožak vektora s a = (ax; ay) i broja b nalazi se pomoću formule

a b = (ax b; ay b)

Primjer 1. Nađite umnožak vektora a = (1; 2) s 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Dakle, u slučaju prostornog problema, umnožak vektora a = (ax; ay; az) i broja b nalazi se formulom

a b = (ax b; ay b; az b)

Primjer 1. Nađite umnožak vektora a = (1; 2; -5) s 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Točkasti umnožak vektora i gdje je kut između vektora i ; ako bilo, onda

Iz definicije skalarnog produkta proizlazi da

gdje je npr. vrijednost projekcije vektora na pravac vektora .

Skalarni kvadrat vektora:

Svojstva točkastog proizvoda:

Točkasti umnožak u koordinatama

Ako Da

Kut između vektora

Kut između vektora – kut između pravaca tih vektora (najmanji kut).

Vektorski produkt (Vektorski proizvod dva vektora.)- je pseudovektor okomit na ravninu konstruiran od dva faktora, koji je rezultat binarne operacije "množenje vektora" na vektore u trodimenzionalnom euklidskom prostoru. Produkt nije ni komutativan ni asocijativan (on je antikomutativan) i razlikuje se od točkastog umnoška vektora. U mnogim inženjerskim i fizičkim problemima potrebno je moći izgraditi vektor okomit na dva postojeća - vektorski produkt pruža tu priliku. Križni produkt koristan je za "mjerenje" okomitosti vektora - duljina križnog produkta dvaju vektora jednaka je produktu njihovih duljina ako su okomiti, a smanjuje se na nulu ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

Vektorski proizvod definiran je samo u trodimenzionalnim i sedmodimenzionalnim prostorima. Rezultat vektorskog umnoška, ​​poput skalarnog umnoška, ​​ovisi o metrici Euklidskog prostora.

Za razliku od formule za izračunavanje skalarnog umnoška iz koordinata vektora u trodimenzionalnom pravokutnom koordinatnom sustavu, formula za vektorski umnožak ovisi o orijentaciji pravokutnog koordinatnog sustava, odnosno, drugim riječima, o njegovoj "kiralnosti"

Kolinearnost vektora.

Dva vektora različita od nule (nisu jednaka 0) nazivaju se kolinearnima ako leže na paralelnim pravcima ili na istom pravcu. Sinonim je prihvatljiv, ali se ne preporučuje - "paralelni" vektori. Kolinearni vektori mogu biti usmjereni u istom smjeru ("suusmjereni") ili suprotno usmjereni (u potonjem slučaju ponekad se nazivaju "antikolinearni" ili "antiparalelni").

Mješoviti umnožak vektora ( a,b,c)- skalarni umnožak vektora a i vektorskog umnoška vektora b i c:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

ponekad se naziva trostruki skalarni umnožak vektora, očito zbog činjenice da je rezultat skalar (točnije, pseudoskalar).

Geometrijsko značenje: Modul miješanog umnoška brojčano je jednak volumenu paralelopipeda kojeg čine vektori (a,b,c) .

Svojstva

Mješoviti proizvod je koso-simetričan u odnosu na sve svoje argumente: to jest, e. permutacija bilo koja dva faktora mijenja predznak umnoška. Slijedi da je mješoviti produkt u desnom Kartezijevom koordinatnom sustavu (u ortonormiranoj bazi) jednak determinanti matrice sastavljene od vektora i:

Mješoviti umnožak u lijevom kartezijevom koordinatnom sustavu (u ortonormiranoj bazi) jednak je determinanti matrice sastavljene od vektora i uzete s predznakom minus:

Posebno,

Ako su bilo koja dva vektora paralelna, tada s bilo kojim trećim vektorom čine mješoviti umnožak jednak nuli.

Ako su tri vektora linearno ovisna (tj. koplanarna, leže u istoj ravnini), tada je njihov mješoviti produkt nula.

Geometrijsko značenje - Mješoviti umnožak u apsolutnoj vrijednosti jednak je obujmu paralelopipeda (vidi sliku) kojeg tvore vektori i; predznak ovisi o tome je li ta trojka vektora desna ili lijeva.

Komplanarnost vektora.

Tri vektora (ili više) nazivaju se komplanarnima ako oni, svedeni na zajedničko ishodište, leže u istoj ravnini

Svojstva komplanarnosti

Ako je barem jedan od tri vektora nula, tada se tri vektora također smatraju koplanarnima.

Trojka vektora koja sadrži par kolinearnih vektora je komplanarna.

Mješoviti produkt koplanarnih vektora. Ovo je kriterij koplanarnosti triju vektora.

Koplanarni vektori su linearno ovisni. Ovo je također kriterij za komplanarnost.

U 3-dimenzionalnom prostoru, 3 nekoplanarna vektora čine bazu

Linearno ovisni i linearno neovisni vektori.

Linearno ovisni i nezavisni sustavi vektora.Definicija. Sustav vektora naziva se linearno ovisna, ako postoji barem jedna netrivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru. Inače, t.j. ako je samo trivijalna linearna kombinacija zadanih vektora jednaka nultom vektoru, vektori se nazivaju linearno neovisni.

Teorem (linearni kriterij ovisnosti). Da bi sustav vektora u linearnom prostoru bio linearno ovisan, potrebno je i dovoljno da barem jedan od tih vektora bude linearna kombinacija ostalih.

1) Ako među vektorima postoji barem jedan nulti vektor, tada je cijeli sustav vektora linearno ovisan.

Doista, ako je, na primjer, , tada, uz pretpostavku , imamo netrivijalnu linearnu kombinaciju .▲

2) Ako neki od vektora čine linearno ovisan sustav, tada je cijeli sustav linearno ovisan.

Doista, neka su vektori , , linearno ovisni. Dakle, postoji netrivijalna linearna kombinacija jednaka nultom vektoru. Ali onda, pod pretpostavkom , također dobivamo netrivijalnu linearnu kombinaciju jednaku nultom vektoru.

2. Osnova i dimenzija. Definicija. Sustav linearno neovisnih vektora zove se vektorski prostor osnova ovaj prostor, ako se bilo koji vektor iz može prikazati kao linearna kombinacija vektora ovog sustava, tj. za svaki vektor postoje realni brojevi tako da vrijedi jednakost.Ta se jednakost naziva vektorska dekompozicija prema osnovi i brojevima nazvao koordinate vektora u odnosu na bazu(ili u osnovi) .

Teorem (o jedinstvenosti proširenja u smislu baze). Svaki prostorni vektor može se proširiti u smislu baze na jedinstven način, tj. koordinate svakog vektora u bazi definiraju se nedvosmisleno.

Predstavljeno od nas linearne operacije na vektorima omogućuju stvaranje različitih izraza za vektorske veličine i transformirajte ih koristeći svojstva postavljena za ove operacije.

Na temelju zadanog skupa vektora a 1 , ... i n možete sastaviti izraz oblika

gdje su a 1 , ... i n proizvoljni realni brojevi. Ovaj izraz se zove linearna kombinacija vektora a 1 , ..., a n . Brojevi α i , i = 1, n , su koeficijenti linearne kombinacije. Skup vektora se također naziva vektorski sustav.

U vezi s uvedenim konceptom linearne kombinacije vektora, javlja se problem opisivanja skupa vektora koji se može napisati kao linearna kombinacija zadanog sustava vektora a 1 , ..., a n . Osim toga, prirodna su pitanja o uvjetima pod kojima postoji prikaz vektora u obliku linearne kombinacije, te o jedinstvenosti takvog prikaza.

Definicija 2.1. Vektori a 1 , ..., i n nazivaju se linearno ovisna, ako postoji takav skup koeficijenata α 1 , ... , α n , da

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

a barem jedan od tih koeficijenata je različit od nule. Ako navedeni skup koeficijenata ne postoji, pozivaju se vektori linearno neovisni.

Ako je α 1 = ... = α n = 0, tada je očito α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Imajući ovo na umu, možemo reći sljedeće: vektori a 1 , ..., i n su linearno neovisni ako iz jednakosti (2.2) slijedi da su svi koeficijenti α 1 , ... , α n jednaki nuli.

Sljedeći teorem objašnjava zašto se novi koncept naziva izrazom "ovisnost" (ili "neovisnost") i daje jednostavan kriterij za linearnu ovisnost.

Teorem 2.1. Da bi vektori a 1 , ..., i n , n > 1, bili linearno ovisni, potrebno je i dovoljno da je jedan od njih linearna kombinacija ostalih.

◄ Nužnost. Pretpostavimo da su vektori a 1 , ... i n linearno ovisni. Prema definiciji 2.1 linearne ovisnosti, u jednakosti (2.2) postoji najmanje jedan koeficijent različit od nule s lijeve strane, na primjer α 1 . Ostavljajući prvi član na lijevoj strani jednakosti, ostale pomičemo na desnu stranu, mijenjajući im predznake kao i obično. Podijelimo dobivenu jednakost s α 1 , dobivamo

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

oni. prikaz vektora a 1 kao linearne kombinacije preostalih vektora a 2 , ... i n .

Adekvatnost. Neka se, na primjer, prvi vektor a 1 može prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Prenoseći sve članove s desne strane na lijevu, dobivamo 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, tj. linearna kombinacija vektora a 1 , ... i n s koeficijentima α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , jednakim nulti vektor. U ovoj linearnoj kombinaciji nisu svi koeficijenti jednaki nuli. Prema definiciji 2.1 vektori a 1 , ... i n su linearno ovisni.

Definicija i kriterij linearne ovisnosti formulirani su na takav način da impliciraju prisutnost dva ili više vektora. No, može se govoriti io linearnoj ovisnosti jednog vektora. Da bismo ostvarili ovu mogućnost, umjesto "vektori su linearno ovisni" trebamo reći "sustav vektora je linearno ovisan". Lako je vidjeti da izraz "sustav jednog vektora je linearno ovisan" znači da je taj pojedinačni vektor jednak nuli (u linearnoj kombinaciji postoji samo jedan koeficijent i on ne smije biti jednak nuli).

Koncept linearne ovisnosti ima jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Ovo tumačenje pojašnjavaju sljedeće tri izjave.

Teorem 2.2. Dva vektora su linearno ovisna ako i samo ako kolinearni.

◄ Ako su vektori a i b linearno ovisni, onda se jedan od njih, na primjer a, izražava kroz drugi, tj. a = λb za neki realni broj λ. Prema definiciji 1.7 djela vektori brojem, vektori a i b su kolinearni.

Sada neka su vektori a i b kolinearni. Ako su oba nula, onda je očito da su linearno ovisna, budući da je svaka njihova linearna kombinacija jednaka nultom vektoru. Neka jedan od tih vektora nije jednak 0, na primjer vektor b. Označimo s λ omjer duljina vektora: λ = |a|/|b|. Kolinearni vektori mogu biti jednosmjeran ili suprotnih smjerova. U potonjem slučaju mijenjamo predznak λ. Zatim, provjeravajući definiciju 1.7, vidimo da je a = λb. Prema teoremu 2.1 vektori a i b su linearno ovisni.

Napomena 2.1. U slučaju dva vektora, uzimajući u obzir kriterij linearne ovisnosti, dokazani teorem može se preformulirati na sljedeći način: dva vektora su kolinearna ako i samo ako je jedan od njih predstavljen kao umnožak drugoga brojem. Ovo je prikladan kriterij kolinearnosti dvaju vektora.

Teorem 2.3. Tri vektora su linearno ovisna ako i samo ako komplanarni.

◄ Ako su tri vektora a, b, c linearno ovisna, tada je, prema teoremu 2.1, jedan od njih, na primjer a, linearna kombinacija ostalih: a = βb + γc. Spojimo ishodišta vektora b i c u točki A. Tada će vektori βb, γc imati zajednički ishodište u točki A i pravilo paralelograma njihov zbroj, oni. vektor a, bit će vektor s početkom A i kraj, koji je vrh paralelograma izgrađenog na vektorima sumanda. Dakle, svi vektori leže u istoj ravnini, odnosno komplanarni su.

Neka su vektori a, b, c komplanarni. Ako je jedan od ovih vektora nula, onda je očito da će to biti linearna kombinacija ostalih. Dovoljno je uzeti sve koeficijente linearne kombinacije jednake nuli. Stoga možemo pretpostaviti da sva tri vektora nisu nula. Kompatibilan početak ti vektori u zajedničkoj točki O. Neka su njihovi krajevi redom točke A, B, C (sl. 2.1). Nacrtajte pravce kroz točku C paralelne s pravcima koji prolaze kroz parove točaka O, A i O, B. Označivši sjecišne točke s A" i B", dobivamo paralelogram OA"CB", dakle, OC" = OA" + OB " . Vektor OA" i vektor različit od nule a= OA su kolinearni, pa se prvi od njih može dobiti množenjem drugog realnim brojem α:OA" = αOA . Slično, OB" = βOB , β ∈ R. Kao rezultat toga dobivamo da je OC" = α OA + βOB , tj. vektor c je linearna kombinacija vektora a i b. Prema teoremu 2.1 vektori a, b, c su linearno ovisni.

Teorem 2.4. Bilo koja četiri vektora su linearno ovisna.

◄ Dokaz slijedi istu shemu kao u teoremu 2.3. Promotrimo proizvoljna četiri vektora a, b, c i d. Ako je jedan od četiri vektora nula, ili su među njima dva kolinearna vektora, ili su tri od četiri vektora koplanarna, tada su ta četiri vektora linearno ovisna. Na primjer, ako su vektori a i b kolinearni, tada možemo sastaviti njihovu linearnu kombinaciju αa + βb = 0 s koeficijentima različitim od nule, a zatim toj kombinaciji dodati preostala dva vektora, uzimajući nule kao koeficijente. Dobivamo linearnu kombinaciju četiri vektora jednaka 0, u kojoj postoje koeficijenti različiti od nule.

Dakle, možemo pretpostaviti da među odabrana četiri vektora nema nultih, niti dva kolinearna niti tri koplanarna. Kao njihov zajednički početak izaberemo točku O. Tada će krajevi vektora a, b, c, d biti neke točke A, B, C, D (sl. 2.2). Kroz točku D povučemo tri ravnine paralelne s ravninama OVS, OCA, OAB i neka su A", B", S" presječne točke tih ravnina s pravcima OA, OB, OS, redom. Dobivamo paralelopiped. OA"C"B"C" B"DA", a vektori a, b, c leže na njegovim bridovima koji izlaze iz vrha O. Kako je četverokut OC"DC" paralelogram, tada je OD = OC" + OC " . Zauzvrat, segment OS" je dijagonalni paralelogram OA"C"B", pa je OC" = OA" + OB" , i OD = OA" + OB" + OC" .

Ostaje primijetiti da su parovi vektora OA ≠ 0 i OA" , OB ≠ 0 i OB" , OC ≠ 0 i OC" kolinearni, pa stoga možemo odabrati koeficijente α, β, γ tako da OA" = αOA , OB" = βOB i OC" = γOC . Konačno, dobivamo OD = αOA + βOB + γOC . Posljedično, vektor OD je izražen preko preostala tri vektora, a sva četiri vektora, prema teoremu 2.1, linearno su ovisna.

Definicija 1. Sustav vektora naziva se linearno zavisnim ako se jedan od vektora sustava može prikazati kao linearna kombinacija ostali vektori sustava, a linearno neovisni - inače.

Definicija 1´. Sustav vektora naziva se linearno zavisnim ako postoje brojevi S 1 , S 2 , …, S k , nisu svi jednaki nuli, tako da je linearna kombinacija vektora sa zadanim koeficijentima jednaka nultom vektoru: = , inače se sustav naziva linearno neovisnim.

Pokažimo da su ove definicije ekvivalentne.

Neka je zadovoljena definicija 1, tj. jedan od vektora sustava jednak je linearnoj kombinaciji ostalih:

Linearna kombinacija sustava vektora jednaka je nultom vektoru, a nisu svi koeficijenti te kombinacije jednaki nuli, tj. vrijedi definicija 1´.

Neka je Definicija 1' zadovoljena. Linearna kombinacija sustava vektora je , a nisu svi koeficijenti kombinacije jednaki nuli, npr. koeficijenti vektora .

Jedan od vektora sustava prikazali smo kao linearnu kombinaciju ostalih, tj. definicija 1 je ispunjena.

Definicija 2. Jedinični vektor ili ort se naziva n-dimenzionalni vektor , koji ja th koordinata je jednaka jedan, a ostale su nula.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Teorem 1. Razni jedinični vektori n-dimenzionalni prostor su linearno neovisni.

Dokaz. Neka je linearna kombinacija ovih vektora s proizvoljnim koeficijentima jednaka nultom vektoru.

Iz ove jednakosti slijedi da su svi koeficijenti jednaki nuli. Imamo kontradikciju.

Svaki vektor n-dimenzionalni prostor ā (A 1 , A 2 , ..., A n) može se prikazati kao linearna kombinacija jediničnih vektora s koeficijentima jednakim koordinatama vektora

Teorem 2. Ako sustav vektora sadrži nulti vektor, tada je on linearno ovisan.

Dokaz. Neka je zadan sustav vektora i jedan od vektora je nula, na primjer = . Tada je s vektorima ovog sustava moguće sastaviti linearnu kombinaciju jednaku nultom vektoru i neće svi koeficijenti biti nula:

Dakle, sustav je linearno ovisan.

Teorem 3. Ako je neki podsustav sustava vektora linearno ovisan, onda je cijeli sustav linearno ovisan.

Dokaz. Zadan je sustav vektora. Pretpostavimo da je sustav linearno ovisan, tj. postoje brojevi S 1 , S 2 , …, S r , nisu svi jednaki nuli, tako da je = . Zatim

Pokazalo se da je linearna kombinacija vektora cijelog sustava jednaka, a nisu svi koeficijenti te kombinacije jednaki nuli. Dakle, sustav vektora je linearno ovisan.

Posljedica. Ako je sustav vektora linearno neovisan, onda je svaki njegov podsustav također linearno neovisan.

Dokaz.

Pretpostavimo suprotno, tj. neki podsustav je linearno ovisan. Iz teorema slijedi da je cijeli sustav linearno ovisan. Došli smo do kontradikcije.

Teorem 4 (Steinitzova teorema). Ako je svaki od vektora linearna kombinacija vektora i m>n, tada je sustav vektora linearno ovisan.

Posljedica. U bilo kojem sustavu n -dimenzionalnih vektora ne može biti više od n linearno neovisnih.

Dokaz. Svaki n-dimenzionalni vektor se izražava kao linearna kombinacija n jediničnih vektora. Stoga, ako sustav sadrži m vektori i m>n, onda je, prema teoremu, ovaj sustav linearno ovisan.