Често звучи като част от равнина, която е ограничена от кръг. Обиколката на кръг е плоска затворена крива. Всички точки, разположени на кривата, са на еднакво разстояние от центъра на окръжността. В кръг дължината и периметърът му са еднакви. Съотношението на дължината на всеки кръг и неговия диаметър е постоянно и се означава с числото π = 3,1415.

Определяне на периметъра на окръжност

Периметърът на окръжност с радиус r е равен на два пъти произведението на радиуса r и числото π(~3,1415)

Формула за периметър на окръжност

Периметър на окръжност с радиус \(r\):

\[ \LARGE(P) = 2 \cdot \pi \cdot r \]

\[ \LARGE(P) = \pi \cdot d \]

\(P\) – периметър (обиколка).

\(r\) – радиус.

\(d\) – диаметър.

Ще наричаме окръжност геометрична фигура, която се състои от всички такива точки, които са на еднакво разстояние от всяка дадена точка.

Център на кръгаще наречем точката, която е посочена в Дефиниция 1.

Радиус на кръгаще наречем разстоянието от центъра на тази окръжност до всяка от нейните точки.

В декартовата координатна система \(xOy\) можем също да въведем уравнението на всяка окръжност. Нека означим центъра на окръжността с точката \(X\) , която ще има координати \((x_0,y_0)\) . Нека радиусът на тази окръжност е равен на \(τ\) . Нека вземем произволна точка \(Y\), чиито координати означаваме с \((x,y)\) (фиг. 2).

Използвайки формулата за разстоянието между две точки в нашата координатна система, получаваме:

\(|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \)

От друга страна, \(|XY| \) е разстоянието от всяка точка на окръжността до центъра, който сме избрали. Тоест, по дефиниция 3, получаваме, че \(|XY|=τ\) следователно

\(\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ \)

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)

Така получаваме, че уравнение (1) е уравнението на окръжност в декартовата координатна система.

Обиколка (периметър на кръг)

Ще изведем дължината на произволна окръжност \(C\), използвайки нейния радиус, равен на \(τ\).

Ще разгледаме две произволни окръжности. Нека означим техните дължини с \(C\) и \(C"\) , чиито радиуси са равни на \(τ\) и \(τ"\) . В тези окръжности ще впишем правилни \(n\)-ъгълници, чиито периметри са равни на \(ρ\) и \(ρ"\), дължините на страните са равни на \(α\) и \ (α"\), съответно. Както знаем, страната на правилен \(n\) квадрат, вписан в окръжност, е равна на

\(α=2τsin\frac(180^0)(n) \)

Тогава ще получим това

\(ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n) \)

\(ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n) \)

\(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ" ) \)

Получаваме тази връзка \(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ") \)ще бъде вярно независимо от броя на страните на вписаните правилни многоъгълници. Това е

\(\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ") \)

От друга страна, ако безкрайно увеличаваме броя на страните на вписани правилни многоъгълници (т.е. \(n→∞\)), получаваме равенството:

\(lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C") \)

От последните две равенства получаваме това

\(\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ") \)

\(\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ") \)

Виждаме, че съотношението на обиколката на кръга към неговия двоен радиус винаги е едно и също число, независимо от избора на кръга и неговите параметри, т.е.

\(\frac(C)(2τ)=const \)

Тази константа трябва да се нарича числото „pi“ и да се обозначава като \(π\). Приблизително това число ще бъде равно на \(3,14\) (няма точна стойност на това число, тъй като е ирационално число). По този начин

\(\frac(C)(2τ)=π \)

Накрая откриваме, че обиколката (периметърът на кръг) се определя по формулата

\(C=2πτ\)

Javascript е деактивиран във вашия браузър.
За да извършвате изчисления, трябва да активирате ActiveX контролите!

Кръгът се състои от много точки, които са на равни разстояния от центъра. Това е плоска геометрична фигура и намирането на нейната дължина не е трудно. Човек всеки ден се сблъсква с кръг и кръг, независимо в каква сфера работи. Много зеленчуци и плодове, устройствата и механизмите, съдовете и мебелите са с кръгла форма. Окръжност е набор от точки, които се намират в границите на окръжността. Следователно дължината на фигурата е равна на периметъра на кръга.

Във връзка с

Характеристики на фигурата

В допълнение към факта, че описанието на концепцията за кръг е доста просто, неговите характеристики също са лесни за разбиране. С тяхна помощ можете да изчислите дължината му. Вътрешната част на кръга се състои от много точки, сред които две - А и В - могат да се видят под прав ъгъл. Този сегмент се нарича диаметър, той се състои от два радиуса.

В окръжността има точки X такива, което не се променя и не е равно на единица, отношението AX/BX. В кръг това условие трябва да бъде изпълнено; в противен случай тази фигура няма формата на кръг. Всяка точка, която съставлява фигура, се подчинява на следното правило: сборът от квадратите на разстоянията от тези точки до другите две винаги надвишава половината от дължината на отсечката между тях.

Основни условия на кръга

За да можете да намерите дължината на фигура, трябва да знаете основните термини, свързани с нея. Основните параметри на фигурата са диаметър, радиус и акорд. Радиусът е сегментът, свързващ центъра на окръжността с всяка точка от нейната крива. Големината на хорда е равна на разстоянието между две точки от кривата на фигурата. Диаметър - разстояние между точките, минаваща през центъра на фигурата.

Основни формули за изчисления

Параметрите се използват във формулите за изчисляване на размерите на кръг:

Диаметър във формулите за изчисление

В икономиката и математиката често има нужда да се намери обиколката на кръг. Но в ежедневието може да срещнете тази нужда, например, когато изграждате ограда около кръгъл басейн. Как да изчислим обиколката на кръг по диаметър? В този случай използвайте формулата C = π*D, където C е желаната стойност, D е диаметърът.

Така например ширината на басейна е 30 метра, а стълбовете за оградата се предвижда да бъдат поставени на разстояние десет метра от него. В този случай формулата за изчисляване на диаметъра е: 30+10*2 = 50 метра. Необходимата стойност (в този пример дължината на оградата): 3,14*50 = 157 метра. Ако стълбовете на оградата стоят на разстояние три метра един от друг, тогава ще са необходими общо 52 от тях.

Изчисления на радиуса

Как да изчислим обиколката на окръжност по известен радиус? За да направите това, използвайте формулата C = 2*π*r, където C е дължината, r е радиусът. Радиусът в кръг е половината от диаметъра и това правило може да бъде полезно в ежедневието. Например, в случай на приготвяне на пай в плъзгаща се форма.

За да предотвратите замърсяването на кулинарния продукт, е необходимо да използвате декоративна опаковка. Как да изрежете хартиен кръг с подходящ размер?

Тези, които са малко запознати с математиката, разбират, че в този случай трябва да умножите числото π по два пъти радиуса на използваната форма. Например диаметърът на фигурата е 20 сантиметра, съответно радиусът й е 10 сантиметра. Използвайки тези параметри, се намира необходимият размер на кръга: 2*10*3, 14 = 62,8 сантиметра.

Удобни методи за изчисление

Ако не е възможно да намерите обиколката по формулата, тогава трябва да използвате наличните методи за изчисляване на тази стойност:

• Ако кръгъл предмет е малък, дължината му може да се намери с помощта на въже, увито около него веднъж.
• Размерът на голям предмет се измерва по следния начин: върху равна повърхност се поставя въже и веднъж се навива кръг по него.
• Съвременните студенти и ученици използват калкулатори за изчисления. Онлайн можете да откриете неизвестни количества, като използвате известни параметри.

Кръгли предмети в историята на човешкия живот

Първият продукт с кръгла форма, изобретен от човека, е колелото. Първите конструкции бяха малки кръгли трупи, монтирани на ос. След това се появиха колела, направени от дървени спици и джанти. Постепенно към продукта бяха добавени метални части, за да се намали износването. Именно за да разберат дължината на металните ленти за тапицерията на колелата, учените от миналите векове търсеха формула за изчисляване на тази стойност.

Грънчарското колело има формата на колело, повечето части в сложни механизми, конструкции на водни мелници и въртящи се колела. В строителството често се срещат кръгли предмети - рамки на кръгли прозорци в романски архитектурен стил, илюминатори на кораби. Архитекти, инженери, учени, механици и дизайнери всеки ден в своята професионална дейност се сблъскват с необходимостта да изчислят размерите на кръг.

Кръг се среща в ежедневието не по-рядко от правоъгълник. И за много хора проблемът как да се изчисли обиколката е труден. И всичко това, защото няма ъгли. Ако ги имаше, всичко щеше да стане много по-лесно.

Какво е кръг и къде се появява?

Тази плоска фигура представлява редица точки, които са разположени на същото разстояние от друга, която е центърът. Това разстояние се нарича радиус.

В ежедневието не е необходимо често да се изчислява обиколката на кръг, освен за хора, които са инженери и дизайнери. Те създават проекти за механизми, които използват например зъбни колела, илюминатори и колела. Архитектите създават къщи с кръгли или сводести прозорци.

Всеки от тези и други случаи изисква своя собствена точност. Освен това се оказва невъзможно да се изчисли обиколката абсолютно точно. Това се дължи на безкрайността на основното число във формулата. "Пи" все още се усъвършенства. И най-често се използва закръглената стойност. Степента на точност се избира така, че да даде най-правилния отговор.

Обозначения на величини и формули

Сега е лесно да се отговори на въпроса как да се изчисли обиколката на кръг по радиус, за това ще ви е необходима следната формула:

Тъй като радиусът и диаметърът са свързани един с друг, има друга формула за изчисления. Тъй като радиусът е два пъти по-малък, изразът ще се промени леко. И формулата за това как да се изчисли обиколката на кръг, знаейки диаметъра, ще бъде както следва:

l = π * d.

Ами ако трябва да изчислите периметъра на кръг?

Само не забравяйте, че окръжността включва всички точки вътре в окръжността. Това означава, че периметърът му съвпада с дължината му. И след като изчислите обиколката, поставете знак за равенство с периметъра на кръга.

Между другото, техните обозначения са еднакви. Това се отнася за радиуса и диаметъра, а периметърът е латинската буква P.

Примерни задачи

Задача първа

Състояние.Намерете дължината на окръжност, чийто радиус е 5 cm.

Решение.Тук не е трудно да разберете как да изчислите обиколката. Просто трябва да използвате първата формула. Тъй като радиусът е известен, всичко, което трябва да направите, е да замените стойностите и да изчислите. 2, умножено по радиус от 5 см, дава 10. Всичко, което остава, е да го умножим по стойността на π. 3,14 * 10 = 31,4 (cm).

Отговор: l = 31,4 см.

Задача втора

Състояние.Има колело, чиято обиколка е известна и равна на 1256 мм. Необходимо е да се изчисли неговият радиус.

Решение.В тази задача ще трябва да използвате същата формула. Но само известната дължина ще трябва да бъде разделена на произведението от 2 и π. Оказва се, че продуктът ще даде резултата: 6,28. След разделянето остава числото: 200. Това е желаната стойност.

Отговор: r = 200 mm.

Трета задача

Състояние.Изчислете диаметъра, ако е известна обиколката на окръжността, която е 56,52 cm.

Решение.Подобно на предишния проблем, ще трябва да разделите известната дължина на стойността на π, закръглена до най-близката стотна. В резултат на това действие се получава числото 18. Резултатът се получава.

Отговор: d = 18 см.

Проблем четири

Състояние.Стрелките на часовника са с дължина 3 и 5 см. Трябва да изчислите дължините на кръговете, които описват краищата им.

Решение.Тъй като стрелките съвпадат с радиусите на окръжностите, се изисква първата формула. Трябва да го използвате два пъти.

За първата дължина продуктът ще се състои от фактори: 2; 3.14 и 3. Резултатът ще бъде 18.84 cm.

За втория отговор трябва да умножите 2, π и 5. Продуктът ще даде числото: 31,4 cm.

Отговор: l 1 = 18,84 cm, l 2 = 31,4 cm.

Задача пета

Състояние.Катерица тича в колело с диаметър 2 м. Колко бяга за един пълен оборот на колелото?

Решение.Това разстояние е равно на обиколката. Затова трябва да използвате подходяща формула. А именно, умножете стойността на π и 2 м. Изчисленията дават резултат: 6,28 м.

Отговор:Катерицата бяга 6,28м.

Много често, когато решавате училищни задачи по физика или наука, възниква въпросът - как да намерите обиколката на кръг, знаейки диаметъра? Всъщност няма трудности при решаването на този проблем, просто трябва ясно да си представите какво формулиза това са необходими понятия и определения.

Във връзка с

Основни понятия и определения

1. Радиусът е свързващата линия центъра на окръжността и нейната произволна точка. Означава се с латинската буква r.
2. Хорда е линия, свързваща две произволни точки, лежащи върху окръжност.
3. Диаметърът е свързващата линия две точки от окръжност и минаваща през нейния център. Означава се с латинската буква d.
4. е линия, състояща се от всички точки, разположени на равни разстояния от една избрана точка, наречена неин център. Дължината му ще обозначим с латинската буква l.

Площта на кръга е цялата територия затворени в кръг. Измерва се в квадратни единиции се обозначава с латинската буква s.

Използвайки нашите определения, стигаме до извода, че диаметърът на окръжност е равен на най-голямата й хорда.

внимание!От определението какво е радиусът на окръжност можете да разберете какъв е диаметърът на окръжност. Това са два радиуса, разположени в противоположни посоки!

Диаметър на кръг.

Намиране на обиколка и площ на кръг

Ако ни е даден радиус на окръжност, тогава диаметърът на окръжността се описва с формулата d = 2*r. По този начин, за да се отговори на въпроса как да се намери диаметърът на кръг, знаейки неговия радиус, последното е достатъчно умножете по две.

Формулата за обиколката на окръжност, изразена чрез нейния радиус, има формата l = 2*P*r.

внимание!Латинската буква P (Pi) обозначава съотношението на обиколката на кръга към неговия диаметър и това е непериодична десетична дроб. В училищната математика се счита за предварително известна таблична стойност, равна на 3,14!

Сега нека пренапишем предишната формула, за да намерим обиколката на окръжност през нейния диаметър, като си спомним каква е нейната разлика спрямо радиуса. Ще се окаже: l = 2*P*r = 2*r*P = P*d.

От курса по математика знаем, че формулата, описваща площта на кръг, има формата: s = П*r^2.

Сега нека пренапишем предишната формула, за да намерим площта на кръг през неговия диаметър. Получаваме,

s = П*r^2 = П*d^2/4.

Една от най-трудните задачи в тази тема е определянето на площта на окръжност през обиколката и обратно. Нека се възползваме от факта, че s = П*r^2 и l = 2*П*r. От тук получаваме r = l/(2*П). Нека заместим получения израз за радиуса във формулата за площта, получаваме: s = l^2/(4П). По напълно подобен начин обиколката се определя чрез площта на кръга.

Определяне на дължината и диаметъра на радиуса

важно!Първо, нека научим как да измерваме диаметъра. Много е просто - начертайте произволен радиус, удължете го в обратна посока, докато се пресече с дъгата. Измерваме полученото разстояние с компас и използваме всеки метричен инструмент, за да разберем какво търсим!

Нека отговорим на въпроса как да разберем диаметъра на кръг, знаейки неговата дължина. За да направите това, ние го изразяваме от формулата l = П*d. Получаваме d = l/P.

Вече знаем как да намерим диаметъра му от обиколката на окръжност и можем също да намерим радиуса му по същия начин.

l = 2*P*r, следователно r = l/2*P. Като цяло, за да разберете радиуса, той трябва да бъде изразен чрез диаметъра и обратно.

Да предположим, че сега трябва да определите диаметъра, като знаете площта на кръга. Използваме факта, че s = П*d^2/4. Нека изразим d от тук. Ще се получи d^2 = 4*s/P. За да определите самия диаметър, ще трябва да извлечете корен квадратен от дясната страна. Оказва се, че d = 2*sqrt(s/P).

Решаване на типови задачи

1. Нека да разберем как да намерим диаметъра, ако е дадена обиколката. Нека е равно на 778,72 километра. Изисква се да се намери d. d = 778,72/3,14 = 248 километра. Нека си спомним какво е диаметър и веднага да определим радиуса; за да направим това, разделяме стойността d, определена по-горе, наполовина. Ще се получи r = 248/2 = 124километър
2. Нека да разгледаме как да намерим дължината на дадена окръжност, знаейки нейния радиус. Нека r има стойност 8 dm 7 см. Нека преобразуваме всичко това в сантиметри, тогава r ще бъде равно на 87 сантиметра. Нека използваме формулата, за да намерим неизвестната дължина на окръжност. Тогава нашата желана стойност ще бъде равна на l = 2*3,14*87 = 546,36 см. Нека преобразуваме получената стойност в цели числа на метрични величини l = 546,36 cm = 5 m 4 dm 6 cm 3,6 mm.
3. Нека трябва да определим площта на даден кръг, използвайки формулата чрез известния му диаметър. Нека d = 815 метра. Нека си спомним формулата за намиране на площта на кръг. Нека заместим стойностите, дадени ни тук, получаваме s = 3,14*815^2/4 = 521416,625 кв. м.
4. Сега ще научим как да намерим площта на кръг, знаейки дължината на неговия радиус. Нека радиусът е 38 см. Използваме известната ни формула. Нека заместим тук стойността, дадена ни от условието. Получавате следното: s = 3,14*38^2 = 4534,16 кв. см.
5. Последната задача е да се определи площта на кръг въз основа на известната обиколка. Нека l = 47 метра. s = 47^2/(4P) = 2209/12,56 = 175,87 кв. м.

Обиколка