Много често числителят и знаменателят на дроб са алгебрични изрази, които първо трябва да се разложат на множители и след това, като се намери едно и също сред тях, да се разделят както числителя, така и знаменателя на тях, тоест да се намали дробта. Цяла глава от учебник по алгебра за 7. клас е посветена на задачи за разлагане на многочлен. Може да се направи факторинг 3 начина, както и комбинация от тези методи.
1. Прилагане на формули за съкратено умножение
Както е известно на умножете полином по полином, трябва да умножите всеки член на един полином по всеки член на другия полином и да добавите получените продукти. Има най-малко 7 (седем) общи случая на умножение на полиноми, които са включени в понятието. Например,
Таблица 1. Факторизиране по 1-ви начин
2. Изваждане на общия множител от скобата
Този метод се основава на прилагането на разпределителния закон на умножението. Например,
Разделяме всеки член от оригиналния израз на фактора, който изваждаме, и в същото време получаваме израза в скоби (тоест резултатът от разделянето на това, което е било, на това, което изваждаме, остава в скоби). На първо място, трябва правилно определяне на множителя, което трябва да бъде поставено в скоби.
Полиномът в скоби също може да бъде общ фактор:
Когато изпълнявате задачата „факторизиране“, трябва да сте особено внимателни със знаците, когато изваждате общия множител извън скоби. За да промените знака на всеки член в скоби (б - а), изваждаме общия множител -1 , докато всеки член в скобата е разделен на -1: (b - a) = - (a - b) .
В случай, че изразът в скоби е повдигнат на квадрат (или на всяка четна степен), тогава числата в скобите могат да се разменят напълно безплатно, тъй като минусите, извадени от скобите, пак ще се превърнат в плюс, когато се умножат: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 и така нататък…
3. Метод на групиране
Понякога не всички термини в израза имат общ фактор, а само някои. След това можете да опитате групови условия в скоби, така че да може да се извади някакъв фактор от всеки. Метод на групиранее двойно поставяне в скоби на общи множители.
4. Използване на няколко метода наведнъж
Понякога трябва да приложите не един, а няколко начина за разлагане на полином на множители наведнъж.
Това е конспект по темата. "факторизация". Изберете следващите стъпки:
- Преминете към следващото резюме:
- 1. Изваждане на общия множител извън скоби и метод на групиране. В някои случаи е препоръчително някои термини да се заменят със сумата (разликата) на подобни термини или да се въведат взаимно компенсиращи се термини.
- 2. Използване на формули за съкратено умножение.Понякога трябва да извадите факторите извън скоби, да групирате членовете, да изберете пълен квадрат и едва след това да представите сумата от кубове, разликата от квадрати или разликата от кубове като продукт.
- 3. Използване на теоремата на Безу и метода на неопределените коефициенти.
Пример . Умножете:
P 3 (x)= x 3 +4x 2 +5x+2;
Тъй като P 3 (-1)=0, тогава полиномът P 3 (x) се дели на x+1. Използвайки метода на неопределените коефициенти, намираме частното от делението на полинома
P 3 (x)= x 3 +4x 2 +5x+2 чрез бинома x+1.
Нека частното е полином x 2 +. Тъй като x 3 +4x 2 +5x+2=(x+1) (x 2 +)=
X 3 +(+1) x 2 +() x+, получаваме системата:
Където. Следователно P 3 (x)=(x+1)·(x 2 +3x+2).
Тъй като x 2 +3x+2=x 2 +x+2x+2=x (x+1)+2 (x+1)=(x+1) (x+2), тогава P 3 (x )=( x+1) 2 (x+2).
4. Използване на теоремата на Безу и деление на "стълб".
Пример . Факторизиране
P 4 (x) \u003d 5 x 4 +9 x 3 -2 x 2 -4 x -8.
Решение . Тъй като P 4 (1) = 5+9-2-4-8 = 0, тогава P 4 (x) се дели на (x-1). Деление на "колона" намираме частното
следователно
P 4 (x) \u003d (x-) (5 x 3 +14x 2 +12x + 8) \u003d
= (x-1) P 3 (x).
Тъй като P 3 (-2) = -40+56-24+8=0, тогава многочленът P 3 (x) = 5 x 3 +14x 2 +12x+8 се дели на x+2.
Нека намерим частното, като разделим "колона":
следователно
P 3 (x) \u003d (x + 2) (5 x 2 + 4x + 4).
Тъй като дискриминантът на квадратния трином 5 x 2 +4x+4 е D = -24<0, то этот
квадратният трином не се разлага на линейни множители.
И така, P 4 (x) = (x-1) (x+2) (5 x 2 +4x+4)
5. Използване на теоремата на Безу и схемата на Хорнер. Коефициентът, получен чрез тези методи, може да бъде факторизиран по друг начин или по същия начин.
Пример . Умножете:
P 3 (x) \u003d 2 x 3 -5 x 2 -196 x + 99;
Решение .
Ако този полином има рационални корени, тогава те могат да бъдат само сред числата 1/2, 1, 3/2, 3, 9/2, 11/2, 9, 33, 99, 11.
За да намерим корена на този полином, използваме следното твърдение:
Ако в краищата на определен сегмент стойностите на полинома имат различни знаци, тогава на интервала (а; б) има поне един корен на този многочлен.
За даден полином P 3 (0) =99, P 3 (1) = - 100. Следователно в интервала (0; 1) има поне един корен на този полином. Следователно сред 24-те числа, написани по-горе, е препоръчително първо да проверите онези числа, които принадлежат към интервала
(0; 1). От тези числа само едно принадлежи към този интервал.
Стойността на P 3 (x) при x=1/2 може да бъде намерена не само чрез директно заместване, но и по други начини, например според схемата на Хорнер, тъй като P () е равно на остатъка от разделянето на полином P (x) по x-. Освен това в много примери този метод е за предпочитане, тъй като коефициентите на частното също се намират едновременно.
Според схемата на Horner за този пример получаваме:
Тъй като P 3 (1/2) = 0, тогава x =1/2 е коренът на полинома P 3 (x), а полиномът P 3 (x) се дели на x-1/2, т.е. 2 x 3 -5 x 2 -196 x + 99 \u003d (x-1/2) (2 x 2 -4 x-198).
Тъй като 2 x 2 -4 x-198 = 2 (x 2 -2 x+1-100) = 2 ((x-1) 2 -10 2) = 2 (x+9) ( x-11), тогава
P 3 (x) \u003d 2 x 3 -5 x 2 -196 x + 99 \u003d 2 (x-1/2) (x + 9) (x-11).
Концепцията за полиномен пръстен
Позволявам ДА СЕИ Лкомутативни пръстени
Определение 1 : Пръстен ДА СЕсе нарича просто удължение на пръстена Кизползване на елементи хи напиши:
L=K[x]ако са изпълнени следните условия:
подпръстен на пръстена
Основен комплект K[x]обозначени със символи L, K[x].
Определение 2 : Просто разширение L=K[x]пръстени Ккато се използва х- просто трансцендентално разширение на пръстена Ккато се използва хако са изпълнени следните условия:
подпръстен на пръстена
Ако тогава
Определение 3 : Елемент хсе нарича трансцендентален над пръстена К, ако условието е изпълнено: , ако, тогава
Оферта. Позволявам K[x]просто трансцендентално разширение. Ако и къде тогава
Доказателство . По условие, извадете втория от първия израз, получаваме: тъй като елементът хтрансцендентно над К, то от (3) получаваме:.
Заключение. Всеки елемент от просто трансцендентално ненулево разширение на комутативен пръстен Кизползване на елемента хдопуска уникално представяне като линейна комбинация от цели неотрицателни степени на елемент х
определение: Полиномен пръстен от неизвестното хвърху ненулев пръстен Ксе нарича просто трансцендентално разширение на ненулев комутативен пръстен Кизползване на елемента х.
Теорема . За всеки ненулев комутативен пръстен К,има просто трансцендентално разширение на това с елемента x, k[x]
Операции върху полиноми
Нека k[x] е полиномен пръстен на ненулев комутативен пръстен К
Определение 1: Полиномите f и g, принадлежащи на k[x], се наричат равни и се записва f = g, ако всички коефициенти на полиномите f и g са равни един на друг, стоящи на еднакви степени на неизвестното х.
Последица . При записването на полином редът на членовете не е от съществено значение. Присвояването и изключването на членове с нулев коефициент от записа на полинома не променя полинома.
Определение 2. Сумата от полиномите f и g е полиномът f + g, определен от равенството:
Определение 3 : - произведение на полиноми, означено, което се определя от правилото:
Степен на полиномите
Нека комутативен пръстен. k[x] полиномен пръстен над поле К : ,
Определение : Нека е произволен полином. Ако, тогава неотрицателно цяло число n е степента на полиномите f. При това пишат n=deg f.
Числата са коефициентите на полинома, където е водещият коефициент.
ако, f- нормализиран. Степента на нулевия полином е неопределена.
Свойства на степента на полином
К- зона на почтеност
Доказателство :
Тъй като и. ДА СЕ- зона на почтеност.
Следствие 1 : k[x] над полето ДА СЕ(integrity area) от своя страна е integrity area. За всяка област на почтеност има област на особеност.
Следствие 2 : За всеки k[x] над домейна на целостта ДА СЕима частно поле.
Деление на бином и корени на многочлен.
Нека елементът се нарича стойност на полинома fот аргумента.
Теорема на Безу : За всеки полином и елемент има елемент: .
Доказателство : Нека е произволен полином
Последица : Остатъкът от деленето на полином на е равен на.
Определение : Елементът се нарича корен на полинома f, Ако.
Теорема : Нека елементът е коренът fако и само ако разделяне f
Доказателство:
Необходими неща. Нека от теоремата на Безу следва, че от свойствата на делимостта следва, че
Достатъчност. Нека това. h.t.d.
Максималният брой корени на полином в областта на целостта.
Теорема : Нека k е площта на целостта. Брой корени на полином fв областта на почтеността княма повече степен нполином f.
Доказателство :
Чрез индукция по степента на полином. Нека полиномът fима нула корени и техният брой не надвишава.
Нека теоремата бъде доказана за всеки.
Нека покажем, че т. 2 предполага истинността на твърдението на теоремата за полиноми.
Нека и има два възможни случая:
- А) полином fняма корени, следователно твърдението на теоремата е вярно.
- Б) Полином fима поне корен, според теоремата на Bezout, тъй като к- област на интегритет след това по свойство 3 (степени на полинома), следва че
защото, к-зона за интегритет.
Така всички корени на полинома са корен на полинома жтъй като според хипотезата на индукция броят на всички корени на полинома жне повече н, следователно, fняма повече ( n+ 1) корен.
Последица : Позволявам к- площта на целостта, ако броят на корените на полинома fповече брой н,къде тогава fе нулев полином.
Алгебрично и функционално равенство на полиноми
Нека - някакъв полином, той дефинира някаква функция
като цяло, всеки полином може да дефинира една функция.
Теорема : Позволявам к- областта на целостта, по този начин, за равенството на полиномите и равенството (идентично равенство ()), определено от и.
Доказателство :
Необходими неща. Нека и е областта на целостта, .
Нека, т.е
Достатъчност. Нека се преструваме, че. Помислете, защото кобласт на интегритет, след това полином чима редица корени, следва от следствието, че чнулев полином. Така х.т.д.
Теорема за делимост с остатък
Определение : Евклидов пръстен Ктакава област на интегритет се нарича к,че функцията е дефинирана на множеството ч,приема неотрицателни цели числа и удовлетворява условието
В процеса на намиране на елементи за тези елементи се нарича деление с остатък, - непълно частно, - остатъкът от делението.
Позволявам да е полиномен пръстен над поле.
Теорема (за делението с остатък) : Нека е пръстен от полиноми над поле и полином съществува уникална двойка полиноми, така че и условието или е изпълнено. или
Доказателство : Съществуването на полином. Нека, т.е. Теоремата е вярна, очевидно, ако - нула или, тъй като или. Нека докажем теоремата, когато. Ще извършим доказателството чрез индукция на степента на полином, да предположим, че теоремата е доказана (с изключение на уникалността) за полином. Нека покажем, че в този случай твърдението на теоремата е валидно за . Наистина, нека е водещият коефициент на полинома, следователно полиномът ще има същия водещ коефициент и същата степен като полинома, следователно полиномът ще има или е нулев полином. Ако, тогава, следователно, за и получаваме. Ако, тогава чрез индуктивното предположение, следователно, това е, защото получаваме или. Съществуването на полинома е доказано.
Нека покажем, че такава двойка полиноми е уникална.
Нека съществува или извадете: . Има два случая или.
От друга страна. По условието на степента или, или.
Ако. Така се получава противоречие. Уникалността е доказана.
Следствие 1 : Пръстенът от полиноми над полето е евклидовото пространство.
Следствие 2 : Пръстенът от полиноми върху е пръстенът от главни идеали (всеки идеал има уникален генератор)
Всеки Евклидов пръстен е факторен: Полиномен пръстен върху се нарича факторен пръстен.
Алгоритъм на Евклид. НОД на два полинома
Нека пръстенът от полиноми приключи.
Определение 1 : Нека и, ако има полином, тогава остатъкът от делението е нула, тогава той се нарича делител на полинома и се обозначава: ().
Определение 2 : Най-големият общ делител на полиноми се нарича полином:
и (- общ делител и).
(на всеки общ делител и).
Най-големият общ делител на полиноми се означава с gcd(;). Общите делители на всички полиноми включват всички полиноми с нулева степен от, тоест ненулево поле. Може да се окаже, че два дадени полинома и нямат общи делители, които не са нулеви полиноми.
Определение : Ако полиноми и нямат общи делители, които не са полиноми от степен нула, тогава те се наричат взаимно прости.
Лема : Ако полиномите от над поле са валидни, тогава най-големият общ делител на полиномите и е свързан с gcd. ~
запис ( a~b) означава, че (и) по дефиниция.
Доказателство : Нека и
и от това следва, че ние преподаваме, че е общ делител на многочлена и.
общ делител и получаваме
Алгоритъм на Евклид
Помислете, като използвате конкретни примери, как да факторизирате полином.
Ще разширим полиноми в съответствие с .
Факторизиране на полиноми:
Проверете дали има общ множител. да, равно е на 7cd. Нека го извадим от скобите:
Изразът в скоби се състои от два термина. Вече няма общ множител, изразът не е формула за сумата от кубове, което означава, че разлагането е завършено.
Проверете дали има общ множител. Не. Полиномът се състои от три члена, така че проверяваме дали има формула за пълен квадрат. Два члена са квадратите на изразите: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², третият член е равен на удвоения продукт на тези изрази: 2∙5x∙3y=30xy. Така че този полином е перфектен квадрат. Тъй като двойното произведение е със знак минус, това е:
Проверяваме дали е възможно да извадим общия множител от скоби. Има общ множител, той е равен на a. Нека го извадим от скобите:
В скоби има два термина. Проверяваме дали има формула за разликата на квадратите или разликата на кубовете. a² е квадрат на a, 1=1². И така, изразът в скоби може да бъде написан според формулата за разликата на квадратите:
Има общ множител, той е равен на 5. Изваждаме го от скоби:
в скоби има три термина. Проверете дали изразът е перфектен квадрат. Два члена са квадрати: 16=4² и a² е квадрат на a, третият член е равен на удвоения продукт от 4 и a: 2∙4∙a=8a. Следователно това е идеален квадрат. Тъй като всички членове са със знак "+", изразът в скоби е пълният квадрат на сумата:
Общият множител -2x е изваден от скоби:
В скоби е сумата от двата члена. Проверяваме дали дадения израз е сбор от кубове. 64=4³, x³-куб x. И така, биномът може да се разшири по формулата:
Има общ фактор. Но тъй като полиномът се състои от 4 члена, първо ще извадим общия множител от скоби и едва след това. Групираме първия термин с четвъртия, във втория - с третия:
От първите скоби изваждаме общия фактор 4a, от втория - 8b:
Все още няма общ множител. За да го получим, от вторите скоби ще извадим скобите „-“, докато всеки знак в скобите ще се промени на противоположния:
Сега изваждаме общия множител (1-3a) извън скобите:
Във вторите скоби има общ фактор 4 (това е същият фактор, който не извадихме от скобите в началото на примера):
Тъй като полиномът се състои от четири члена, извършваме групиране. Групираме първия член с втория, третия с четвъртия:
В първите скоби няма общ множител, но има формула за разликата на квадратите, във вторите скоби общият множител е -5:
Появи се общ фактор (4m-3n). Нека го извадим от скобите.
За да се факторизира, е необходимо да се опростят изразите. Това е необходимо, за да може да се намали допълнително. Разлагането на полином има смисъл, когато степента му не е по-ниска от втората. Полином с първа степен се нарича линеен.
Статията ще разкрие всички концепции за разлагане, теоретични основи и методи за факторизиране на полином.
Теория
Теорема 1Когато всеки полином със степен n има формата P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, са представени като продукт с постоянен коефициент с най-висока степен a n и n линейни коефициенти (x - x i), i = 1, 2, …, n, тогава P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , където x i , i = 1 , 2 , … , n - това са корените на полинома.
Теоремата е предназначена за корени от комплексен тип x i , i = 1 , 2 , … , n и за комплексни коефициенти a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Това е в основата на всяка декомпозиция.
Когато коефициенти от формата a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n са реални числа, тогава комплексните корени ще се появят в спрегнати двойки. Например, корените x 1 и x 2, свързани с полином от формата P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 се считат за комплексно спрегнати, тогава другите корени са реални, следователно получаваме, че полиномът приема формата P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, където x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Коментирайте
Корените на полинома могат да се повтарят. Разгледайте доказателството на теоремата на алгебрата, следствията от теоремата на Безу.
Основна теорема на алгебрата
Теорема 2Всеки полином със степен n има поне един корен.
Теорема на Безу
След разделяне на полином от формата P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 върху (x - s) , тогава получаваме остатъка, който е равен на полинома в точката s , тогава получаваме
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , където Q n - 1 (x) е полином със степен n - 1 .
Следствие от теоремата на Безу
Когато коренът на полинома P n (x) се счита за s , тогава P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Това следствие е достатъчно, когато се използва за описание на решението.
Факторизиране на квадратен тричлен
Квадратният трином от вида a x 2 + b x + c може да бъде разложен на линейни множители. тогава получаваме, че a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , където x 1 и x 2 са корени (комплексни или реални).
Това показва, че самото разлагане се свежда до по-късно решаване на квадратното уравнение.
Пример 1
Факторизиране на квадратен тричлен.
Решение
Необходимо е да се намерят корените на уравнението 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. За да направите това, трябва да намерите стойността на дискриминанта по формулата, след което получаваме D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Следователно имаме това
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
От тук получаваме, че 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
За да извършите проверката, трябва да отворите скобите. Тогава получаваме израз на формата:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
След проверка стигаме до оригиналния израз. Тоест можем да заключим, че разширението е правилно.
Пример 2
Разложете на множители квадратен тричлен от формата 3 x 2 - 7 x - 11 .
Решение
Получаваме, че е необходимо да се изчисли полученото квадратно уравнение под формата 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
За да намерите корените, трябва да определите стойността на дискриминанта. Разбираме това
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816 г
От тук получаваме, че 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .
Пример 3
Факторизирайте полинома 2 x 2 + 1.
Решение
Сега трябва да решите квадратното уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и да намерите неговите корени. Разбираме това
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Тези корени се наричат комплексно спрегнати, което означава, че самото разлагане може да бъде представено като 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Пример 4
Разгънете квадратния трином x 2 + 1 3 x + 1 .
Решение
Първо трябва да решите квадратно уравнение от формата x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и да намерите неговите корени.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i
След като получихме корените, пишем
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Коментирайте
Ако стойността на дискриминанта е отрицателна, тогава полиномите ще останат полиноми от втори ред. Оттук следва, че няма да ги разлагаме на линейни множители.
Методи за разлагане на полином със степен по-висока от втората
Разлагането предполага универсален метод. Повечето от всички случаи се основават на следствие от теоремата на Bezout. За да направите това, трябва да изберете стойността на корена x 1 и да намалите степента му, като разделите на полином на 1, като разделите на (x - x 1) . Полученият полином трябва да намери корена x 2 и процесът на търсене е цикличен, докато получим пълно разширение.
Ако коренът не е намерен, тогава се използват други методи за факторизация: групиране, допълнителни термини. Тази тема предполага решаването на уравнения с по-високи степени и цели коефициенти.
Изваждане на общия множител извън скоби
Да разгледаме случая, когато свободният член е равен на нула, тогава формата на полинома става P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x.
Вижда се, че коренът на такъв полином ще бъде равен на x 1 \u003d 0, тогава можете да представите полинома под формата на израз P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Този метод се счита за изваждане на общия множител извън скоби.
Пример 5
Разложете на множители полином от трета степен 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Решение
Виждаме, че x 1 \u003d 0 е коренът на дадения полином, тогава можем да поставим x в скоби от целия израз. Получаваме:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Нека да преминем към намирането на корените на квадратния тричлен 4 x 2 + 8 x - 1. Нека намерим дискриминанта и корените:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Тогава следва това
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Като начало, нека вземем за разглеждане метод на разлагане, съдържащ цели коефициенти от вида P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , където коефициентът на най-високата степен е 1 .
Когато полиномът има цели числа, тогава те се считат за делители на свободния член.
Пример 6
Разгънете израза f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Решение
Помислете дали има цели корени. Необходимо е да се изпишат делителите на числото - 18. Получаваме, че ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. От това следва, че този полином има цели числа. Можете да проверите по схемата на Horner. Това е много удобно и ви позволява бързо да получите коефициентите на разширение на полином:
От това следва, че x \u003d 2 и x \u003d - 3 са корените на оригиналния полином, който може да бъде представен като продукт на формата:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Обръщаме се към разлагането на квадратен тричлен от вида x 2 + 2 x + 3 .
Тъй като дискриминантът е отрицателен, това означава, че няма реални корени.
Отговор: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Коментирайте
Разрешено е да се използва избор на корен и деление на полином на полином вместо схема на Хорнер. Нека продължим да разглеждаме разширяването на полином, съдържащ цели коефициенти от формата P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , най-високото от които не е равно на единица.
Този случай се отнася за дробни рационални дроби.
Пример 7
Разложете на множители f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Решение
Необходимо е да се промени променливата y = 2 x , трябва да се премине към полином с коефициенти, равни на 1 на най-висока степен. Трябва да започнете, като умножите израза по 4. Разбираме това
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Когато получената функция на формата g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 има цели корени, тогава тяхното намиране е сред делителите на свободния член. Записът ще изглежда така:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
Нека да преминем към изчисляването на функцията g (y) в тези точки, за да получим нула като резултат. Разбираме това
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Получаваме, че y \u003d - 5 е коренът на уравнението под формата y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, което означава, че x \u003d y 2 \u003d - 5 2 е коренът на оригиналната функция.
Пример 8
Необходимо е да се раздели на колона 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2.
Решение
Пишем и получаваме:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Проверката на делителите ще отнеме много време, така че е по-изгодно да се направи факторизиране на получения квадратен трином от формата x 2 + 7 x + 3. Като приравняваме към нула, намираме дискриминанта.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Оттук следва, че
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Изкуствени трикове при факторизиране на полином
Рационалните корени не са присъщи на всички полиноми. За да направите това, трябва да използвате специални методи за намиране на фактори. Но не всички полиноми могат да бъдат разложени или представени като продукт.
Метод на групиране
Има случаи, когато можете да групирате членовете на полином, за да намерите общ множител и да го извадите от скоби.
Пример 9
Разложете полинома на множители x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Решение
Тъй като коефициентите са цели числа, тогава корените вероятно също могат да бъдат цели числа. За да проверим, вземаме стойностите 1 , - 1 , 2 и - 2, за да изчислим стойността на полинома в тези точки. Разбираме това
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Това показва, че няма корени, необходимо е да се използва различен метод на разлагане и разтвор.
Изисква се групиране:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8) x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
След групирането на оригиналния полином е необходимо да го представим като произведение на два квадратни тринома. За да направим това, трябва да разложим на множители. разбираме това
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Коментирайте
Простотата на групирането не означава, че е достатъчно лесно да се избират термини. Няма определен начин за решаването му, затова е необходимо да се използват специални теореми и правила.
Пример 10
Разложете полинома на множители x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.
Решение
Даденият полином няма цели корени. Термините трябва да бъдат групирани. Разбираме това
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
След факторизиране получаваме това
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Използване на съкратено умножение и биномни формули на Нютон за факторизиране на полином
Външният вид често не винаги показва кой начин да използвате по време на разграждането. След като трансформациите са направени, можете да изградите линия, състояща се от триъгълника на Паскал, в противен случай те се наричат бином на Нютон.
Пример 11
Разложете полинома на множители x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Решение
Необходимо е изразът да се преобразува във формата
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Последователността на коефициентите на сумата в скоби се обозначава с израза x + 1 4 .
Така че имаме x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .
След като приложим разликата на квадратите, получаваме
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Помислете за израза, който е във втората скоба. Ясно е, че там няма коне, така че формулата за разликата на квадратите трябва да се приложи отново. Получаваме израз като
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Пример 12
Разложете на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Решение
Нека променим израза. Разбираме това
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Необходимо е да се приложи формулата за съкратено умножение на разликата на кубовете. Получаваме:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Метод за заместване на променлива при факторизиране на полином
При промяна на променлива степента се намалява и полиномът се факторизира.
Пример 13
Разложете на множители полином от формата x 6 + 5 x 3 + 6 .
Решение
От условието е ясно, че е необходимо да се направи замяна y = x 3 . Получаваме:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Корените на полученото квадратно уравнение са y = - 2 и y = - 3, тогава
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Необходимо е да се приложи формулата за съкратеното умножение на сумата от кубове. Получаваме изрази от вида:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Тоест получихме желаното разширение.
Обсъдените по-горе случаи ще помогнат при разглеждането и факторизирането на полином по различни начини.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
В този урок ще си припомним всички вече изучени методи за факторизиране на полином и ще разгледаме примери за тяхното приложение, освен това ще изучим нов метод - метода на пълния квадрат и ще научим как да го прилагаме при решаването на различни проблеми.
Предмет:Факторизиране на полиноми
Урок:Факторизиране на полиноми. Метод за избор на пълен квадрат. Комбинация от методи
Припомнете си основните методи за факторизиране на полином, които бяха изучавани по-рано:
Методът за изваждане на общ множител извън скоби, т.е. множител, който присъства във всички членове на полинома. Помислете за пример:
Спомнете си, че мономът е произведение на степени и числа. В нашия пример и двата члена имат някои общи, идентични елементи.
И така, нека извадим общия множител извън скобите:
;
Спомнете си, че като умножите изобразения множител по скобата, можете да проверите правилността на изобразяването.
метод на групиране. Не винаги е възможно да се извади общ множител в полином. В този случай трябва да разделите членовете му на групи по такъв начин, че във всяка група да можете да извадите общ фактор и да се опитате да го разбиете, така че след като извадите факторите в групите, да се появи общ фактор за целия израз и разширяването може да продължи. Помислете за пример:
Групирайте съответно първия член с четвъртия, втория с петия и третия с шестия:
Нека извадим общите фактори в групите:
Изразът има общ делител. Нека го извадим:
Приложение на формули за съкратено умножение. Помислете за пример:
;
Нека напишем израза подробно:
Очевидно пред нас е формулата за квадрат на разликата, тъй като има сбор от квадратите на два израза и от него се изважда двойното им произведение. Нека се движим по формулата:
Днес ще научим друг начин - методът за избор на пълен квадрат. Основава се на формулите на квадрата на сбора и квадрата на разликата. Припомнете си ги:
Формулата за квадрат на сбора (разликата);
Особеността на тези формули е, че съдържат квадрати на два израза и тяхното двойно произведение. Помислете за пример:
Нека напишем израза:
Така че първият израз е , а вторият .
За да се направи формула за квадрат на сбора или разликата, двойното произведение на изразите не е достатъчно. Трябва да се добавят и изваждат:
Нека свием пълния квадрат на сумата:
Нека трансформираме получения израз:
Прилагаме формулата за разликата на квадратите, припомнете си, че разликата на квадратите на два израза е произведението и сумите по тяхната разлика:
И така, този метод се състои преди всичко в това, че е необходимо да се идентифицират изразите a и b, които са повдигнати на квадрат, тоест да се определи кои изрази са повдигнати на квадрат в този пример. След това трябва да проверите за наличието на двойно произведение и ако го няма, да го добавите и извадите, това няма да промени смисъла на примера, но полиномът може да бъде разложен на множители с помощта на формулите за квадрат на сумата или разликата и разликата на квадратите, ако е възможно.
Да преминем към решаване на примери.
Пример 1 - факторизиране:
Намерете изрази, които са повдигнати на квадрат:
Нека запишем какво трябва да бъде двойното им произведение:
Нека съберем и извадим двойното произведение:
Нека свием пълния квадрат на сбора и да дадем подобни:
Ще запишем по формулата на разликата на квадратите:
Пример 2 - решаване на уравнението:
;
В лявата страна на уравнението има тричлен. Трябва да го изключите. Използваме формулата на квадрата на разликата:
Имаме квадрат на първия израз и двойното произведение, квадратът на втория израз липсва, нека го съберем и извадим:
Нека свием пълния квадрат и дадем подобни условия:
Нека приложим формулата за разликата на квадратите:
Така че имаме уравнението 
Знаем, че произведението е равно на нула само ако поне един от множителите е равен на нула. Въз основа на това ще напишем уравнения:
Нека решим първото уравнение:
Нека решим второто уравнение:
Отговор: или
;
Действаме подобно на предишния пример - избираме квадрата на разликата.
