В този урок ще научим как да разлагаме квадратни триноми на линейни множители. За да направим това, трябва да си спомним теоремата на Виета и нейното обратното. Това умение ще ни помогне бързо и удобно да разширим квадратните триноми в линейни множители и също така ще опрости редуцирането на дроби, състоящи се от изрази.

Така че нека се върнем към квадратното уравнение, където .

Това, което имаме от лявата страна, се нарича квадратен тричлен.

Теоремата е вярна:Ако са корените на квадратен трином, тогава идентичността е валидна

Където е водещият коефициент, са корените на уравнението.

И така, имаме квадратно уравнение - квадратен тричлен, където корените на квадратното уравнение също се наричат ​​корени на квадратния трином. Следователно, ако имаме корените на квадратен тричлен, тогава този тричлен може да се разложи на линейни множители.

Доказателство:

Доказателството на този факт се извършва с помощта на теоремата на Vieta, която обсъдихме в предишните уроци.

Нека си припомним какво ни казва теоремата на Виета:

Ако са корените на квадратен трином, за които , Тогава .

От тази теорема следва следното твърдение:

Виждаме, че според теоремата на Vieta, т.е. чрез заместване на тези стойности във формулата по-горе, получаваме следния израз

Q.E.D.

Спомнете си, че доказахме теоремата, че ако са корените на квадратен тричлен, тогава разширението е валидно.

Сега нека си спомним пример за квадратно уравнение, към което избрахме корени с помощта на теоремата на Виета. От този факт можем да получим следното равенство благодарение на доказаната теорема:

Сега нека проверим правилността на този факт, като просто отворим скобите:

Виждаме, че разложихме правилно и всеки тричлен, ако има корени, може да бъде разложен на множители съгласно тази теорема на линейни множители съгласно формулата

Нека обаче да проверим дали такова факторизиране е възможно за всяко уравнение:

Вземете, например, уравнението. Първо, нека проверим дискриминантния знак

И помним, че за да изпълним теоремата, която научихме, D трябва да е по-голямо от 0, така че в този случай разлагането на множители според теоремата, която научихме, е невъзможно.

Затова формулираме нова теорема: ако квадратният тричлен няма корени, тогава той не може да бъде разложен на линейни множители.

И така, разгледахме теоремата на Виета, възможността за разлагане на квадратичен трином на линейни множители и сега ще решим няколко проблема.

Задача No1

В тази група всъщност ще решим задачата, обратна на поставената. Имахме уравнение и намерихме корените му, като го разложихме на множители. Тук ще направим обратното. Да кажем, че имаме корените на квадратно уравнение

Обратната задача е следната: напишете квадратно уравнение, като използвате неговите корени.

Има 2 начина за решаване на този проблем.

Тъй като са корените на уравнението, тогава е квадратно уравнение, чиито корени са дадени числа. Сега нека отворим скобите и да проверим:

Това беше първият начин, по който създадохме квадратно уравнение с дадени корени, което няма други корени, тъй като всяко квадратно уравнение има най-много два корена.

Този метод включва използването на обратната теорема на Vieta.

Ако са корените на уравнението, тогава те отговарят на условието, че .

За редуцираното квадратно уравнение , , т.е. в този случай и .

Така създадохме квадратно уравнение, което има дадените корени.

Задача No2

Необходимо е да се намали фракцията.

Имаме тричлен в числителя и трином в знаменателя и тричлените могат или не могат да бъдат разложени на множители. Ако и числителят, и знаменателят са разделени на множители, тогава сред тях може да има равни множители, които могат да бъдат намалени.

Първо, трябва да разложите числителя на множители.

Първо, трябва да проверите дали това уравнение може да бъде факторизирано, нека намерим дискриминанта. Тъй като , знакът зависи от произведението (трябва да е по-малко от 0), в този пример, т.е. даденото уравнение има корени.

За да решим, използваме теоремата на Vieta:

В този случай, тъй като имаме работа с корени, ще бъде доста трудно просто да изберете корените. Но виждаме, че коефициентите са балансирани, т.е. ако приемем, че , и заместим тази стойност в уравнението, получаваме следната система: , т.е. 5-5=0. Така избрахме един от корените на това квадратно уравнение.

Вторият корен ще търсим, като заместим вече известното в системата от уравнения, например, , т.е. .

По този начин открихме и двата корена на квадратното уравнение и можем да заместим техните стойности в оригиналното уравнение, за да го разложим на множители:

Нека си спомним първоначалната задача, трябваше да намалим дробта.

Нека се опитаме да разрешим проблема, като заместим .

Необходимо е да не забравяме, че в този случай знаменателят не може да бъде равен на 0, т.е.

Ако тези условия са изпълнени, тогава сме намалили първоначалната дроб до формата .

Задача №3 (задача с параметър)

При какви стойности на параметъра е сумата от корените на квадратното уравнение

Ако корените на това уравнение съществуват, тогава , въпрос: кога.

За да се факторизира, е необходимо да се опростят изразите. Това е необходимо, за да може да се намали допълнително. Развиването на полином има смисъл, когато степента му не е по-ниска от две. Полином с първа степен се нарича линеен.

Статията ще обхване всички концепции за разлагане, теоретични основи и методи за факторизиране на полином.

Теория

Теорема 1

Когато всеки полином със степен n, имащ формата P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, са представени като продукт с постоянен фактор с най-висока степен a n и n линейни фактора (x - x i), i = 1, 2, ..., n, тогава P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , където x i, i = 1, 2, …, n са корените на полинома.

Теоремата е предназначена за корени от комплексен тип x i, i = 1, 2, …, n и за комплексни коефициенти a k, k = 0, 1, 2, …, n. Това е в основата на всяка декомпозиция.

Когато коефициентите от формата a k, k = 0, 1, 2, …, n са реални числа, тогава комплексните корени ще се появят в спрегнати двойки. Например корени x 1 и x 2, свързани с полином от формата P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 се считат за комплексно спрегнати, тогава другите корени са реални, от което получаваме, че полиномът приема формата P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, където x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Коментирайте

Корените на полинома могат да се повтарят. Нека разгледаме доказателството на теоремата на алгебрата, следствие от теоремата на Безу.

Основна теорема на алгебрата

Теорема 2

Всеки полином със степен n има поне един корен.

Теорема на Безу

След разделяне на полином от формата P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 върху (x - s), тогава получаваме остатъка, който е равен на полинома в точка s, тогава получаваме

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , където Q n - 1 (x) е полином със степен n - 1.

Следствие от теоремата на Безу

Когато коренът на полинома P n (x) се счита за s, тогава P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Това следствие е достатъчно, когато се използва за описание на решението.

Факторизиране на квадратен трином

Квадратният трином от формата a x 2 + b x + c може да бъде разложен на линейни множители. тогава получаваме, че a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , където x 1 и x 2 са корени (комплексни или реални).

Това показва, че самото разширение се свежда до последващо решаване на квадратното уравнение.

Пример 1

Разложете на множители квадратния тричлен.

Решение

Необходимо е да се намерят корените на уравнението 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. За да направите това, трябва да намерите стойността на дискриминанта с помощта на формулата, след което получаваме D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Оттук нататък имаме това

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

От това получаваме, че 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

За да извършите проверката, трябва да отворите скобите. Тогава получаваме израз на формата:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

След проверка стигаме до оригиналния израз. Тоест можем да заключим, че разлагането е извършено правилно.

Пример 2

Разложете на множители квадратния трином от формата 3 x 2 - 7 x - 11 .

Решение

Откриваме, че е необходимо да изчислим полученото квадратно уравнение във формата 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

За да намерите корените, трябва да определите стойността на дискриминанта. Разбираме това

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

От това получаваме, че 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Пример 3

Разложете полинома на множители 2 x 2 + 1.

Решение

Сега трябва да решим квадратното уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и да намерим неговите корени. Разбираме това

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Тези корени се наричат ​​комплексно спрегнати, което означава, че самото разширение може да бъде изобразено като 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Пример 4

Разложете квадратния трином x 2 + 1 3 x + 1 .

Решение

Първо трябва да решите квадратно уравнение от формата x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и да намерите неговите корени.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

След като получихме корените, пишем

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Коментирайте

Ако дискриминантната стойност е отрицателна, тогава полиномите ще останат полиноми от втори ред. От това следва, че няма да ги разлагаме на линейни множители.

Методи за факторизиране на полином от степен по-висока от две

При разлагането се предполага универсален метод. Повечето от всички случаи се основават на следствие от теоремата на Bezout. За да направите това, трябва да изберете стойността на корена x 1 и да намалите степента му, като разделите на полином на 1, като разделите на (x - x 1). Полученият полином трябва да намери корена x 2 и процесът на търсене е цикличен, докато получим пълно разширение.

Ако коренът не е намерен, тогава се използват други методи за факторизация: групиране, допълнителни термини. Тази тема включва решаване на уравнения с по-високи степени и цели коефициенти.

Изваждане на общия множител извън скоби

Да разгледаме случая, когато свободният член е равен на нула, тогава формата на полинома става P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x.

Може да се види, че коренът на такъв полином ще бъде равен на x 1 = 0, тогава полиномът може да бъде представен като израза P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Този метод се счита за изваждане на общия множител извън скоби.

Пример 5

Разложете на множители полином от трета степен 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Решение

Виждаме, че x 1 = 0 е коренът на дадения полином, тогава можем да премахнем x от скобите на целия израз. Получаваме:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Нека да преминем към намирането на корените на квадратния тричлен 4 x 2 + 8 x - 1. Нека намерим дискриминанта и корените:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Тогава следва това

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Като начало, нека вземем под внимание метод на разлагане, съдържащ цели коефициенти от формата P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, където коефициентът на най-високата степен е 1.

Когато полиномът има цели числа, тогава те се считат за делители на свободния член.

Пример 6

Разложете израза f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Решение

Нека помислим дали има пълни корени. Необходимо е да се запишат делителите на числото - 18. Получаваме това ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. От това следва, че този полином има цели числа. Можете да проверите с помощта на схемата на Horner. Това е много удобно и ви позволява бързо да получите коефициентите на разширение на полином:

От това следва, че x = 2 и x = - 3 са корените на оригиналния полином, който може да бъде представен като произведение от вида:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Пристъпваме към разширяване на квадратен трином от формата x 2 + 2 x + 3.

Тъй като дискриминантът е отрицателен, това означава, че няма реални корени.

Отговор: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Коментирайте

Разрешено е да се използва избор на корен и деление на полином на полином вместо схема на Хорнер. Нека да преминем към разглеждане на разширяването на полином, съдържащ цели коефициенти от формата P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , най-високото от които е равно на едно.

Този случай се среща при рационални дроби.

Пример 7

Разложете на множители f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Решение

Необходимо е да замените променливата y = 2 x, трябва да преминете към полином с коефициенти, равни на 1 на най-висока степен. Трябва да започнете, като умножите израза по 4. Разбираме това

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Когато получената функция на формата g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 има цели числа, тогава тяхното местоположение е сред делителите на свободния член. Записът ще изглежда така:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Нека да преминем към изчисляване на функцията g (y) в тези точки, за да получим нула като резултат. Разбираме това

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Откриваме, че y = - 5 е коренът на уравнение във формата y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, което означава, че x = y 2 = - 5 2 е коренът на оригиналната функция.

Пример 8

Необходимо е да се раздели с колона 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2.

Решение

Нека го запишем и получим:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Проверката на делителите ще отнеме много време, така че е по-изгодно да разложите на множители получения квадратичен трином от формата x 2 + 7 x + 3. Чрез приравняване на нула намираме дискриминанта.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Следва, че

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Изкуствени техники за факторизиране на полином

Рационалните корени не са присъщи на всички полиноми. За да направите това, трябва да използвате специални методи за намиране на фактори. Но не всички полиноми могат да бъдат разширени или представени като продукт.

Метод на групиране

Има случаи, когато можете да групирате членовете на полином, за да намерите общ множител и да го поставите извън скоби.

Пример 9

Разложете полинома на множители x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Решение

Тъй като коефициентите са цели числа, тогава корените вероятно също могат да бъдат цели числа. За да проверите, вземете стойностите 1, - 1, 2 и - 2, за да изчислите стойността на полинома в тези точки. Разбираме това

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Това показва, че няма корени, необходимо е да се използва друг метод за разширяване и решение.

Необходимо е да се групират:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8) x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

След като групирате оригиналния полином, трябва да го представите като произведение на два квадратни тринома. За да направим това, трябва да разложим на множители. разбираме това

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Коментирайте

Простотата на групирането не означава, че изборът на термини е достатъчно лесен. Няма специфичен метод за решаване, така че е необходимо да се използват специални теореми и правила.

Пример 10

Разложете полинома на множители x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Решение

Даденият полином няма цели корени. Термините трябва да бъдат групирани. Разбираме това

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

След разлагането на множители получаваме това

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Използване на формули за съкратено умножение и бином на Нютон за факторизиране на полином

Външният вид често не винаги показва кой метод трябва да се използва по време на разграждането. След като трансформациите са направени, можете да изградите линия, състояща се от триъгълника на Паскал, в противен случай те се наричат ​​бином на Нютон.

Пример 11

Разложете полинома на множители x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Решение

Необходимо е изразът да се преобразува във формата

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Последователността на коефициентите на сумата в скоби се обозначава с израза x + 1 4 .

Това означава, че имаме x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

След като приложим разликата на квадратите, получаваме

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Помислете за израза, който е във втората скоба. Ясно е, че там няма рицари, така че трябва да приложим отново формулата за разликата на квадратите. Получаваме израз на формата

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Пример 12

Разложете на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Решение

Нека започнем да трансформираме израза. Разбираме това

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Необходимо е да се приложи формулата за съкратено умножение на разликата на кубовете. Получаваме:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Метод за заместване на променлива при факторизиране на полином

При заместване на променлива степента се намалява и полиномът се факторизира.

Пример 13

Разложете на множители полинома от формата x 6 + 5 x 3 + 6 .

Решение

Според условието е ясно, че е необходимо да се направи замяната y = x 3. Получаваме:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Корените на полученото квадратно уравнение са y = - 2 и y = - 3, тогава

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Необходимо е да се приложи формулата за съкратено умножение на сбора от кубове. Получаваме изрази от вида:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Тоест получихме желаното разлагане.

Обсъдените по-горе случаи ще помогнат при разглеждането и факторизирането на полином по различни начини.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

В този урок ще научим как да разлагаме квадратни триноми на линейни множители. За да направим това, трябва да си спомним теоремата на Виета и нейното обратното. Това умение ще ни помогне бързо и удобно да разширим квадратните триноми в линейни множители и също така ще опрости редуцирането на дроби, състоящи се от изрази.

Така че нека се върнем към квадратното уравнение, където .

Това, което имаме от лявата страна, се нарича квадратен тричлен.

Теоремата е вярна:Ако са корените на квадратен трином, тогава идентичността е валидна

Където е водещият коефициент, са корените на уравнението.

И така, имаме квадратно уравнение - квадратен тричлен, където корените на квадратното уравнение също се наричат ​​корени на квадратния трином. Следователно, ако имаме корените на квадратен тричлен, тогава този тричлен може да се разложи на линейни множители.

Доказателство:

Доказателството на този факт се извършва с помощта на теоремата на Vieta, която обсъдихме в предишните уроци.

Нека си припомним какво ни казва теоремата на Виета:

Ако са корените на квадратен трином, за които , Тогава .

От тази теорема следва следното твърдение:

Виждаме, че според теоремата на Vieta, т.е. чрез заместване на тези стойности във формулата по-горе, получаваме следния израз

Q.E.D.

Спомнете си, че доказахме теоремата, че ако са корените на квадратен тричлен, тогава разширението е валидно.

Сега нека си спомним пример за квадратно уравнение, към което избрахме корени с помощта на теоремата на Виета. От този факт можем да получим следното равенство благодарение на доказаната теорема:

Сега нека проверим правилността на този факт, като просто отворим скобите:

Виждаме, че разложихме правилно и всеки тричлен, ако има корени, може да бъде разложен на множители съгласно тази теорема на линейни множители съгласно формулата

Нека обаче да проверим дали такова факторизиране е възможно за всяко уравнение:

Вземете, например, уравнението. Първо, нека проверим дискриминантния знак

И помним, че за да изпълним теоремата, която научихме, D трябва да е по-голямо от 0, така че в този случай разлагането на множители според теоремата, която научихме, е невъзможно.

Затова формулираме нова теорема: ако квадратният тричлен няма корени, тогава той не може да бъде разложен на линейни множители.

И така, разгледахме теоремата на Виета, възможността за разлагане на квадратичен трином на линейни множители и сега ще решим няколко проблема.

Задача No1

В тази група всъщност ще решим задачата, обратна на поставената. Имахме уравнение и намерихме корените му, като го разложихме на множители. Тук ще направим обратното. Да кажем, че имаме корените на квадратно уравнение

Обратната задача е следната: напишете квадратно уравнение, като използвате неговите корени.

Има 2 начина за решаване на този проблем.

Тъй като са корените на уравнението, тогава е квадратно уравнение, чиито корени са дадени числа. Сега нека отворим скобите и да проверим:

Това беше първият начин, по който създадохме квадратно уравнение с дадени корени, което няма други корени, тъй като всяко квадратно уравнение има най-много два корена.

Този метод включва използването на обратната теорема на Vieta.

Ако са корените на уравнението, тогава те отговарят на условието, че .

За редуцираното квадратно уравнение , , т.е. в този случай и .

Така създадохме квадратно уравнение, което има дадените корени.

Задача No2

Необходимо е да се намали фракцията.

Имаме тричлен в числителя и трином в знаменателя и тричлените могат или не могат да бъдат разложени на множители. Ако и числителят, и знаменателят са разделени на множители, тогава сред тях може да има равни множители, които могат да бъдат намалени.

Първо, трябва да разложите числителя на множители.

Първо, трябва да проверите дали това уравнение може да бъде факторизирано, нека намерим дискриминанта. Тъй като , знакът зависи от произведението (трябва да е по-малко от 0), в този пример, т.е. даденото уравнение има корени.

За да решим, използваме теоремата на Vieta:

В този случай, тъй като имаме работа с корени, ще бъде доста трудно просто да изберете корените. Но виждаме, че коефициентите са балансирани, т.е. ако приемем, че , и заместим тази стойност в уравнението, получаваме следната система: , т.е. 5-5=0. Така избрахме един от корените на това квадратно уравнение.

Вторият корен ще търсим, като заместим вече известното в системата от уравнения, например, , т.е. .

По този начин открихме и двата корена на квадратното уравнение и можем да заместим техните стойности в оригиналното уравнение, за да го разложим на множители:

Нека си спомним първоначалната задача, трябваше да намалим дробта.

Нека се опитаме да разрешим проблема, като заместим .

Необходимо е да не забравяме, че в този случай знаменателят не може да бъде равен на 0, т.е.

Ако тези условия са изпълнени, тогава сме намалили първоначалната дроб до формата .

Задача №3 (задача с параметър)

При какви стойности на параметъра е сумата от корените на квадратното уравнение

Ако корените на това уравнение съществуват, тогава , въпрос: кога.

Разширяването на полиноми за получаване на продукт понякога може да изглежда объркващо. Но не е толкова трудно, ако разбирате процеса стъпка по стъпка. Статията описва подробно как да факторизираме квадратен трином.

Много хора не разбират как да множат квадратен тричлен и защо се прави това. В началото може да изглежда като безсмислено упражнение. Но в математиката нищо не се прави за нищо. Трансформацията е необходима, за да се опрости изразът и да се улесни изчислението.

Полином от вида – ax²+bx+c, наречен квадратен трином.Терминът "а" трябва да бъде отрицателен или положителен. На практика този израз се нарича квадратно уравнение. Затова понякога го казват по различен начин: как да разширим квадратно уравнение.

Интересно!Полиномът се нарича квадрат поради най-голямата му степен, квадратът. И тричлен - заради 3-те компонента.

Някои други видове полиноми:

• линеен бином (6x+8);
• кубичен четиричлен (x³+4x²-2x+9).

Факторизиране на квадратен трином

Първо, изразът е равен на нула, след което трябва да намерите стойностите на корените x1 и x2. Може да няма корени, може да има един или два корена. Наличието на корени се определя от дискриминанта. Трябва да знаете формулата му наизуст: D=b²-4ac.

Ако резултатът D е отрицателен, няма корени. Ако е положителен, има два корена. Ако резултатът е нула, коренът е единица. Корените също се изчисляват по формулата.

Ако при изчисляване на дискриминанта резултатът е нула, можете да използвате всяка от формулите. На практика формулата е просто съкратена: -b / 2a.

Формулите за различните дискриминантни стойности са различни.

Ако D е положителен:

Ако D е нула:

Онлайн калкулатори

В интернет има онлайн калкулатор. Може да се използва за извършване на факторизация. Някои ресурси предоставят възможност за преглед на решението стъпка по стъпка. Такива услуги помагат да се разбере по-добре темата, но трябва да се опитате да я разберете добре.

Полезно видео: Разлагане на множители на квадратен трином

Примери

Предлагаме ви да разгледате прости примери за това как да факторизирате квадратно уравнение.

Пример 1

Това ясно показва, че резултатът е две х, защото D е положително. Те трябва да бъдат заменени във формулата. Ако корените се окажат отрицателни, знакът във формулата се променя на противоположния.

Знаем формулата за разлагане на квадратен трином: a(x-x1)(x-x2). Поставяме стойностите в скоби: (x+3)(x+2/3). Няма число пред член в степен. Това означава, че има един там, той отива надолу.

Пример 2

Този пример ясно показва как се решава уравнение, което има един корен.

Заменяме получената стойност:

Пример 3

Дадено: 5x²+3x+7

Първо, нека изчислим дискриминанта, както в предишните случаи.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Дискриминантът е отрицателен, което означава, че няма корени.

След получаване на резултата трябва да отворите скобите и да проверите резултата. Трябва да се появи оригиналният тричлен.

Алтернативно решение

Някои хора така и не успяха да се сприятеляват с дискриминатора. Има друг начин за разлагане на множители на квадратен трином. За удобство методът е показан с пример.

Дадено е: x²+3x-10

Знаем, че трябва да получим 2 скоби: (_)(_). Когато изразът изглежда така: x²+bx+c, в началото на всяка скоба поставяме x: (x_)(x_). Останалите две числа са произведението, което дава "c", т.е. в този случай -10. Единственият начин да разберете кои са тези числа е чрез избор. Заместените числа трябва да съответстват на оставащия член.

Например, умножаването на следните числа дава -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Не.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Не.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Не.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Пасва.

Това означава, че трансформацията на израза x2+3x-10 изглежда така: (x-2)(x+5).

важно!Трябва да внимавате да не объркате знаците.

Разгъване на сложен тричлен

Ако "а" е по-голямо от едно, започват трудностите. Но всичко не е толкова трудно, колкото изглежда.

За да разложите на множители, първо трябва да видите дали нещо може да бъде разложено на множители.

Например, даден е изразът: 3x²+9x-30. Тук числото 3 е извадено от скоби:

3(x²+3x-10). Резултатът е вече добре познатият тричлен. Отговорът изглежда така: 3(x-2)(x+5)

Как да разложим, ако членът, който е в квадрата, е отрицателен? В този случай числото -1 е извадено от скоби. Например: -x²-10x-8. Тогава изразът ще изглежда така:

Схемата се различава малко от предишната. Има само няколко нови неща. Да кажем, че е даден изразът: 2x²+7x+3. Отговорът също е изписан в 2 скоби, които трябва да бъдат попълнени в (_)(_). Във 2-ра скоба се пише х, а в 1-ва какво остава. Изглежда така: (2x_)(x_). В противен случай се повтаря предишната схема.

Числото 3 се дава от числата:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Решаваме уравнения, като заместваме тези числа. Последният вариант е подходящ. Това означава, че трансформацията на израза 2x²+7x+3 изглежда така: (2x+1)(x+3).

Други случаи

Не винаги е възможно да се преобразува израз. При втория метод не се изисква решаване на уравнението. Но възможността за трансформиране на термини в продукт се проверява само чрез дискриминанта.

Струва си да практикувате решаването на квадратни уравнения, така че при използването на формулите да няма трудности.

Полезно видео: разлагане на тричлен на множители

Заключение

Можете да го използвате по всякакъв начин. Но е по-добре да практикувате и двете, докато станат автоматични. Освен това е необходимо да се научат как да решават добре квадратни уравнения и да размножават полиноми за тези, които планират да свържат живота си с математиката. Всички следващи математически теми са изградени върху това.

Във връзка с

Разлагането на квадратни триноми е една от училищните задачи, с които всеки се сблъсква рано или късно. Как да го направим? Каква е формулата за разлагане на квадратен трином? Нека да го разберем стъпка по стъпка, използвайки примери.

Обща формула

Квадратните триноми се разлагат на множители чрез решаване на квадратно уравнение. Това е проста задача, която може да се реши по няколко метода - чрез намиране на дискриминанта, чрез теоремата на Виета, има и графично решение. Първите два метода се изучават в гимназията.

Общата формула изглежда така:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Алгоритъм за изпълнение на задачата

За да разложите на множители квадратни триноми, трябва да знаете теоремата на Вита, да имате под ръка програма за решаване, да можете да намирате решение графично или да търсите корени на уравнение от втора степен с помощта на дискриминантната формула. Ако е даден квадратен трином и той трябва да бъде факторизиран, алгоритъмът е следният:

1) Приравнете оригиналния израз на нула, за да получите уравнение.

2) Дайте подобни условия (ако е необходимо).

3) Намерете корените, като използвате всеки известен метод. Графичният метод се използва най-добре, ако предварително се знае, че корените са цели и малки числа. Трябва да се помни, че броят на корените е равен на максималната степен на уравнението, т.е. квадратното уравнение има два корена.

4) Заменете стойността хв израз (1).

5) Запишете разлагането на множители на квадратни триноми.

Примери

Практиката ви позволява най-накрая да разберете как се изпълнява тази задача. Примери илюстрират факторизацията на квадратен трином:

необходимо е да разширим израза:

Нека прибегнем до нашия алгоритъм:

1) x 2 -17x+32=0

2) подобни условия са намалени

3) използвайки формулата на Vieta, е трудно да се намерят корени за този пример, така че е по-добре да използвате израза за дискриминанта:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Нека заместим корените, които намерихме, в основната формула за разлагане:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Тогава отговорът ще бъде така:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Нека проверим дали решенията, намерени от дискриминанта, отговарят на формулите на Vieta:

14,845 . 2,155=32

За тези корени е приложена теоремата на Виета, те са намерени правилно, което означава, че разлагането, което получихме, също е правилно.

По подобен начин разширяваме 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

х 2 = -7-(337)1/2

В предишния случай решенията бяха нецели, а реални числа, които лесно се намират, ако имате калкулатор пред себе си. Сега нека разгледаме по-сложен пример, в който корените ще бъдат комплексни: фактор x 2 + 4x + 9. Използвайки формулата на Vieta, корените не могат да бъдат намерени и дискриминантът е отрицателен. Корените ще бъдат на сложната равнина.

D=-20

Въз основа на това получаваме корените, които ни интересуват -4+2i*5 1/2 и -4-2i * 5 1/2, тъй като (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Получаваме желаното разлагане чрез заместване на корените в общата формула.

Друг пример: трябва да разложите израза на множители 23x 2 -14x+7.

Имаме уравнението 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Това означава, че корените са 14+21.166i и 14-21.166i. Отговорът ще бъде:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(Х- 14+21,166i ).

Нека дадем пример, който може да бъде решен без помощта на дискриминант.

Да кажем, че трябва да разширим квадратното уравнение x 2 -32x+255. Очевидно може да се реши и с помощта на дискриминант, но в този случай е по-бързо да се намерят корените.

х 1 =15

х 2 =17

Средства x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).