Функции комплексной переменной.
Дифференцирование функций комплексной переменной.

Данная статья открывает серию уроков, на которых я рассмотрю типовые задачи, связанные с теорией функций комплексной переменной. Для успешного освоения примеров необходимо обладать базовыми знаниями о комплексных числах. В целях закрепления и повторения материала достаточно посетить страницу . Также потребуются навыки нахождения частных производных второго порядка . Вот они какие, эти частные производные… даже сам сейчас немного удивился, насколько часто встречаются…

Тема, которую мы начинаем разбирать, не представляет особых сложностей, и в функциях комплексной переменной, в принципе, всё понятно и доступно. Главное, придерживаться основного правила, которое выведено мной опытным путём. Читайте дальше!

Понятие функции комплексной переменной

Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:

Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.

В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:

Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Чем отличается функция комплексной переменной?

Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной , то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительные значения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:

Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных переменных.

Функция называется действительной частью функции .
Функция называется мнимой частью функции .

То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:

Пример 1

Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:

(1) В исходную функцию подставили .

(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.

(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что

(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).

(5) У второй группы выносим за скобки.

В результате наша функция оказалась представлена в виде

Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .

Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные . Без пощады – находить будем. Но чуть позже.

Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).

Пример 2

Найти действительную и мнимую часть функции

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!

Полное решение и ответ в конце урока.

Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.

Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.

Дифференцирование функций комплексной переменной.

У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .

Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.

Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:

1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .

2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана :

Только в этом случае будет существовать производная!

Пример 3

Решение раскладывается на три последовательных этапа:

1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:

Так как , то:

Таким образом:

– мнимая часть функции .

Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .

2) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.

Начнем с проверки условия . Находим частные производные :

Таким образом, условие выполнено.

Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.

Проверяем выполнение второго условия :

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.

3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:

Мнимая единица при дифференцировании считается константой.

Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .

Существуют еще два способа нахождения производной, они, конечно, применяются реже, но информация будет полезна для понимания второго урока – Как найти функцию комплексной переменной?

Производную можно найти по формуле:

В данном случае:

Таким образом

Предстоит решить обратную задачу – в полученном выражении нужно вычленить . Для того, чтобы это сделать, необходимо в слагаемых и вынести за скобку:

Обратное действие, как многие заметили, выполнять несколько труднее, для проверки всегда лучше взять выражение и на черновике либо устно раскрыть обратно скобки, убедившись, что получится именно

Зеркальная формула для нахождения производной:

В данном случае: , поэтому:

Пример 4

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.

Краткое решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Всегда ли выполняются условия Коши-Римана? Теоретически они чаще не выполняются, чем выполняются. Но в практических примерах я не припомню случая, чтобы они не выполнялись =) Таким образом, если у вас «не сошлись» частные производные, то с очень большой вероятностью можно сказать, что вы где-то допустили ошибку.

Усложним наши функции:

Пример 5

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить

Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавится новый пунктик: нахождение производной в точке. Для куба нужная формула уже выведена:

Определим действительную и мнимую части данной функции:

Внимание и еще раз внимание!

Так как , то:

Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Проверка второго условия:

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция является дифференцируемой:

Вычислим значение производной в требуемой точке:

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,

Функции с кубами встречаются часто, поэтому пример для закрепления:

Пример 6

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить .

Решение и образец чистового оформления в конце урока.

В теории комплексного анализа определены и другие функции комплексного аргумента: экспонента, синус, косинус и т.д. Данные функции обладают необычными и даже причудливыми свойствами – и это действительно интересно! Очень хочется рассказать, но здесь, так уж получилось, не справочник или учебник, а решебник, поэтому я рассмотрю ту же задачу с некоторыми распространенными функциями.

Сначала о так называемых формулах Эйлера :

Для любого действительного числа справедливы следующие формулы:

Тоже можете переписать в тетрадь в качестве справочного материала.

Строго говоря, формула всего одна, но обычно для удобства пишут и частный случай с минусом в показателе. Параметр не обязан быть одинокой буковкой, в качестве может выступать сложное выражение, функция, важно лишь, чтобы они принимали только действительные значения. Собственно, мы это увидим прямо сейчас:

Пример 7

Найти производную.

Решение: Генеральная линия партии остаётся непоколебимой – необходимо выделить действительную и мнимую части функции. Приведу подробное решение, и ниже закомментирую каждый шаг:

Поскольку , то:

(1) Подставляем вместо «зет».

(2) После подстановки нужно выделить действительную и мнимую часть сначала в показателе экспоненты. Для этого раскрываем скобки.

(3) Группируем мнимую часть показателя, вынося мнимую единицу за скобки.

(4) Используем школьное действие со степенями.

(5) Для множителя используем формулу Эйлера , при этом .

(6) Раскрываем скобки, в результате:

– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Дальнейшие действия стандартны, проверим выполнение условий Коши-Римана:

Пример 9

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Производную, так и быть, находить не станем.

Решение: Алгоритм решения очень похож на предыдущие два примера, но есть очень важные моменты, поэтому начальный этап я опять закомментирую пошагово:

Поскольку , то:

1) Подставляем вместо «зет».

(2) Сначала выделяем действительную и мнимую часть внутри синуса . В этих целях раскрываем скобки.

(3) Используем формулу , при этом .

(4) Используем чётность гиперболического косинуса : и нечётность гиперболического синуса : . Гиперболики, хоть и не от мира сего, но во многом напоминают аналогичные тригонометрические функции.

В итоге:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Внимание! Знак «минус» относится к мнимой части, и его ни в коем случае не теряем! Для наглядной иллюстрации полученный выше результат можно переписать так:

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполнены.

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены.

С косинусом, дамы и господа, разбираемся самостоятельно:

Пример 10

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Я специально подобрал примеры посложнее, поскольку с чем-нибудь вроде все справятся, как с очищенным арахисом. Заодно внимание потренируете! Орехокол в конце урока.

Ну и в заключение рассмотрю ещё один интересный пример, когда комплексный аргумент находится в знаменателе. Пару раз в практике встречалось, разберём что-нибудь простое. Эх, старею…

Пример 11

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Решение: Снова необходимо выделить действительную и мнимую часть функции.
Если , то

Возникает вопрос, что же делать, когда «зет» находится в знаменателе?

Всё бесхитростно – поможет стандартный приём умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение , он уже применялся в примерах урока Комплексные числа для чайников . Вспоминаем школьную формулу . В знаменателе у нас уже есть , значит, сопряженным выражением будет . Таким образом, нужно умножить числитель и знаменатель на :

Понятие функции комплексной переменной

Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:

Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.

В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:

Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Чем отличается функция комплексной переменной?

Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной, то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительныезначения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:

Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной

Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных переменных.

Функция называется действительной частью функции .
Функция называется мнимой частью функции .

Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:

(1) В исходную функцию подставили .

(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.

(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что

(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).

(5) У второй группы выносим за скобки.

В результате наша функция оказалась представлена в виде

Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .

Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные . Без пощады – находить будем. Но чуть позже.

Найти действительную и мнимую часть функции

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!

Полное решение и ответ в конце урока.

Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.

Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.

Дифференцирование функций комплексной переменной.
Условия Коши-Римана

Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.

2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана:

Только в этом случае будет существовать производная!

Решение раскладывается на три последовательных этапа:

Так как , то:

Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .

3) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.

Начнем с проверки условия . Находим частные производные :

Таким образом, условие выполнено.

Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.

3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:

Мнимая единица при дифференцировании считается константой.

Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .

Интеграл ФКП. Теорема Коши.

Формула (52 ) называется интегральной формулой Коши или интегралом Коши. Если в качестве контура в (52 ) выбрать окружность , то, заменяя и учитывая, что - дифференциал длины дуги , интеграл Коши можно представить в виде формулы среднего значения:

Помимо самостоятельного значения интегральной формулы Коши, (52 ), (54 ) фактически дают очень удобный способ вычисления контурных интегралов, которые, как видно, будут выражаться через значение "остатка" подынтегральной функции в точке, где эта функция имеет особенность .

Пример 3-9. Вычислить интеграл от функции по контуру (рис.20 ).

Решение. Точка , в которой функция имеет особенность, в отличие от примера 4-1, находится внутри окружности . Представим интеграл в форме (52 ):

Формула Коши.

Пусть - область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция - голоморфна в и - точка внутри области . Тогда справедлива следующая формула Коши:

Формула справедлива также, если предполагать, что голоморфна внутри , и непрерывна на замыкании, а также если граница не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.(Голоморфная функция-функция комплексного числа, кусочно-гладкая- функция вещественного числа)

Элементарные ФКП: функция Тейлора, тригонометрические функции, гиперболические функции, обратные тригонометрические функции, логарифмические функции, формула Коши.

1. Производная и дифференциал. Определения производной и дифференциала функции комплексного переменного дословно совпадают с соответствующими определениями для функций одного действительного переменного.

Пусть функция w = f(z) = и + iv определена в некоторой окрестности U точки zo. Дадим независимому переменному z = х + гу приращение Az = А.г + гАу, не выводящее за пределы окрестности U. Тогда функция w = f(z) получит соответствующее приращение Aw = = f(z 0 + Дг) - f(z 0).

Производной функции w = f(z) в точке zq называется предел отношения приращения функции Aw к приращению аргумента Az при стремлении Az к нулю (произвольным образом).

Производная обозначается f"(z Q), w или у-. Определение производной можно записать в виде

Предел в (6.1) может и не существовать; тогда говорят, что функция w = f(z) не имеет производной в точке zq.

Функция w = f(z) называется дифференцируемой о точке Zq , если она определена в некоторой окрестности U точки zq и ее приращение Aw можно представить в виде

где комплексное число Л не зависит от А г, а функция а(Аг) - бесконечно малая при Az -» 0, т.е. Пт а(Аг) = 0.

Так же как и для функций действительного переменного, доказывается, что функция f(z) дифференцируема в точке zq тогда и только тогда, когда она имеет производную в zo . причем А = f"(zo). Выражение f"(zo)Az называется дифференциалом функции f(z) в точке Zq и обозначается dw или df(zo). При этом приращение Az независимого переменного -г называется также дифференциалом переменного г и

обозначается dz. Таким образом,

Дифференциал есть главная линейная часть приращения функции.

Пример 6.1. Исследовать, имеет ли функция w = /(г) = Rez производную в произвольной точке Zq.

Решение. По условию, ш = Rea = х. В силу определения производной, предел (С.1) не должен зависеть от того, по какому пути

точка z = Zq + Az приближается к го при Az -? 0. Возьмем вначале Az - Ах (рис. 15, а). Так как Aw = Ах. то = 1. Если

же взять Az = iAy (рис. 15, б ), то Ах = 0 и, следовательно, Aw = 0.

Значит, и = 0. Поэтому предат отношения при Az -> 0 не A z A z

существует и, следовательно, функция w = Re г = х не имеет производной ни в одной точке.

В то же время функция w = z = х + iy, очевидно, имеет производную в любой точке го, и /"(го) = 1. Отсюда ясно, что действительная и мнимая части дифференцируемой функции /(г) не могут быть произвольными; они должны быть связанными некоторыми дополнительными соотношениями. Эти соотношения возникают оттого, что условие существования производной /"(го) существенно более ограничительно, чем условие существования производной функций одного действительного переменного или частных производных функций нескольких действительных переменных: требуется, чтобы предел в (6.1) существовал и не зависел от пути, по которому точка г = = го + Аг приближается к го при Аг 0. Для вывода указанных соотношений напомним определение дифференцируемости функции двух переменных.

Действительная функция и = и(х,у) действительных переменных х и у называется дифференцируемой в точке Ро(хо,уо), если она определена в некоторой окрестности точки Д> и ее полное приращение А и = и(х о + Ах, у о + А у) - и(хо,Уо) представимо в виде

где В и С - действительные числа, не зависящие от Дж, Ау, а {3 Ах и Ау, стремящиеся к нулю при Ах -» 0, Ау -> 0.

Если функция и дифференцируема в точке Ро, то она имеет част-

г, „ ди (Р 0) ^ ди(Ро) гт ,

ные производные в Ро, причем В = ---, С = ---. Но (в отли-

ох ау

чие от функций одной переменной) из существования частных производных функции и(х,у) еще не следует ее дифференцируемость.

2. Условия Коши-Римана.

Теорема 6.1. Пусть функция w = f(z) комплексного переменного z = (ж, у) определена в окрестности точки, zq = (жо, у о) и f(z) = и(х,у) +iv(x, y). Для того, чтобы f(z) была дифференцируемой в точке Zq, необходимо и достаточно, чтобы функции и(х, у) XI v(x, y) были дифференцируемыми в точке (жо, уо) и чтобы в этой, точке выполнялись условия

Равенства (6.4) называются условиями Коши-Римана .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция w = f(z) дифференцируема в точке zq, т.е.

Обозначим f"(zo) = а + ib а(Дг) = fi(Ax, Ау) + г7(Дж, Ay); Az = Ах + (Ау, где /3 и 7 - действительные функции переменных Ах, Ау, стремящиеся к нулю при Дж -> 0, Ау -> 0. Подставляя эти равенства в (6.5) и выделяя действительные и мнимые части, получим:

Поскольку равенство комплексных чисел равносильно равенству их действительных и мнимых частей, то (6.6) равносильно системе равенств

Равенства (6.7) означают, что функции и(х,у ), v(x,y) удовлетворяют условию (6.3) и, следовательно, являются дифференцируемыми. Так как коэффициенты при Дж и Ау равны частным производным по ж и у соответственно, то из (6.7) получаем

откуда и следуют условия (6.4).

Достаточность. Предположим теперь, что функции и(х, у) и v(x,y) дифференцируемы в точке (хо.уо) и и(х,у) и выполнены условия (6.4).

Обозначая а = ^, 6=-^ и применяя (6.4), придем к равенствам (6.8). Из (6.8) и условия дифференцируемости функций и(х,у), v(x,y) имеем

где ft, 7i, ft, д -2 - функции, стремящиеся к нулю при Ах -> 0, Ау -> -> 0. Отсюда

An + iAv = (о + ib)(Ах + i.Ay) + (ft + ift)Ax + (71 + *72)Ay. (6.9) Определим функцию а(Дг) равенством

и положим А = а 4- ib. Тогда (6.9) перепишется в виде равенства

которое совпадает с (6.2). Дня доказательства дифференцируемости

функции f(z) осталось показать, что lim a(Az) = 0. Из равенства

следует, что Ах ^ |Дг|, Ау ^ |Дг|. Поэтому

Если Az -? 0, то Ах -? 0, Ау -> 0, а значит, и функции ft, ft, 71, 72 стремятся к нулю. Поэтому а(Дг) -> 0 при Az -> 0, и доказательство теоремы 6.1 закончено.

Пример 6.2. Выяснить, является ли функция w = z 2 дифференцируемой; если да, то в каких точках?

Решение, w = и + iv = (х + iy ) 2 = х 2 - у 2 + 2ixy, откуда и = = х 2 - у 2 , V = 2ху. Следовательно,

Таким образом, условия (6.4) Коши-Римана выполнены в каждой точке; значит, функция w = г 2 будет дифференцируемой в С.

Пример 6.3. Исследовать дифференцируемость функции w = - z - x - iy.

Р е ш е н и е. w = u + iv = x - iy, откуда и = х, v = -у и

Таким образом, условия Коши-Римана не выполнены ни в одной точке, и, следовательно, функция w = z нигде не дифференцируема.

Проверять дифференцируемость функции и находить производные можно непосредственно по формуле (6.1).

П р и м е р 6.4. Используя формулу (6.1), исследовать дифференцируемость функции IV = z 2 .

Решение. Aw - (zq + Az) 2 - Zq = 2 zqAz -I- (Az) 2 , откуда

Следовательно, функция w = zr дифференцируема в любой точке 2о, и ее производная f"(zo) = 2 zo-

Так как основные теоремы о пределах сохраняются для функции комплексного переменного, а определение производной функции комплексного переменного также не отличается от соответствующего определения для функций действительного переменного, то известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и сложной функции остаются справедливыми и для функций комплексного переменного. Аналогично доказывается также, что если функция f(z) дифференцируема в точке zo. то она непрерывна в этой точке; обратное утверждение неверно.

3. Аналитические функции. Функция w = /(^дифференцируемая нс только в самой точке zq, но и в некоторой окрестности этой точки, называется аналитической в точке zq. Если f(z) является аналитической в каждой точке области D, то она называется аналитической (регулярной, голоморфной) в области D.

Из свойств производных сразу следует", что если f(z) и g(z) - аналитические функции в области D, то функции f(z) + g(z), f(z) - g(z ), f(z) g(z) также аналитичны в области D, а частное f(z)/g(z) аналитическая функция во всех точках области D. в которых g(z) ф 0. Например, функция

является аналитической в плоскости С с выброшенными точками z = = 1 и z - i.

Из теоремы о производной сложной функции вытекает следующее утверждение: если функция и = u(z ) аналитична в области D и отображает D в область D" переменного и, а функция w = f(u) аналитична в области D" , то сложная функция w = f(u(z)) переменного z аналитична в D.

Введем понятие функции, аналитической в замкнутой области D. Отличие от открытой области здесь в том, что добавляются точки границы, не имеющие окрестности, принадлежащей D; поэтому производная в этих точках нс определена. Функция f(z) называется аналитической (регулярной , голоморфной ) в замкнутой области D , если эту функцию можно продолжить в некоторую более широкую область D i, содержащую D, до аналитической в D функции.

Условия (6.4) изучались еще в XVIII в. Даламбером и Эйлером. Поэтомуих иногда называют также условиями Даламбера-Эйлера, что с историческойточки зрения более правильно.

Теорема

Для того чтобы функция w = f (z ) , определённая в некоторой области D комплексной плоскости, была дифференцируема в точке z 0 = x 0 + i y 0 как функция комплексного переменного z , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части u и v были дифференцируемы в точке (x 0 ,y 0) как функции вещественных переменных x и y и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши - Римана:

; ;

Если условия Коши - Римана выполнены, то производная f "(z ) представима в любой из следующих форм:

Доказательство

Следствия

История

Эти условия впервые появились в работе д"Аламбера (1752 г.). В работе Эйлера , доложенной Петербургской академии наук в 1777 г. , условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций. Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 г. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 г.

Литература

Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. - М.: Наука , . - 577 с.
Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. - 2-е изд., перераб. - М.: Наука , . - 464 с.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. - М.-Л.: Государственное издательство, . - 316 с.
Евграфов М. А. Аналитические функции. - 2-е изд., перераб. и дополн. - М.: Наука , . - 472 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Условия Коши - Римана" в других словарях:

Римана, называемые также условиями д’Аламбера Эйлера соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного. Содержание 1 Формулировка … Википедия

Условия Коши Римана, или условия Д’Аламбера Эйлера условия на вещественную u = u(x,y) и мнимую v = v(x,y) части функции комплексного переменного, обеспечивающие бесконечную непрерывную дифференцируемость f(z) как функции комплексного… … Википедия

Д Аламбера Эйлера условия, условия на действительную и=и(х, у).и мнимую v= v(x, у).части функции комплексного переменного обеспечивающие моногенность и аналитичность f(z) как функции комплексного переменного. Для того чтобы функция w=f(z),… … Математическая энциклопедия

Огюстен Луи Коши Augustin Louis Cauchy … Википедия

Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ … Википедия

Пусть функция W = f (Z ) задана на некотором множестве иZ 0 , принадлежащая E , предельная точка этого множества. Придадим Z 0 = x 0 + i · y 0 приращение ΔZ = Δx + i · Δy , чтобы точка Z = Z 0 + ΔZ принадлежала множеству Е . Тогда функция W = u + i · v = f (Z ) = u (x , y )+ i · v (x , y ). Получим приращение ΔW = Δu + i · Δv = f (Z 0 + ΔZ ) - f (Z 0 ) = Δf (Z 0 ) ,
.

Если существует конечный предел
, то он называетсяпроизводной функции f (Z ) в точке Z 0 по множеству E , и обозначается
,
,
, W " .

Формально производная функция комплексного переменного определяется точно так же как и производная функции вещественного переменного, но содержание их различно.

В определении производной функции f (x ) вещественной переменной в точке х 0 , x → х 0 вдоль прямой. В случае функции комплексного переменного f (Z ), Z может стремиться к Z 0 по любому пути плоскости, ведущему в точку Z 0 .

Поэтому требование существования производной функции комплексного переменного очень жестко. Этим и объясняется, что даже простые функции комплексного переменного не имеют производной.

Пример.

Рассмотрим функцию W = = x - i · y . Покажем, что эта функция не имеет производной ни в одной точке. Возьмем любую точку Z 0 = x 0 + i · y 0 , придадим ей приращение ΔZ = Δx + i · Δy , тогда функция получит приращение . Значит

,
,

Будем вначале рассматривать ΔZ = Δx + i · Δy такие, что Δx → 0 , а Δy = 0 , т. е. точка Z 0 + ΔZ → Z 0 по горизонтальной прямой. При этом мы получим, что

Будем теперь рассматривать приращение ∆Z такими, что ∆x = 0 , а ∆y → 0 , т.е. когда Z 0 + ∆ Z → Z 0 по вертикальной прямой, при этом очевидно будет
.

Полученные пределы различные, поэтому отношение не имеет предела при∆ Z → 0 , то есть функция
не имеет производной в любой точкеZ 0 .

Выясним смысл производной по множеству. Пусть E – действительная ось, и W = f (Z ) = x , тогда это есть обычная вещественная функция вещественной переменной f (x ) = x и ее производная будет равна 1 (
).

Пусть теперь Е – это вся плоскость (Z) . Покажем, что функция f (Z ) = x в этом случае не имеет производной ни в одной точке. Действительно, в данном случае
.Отсюда видно, что если
а
, то
. Если же
, а
, то
.Следовательно, отношение не имеет предела при
, поэтому функция f (Z ) = x не имеет производной ни в одной точке
.

Отметим, что если рассматривается комплексно-значная функция вещественной переменной , то из определения производной непосредственно вытекает, что
, следовательно,(этопроизводная по вещественной оси).

Формула для приращения функций.

Пусть функция W = f (Z ) имеет в точке Z 0 производную
. Покажем, что имеет место представление(1), где величина
, когда
.

Действительно, по определению производной имеем
, следовательно, величина
, когда
. Поэтому имеет место представление (1) (умножим обе части на
и перенесем
в левую часть).

Лекция №8 Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного

Функция W = f (Z ) называется дифференцируемой в точке Z 0 , если в этой точке имеет место представление (2), гдеA – фиксированное комплексное число, а величина
стремится к нулю, когда
.

Если функция W = f (Z ) дифференцируема в точке Z 0 , то главная линейная относительно
ее частьA ·
приращение
в точкеZ 0 называется дифференциалом функции f (Z ) в точке и обозначается
.

Имеет место теорема.

Теорема.

Для того чтобы функция W = f (Z ) была дифференцируема в точке Z 0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную
, при этом всегда оказывается, что в представлении (2)
.

Доказательство .

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке Z 0 . Покажем, что она имеет в этой точке конечную производную, и что эта производная равна числу А . В силу дифференциации f (Z ) в точке Z 0 имеет место представление (2), значит
(3). Производя здесь предельный переход при
получим, что
, значит
.

Достаточность. Пусть функция f (Z ) имеет в точке Z 0 конечную производную
. Покажем, что имеет место представление (2). В силу существования производной
имеет место представление (1), но это и есть представление (2), в которомA =
. Достаточность установлена.

Как мы знаем, дифференциал , принимая в качестве дифференциала независимой переменнойZ ее приращение
, то есть, полагая
, мы можем записать
и поэтому
(это отношение дифференциалов, а не единый символ).