Рассмотрим квадратное уравнение .

Определим его корни .

Не существует действительного числа, квадрат которого равен -1. Но если формулой определить оператор i как мнимую единицу, то решение этого уравнения можно записать в виде . При этом и - комплексные числа, в которых -1 это действительная часть, 2 или во втором случае -2 – мнимая часть. Мнимая часть – это также действительное (вещественное) число. Мнимая часть, умноженная на мнимую единицу, означает уже мнимое число .

В общем виде комплексное число имеет вид

z = x + iy ,

где x, y – вещественные числа, – мнимая единица. В ряде прикладных наук, например, в электротехнике, электронике, теории сигналов мнимая единица обозначается через j . Вещественные числа x = Re{z} и y = Im{ z} называются вещественной и мнимой частями числа z. Выражение называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Любое действительное число есть частный случай комплексного числа в виде . Мнимое число тоже частный случай комплексного числа .

Определение множества комплексных чисел С

Это выражение читается следующим образом: множество С , состоящее из элементов , таких что x и y принадлежат множеству действительных чисел R и - это мнимая единица. Отметим, что и т.д.

Два комплексных числа и равны, если и только если равны их действительные и мнимые части, т.е. и .

Комплексные числа и функции широко используются в науке и технике, в частности, в механике, анализе и расчете цепей переменного тока, аналоговой электронике, в теории и обработке сигналов, в теории автоматического управления и др. прикладных науках.

1. Арифметика комплексных чисел

Сложение двух комплексных чисел состоит в сложении их действительных и мнимых частей, т.е.

Соответственно разность двух комплексных чисел

Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z = x + iy.

Комплексно сопряженные числа z и z * отличаются знаками мнимой части. Очевидно, что

.

Любое равенство между комплексными выражениями остается справедливым, если в этом равенстве всюду i заменить на - i , т.е. перейти к равенству сопряженных чисел. Числа i и – i алгебраически неразличимы, поскольку .

Произведение (умножение) двух комплексных чисел может быть вычислено следующим образом:

Деление двух комплексных чисел:

Пример :

1. Комплексная плоскость

Комплексное число графически можно представить в прямоугольной системе координат. Зададим в плоскости прямоугольную систему координат (x, y).

На оси Ox будем располагать действительные части x , она называется действительной (вещественной) осью , на оси Oy –мнимые части y комплексных чисел. Она носит название мнимой оси . При этом каждому комплексному числу соответствует определенная точка плоскости, и такая плоскость называется комплексной плоскостью . Точке А комплексной плоскости будет соответствовать вектор ОА .

Число x называется абсциссой комплексного числа , число y – ординатой .

Пара комплексно сопряженных чисел отображается точками, расположенными симметрично относительно действительной оси.

Если на плоскости задать полярную систему координат , то каждое комплексное число z определяется полярными координатами . При этом модуль числа – это полярный радиус точки, а угол - её полярный угол или аргумент комплексного числа z .

Модуль комплексного числа всегда неотрицательный. Аргумент комплексного числа не определяется однозначно. Главное значение аргумента должно удовлетворять условию . Каждой точке комплексной плоскости соответствует также общее значение аргумента . Аргументы, отличающиеся значением, кратным 2π, считаются равными. Аргумент числа нуль не определен.

Главное значение аргумента определяют по выражениям:

Очевидно, что

При этом
, .

Представление комплексного числа z в виде

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Пример .

1. Показательная форма комплексных чисел

Разложение в ряд Маклорена для функций действительного аргумента имеет вид:

Для экспоненциальной функции комплексного аргумента z разложение имеет аналогичный характер

.

Разложение в ряд Маклорена для экспоненциальной функции мнимого аргумента можно представить как

Получившееся тождество называется формулой Эйлера .

Для отрицательного аргумента оно имеет вид

Комбинируя эти выражения, можно определить следующие выражения для синуса и косинуса

.

Пользуясь формулой Эйлера, из тригонометрической формы представления комплексных чисел

можно получить показательную (экспоненциальную, полярную) форму комплексного числа, т.е. его представление в виде

,

где - полярные координаты точки с прямоугольными координатами (x, y ).

Число, сопряженное комплексному числу , в показательной форме записывается следующим образом .

Для показательной формы легко определить следующие формулы умножения и деления комплексных чисел

Т.е., в показательной форме произведение и деление комплексных чисел выполняется проще, чем в алгебраической форме. При умножении модули сомножителей перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое число сомножителей. В частности, при умножении комплексного числа z на i вектор z поворачивается против часовой стрелки на 90

При делении модуль числителя делится на модуль знаменателя, и из аргумента числителя вычитается аргумент знаменателя.

Используя показательную форму комплексных чисел, можно получить выражения для известных тригонометрических тождеств. Например, из тождества

с помощью формулы Эйлера можно записать

Приравнивая действительную и мнимую части в данном выражении, получаем выражения для косинуса и синуса суммы углов

1. Степени, корни и логарифмы комплексных чисел

Возведение комплексного числа в натуральную степень n производится по формуле

Пример . Вычислим .

Представим число в тригонометрической форме

’

Применяя формулу возведения в степень, получим

Положив в выражении значение r = 1, получим так называемую формулу Муавра , при помощи которой можно определять выражения синусов и косинусов кратных углов.

Корень n –й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, определяемых по выражению

Пример . Найдем .

Для этого выразим комплексное число () к тригонометрической форме

.

По формуле вычисления корня из комплексного числа, получаем

Логарифм комплексного числа z – это число w , для которого . Натуральный логарифм комплексного числа имеет бесконечное множество значений и вычисляется по формуле

Состоит из действительной (косинусоидальной) и мнимой (синусоидальной) части. Такое напряжение можно представлять как вектор длиной U m , начальной фазой (углом) , вращающийся с угловой скоростью ω .

При этом если комплексные функции складываются, то складываются их вещественные и мнимые части. Если комплексная функция умножается на константу или вещественную функцию, то её вещественная и мнимая части умножаются на тот же множитель. Дифференцирование / интегрирование такой комплексной функции сводится к дифференцированию / интегрированию вещественной и мнимой части.

Например, дифференцирование выражения комплексного напряжения

заключается в умножении его на iω - вещественная часть функции f(z), а – мнимая часть функции. Примеры: .

Значение z изображается точкой в комплексной плоскости z, а соответствующее значение w - точкой в комплексной плоскости w . При отображении w = f(z) линии плоскости z переходят в линии плоскости w , фигуры одной плоскости в фигуры другой, но формы линий или фигур могут существенно измениться.

Комплексные числа - расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и - вещественные числа, - мнимая единица.

Запись комплексного числа в виде , , называется алгебраической формой комплексного числа.

Свойства комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме:

Рассмотрим правила, по которым производятся арифметические действия над комплекс­ными числами.

Если даны два комплексных числа α = a + bi и β = c + di, то

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i . (11)

Это следует из определения действий сложения и вычитания двух упорядоченных пар действительных чисел (см. формулы (1) и (3)). Мы получили правила сложения и вычитания комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, надо отдельно сложить их действительные части и соответственно мни­мые части; чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, необходимо вычесть соответственно их действительные и мнимые части.

Число – α = – a – bi называют противополож­ным числу α = a + bi . Сумма двух этих чисел равна нулю: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Для получения правила умножения комплексных чисел воспользуемся формулой (6), т. е. тем, что i2 = -1. Учитывая это соотношение, находим (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, т.е.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Эта формула соответствует формуле (2), которой определялось умножение упорядоченных пар дей­ствительных чисел.

Отметим, что сумма и произведение двух комп­лексно сопряженных чисел являются действительными числами. Всамомделе, еслиα = a + bi, = a – bi, тоα = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i= 2a, т.е.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

При делении двух комплексных чисел в алгеб­раической форме следует ожидать, что частное вы­ражается также числом того же вида, т. е. α/β = u + vi, где u, v R. Выведем правило деления комплексных чисел. Пусть даны числа α = a + bi, β = c + di, причем β ≠ 0, т. е. c2 + d2 ≠ 0. Послед­нее неравенство означает, что c и d одновременно в нуль не обращаются (исключается случай, когда с = 0, d = 0). Применяя формулу (12) и вто­рое из равенств (13), находим:

Следовательно, частное двух комплексных чисел определяется формулой:

соответствующей формуле (4).

С помощью полученной формулы для числа β = с + di можно найти обратное ему число β-1 = 1/β. Полагая в формуле (14) а = 1, b = 0, получаем

Эта формула определяет число, обратное данному комплексному числу, отличному от нуля; это число также является комплексным.

Например: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

55. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа (вывод).

Арг.ком.числа. – между положительным направлением действительной оси Х вектором изображающим данное число.

Формула тригон. Числа: ,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Алгебраической формой комплексного числа является запись комплексного числа \(\ z \) в виде \(\ z=x+i y \), где \(\ x \) и \(\ y \) - вещественные числа, \(\ i \) - мнимая единица, удовлетворяющая соотношению \(\ i^{2}=-1 \)

Число \(\ x \) называется вещественной частью комплексного числа \(\ z \) и обозначается \(\ x=\operatorname{Re} z \)

Число \(\ y \) называется мнимой частью комплексного числа \(\ z \) и обозначается \(\ y=\operatorname{Im} z \)

Например:

Комплексное число \(\ z=3-2 i \) и его присоединенное число \(\ \overline{z}=3+2 i \)записаны в алгебраической форме.

Мнимая величина \(\ z=5 i \)записывается в алгебраической форме.

Кроме того, в зависимости от решаемой задачи вы можете перевести комплексное число в тригонометрическую или экспоненциальную.

Задача

Напишите число \(\ z=\frac{7-i}{4}+13 \) в алгебраической форме, найдите ее действительную и мнимую части, а также сопряженное число.

Решение.

Применяя термин деление фракций и правило сложения дробей, получим:

\(\ z=\frac{7-i}{4}+13=\frac{7}{4}+13-\frac{i}{4}=\frac{59}{4}-\frac{1}{4} i \)

Поэтому вещественная часть комплексного числа \(\ z=\frac{5 g}{4}-\frac{1}{4} i \) есть число \(\ x=\operatorname{Re} z=\frac{59}{4} \) , мнимая часть - число \(\ y=\operatorname{Im} z=-\frac{1}{4} \)

Сопряженное число: \(\ \overline{z}=\frac{59}{4}+\frac{1}{4} i \)

Ответ

\(\ z=\frac{59}{4}-\frac{1}{4} i \), \(\ \operatorname{Re} z=\frac{59}{4} \), \(\ \operatorname{Im} z=-\frac{1}{4} \), \(\ \overline{z}=\frac{59}{4}+\frac{1}{4} i \)

Действия комплексных чисел в алгебраической форме сравнение

Два комплексных числа \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) называются равными, если \(\ x_{1}=x_{2} \), \(\ y_{1}=y_{2} \) т. e. Их действительная и мнимая части равны.

Задача

Определить, для каких х и у два комплексных числа \(\ z_{1}=13+y i \) и \(\ z_{2}=x+5 i \) равны.

Решение

По определению два комплексных числа равны, если их действительная и мнимая части равны, т. e. \(\ x=13 \), \(\ y=5 \).

Ответ \(\ x=13 \), \(\ y=5 \)

прибавление

Добавление комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) выполняется путем прямого суммирования вещественной и мнимой частей:

\(\ z_{1}+z_{2}=x_{1}+i y_{1}+x_{2}+i y_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right) \)

Задача

Найти сумму комплексных чисел \(\ z_{1}=-7+5 i \), \(\ z_{2}=13-4 i \)

Решение.

Действительной частью комплексного числа \(\ z_{1}=-7+5 i \) является число \(\ x_{1}=\operatorname{Re} z_{1}=-7 \) , мнимая часть - число \(\ y_{1}=\mathrm{Im} \), \(\ z_{1}=5 \) . Реальная и мнимая части комплексного числа \(\ z_{2}=13-4 i \) равны соответственно \(\ x_{2}=\operatorname{Re} z_{2}=13 \) и \(\ y_{2}=\operatorname{Im} z_{2}=-4 \) .

Следовательно, сумма комплексных чисел:

\(\ z_{1}+z_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right)=(-7+13)+i(5-4)=6+i \)

Ответ

\(\ z_{1}+z_{2}=6+i \)

Подробнее о добавлении комплексных чисел в отдельной статье: Добавление комплексных чисел.

Вычитание

Вычитание комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) выполняется путем прямого вычитания действительной и мнимой частей:

\(\ z_{1}-z_{2}=x_{1}+i y_{1}-\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1}-x_{2}+\left(i y_{1}-i y_{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right) \)

Задача

найти разницу сложных чисел \(\ z_{1}=17-35 i \), \(\ z_{2}=15+5 i \)

Решение.

Найдите действительную и мнимую части комплексных чисел \(\ z_{1}=17-35 i \), \(\ z_{2}=15+5 i \) :

\(\ x_{1}=\operatorname{Re} z_{1}=17, x_{2}=\operatorname{Re} z_{2}=15 \)

\(\ y_{1}=\operatorname{Im} z_{1}=-35, y_{2}=\operatorname{Im} z_{2}=5 \)

Поэтому разница комплексных чисел:

\(\ z_{1}-z_{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right)=(17-15)+i(-35-5)=2-40 i \)

Ответ

\(\ z_{1}-z_{2}=2-40 i \) умножение

Умножение комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \)выполняется путем непосредственного рождения чисел в алгебраической форме с учетом свойства мнимой единицы \(\ i^{2}=-1 \) :

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1}+i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} \cdot x_{2}+i^{2} \cdot y_{1} \cdot y_{2}+\left(x_{1} \cdot i y_{2}+x_{2} \cdot i y_{1}\right)= \)

\(\ =\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right) \)

Задача

Найти произведение комплексных чисел \(\ z_{1}=1-5 i \)

Решение.

Комплекс комплексных чисел:

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5)=15-23 i \)

Ответ

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=15-23 i \) разделение

Фактор комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) определяется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число с знаменателем:

\(\ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}+i y_{1}}{x_{2}+i y_{2}}=\frac{\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}{\left(x_{2}+i y_{2}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}=\frac{x_{1} \cdot x_{2}+y_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+i \frac{x_{2} \cdot y_{1}-x_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \)

Задача

Чтобы разделить число 1 на комплексное число \(\ z=1+2 i \).

Решение.

Поскольку мнимая часть действительного числа 1 равна нулю, фактор равен:

\(\ \frac{1}{1+2 i}=\frac{1 \cdot 1}{1^{2}+2^{2}}-i \frac{1 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}}=\frac{1}{5}-i \frac{2}{5} \)

Ответ

\(\ \frac{1}{1+2 i}=\frac{1}{5}-i \frac{2}{5} \)

Комплексные числа

Мнимые и комплексные числа. Абсцисса и ордината

комплексного числа. Сопряжённые комплексные числа.

Операции с комплексными числами. Геометрическое

представление комплексных чисел. Комплексная плоскость.

Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая

форма комплексного числа. Операции с комплексными

числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D < 0 (здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики

и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа записываются в виде: a + bi . Здесь a и b – действительные числа , а i – мнимая единица, т. e . i 2 = –1. Число a называется абсциссой , a b – ординатой комплексного числа a + bi . Два комплексных числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Основные договорённости:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a + 0 i или a – 0 i . Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5 .

2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом . Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi .

3. Два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d . В противном случае комплексные числа не равны.

Сложение. Суммой комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (a + c ) + (b + d ) i . Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + (b – d ) i .

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число:

( ac – bd ) + (ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

1) числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i 2 = – 1.

П р и м е р . (a+ bi )( a – bi ) = a 2 + b 2 . Следовательно, произведение

двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному

положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) - значит найти третье число e + f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c + di , даёт в результате делимое a + bi .

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р. Найти (8 + i ) : (2 – 3 i ) .

Р е ш е н и е. Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3 i

И выполнив все преобразования, получим:

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью .

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной (комплексной ) плоскости. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi | или буквой r

План урока.

1. Организационный момент.

2. Изложение материала.

3. Домашнее задание.

4. Подведение итогов урока.

Ход урока

I. Организационный момент .

II. Изложение материала .

Мотивация.

Расширение множества вещественных чисел состоит в том, что к действительным числам присоединяются новые числа (мнимые). Введение этих чисел связано с невозможностью во множестве действительных чисел извлечения корня из отрицательного числа.

Введение понятия комплексного числа.

Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi , где i – мнимая единица, причем i 2 = - 1 .

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

Определение . Комплексным числом называется выражение вида a + bi , где a и b - действительные числа. При этом выполняются условия:

а) Два комплексных числа a 1 + b 1 i и a 2 + b 2 i равны тогда и только тогда, когда a 1 =a 2 , b 1 =b 2 .

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i .

в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i .

Алгебраическая форма комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a : a + 0i = a .

Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi : 0 + bi = bi .

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

1) Сложение.

Определение . Суммой комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i называется комплексное число z , действительная часть которого равна сумме действительных частей z 1 и z 2 , а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z 1 и z 2 , то есть z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i .

Числа z 1 и z 2 называются слагаемыми.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 .

2º. Ассоциативность: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Комплексное число –a –bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi . Комплексное число, противоположное комплексному числу z , обозначается -z . Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i) .

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i .

2) Вычитание.

Определение. Вычесть из комплексного числа z 1 комплексное число z 2 z, что z + z 2 = z 1 .

Теорема . Разность комплексных чисел существует и притом единственна.

Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) - (-3 + 2i) .

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i .

3) Умножение.

Определение . Произведением комплексных чисел z 1 =a 1 +b 1 i и z 2 =a 2 +b 2 i называется комплексное число z , определяемое равенством: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i .

Числа z 1 и z 2 называются сомножителями.

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z 1 z 2 = z 2 z 1 .

2º. Ассоциативность: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

4º. z · = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2 - действительное число.

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i) .

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i .

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i .

4) Деление.

Определение . Разделить комплексное число z 1 на комплексное число z 2 , значит найти такое комплексное число z , что z · z 2 = z 1 .

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z 2 ≠ 0 + 0i .

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z 1 = a 1 + b 1 i , z 2 = a 2 + b 2 i , тогда

.

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное .

5) Возведение в целую положительную степень.

а) Степени мнимой единицы.

Пользуясь равенством i 2 = -1 , легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 и т. д.

Это показывает, что значения степени i n , где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17) · i 23 .

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.