11 Основные функции комплексной переменной
Напомним определение комплексной экспоненты – . Тогда
Разложение в ряд Маклорена. Радиус сходимости этого ряда равен +∞, значит комплексная экспонента аналитична на всей комплексной плоскости и
(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)
Первое равенство здесь следует, например, из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.
11.1 Тригонометрические и гиперболические функции
Синусом комплексного переменного называется функция
Косинус комплексного переменного есть функция
Гиперболический синус комплексного переменного определяется так:
Гиперболический косинус комплексного переменного -- это функция
Отметим некоторые свойства вновь введеных функций.
A. Если x∈ ℝ , то cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ .
Б. Имеет место следующая связь тригонометрических и гиперболических функций:
cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; sh iz=isin z.
В. Основные тригонометрическое и гиперболическое тождества :
cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.
Доказательство основного гиперболического тождества.
Основное тригонометрическое тождество следует из оновного гиперболического тождества при учете связи тригонометрических и гиперболических функций (см. свойство Б)
Г Формулы сложения :
В частности,
Д. Для вычисления производных тригонометрических и гиперболических функций следует применить теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Получим:
(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.
Е. Функции cos z, ch z четны, а функции sin z, sh z нечетны.
Ж. (Периодичность) Функция e z периодична с периодом 2π i. Функции cos z, sin z периодичны с периодом 2π , а функции ch z, sh z периодичны с периодом 2πi. Более того,
Применяя формулы суммы, получаем
З . Разложения на действительную и мнимую части :
Если однозначная аналитическая функция f(z) отображает биективно область D на область G, то D называется областью однолистности.
И. Область D k ={ x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Доказательство. Из соотношения (5) следует инъективность отображения exp:D k → ℂ . Пусть w -- любое ненулевое комплексное число. Тогда, решая уравнения e x =|w| и e iy =w/|w| с действительными переменными x и y (y выбираем из полуинтеравала ); иногда вводятся в рассмотрение… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Функции, обратные по отношению к гиперболическим функциям (См. Гиперболические функции) sh х, ch х, th х; они выражаются формулами (читается: ареа синус гиперболический, ареа косинус гиперболический, ареа тангенс… … Большая советская энциклопедия
Функции, обратные к гиперболич. функциям; выражаются формулами … Естествознание. Энциклопедический словарь
Обратные гиперболические функции определяются как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x2 − y2 = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину… … Википедия
Книги
- Гиперболические функции , Янпольский А.Р.. В книге излагаются свойства гиперболических и обратных гиперболических функций и даются соотношения между ними и другими элементарными функциями. Показаны применения гиперболических функций к…
Его можно записать в параметрическом виде, используя гиперболические функции (этим и объясняется их название).
Обозначим y= b·sht , тогда х2 / а2=1+sh2t =ch2t . Откуда x=± a·cht .
Таким образом мы приходим к следующим параметрическим уравнениям гиперболы:
У= в ·sht , – < t < . (6)
Рис. 1.
Знак ""+"" в верхней формуле (6) соответствует правой ветви гиперболы, а знак ""– "" - левой (см. рис. 1). Вершинам гиперболы А(– а; 0) и В(а; 0) соответствует значение параметра t=0.
Для сравнения можно привести параметрические уравнения эллипса, использующие тригонометрические функции:
X=а·cost ,
Y=в·sint , 0 t 2p . (7)
3. Очевидно, что функция y=chx является четной и принимает только положительные значения. Функция y=shx – нечетная, т.к. :
Функции y=thx и y=cthx являются нечетными как частные четной и нечетной функции. Отметим, что в отличие от тригонометрических, гиперболические функции не являются периодическими.
4.
Исследуем поведение функции y= cthx в окрестности
точки разрыва х=0:
Таким образом ось Оу является вертикальной
асимптотой графика функции y=cthx . Определим
наклонные (горизонтальные) асимптоты:
Следовательно, прямая у=1 является правой горизонтальной асимптотой графика функции y=cthx . В силу нечетности данной функции ее левой горизонтальной асимптотой является прямая у= –1. Нетрудно показать, что эти прямые одновременно являются асимптотами и для функции y=thx. Функции shx и chx асимптот не имеют.
2) (chx)"=shx (показывается аналогично).
4) 
Здесь так же прослеживается определенная аналогия с тригонометрическими функциями. Полная таблица производных всех гиперболических функций приведена в разделе IV.
Тангенс, котангенс
Определения гиперболических функций, их области определений и значений
sh x - гиперболический синус, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - гиперболический косинус
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y < +∞ .
th x - гиперболический тангенс
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - гиперболический котангенс
, x ≠ 0 ; y < -1 или y > +1 .
Графики гиперболических функций
График гиперболического синуса y = sh x
График гиперболического косинуса y = ch x
График гиперболического тангенса y = th x
График гиперболического котангенса y = cth x
Формулы с гиперболическими функциями
Связь с тригонометрическими функциями
sin
iz = i sh
z ; cos
iz = ch
z
sh
iz = i sin
z ; ch
iz = cos
z
tg
iz = i th
z ; ctg
iz = - i cth
z
th
iz = i tg
z ; cth
iz = - i ctg
z
Здесь i
- мнимая единица, i 2 = -1
.
Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.
Четность
sh(-x) = - sh x
;
ch(-x) = ch x
.
th(-x) = - th x
;
cth(-x) = - cth x
.
Функция ch(x) - четная. Функции sh(x) , th(x) , cth(x) - нечетные.
Разность квадратов
ch 2 x - sh 2 x = 1 .
Формулы суммы и разности аргументов
sh(x ± y) = sh
x ch
y ± ch
x sh
y
,
ch(x ± y) = ch
x ch
y ± sh
x sh
y
,
,
,
sh 2
x = 2 sh
x ch
x
,
ch 2
x = ch 2
x + sh 2
x
= 2 ch 2
x - 1 = 1 + 2 sh 2
x
,
.
Формулы произведений гиперболического синуса и косинуса
,
,
,
,
,
.
Формулы суммы и разности гиперболических функций
,
,
,
,
.
Связь гиперболического синуса и косинуса с тангенсом и котангенсом
,
,
,
.
Производные
,
Интегралы от sh x, ch x, th x, cth x
,
,
.
Разложения в ряды
Обратные функции
Ареасинус
При - ∞ < x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Ареакосинус
При 1
≤ x < ∞
и 0
≤ y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Вторая ветвь ареакосинуса расположена при 1
≤ x < ∞
и - ∞ < y ≤ 0
:
.
Ареатангенс
При - 1
< x < 1
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
Наряду с обнаруженной нами в комплексной области связью между тригонометрическими и показательной функциями (формулы Эйлера)
в комплексной области имеется такное очень простая связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.
Напомним, что, согласно определению:
Если в тождестве (3) произвести замену на то в правой части получится то самое выражение, которое стоит в правой части тождества откуда вытекает равенство левых частей. То же самое имеет место для тождеств (4) и (2).
Путем деления обеих частей тождества (6) на соответствующие части тождества (5) и, наоборот, (5) на (6) получим:
Аналогичная замена в тождествах (1) и (2) и сравнение С тождествами (3) и (4) дают:
Наконец, из тождеств (9) и (10) находим:
Если в тождествах (5)-(12) положить где х - действительное число, т. е. считать аргумент чисто мнимым, то получим еще восемь тождеств между тригонометрическими функциями чисто мнимого аргумента и соответствующими гиперболическими функциями действительного аргумента, а также между гиперболическими функциями чисто мнимого Аргумента и соответствующими тригонометрическими функциями действительного аргумента:
Полученные соотношения дают возможность переходить от тригонометрических функций к гиперболическим и от
гиперболических функций к тригонометрическим с заменой мнимого аргумента действительным. Они могут быть сформулированы в виде следующего правила:
Для перехода от тригонометрических функций мнимого аргумента к гиперболическим или, наоборот, от гиперболических функций мнимого аргумента к тригонометрическим следует у синуса и тангенса мнимую единицу вынести за знак функции, а у косинуса отбросить ее вовсе.
Установленная связь замечательна, в частности, тем, что позволяет получить все соотношения между гиперболическими функциями из известных соотношений между тригономет рическими функциями путем замены последних гипербёли ческими функциями
Покажем, как это. делается.
Возьмем для примера основное тригонометрическое тож дество
и положим в нем где х - действительное число; получим:
Если в этом тождестве заменить синус и косинус гипербо лическими синусом и косинусом по формулам то получим или а это и есть основное тождество между выведенное ранее другим путем.
Аналогичным образом можно вывести все остальные формулы, в том числе формулы для гиперболических функций суммы и разности аргументов, двойного и половинного аргументов и т. , таким образом, из обычной тригонометрии получить «гиперболическую тригонометрию».
