В этой статье мы разберем, во-первых, что понимают под оценкой значений выражения или функции, и, во-вторых, как оцениваются значения выражений и функций. Сначала введем необходимые определения и понятия. После этого подробно опишем основные методы получения оценок. По ходу будем приводить решения характерных примеров.
Что значит оценить значение выражения?
Нам не удалось найти в школьных учебниках явного ответа на вопрос, что понимается под оценкой значения выражения. Попробуем сами разобраться с этим, отталкиваясь от тех крупиц информации по этой теме, которые все же содержатся в учебниках и в сборниках задач для подготовки к ЕГЭ и поступлению в ВУЗы.
Давайте посмотрим, что можно найти по интересующей нас теме в книгах. Приведем несколько цитат:
В двух первых примерах фигурируют оценки чисел и числовых выражений. Там мы имеем дело с оценкой одного единственного значения выражения. В остальных примерах фигурируют оценки, относящиеся к выражениям с переменными. Каждому значению переменной из ОДЗ для выражения или из некоторого интересующего нас множества X (которое, понятно, является подмножеством области допустимых значений) соответствует свое значение выражения. То есть, если ОДЗ (или множество X ) не состоит из единственного числа, то выражению с переменной отвечает множество значений выражения. В этом случае приходится говорить про оценку не одного единственного значения, а про оценку всех значений выражения на ОДЗ (или множестве X ). Такая оценка имеет место для любого значения выражения, соответствующего некоторому значению переменной из ОДЗ (или множества X ).
За рассуждениями мы немного отвлеклись от поиска ответа на вопрос, что значит оценить значение выражения. Приведенные выше примеры продвигают нас в этом деле, и позволяют принять два следующих определения:
Определение
Оценить значение числового выражения – это значит указать числовое множество, содержащее оцениваемое значение. При этом указанное числовое множество будет оценкой значения числового выражения.
Определение
Оценить значения выражения с переменной на ОДЗ (или на множестве X ) – это значит указать числовое множество, содержащее все значения, которые принимает выражение на ОДЗ (или на множестве X ). При этом указанное множество будет оценкой значений выражения.
Несложно убедиться, что для одного выражения можно указать не единственную оценку. Например, числовое выражение можно оценить как , или 
, или 
, или , и т.д. Это же касается и выражений с переменными. Например, выражение 
на ОДЗ можно оценить как 
, или 
, или 
, и т.д. В связи с этим в записанные определения стоит добавить уточнение, касающееся указываемого числового множества, представляющего собой оценку: оценка не должна быть абы какой, она должна отвечать целям, для которых ее находят. Например, для решения уравнения 
подходит оценка 
. Но эта оценка уже не подходит для решения уравнения 
, здесь значения выражения 
нужно оценить иначе, например, так: 
.
Стоит отдельно отметить, что одной из оценок значений выражения f(x) является область значений соответствующей функции y=f(x) .
В заключение этого пункта обратим внимание на форму записи оценок. Обычно, оценки записываются при помощи неравенств. Вы наверняка это и так заметили.
Оценка значений выражения и оценка значений функции
По аналогии с оценкой значений выражения можно говорить про оценку значений функции. Это выглядит довольно естественно, особенно если при этом иметь в виду функции, заданные формулами, ведь оценка значений выражения f(x) и оценка значений функции y=f(x) по сути есть одно и то же, что очевидно. Более того, процесс получения оценок часто удобно описывать именно в терминах оценки значений функции. В частности, в определенных случаях получение оценки выражения проводится через нахождение наибольшего и наименьшего значений соответствующей функции.
О точности оценок
В первом пункте этой статьи мы сказали, что для выражения могут иметь место множество оценок его значений. Являются ли одни из них лучше других? Это зависит от решаемой задачи. Поясним на примере.
Например, используя методы оценки значений выражений, которые описаны в следующих пунктах, можно получить две оценки значений выражения 
: первая - это 
, вторая - это 
. Трудозатраты на получение этих оценок существенно отличаются. Первая из них практически очевидна, а получение второй оценки сопряжено с нахождением наименьшего значения подкоренного выражения и дальнейшим использованием свойства монотонности функции извлечения квадратного корня. В некоторых случаях с решением поставленной задачи позволяет справиться любая из оценок. Например, любая из наших оценок позволяет решить уравнение 
. Понятно, что в этом случае мы бы ограничились нахождением первой очевидной оценки, и, естественно, не напрягались бы в нахождении второй оценки. Но в других случаях может оказаться, что одна из оценок не подходит для решения поставленной задачи. Например, первая наша оценка не позволяет решить уравнение 
, а оценка позволяет это сделать. То есть, в этом случае первой очевидной оценки нам было бы недостаточно, и нам пришлось бы находить вторую оценку.
Так мы подошли к вопросу о точности оценок. Можно детально определить, что понимать под точностью оценки. Но для наших нужд в этом нет особой надобности, нам будет достаточно упрощенного представления о точности оценки. Давайте договоримся воспринимать точность оценки как некоторый аналог точности приближения
. То есть, давайте из двух оценок значений некоторого выражения f(x)
считать более точной ту, которая «ближе» к области значений функции y=f(x)
. В этом смысле оценка является самой точной из всех возможных оценок значений выражения , так как она совпадает с областью значений соответствующей функции 
. При этом понятно, что оценка точнее оценки . Другими словами, оценка грубее оценки .
Есть ли смысл все время искать самые точные оценки? Нет. И дело здесь в том, что для решения задач часто хватает сравнительно грубых оценок. А главное преимущество таких оценок перед точными оценками в том, что часто их значительно проще получить.
Основные методы получения оценок
Оценки значений основных элементарных функций
Оценка значений функции y=|x|
Помимо основных элементарных функций, хорошо изученной и полезной в плане получения оценок является функция y=|x| . Нам известна область значений этой функции: ; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
М.: 2014 - 288с. М.: 2012 - 256с.
«Решебник» содержит ответы ко всем заданиям и упражнениям из «Дидактических материалов по алгебре 8 класс»; подробно разобраны методы и способы их решения. «Решебник» адресован исключительно родителям учащихся, для проверки домашних заданий и помощи в решении задач. За короткое время родители смогут стать вполне эффективными домашними репетиторами.
Формат: pdf (201 4 , 28 8с., Ерин В.К.)
Размер: 3,5 Мб
Смотреть, скачать: drive.google
Формат: pdf (2012 , 256 с., Морозов А.В.)
Размер: 2,1 Мб
Смотреть, скачать: ссылки удалены (см. примечание!!)
Формат: pdf (2005 , 224с., Федоскина Н.С.)
Размер: 1,7 Мб
Смотреть, скачать: drive.google
Оглавление
Самостоятельные работы 4
Вариант 1 4
в многочлен (повторение) 4
С-2. Разложение на множители (повторение) 5
С-3. Целые и дробные выражения 6
С-4. Основное свойство дроби. Сокращение дробей 7
С-5. Сокращение дробей (продолжение) 9
с одинаковыми знаменателями 10
с разными знаменателями 12
знаменателями (продолжение) 14
С-9. Умножение дробей 16
С-10. Деление дробей 17
С-11. Все действия с дробями 18
С-12. Функция 19
С-13. Рациональные и иррациональные числа 22
С-14. Арифметический квадратный корень 23
С-15. Решение уравнений вида х2=а 27
квадратного корня 29
С-17. Функция у=\/х 30
Произведение корней 31
Частное корней 33
С-20. Квадратный корень из степени 34
Внесение множителя под знак корня 37
содержащих квадратные корни 39
С-23. Уравнения и их корни 42
Неполные квадратные уравнения 43
С-25. Решение квадратных уравнений 45
(продолжение) 47
С-27. Теорема Виета 49
квадратных уравнений 50
множители. Биквадратные уравнения 51
С-30. Дробные рациональные уравнения 53
рациональных уравнений 58
С-32. Сравнение чисел (повторение) 59
С-33. Свойства числовых неравенств 60
С-34. Сложение и умножение неравенств 62
С-35. Доказательство неравенств 63
С-36. Оценка значения выражения 65
С-37. Оценка погрешности приближения 66
С-38. Округление чисел 67
С-39. Относительная погрешность 68
С-40. Пересечение и объединение множеств 68
С-41. Числовые промежутки 69
С-42. Решение неравенств 74
С-43. Решение неравенств (продолжение) 76
С-44. Решение систем неравенств 78
С-45. Решение неравенств 81
переменную под знаком модуля 83
С-47. Степень с целым показателем 87
степени с целым показателем 88
С-49. Стандартный вид числа 91
С-50. Запись приближенных значений 92
С-51. Элементы статистики 93
(повторение) 95
С-53. Определение квадратичной функции 99
С-54. Функция у=ах2 100
С-55. График функции у=ах2+Ьж+с 101
С-56. Решение квадратных неравенств 102
С-57. Метод интервалов 105
Вариант 2 108
С-1. Преобразование целого выражения
в многочлен (повторение) 108
С-2. Разложение на множители (повторение) 109
С-3. Целые и дробные выражения ПО
С-4. Основное свойство дроби.
Сокращение дробей 111
С-5. Сокращение дробей (продолжение) 112
С-6. Сложение и вычитание дробей
с одинаковыми знаменателями 114
С-7. Сложение и вычитание дробей
с разными знаменателями 116
С-8. Сложение и вычитание дробей с разными
знаменателями (продолжение) 117
С-9. Умножение дробей 118
С-10. Деление дробей 119
С-11. Все действия с дробями 120
С-12. Функция 121
С-13. Рациональные и иррациональные числа 123
С-14. Арифметический квадратный корень 124
С-15. Решение уравнений вида х2=а 127
С-16. Нахождение приближенных значений
квадратного корня 129
С-17. Функция y=Vx 130
С-18. Квадратный корень из произведения.
Произведение корней 131
С-19. Квадратный корень из дроби.
Частное корней 133
С-20. Квадратный корень из степени 134
С-21. Вынесение множителя из-под знака корня
Внесение множителя под знак корня 137
С-22. Преобразование выражений,
содержащих квадратные корни 138
С-23. Уравнения и их корни 141
С-24. Определение квадратного уравнения.
Неполные квадратные уравнения 142
С-25. Решение квадратных уравнений 144
С-26. Решение квадратных уравнений
(продолжение) 146
С-27. Теорема Виета 148
С-28. Решение задач с помощью
квадратных уравнений 149
С-29. Разложение квадратного трехчлена на
множители. Биквадратные уравнения 150
С-30. Дробные рациональные уравнения 152
С-31. Решение задач с помощью
рациональных уравнений 157
С-32. Сравнение чисел (повторение) 158
С-33. Свойства числовых неравенств 160
С-34. Сложение и умножение неравенств 161
С-35. Доказательство неравенств 162
С-36. Оценка значения выражения 163
С-37. Оценка погрешности приближения 165
С-38. Округление чисел 165
С-39. Относительная погрешность 166
С-40. Пересечение и объединение множеств 166
С-41. Числовые промежутки 167
С-42. Решение неравенств 172
С-43. Решение неравенств (продолжение) 174
С-44. Решение систем неравенств 176
С-45. Решение неравенств 179
С-46. Уравнения и неравенства, содержащие
переменную под знаком модуля 181
С-47. Степень с целым показателем 185
С-48. Преобразование выражений, содержащих
степени с целым показателем 187
С-49. Стандартный вид числа 189
С-50. Запись приближенных значений 190
С-51. Элементы статистики 192
С-52. Понятие функции. График функции
(повторение) 193
С-53. Определение квадратичной функции 197
С-54. Функция у=ах2 199
С-55. График функции y=ax2+txr+c 200
С-56. Решение квадратных неравенств 201
С-57. Метод интервалов 203
Контрольные работы 206
Вариант 1 206
К-1 206
К-2 208
К-3 212
К-4 215
К-5 218
К-6 221
К-7 223
К-8 226
К-9 229
К-10 (итоговая) 232
Вариант 2 236
К-1А 236
К-2А 238
К-ЗА 242
К-4А 243
К-5А 246
К-6А 249
К-7А 252
К-8А 255
К-9А (итоговая) 257
Итоговое повторение по темам 263
Осенняя олимпиада 274
Весенняя олимпиада 275
«Сложение и вычитание алгебраических дробей» - Алгебраические дроби. 4а?b. Изучение новой темы. Цели: Вспомним! Кравченко Г. М. Примеры:
«Степени с целым показателем» - Феоктистов Илья Евгеньевич Москва. 3. Степень с целым показателем (5 ч) п.43. Преподавание алгебры в 8 классе с углубленным изучением математики. Запоздалое введение степени с целым отрицательным показателем… Знать определение степени с целым отрицательным показателем. 2.
«Виды квадратных уравнений» - Неполные квадратные уравнения. Вопросы... Полные квадратные уравнения. Квадратные уравнения. Определение квадратного уравнения Виды квадратных уравнений Решение квадратных уравнений. Способы решения квадратных уравнений. Группа «Дискриминанта»: Миронов А., Мигунов Д., Зайцев Д., Сидоров Е, Иванов Н., Петров Г. Приведенное квадратное уравнение. Выполнили: ученики 8 «в» класса. Метод выделения полного квадрата. Виды квадратных уравнений. Пусть. Графический способ.
«Числовые неравенства 8 класс» - А-с>0. Неравенства. А<0 означает, что а – отрицательное число. >= «Больше или равно». b>c. Пишут a>b или a
«Решение квадратных уравнений теорема Виета» - Один из корней уравнения равен 5. Задание №1. МОУ «Кисловская СОШ». Руководитель: учитель математики Баранникова Е. А. Кисловка – 2008 г. (Презентация к уроку алгебры в 8 классе). Найдите х2 и к. Работу выполнила: ученица 8 класса Слинько В. Решение квадратных уравнений с применением теоремы Виета.
Наш «Решебник» содержит ответы ко всем заданиям и упражнениям из «Дидактических материалов по алгебре 8 класс»; подробно разобраны методы и способы их решения. «Решебник» адресован исключительно родителям учащихся, для проверки домашних заданий и помощи в решении задач.
За короткое время родители смогут стать вполне эффективными домашними репетиторами.
Вариант 1 4
в многочлен (повторение) 4
С-2. Разложение на множители (повторение) 5
С-3. Целые и дробные выражения 6
С-4. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 7
С-5; Сокращение дробей (продолжение) 9
с одинаковыми знаменателями 10
с разными знаменателями 12
знаменателями (продолжение) 14
С-9. Умножение дробей 16
С-10. Деление дробей 17
С-11. Все действия с дробями 18
С-12. Функция 19
С-13. Рациональные и иррациональные числа 22
С-14. Арифметический квадратный корень 23
С-15. Решение уравнений вида х2=а 27
С-16. Нахождение приближенных значений
квадратного корня 29
С-17. Функция у=д/х 30
Произведение корней 31
Частное корней 33
С-20. Квадратный корень из степени 34
С-21. Вынесение множителя из-под знака корня Внесение множителя под знак корня 37
С-23. Уравнения и их корни 42
Неполные квадратные уравнения 43
С-25. Решение квадратных уравнений 45
(продолжение) 47
С-27. Теорема Виета 49
С-28. Решение задач с помощью
квадратных уравнений 50
множители. Биквадратные уравнения 51
С-30. Дробные рациональные уравнения 53
С-31. Решение задач с помощью
рациональных уравнений 58
С-32. Сравнение чисел (повторение) 59
С-33. Свойства числовых неравенств 60
С-34. Сложение и умножение неравенств 62
С-35. Доказательство неравенств 63
С-36. Оценка значения выражения 65
С-37. Оценка погрешности приближения 66
С-38. Округление чисел 67
С-39. Относительная погрешность 68
С-40. Пересечение и объединение множеств 68
С-41. Числовые промежутки 69
С-42. Решение неравенств 74
С-43. Решение неравенств (продолжение) 76
С-44. Решение систем неравенств 78
С-45. Решение неравенств 81
переменную под знаком модуля 83
С-47. Степень с целым показателем 87
степени с целым показателем 88
С-49. Стандартный вид числа 91
С-50. Запись приближенных значений 92
С-51. Элементы статистики 93
(повторение) 95
С-53. Определение квадратичной функции 99
С-54. Функция у=ах2 100
С-55. График функции у=ах2+Ьж+с 101
С-56. Решение квадратных неравенств 102
С-57. Метод интервалов 105
Вариант 2 108
С-1. Преобразование целого выражения
в многочлен (повторение) 108
С-2. Разложение на множители (повторение) 109
С-3. Целые и дробные выражения 110
С-4. Основное свойство дроби.
Сокращение дробей 111
С-5. Сокращение дробей (продолжение) 112
С-6. Сложение и вычитание дробей
с одинаковыми знаменателями 114
С-7. Сложение и вычитание дробей
е разными знаменателями 116
С-8. Сложение и вычитание дробей с разными
знаменателями (продолжение) 117
С-9. Умножение дробей, 118
С-10. Деление дробей 119
С-11. Все действия с дробями 120
С-12. Функция 121
С-13. Рациональные и иррациональные числа 123
С-14. Арифметический квадратный корень 124
С-15. Решение уравнений вида х2—а 127
С-16. Нахождение приближенных значений квадратного корня 129
С-17. Функция у=\/х " 130
С-18. Квадратный корень из произведения.
Произведение корней 131
С-19. Квадратный корень из дроби.
Частное корней 133
С-20. Квадратный корень из степени 134
С-21. Вынесение множителя из-под знака корня
Внесение множителя под знак корня 137
С-22. Преобразование выражений,
С-23. Уравнения и их корни 141
С-24. Определение квадратного уравнения.
Неполные квадратные уравнения 142
С-25. Решение квадратных уравнений 144
С-26. Решение квадратных уравнений
(продолжение) 146
С-27. Теорема Виета 148
С-28. Решение задач с помощью
квадратных уравнений 149
С-29. Разложение квадратного трехчлена на
множители. Биквадратные уравнения 150
С-30. Дробные рациональные уравнения 152
С-31. Решение задач с помощью
рациональных уравнений 157
С-32. Сравнение чисел (повторение) 158
С-33. Свойства числовых неравенств 160
С-34. Сложение и умножение неравенств 161
С-35. Доказательство неравенств 162
С-36. Оценка значения выражения 163
С-37. Оценка погрешности приближения 165
С-38. Округление чисел 165
С-39. Относительная погрешность 166
С-40. Пересечение и объединение множеств 166
С-41. Числовые промежутки 167
С-42. Решение неравенств 172
С-43. Решение неравенств (продолжение) 174
С-44. Решение систем неравенств 176
С-45. Решение неравенств 179
С-46. Уравнения и неравенства, содержащие
переменную под знаком модуля 181
С-47. Степень с целым показателем 185
С-48. Преобразование выражений, содержащих
степени с целым показателем 187
С-49. Стандартный вид числа 189
С-50. Запись приближенных значений 190
С-51. Элементы статистики 192
С-52. Понятие функции. График функции
(повторение) 193
С-53. Определение квадратичной функции 197
С-54. Функция у=ах2 199
С-55. График функции у=ах24-Ьж+с 200
С-56. Решение квадратных неравенств 201
С-57. Метод интервалов 203
Контрольные работы 206
Вариант 1 206
К-10 (итоговая) 232
Вариант 2 236
К-2А 238
К-ЗА 242
К-9А (итоговая) 257
Итоговое повторение по темам 263
Осенняя олимпиада 274
Весенняя олимпиада 275
35 соединяет признаки чисел 3 и 5. Тройка резонирует с вибрациями вдохновения и радости, энтузиазма и самовыражения. Это триединство прошлого, настоящего и будущего; тела, разума и духа. Человек под знаком тройки энергичный, талантливый, честный, гордый и независимый.
Пятерка добавляет в копилку общей вибрации долю эмоциональности и свободного выбора. Среди минусов - избыточная чувствительность и частые перепады настроения, негативное действие которых компенсируются оптимизмом тройки. 35 в общем выражении олицетворяет креативную энергию, благоприятные возможности, стремление к перемене мест.
Связь числа с характером
Что значит цифра 35 в судьбе человека, если она определяется по дате рождения? Оно наделяет его особой харизмой, которая притягивает к нему друзей и последователей. Такие люди всегда окружены поклонниками, которые выбирают их на роль общественного деятеля или неформального лидера.
Негативная сторона этой числовой комбинации заключается в том, что человек использует свой авторитет для личного обогащения. У представителей 35 слабо развита духовная сфера. Заражаясь прагматизмом и тщеславием, они способны, невзирая на лица, «идти по головам» к намеченной цели.
Магические свойства
Мистический смысл 35 связан с тем, что оно предрекает встречу со смертельно опасным искушением. Избежать тяжелых ошибок такого испытания можно только сохраняя спокойствие и рассудительность.
Сакральные сопоставления числа можно найти в Библии, где оно упоминается 5 раз. Именно на тридцать пятый день поста в пустыне Люцифер приблизился к Иисусу, чтобы искусить его.
Что означает число 35, если часто встречается
Если ангелы-хранители заставляют вас все время видеть 35, они показывают, что вы не достигаете своих целей. Вы честны и усердны, но удача обходит вас стороной.
Вы сталкиваетесь с бесчисленными препятствиями и озадачены своим будущим. Такое влияние оказывает на вашу жизнь управитель числа 35 – планета Сатурн. Его скрытое действие проявляется через цифру 8, которая получается сложением 3 и 5. Возможно, вы уклоняетесь от своего предназначения и играете чужую роль. Чтобы найти истинное призвание, прислушайтесь, чего просит душа, и последуйте ее негласному призыву.
