Функции двух переменных, частные производные, дифференциалы и градиент
Тема 5. Функции двух переменных.
частные производные
Определение функции двух переменных, способы задания.
Частные производные.
Градиент функции одной переменной
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области
1. Определение функции нескольких переменных, способы задания
Для функции двух переменных
областью определения
является некоторое множество точек на плоскости
, а областью значений - промежуток на оси
.
Для наглядного представления функции двух перемен ных применяются линии уровня .
Пример
.
Для функции
построить график и линии уровня. Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку
.
Графиком линейной функции является плоскость в пространстве.
Для функции график представляет собой плоскость, проходящую через точки
,
,
.
Линиями уровня функции
являются параллельные прямые, уравнение которых
.
Для линейной функции двух переменных
линии уровня задаются уравнением
и представляют собой семейство параллельных прямых на плоскости.
4
График функции 0 1 2 Х
Линии уровня функции
Частные прои зводные функции двух переменных
Рассмотрим функцию
. Придадим переменной в точке
произвольное приращение
, оставляя значение переменной неизменным
. Соответствующее приращение функции
называется частным приращением функции по переменной
в точке
.
Аналогично определяется частное приращение функции по переменной : .
Обозначение
частной производной по
: , ,
,
.
Частной производной функции по переменной называется конечный предел:
Обозначения: , ,
,
.
Для нахождения частной производной
по переменной используются правила дифференцирования функции одной переменной, считая переменную постоянной..
Аналогично, для нахождения частной производной по переменной постоянной считается переменная .
Пример
. Для функции
найти частные производные
,
и вычислить их значения в точке
.
Частная производная функции
по переменной находится в предположении, что постоянна:
Найдем частную производную функции по , считая постоянной :
Вычислим значения частных производных при
,
:
;
.
Частными производными второго порядка функции нескольких переменных называются частные производные от частных производных первого порядка.
Запишем для функции частные производные 2-го порядка:
;
;
;
.
;
и т.д.
Если смешанные частные производные функции нескольких переменных непрерывны в некоторой точке
, то они равны между собой
в этой точке. Значит, для функции двух переменных значения смешанных частных производных не зависят от порядка дифференцирования:
.
Пример.
Для функции найти частные производные второго порядка
и
.
Решение
Смешанная частная производная находится последовательным дифференцированием сначала функции по (считая постоянным), затем дифференцированием производной
по (считая постоянным).
Производная находится дифференцированием сначала функции по , затем производной по .
Смешанные частные производные равны между собой:
.
3. Градиент функции двух переменных
Свойства градиента
Пример
. Дана функция
. Найти градиент
в точке
и построить его.
Решение
Найдем координаты градиента – частные производные.
В точке
градиент
равен . Начало вектора
в точке , а конец - в точке .
5
4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области
Постановка задачи.
Пусть на плоскости замкнутая ограниченная область
задается системой неравенств вида
. Требуется найти в области точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения.
Важной является задача нахождения экстремума
, математическая модель которой содержит линейные
ограничения (уравнения, неравенства) и линейную
функцию
.
Постановка задачи.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
(2.1)
при ограничениях
(2.2)
. (2.3)
Поскольку для линейной функции многих переменных нет критических точек внутри
области
, то оптимальное решение, доставляющее целевой функции экстремум, достигается только на границе области
. Для области, заданной линейными ограничениями, точками возможного экстремума являются угловые точки
. Это позволяет рассматривать решение задачи графическим методом
.
Графическое решение системы линейных неравенств
Для графического решения данной задачи необходимо уметь решать графически системы линейных неравенств с двумя переменными.
Порядок действий:
Отметим, что неравенство
определяет правую координатную полуплоскость
(от оси
), а неравенство
- верхнюю координатную полуплоскость
(от оси
).
Пример.
Решить графически неравенство
.
Запишем уравнение граничной прямой
и построим ее по двум точкам, например,
и
. Прямая делит плоскость на две полуплоскости.
Координаты точки
удовлетворяют неравенству (
– верно), значит, и координаты всех точек полуплоскости, содержащей точку , удовлетворяют неравенству. Решением неравенства будут координаты точек полуплоскости, расположенной справа от граничной прямой , включая точки на границе. Искомая полуплоскость на рисунке выделена.
Решение
системы неравенств называется допустимым
, если его координаты неотрицательны , . Множество допустимых решений системы неравенств образует область, которая расположенав первой четверти координатной плоскости.
Пример. Построить область решений системы неравенств
Решениями неравенств является:
1)
- полуплоскость, расположенная левее и ниже относительно прямой ()
;
2)
– полуплоскость, расположенная в правой-нижней полуплоскости относительно прямой ()
;
3)
- полуплоскость, расположенная правее прямой ()
;
4) - полуплоскость выше оси абсцисс, то есть прямой ()
.
0
Область допустимых решений
данной системы линейных неравенств – это множество точек, расположенных внутри и на границе четырехугольника
, являющегося пересечением
четырех полуплоскостей.
Геометрическое изображение линейной функции
(линии уровня и градиент)
Зафиксируем значение
, получим уравнение
, которое геометрически задает прямую. В каждой точке прямой функция принимает значение и является линией уровня.
Придавая различные значения, например,
, ... , получим множество линий уровня - совокупность параллельных
прямых
.
Построим градиент
- вектор
, координаты которого равны значениям коэффициентов при переменных в функции
. Данный вектор: 1) перпендикулярен каждой прямой (линии уровня)
; 2) показывает направление возрастания целевой функции.
Пример
. Построить линии уровня и градиент функции
.
Линии уровня при , , - это прямые
,
,
, параллельные друг другу
. Градиент – это вектор , перпендикулярный каждой линии уровня.
Графическое нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области
Геометрическая постановка задачи. Найти в области решений системы линейных неравенств точку, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению линейной функции с двумя переменными.
Последовательность действий:
4. Найти координаты точки А, решая систему уравнений прямых, пересекающихся в точке А, и вычислить наименьшее значение функции
. Аналогично - для точки В и наибольшего значения функции
. построена по точкам.переменных
Частные
производные
функции
нескольких переменных
и техника дифференцирования. Экстремум функции
двух
переменных
и его необходимое...
Пусть задана функция . Так как x и y – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной x приращение , сохраняя значение y неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается . Итак, .
Аналогично получаем частное приращение z по y: .
Полное приращение функции z определяется равенством .
Если существует предел , то он называется частной производной функции в точке по переменной x и обозначается одним из символов:
.
Частные производные по x в точке обычно обозначают символами .
Аналогично определяется и обозначается частная производная от по переменной y:
Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находится по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно x или y считаются постоянной величиной).
Частные производные и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:
; ;
; .
Дифференциалы 1 и 2 порядка функции двух переменных.
Полный дифференциал функции (формула 2.5) называют дифференциалом первого порядка.
Формула для вычисления полного дифференциала имеет следующий вид:
(2.5) или , где ,
частные дифференциалы функции .
Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле . Найдем его:
Отсюда: . Символически это записывается так:
.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Первообразная функции, неопределенный интеграл, свойства.
Функция F(x) называется первообразной для данной функции f{x), если F"(x)=f(x), или, что то же, если dF(x)=f(x)dx.
Теорема. Если функция f(x), определенная в некотором промежутке (X) конечной или бесконечной длины, имеет одну первообразную, F(x), то она имеет и бесконечно много первообразных; все они содержатся в выражении F(x)+С, где С - произвольная постоянная.
Совокупность всех первообразных для данной функции f(x), определенной в некотором промежутке или на некотором отрезке конечной или бесконечной длины, называется неопределенным интегралом от функции f(x) [или от выражения f(x)dx ] и обозначается символом .
Если F(x) есть одна из первообразных для f(x), то согласно теореме о первообразных
, где С есть произвольная постоянная.
По определению первообразной F"(x)=f(x) и, следовательно, dF(x)=f(x) dx. В формуле (7.1), f(x) называется подинтегральной функцией, а f(x) dx - подинтегральным выражением.
Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).
Формула
Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z"_x, z"_y $ и находятся по формулам:
Частные производные первого порядка
$$ z"_x = \frac{\partial z}{\partial x} $$
$$ z"_y = \frac{\partial z}{\partial y} $$
Частные производные второго порядка
$$ z""_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial x} $$
$$ z""_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial y} $$
Смешанная производная
$$ z""_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $$
$$ z""_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} $$
Частная производная сложной функции
а) Пусть $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:
$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} $$
б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле:
$$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u} $$
$$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} $$
Частные производные неявно заданной функции
а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{f"_x}{f"_y} $$
б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z"_x = - \frac{F"_x}{F"_z}; z"_y = - \frac{F"_y}{F"_z} $$
Примеры решений
Пример 1 |
Найти частные производные первого порядка $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $ |
Решение |
Для нахождения частной производной по $ x $ будем считать $ y $ постоянной величиной (числом): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для нахождения частной производной функции по $ y $ определим $ y $ константой: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$ |
Пример 2 |
Найти частные производные функции второго порядка $ z = e^{xy} $ |
Решение |
Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка. Полагаем $ y $ константой: $$ z"_x = (e^{xy})"_x = e^{xy} \cdot (xy)"_x = ye^{xy} $$ Положим теперь $ x $ постоянной величиной: $$ z"_y = (e^{xy})"_y = e^{xy} \cdot (xy)"_y = xe^{xy} $$ Зная первые производные аналогично находим вторые. Устанавливаем $ y $ постоянной: $$ z""_{xx} = (z"_x)"_x = (ye^{xy})"_x = (y)"_x e^{xy} + y(e^{xy})"_x = 0 + ye^{xy}\cdot (xy)"_x = y^2e^{xy} $$ Задаем $ x $ постоянной: $$ z""_{yy} = (z"_y)"_y = (xe^{xy})"_y = (x)"_y e^{xy} + x(e^{xy})"_y = 0 + x^2e^{xy} = x^2e^{xy} $$ Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать $ z"_x $ по $ y $, а можно $ z"_y $ по $ x $, так как по теореме $ z""_{xy} = z""_{yx} $ $$ z""_{xy} = (z"_x)"_y = (ye^{xy})"_y = (y)"_y e^{xy} + y (e^{xy})"_y = ye^{xy}\cdot (xy)"_y = yxe^{xy} $$ |
Ответ |
$$ z"_x = ye^{xy}; z"_y = xe^{xy}; z""_{xy} = yxe^{xy} $$ |
Пример 4 |
Пусть $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ задаёт неявную функцию $ F(x,y,z) = 0 $. Найти частные производные первого порядка. |
Решение |
Записываем функцию в формате: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ и находим производные: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$ |
Ответ |
$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$ |
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производных первого и второго порядка, полного дифференциала функции.
Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции . Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде.
Начнем с самого понятия функции двух переменных, постараемся ограничиться минимумом теории, так как сайт имеет практическую направленность. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные , называются независимыми переменными или аргументами .
Пример: - функция двух переменных.
Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква .
Полезно знать геометрический смысл функций. Функции одной переменной соответствует определенная линия на плоскости, например, – всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменных с геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.). Но, собственно, это уже аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ.
Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.
Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас.
Пример 1
Найти частные производные первого и второго порядка функции
Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.
Обозначения:
Или – частная производная по «икс»
Или – частная производная по «игрек»
Начнем с .
Важно! Когда мы находим частную производную по «икс», то переменнаясчитается константой (постоянным числом).
Решаем. На данном уроке будем сразу приводить полное решение, а комментарии давать ниже.
Комментарии к выполненным действиям:
(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом .
Внимание, важно! Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если Вы где-нибудь нарисуете «штрих» без , то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием (сразу откусить часть балла за невнимательность).
(2) Используем правила дифференцирования ; . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной , то мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое : здесь, наоборот, выносить нечего. Так как константа, то – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».
(2) Используем таблицу производных элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива для(и вообще для любой буквы). В данном случае, используемые нами формулы имеют вид: и .
Итак, частные производные первого порядка найдены