У цьому уроці ми згадаємо основи, на яких базується теорія вписаних та описаних кіл, згадаємо ознаки чотирикутників описаних та вписаних. Крім того, виведемо формули для знаходження радіусів описаного та вписаного кола в різних випадках.

Тема: Окружність

Урок: Вписане та описане кола

Насамперед, йдеться про вписані та описані кола щодо трикутника. Ми підготовлені до цієї теми, оскільки вивчили властивості бісектрис та серединних перпендикулярів трикутника.

У будь-який трикутник можна вписати коло (див. мал. 1).

Мал. 1

Доведення:

Ми знаємо, що всі бісектриси трикутника перетинаються в одній точці – нехай у точці О. Проведемо бісектриси АТ, ВО, СО. Точка їх перетину Про рівновіддалена від сторін трикутника. Вона рівновіддалена від сторін кута - АС і АВ, тому що належить бісектрисі цього кута. Аналогічно вона рівновіддалена від сторін кутів і таким чином від трьох сторін трикутника.

Опустимо перпендикуляри з точки Про на сторони трикутника – ОМ на бік АС, OL – на ВС, ОК – на АВ. Ці перпендикуляри і будуть відстанями від точки О до сторін трикутника, і вони дорівнюють:

.

Позначимо відстань від точки До сторін трикутника за r і розглянемо коло з центром в точці Про і радіусом r.

Коло стосується прямий АВ, т.к. має з нею загальну точку К і радіус ОК, проведений в цю точку, перпендикулярний прямий АВ. Аналогічно коло стосується прямих АС та НД. Таким чином, коло стосується всіх сторін трикутника, значить, вона вписана в трикутник.

Отже, три бісектриси трикутника перетинаються в точці, що є центром вписаного кола.

Розглянемо ще одну теорему, що стосується точки перетину серединних перпендикулярів трикутника. Ми знаємо, що вони перетинаються в одній точці, і ця точка збігається з центром описаного біля трикутника кола.

Біля будь-якого трикутника можна описати коло.

Отже, задано трикутник . Проведемо серединний перпендикуляр р 1 до сторони трикутника ПС, р 2 - до сторони АВ, р 3 - до сторони АС (див. мал. 2).

Відповідно до теореми про властивості серединних перпендикулярів, точка, що належить серединному перпендикуляру до відрізка, рівновіддалена від кінців відрізка. Звідси, т.к. точка Q належить серединному перпендикуляру до відрізка АС. Аналогічно та . Таким чином, точка Q рівновіддалена від вершин трикутника. Звідси QA, QB, QC – радіуси

Мал. 2

кола, описаного біля трикутника . Позначимо радіус за R. Точка Про перетин серединних перпендикулярів - центр описаного кола.

Розглянемо коло, вписане в якийсь чотирикутник, та властивості цього чотирикутника (див. рис. 3).

Згадаймо властивості точки, що лежить на бісектрисі кута.

Заданий кут, його бісектриса - AL, точка М лежить на бісектрисі.

Якщо точка М лежить на бісектрисі кута, вона рівновіддалена від сторін кута, тобто відстані від точки М до АС і до ВС сторін кута рівні.

Мал. 3

Відстань від точки до прямої є довжиною перпендикуляра. Проведемо з точки М перпендикуляри МК до сторони АВ та МР до ​​сторони АС.

Розглянемо трикутники та . Це прямокутні трикутники, вони рівні, т.к. мають загальну гіпотенузу АМ, а кути і рівні, тому що AL - бісектриса кута. Таким чином, прямокутні трикутники рівні по гіпотенузі та гострому куту, звідси випливає, що , що потрібно було довести. Таким чином, точка на бісектрисі кута рівновіддалена від сторін цього кута.

Крім того, катети . Таким чином, відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки, рівні.

Отже, повернемося до чотирикутника. Першим дією потрібно провести в ньому бісектриси.

Всі бісектриси чотирикутника перетинаються в одній точці - точці О, центрі вписаного кола.

З точки Про опускаємо перпендикуляри до сторін чотирикутника до точок K, L, M, N і визначаємо точки дотику (див. рис. 3).

Дотичні, проведені до кола з однієї точки, рівні між собою, таким чином, з кожної вершини виходить пара рівних дотичних: , , , .

Мал. 3

Якщо чотирикутник можна вписати коло, то суми його протилежних сторін рівні. Це легко довести:

Розкриємо дужки:

Таким чином ми довели просту, але важливу теорему.

Якщо чотирикутник можна вписати коло, то суми його протилежних сторін рівні.

Справедлива зворотна теорема.

Якщо чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то нього можна вписати окружність.

Розглянемо коло, описане близько чотирикутника.

Задано коло з центром О та довільний чотирикутник ABCD. Розглянемо властивості цього чотирикутника. Всі чотири серединні перпендикуляри даного чотирикутника перетинаються в одній точці: ця точка - центр описаного кола.

Довести, що всі чотири серединні перпендикуляри перетинаються в одній точці, було б стомлюючим. Є інша ознака. Розглянемо кут ےА, це вписаний кут кола, він спирається на дугу і вимірюється половиною градусної міри даної дуги (див. рис. 4). Позначимо кут ≈ за, тоді дуга. Аналогічно позначимо протилежний кут за, він вписаний в коло і спирається на дугу. Звідси дуга.

Мал. 4

Дуги і становлять повне коло. Звідси:

,

Поділимо отриманий вираз на два, отримуємо:

Тож ми довели пряму теорему.

Теорема

Якщо близько чотирикутника описано коло, сума його протилежних кутів становить .

Це необхідна і достатня ознака, тобто справедлива зворотна теорема.

Якщо сума протилежних кутів чотирикутника становить , цього чотирикутника можна описати окружність.

З даних теорем відзначимо, що навколо паралелограма не можна описати окружність, оскільки його протилежні кути рівні, та його сума не дорівнює (див. рис. 5).

Мал. 5

Біля паралелограма можна було б описати коло, якби його протилежні кути дорівнювали по 90°, тобто якби він був прямокутником, таким чином, біля прямокутника можна описати коло (див. рис. 6).

Мал. 6

Біля ромба також не можна описати коло, але можна вписати, тому що всі сторони ромба рівні, і таким чином суми протилежних сторін ромба рівні.

Крім того, у ромба кожна діагональ є бісектрисою, точка перетину бісектрис рівновіддалена від усіх сторін ромба (див. мал. 7).

Мал. 7

Отже, ми довели, що в будь-який трикутник можна вписати коло, і центр цього кола збігається з точкою перетину бісектрис трикутника. Ми також довели, що біля будь-якого трикутника можна описати коло, і його центр збігатиметься з точкою перетину серединних перпендикулярів. Крім того, ми побачили, що деякі чотирикутники можна вписати коло, і для цього потрібно, щоб суми протилежних сторін чотирикутника були рівні. Ми також показали, що біля деяких чотирикутників можна описати коло, і необхідною та достатньою умовою для цього є рівність суми протилежних кутів .

Список літератури

1. Александров А.Д. та ін. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір С.М. Геометрія, 8 клас. – К.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Uztest.ru ().
2. Mschool.kubsu.ru ().
3. Ege-study.ru ().

Домашнє завдання

ТЕОРЕМА ПРО ОКРУЖНІСТЬ, ОПИСАНОМУ БЛИЗЬКОКУТНИКА: Біля будь-якого правильного багатокутника можна описати коло, і до того ж лише одну. ТЕОРЕМА ПРО ЗБРОЇ, ВПИСАНОЇ У ПРАВИЛЬНИЙ МНОГОКУТНИК: У будь-який правильний багатокутник можна вписати коло, і до того ж лише одну.

SPa4a4 rRN Обчислення площі правильного багатокутника, його сторони та радіуса вписаного кола та радіуса вписаного кола

Площі правильних багатокутників Площі правильних багатокутників НАЗВИ І ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКІВ Кількість сторін Назва багатокутникаПлоща правильного багатокутника 3Трикутник0,433a 2 4Чотирикутник1,000a 25П'ятикутник1,725 ​​4a 2 8Восьмикутник4,828a 2 9Дев'ятикутник6,182a 2 10Десятикутник7,694a 2 nn- косинець

0 вписаних кутах. Гіппократ Хіоський Викладений у сучасних підручниках доказ того, що вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається, дано у «Початках» Евкліда. На цю пропозицію посилається, однак, ще Гіппократ Хіоський (V ст. до н. е.) у своїй праці про «луночки». Праці Гіппократа свідчать, що у другій половині V в. до зв. е. була відома велика кількість теорем, викладених у «Початках» Евкліда, і геометрія досягла високого розвитку. Той факт, що спирається на діаметр вписаний кут прямої, був відомий вавилонянам ще 4000 років тому. Перший його доказ приписується Памфілією, римською письменницею часів Нерона, Фалес Мілетський.

0 правильних багатокутниках У єгипетських та вавилонських старовинних пам'ятниках зустрічаються правильні чотирикутники, шестикутники та восьмикутники у вигляді зображень на стінах та прикрас, висічених з каменю. Давньогрецькі вчені стали виявляти великий інтерес до правильних постатей ще з часів Піфагора. Розподіл кола на кілька рівних частин для побудови правильних багатокутників мало важливе значення для піфагорійців, які стверджували, що числа лежать в основі всіх явищ світу. Вчення про правильні багатокутники, започатковане в школі Піфагора, продовжене і розвинене в VIV ст. до зв. е.., було систематизовано Евклідом і викладено у IV книзі «Початок». Крім побудови правильного трикутника, чотирикутника, п'ятикутника та шестикутника, Евклід вирішує і завдання побудови правильного п'ятнадцятикутника за допомогою лише циркуля та лінійки. Ця постать привертала увагу древніх, оскільки було помічено, що дуга кута способу екліптики до екватора є всією колу, т. е. стягується стороною правильного п'ятнадцятикутника.

A B C O1 O2 O1 – центр описаного кола, О2 – центр вписаного кола Необхідність: Достатність: D AB + CD = BC + AD і, отже, AB = CD = BAD = ADC, але BAD + АВС = 180 Звідси ADC + АВС = 180 , і навколо трапеції ABCD можна описати коло Крім того, AB + CD = BC + AD і, отже, в ABCD можна вписати коло. Необхідно і достатньо, щоб трапеція була рівносторонньою і бічна сторона дорівнювала напівсумі підстав.

Визначення 2

Багатокутник, що відповідає умові визначення 1, називається описаним біля кола.

Малюнок 1. Вписане коло

Теорема 1 (про коло, вписане в трикутник)

Теорема 1

У будь-який трикутник можна вписати коло і до того ж лише одну.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$. Проведемо в ньому бісектриси, які перетинаються в точці $O$ і проведемо з неї перпендикуляри на сторони трикутника (рис. 2).

Рисунок 2. Ілюстрація теореми 1

Існування: Проведемо коло з центром у точці $O$ і радіусом $OK.\ $Оскільки точка $O$ лежить на трьох бісектрисах, то вона рівновіддалена від сторін трикутника $ABC$. Тобто $ OM = OK = OL $. Отже, побудоване коло також проходить через точки $M і L$. Так як $ OM, OK \ і OL $ - перпендикуляри до сторін трикутника, то по теоремі про дотичну до кола, побудована коло стосується всіх трьох сторін трикутника. Отже, через довільність трикутника, у будь-який трикутник можна вписати коло.

Єдиність: Припустимо, що в трикутник $ABC$ можна вписати ще одне коло з центром у точці $O"$. Її центр рівновіддалений від сторін трикутника, а отже, збігається з точкою $O$ і має радіус, що дорівнює довжині $OK$ Але тоді це коло збігається з першим.

Теорему доведено.

Наслідок 1: Центр вписаної в трикутник кола лежить у точці перетину його бісектрис.

Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних із поняттям вписаного кола:

Не у всякий чотирикутник можна вписати коло.

У кожному описаному чотирикутнику суми протилежних сторін дорівнюють.

Якщо суми протилежних сторін опуклого чотирикутника дорівнюють, то в нього можна вписати коло.

Визначення 3

Якщо на колі лежать усі вершини багатокутника, то коло називається описаним біля багатокутника (Рис. 3).

Визначення 4

Багатокутник, що задовольняє умові визначення 2, називається вписаним у коло.

Малюнок 3. Описане коло

Теорема 2 (про коло, описане біля трикутника)

Теорема 2

Біля будь-якого трикутника можна описати коло і лише одну.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$. Проведемо в ньому серединні перпендикуляри, що перетинаються в точці $O$, і з'єднаємо її з вершинами трикутника (рис. 4)

Рисунок 4. Ілюстрація теореми 2

Існування: Побудуємо коло з центром у точці $O$ та радіусом $OC$. Точка $O$ рівновіддалена від вершин трикутника, тобто $OA=OB=OC$. Отже, побудоване коло проходить через усі вершини даного трикутника, отже, воно є описаним біля цього трикутника.

Єдиність: Припустимо, що біля трикутника $ABC$ можна описати ще одне коло з центром у точці $O"$. Її центр рівновіддалений від вершин трикутника, а отже, збігається з точкою $O$ і має радіус, що дорівнює довжині $OC. Але тоді це коло збігається з першою.

Теорему доведено.

Наслідок 1: Центр описаного біля трикутника кола збігається з точкою перетину його серединних перпендикулярів.

Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних з поняттям описаного кола:

Біля чотирикутника не завжди можна описати коло.

У кожному вписаному чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює $(180)^0$.

Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює $(180)^0$, то біля нього можна описати коло.

Приклад задачі на поняття вписаного та описаного кола

Приклад 1

У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 8 см, бічна сторона дорівнює 5 см. Знайти радіус вписаного кола.

Рішення.

Розглянемо трикутник $ABC$. За наслідком 1, ми знаємо, що центр вписаного кола лежить на перетині бісектрис. Проведемо бісектриси $AK$ і $BM$, які перетинаються у точці $O$. Проведемо перпендикуляр $OH$ з точки $O$ убік $BC$. Зобразимо малюнок:

Малюнок 5.

Оскільки трикутник рівнобедрений, то $BM$ і медіана та висота. За теоремою Піфагора $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\sqrt (25-16) = \ sqrt (9) = 3 $. $ OM = OH = r $ - шуканий радіус вписаного кола. Оскільки $MC$ і $CH$ відрізки дотичних, що перетинаються, то по теоремі про дотичних, що перетинаються, маємо $CH=MC=4\ см$. Отже, $ BH = 5-4 = 1 см $. $BO=3-r$. З трикутника $OHB$, за теоремою Піфагора, отримаємо:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Відповідь:$\frac(4)(3)$.

Докази теорем про властивості описаного біля трикутника кола

Серединний перпендикуляр до відрізка

Визначення 1 . Серединним перпендикуляром до відрізканазивають пряму, перпендикулярну до цього відрізка і проходить через його середину (рис. 1).

Теорема 1 . Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка знаходиться на тому самому відстані від кінців цього відрізка.

Доведення . Розглянемо довільну точку D , що лежить на серединному перпендикулярі до відрізка AB (рис.2), і доведемо, що трикутники ADC та BDC дорівнюють .

Справді, ці трикутники є прямокутними трикутниками, які мають катети AC і BC рівні, а катет DC є загальним. З рівності трикутників ADC і BDC випливає рівність відрізків AD і DB. Теорему 1 доведено.

Теорема 2 (Зворотна до теореми 1). Якщо точка знаходиться на тому самому відстані від кінців відрізка, то вона лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка.

Доведення . Доведемо теорему 2 шляхом «від неприємного». З цією метою припустимо, що деяка точка E знаходиться на тому самому відстані від кінців відрізка, але не лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка. Наведемо це припущення протиріччя. Розглянемо спочатку випадок, коли точки E та A лежать по різні боки від серединного перпендикуляра (рис.3). У цьому випадку відрізок EA перетинає серединний перпендикуляр у певній точці, яку позначимо літерою D .

Доведемо, що відрізок AE довший відрізка EB . Справді,

Таким чином, у разі коли точки E і A лежать по різні сторони від серединного перпендикуляра, ми отримали протиріччя.

Тепер розглянемо випадок, коли точки E та A лежать по одну сторону від серединного перпендикуляра (рис.4). Доведемо, що відрізок EB довший за відрізок AE . Справді,

Отримана суперечність і завершує доказ теореми 2

Окружність, описана біля трикутника

Визначення 2 . Колом, описаним біля трикутника, називають коло, що проходить через усі три вершини трикутника (рис.5). У цьому випадку трикутник називають трикутником, вписаним у коло,або вписаним трикутником.

Властивості описаної біля трикутника кола. Теорема синусів

Фігура	Малюнок	Властивість
Серединні перпендикуляри до сторін трикутника		перетинаються в одній точці .
Центр описаної біля гострокутного трикутника кола		Центр описаної близько гострокутного всередині трикутник.
Центр описаної біля прямокутного трикутника кола		Центром описаної близько прямокутного середина гіпотенузи .
Центр описаного біля тупокутного трикутника кола		Центр описаної близько тупокутного трикутника кола лежить поза трикутник.
		,
Площа трикутника		S = 2R 2 sin A sin B sin C ,
Радіус описаного кола		Для будь-якого трикутника справедлива рівність:

Серединні перпендикуляри до сторін трикутника

Усі серединні перпендикуляри , проведені до сторін довільного трикутника, перетинаються в одній точці .

Окружність, описана біля трикутника

Біля будь-якого трикутника можна описати коло . Центром описаного біля трикутника кола є точка, в якій перетинаються всі серединні перпендикуляри, проведені до сторін трикутника.

Центр описаного біля гострокутного трикутника кола

Центр описаної близько гострокутного трикутника кола лежить всередині трикутник.

Центр описаного біля прямокутного трикутника кола

Центром описаної близько прямокутного трикутника кола є середина гіпотенузи .

Центр описаного біля тупокутного трикутника кола

Центр описаної близько тупокутного трикутника кола лежить поза трикутник.

Для будь-якого трикутника справедливі рівність (теорема синусів): , де a, b, c – сторони трикутника, A, B, С – кути трикутника, R – радіус описаного кола.

Площа трикутника

Для будь-якого трикутника справедлива рівність: S = 2R 2 sin A sin B sin C , де A, B, С – кути трикутника, S – площа трикутника, R – радіус описаного кола.

Радіус описаного кола

Для будь-якого трикутника справедлива рівність: де a, b, c – сторони трикутника, S – площа трикутника, R – радіус описаного кола.

Докази теорем про властивості описаного біля трикутника кола

Теорема 3 . Усі серединні перпендикуляри, проведені до сторін довільного трикутника, перетинаються лише у точці.

Доведення . Розглянемо два серединні перпендикуляри, проведені до сторін AC і AB трикутника ABC , і позначимо точку їх перетину буквою O (рис. 6).

Оскільки точка O лежить на серединному перпендикулярі до відрізка AC , то через теорему 1 справедлива рівність.