Спочатку розберемося на відміну між колом і окружністю. Щоб побачити цю різницю, достатньо розглянути, чим є обидві фігури. Це незліченну кількість точок площини, що знаходяться на рівній відстані від єдиної центральної точки. Але, якщо коло складається і з внутрішнього простору, то коло воно не належить. Виходить, що коло це і коло, що обмежує його (о-кружність), і незліченну кількість точок, що всередині кола.

Для будь-якої точки L, що лежить на колі, діє рівність OL=R. (Довжина відрізка OL дорівнює радіусу кола).

Відрізок, який з'єднує дві точки кола, є її хордий.

Хорда, що проходить прямо через центр кола, є діаметромцього кола (D) . Діаметр можна обчислити за такою формулою: D=2R

Довжина окружностіобчислюється за формулою: C=2\pi R

Площа кола: S=\pi R^(2)

Дугого коланазивається та її частина, яка розташовується між двома її точками. Ці дві точки визначають дві дуги кола. Хорда CD стягує дві дуги: CMD та CLD. Однакові хорди стягують однакові дуги.

Центральним кутомназивається такий кут, що знаходиться між двома радіусами.

Довжину дугиможна знайти за формулою:

1. Використовуючи градусний захід: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Використовуючи радіальний захід: CD = \alpha R

Діаметр, що перпендикулярний хорді, ділить хорду і стягнуті нею дуги навпіл.

Якщо хорди AB і CD кола мають перетин у точці N , то твори відрізків хорд, розділені точкою N , рівні між собою.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Стосовно кола

Стосовно колаприйнято називати пряму, у якої є одна загальна точка з коло.

Якщо ж у прямої є дві спільні точки, її називають січучої.

Якщо провести радіус у точку торкання, він буде перпендикулярний дотичній до кола.

Проведемо дві дотичні з цієї точки до нашого кола. Вийде, що відрізки дотичних зрівняються один з одним, а центр кола розташується на бісектрисі кута з вершиною в цій точці.

AC = CB

Тепер до кола з нашої точки проведемо дотичну та січну. Отримаємо, що квадрат довжини відрізка дотичної дорівнюватиме добутку всього відрізка січної на його зовнішню частину.

AC^(2) = CD \cdot BC

Можна зробити висновок: добуток цілого відрізка першої січної на його зовнішню частину дорівнює добутку цілого відрізка другої сікної на його зовнішню частину.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Кути в колі

Градусні заходи центрального кута і дуги, яку той спирається, рівні.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Вписаний кут- Це кут, вершина якого знаходиться на колі, а сторони містять хорди.

Обчислити його можна, дізнавшись величину дуги, оскільки він дорівнює половині цієї дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Який спирається на діаметр, вписаний кут, прямий.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Вписані кути, що спираються на одну дугу, тотожні.

Опирающиеся однією хорду вписані кути тотожні чи його сума дорівнює 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180 ^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одному колі знаходяться вершини трикутників з тотожними кутами та заданою основою.

Кут з вершиною всередині кола і розташований між двома хордами тотожний половині суми кутових величин дуг кола, які полягають усередині даного та вертикального кутів.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Кут з вершиною поза коло і розташований між двома січними тотожний половині різниці кутових величин дуг кола, які полягають усередині кута.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписане коло

Вписане коло- Це коло, що стосується сторін багатокутника.

У точці, де перетинаються бісектриси кутів багатокутника, розташовується її центр.

Коло може бути вписане не в кожен багатокутник.

Площа багатокутника з вписаним колом знаходиться за формулою:

S = pr,

p - напівпериметр багатокутника,

r - радіус вписаного кола.

Звідси випливає, що радіус вписаного кола дорівнює:

r = \frac(S)(p)

Суми довжин протилежних сторін будуть тотожні, якщо коло вписано у опуклий чотирикутник. І навпаки: у опуклий чотирикутник вписується коло, якщо у ньому суми довжин протилежних сторін тотожні.

AB + DC = AD + BC

У будь-який з трикутників можна вписати коло. Лише одну єдину. У точці, де перетинаються бісектриси внутрішніх кутів фігури, лежатиме центр цього вписаного кола.

Радіус вписаного кола обчислюється за такою формулою:

r = \frac(S)(p) ,

де p = \frac(a + b + c)(2)

Описане коло

Якщо коло проходить через кожну вершину багатокутника, то таке коло прийнято називати описаної біля багатокутника.

У точці перетину серединних перпендикулярів сторін цієї фігури буде центр описаного кола.

Радіус можна знайти, обчисливши його як радіус кола, яка описана біля трикутника, визначеного будь-якими трьома вершинами багатокутника.

Є така умова: коло можна описати близько чотирикутника лише, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180^(\circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180 (\circ)

Біля будь-якого трикутника можна описати коло, причому одну-єдину. Центр такого кола буде розташований у точці, де перетинаються серединні перпендикуляри сторін трикутника.

Радіус описаного кола можна обчислити за формулами:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = frac(abc)(4 S)

a, b, c - Довжини сторін трикутника,

S – площа трикутника.

Теорема Птолемея

Насамкінець, розглянемо теорему Птолемея.

Теорема Птолемея свідчить, що добуток діагоналей тотожний сумі творів протилежних сторін вписаного чотирикутника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Ця стаття містить мінімальний набір відомостей про коло, необхідний успішної здачі ЄДІ з математики.

Колом називається безліч точок, розташованих на однаковій відстані від цієї точки, яка називається центром кола.

Для будь-якої точки , що лежить на колі виконується рівність (Довжина відрізка дорівнює радіусу кола.

Відрізок, що з'єднує дві точки кола називається хордий.

Хорда, що проходить через центр кола називається діаметром кола () .

Довжина окружності:

Площа кола:

Дуга кола:

Частина кола, укладена між двома її точками називається дугою кола. Дві точки кола визначають дві дуги. Хорда стягує дві дуги: і . Рівні хорди стягують рівні дуги.

Кут між двома радіусами називається центральним кутом :

Щоб знайти довжину дуги, складаємо пропорцію:

а) кут дано у градусах:

б) кут дано в радіанах:

Діаметр, перпендикулярний хорді , ділить цю хорду і дуги, які вона стягує навпіл:

Якщо хорди і кола перетинаються в точці , то твори відрізків хорд, куди вони діляться точкою рівні між собою:

Стосовно кола.

Пряма, що має з колом одну загальну точку називається дотичноїдо кола. Пряма, що має з колом дві спільні точки називається січній.

Дотична до кола перпендикулярна радіусу, проведеному до точки дотику.

Якщо з цієї точки проведено до кола дві дотичні, то відрізки дотичних рівні між собоюі центр кола лежить на бісектрисі кута з вершиною в цій точці:

Якщо з даної точки проведено до кола дотичне та січене, то квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку всього відрізка січе на його зовнішню частину :

Наслідок: добуток всього відрізка однієї сіючої на його зовнішню частину дорівнює добутку всього відрізка іншої сіючої на його зовнішню частину:

Кути в колі.

Градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається:

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони містять хорди, називається вписаним кутом . Вписаний кут вимірюється половиною дуги, яку він спирається:

∠∠

Вписаний кут, що спирається на діаметр, прямий:

∠∠∠

Вписані кути, що спираються на одну дугу, дорівнюють :

Вписані кути, що спираються на одну хорду, рівні або їх сума дорівнює

∠∠

Вершини трикутників із заданою основою та рівними кутами при вершині лежать на одному колі:

Кут між двома хордами (кут з вершиною всередині кола) дорівнює напівсумі кутових величин дуг кола, укладених усередині даного кута і всередині вертикального кута.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Кут між двома січними (кут з вершиною поза коло) дорівнює напіврізності кутових величин дуг кола, укладених усередині кута.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Вписане коло.

Коло називається вписаною в багатокутник якщо вона стосується його сторін. Центр вписаного кола лежить у точці перетину бісектрис кутів багатокутника.

Не у всякий багатокутник можна вписати коло.

Площа багатокутника, в який вписано коло можна знайти за формулою

тут - напівпериметр багатокутника, - радіус вписаного кола.

Звідси радіус вписаного кола дорівнює

Якщо у опуклий чотирикутник вписано коло, то суми довжин протилежних сторін дорівнюють . Назад: якщо у опуклому чотирикутнику суми довжин протилежних сторін рівні, то чотирикутник можна вписати коло:

У будь-який трикутник можна вписати коло, до того ж лише одну. Центр вписаного кола лежить у точці перетину бісектрис внутрішніх кутів трикутника.

Радіус вписаного кола дорівнює. Тут

Описане коло.

Коло називається описаної біля багатокутника якщо вона проходить через всі вершини багатокутника. Центр описаного кола лежить у точці перетину серединних перпендикулярів сторін багатокутника. Радіус обчислюється як радіус кола, описаного біля трикутника, визначеного будь-якими трьома вершинами даного багатокутника:

Біля чотирикутника можна описати коло тоді і лише тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює .

Біля будь-якого трикутника можна описати коло, до того ж лише одну. Її центр лежить у точці перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника:

Радіус описаного колаобчислюється за формулами:

Де – довжини сторін трикутника, – його площа.

Теорема Птолемея

У вписаному чотирикутнику добуток діагоналей дорівнює сумі творів його протилежних сторін:

Відеоурок 2: Окружність, описана біля трикутника

Лекція: Коло, вписане в трикутник, та коло, описане біля трикутника

Біля деяких трикутників можна описати коло, а деякі можна коло вписати.

Вписаний трикутник

Якщо всі вершини деякого трикутника лежать на колі, такий трикутник називається вписаним.

Зверніть увагу, якщо деякий трикутник вписаний у коло, всі прямі, які з'єднують центр кола з вершинами трикутника, рівні. Більше того, вони мають величину радіусу.

Існують нескладні формули, що дозволяють визначити сторони трикутника по відомому радіусу кола, або навпаки визначити радіус по сторонах:

Якщо коло вписаний правильний трикутник, то формули спрощуються. Правильним називається той трикутник, у якого всі сторони рівні:

Формула для знаходження площі правильного трикутника, якщо він вписаний у коло:

Якщо деякий трикутник розташовується всередині кола, існує правило розміщення центру кола.

Якщо в коло вписали будь-який гострокутний трикутник, то центр цього кола буде всередині трикутника:

Якщо в коло вписаний правильний трикутник, то центр кола вважатиметься центром трикутником, а також точкою перетину його висот.

Якщо в коло вписаний прямокутний трикутник, то центр кола лежатиме на середині гіпотенузи:

Якщо в коло вписаний тупокутний трикутник, то центр кола буде за межами трикутника:

Вписане коло

Коло можна назвати вписаним у тому випадку, якщо воно стосується всіх сторін трикутника в одній точці.

Для трикутника, в який вписано коло, існує певне правило.