Визначення ромба

Ромб- це паралелограм, у якому всі сторони рівні одна одній.

Онлайн-калькулятор

Якщо сторони ромба утворюють прямий кут, то отримаємо квадрат.

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом.
Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Площу ромба, як і площі більшості геометричних фігур, можна знайти декількома способами. Розберемося в їх суті та розглянемо приклади рішень.

Формула площі ромба по стороні та висоті

Нехай нам дано ромб зі стороною a a aта заввишки h h h, проведеної до цієї сторони. Так як ромб це паралелограм, його площа ми знаходимо так само, як і площа паралелограма.

S = a ⋅ h S = a \ cdot h S =a ⋅h

A a a- Сторона;
h h h- Висота, опущена на бік a a a.

Вирішимо простий приклад.

приклад

Сторона ромба дорівнює 5 (див.). Висота, опущена до цього боку, має довжину 2 (див.). Знайти площу ромба S S S.

Рішення

A = 5 a = 5 a =5
h = 2 h = 2 h =2

Користуємося нашою формулою та обчислюємо:
S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 S = a cdot h = 5 cdot 2 = 10S =a ⋅h =5 ⋅ 2 = 1 0 (Див. кв.)

Відповідь: 10 см. кв.

Формула площі ромба через діагоналі

Тут так само просто. Потрібно просто взяти половину твору діагоналей та отримати площу.

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 S=\frac(1)(2)\cdot d_1\cdot d_2S =2 1 ​ ⋅ d 1 ​ ⋅ d 2 ​

D 1 , d 2 d_1, d_2 d 1 ​ , d 2 ​ - Діагоналі ромба.

приклад

Одна з діагоналей ромба дорівнює 7 (див.), а інша в 2 рази більша за першу. Знайдіть площу фігури.

Рішення

D 1 = 7 d_1 = 7 d 1 ​ = 7
d 2 = 2 ⋅ d 1 d_2=2\cdot d_1d 2 ​ = 2 ⋅ d 1 ​

Знайдемо другу діагональ:
d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 14 d_2=2\cdot d_1=2\cdot 7=14d 2 ​ = 2 ⋅ d 1 ​ = 2 ⋅ 7 = 1 4
Тоді площа:
S = 1 2 ⋅ 7 ⋅ 14 = 49 S=\frac(1)(2)\cdot7\cdot14=49S =2 1 ​ ⋅ 7 ⋅ 1 4 = 4 9 (Див. кв.)

Відповідь: 49 см. кв.

Формула площі ромба через дві сторони та кут між ними

S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) S=a^2\cdot\sin(\alpha)S =a 2 ⋅ sin (α)

A a a- Сторона ромба;
α \alpha α - Будь-який кут ромба.

приклад

Знайти площу ромба, якщо кожна з його сторін дорівнює 10 см, а кут між двома суміжними сторонами дорівнює 30 градусам.

Рішення

A = 10 a = 10 a =1 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

За формулою отримуємо:
S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) = 100 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 50 S=a^2\cdot\sin(\alpha)=100\cdot\sin(30^(\circ))= 50S =a 2 ⋅ sin (α) =1 0 0 ⋅ sin (3 0 ∘ ) = 5 0 (Див. кв.)

Відповідь: 50 см. кв.

Формула площі ромба по радіусу вписаного кола та куту

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))S =sin (α)4 ⋅ r 2 ​

R r r- радіус вписаного кола в ромб;
α \alpha α - Будь-який кут ромба.

приклад

Знайти площу ромба, якщо кут між основами дорівнює 60 градусів, а радіус вписаного кола - 4 (див.).

Рішення

R = 4 r = 4 r =4
α = 6 0 ∘ \alpha=60^(\circ)α = 6 0 ∘

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) = 4 ⋅ 16 sin ⁡ (6 0 ∘) ≈ 73.9 S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))=\frac(4\) cdot 16)(\sin(60^(\circ)))\approx73.9S =sin (α)4 ⋅ r 2 ​ = sin (6 0 ∘ ) 4 ⋅ 1 6 ​ ≈ 7 3 . 9 (Див. кв.)

Відповідь: 73.9 см. кв.

Формула площі ромба по радіусу вписаного кола та стороні

S = 2 ⋅ a ⋅ r S = 2 cdot a cdot rS =2 ⋅ a ⋅r

A a a-бік ромба;
r r r- Радіус вписаного кола в ромб.

приклад

Візьмемо умову з попереднього завдання, але нехай замість кута нам відома сторона ромба, що дорівнює 5 см.

Рішення

A = 5 a = 5 a =5
r = 4 r = 4 r =4

S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 40 S=2\cdot a\cdot r=2\cdot5\cdot4=40S =2 ⋅ a ⋅r =2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 4 0 (Див. кв.)

Відповідь: 40 см. кв.

Ромб – це особлива постать у геометрії. Завдяки його особливим властивостям існує не одна, а кілька формул, за допомогою яких обчислюється площа ромба. Що це за властивості та які найпоширеніші формули для пошуку площі цієї фігури існують? Давайте розберемося.

Яка геометрична фігура називається ромбом

Перш ніж з'ясувати, чому дорівнює площа ромба, варто дізнатися, що це за фігура.

Ромбом з часів Евклідової геометрії називається симетричний чотирикутник, всі чотири сторони якого є рівними між собою по довжині і паралельно паралельними.

Походження терміна

Назва цієї фігури прийшла у більшість сучасних мов з грецької, через посередництво латині. «Батьком» слова «ромб», стало грецьке іменник ῥόμβος (бубен). Хоча жителям ХХ століття, які звикли до круглих бубнів, важко уявити їх іншої форми, але в еллінів ці музичні інструменти традиційно виготовлялися не круглої, а ромбовидної форми.

У більшості сучасних мов цей математичний термін вживається, як і латиною: rombus. Проте в англійській іноді ромби називають diamond (алмаз або діамант). Таке прізвисько ця фігура отримала через свою особливу форму, що нагадує дорогоцінний камінь. Як правило, подібний термін використовують не для всіх ромбів, а тільки для тих, у яких кут перетину двох сторін дорівнює шістдесяти або сорока п'яти градусам.

Вперше ця фігура була згадана у працях грецького математика, який жив у першому столітті нової ери – Герона Олександрійського.

Які властивості має ця геометрична фігура

Щоб знайти площу ромба, насамперед потрібно знати, які особливості має дана геометрична фігура.

За яких умов паралелограм є ромбом

Як відомо, кожен ромб є паралелограмом, але при цьому не всякий паралелограм – це ромб. Щоб точно стверджувати, що представлена ​​фігура дійсно є ромбом, а не простим паралелограмом, вона повинна відповідати одній із трьох основних ознак, що виділяють ромб. Або всім трьом одразу.

1. Діагоналі паралелограма перетинаються під кутом дев'яносто градусів.
2. Діагоналі поділяють кути надвоє, виступаючи їх бісектрис.
3. Не лише паралельні, а й суміжні сторони мають однакову довжину. У цьому, до речі, одна з основних відмінностей між ромбом та паралелограмом, оскільки у другої фігури однакові за довжиною лише паралельні сторони, але не суміжні.

За яких умов ромб є квадратом

За своїми властивостями в окремих випадках ромб може одночасно ставати квадратом. Щоб наочно підтвердити це твердження, досить просто повернути квадрат у будь-який бік сорок п'ять градусів. Фігура, що вийшла, виявиться ромбом, кожен з кутів якого дорівнює дев'яноста градусам.

Також, щоб підтвердити, що квадрат є ромбом, можна зіставити ознаки цих фігур: в обох випадках усі сторони рівні, а діагоналі є бісектрисами і перетинаються під кутом дев'яносто градусів.

Як дізнатися площу ромба за допомогою його діагоналей

У світі в інтернеті можна знайти практично всі матеріали для виконання необхідних розрахунків. Так, існує маса ресурсів, оснащених програмами для автоматичного обчислення площі тієї чи іншої фігури. Причому, якщо (як у випадку з ромбом) є кілька формул для цього, тобто можливість вибирати, який з них найзручніше буде скористатися. Однак, перш за все, необхідно самим вміти обчислювати площу ромба без допомоги комп'ютера та орієнтуватися у формулах. Для ромба їх існує чимало, але найвідоміші з них чотири.

Одним із найпростіших і найпоширеніших способів дізнатися площу цієї фігури, якщо є інформація про довжину його діагоналей. Якщо завдання ці дані, у разі можна застосувати таку формулу знаходження площі: S = КМ x LN/2 (КМ і LN - це діагоналі ромба KLMN).

Можна перевірити достовірність цієї формули практично. Допустимо, у ромба KLMN довжина однієї його діагоналі КМ - 10 см, а другий LN - 8 см. Тоді підставляємо ці дані у зазначену вище формулу, і отримуємо наступний результат: S = 10 х 8/2 = 40 см 2 .

Формула для обчислення площі паралелограма

Існує й інша формула. Як було зазначено вище у визначенні ромба, він є не просто чотирикутником, а й паралелограмом, і має всі особливості цієї фігури. У такому разі для знаходження її площі цілком доцільно використовувати формулу, що застосовується для паралелограма: S = KL х Z. У даному випадку KL - це довжина сторони паралелограма (ромба), а Z - це довжина висоти, проведеної до цієї сторони.

В окремих завданнях довжина сторони не надана, проте відомий периметр ромба. Оскільки вище було зазначено формулу його знаходження, з її допомогою можна дізнатися і про довжину сторони. Отже, периметр фігури - 10 см. Довжину сторони можна дізнатися, інвертувавши формулу периметра і розділивши 10 на 4. Результатом виявиться 2,5 см - це і є довжина сторони ромба, що шукається.

Тепер варто спробувати підставити це число у формулу, знаючи, що довжина висоти, проведеної до сторони, також дорівнює 2,5 см. Тепер спробуємо поставити ці значення у вищезгадану формулу площі паралелограма. Виходить, що площа ромба дорівнює S = 2,5 х 2,5 = 6,25 см2.

Інші способи обчислення площі ромба

Ті, хто вже освоїли синуси та косинуси, можуть використовувати для знаходження площі ромба формули, що їх містять. Класичним прикладом є така формула: S = КМ 2 х Sin KLM. У разі площа фігури дорівнює добутку двох сторін ромба, помноженому на синус кута з-поміж них. А оскільки в ромбі всі сторони однакові, то простіше відразу зробити одну сторону квадрат, як і було показано у формулі.

Перевіряємо на практиці цю схему, причому не просто до ромба, а до квадрата, у якого, як відомо, всі кути прямі, а отже, дорівнюють дев'яносто градусам. Припустимо, одна зі сторін дорівнює 15 см. Також відомо, що синус кута 90° дорівнює одиниці. Тоді, згідно з формулою, S = 15 х 15 х Sin 90°= 255х1=255 см 2 .

Крім перерахованих вище, в окремих випадках використовується ще одна формула, з використанням синуса для визначення площі ромба: S = 4 х R 2 /Sin KLM. У даному варіанті використовується радіус вписаного в ромб кола. Він підноситься в ступінь квадрата і множиться на чотири. А весь результат ділитися на синус кута, що наближається до вписаної фігури.

Як приклад для простоти обчислень візьмемо знову квадрат (синус його кута завжди дорівнює одиниці). Радіус вписаного до нього кола - 4,4 см. Тоді площа ромба обчислюватиметься так: S= 4 х 4,4 2 / Sin 90 °= 77,44 см 2

Наведені вище формули знаходження радіуса ромба - далеко не єдині у своєму роді, проте вони є найпростішими для розуміння та проведення обчислень.

Незважаючи на те, що математика – цариця наук, а арифметика – цариця математики, найбільшу складність у вивченні у школярів викликає геометрія. Планіметрія – розділ геометрії, що вивчає пласкі фігури. Однією з таких фігур є ромб. Більшість завдань щодо вирішення чотирикутників зводяться до знаходження їх площ. Систематизуємо відомі формули та різні способи розрахунку площі ромба.

Ромб - це паралелограм, усі чотири сторони якого рівні. Нагадаємо, що паралелограма має чотири кути і чотири попарно паралельні рівні сторони. Як будь-який чотирикутник, ромб має ряд властивостей, які зводяться до наступних: при перетині діагоналі утворюють кут, що дорівнює 90 градусів (AC ⊥ BD), точка перетину ділить кожну на два рівні відрізки. Діагоналі ромба також є бісектрисами його кутів (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD і т. д.). Звідси випливає, що вони ділять ромб на чотири рівні прямокутні трикутники. Сума довжин діагоналей, зведених на другий ступінь, дорівнює довжині сторони на другий ступеня, помноженої на 4, тобто. BD 2 + AC 2 = 4AB 2 . Існує безліч методів, які у планіметрії до розрахунку площі ромба, застосування яких залежить від вихідних даних. Якщо відомі довжина сторони та будь-який кут, можна скористатися наступною формулою: площа ромба дорівнює квадрату сторони, помноженому на синус кута. З курсу тригонометрії відомо, що sin (π – α) = sin α, отже, у розрахунках можна використовувати синус будь-якого кута – як гострого, і тупого. Приватним випадком є ​​ромб, який має всі кути прямі. Це квадрат. Відомо, що синус прямого кута дорівнює одиниці, тому площа квадрата дорівнює довжині сторони, зведеної в другий ступінь.

Якщо величина сторін невідома, скористаємося довжиною діагоналей. У цьому випадку площа ромба дорівнює половині твору великої та малої діагоналей.

При відомій довжині діагоналей та величині будь-якого кута площа ромба визначається двома способами. Перший: площа – половина квадрата більшої діагоналі, помножена на тангенс половини градусної міри гострого кута, тобто. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), де D – велика діагональ, α – гострий кут. Якщо вам відомий розмір меншої діагоналі, скористаємося формулою 1/2*d 2 *tg(β/2), де d – менша діагональ, β – тупий кут. Нагадаємо, що міра гострого кута менше 90 градусів (заходи прямого кута), а тупий кут відповідно - більше 90 0 .

Площу ромба можна знайти, використовуючи довжину сторони (нагадаємо, всі сторони у ромба рівні) і висоти. Висота – це перпендикуляр, опущений на протилежний кут бік чи його продовження. Щоб основа висоти розташовувалась усередині ромба, її слід опускати з тупого кута.

Іноді завдання потрібно знайти площу ромба, з даних, які стосуються вписаної окружности. І тут необхідно знати її радіус. Існують дві формули, якими можна скористатися до розрахунку. Отже, щоб відповісти на поставлене питання, можна подвоїти твір сторони ромба та радіусу вписаного кола. Іншими словами, необхідно помножити діаметр вписаного кола на бік ромба. Якщо за умови завдання представлена ​​величина кута, то площа перебуває через приватне між квадратом радіусу, помноженому на чотири, і синусом кута.

Як бачите, існує безліч способів знаходження площі ромба. Звичайно, щоб запам'ятати кожен з них, знадобиться терпіння, уважність і, звичайно ж, час. Але надалі ви зможете легко вибрати метод, який підходить для вашого завдання, і переконайтеся, що геометрія – це нескладно.

Площа геометричної фігури- чисельна характеристика геометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром цієї фігури). Розмір площі виражається числом які у неї квадратних одиниць.

Формули площі трикутника

1. Формула площі трикутника по стороні та висоті
   Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти
   
2. Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
   
3. Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
   Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.
   
де S - площа трикутника,
- Довжини сторін трикутника,
- Висота трикутника,
- кут між сторонами та,
- радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,

Формули площі квадрата

1. Формула площі квадрата по довжині сторони
   Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони.
2. Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
   Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.
   

   S =	1	2
   	2

де S - Площа квадрата,
- Довжина сторони квадрата,
- Довжина діагоналі квадрата.

Формула площі прямокутника

Площа прямокутникадорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін

де S - Площа прямокутника,
- Довжини сторін прямокутника.

Формули площі паралелограма

1. Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті
   Площа паралелограма
2. Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
   Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.
   

   a · b · sin α

де S - Площа паралелограма,
- Довжини сторін паралелограма,
- Довжина висоти паралелограма,
- Кут між сторонами паралелограма.

Формули площі ромба

1. Формула площі ромба по довжині сторони та висоті
   Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти.
2. Формула площі ромба по довжині сторони та куту
   Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба.
3. Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
   Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей.
де S - Площа ромба,
- Довжина сторони ромба,
- Довжина висоти ромба,
- Кут між сторонами ромба,
1 2 - довжини діагоналей.

Формули площі трапеції

1. Формула Герону для трапеції

   Де S - Площа трапеції,
   - Довжини основ трапеції,
   - Довжини бічних сторін трапеції,
   

У статті розглянемо формулу площі ромбаі не одну! На картинках покажемо, як легко перебувати площа ромба за простими формулами.

Існує велика кількість завдань на перебування тієї чи іншої величини в ромбі і в цьому нам допоможуть формули, про які йтиметься мова.
Ромб відноситься до окремого виду чотирикутників, так як у нього всі сторони рівні. Також представляє окремий випадок паралелограма у якому сторони АВ=ВС=СD=АD рівні.

Якщо Вам потрібна курсова, контрольна або дипломна робота, тоді вам на webmath.ru. або просто перейдіть за посиланням замовити курсову роботу (http://www.webmath.ru/zakaz_kursovye.php).

Ромб має такі властивості:

У ромба паралельні кути рівні,
- додавання двох сусідніх кутів дорівнює 180 градусам,
- перетин діагоналей під кутом в 90 градусів,
- Бісектрисами ромба, припадають його ж діагоналі,
- Діагональ при перетині поділяється на рівні частини.

Ромб має такі ознаки:

Якщо паралелограма у якому діагоналі зустрічаються під кутом 90 градусів, він називається ромбом.
- Якщо паралелограма в якому бісектриса це діагональ, то він називається ромбом.
- Якщо у паралелограма рівні сторони – це ромб.
- Якщо у чотирикутника рівні сторони – це ромб.
- Якщо чотирикутник у якому бісектриса це діагональ і діагоналі зустрічаються під кутом 90 градусів, то це ромб.
- Якщо у паралелограма однакові висоти – це ромб.

З вищеперелічених ознак можна дійти невтішного висновку, що вони необхідні у тому щоб навчитися відокремлювати ромб з інших схожих із нею постатей.

Оскільки в ромбі всі сторони однакові периметр знаходитьсяза наступною формулою:
Р = 4а
Площа ромба формула

Даних формул кілька. Найпростіша вирішується як додавання площі 2 трикутників, які вийшли в результаті розподілу діагоналей.

За допомогою другої формули можна розв'язувати задачі з відомими діагоналями ромба. У цьому випадку площею ромба буде: сума діагоналей поділена на два.

Дуже просто у рішенні і не забудеться.

Третю формулу можна використовувати, коли знаєш кут між сторін. Знаючи його можна знайти площу ромба, вона дорівнюватиме квадрату сторін на синус кута. При чому немає різниці, який кут. оскільки синус кута має єдине значення.

Важливо пам'ятати, що вимір площі відбувається в квадратах, а периметра в одиницях. Дані формули дуже легко застосовуються практично.

Так само можуть зустрітися завдання на пошук радіусу по вписаному в ромб колу.

Для цього існує кілька формул:

За допомогою першої формули радіус перебуває як добуток діагоналей поділений на число, отримане від складання всіх сторін. чи дорівнює половині висоти (r=h/2).

У другій формулі взятий принцип із першої, застосовується ми знаємо діагоналі та сторони ромба.

У третій формулі радіус виходить з висоти меншого з трикутників, що вийшов у результаті перетину.