Лінії другого порядку.
Еліпс та його канонічне рівняння. Окружність

Після ґрунтовного опрацювання прямих на площиніпродовжуємо вивчати геометрію двовимірного світу. Ставки подвоюються, і я запрошую вас відвідати мальовничу галерею еліпсів, гіпербол, парабол, які є типовими представниками ліній другого порядку. Екскурсія вже розпочалася, і спочатку коротка інформація про всю експозицію на різних поверхах музею:

Поняття алгебраїчної лінії та її порядку

Лінію на площині називають алгебраїчної, якщо в афінної системи координатїї рівняння має вигляд , де – многочлен, що складається з доданків виду ( – дійсне число, – цілі неотрицательные числа).

Як бачите, рівняння лінії алгебри не містить синусів, косінусів, логарифмів та іншого функціонального бомонду. Тільки «ікси» та «ігреки» в цілих невід'ємнихступенях.

Порядок лініїдорівнює максимальному значенню складових, що входять до нього.

За відповідною теоремою, поняття алгебраїчної лінії, а також її порядок не залежать від вибору афінної системи координат, тому для легкості буття вважаємо, що всі наступні викладки мають місце в декартових координатах.

Загальне рівняннялінії другого порядку має вигляд , де – довільні дійсні числа (прийнято записувати з множником-«двійкою»), причому коефіцієнти не дорівнюють одночасно нулю.

Якщо , то рівняння спрощується до , і якщо коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю, то це точно загальне рівняння «плоської» прямої, яка є лінію першого порядку.

Багато хто зрозумів зміст нових термінів, але, проте, з метою 100%-го засвоєння матеріалу сунемо пальці в розетку. Щоб визначити порядок лінії, потрібно перебрати всі доданкиїї рівняння та у кожного з них знайти суму ступеніввхідних змінних.

Наприклад:

доданок містить «ікс» в 1-му ступені;
доданок містить «гравець» в 1-му ступені;
у складі змінні відсутні, тому сума їх ступенів дорівнює нулю.

Тепер розберемося, чому рівняння задає лінію другогопорядку:

доданок містить «ікс» у 2-му ступені;
у доданку сума ступенів змінних: 1 + 1 = 2;
доданок містить «гравець» у 2-му ступені;
решта доданків – меншоюступеня.

Максимальне значення: 2

Якщо до нашого рівняння додатково приплюсувати, скажімо, то воно вже буде визначати лінію третього порядку. Очевидно, що загальний вигляд рівняння лінії 3-го порядку містить «повний комплект» доданків, сума ступенів змінних у яких дорівнює трьом:
, Де коефіцієнти не рівні одночасно нулю.

У тому випадку, якщо додати одне або кілька відповідних доданків, які містять , то мова вже зайде про лінії 4-го порядку, і т.д.

З лініями алгебри 3-го, 4-го і більш високих порядків нам доведеться зіткнутися ще не раз, зокрема, при знайомстві з полярною системою координат.

Однак повернемося до загального рівняння та згадаємо його найпростіші шкільні варіації. Як приклади напрошується парабола, рівняння якої легко привести до загального вигляду, і гіпербола з еквівалентним рівнянням. Однак не все так гладко.

Істотний недолік загального рівняння полягає в тому, що майже завжди не зрозуміло, яку задає лінію. Навіть у найпростішому випадку не відразу зрозумієш, що це гіпербола. Такі розклади хороші лише на маскараді, тому в курсі аналітичної геометрії розглядається типове завдання приведення рівняння лінії 2-го порядку до канонічного вигляду.

Що таке канонічний вид рівняння?

Це загальноприйнятий стандартний вид рівняння, коли за лічені секунди стає ясно, який геометричний об'єкт воно визначає. Крім того, канонічний вигляд дуже зручний для вирішення багатьох практичних завдань. Так, наприклад, за канонічним рівнянням «плоский» прямий, по-перше, відразу зрозуміло, що це пряма, а по-друге – елементарно проглядається точка, що належить їй, і напрямний вектор .

Очевидно, що будь-яка лінія 1-го порядкує прямою. На другому поверсі нас чекає вже не вахтер, а набагато різноманітніша компанія з дев'яти статуй:

Класифікація ліній другого порядку

За допомогою спеціального комплексу дій будь-яке рівняння лінії другого порядку наводиться до одного з таких видів:

(і – позитивні дійсні числа)

1) - канонічне рівняння еліпса;

2) - канонічне рівняння гіперболи;

3) - канонічне рівняння параболи;

4) – уявнийеліпс;

5) - пара прямих, що перетинаються;

6) – пара уявнихпрямих, що перетинаються (з єдиною дійсною точкою перетину на початку координат);

7) – пара паралельних прямих;

8) – пара уявнихпаралельних прямих;

9) - пара прямих, що збіглися.

У ряду читачів може скластися враження неповноти списку. Наприклад, у пункті № 7 рівняння задає пару прямих, паралельних осі , і виникає питання: а де ж рівняння , що визначає прямі , паралельні осі ординат? Відповідь: воно не вважається канонічним. Прямі являють собою той самий стандартний випадок, повернутий на 90 градусів, і додатковий запис у класифікації надмірна, оскільки не несе нічого принципово нового.

Таким чином, існує дев'ять і лише дев'ять різних видів ліній 2-го порядку, але на практиці найчастіше зустрічаються еліпс, гіпербола та парабола.

Спочатку розглянемо еліпс. Як завжди, я акцентую увагу на тих моментах, які мають велике значення для вирішення завдань, і якщо вам необхідний докладний висновок формул, докази теорем, будь ласка, зверніться, наприклад, до підручника Базилєва/Атанасяна або Александрова.

Еліпс та його канонічне рівняння

Правопис… будь ласка, не повторюйте помилок деяких користувачів Яндекса, яких цікавить «як побудувати елібз», «відмінність еліпса від овалу» та «ексцентриситет елебсу».

Канонічне рівняння еліпса має вигляд , де - Позитивні дійсні числа, причому . Саме визначення еліпса я сформулюю пізніше, а поки саме час відпочити від говорілки і вирішити поширене завдання:

Як побудувати еліпс?

Так, ось взяти його і просто накреслити. Завдання зустрічається часто, і значна частина студентів не зовсім добре справляються з кресленням:

Приклад 1

Побудувати еліпс, заданий рівнянням

Рішення: спочатку наведемо рівняння до канонічного вигляду:

Навіщо наводити? Одна з переваг канонічного рівняння полягає в тому, що воно дозволяє миттєво визначити вершини еліпса, що у точках . Легко помітити, що координати кожної з цих точок задовольняють рівняння .

В даному випадку :

Відрізокназивають великою віссюеліпса;
відрізок – малою віссю;
число називають великою піввіссюеліпса;
число – малою піввіссю.
у прикладі: .

Щоб швидко уявити, як виглядає той чи інший еліпс, достатньо подивитися на значення «а» і «бе» його канонічного рівняння.

Все добре, складно та красиво, але є один нюанс: я виконав креслення за допомогою програми . І ви можете виконати креслення за допомогою будь-якої програми. Однак у суворій дійсності на столі лежить картатий аркуш паперу, і на наших руках водять хороводи миші. Люди з художнім талантом, звичайно, можуть посперечатися, але миші є і у вас теж (щоправда, менше). Такі недаремно людство винайшло лінійку, циркуль, транспортир та інші нехитрі пристрої для креслення.

Тому нам навряд чи вдасться акуратно накреслити еліпс, знаючи одні вершини. Ще куди не йшло, якщо еліпс невеликий, наприклад, з півосями. Як варіант, можна зменшити масштаб і, відповідно, розміри креслення. Але загалом вкрай бажано знайти додаткові точки.

Існує два підходи до побудови еліпса – геометричний та алгебраїчний. Побудова за допомогою циркуля і лінійки мені не подобається через не короткий алгоритм і суттєву захаращеність креслення. У разі крайньої необхідності, будь ласка, зверніться до підручника, а насправді ж набагато раціональніше скористатися засобами алгебри. З рівняння еліпса на чернетці швиденько висловлюємо:

Далі рівняння розпадається на дві функції:
- Визначає верхню дугу еліпса;
- Визначає нижню дугу еліпса.

Заданий канонічним рівнянням еліпс симетричний щодо координатних осей, і навіть щодо початку координат . І це добре - симетрія в більшості випадків провісник халяви. Очевидно, що достатньо розібратися з 1-ою координатною чвертю, тому нам потрібна функція . Напрошується знаходження додаткових крапок з абсцисами . Настукаємо три смс-ки на калькуляторі:

Безумовно, приємно й те, що якщо допущено серйозну помилку в обчисленнях, то це відразу з'ясується в ході побудови.

Зазначимо на кресленні точки (червоний колір), симетричні точки на решті дуг (синій колір) і акуратно з'єднаємо лінією всю компанію:

Початковий малюнок краще прокреслити тонко-тонко, і лише потім надати натиск олівця. В результаті має вийти цілком гідний еліпс. До речі, чи не хочете дізнатися, що це за крива?

Визначення еліпса. Фокуси еліпса та ексцентриситет еліпса

Еліпс - це окремий випадок овалу. Слово «овал» не слід розуміти в обивательському сенсі («дитина намалювала овал» і т.п.). Це математичний термін, що має розгорнуте формулювання. Метою даного уроку не є розгляд теорії овалів та різних їх видів, яким практично не приділяється уваги у стандартному курсі аналітичної геометрії. І, відповідно до більш актуальних потреб, ми відразу переходимо до суворого визначення еліпса:

Еліпс– це безліч усіх точок площини, сума відстаней до кожної з яких від двох даних точок , фокусамиеліпса, - є величина постійна, чисельно рівна довжині великої осі цього еліпса: .
При цьому відстані між фокусами менші від даного значення: .

Тепер стане все зрозуміліше:

Уявіть, що синя крапка «їздить» еліпсом. Так от, яку б точку еліпса ми не взяли, сума довжин відрізків завжди буде однією і тією ж:

Переконаємося, що у нашому прикладі значення суми справді дорівнює восьми. Подумки помістіть точку «ем» у праву вершину еліпса, тоді: , що потрібно перевірити.

На визначенні еліпса заснований ще один спосіб його креслення. Вища математика часом причина напруги і стресу, тому саме час провести черговий сеанс розвантаження. Будь ласка, візьміть ватман або великий лист картону і приколоти його до столу двома гвоздиками. Це будуть фокуси. До капелюшків цвяхів, що стирчать, прив'яжіть зелену нитку і до упору відтягніть її олівцем. Гриф олівця опиниться в деякій точці, яка належить еліпсу. Тепер починайте олівець по аркушу паперу, зберігаючи зелену нитку сильно натягнутою. Продовжуйте процес доти, доки не повернетеся у вихідну точку… відмінно… креслення можна здати на перевірку лікареві викладачеві =)

Як знайти фокуси еліпса?

У наведеному прикладі я зобразив «готові» точки фокусу, і зараз ми навчимося видобувати їх із надр геометрії.

Якщо еліпс заданий канонічним рівнянням, його фокуси мають координати , де це відстань від кожного з фокусів до центру симетрії еліпса.

Обчислення простіше пареної ріпи:

! Зі значенням «це» не можна ототожнювати конкретні координати фокусів!Повторюся, що це ВІДСТАНЬ від кожного з фокусів до центру(який у випадку ні розташовуватися саме на початку координат).
І, отже, відстань між фокусами теж не можна прив'язувати до канонічного становища еліпса. Іншими словами, еліпс можна перенести в інше місце і значення залишиться постійним, тоді як фокуси, звичайно, змінять свої координати. Будь ласка, враховуйте цей момент під час подальшого вивчення теми.

Ексцентриситет еліпса та його геометричний зміст

Ексцентриситетом еліпса називають відношення, яке може набувати значень у межах.

У нашому випадку:

З'ясуймо, як форма еліпса залежить від його ексцентриситету. Для цього зафіксуємо ліву та праву вершинианалізованого еліпса, тобто значення великої півосі залишатиметься постійним. Тоді формула ексцентриситету набуде вигляду: .

Почнемо наближати значення ексцентриситету до одиниці. Це можливо лише в тому випадку, якщо . Що це означає? …згадуємо про фокуси . Це означає, що фокуси еліпса «роз'їжджатимуться» по осі абсцис до бічних вершин. І, оскільки «зелені відрізки не гумові», то еліпс неминуче почне сплющуватися, перетворюючись на все більш тонку сосиску, нанизану на вісь.

Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету еліпса до одиниці, тим еліпс більш довгастий.

Тепер змоделюємо протилежний процес: фокуси еліпса пішли назустріч один одному, наближаючись до центру. Це означає, що значення «це» стає дедалі менше і, відповідно, ексцентриситет прагне нулю: .
При цьому "зеленим відрізкам" буде, навпаки - "ставати тісно" і вони почнуть "виштовхувати" лінію еліпса вгору і вниз.

Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету до нуля, тим еліпс більше схожий… дивимося граничний випадок, коли фокуси успішно возз'єдналися на початку координат:

Окружність – це окремий випадок еліпса

Справді, у разі рівності півосей канонічне рівняння еліпса набуває вигляду , який рефлекторно перетворюється на – добре відомого зі школи рівняння кола з центром на початку координат радіусу «а».

Насправді частіше використовують запис із «говорящей» буквою «ер»: . Радіусом називають довжину відрізка, при цьому кожна точка кола віддалена від центру на відстань радіуса.

Зауважте, що визначення еліпса залишається повністю коректним: фокуси збіглися, і сума довжин відрізків, що збіглися, для кожної точки кола – є величина постійна. Оскільки відстань між фокусами, то ексцентриситет будь-якого кола дорівнює нулю.

Будується коло легко і швидко, достатньо озброїтися циркулем. Тим не менш, іноді буває потрібно з'ясувати координати деяких її точок, у цьому випадку йдемо знайомим шляхом – наводимо рівняння до бадьорого матанівського вигляду:

– функція верхнього півкола;
– функція нижнього півкола.

Після чого знаходимо потрібні значення, диференціюємо, інтегруємоі робимо інші добрі речі.

Стаття, звичайно, має довідковий характер, але як на світі без кохання прожити? Творче завдання для самостійного вирішення

Приклад 2

Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомий один із його фокусів і мала піввісь (центр знаходиться на початку координат). Знайти вершини, додаткові точки та зобразити лінію на кресленні. Обчислити ексцентриситет.

Рішення та креслення наприкінці уроку

Додамо екшену:

Поворот та паралельне перенесення еліпса

Повернемося до канонічного рівняння еліпса , зокрема, до умови , загадка якого мучить допитливі уми ще з часів першої згадки про цю криву. Ось ми розглянули еліпс але хіба на практиці не може зустрітися рівняння ? Адже тут, однак, це начебто як і еліпс!

Подібне рівняння не часто, але справді трапляється. І воно справді визначає еліпс. Розвіємо містику:

Внаслідок побудови отримано наш рідний еліпс, повернутий на 90 градусів. Тобто, – це неканонічний записеліпса . Запис!- Рівняння не ставить якийсь інший еліпс, оскільки на осі немає точок (фокусів), які б задовольняли визначенню еліпса.

Овал- це замкнута коробова крива, що має дві осі симетрії і складається з двох опорних кіл однакового діаметра, внутрішньо пов'язаних дугами (рис. 13.45). Овал характеризується трьома параметрами: довжина, ширина та радіус овалу. Іноді задають лише довжину і ширину овалу, не визначаючи його радіусів, тоді завдання побудови овалу має безліч рішень (див. рис. 13.45, а...г).

Застосовують також способи побудови овалів на основі двох однакових опорних кіл, які стикаються (рис. 13.46 а), перетинаються (рис. 13.46 б) або не перетинаються (рис. 13.46 в). При цьому фактично задають два параметри: довжину овалу та один із його радіусів. Це завдання має безліч розв'язків. Очевидно, що R > ОАне має верхнього кордону. Зокрема R = Про 1 Про 2(див. рис. 13.46.а, та рис. 13.46.в), а центри Про 3і Про 4визначають як точки перетину базових кіл (див. рис. 13.46,б). Відповідно до загальної теорії точки, сполучення визначаються на прямий, що з'єднує центри дуг сполучених кіл.

Побудова овалу з опорними колами, що стикаються.(Завдання має безліч рішень) (Мал. 3.44). З центрів опорних кіл Проі 0 1 радіусом, рівним, наприклад, відстані між їхніми центрами, проводять дуги кіл до перетину в точках Про 2 та Про 3 .

Малюнок 3.44

Якщо з точок Про 2 та Про 3провести прямі через центри Проі O 1, то в перетині з опорними колами отримаємо точки сполучення З, C 1, Dі D 1. З точок Про 2 та Про 3як із центрів радіусом R 2проводять дуги сполучення.

Побудова овалу з опорними колами, що перетинаються.(Завдання також має безліч рішень) (рис. 3.45). З точок перетину опорних кіл З 2і Про 3проводять прямі, наприклад, через центри Проі O 1до перетину з опорними колами в точках сполучення З, З 1 Dі D 1, а радіусами R 2 ,рівними діаметру опорного кола, - дуги сполучення.

Малюнок 3.45 Малюнок 3.46

Побудова овалу по двох заданих осях АВ та CD(Рис. 3.46). Нижче наведено один із безлічі варіантів рішення. На вертикальній осі відкладаються відрізок ОЕ,рівний половині великої осі АВ.З точки Зяк із центру проводять дугу радіусом РЄдо перетину з відрізком АСу точці Е 1. До середини відрізка АЕ 1відновлюють перпендикуляр і відзначають точки його перетину з осями овалу O 1і 0 2 . Будують крапки O 3і 0 4 , симетричні точкам O 1і 0 2 щодо осей CDі АВ.Крапки O 1і 0 3 будуть центрами опорних кіл радіусу R 1 ,рівного відрізку О 1 А,а точки O 2і 0 4 - центрами дуг сполучення радіусу R 2 ,рівного відрізку Про 2 З.Прямі, що з'єднують центри O 1і 0 3 з O 2і 0 4 у перетині з овалом визначать точки сполучення.

В AutoCAD побудова овалу здійснюється за допомогою двох опорних кіл однакового радіусу, які:

1. мають точку дотику;

2. перетинаються;

3. не перетинаються.

Розглянемо перший випадок. Будують відрізок OO 1 =2R, паралельний осі Х, на його кінцях (точки О і О 1) розміщують центри двох опорних кіл радіусу R і центри двох допоміжних кіл радіусу R 1 =2R. З точок перетину допоміжних кіл О 2 і О 3 будують дуги CD і C 1 D 1 відповідно. Видаляють допоміжні кола, потім щодо дуг CD і C1D1 обрізають внутрішні частини опорних кіл. На малюнку отриманий овал виділений товстою лінією.

Малюнок Побудова овалу з опорними колами однакового радіусу, що стикаються.

В астрономії, коли розглядають рух космічних тіл по орбітах, часто застосовують поняття "еліпс", оскільки їх траєкторії характеризуються саме цією кривою. Розглянемо у статті питання, що є зазначена фігура, і навіть наведемо формулу довжини еліпса.

Що таке еліпс?

Згідно з математичним визначенням, еліпс - це замкнута крива, для якої сума відстаней від будь-якої її точки до двох інших певних точок, що лежать на головній осі, і називаються фокусами, є постійною величиною. Нижче наведено малюнок, який пояснює це визначення.

На малюнку сума відстаней PF" та PF дорівнює 2 * a, тобто PF" + PF = 2 * a, де F" і F - фокуси еліпса, "a" - довжина його великої півосі. Відрізок BB" називається малою піввіссю, а відстань CB = CB" = b - Довжина малої півосі. Тут точка C визначає центр фігури.

На малюнку вище також показаний простий метод із мотузкою та двома гвоздиками, який широко використовується для зображення еліптичних кривих. Інший спосіб отримати цю фігуру полягає у виконанні під будь-яким кутом до його осі, який не дорівнює 90 o .

Якщо еліпс обертати вздовж однієї з двох осей, він утворює об'ємну фігуру, яка називається сфероїдом.

Формула довжини кола еліпса

Хоча розглянута фігура є досить простою, довжину її кола точно можна визначити, якщо обчислити звані еліптичні інтеграли другого роду. Однак, індуський математик-самоук Рамануджан ще на початку XX століття запропонував досить просту формулу довжини еліпса, яка наближається до результату зазначених інтегралів знизу. Тобто розраховане за нею значення розміру, що розглядається, буде трохи менше, ніж реальна довжина. Ця формула має вигляд: P? pi * , де pi = 3,14 - число пі.

Наприклад, нехай довжини двох півосей еліпса дорівнюють a = 10 см і b = 8 см, тоді його довжина P = 56,7 см.

Кожен може перевірити, що якщо a = b = R, тобто розглядається звичайне коло, тоді формула Рамануджана зводиться до вигляду P = 2*pi*R.

Зазначимо, що у шкільних підручниках часто наводиться інша формула: P = pi*(a+b). Вона є більш простою, але й менш точною. Тож якщо її застосувати для розглянутого випадку, то отримаємо значення P = 56,5 див.

Що таке еліпс?

Вам буде цікаво:

На малюнку вище також показаний простий метод із мотузкою та двома гвоздиками, який широко використовується для зображення еліптичних кривих. Інший спосіб отримати цю фігуру полягає у виконанні перерізу конуса під будь-яким кутом до його осі, який не дорівнює 90°.

Якщо еліпс обертати вздовж однієї з двох осей, він утворює об'ємну фігуру, яка називається сфероїдом.

Формула довжини кола еліпса

Наприклад, нехай довжини двох півосей еліпса дорівнюють a = 10 см і b = 8 см, тоді його довжина P = 56,7 см.

Колом називається замкнута плоска крива, всі точки якої рівновіддалені від заданої точки (центру кола). Відстань від будь-якої точки кола \(P\left((x,y) \right)\) до її центру називається радіусом. Центр кола і саме коло лежать в одній і тій же площині. Рівняння кола радіусу \(R\) з центром на початку координат ( канонічне рівняння кола ) має вигляд
\((x^2) + (y^2) = (R^2)\).

Рівняння кола радіусу (R) з центром у довільній точці \(A\left((a,b) \right)\) записується як
\((\left((x - a) \right)^2) + (\left((y - b) \right)^2) = (R^2)\).

Рівняння кола, що проходить через три точки записується у вигляді: \(\left| (\begin(array)(*(20)(c)) ((x^2) + (y^2)) & x & y & 1\\ (x_1^2 + y_1^2) & ((x_1)) & ((y_1)) & 1\\ (x_2^2 + y_2^2) & ((x_2)) & ((y_2)) & 1\\ (x_3^2 + y_3^2) & ((x_3)) & ((y_3)) & 1 \end(array)) \right| = 0.\\\)
Тут \(A\left(((x_1),(y_1)) \right)\), \(B\left(((x_2),(y_2)) \right)\), \(C\left(( (x_3),(y_3)) \right)\) − три точки, що лежать на колі.

Рівняння кола у параметричній формі
\(\left\( \begin(aligned) x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
де \(x\), \(y\) - координати точок кола, \(R\) - радіус кола, \(t\) - параметр.

Загальне рівняння кола
\(A(x^2) + A(y^2) + Dx + Ey + F = 0\)
за умови \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Центр кола розташований у точці з координатами \(\left((a,b) \right)\), де
\(a = - \large\frac(D)((2A))\normalsize,\;\;b = - \large\frac(E)((2A))\normalsize.\)
Радіус кола дорівнює
\(R = \sqrt (\large\frac(((D^2) + (E^2) - 4AF))((2\left| A \right|))\normalsize) \)

Еліпсомназивається плоска крива, кожної точки якої сума відстаней до двох заданих точок ( фокусів еліпса ) Постійна. Відстань між фокусами називається фокусною відстанню і позначається через (2c). Середина відрізка, що з'єднує фокуси, називається центром еліпса . У еліпса є дві осі симетрії: перша або фокальна вісь, що проходить через фокуси, перпендикулярна їй друга вісь. Точки перетину цих осей з еліпсом називаються вершинами. Відрізок, що з'єднує центр еліпса з вершиною, називається піввіссю еліпса . Велика піввісь позначається через (a), мала піввісь – через (b). Еліпс, центр якого знаходиться на початку координат, а півосі лежать на координатних прямих, описується наступним канонічним рівнянням :
\(\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalsize + \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ normalsize = 1.

Сума відстаней від будь-якої точки еліпса до його фокусів постійна:
\((r_1) + (r_2) = 2a\),
де \((r_1)\), \((r_2)\) − відстані від довільної точки \(P\left((x,y) \right)\) до фокусів \((F_1)\) та \(( F_2)\), \(a\) - велика піввісь еліпса.

Співвідношення між півосями еліпса та фокусною відстанню
\((a^2) = (b^2) + (c^2)\),
де \(a\) - велика піввісь еліпса, \(b\) - мала піввісь, \(c\) - половина фокусної відстані.

Ексцентриситет еліпса
\(e = \large\frac(c)(a)\normalsize

Рівняння директоріс еліпса
Директрисою еліпса називається пряма, перпендикулярна його фокальної осі і перетинає її на відстані \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) від центру. Еліпс має дві директорки, що віддаляються по різні боки від центру. Рівняння директрис записуються у вигляді
\(x = \pm \large\frac(a)(e)\normalsize = \pm \large\frac(((a^2)))(c)\normalsize.\)

Рівняння еліпса у параметричній формі
\(\left\( \begin(aligned) x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
де \(a\), \(b\) - півосі еліпса, \(t\) - параметр.

Загальне рівняння еліпса
\(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
де ((B^2) - 4AC

Загальне рівняння еліпса, півосі якого паралельні осям координат
\(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
де (AC > 0).

Периметр еліпса
\(L = 4aE\left(e \right)\),
де \(a\) - велика піввісь еліпса, \(e\) - ексцентриситет, \(E\) - повний еліптичний інтеграл другого роду.

Наближені формули для периметра еліпса
\(L \approx \pi \left[ (\large\frac(3)(2)\normalsize\left((a + b) \right) - \sqrt (ab) ) \right],\;\;L \approx \pi \sqrt (2\left(((a^2) + (b^2)) \right)),\)
де (a), (b) - півосі еліпса.

Площа еліпса
\(S = \pi ab\)

Лінії другого порядку. Еліпс та його канонічне рівняння. Окружність

Поняття алгебраїчної лінії та її порядку

Що таке канонічний вид рівняння?

Класифікація ліній другого порядку

Еліпс та його канонічне рівняння

Як побудувати еліпс?

Визначення еліпса. Фокуси еліпса та ексцентриситет еліпса

Як знайти фокуси еліпса?

Ексцентриситет еліпса та його геометричний зміст

Окружність – це окремий випадок еліпса

Поворот та паралельне перенесення еліпса

Що таке еліпс?

Формула довжини кола еліпса

Що таке еліпс?

Формула довжини кола еліпса

Читайте також

Лінії другого порядку.
Еліпс та його канонічне рівняння. Окружність