Функції двох змінних, приватні похідні, диференціали та градієнт

Тема 5.Функції двох змінних.

приватні похідні

Визначення функції двох змінних, способи завдання.

Приватні похідні

Градієнт функції однієї змінної

Знаходження найбільшого та найменшого значень функції двох змінних у замкнутій обмеженій області

1. Визначення функції кількох змінних, способи завдання

Для функції двох змінних
областю визначення є деяке безліч точок на площині
, а областю значень - проміжок на осі
.

Для наочного уявлення функції двох змінних застосовуються лінії рівня.

приклад . Для функції
побудувати графік та лінії рівня. Записати рівняння лінії рівня, що проходить через точку
.

Графік лінійної функціїє площинав просторі.

Для функції графік є площиною, що проходить через точки
,
,
.

Лініями рівня функціїє паралельні прямі, рівняння яких
.

Для лінійної функції двох змінних
лінії рівня задаються рівнянням
і є сімейство паралельних прямих на площині.

4

Графік функції 0 1 2 Х

Лінії рівня функції

Приватні проїзведені функції двох змінних

Розглянемо функцію
. Надамо змінної у точці
довільне збільшення
, залишаючи значення змінної незмінним. Відповідне збільшення функції

називається приватним збільшенням функції змінноїу точці
.

Аналогічно визначається приватне збільшення функціїпо змінній: .

Позначенняприватної похідної по: , ,
,
.

Приватної похідної функції змінної називається кінцева межа :

Позначення: , ,
,
.

Для знаходження приватної похідної
по змінній використовуються правила диференціювання функції однієї змінної, вважаючи змінну постійною.

Аналогічно, для знаходження приватної похідної за змінною постійною вважається змінна .

приклад . Для функції
знайти приватні похідні
,
і обчислити їх значення у точці
.

Приватна похідна функції
по змінній перебуває у припущенні, що постійна:

Знайдемо приватну похідну функції, вважаючи постійною:

Обчислимо значення приватних похідних при
,
:

;
.

Приватними похідними другого порядку Функції кількох змінних називаються приватні похідні від приватних похідних першого порядку.

Запишемо для функції приватні похідні 2-го порядку:

;
;

;
.

;
і т.д.

Якщо змішані приватні похідні функції кількох змінних безперервні у певній точці
, то вони рівні між собоюу цій точці. Отже, для функції двох змінних значення змішаних похідних приватних не залежать від порядку диференціювання:

.

приклад. Для функції знайти приватні похідні другого порядку
і
.

Рішення

Змішана приватна похідна знаходиться послідовним диференціюванням спочатку функції (вважаючи постійним), потім диференціюванням похідної
(вважаючи постійним).

Похідна знаходиться диференціюванням спочатку функції , потім похідної .

Змішані приватні похідні рівні між собою:
.

3. Градієнт функції двох змінних

Властивості градієнта

приклад . Дана функція
. Знайти градієнт
у точці
та побудувати його.

Рішення

Знайдемо координати градієнта – приватні похідні.

У точці
градієнт дорівнює. Початок вектору
у точці, а кінець - у точці.

5

4. Знаходження найбільшого та найменшого значень функції двох змінних у замкнутій обмеженій області

Постановка задачі. Нехай на площині замкнута обмежена область
задається системою нерівностей виду
. Потрібно знайти в області точки, в яких функція набуває найбільшого та найменшого значення.

Важливою є завдання знаходження екстремуму, математична модель якої містить лінійніобмеження (рівняння, нерівності) та лінійнуфункцію
.

Постановка задачі. Знайти найбільше та найменше значення функції
(2.1)

при обмеженнях

(2.2)

. (2.3)

Оскільки для лінійної функції багатьох змінних немає критичних точок всерединіобласті
то оптимальне рішення, що доставляє цільової функції екстремум, досягається тільки на кордоні області. Для області, заданої лінійними обмеженнями, точками можливого екстремуму є кутові точки. Це дозволяє розглядати розв'язання задачі графічним методом.

Графічне розв'язання системи лінійних нерівностей

Для графічного розв'язання цього завдання необхідно вміти вирішувати графічно системи лінійних нерівностей із двома змінними.

Порядок дій:

Зазначимо, що нерівність
визначає праву координатну напівплощину(від осі
), а нерівність
- верхню координатну напівплощину(від осі
).

приклад. Вирішити графічно нерівність
.

Запишемо рівняння граничної прямої
і побудуємо її за двома точками, наприклад,
і
. Пряма ділить площину на дві напівплощини.

Координати точки
задовольняють нерівності (
– вірно), отже, і координати всіх точок напівплощини, що містить точку , задовольняють нерівності. Рішенням нерівності будуть координати точок напівплощини, розташованої праворуч від граничної прямої, включаючи точки на кордоні. Шукана напівплощина малюнку виділена.

Рішення
системи нерівностей називається допустимим, Якщо його координати неотрицательны , . Безліч допустимих рішень системи нерівностей утворює область, яка розташована в першій чверті координатної площини.

приклад. Побудувати область розв'язків системи нерівностей

Розв'язаннями нерівностей є:

1)
- напівплощина, розташована ліворуч і нижче відносно прямої ( )
;

2)
- напівплощина, розташована в правій-нижній напівплощині відносно прямої ( )
;

3)
- напівплощина, розташована правіше прямої ( )
;

4) - напівплощина вище осі абсцис, тобто прямий ( )
.

0

Область допустимих рішеньданої системи лінійних нерівностей – це безліч точок, розташованих усередині та на межі чотирикутника
, що є перетиномчотирьох напівплощин.

Геометричне зображення лінійної функції

(лінії рівня та градієнт)

Зафіксуємо значення
, отримаємо рівняння
, що геометрично задає пряму. У кожній точці пряма функція набуває значення і є лінією рівня.Надаючи різні значення, наприклад,

, ... , отримаємо безліч ліній рівня - сукупність паралельних прямих.

Побудуємо градієнт- Вектор
координати якого рівні значенням коефіцієнтів при змінних функції
. Даний вектор: 1) перпендикулярний кожній прямій (лінії рівня)
; 2) показує напрямок зростання цільової функції.

приклад . Побудувати лінії рівня та градієнт функції
.

Лінії рівня при , , - це прямі

,
,

, паралельні один одному. Градієнт – це вектор, перпендикулярний до кожної лінії рівня.

Графічне знаходження найбільшого та найменшого значень лінійної функції в області

Геометрична постановка задачі. Знайти у сфері рішень системи лінійних нерівностей точку, якою проходить лінія рівня, відповідна найбільшому (найменшому) значенню лінійної функції із двома змінними.

Послідовність дій:

4. Знайти координати точки А, вирішуючи систему рівнянь прямих, що перетинаються в точці А, та обчислити найменше значення функції
. Аналогічно - для точки В та найбільшого значення функції
. побудована за точками. Приватніпохідніфункціїкількох зміннихта техніка диференціювання. Екстремум функціїдвохзміннихта його необхідне...

Нехай задана функція. Так як x і y – незалежні змінні, одна з них може змінюватися, а інша зберігати своє значення. Дамо незалежної змінної x збільшення , зберігаючи значення y незмінним. Тоді z отримає збільшення, яке називається приватним збільшенням z по x і позначається . Отже, .

Аналогічно отримуємо приватне збільшення z по y: .

Повне збільшення функції z визначається рівністю.

Якщо існує межа , то він називається приватною похідною функції в точці змінної x і позначається одним із символів:

.

Приватні похідні x у точці зазвичай позначають символами .

Аналогічно визначається і позначається приватна похідна від змінної y:

Таким чином, приватна похідна функції кількох (двох, трьох і більше) змінних визначається як похідна функції однієї з цих змінних за умови сталості значень інших незалежних змінних. Тому приватні похідні функції знаходиться за формулами та правилами обчислення похідних функції однієї змінної (при цьому відповідно x чи y вважаються постійною величиною).

Приватні похідні називають приватними похідними першого порядку. Їх можна як функції від . Ці функції можуть мати приватні похідні, які називаються похідними приватного другого порядку. Вони визначаються і позначаються так:

; ;

; .

Диференціали 1 та 2 порядку функції двох змінних.

Повний диференціал функції (формула 2.5) називають диференціалом першого порядку.

Формула для обчислення повного диференціала має такий вигляд:

(2.5) або де ,

приватні диференціали функції.

Нехай функція має безперервні похідні приватного другого порядку. Диференціал другого порядку визначається за такою формулою. Знайдемо його:

Звідси: . Символічно це записується так:

.

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ.

Первісна функції, невизначений інтеграл, властивості.

Функція F(x) називається первісноїдля цієї функції f(x), якщо F"(x)=f(x), або, що те саме, якщо dF(x)=f(x)dx.

Теорема. Якщо функція f(x), визначена в деякому проміжку (X) кінцевої або нескінченної довжини, має одну первісну, F(x), вона має і нескінченно багато первісних; всі вони містяться у виразі F(x)+З, де З - довільна стала.

Сукупність всіх первісних для цієї функції f(x), визначеної в деякому проміжку або на деякому відрізку кінцевої або нескінченної довжини, називається невизначеним інтеграломвід функції f(x) [або виразу f(x)dx ] і позначається символом .

Якщо F(x) є однією з первісних для f(x), то відповідно до теореми про первісні

де С є довільна постійна.

За визначенням первісної F"(x)=f(x) і, отже, dF(x)=f(x) dx. У формулі (7.1), f(x) називається підінтегральною функцією, а f(x) dx - підінтегральним виразом.

Приватні похідні застосовують у завданнях з функціями кількох змінних. Правила знаходження точно такі ж як і для функцій однієї змінної, з різницею лише в тому, що одну із змінних слід вважати в момент диференціювання константою (постійним числом).

Формула

Приватні похідні для функції двох змінних $z(x,y) $ записуються в наступному вигляді $z"_x, z"_y$ і знаходяться за формулами:

Приватні похідні першого порядку

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Приватні похідні другого порядку

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Змішана похідна

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Приватна похідна складної функції

а) Нехай $ z(t) = f(x(t), y(t)) $, тоді похідна складної функції визначається за формулою:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

б) Нехай $ z (u, v) = z (x (u, v), y (u, v)) $, тоді приватні похідні функції перебувають за формулою:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Приватні похідні неявно заданої функції

а) Нехай $ F(x,y(x)) = 0 $, тоді $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

б) Нехай $ F (x, y, z) = 0 $, тоді $ $ z "_x = - \ frac (F"_x) (F "_z); z "_y = - \ frac (F"_y) ( F"_z) $$

Приклади рішень

Приклад 1

Знайти приватні похідні першого порядку $z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10$

Рішення

Для знаходження приватної похідної по $ x $ вважатимемо $ y $ постійною величиною (числом): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для знаходження приватної похідної функції $ y $ визначимо $ y $ константою: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!

Відповідь

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Приклад 2

Знайти приватні похідні функції другого порядку $ z = e ^ (xy) $

Рішення

Спочатку потрібно знайти перший похідні, а потім знаючи їх можна знайти похідні другого порядку. Вважаємо $ y $ константою: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Покладемо тепер $ x $ постійною величиною: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Знаючи перші похідні, аналогічно знаходимо другі. Встановлюємо $ y $ постійною: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Задаємо $ x $ постійної: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Тепер лишилося знайти змішану похідну. Можна продиференціювати $ z"_x $ по $ y $, а можна $ z"_y $ по $ x $, тому що за теоремою $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$

Відповідь

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Приклад 4

Нехай $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ задає неявну функцію $ F (x, y, z) = 0 $. Знайти приватні похідні першого порядку.

Рішення

Записуємо функцію у форматі: $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ і знаходимо похідні: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Відповідь

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Вирішувати фізичні завдання чи приклади з математики зовсім неможливо без знань про похідну та методи її обчислення. Похідна – одне з найважливіших понять математичного аналізу. Цій фундаментальній темі ми вирішили присвятити сьогоднішню статтю. Що таке похідна, який її фізичний та геометричний зміст, як порахувати похідну функції? Всі ці питання можна поєднати в одне: як зрозуміти похідну?

Геометричний та фізичний зміст похідної

Нехай є функція f(x) , задана в певному інтервалі (a, b) . Точки х і х0 належать до цього інтервалу. При зміні х змінюється сама функція. Зміна аргументу – різниця його значень х-х0 . Ця різниця записується як дельта ікс і називається збільшенням аргументу. Зміною або збільшенням функції називається різниця значень функції у двох точках. Визначення похідної:

Похідна функції у точці – межа відношення збільшення функції у цій точці до збільшення аргументу, коли останнє прагне нулю.

Інакше це можна записати так:

Який сенс у знаходженні такої межі? А ось який:

похідна від функції в точці дорівнює тангенсу кута між віссю OX і щодо графіку функції в даній точці.

Фізичний зміст похідної: похідна шляхи за часом дорівнює швидкості прямолінійного руху.

Дійсно, ще зі шкільних часів всім відомо, що швидкість – це приватна дорога. x=f(t) та часу t . Середня швидкість за деякий проміжок часу:

Щоб дізнатися швидкість руху в момент часу t0 потрібно обчислити межу:

Правило перше: виносимо константу

Константу можна винести за знак похідної. Більше того – це потрібно робити. При вирішенні прикладів математики візьміть за правило - якщо можете спростити вираз, обов'язково спрощуйте .

приклад. Обчислимо похідну:

Правило друге: похідна суми функцій

Похідна суми двох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій. Те саме справедливо і для похідної різниці функцій.

Не наводитимемо доказ цієї теореми, а краще розглянемо практичний приклад.

Знайти похідну функції:

Правило третє: похідна робота функцій

Похідна твори двох функцій, що диференціюються, обчислюється за формулою:

Приклад: знайти похідну функції:

Рішення:

Тут важливо сказати про обчислення похідних складних функцій. Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

У наведеному вище прикладі ми зустрічаємо вираз:

В даному випадку проміжний аргумент - 8х у п'ятому ступені. Для того, щоб обчислити похідну такого виразу спочатку вважаємо похідну зовнішньої функції за проміжним аргументом, а потім множимо на похідну безпосередньо проміжного аргументу незалежної змінної.

Правило четверте: похідна приватного двох функцій

Формула для визначення похідної від частки двох функцій:

Ми постаралися розповісти про похідні для чайників з нуля. Ця тема не така проста, як здається, тому попереджаємо: у прикладах часто зустрічаються пастки, так що будьте уважні при обчисленні похідних.

З будь-яким питанням з цієї та інших тем ви можете звернутися до студентського сервісу. За короткий термін ми допоможемо вирішити найскладнішу контрольну та розібратися із завданнями, навіть якщо ви ніколи раніше не займалися обчисленням похідних.

На цьому уроці ми познайомимося з поняттям функції двох змінних, а також докладно розглянемо найпоширеніше завдання – знаходження приватних похіднихпершого та другого порядку, повного диференціалу функції.

Для ефективного вивчення нижченаведеного матеріалу Вам необхідновміти більш менш впевнено знаходити «звичайні» похідні функції однієї змінної. Навчитися правильно поводитися з похідними можна під час уроків Як знайти похідну? та Похідна складної функції. Також нам знадобиться таблиця похідних елементарних функцій та правил диференціювання, найзручніше, якщо вона буде під рукою в роздрукованому вигляді.

Почнемо з поняття функції двох змінних, постараємося обмежитися мінімумом теорії, оскільки сайт має практичну спрямованість. Функція двох змінних зазвичай записується як , у своїй змінні , називаються незалежними зміннимиабо аргументами.

Приклад: - Функція двох змінних.

Іноді використовують запис. Також зустрічаються завдання, де замість букви використовується буква .

Корисно знати геометричне значення функцій. Функції однієї змінної відповідає певна лінія на площині, наприклад, всім знайома шкільна парабола. Будь-яка функція двох змінних з геометричної точки зору є поверхнею в тривимірному просторі (площини, циліндри, кулі, параболоїди і т.д.). Але, власне, це вже аналітична геометрія, а в нас на порядку денному математичний аналіз.

Переходимо до питання перебування приватних похідних першого та другого порядків. Повинен повідомити хорошу новину для тих, хто випив кілька чашок кави і налаштувався на неймовірно важкий матеріал: приватні похідні - це майже те саме, що і «звичайні» похідні функції однієї змінної.

Для окремих похідних справедливі всі правила диференціювання і таблиця похідних елементарних функцій. Є тільки кілька невеликих відмінностей, з якими ми познайомимося прямо зараз.

Приклад 1

Знайти приватні похідні першого та другого порядку функції

Спочатку знайдемо приватні похідні першого порядку. Їх дві.

Позначення:

Або - приватна похідна по "ікс"

Або – приватна похідна за «ігроком»

Почнемо з .

Важливо! Коли ми знаходимо приватну похідну по «ікс», то змінна вважається константою (постійним числом).

Вирішуємо. На цьому уроці відразу наводитимемо повне рішення, а коментарі даватимемо нижче.

Коментарі до виконаних дій:

(1) Перше, що ми робимо під час перебування приватної похідної – укладаємо всюфункцію в дужки під штрих з підрядковим індексом.

Увага, важливо!Підрядкові індекси НЕ ВТРАЮЄМО по ходу рішення. У разі, якщо Ви де-небудь намалюєте «штрих» без , то викладач, як мінімум, може поставити поруч із завданням (відразу відкусити частину бала за неуважність).

(2) Використовуємо правила диференціювання ; . Для простого прикладу, як цей, обидва правила можна застосувати на одному кроці. Зверніть увагу на перший доданок: оскільки вважається константою, а будь-яку константу можна винести за знак похідної, то ми виносимо за дужки. Тобто в цій ситуації нічим не краще за звичайне число. Тепер подивимося на третій доданок: тут, навпаки, нічого не виносити. Оскільки константа, то – теж константа, і в цьому сенсі вона нічим не краща за останній доданок – «сімки».

(2) Використовуємо таблицю похідних функцій. Уявно поміняємо в таблиці всі «ікси» на «ігреки». Тобто дана таблиця рівно справедлива для (І взагалі для будь-якої літери).У разі, використовувані нами формули мають вигляд: і .

Отже, приватні похідні першого порядку знайдені