Subiect: Fracții zecimale. Adunarea și scăderea zecimalelor

Lecția: Notarea zecimală a numerelor fracționale

Numitorul unei fracții poate fi exprimat prin orice număr natural. Numere fracționale în care numitorul este exprimat ca 10; 100; 1000;…, unde n, am fost de acord să-l scriem fără numitor. Orice număr fracționar al cărui numitor este 10; 100; 1000 etc. (adică unul urmat de mai multe zerouri) poate fi reprezentat în notație zecimală (sub formă de zecimală). Mai întâi scrieți întreaga parte, apoi numărătorul părții fracționale, iar întreaga parte este separată de fracție printr-o virgulă.

De exemplu,

Dacă lipsește o parte întreagă, de ex. Dacă fracția este proprie, atunci întreaga parte se scrie ca 0.

Pentru a scrie corect o zecimală, numărătorul fracției trebuie să aibă atâtea cifre câte zerouri sunt în fracție.

1. Scrieți ca zecimală.

2. Reprezentați o zecimală ca o fracție sau un număr mixt.

3. Citiți zecimale.

12,4 - 12 punctul 4;

0,3 - 0 punctul 3;

1,14 - 1 punct 14 sutimi;

2,07 - 2 punct 7 sutimi;

0,06 - 0 punct 6 sutimi;

0,25 - 0 punct 25;

1.234 - 1 punct 234 miimi;

1.230 - 1 punct 230 miimi;

1.034 - 1 punct 34 miimi;

1.004 - 1 punct 4 miimi;

1.030 - 1 punct 30 miimi;

0,010101 - 0 punct 10101 milionimi.

4. Mutați virgula din fiecare cifră cu 1 loc la stânga și citiți numerele.

34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.

5. Mutați virgula în fiecare număr 1 loc la dreapta și citiți numărul rezultat.

1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.

6. Exprimați în metri și centimetri.

3,28 m = 3 m + .

7. Exprimați în tone și kilograme.

24,030 t = 24 t.

8. Scrieți câtul ca fracție zecimală.

1710: 100 = ;

64: 10000 =

803: 100 =

407: 10 =

9. Exprimați în dm.

5 dm 6 cm = 5 dm + ;

9 mm =

număr fracționar.

Notarea zecimală a unui număr fracționar este un set de două sau mai multe cifre de la $0$ la $9$, între care există așa-numitul \textit (punct zecimal).

Exemplul 1

De exemplu, 35,02 USD; 100,7 USD; 123 $\456,5 $; 54,89 USD.

Cifra cea mai din stânga din notația zecimală a unui număr nu poate fi zero, singura excepție fiind atunci când punctul zecimal este imediat după prima cifră $0$.

Exemplul 2

De exemplu, 0,357 $; 0,064 USD.

Adesea punctul zecimal este înlocuit cu un punct zecimal. De exemplu, 35,02 USD; 100,7 USD; 123 $\456,5 $; 54,89 USD.

Definiție zecimală

Definiția 1

zecimale-- acestea sunt numere fracționale care sunt reprezentate în notație zecimală.

De exemplu, 121,05 USD; 67,9 USD; 345,6700 USD.

Decimale sunt folosite pentru a scrie mai compact fracțiile proprii, ai căror numitori sunt numerele $10$, $100$, $1\000$ etc. și numere mixte, ai căror numitori ai părții fracționale sunt numerele $10$, $100$, $1\000$ etc.

De exemplu, fracția comună $\frac(8)(10)$ poate fi scrisă ca o zecimală $0,8$, iar numărul mixt $405\frac(8)(100)$ poate fi scris ca o zecimală $405,08$.

Citirea zecimale

Fracțiile zecimale, care corespund fracțiilor obișnuite, se citesc la fel ca fracțiile obișnuite, doar expresia „număr întreg” este adăugată în față. De exemplu, fracția comună $\frac(25)(100)$ (a se citi „douăzeci și cinci de sutimi”) corespunde fracțiunii zecimale $ 0,25$ (a se citi „zero virgulă douăzeci și cinci de sutimi”).

Fracțiile zecimale care corespund numerelor mixte sunt citite în același mod ca și numerele mixte. De exemplu, numărul mixt $43\frac(15)(1000)$ corespunde fracțiunii zecimale $43,015$ (a se citi „patruzeci și trei virgulă cincisprezece miimi”).

Locurile în zecimale

În scrierea unei fracții zecimale, semnificația fiecărei cifre depinde de poziția sa. Acestea. în fracțiile zecimale se aplică și conceptul categorie.

Locurile din fracțiile zecimale până la virgulă se numesc la fel ca și locurile din numere naturale. Cifrele zecimale după virgulă sunt listate în tabel:

Poza 1.

Exemplul 3

De exemplu, în fracția zecimală $56,328$, cifra $5$ este în locul zecilor, $6$ este în locul unităților, $3$ este pe locul zecimii, $2$ este pe locul sutimii, $8$ este în miimi loc.

Locurile din fracțiile zecimale se disting prin prioritate. Când citiți o fracție zecimală, mutați de la stânga la dreapta - de la senior rang la mai tanar.

Exemplul 4

De exemplu, în fracția zecimală $56,328$, locul cel mai semnificativ (cel mai mare) este locul zecilor, iar locul de jos (cel mai mic) este locul miilor.

O fracție zecimală poate fi extinsă în cifre similare cu descompunerea cifrelor unui număr natural.

Exemplul 5

De exemplu, să descompunăm fracția zecimală $37,851$ în cifre:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Încheierea cu zecimale

Definiția 2

Încheierea cu zecimale se numesc fracții zecimale, ale căror înregistrări conțin un număr finit de caractere (cifre).

De exemplu, 0,138 $; 5,34 USD; 56,123456 USD; 350.972,54 USD.

Orice fracție zecimală finită poate fi convertită într-o fracție sau într-un număr mixt.

Exemplul 6

De exemplu, fracția zecimală finală $7,39$ corespunde numărului fracționar $7\frac(39)(100)$, iar fracția zecimală finală $0,5$ corespunde fracției comune adecvate $\frac(5)(10)$ (sau orice fracție care este egală cu aceasta, de exemplu, $\frac(1)(2)$ sau $\frac(10)(20)$.

Conversia unei fracții într-o zecimală

Conversia fracțiilor cu numitori $10, 100, \dots$ în zecimale

Înainte de a converti unele fracții adecvate în zecimale, acestea trebuie mai întâi „pregătite”. Rezultatul unei astfel de pregătiri ar trebui să fie același număr de cifre la numărător și același număr de zerouri la numitor.

Esența „pregătirii preliminare” a fracțiilor ordinare adecvate pentru conversia în fracții zecimale este adăugarea unui astfel de număr de zerouri la stânga în numărător, încât numărul total de cifre să devină egal cu numărul de zerouri din numitor.

Exemplul 7

De exemplu, să pregătim fracția $\frac(43)(1000)$ pentru conversia într-o zecimală și să obținem $\frac(043)(1000)$. Iar fracția obișnuită $\frac(83)(100)$ nu are nevoie de nicio pregătire.

Să formulăm regula pentru conversia unei fracții comune adecvate cu un numitor de $10$, sau $100$, sau $1\000$, $\dots$ într-o fracție zecimală:

scrie $0$;

după ce a pus virgulă zecimală;

notează numărul de la numărător (împreună cu zerourile adăugate după pregătire, dacă este necesar).

Exemplul 8

Convertiți fracția potrivită $\frac(23)(100)$ într-o zecimală.

Soluţie.

Numitorul conține numărul $100$, care conține $2$ și două zerouri. Numărătorul conține numărul $23$, care este scris cu $2$.cifre. Aceasta înseamnă că nu este nevoie să pregătiți această fracție pentru conversia într-o zecimală.

Să scriem $0$, să punem o virgulă zecimală și să scriem numărul $23$ de la numărător. Obținem fracția zecimală $0,23$.

Răspuns: $0,23$.

Exemplul 9

Scrieți fracția potrivită $\frac(351)(100000)$ ca zecimală.

Soluţie.

Numărătorul acestei fracții conține $3$ cifre, iar numărul de zerouri din numitor este $5$, așa că această fracție obișnuită trebuie pregătită pentru conversia într-o zecimală. Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați $5-3=2$ zerouri la stânga în numărător: $\frac(00351)(100000)$.

Acum putem forma fracția zecimală dorită. Pentru a face acest lucru, notați $0$, apoi adăugați o virgulă și notați numărul de la numărător. Obținem fracția zecimală $0,00351$.

Răspuns: $0,00351$.

Să formulăm regula pentru conversia fracțiilor improprii cu numitori $10$, $100$, $\dots$ în fracții zecimale:

notează numărul de la numărător;

Folosiți o virgulă zecimală pentru a separa atâtea cifre din dreapta câte zerouri există în numitorul fracției inițiale.

Exemplul 10

Convertiți fracția improprie $\frac(12756)(100)$ într-o zecimală.

Soluţie.

Să notăm numărul de la numărătorul $12756$, apoi să despărțim cifrele $2$ din dreapta cu un punct zecimal, deoarece numitorul fracției inițiale $2$ este zero. Obținem fracția zecimală $127.56$.

În acest articol vom înțelege ce este o fracție zecimală, ce caracteristici și proprietăți are. Merge! 🙂

O fracție zecimală este un caz special de fracții obișnuite (unde numitorul este un multiplu al lui 10).

Definiție

Decimalele sunt fracții ai căror numitori sunt numere formate din unu și un număr de zerouri care le urmează. Adică, acestea sunt fracții cu numitorul 10, 100, 1000 etc. În caz contrar, o fracție zecimală poate fi caracterizată ca o fracție cu numitorul lui 10 sau una dintre puterile lui zece.

Exemple de fracții:

, ,

Fracțiile zecimale sunt scrise diferit de fracțiile obișnuite. Operațiile cu aceste fracții sunt, de asemenea, diferite de operațiile cu cele obișnuite. Regulile pentru operațiunile cu ele sunt în mare măsură similare cu regulile pentru operațiunile cu numere întregi. Acest lucru, în special, explică cererea lor de a rezolva probleme practice.

Reprezentarea fracțiilor în notație zecimală

Fracția zecimală nu are numitor; afișează numărul numărătorului. În general, o fracție zecimală se scrie după următoarea schemă:

unde X este partea întreagă a fracției, Y este partea sa fracțională, „,” este punctul zecimal.

Pentru a reprezenta corect o fracție ca zecimală, este nevoie să fie o fracție obișnuită, adică cu partea întreagă evidențiată (dacă este posibil) și un numărător care este mai mic decât numitorul. Apoi, în notație zecimală, partea întreagă este scrisă înainte de virgulă zecimală (X), iar numărătorul fracției comune este scris după virgulă zecimală (Y).

Dacă numărătorul conține un număr cu mai puține cifre decât numărul de zerouri din numitor, atunci în partea Y numărul de cifre lipsă din notația zecimală este completat cu zerouri înaintea cifrelor numărătorului.

Exemplu:

Dacă o fracție comună este mai mică de 1, adică nu are o parte întreagă, atunci pentru X în formă zecimală scrieți 0.

În partea fracționară (Y), după ultima cifră semnificativă (diferită de zero), se poate introduce un număr arbitrar de zerouri. Acest lucru nu afectează valoarea fracției. În schimb, toate zerourile de la sfârșitul părții fracționale a zecimalei pot fi omise.

Citirea zecimale

Partea X este, în general, citită după cum urmează: „X numere întregi”.

Partea Y se citește în funcție de numărul din numitor. Pentru numitorul 10 ar trebui să citiți: „Y zecimi”, pentru numitorul 100: „Y sutimi”, pentru numitorul 1000: „Y zecimi” și așa mai departe... 😉

O altă abordare a citirii, bazată pe numărarea numărului de cifre ale părții fracționale, este considerată mai corectă. Pentru a face acest lucru, trebuie să înțelegeți că cifrele fracționale sunt situate într-o imagine în oglindă în raport cu cifrele întregii părți a fracției.

Numele pentru citirea corectă sunt date în tabel:

Pe baza acestui fapt, citirea ar trebui să se bazeze pe respectarea numelui cifrei ultimei cifre a părții fracționale.

• 3.5 spune „trei virgulă cinci”
• 0,016 spune „zero virgulă șaisprezece miimi”

Conversia unei fracții arbitrare într-o zecimală

Dacă numitorul unei fracții comune este 10 sau o putere a lui zece, atunci conversia fracției se efectuează așa cum este descris mai sus. În alte situații, sunt necesare transformări suplimentare.

Există 2 metode de traducere.

Prima metodă de transfer

Numătorul și numitorul trebuie înmulțite cu un astfel de număr întreg încât numitorul să producă numărul 10 sau una dintre puterile lui zece. Și apoi fracția este reprezentată în notație zecimală.

Această metodă este aplicabilă pentru fracțiile al căror numitor poate fi extins doar în 2 și 5. Deci, în exemplul anterior . Dacă expansiunea conține alți factori primi (de exemplu, ), atunci va trebui să recurgeți la metoda a 2-a.

A doua metodă de traducere

A doua metodă este de a împărți numărătorul la numitor într-o coloană sau pe un calculator. Întreaga parte, dacă există, nu participă la transformare.

Regula pentru împărțirea lungă care are ca rezultat o fracție zecimală este descrisă mai jos (vezi Împărțirea zecimalelor).

Transformarea unei fracții zecimale într-o fracție comună

Pentru a face acest lucru, ar trebui să scrieți partea sa fracțională (în dreapta punctului zecimal) ca numărător, iar rezultatul citirii părții fracționale ca număr corespunzător în numitor. Apoi, dacă este posibil, trebuie să reduceți fracția rezultată.

Fracție zecimală finită și infinită

O fracție zecimală se numește fracție finală, a cărei parte fracțională este formată dintr-un număr finit de cifre.

Toate exemplele de mai sus conțin fracții zecimale finale. Cu toate acestea, nu orice fracție obișnuită poate fi reprezentată ca o zecimală finală. Dacă prima metodă de conversie nu este aplicabilă pentru o anumită fracție, iar cea de-a doua metodă demonstrează că împărțirea nu poate fi finalizată, atunci se poate obține doar o fracție zecimală infinită.

Este imposibil să scrieți o fracție infinită în forma sa completă. Într-o formă incompletă, astfel de fracții pot fi reprezentate:

1. ca urmare a reducerii la numărul dorit de zecimale;
2. ca fracție periodică.

O fracție se numește periodică dacă după virgulă zecimală este posibil să se distingă o secvență de cifre care se repetă la nesfârșit.

Fracțiile rămase se numesc neperiodice. Pentru fracțiile neperiodice este permisă doar prima metodă de reprezentare (rotunjire).

Un exemplu de fracție periodică: 0,8888888... Aici există un număr 8 care se repetă, care, evident, se va repeta la infinit, întrucât nu există niciun motiv să presupunem altfel. Această cifră se numește perioada fracției.

Fracțiile periodice pot fi pure sau mixte. O fracție zecimală pură este una a cărei perioadă începe imediat după virgulă. O fracție mixtă are 1 sau mai multe cifre înainte de virgulă.

54,33333… – fracție zecimală pură periodică

2,5621212121… – fracție mixtă periodică

Exemple de scriere a fracțiilor zecimale infinite:

Al doilea exemplu arată cum să formatați corect o perioadă în scrierea unei fracții periodice.

Conversia fracțiilor zecimale periodice în fracții obișnuite

Pentru a converti o fracție periodică pură într-o perioadă obișnuită, scrieți-o la numărător și scrieți un număr format din nouă într-o cantitate egală cu numărul de cifre din perioadă în numitor.

Fracția zecimală periodică mixtă se traduce după cum urmează:

1. trebuie să formați un număr format din numărul după virgulă zecimală înainte de punct și prima perioadă;
2. Din numărul rezultat, scădeți numărul după punctul zecimal dinaintea punctului. Rezultatul va fi numărătorul fracției comune;
3. la numitor trebuie să introduceți un număr format dintr-un număr de nouă egal cu numărul de cifre ale perioadei, urmat de zerouri, al căror număr este egal cu numărul de cifre ale numărului după virgulă zecimală înainte de prima perioadă.

Comparația zecimale

Fracțiile zecimale sunt comparate inițial după părțile lor întregi. Fracția a cărei întreaga parte este mai mare este mai mare.

Dacă părțile întregi sunt aceleași, atunci comparați cifrele cifrelor corespunzătoare ale părții fracționale, începând de la prima (de la zecimi). Același principiu se aplică și aici: fracția mai mare este cea cu mai multe zecimi; dacă cifrele zecimiilor sunt egale, cifrele zecimii sunt comparate și așa mai departe.

Deoarece

, deoarece cu părți întregi egale și zecimi egale în partea fracțională, a doua fracție are o sutimă mai mare.

Adunarea și scăderea zecimalelor

Decimalele se adună și se scad în același mod ca și numerele întregi prin scrierea cifrelor corespunzătoare una sub alta. Pentru a face acest lucru, trebuie să aveți puncte zecimale una sub alta. Apoi unitățile (zecile etc.) ale părții întregi, precum și zecimile (sutimele etc.) ale părții fracționale, vor fi în concordanță. Cifrele lipsă ale părții fracționale sunt umplute cu zerouri. Direct Procesul de adunare și scădere se efectuează în același mod ca pentru numerele întregi.

Înmulțirea zecimalelor

Pentru a înmulți zecimale, trebuie să le scrieți una sub alta, aliniate cu ultima cifră și fără să acordați atenție locației punctelor zecimale. Apoi, trebuie să înmulți numerele în același mod ca atunci când înmulți numerele întregi. După primirea rezultatului, ar trebui să recalculați numărul de cifre după virgulă în ambele fracții și să separați numărul total de cifre fracționale din numărul rezultat cu o virgulă. Dacă nu sunt suficiente cifre, acestea sunt înlocuite cu zerouri.

Înmulțirea și împărțirea zecimalelor cu 10n

Aceste acțiuni sunt simple și se reduc la mutarea punctului zecimal. P La înmulțire, punctul zecimal este mutat la dreapta (fracția este mărită) cu un număr de cifre egal cu numărul de zerouri din 10n, unde n este o putere întreagă arbitrară. Adică, un anumit număr de cifre sunt transferate din partea fracțională în întreaga parte. La împărțire, în consecință, virgula este mutată la stânga (numărul scade), iar unele dintre cifre sunt transferate din partea întreagă în partea fracțională. Dacă nu sunt suficiente numere de transferat, atunci biții lipsă sunt umpluți cu zerouri.

Acest articol este despre zecimale. Aici vom înțelege notația zecimală a numerelor fracționale, vom introduce conceptul de fracție zecimală și vom da exemple de fracții zecimale. În continuare, vom vorbi despre cifrele fracțiilor zecimale și vom oferi numele cifrelor. După aceasta, ne vom concentra asupra fracțiilor zecimale infinite, să vorbim despre fracții periodice și neperiodice. În continuare vom enumera operațiile de bază cu fracții zecimale. În concluzie, să stabilim poziția fracțiilor zecimale pe fasciculul de coordonate.

Navigare în pagină.

Notarea zecimală a unui număr fracționar

Citirea zecimale

Să spunem câteva cuvinte despre regulile de citire a fracțiilor zecimale.

Fracțiile zecimale, care corespund fracțiilor ordinare propriu-zise, ​​sunt citite în același mod ca aceste fracții obișnuite, se adaugă mai întâi doar „numărul întreg zero”. De exemplu, fracția zecimală 0,12 corespunde fracției comune 12/100 (a se citi „douăsprezece sutimi”), prin urmare, 0,12 este citit ca „virgul zero douăsprezece sutimi”.

Fracțiile zecimale care corespund numerelor mixte se citesc exact la fel ca aceste numere mixte. De exemplu, fracția zecimală 56,002 corespunde unui număr mixt, astfel încât fracția zecimală 56,002 este citită ca „cincizeci și șase virgulă două miimi”.

Locurile în zecimale

În scrierea fracțiilor zecimale, precum și în scrierea numerelor naturale, semnificația fiecărei cifre depinde de poziția sa. Într-adevăr, numărul 3 în fracția zecimală 0,3 înseamnă trei zecimi, în fracția zecimală 0,0003 - trei zece miimi, iar în fracția zecimală 30.000,152 - trei zeci de mii. Deci putem vorbi despre zecimale, precum și despre cifrele din numere naturale.

Numele cifrelor din fracția zecimală până la virgulă coincid complet cu numele cifrelor din numere naturale. Și numele zecimalei după virgulă pot fi văzute din următorul tabel.

De exemplu, în fracția zecimală 37,051, cifra 3 este în locul zecilor, 7 este în locul unităților, 0 este în locul zecimii, 5 este în locul sutimiilor și 1 este în locul miilor.

Locurile din fracțiile zecimale diferă și ca prioritate. Dacă în scrierea unei fracții zecimale trecem de la cifră la cifră de la stânga la dreapta, atunci ne vom muta de la seniori La grade juniori. De exemplu, locul sutelor este mai vechi decât locul zecimii, iar locul milioanelor este mai mic decât locul sutimilor. Într-o fracție zecimală finală dată, putem vorbi despre cifrele majore și minore. De exemplu, în fracția zecimală 604,9387 senior (cel mai înalt) locul este locul sutelor și junior (cel mai mic)- cifra a zece miimii.

Pentru fracțiile zecimale are loc extinderea în cifre. Este similar cu extinderea în cifre ale numerelor naturale. De exemplu, extinderea în zecimale de 45,6072 este următoarea: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Iar proprietățile de adunare din descompunerea unei fracții zecimale în cifre vă permit să treceți la alte reprezentări ale acestei fracții zecimale, de exemplu, 45.6072=45+0.6072, sau 45.6072=40.6+5.007+0.0002, sau 45.6072=45.6072=45. 0,6.

Încheierea cu zecimale

Până în acest moment, am vorbit doar despre fracții zecimale, în notația cărora există un număr finit de cifre după virgulă. Astfel de fracții se numesc zecimale finite.

Definiție.

Încheierea cu zecimale- Acestea sunt fracții zecimale, ale căror înregistrări conțin un număr finit de caractere (cifre).

Iată câteva exemple de fracții zecimale finale: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230.032,45.

Cu toate acestea, nu orice fracție poate fi reprezentată ca o zecimală finală. De exemplu, fracția 5/13 nu poate fi înlocuită cu o fracție egală cu unul dintre numitorii 10, 100, ..., prin urmare, nu poate fi convertită într-o fracție zecimală finală. Vom vorbi mai multe despre acest lucru în secțiunea de teorie, conversia fracțiilor obișnuite în zecimale.

Decimale infinite: fracții periodice și fracții neperiodice

Scriind o fracție zecimală după virgulă, se poate presupune posibilitatea unui număr infinit de cifre. În acest caz, vom ajunge să luăm în considerare așa-numitele fracții zecimale infinite.

Definiție.

zecimale infinite- Acestea sunt fracții zecimale, care conțin un număr infinit de cifre.

Este clar că nu putem scrie fracții zecimale infinite în formă completă, așa că în înregistrarea lor ne limităm doar la un anumit număr finit de cifre după virgulă zecimală și punem o elipsă care indică o succesiune infinită de cifre. Iată câteva exemple de fracții zecimale infinite: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Dacă te uiți cu atenție la ultimele două fracții zecimale infinite, atunci în fracția 2,111111111... numărul 1 care se repetă la nesfârșit este vizibil clar, iar în fracția 69,74152152152..., începând cu a treia zecimală, un grup de numere care se repetă 1, 5 și 2 sunt clar vizibile. Astfel de fracții zecimale infinite se numesc periodice.

Definiție.

zecimale periodice(sau pur și simplu fractii periodice) sunt fracții zecimale nesfârșite, în înregistrarea cărora, pornind de la o anumită zecimală, se repetă la nesfârșit un număr sau un grup de numere, care se numește perioada fracției.

De exemplu, perioada fracției periodice 2,111111111... este cifra 1, iar perioada fracției 69,74152152152... este un grup de cifre de forma 152.

Pentru fracții zecimale periodice infinite, se adoptă o formă specială de notație. Pentru concizie, am convenit să notăm perioada o dată, anexând-o între paranteze. De exemplu, fracția periodică 2,111111111... se scrie ca 2,(1) , iar fracția periodică 69,74152152152... este scrisă ca 69,74(152) .

Este de remarcat faptul că pentru aceeași fracție zecimală periodică puteți specifica perioade diferite. De exemplu, fracția zecimală periodică 0,73333... poate fi considerată ca o fracție 0,7(3) cu o perioadă de 3 și, de asemenea, ca o fracție 0,7(33) cu o perioadă de 33 și așa mai departe 0,7(333), 0,7 (3333), ... De asemenea, puteți privi fracția periodică 0,73333 ... astfel: 0,733(3), sau așa 0,73(333), etc. Aici, pentru a evita ambiguitatea și discrepanțe, suntem de acord să considerăm ca perioadă a unei fracții zecimale cea mai scurtă dintre toate secvențele posibile de cifre repetate, începând de la cea mai apropiată poziție până la punctul zecimal. Adică perioada fracției zecimale 0,73333... va fi considerată o secvență de o cifră 3, iar periodicitatea începe din a doua poziție după virgulă, adică 0,73333...=0,7(3). Un alt exemplu: fracția periodică 4,7412121212... are perioada 12, periodicitatea începe de la a treia cifră după virgulă, adică 4,7412121212...=4,74(12).

Fracțiile periodice zecimale infinite se obțin prin transformarea în fracții zecimale a fracțiilor obișnuite ai căror numitori conțin factori primi alții decât 2 și 5.

Aici merită menționat fracțiile periodice cu o perioadă de 9. Să dăm exemple de astfel de fracții: 6,43(9) , 27,(9) . Aceste fracții sunt o altă notație pentru fracțiile periodice cu perioada 0 și sunt de obicei înlocuite cu fracții periodice cu perioada 0. Pentru a face acest lucru, perioada 9 este înlocuită cu perioada 0, iar valoarea următoarei cifrei cea mai mare este mărită cu unu. De exemplu, o fracție cu perioada 9 de forma 7.24(9) este înlocuită cu o fracție periodică cu perioada 0 de forma 7.25(0) sau o fracție zecimală finală egală 7.25. Un alt exemplu: 4,(9)=5,(0)=5. Egalitatea unei fracții cu perioada 9 și a fracției sale corespunzătoare cu perioada 0 se stabilește ușor după înlocuirea acestor fracții zecimale cu fracții ordinare egale.

În cele din urmă, să aruncăm o privire mai atentă asupra fracțiilor zecimale infinite, care nu conțin o secvență de cifre care se repetă la nesfârșit. Ele sunt numite neperiodice.

Definiție.

zecimale nerecurente(sau pur și simplu fracții neperiodice) sunt fracții zecimale infinite care nu au punct.

Uneori, fracțiile neperiodice au o formă asemănătoare cu cea a fracțiilor periodice, de exemplu, 8,02002000200002... este o fracție neperiodică. În aceste cazuri, ar trebui să fii deosebit de atent să observi diferența.

Rețineți că fracțiile neperiodice nu se convertesc în fracții obișnuite; fracțiile zecimale neperiodice infinite reprezintă numere iraționale.

Operații cu zecimale

Una dintre operațiile cu fracții zecimale este comparația și sunt definite și cele patru funcții aritmetice de bază operatii cu zecimale: adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Să luăm în considerare separat fiecare dintre acțiunile cu fracții zecimale.

Comparația zecimale bazată în esență pe compararea fracțiilor obișnuite corespunzătoare fracțiilor zecimale comparate. Cu toate acestea, conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite este un proces destul de intensiv în muncă, iar fracțiile neperiodice infinite nu pot fi reprezentate ca o fracție obișnuită, așa că este convenabil să folosiți o comparație a fracțiilor zecimale la nivel de loc. Compararea în funcție de locație a fracțiilor zecimale este similară cu compararea numerelor naturale. Pentru informații mai detaliate, vă recomandăm să studiați articolul: comparație de fracții zecimale, reguli, exemple, soluții.

Să trecem la pasul următor - înmulțirea zecimalelor. Înmulțirea fracțiilor zecimale finite se realizează în mod similar cu scăderea fracțiilor zecimale, reguli, exemple, soluții de înmulțire cu o coloană de numere naturale. În cazul fracțiilor periodice, înmulțirea poate fi redusă la înmulțirea fracțiilor obișnuite. La rândul său, înmulțirea fracțiilor zecimale neperiodice infinite după rotunjirea lor se reduce la înmulțirea fracțiilor zecimale finite. Recomandăm pentru studiu în continuare materialul din articol: înmulțirea fracțiilor zecimale, reguli, exemple, soluții.

Decimale pe o rază de coordonate

Există o corespondență unu-la-unu între puncte și zecimale.

Să ne dăm seama cum sunt construite punctele de pe raza de coordonate care corespund unei fracții zecimale date.

Putem înlocui fracțiile zecimale finite și fracțiile zecimale periodice infinite cu fracții ordinare egale și apoi construim fracțiile ordinare corespunzătoare pe raza de coordonate. De exemplu, fracția zecimală 1,4 corespunde fracției comune 14/10, astfel încât punctul cu coordonata 1,4 este îndepărtat de la origine în direcția pozitivă cu 14 segmente egale cu o zecime dintr-un segment unitar.

Fracțiile zecimale pot fi marcate pe o rază de coordonate, pornind de la descompunerea unei fracții zecimale date în cifre. De exemplu, trebuie să construim un punct cu coordonata 16.3007, din moment ce 16.3007=16+0.3+0.0007, atunci putem ajunge la acest punct prin așezarea secvențială a 16 segmente unitare de la originea coordonatelor, 3 segmente a căror lungime este egală cu o zecime. dintr-o unitate și 7 segmente, a căror lungime este egală cu o zece miimi dintr-un segment de unitate.

Această metodă de a construi numere zecimale pe o rază de coordonate vă permite să vă apropiați cât doriți de punctul corespunzător unei fracții zecimale infinite.

Uneori este posibil să se traseze cu precizie punctul corespunzător unei fracții zecimale infinite. De exemplu, , atunci această fracție zecimală infinită 1,41421... corespunde unui punct de pe raza de coordonate, îndepărtat de originea coordonatelor prin lungimea diagonalei unui pătrat cu latura de 1 segment unitar.

Procesul invers de obținere a fracției zecimale corespunzătoare unui punct dat de pe o rază de coordonate este așa-numitul măsurarea zecimală a unui segment. Să ne dăm seama cum se face.

Sarcina noastră să fie să ajungem de la origine la un punct dat pe linia de coordonate (sau să ne apropiem de el la infinit dacă nu putem ajunge la el). Cu măsurarea zecimală a unui segment, putem elimina succesiv de la origine orice număr de segmente de unitate, apoi segmente a căror lungime este egală cu o zecime de unitate, apoi segmente a căror lungime este egală cu o sutime de unitate etc. Înregistrând numărul de segmente din fiecare lungime pusă deoparte, obținem fracția zecimală corespunzătoare unui punct dat de pe raza de coordonate.

De exemplu, pentru a ajunge la punctul M din figura de mai sus, trebuie să lăsați deoparte 1 segment de unitate și 4 segmente, a căror lungime este egală cu o zecime de unitate. Astfel, punctul M corespunde fracției zecimale 1,4.

Este clar că punctele razei de coordonate, care nu pot fi atinse în procesul de măsurare zecimală, corespund unor fracții zecimale infinite.

Bibliografie.

• Matematică: manual pentru clasa a 5-a. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematică. Clasa a VI-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Fracții

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Fracțiile nu sunt foarte deranjante în liceu. Deocamdată. Până când dai peste puteri cu exponenți raționali și logaritmi. Și acolo... Apăsați și apăsați pe calculator și acesta arată un afișaj complet al unor numere. Trebuie să gândești cu capul ca în clasa a treia.

În sfârșit, să aflăm fracțiile! Ei bine, cât de mult te poți încurca în ele!? În plus, totul este simplu și logic. Asa de, care sunt tipurile de fracții?

Tipuri de fracții. Transformări.

Există trei tipuri de fracții.

1. Fracții comune , De exemplu:

Uneori, în loc de o linie orizontală, pun o bară oblică: 1/2, 3/4, 19/5, bine, și așa mai departe. Aici vom folosi adesea această ortografie. Numărul de sus este numit numărător, inferior - numitor. Dacă confundați în mod constant aceste nume (se întâmplă...), spuneți-vă fraza: " Zzzzz tine minte! Zzzzz numitor – uite zzzzz uh!" Uite, totul va fi zzzz amintit.)

Linia, orizontală sau înclinată, înseamnă Divizia numărul de sus (numărător) până în jos (numitorul). Asta e tot! În loc de liniuță, este foarte posibil să puneți un semn de divizare - două puncte.

Când este posibilă împărțirea completă, aceasta trebuie făcută. Deci, în locul fracției „32/8” este mult mai plăcut să scrieți numărul „4”. Acestea. 32 este pur și simplu împărțit la 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Nici măcar nu vorbesc despre fracția „4/1”. Care este, de asemenea, doar „4”. Și dacă nu este complet divizibil, îl lăsăm ca o fracție. Uneori trebuie să faci operația inversă. Transformă un număr întreg într-o fracție. Dar mai multe despre asta mai târziu.

2. zecimale , De exemplu:

În această formă va trebui să notați răspunsurile la sarcinile „B”.

3. Numere mixte , De exemplu:

Numerele mixte practic nu sunt folosite în liceu. Pentru a lucra cu ele, acestea trebuie convertite în fracții obișnuite. Dar cu siguranță trebuie să poți face asta! Altfel vei da peste un astfel de număr într-o problemă și vei îngheța... De nicăieri. Dar ne vom aminti de această procedură! Puțin mai jos.

Cel mai versatil fracții comune. Să începem cu ei. Apropo, dacă o fracție conține tot felul de logaritmi, sinusuri și alte litere, acest lucru nu schimbă nimic. În sensul că totul acțiunile cu expresii fracționale nu sunt diferite de acțiunile cu fracții obișnuite!

Proprietatea principală a unei fracții.

Deci să mergem! Pentru început, o să vă surprind. Întreaga varietate de transformări de fracții este asigurată de o singură proprietate! Așa se numește proprietatea principală a fracției. Tine minte: Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (împărțite) cu același număr, fracția nu se modifică. Acestea:

Este clar că poți continua să scrii până când ești albastru la față. Nu lăsați sinusurile și logaritmii să vă încurce, ne vom ocupa de ele în continuare. Principalul lucru este să înțelegeți că toate aceste expresii variate sunt aceeași fracție . 2/3.

Avem nevoie de el, de toate aceste transformări? Si cum! Acum vei vedea singur. Pentru început, să folosim proprietatea de bază a unei fracții pentru fracții reducătoare. Ar părea un lucru elementar. Împărțiți numărătorul și numitorul la același număr și gata! Este imposibil să faci o greșeală! Dar... omul este o ființă creativă. Poți greși oriunde! Mai ales dacă trebuie să reduceți nu o fracție ca 5/10, ci o expresie fracțională cu tot felul de litere.

Cum să reduceți corect și rapid fracțiile fără a face muncă suplimentară poate fi citit în Secțiunea specială 555.

Un elev normal nu se deranjează să împartă numărătorul și numitorul la același număr (sau expresie)! Pur și simplu taie tot ce este la fel de sus și dedesubt! Aici se ascunde o greșeală tipică, o gafă, dacă vreți.

De exemplu, trebuie să simplificați expresia:

Nu e nimic de gândit aici, tăiați litera „a” de sus și cele două de jos! Primim:

Totul este corect. Dar chiar te-ai împărțit toate numărător și toate numitorul este „a”. Dacă sunteți obișnuit să tăiați, atunci în grabă puteți tăia „a” din expresie

și primește-l din nou

Ceea ce ar fi categoric neadevărat. Pentru că aici toate numărătorul de pe „a” este deja nu este împărtășită! Această fracție nu poate fi redusă. Apropo, o astfel de reducere este, um... o provocare serioasă pentru profesor. Acest lucru nu este iertat! Vă amintiți? Când reduceți, trebuie să împărțiți toate numărător și toate numitor!

Reducerea fracțiilor face viața mult mai ușoară. Veți obține o fracție undeva, de exemplu 375/1000. Cum pot continua să lucrez cu ea acum? Fără calculator? Înmulțiți, spuneți, adăugați, pătrați!? Și dacă nu ești prea leneș, și tăiați-l cu grijă cu cinci, și cu încă cinci, și chiar... cât timp este scurtat, pe scurt. Să luăm 3/8! Mult mai frumos, nu?

Proprietatea principală a unei fracții vă permite să convertiți fracțiile obișnuite în zecimale și invers fara calculator! Acest lucru este important pentru examenul de stat unificat, nu?

Cum se transformă fracțiile de la un tip la altul.

Cu fracțiile zecimale totul este simplu. Cum se aude, așa este scris! Să spunem 0,25. Acesta este zero virgulă douăzeci și cinci sutimi. Deci scriem: 25/100. Reducem (împărțim numărătorul și numitorul la 25), obținem fracția obișnuită: 1/4. Toate. Se întâmplă și nimic nu se reduce. Ca 0,3. Aceasta este trei zecimi, adică. 3/10.

Ce se întâmplă dacă numerele întregi nu sunt zero? E bine. Scriem întreaga fracție fara nicio virgula la numărător, iar la numitor - ceea ce se aude. De exemplu: 3.17. Sunt trei virgulă șaptesprezece sutimi. Scriem la numărător 317 și la numitor 100. Obținem 317/100. Nimic nu este redus, asta înseamnă totul. Acesta este răspunsul. Primar Watson! Din tot ce s-a spus, o concluzie utilă: orice fracție zecimală poate fi convertită într-o fracție comună .

Dar unii oameni nu pot face conversia inversă de la obișnuit la zecimal fără un calculator. Și este necesar! Cum veți nota răspunsul la examenul de stat unificat!? Citiți cu atenție și stăpâniți acest proces.

Care este caracteristica unei fracții zecimale? Numitorul ei este Mereu costă 10, sau 100, sau 1000, sau 10000 și așa mai departe. Dacă fracția ta comună are un numitor ca acesta, nu este nicio problemă. De exemplu, 4/10 = 0,4. Sau 7/100 = 0,07. Sau 12/10 = 1,2. Ce se întâmplă dacă răspunsul la sarcina din secțiunea „B” s-a dovedit a fi 1/2? Ce vom scrie ca răspuns? Sunt necesare zecimale...

Să ne amintim proprietatea principală a fracției ! Matematica vă permite în mod favorabil să înmulțiți numărătorul și numitorul cu același număr. Orice, apropo! Cu excepția zero, desigur. Deci, să folosim această proprietate în avantajul nostru! Cu ce ​​poate fi înmulțit numitorul, adică 2 ca să devină 10, sau 100, sau 1000 (mai mic este mai bine, desigur...)? La 5, evident. Simțiți-vă liber să înmulțiți numitorul (acesta este S.U.A necesar) cu 5. Dar atunci și numărătorul trebuie înmulțit cu 5. Aceasta este deja matematică cereri! Obținem 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Asta e tot.

Cu toate acestea, se întâlnesc tot felul de numitori. Veți întâlni, de exemplu, fracția 3/16. Încercați să vă dați seama cu ce să înmulțiți 16 pentru a face 100 sau 1000... Nu funcționează? Apoi puteți împărți pur și simplu 3 la 16. În lipsa unui calculator, va trebui să împărțiți cu un colț, pe o foaie de hârtie, așa cum se predau în școala primară. Obținem 0,1875.

Și există și numitori foarte proasți. De exemplu, nu există nicio modalitate de a transforma fracția 1/3 într-o zecimală bună. Atât pe calculator, cât și pe o bucată de hârtie, obținem 0,3333333... Aceasta înseamnă că 1/3 este o fracție zecimală exactă nu se traduce. La fel ca 1/7, 5/6 și așa mai departe. Sunt multe dintre ele, intraductibile. Acest lucru ne aduce la o altă concluzie utilă. Nu orice fracție poate fi convertită într-o zecimală !

Apropo, acestea sunt informații utile pentru autotestare. În secțiunea „B” trebuie să scrieți o fracție zecimală în răspunsul dvs. Și ai primit, de exemplu, 4/3. Această fracție nu se transformă într-o zecimală. Asta înseamnă că ai făcut o greșeală undeva pe parcurs! Întoarce-te și verifică soluția.

Deci, ne-am dat seama de fracții obișnuite și zecimale. Tot ce rămâne este să ne ocupăm de numere mixte. Pentru a lucra cu ele, acestea trebuie convertite în fracții obișnuite. Cum să o facă? Poți să prinzi un elev de clasa a șasea și să-l întrebi. Dar un elev de clasa a șasea nu va fi întotdeauna la îndemână... Va trebui să o faci singur. Nu e greu. Trebuie să înmulțiți numitorul părții fracționale cu întreaga parte și să adăugați numărătorul părții fracționale. Acesta va fi numărătorul fracției comune. Dar numitorul? Numitorul va rămâne același. Sună complicat, dar în realitate totul este simplu. Să ne uităm la un exemplu.

Să presupunem că ați fost îngrozit să vedeți numărul din problemă:

Calm, fără panică, ne gândim. Întreaga parte este 1. Unitate. Partea fracționată este 3/7. Prin urmare, numitorul părții fracționale este 7. Acest numitor va fi numitorul fracției ordinare. Numărăm numărătorul. Înmulțim 7 cu 1 (partea întreagă) și adunăm 3 (numărătorul părții fracționale). Obținem 10. Acesta va fi numărătorul unei fracții comune. Asta e tot. Arată și mai simplu în notație matematică:

Este clar? Atunci asigură-ți succesul! Convertiți în fracții obișnuite. Ar trebui să obțineți 10/7, 7/2, 23/10 și 21/4.

Operația inversă - conversia unei fracții improprii într-un număr mixt - este rareori necesară în liceu. Ei bine, dacă da... Și dacă nu ești la liceu, poți să te uiți la Secțiunea specială 555. Apropo, veți învăța și despre fracțiile improprii acolo.

Ei bine, asta e practic tot. Ți-ai amintit tipurile de fracții și ai înțeles Cum transferă-le de la un tip la altul. Intrebarea ramane: Pentru ce Fă-o? Unde și când să aplici această cunoaștere profundă?

Raspund. Orice exemplu în sine sugerează acțiunile necesare. Dacă în exemplu sunt amestecate fracții obișnuite, zecimale și chiar numere mixte, convertim totul în fracții obișnuite. Se poate face oricând. Ei bine, dacă scrie ceva de genul 0,8 + 0,3, atunci îl numărăm așa, fără nicio traducere. De ce avem nevoie de muncă suplimentară? Alegem soluția care este convenabilă S.U.A !

Dacă sarcina sunt toate fracțiile zecimale, dar um... un fel de fracții rele, mergi la cele obișnuite și încearcă! Uite, totul se va rezolva. De exemplu, va trebui să pătrați numărul 0,125. Nu este atât de ușor dacă nu te-ai obișnuit să folosești un calculator! Nu numai că trebuie să înmulți numerele într-o coloană, dar trebuie să te gândești și unde să introduci virgula! Cu siguranță nu va funcționa în capul tău! Ce se întâmplă dacă trecem la o fracție obișnuită?

0,125 = 125/1000. O reducem cu 5 (asta este pentru inceput). Primim 25/200. Din nou până la 5. Obținem 5/40. Oh, încă se micșorează! Înapoi la 5! Primim 1/8. Îl pătram cu ușurință (în mintea noastră!) și obținem 1/64. Toate!

Să rezumam această lecție.

1. Există trei tipuri de fracții. Numere comune, zecimale și mixte.

2. Decimale și numere mixte Mereu pot fi convertite în fracții obișnuite. Transfer invers nu intotdeauna disponibil.

3. Alegerea tipului de fracții pentru a lucra cu o sarcină depinde de sarcina în sine. Dacă într-o singură sarcină există diferite tipuri de fracții, cel mai de încredere este să treceți la fracții obișnuite.

Acum poți exersa. Mai întâi, convertiți aceste fracții zecimale în fracții obișnuite:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Ar trebui să obțineți răspunsuri ca acesta (în mizerie!):

Să încheiem asta. În această lecție ne-am împrospătat memoria cu privire la punctele cheie despre fracții. Se întâmplă, totuși, că nu există nimic special de reîmprospătat...) Dacă cineva a uitat complet, sau nu a stăpânit încă... Atunci puteți merge la o Secțiune specială 555. Toate elementele de bază sunt acoperite în detaliu acolo. Mulți dintr-o dată intelege totulîncep. Și rezolvă fracții din mers).

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.