Teoremă: un cerc poate fi înscris în orice triunghi. a b c o. Cercuri înscrise și circumscrise Exemplu de problemă privind conceptele de cercuri înscrise și circumscrise

În această lecție ne vom aminti elementele de bază pe care se bazează teoria cercurilor înscrise și circumscrise, vom aminti caracteristicile patrulaterelor circumscrise și înscrise. În plus, vom deriva formule pentru găsirea razelor cercului circumscris și înscris în diferite cazuri.

Subiect: Cercul

Lecția: Cercuri înscrise și circumscrise

În primul rând, vorbim despre cercuri înscrise și circumscrise relativ la un triunghi. Suntem pregătiți pentru acest subiect deoarece am studiat proprietățile bisectoarelor și bisectoarelor perpendiculare ale unui triunghi.

Un cerc poate fi înscris în orice triunghi (vezi Fig. 1).

Orez. 1

Dovada:

Știm că toate bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct - să fie în punctul O. Să desenăm bisectoarele AO, BO, CO. Punctul lor de intersecție O este echidistant de laturile triunghiului. Este echidistant de laturile unghiului - AC și AB, deoarece aparține bisectoarei acestui unghi. La fel, este echidistant de laturile unghiurilor și astfel de cele trei laturi ale triunghiului.

Să lăsăm perpendicularele din punctul O către laturile triunghiului - OM către latura AC, OL către BC, OK către AB. Aceste perpendiculare vor fi distanțele de la punctul O la laturile triunghiului și sunt egale:

Să notăm distanța de la punctul O la laturile triunghiului ca r și să considerăm un cerc cu un centru în punctul O și cu raza r.

Cercul atinge dreapta AB, deoarece are un punct comun K cu el, iar raza OK trasată în acest punct este perpendiculară pe dreapta AB. În mod similar, cercul atinge liniile AC și BC. Astfel, cercul atinge toate acele laturi ale triunghiului, ceea ce înseamnă că este înscris în triunghi.

Deci, cele trei bisectoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct care este centrul cercului.

Să luăm în considerare o altă teoremă, ea se referă la punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale unui triunghi. Știm că se intersectează într-un punct, iar acest punct coincide cu centrul cercului circumscris triunghiului.

Un cerc poate fi desenat în jurul oricărui triunghi.

Deci, este dat un triunghi. Să desenăm bisectoarea p 1 la latura triunghiului BC, p 2 la latura AB, p 3 la latura AC (vezi Fig. 2).

Conform teoremei privind proprietățile bisectoarelor perpendiculare, un punct aparținând bisectoarei perpendiculare a unui segment este echidistant de capetele segmentului. Prin urmare, pentru că punctul Q aparține bisectoarei perpendiculare pe segmentul AC. De asemenea. Astfel, punctul Q este echidistant de vârfurile triunghiului. Prin urmare, QA, QB, QC sunt raze

Orez. 2

cerc circumscris unui triunghi. Să notăm raza ca R. Punctul O al intersecției bisectoarelor este centrul cercului circumscris.

Să considerăm un cerc înscris într-un anumit patrulater și proprietățile acestui patrulater (vezi Fig. 3).

Să ne amintim proprietățile unui punct situat pe bisectoarea unui unghi.

Este dat un unghi, bisectoarea sa este AL, punctul M se află pe bisectoare.

Dacă punctul M se află pe bisectoarea unghiului, atunci este echidistant de laturile unghiului, adică distanțele de la punctul M la AC și la BC ale laturilor unghiului sunt egale.

Orez. 3

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei. Din punctul M trasăm perpendicularele MK pe latura AB și MR pe latura AC.

Luați în considerare triunghiuri și . Acestea sunt triunghiuri dreptunghiulare și sunt egale pentru că... au o ipotenuză comună AM, iar unghiurile sunt egale, deoarece AL este bisectoarea unghiului. Astfel, triunghiurile dreptunghiulare sunt egale în ipotenuză și unghi ascuțit, rezultă că , care este ceea ce trebuia demonstrat. Astfel, un punct de pe bisectoarea unui unghi este echidistant de laturile acelui unghi.

În plus, picioarele. Astfel, segmentele tangente trasate la un cerc dintr-un punct sunt egale.

Deci, să revenim la patrulater. Primul pas este să desenați bisectoare în el.

Toate bisectoarele unui patrulater se intersectează într-un punct - punctul O, centrul cercului înscris.

Din punctul O coborâm perpendiculare pe laturile patrulaterului la punctele K, L, M, N și determinăm punctele de tangență (vezi Fig. 3).

Tangentele trasate la un cerc dintr-un punct sunt egale între ele, astfel, din fiecare vârf iese o pereche de tangente egale: , , , .

Orez. 3

Dacă un cerc poate fi înscris într-un patrulater, atunci sumele laturilor sale opuse sunt egale. Este ușor de dovedit:

Să extindem parantezele:

Astfel, am demonstrat o teoremă simplă, dar importantă.

Dacă un cerc poate fi înscris într-un patrulater, atunci sumele laturilor sale opuse sunt egale.

Teorema inversă este adevărată.

Dacă într-un patrulater sumele laturilor opuse sunt egale, atunci se poate înscrie în el un cerc.

Să considerăm un cerc circumscris unui patrulater.

Dat un cerc cu centrul O și un patrulater arbitrar ABCD. Să luăm în considerare proprietățile acestui patrulater. Toate cele patru bisectoare perpendiculare ale unui patrulater dat se intersectează într-un punct: acest punct este centrul cercului circumferitor.

Demonstrarea că toate cele patru bisectoare perpendiculare se intersectează într-un punct ar fi plictisitor. Există un alt semn. Să luăm în considerare unghiul ےА, acesta este unghiul înscris al unui cerc, se sprijină pe arc și este măsurat cu jumătate din gradul de măsură a acestui arc (vezi Fig. 4). Să notăm unghiul ےА ca , apoi arcul . În mod similar, desemnăm unghiul opus ےС ca , acesta este înscris în cerc și se sprijină pe arc . De aici arcul.

Orez. 4

Arcele formează un cerc complet. De aici:

Împărțind expresia rezultată la doi, obținem:

Deci, am demonstrat teorema directă.

Teorema

Dacă un cerc este circumscris în jurul unui patrulater, suma unghiurilor sale opuse este .

Acesta este un semn necesar și suficient, adică teorema inversă este adevărată.

Dacă suma unghiurilor opuse ale unui patrulater este , în jurul acestui patrulater poate fi trasat un cerc.

Pe baza acestor teoreme, observăm că este imposibil să descriem un cerc în jurul unui paralelogram, deoarece unghiurile sale opuse sunt egale și suma lor nu este egală (vezi Fig. 5).

Orez. 5

Un cerc ar putea fi descris în jurul unui paralelogram dacă unghiurile sale opuse ar fi egale cu 90°, adică dacă ar fi un dreptunghi, astfel un cerc ar putea fi descris în jurul unui dreptunghi (vezi Fig. 6).

Orez. 6

De asemenea, este imposibil să descrii un cerc în jurul unui romb, dar acesta poate fi înscris, deoarece toate laturile unui romb sunt egale și, prin urmare, sumele laturilor opuse ale unui romb sunt egale.

În plus, într-un romb, fiecare diagonală este o bisectoare, punctul de intersecție al bisectoarelor este echidistant de toate laturile rombului (vezi Fig. 7).

Orez. 7

Deci, am demonstrat că un cerc poate fi înscris în orice triunghi, iar centrul acestui cerc coincide cu punctul de intersecție al bisectoarelor triunghiului. De asemenea, am demonstrat că un cerc poate fi descris în jurul oricărui triunghi, iar centrul său va coincide cu punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare. În plus, am văzut că unele patrulatere pot fi înscrise cu un cerc, iar pentru a face acest lucru este necesar ca sumele laturilor opuse ale patrulaterului să fie egale. Am mai arătat că în jurul unor patrulatere este posibil să se descrie un cerc, iar o condiție necesară și suficientă pentru aceasta este egalitatea sumei unghiurilor opuse.

Bibliografie

Alexandrov A.D. si altele Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Uztest.ru ().
Mschool.kubsu.ru ().
Ege-study.ru ().

Teme pentru acasă

TEOREMA DESPRE CERCUL DESCRIS ÎN jurul UNUI POLIGON: În jurul oricărui poligon regulat este posibil să descrii un cerc și doar unul. TEOREMĂ DESPRE UN CER ÎNSCRIS ÎNTR-UN POLIGON OBLIGAT: Un cerc poate fi înscris în orice poligon obișnuit și doar unul.

SPa4a4 rRN Calculul ariei unui poligon regulat, al laturii sale și al razei cercului înscris și al razei cercului înscris

Zonele poligoanelor obișnuite Zonele de poligoane obișnuite și zona poligonilor Numărul laturilor Numele poligonarei unui poligon obișnuit 3Triangle0.433A 2 4quadrangle1.000a 2 5pentagon1.720a 2 6hexagon2.598a 2 7heptagon3.634a 2 8oCtagon4.828a 2 9Octogon6.182a 2 10Decagon7.694a 2 nn- pătrat

0 unghiuri înscrise. Hipocrate din Chios Dovada prezentată în manualele moderne că un unghi înscris se măsoară cu jumătate din arcul pe care se sprijină este dată în Elementele lui Euclid. La această propunere, însă, se face referire și de Hipocrate din Chios (secolul al V-lea î.Hr.) în lucrarea sa despre „găuri”. Lucrările lui Hipocrate indică faptul că deja în a doua jumătate a secolului al V-lea. î.Hr e. erau cunoscute un număr mare de teoreme expuse în Elementele lui Euclid, iar geometria a atins un nivel înalt de dezvoltare. Faptul că un unghi înscris bazat pe un diametru este un unghi drept era cunoscut babilonienilor în urmă cu 4000 de ani. Prima sa dovada este atribuita de Pamphylia, un scriitor roman din vremea lui Nero, lui Thales din Milet.

0 poligoane regulate Patraunghiuri, hexagoane și octogoane regulate se găsesc în monumentele antice egiptene și babiloniene sub formă de imagini pe pereți și decorațiuni sculptate în piatră. Oamenii de știință din Grecia antică au început să manifeste un mare interes pentru figurile obișnuite încă de pe vremea lui Pitagora. Împărțirea unui cerc într-un număr de părți egale pentru a construi poligoane regulate a fost importantă pentru pitagoreici, care susțineau că numerele stau la baza tuturor fenomenelor din lume. Doctrina poligoanelor regulate, începută în școala lui Pitagora, a continuat și s-a dezvoltat în secolul al VII-lea. î.Hr e., a fost sistematizat de Euclid și expus în Cartea a IV-a a Elementelor. Pe lângă construirea unui triunghi regulat, patrulater, pentagon și hexagon, Euclid rezolvă și problema construirii unui triunghi regulat cu cincisprezece laturi folosind doar o busolă și o riglă. Această figură a atras atenția anticilor, deoarece s-a observat că arcul unghiului de înclinare al eclipticii față de ecuator reprezintă întregul cerc, adică este subtins de latura unui triunghi regulat cu cincisprezece laturi.

A B C O1 O2 O1 este centrul cercului circumscris, O2 este centrul cercului înscris Necesitate: Suficiență: D AB + CD = BC + AD și, prin urmare, AB = CD = BAD = ADC, dar BAD + ABC = 180 Prin urmare, ADC + ABC = 180 și un cerc poate fi înscris în jurul trapezului ABCD În plus, AB + CD = BC + AD și, prin urmare, un cerc poate fi înscris în ABCD. Este necesar și suficient ca trapezul să fie echilateral și latura laterală egală cu jumătate din suma bazelor.

Definiția 2

Un poligon care satisface condiția definiției 1 se numește circumscris unui cerc.

Figura 1. Cerc înscris

Teorema 1 (despre un cerc înscris într-un triunghi)

Teorema 1

Puteți înscrie un cerc în orice triunghi și doar unul.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$. Să desenăm bisectoare în el care se intersectează în punctul $O$ și să tragem perpendiculare din el pe laturile triunghiului (Fig. 2)

Figura 2. Ilustrarea teoremei 1

Existență: Să desenăm un cerc cu centrul în punctul $O$ și raza $OK.\ $Deoarece punctul $O$ se află pe trei bisectoare, este echidistant de laturile triunghiului $ABC$. Adică $OM=OK=OL$. În consecință, cercul construit trece și prin punctele $M\ și\ L$. Deoarece $OM,OK\ și\ OL$ sunt perpendiculare pe laturile triunghiului, atunci după teorema tangentei cercului, cercul construit atinge toate cele trei laturi ale triunghiului. Prin urmare, din cauza arbitrarului unui triunghi, un cerc poate fi înscris în orice triunghi.

Unicitate: Să presupunem că un alt cerc cu centrul în punctul $O"$ poate fi înscris în triunghiul $ABC$. Centrul său este echidistant de laturile triunghiului și, prin urmare, coincide cu punctul $O$ și are o rază egală cu lungime $OK$ Dar atunci acest cerc va coincide cu primul.

Teorema este demonstrată.

Corolarul 1: Centrul unui cerc înscris într-un triunghi se află în punctul de intersecție al bisectoarelor sale.

Iată câteva fapte legate de conceptul de cerc înscris:

Nu orice patrulater poate încadra într-un cerc.

În orice patrulater circumscris, sumele laturilor opuse sunt egale.

Dacă sumele laturilor opuse ale unui patrulater convex sunt egale, atunci poate fi înscris un cerc în el.

Definiția 3

Dacă toate vârfurile unui poligon se află pe un cerc, atunci cercul se numește circumscris poligonului (Fig. 3).

Definiția 4

Se spune că un poligon care îndeplinește condiția definiției 2 este înscris într-un cerc.

Figura 3. Cerc circumscris

Teorema 2 (despre cercul circumferitor al unui triunghi)

Teorema 2

În jurul oricărui triunghi poți descrie un cerc și doar unul.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$. Să desenăm bisectoare perpendiculare în el, care se intersectează în punctul $O$ și să o conectăm cu vârfurile triunghiului (Fig. 4)

Figura 4. Ilustrarea teoremei 2

Existență: Să construim un cerc cu centrul în punctul $O$ și raza $OC$. Punctul $O$ este echidistant de vârfurile triunghiului, adică $OA=OB=OC$. În consecință, cercul construit trece prin toate vârfurile unui triunghi dat, ceea ce înseamnă că este circumscris acestui triunghi.

Unicitate: Să presupunem că un alt cerc poate fi descris în jurul triunghiului $ABC$ cu centrul său în punctul $O"$. Centrul său este echidistant de vârfurile triunghiului și, prin urmare, coincide cu punctul $O$ și are o rază egală cu lungimea $OC $ Dar atunci acest cerc va coincide cu primul.

Teorema este demonstrată.

Corolarul 1: Centrul cercului circumscris triunghiului coincide cu punctul de intersecție al perpendicularelor sale bisectoriale.

Iată câteva fapte legate de conceptul de cerc circumscripționar:

Nu este întotdeauna posibil să descrii un cerc în jurul unui patrulater.

În orice patrulater ciclic, suma unghiurilor opuse este $(180)^0$.

Dacă suma unghiurilor opuse ale unui patrulater este $(180)^0$, atunci se poate trasa un cerc în jurul lui.

Un exemplu de problemă privind conceptele de cercuri înscrise și circumscrise

Exemplul 1

Într-un triunghi isoscel, baza este de 8 cm și latura este de 5 cm. Aflați raza cercului înscris.

Soluţie.

Luați în considerare triunghiul $ABC$. Prin corolarul 1, știm că centrul cercului se află la intersecția bisectoarelor. Să desenăm bisectoarele $AK$ și $BM$, care se intersectează în punctul $O$. Să desenăm o perpendiculară $OH$ din punctul $O$ pe latura $BC$. Să desenăm o poză:

Figura 5.

Deoarece triunghiul este isoscel, atunci $BM$ este atât mediana, cât și altitudinea. După teorema lui Pitagora $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=$3. $OM=OH=r$ -- raza necesară a cercului înscris. Deoarece $MC$ și $CH$ sunt segmente de tangente care se intersectează, atunci după teorema tangentelor care se intersectează, avem $CH=MC=4\ cm$. Prin urmare, $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Din triunghiul $OHB$, conform teoremei lui Pitagora, obținem:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Răspuns:$\frac(4)(3)$.

Demonstrații de teoreme privind proprietățile cercului circumferitor al unui triunghi

Bisectoare perpendiculară pe un segment de dreaptă

Definiția 1. Bisectoare perpendiculară pe un segment numită dreptă perpendiculară pe acest segment și care trece prin mijlocul acestuia (fig. 1).

Teorema 1. Fiecare punct al bisectoarei perpendiculare pe un segment este situat la aceeași distanță de capete acest segment.

Dovada . Să considerăm un punct arbitrar D situat pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB (Fig. 2) și să demonstrăm că triunghiurile ADC și BDC sunt egale.

Într-adevăr, aceste triunghiuri sunt triunghiuri dreptunghiulare în care catetele AC și BC sunt egale, iar catetul DC este comun. Egalitatea triunghiurilor ADC și BDC implică egalitatea segmentelor AD și DB. Teorema 1 este demonstrată.

Teorema 2 (Conversați cu teorema 1). Dacă un punct se află la aceeași distanță de capetele unui segment, atunci se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Dovada . Să demonstrăm teorema 2 prin contradicție. În acest scop, presupunem că un punct E este la aceeași distanță de capetele segmentului, dar nu se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment. Să aducem această presupunere într-o contradicție. Să luăm mai întâi în considerare cazul în care punctele E și A se află pe părți opuse ale bisectoarei perpendiculare (Fig. 3). În acest caz, segmentul EA intersectează bisectoarea perpendiculară la un moment dat, pe care o vom nota cu litera D.

Să demonstrăm că segmentul AE este mai lung decât segmentul EB. Într-adevăr,

Astfel, în cazul în care punctele E și A se află pe părți opuse ale bisectoarei perpendiculare, avem o contradicție.

Acum luați în considerare cazul în care punctele E și A se află de aceeași parte a bisectoarei perpendiculare (Fig. 4). Să demonstrăm că segmentul EB este mai lung decât segmentul AE. Într-adevăr,

Contradicția rezultată completează demonstrația teoremei 2

Cerc circumscris unui triunghi

Definiția 2. Un cerc circumscris de un triunghi, se numește cerc care trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului (Fig. 5). În acest caz se numește triunghiul triunghi înscris într-un cerc sau triunghi înscris.

Proprietățile cercului circumscris unui triunghi. Teorema sinusurilor

Figura	Desen	Proprietate
Bisectoare perpendiculare pe laturile triunghiului		se intersectează la un punct .

Centru cerc circumscris unui triunghi ascuțit		Centrul descris despre unghiular acut interior triunghi.
Centru cerc circumscris unui triunghi dreptunghic		Centrul a descris despre dreptunghiular mijlocul ipotenuzei .
Centru cerc circumscris unui triunghi obtuz		Centrul descris despre obtuz-unghiular cerc triunghiular minciuni in afara triunghi.
		,
Pătrat triunghi		S= 2R 2 păcat A păcat B păcat C ,
Circumradius		Pentru orice triunghi egalitatea este adevărată:

Bisectoare perpendiculare pe laturile unui triunghi

Toate bisectoarele perpendiculare , tras de laturile unui triunghi arbitrar, se intersectează la un punct .

Cerc circumscris unui triunghi

Orice triunghi poate fi înconjurat de un cerc . Centrul unui cerc circumscris unui triunghi este punctul în care se intersectează toate bisectoarele perpendiculare trasate pe laturile triunghiului.

Centrul cercului circumscris unui triunghi ascuțit

Centrul descris despre unghiular acut cerc triunghiular minciuni interior triunghi.

Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic

Centrul a descris despre dreptunghiular cerc triunghiular este mijlocul ipotenuzei .

Centrul cercului circumscris unui triunghi obtuz

Centrul descris despre obtuz-unghiular cerc triunghiular minciuni in afara triunghi.

Pentru orice triunghi sunt adevărate următoarele egalități (teorema sinusului):

unde a, b, c sunt laturile triunghiului, A, B, C sunt unghiurile triunghiului, R este raza cercului circumscris.

Aria unui triunghi

Pentru orice triunghi egalitatea este adevărată:

S= 2R 2 păcat A păcat B păcat C ,

unde A, B, C sunt unghiurile triunghiului, S este aria triunghiului, R este raza cercului circumscris.

Circumradius

Pentru orice triunghi egalitatea este adevărată:

unde a, b, c sunt laturile triunghiului, S este aria triunghiului, R este raza cercului circumscris.

Demonstrații de teoreme privind proprietățile cercului circumferitor al unui triunghi

Teorema 3. Toate bisectoarele perpendiculare trasate pe laturile unui triunghi arbitrar se intersectează într-un punct.

Dovada . Să considerăm două bisectoare perpendiculare trasate pe laturile AC și AB ale triunghiului ABC și să notăm punctul lor de intersecție cu litera O (Fig. 6).