Când rezolvăm ecuații liniare, ne străduim să găsim rădăcina, adică valoarea variabilei care va transforma ecuația într-o egalitate corectă.

Pentru a găsi rădăcina ecuației de care aveți nevoie transformările echivalente aduc ecuația dată nouă la forma

\(x=[număr]\)

Acest număr va fi rădăcina.

Adică transformăm ecuația, simplificând-o cu fiecare pas, până când o reducem la o ecuație complet primitivă „x = număr”, unde rădăcina este evidentă. Cele mai frecvent utilizate transformări la rezolvarea ecuațiilor liniare sunt următoarele:

De exemplu: adăugați \(5\) la ambele părți ale ecuației \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Vă rugăm să rețineți că am putea obține același rezultat mai rapid scriind cele cinci de cealaltă parte a ecuației și schimbându-i semnul. De fapt, exact așa se face școala „transfer prin egali cu schimbare de semn la opus”.

2. Înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale unei ecuații cu același număr sau expresie.

De exemplu: împărțiți ecuația \(-2x=8\) la minus doi

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

De obicei, acest pas este efectuat chiar la sfârșit, când ecuația a fost deja redusă la forma \(ax=b\), și împărțim cu \(a\) pentru a o elimina din stânga.

3. Utilizarea proprietăților și legilor matematicii: deschiderea parantezelor, aducerea de termeni similari, reducerea fracțiilor etc.

Adăugați \(2x\) la stânga și la dreapta

Scădeți \(24\) din ambele părți ale ecuației

Prezentăm din nou termeni similari

Acum împărțim ecuația cu \(-3\), eliminând astfel partea din față a X din partea stângă.

Răspuns : \(7\)

Răspunsul a fost găsit. Totuși, să verificăm. Dacă șapte este într-adevăr o rădăcină, atunci când îl înlocuiți în loc de X în ecuația originală, ar trebui să se obțină egalitatea corectă - aceleași numere în stânga și în dreapta. Sa incercam.

Examinare:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

A mers. Aceasta înseamnă că șapte este într-adevăr rădăcina ecuației liniare originale.

Nu fi leneș să verifici răspunsurile pe care le-ai găsit prin înlocuire, mai ales dacă rezolvi o ecuație la un test sau un examen.

Întrebarea rămâne - cum să determinați ce să faceți cu ecuația la pasul următor? Cum să-l convertesc mai exact? Împărțiți cu ceva? Sau scade? Și ce ar trebui să scad mai exact? Împărțiți cu ce?

Raspunsul este simplu:

Scopul tău este să aduci ecuația la forma \(x=[număr]\), adică în stânga este x fără coeficienți și numere, iar în dreapta este doar un număr fără variabile. Prin urmare, uită-te la ce te oprește și faceți opusul a ceea ce face componenta care interferează.

Pentru a înțelege mai bine acest lucru, să ne uităm la soluția ecuației liniare \(x+3=13-4x\) pas cu pas.

Să ne gândim: cum diferă această ecuație de \(x=[număr]\)? Ce ne oprește? Ce s-a întâmplat?

Ei bine, în primul rând, cei trei interferează, deoarece în stânga ar trebui să fie doar un X singur, fără numere. Ce „face” troica? Adăugat la X. Deci, pentru a-l elimina - scădea aceleași trei. Dar dacă scădem trei din stânga, trebuie să-l scădem din dreapta pentru ca egalitatea să nu fie încălcată.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Amenda. Acum ce te oprește? \(4x\) în dreapta, pentru că acolo ar trebui să fie doar numere. \(4x\) deduse- scoatem prin adăugarea.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Acum prezentăm termeni similari în stânga și în dreapta.

Este aproape gata. Rămâne doar să eliminați cele cinci din stânga. Ce face ea"? Se înmulțește pe x. Deci haideți să-l eliminăm Divizia.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Soluția este completă, rădăcina ecuației este două. Puteți verifica prin înlocuire.

observa asta cel mai adesea există o singură rădăcină în ecuațiile liniare. Cu toate acestea, pot apărea două cazuri speciale.

Cazul special 1 – nu există rădăcini într-o ecuație liniară.

Exemplu . Rezolvați ecuația \(3x-1=2(x+3)+x\)

Soluţie :

Răspuns : fără rădăcini.

De fapt, faptul că vom ajunge la un astfel de rezultat a fost vizibil mai devreme, chiar și atunci când am primit \(3x-1=3x+6\). Gândește-te: cum pot fi egale \(3x\) din care am scăzut \(1\) și \(3x\) la care am adăugat \(6\)? Evident, în niciun caz, pentru că au făcut lucruri diferite cu același lucru! Este clar că rezultatele vor varia.

Cazul special 2 – o ecuație liniară are un număr infinit de rădăcini.

Exemplu . Rezolvați ecuația liniară \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Soluţie :

Răspuns : orice număr.

Acest lucru, apropo, s-a observat și mai devreme, la etapa: \(8x+12=8x+12\). Într-adevăr, stânga și dreapta sunt aceleași expresii. Orice X ai înlocui, va fi același număr atât acolo, cât și acolo.

Ecuații liniare mai complexe.

Ecuația originală nu arată întotdeauna imediat ca una liniară; uneori este „mascata” ca alte ecuații, mai complexe. Cu toate acestea, în procesul de transformare, deghizarea dispare.

Exemplu . Aflați rădăcina ecuației \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Soluţie :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		S-ar părea că aici există un x pătrat - aceasta nu este o ecuație liniară! Dar nu te grăbi. Să aplicăm
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		De ce rezultatul expansiunii \((x-4)^(2)\) este între paranteze, dar rezultatul \((3+x)^(2)\) nu este? Pentru că în fața primului pătrat este un minus, care va schimba toate semnele. Și pentru a nu uita de asta, luăm rezultatul între paranteze, pe care acum îl deschidem.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Prezentăm termeni similari
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Vă prezentăm din nou altele asemănătoare.
		Ca aceasta. Se pare că ecuația inițială este destul de liniară, iar X pătratul nu este altceva decât un ecran care să ne încurce. :) Completam solutia impartind ecuatia la \(2\), si obtinem raspunsul.

Răspuns : \(x=5\)

Exemplu . Rezolvați ecuația liniară \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Soluţie :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Ecuația nu pare liniară, este un fel de fracții... Cu toate acestea, să scăpăm de numitori înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitorul comun al tuturor – șase
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Extindeți suportul din stânga
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Acum să reducem numitorii
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Acum arată ca unul liniar obișnuit! Să-l terminăm.
		Prin traducerea prin egali, colectăm X în dreapta și numere în stânga
		Ei bine, împărțind părțile drepte și stângi la \(-4\), obținem răspunsul

Răspuns : \(x=-1,25\)

Ecuație liniară este o ecuație algebrică. În această ecuație, gradul total al polinoamelor sale constitutive este egal cu unu.

Ecuațiile liniare sunt prezentate după cum urmează:

În formă generală: A 1 X 1 + A 2 X 2 + … + un n x n + b = 0

În formă canonică: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b.

Ecuație liniară cu o variabilă.

O ecuație liniară cu 1 variabilă se reduce la forma:

topor+ b=0.

De exemplu:

2x + 7 = 0. Unde a=2, b=7;

0,1x - 2,3 = 0. Unde a=0,1, b=-2,3;

12x + 1/2 = 0. Unde a=12, b=1/2.

Numărul de rădăcini depinde de AȘi b:

Când A= b=0 , ceea ce înseamnă că ecuația are un număr nelimitat de soluții, deoarece .

Când A=0 , b≠ 0 , ceea ce înseamnă că ecuația nu are rădăcini, deoarece .

Când A ≠ 0 , ceea ce înseamnă că ecuația are o singură rădăcină.

Ecuație liniară cu două variabile.

Ecuația cu variabila X este o egalitate de tip A(x)=B(x), Unde Topor)Și B(x)- expresii din X. La înlocuirea setului T valorile Xîn ecuație obținem o egalitate numerică adevărată, care se numește set de adevăr fie această ecuație rezolvarea unei ecuații date, și toate aceste valori ale variabilei sunt rădăcinile ecuației.

Ecuațiile liniare a 2 variabile sunt prezentate în următoarea formă:

În formă generală: ax + by + c = 0,

În formă canonică: ax + by = -c,

În formă de funcție liniară: y = kx + m, Unde .

Soluția sau rădăcinile acestei ecuații sunt următoarea pereche de valori variabile (X y), care o transformă într-o identitate. O ecuație liniară cu 2 variabile are un număr nelimitat de aceste soluții (rădăcini). Modelul geometric (graficul) al acestei ecuații este o linie dreaptă y=kx+m.

Dacă o ecuație conține x pătrat, atunci ecuația se numește

Etc., este logic să te familiarizezi cu ecuații de alte tipuri. Următorii în rând sunt ecuatii lineare, al cărui studiu țintit începe la lecțiile de algebră din clasa a VII-a.

Este clar că mai întâi trebuie să explicăm ce este o ecuație liniară, să dăm o definiție a unei ecuații liniare, coeficienții ei și să arătăm forma ei generală. Apoi vă puteți da seama câte soluții are o ecuație liniară în funcție de valorile coeficienților și de cum se găsesc rădăcinile. Acest lucru vă va permite să treceți la rezolvarea exemplelor și, astfel, să consolidați teoria învățată. În acest articol vom face acest lucru: ne vom opri în detaliu asupra tuturor punctelor teoretice și practice referitoare la ecuațiile liniare și soluțiile acestora.

Să spunem imediat că aici vom lua în considerare doar ecuații liniare cu o variabilă, iar într-un articol separat vom studia principiile soluției ecuații liniare cu două variabile.

Navigare în pagină.

Ce este o ecuație liniară?

Definiția unei ecuații liniare este dată de modul în care este scrisă. Mai mult, în diferite manuale de matematică și algebră, formulările definițiilor ecuațiilor liniare au unele diferențe care nu afectează esența problemei.

De exemplu, în manualul de algebră pentru clasa a 7-a de Yu. N. Makarychev și colab., o ecuație liniară este definită după cum urmează:

Definiție.

Ecuația formei a x=b, unde x este o variabilă, a și b sunt niște numere, se numește ecuație liniară cu o variabilă.

Să dăm exemple de ecuații liniare care îndeplinesc definiția menționată. De exemplu, 5 x = 10 este o ecuație liniară cu o variabilă x, aici coeficientul a este 5, iar numărul b este 10. Un alt exemplu: −2.3·y=0 este tot o ecuație liniară, dar cu o variabilă y, în care a=−2.3 și b=0. Și în ecuațiile liniare x=−2 și −x=3,33 a nu sunt prezente în mod explicit și sunt egale cu 1 și, respectiv, −1, în timp ce în prima ecuație b=−2, iar în a doua - b=3,33.

Și cu un an mai devreme, în manualul de matematică al lui N. Ya. Vilenkin, ecuațiile liniare cu o necunoscută, pe lângă ecuațiile de forma a x = b, au considerat și ecuații care pot fi aduse în această formă prin transferul de termeni dintr-o parte. a ecuației la alta cu semnul opus, precum și prin reducerea termenilor similari. Conform acestei definiții, ecuațiile de forma 5 x = 2 x + 6 etc. de asemenea liniară.

La rândul său, în manualul de algebră pentru clasa a VII-a de A. G. Mordkovich este dată următoarea definiție:

Definiție.

Ecuație liniară cu o variabilă x este o ecuație de forma a·x+b=0, unde a și b sunt numere numite coeficienți ai ecuației liniare.

De exemplu, ecuațiile liniare de acest tip sunt 2 x−12=0, aici coeficientul a este 2 și b este egal cu −12 și 0,2 y+4,6=0 cu coeficienții a=0,2 și b =4,6. Dar, în același timp, există exemple de ecuații liniare care au forma nu a·x+b=0, ci a·x=b, de exemplu, 3·x=12.

Să nu avem discrepanțe în viitor, printr-o ecuație liniară cu o variabilă x și coeficienți a și b înțelegem o ecuație de forma a x + b = 0. Acest tip de ecuație liniară pare să fie cel mai justificat, deoarece ecuațiile liniare sunt ecuații algebrice primul grad. Și toate celelalte ecuații indicate mai sus, precum și ecuațiile care, folosind transformări echivalente, se reduc la forma a x + b = 0, le vom numi ecuații care se reduc la ecuații liniare. Cu această abordare, ecuația 2 x+6=0 este o ecuație liniară, iar 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 etc. - Acestea sunt ecuații care se reduc la liniare.

Cum se rezolvă ecuații liniare?

Acum este timpul să ne dăm seama cum sunt rezolvate ecuațiile liniare a·x+b=0. Cu alte cuvinte, este timpul să aflăm dacă o ecuație liniară are rădăcini și, dacă da, câte dintre ele și cum să le găsim.

Prezența rădăcinilor unei ecuații liniare depinde de valorile coeficienților a și b. În acest caz, ecuația liniară a x+b=0 are

• singura rădăcină pentru a≠0,
• nu are rădăcini pentru a=0 și b≠0,
• are infinit de rădăcini pentru a=0 și b=0, caz în care orice număr este o rădăcină a unei ecuații liniare.

Să explicăm cum au fost obținute aceste rezultate.

Știm că pentru a rezolva ecuații putem trece de la ecuația originală la ecuații echivalente, adică la ecuații cu aceleași rădăcini sau, ca și cea originală, fără rădăcini. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza următoarele transformări echivalente:

• transferarea unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus,
• precum și înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale unei ecuații cu același număr diferit de zero.

Deci, într-o ecuație liniară cu o variabilă de forma a·x+b=0, putem muta termenul b din partea stângă în partea dreaptă cu semnul opus. În acest caz, ecuația va lua forma a·x=−b.

Și apoi se pune problema împărțirii ambelor părți ale ecuației la numărul a. Dar există un lucru: numărul a poate fi egal cu zero, caz în care o astfel de împărțire este imposibilă. Pentru a rezolva această problemă, vom presupune mai întâi că numărul a este diferit de zero și vom lua în considerare cazul unei ființe egale cu zero separat puțin mai târziu.

Deci, când a nu este egal cu zero, atunci putem împărți ambele părți ale ecuației a·x=−b la a, după care va fi transformată în forma x=(−b):a, acest rezultat poate fi scris folosind bara oblică ca.

Astfel, pentru a≠0, ecuația liniară a·x+b=0 este echivalentă cu ecuația, din care este vizibilă rădăcina sa.

Este ușor de arătat că această rădăcină este unică, adică ecuația liniară nu are alte rădăcini. Acest lucru vă permite să faceți metoda opusă.

Să notăm rădăcina ca x 1. Să presupunem că există o altă rădăcină a ecuației liniare, pe care o notăm x 2 și x 2 ≠x 1, care, datorită determinarea numerelor egale prin diferență este echivalentă cu condiția x 1 −x 2 ≠0. Deoarece x 1 și x 2 sunt rădăcini ale ecuației liniare a·x+b=0, atunci sunt valabile egalitățile numerice a·x 1 +b=0 și a·x 2 +b=0. Putem scădea părțile corespunzătoare acestor egalități, ceea ce ne permit proprietățile egalităților numerice, avem a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, din care a·(x 1) −x 2)+( b−b)=0 și apoi a·(x 1 −x 2)=0 . Dar această egalitate este imposibilă, deoarece atât a≠0, cât și x 1 − x 2 ≠0. Deci am ajuns la o contradicție, care demonstrează unicitatea rădăcinii ecuației liniare a·x+b=0 pentru a≠0.

Deci am rezolvat ecuația liniară a·x+b=0 pentru a≠0. Primul rezultat dat la începutul acestui paragraf este justificat. Au mai rămas două care îndeplinesc condiția a=0.

Când a=0, ecuația liniară a·x+b=0 ia forma 0·x+b=0. Din această ecuație și proprietatea înmulțirii numerelor cu zero rezultă că indiferent ce număr luăm ca x, atunci când este substituit în ecuația 0 x + b=0, se va obține egalitatea numerică b=0. Această egalitate este adevărată când b=0, iar în alte cazuri când b≠0 această egalitate este falsă.

În consecință, cu a=0 și b=0, orice număr este rădăcina ecuației liniare a·x+b=0, deoarece în aceste condiții, înlocuirea oricărui număr cu x dă egalitatea numerică corectă 0=0. Și când a=0 și b≠0, ecuația liniară a·x+b=0 nu are rădăcini, deoarece în aceste condiții, înlocuirea oricărui număr în loc de x duce la egalitatea numerică incorectă b=0.

Justificările date ne permit să formulăm o succesiune de acțiuni care ne permit să rezolvăm orice ecuație liniară. Asa de, algoritm pentru rezolvarea ecuației liniare este:

• În primul rând, prin scrierea ecuației liniare, găsim valorile coeficienților a și b.
• Dacă a=0 și b=0, atunci această ecuație are infinit de rădăcini, și anume, orice număr este o rădăcină a acestei ecuații liniare.
• Dacă a este diferit de zero, atunci
• coeficientul b este transferat în partea dreaptă cu semnul opus, iar ecuația liniară este transformată în forma a·x=−b,
• după care ambele părți ale ecuației rezultate sunt împărțite la un număr diferit de zero a, care dă rădăcina dorită a ecuației liniare inițiale.

Algoritmul scris este un răspuns cuprinzător la întrebarea cum se rezolvă ecuațiile liniare.

În concluzia acestui punct, merită să spunem că un algoritm similar este utilizat pentru a rezolva ecuații de forma a·x=b. Diferența sa este că atunci când a≠0, ambele părți ale ecuației sunt imediat împărțite la acest număr; aici b este deja în partea necesară a ecuației și nu este nevoie să-l transferați.

Pentru a rezolva ecuații de forma a x = b, se folosește următorul algoritm:

• Dacă a=0 și b=0, atunci ecuația are infinite rădăcini, care sunt orice numere.
• Dacă a=0 și b≠0, atunci ecuația inițială nu are rădăcini.
• Dacă a este diferit de zero, atunci ambele părți ale ecuației sunt împărțite la un număr diferit de zero a, din care se găsește singura rădăcină a ecuației, egală cu b/a.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor liniare

Să trecem la practică. Să ne uităm la modul în care este utilizat algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor liniare. Să prezentăm soluții la exemple tipice corespunzătoare diferitelor valori ale coeficienților ecuațiilor liniare.

Exemplu.

Rezolvați ecuația liniară 0·x−0=0.

Soluţie.

În această ecuație liniară, a=0 și b=−0 , care este același cu b=0 . Prin urmare, această ecuație are infinit de rădăcini; orice număr este o rădăcină a acestei ecuații.

Răspuns:

x – orice număr.

Exemplu.

Ecuația liniară 0 x + 2.7 = 0 are soluții?

Soluţie.

În acest caz, coeficientul a este egal cu zero, iar coeficientul b al acestei ecuații liniare este egal cu 2,7, adică diferit de zero. Prin urmare, o ecuație liniară nu are rădăcini.

Învățarea rezolvării ecuațiilor este una dintre sarcinile principale pe care algebra le pune elevilor. Începând cu cele mai simple, când constă dintr-o necunoscută, și trecând la altele din ce în ce mai complexe. Dacă nu ați stăpânit acțiunile care trebuie efectuate cu ecuații din primul grup, va fi greu să le înțelegeți pe celelalte.

Pentru a continua conversația, trebuie să fiți de acord asupra notării.

Forma generală a unei ecuații liniare cu o necunoscută și principiul soluției acesteia

Orice ecuație care poate fi scrisă astfel:

a * x = b,

numit liniar. Aceasta este formula generală. Dar adesea în atribuiri ecuațiile liniare sunt scrise în formă implicită. Apoi este necesar să se efectueze transformări identice pentru a obține o notație general acceptată. Aceste acțiuni includ:

• paranteze de deschidere;
• mutarea tuturor termenilor cu o valoare variabilă în partea stângă a egalității, iar restul la dreapta;
• reducerea termenilor similari.

În cazul în care o cantitate necunoscută se află în numitorul unei fracții, trebuie să determinați valorile acesteia la care expresia nu va avea sens. Cu alte cuvinte, trebuie să cunoașteți domeniul de definire al ecuației.

Principiul prin care sunt rezolvate toate ecuațiile liniare se rezumă la împărțirea valorii din partea dreaptă a ecuației la coeficientul din fața variabilei. Adică, „x” va fi egal cu b/a.

Cazuri speciale de ecuații liniare și soluțiile acestora

În timpul raționamentului, pot apărea momente când ecuațiile liniare iau una dintre formele speciale. Fiecare dintre ele are o soluție specifică.

In prima situatie:

a * x = 0, și a ≠ 0.

Soluția unei astfel de ecuații va fi întotdeauna x = 0.

În al doilea caz, „a” ia valoarea egală cu zero:

0 * x = 0.

Răspunsul la o astfel de ecuație va fi orice număr. Adică are un număr infinit de rădăcini.

A treia situație arată astfel:

0 * x = in, unde în ≠ 0.

Această ecuație nu are sens. Pentru că nu există rădăcini care să-l satisfacă.

Vedere generală a unei ecuații liniare cu două variabile

Din numele său devine clar că există deja două cantități necunoscute în el. Ecuații liniare în două variabile arata asa:

a * x + b * y = c.

Deoarece există două necunoscute în înregistrare, răspunsul va arăta ca o pereche de numere. Adică nu este suficient să specificați o singură valoare. Acesta va fi un răspuns incomplet. O pereche de mărimi pentru care ecuația devine o identitate este o soluție a ecuației. Mai mult, în răspuns, variabila care vine prima în alfabet este întotdeauna scrisă prima. Uneori se spune că aceste cifre îl mulțumesc. Mai mult, poate exista un număr infinit de astfel de perechi.

Cum se rezolvă o ecuație liniară cu două necunoscute?

Pentru a face acest lucru, trebuie doar să selectați orice pereche de numere care se dovedește a fi corectă. Pentru simplitate, puteți lua una dintre necunoscutele egală cu un număr prim și apoi găsiți al doilea.

Când rezolvați, de multe ori trebuie să efectuați pași pentru a simplifica ecuația. Ele se numesc transformări identitare. În plus, următoarele proprietăți sunt întotdeauna adevărate pentru ecuații:

• fiecare termen poate fi mutat în partea opusă a egalității prin înlocuirea semnului său cu cel opus;
• Laturile stânga și dreapta ale oricărei ecuații pot fi împărțite la același număr, atâta timp cât acesta nu este egal cu zero.

Exemple de sarcini cu ecuații liniare

Prima sarcină. Rezolvați ecuații liniare: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

În ecuația care vine prima pe această listă, împărțiți pur și simplu 20 la 4. Rezultatul va fi 5. Acesta este răspunsul: x = 5.

A treia ecuație necesită efectuarea unei transformări de identitate. Acesta va consta în deschiderea parantezelor și aducerea unor termeni similari. După primul pas, ecuația va lua forma: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Apoi trebuie să mutați toate necunoscutele în partea stângă a ecuației, iar restul în dreapta. Ecuația va arăta astfel: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. După adăugarea unor termeni similari: 14x = 16. Acum arată la fel ca prima, iar soluția ei este ușor de găsit. Răspunsul va fi x=8/7. Dar în matematică ar trebui să izolați întreaga parte dintr-o fracție improprie. Apoi rezultatul va fi transformat, iar „x” va fi egal cu un întreg și o șapte.

În exemplele rămase, variabilele sunt la numitor. Aceasta înseamnă că mai întâi trebuie să aflați la ce valori sunt definite ecuațiile. Pentru a face acest lucru, trebuie să excludeți numerele la care numitorii merg la zero. În primul exemplu este „-4”, în al doilea este „-3”. Adică, aceste valori trebuie excluse din răspuns. După aceasta, trebuie să înmulțiți ambele părți ale egalității cu expresiile din numitor.

Deschizând parantezele și aducând termeni similari, în prima dintre aceste ecuații obținem: 5x + 15 = 4x + 16, iar în a doua 5x + 15 = 4x + 12. După transformări, soluția primei ecuații va fi x = -1. Al doilea se dovedește a fi egal cu „-3”, ceea ce înseamnă că acesta din urmă nu are soluții.

A doua sarcină. Rezolvați ecuația: -7x + 2y = 5.

Să presupunem că prima necunoscută x = 1, apoi ecuația va lua forma -7 * 1 + 2y = 5. Mutând factorul „-7” în partea dreaptă a egalității și schimbându-i semnul în plus, rezultă că 2y = 12. Aceasta înseamnă y =6. Răspuns: una dintre soluțiile ecuației x = 1, y = 6.

Forma generală a inegalității cu o variabilă

Toate situațiile posibile pentru inegalități sunt prezentate aici:

• a * x > b;
• a * x< в;
• a * x ≥b;
• a * x ≤в.

În general, arată ca o ecuație liniară simplă, doar semnul egal este înlocuit cu o inegalitate.

Reguli pentru transformările identitare ale inegalităților

La fel ca ecuațiile liniare, inegalitățile pot fi modificate conform anumitor legi. Ele se rezumă la următoarele:

1. orice expresie alfabetică sau numerică poate fi adăugată la partea stângă și dreaptă a inegalității, iar semnul inegalității rămâne același;
2. de asemenea, puteți înmulți sau împărți cu același număr pozitiv, iar acest lucru nu schimbă semnul;
3. La înmulțirea sau împărțirea cu același număr negativ, egalitatea va rămâne adevărată cu condiția ca semnul inegalității să fie inversat.

Vedere generală a inegalităților duble

Următoarele inegalități pot fi prezentate în probleme:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Se numește dublu deoarece este limitat de semne de inegalitate de ambele părți. Se rezolvă folosind aceleași reguli ca și inegalitățile obișnuite. Iar găsirea răspunsului se reduce la o serie de transformări identice. Până se obține cel mai simplu.

Caracteristici ale rezolvării inegalităților duble

Prima dintre ele este imaginea sa pe axa de coordonate. Nu este nevoie să folosiți această metodă pentru inegalități simple. Dar în cazuri dificile poate fi pur și simplu necesar.

Pentru a reprezenta o inegalitate, trebuie să marcați pe axă toate punctele care au fost obținute în timpul raționamentului. Acestea sunt valori nevalide, care sunt indicate prin puncte perforate, și valori din inegalitățile obținute în urma transformărilor. Și aici este important să desenați corect punctele. Dacă inegalitatea este strictă, adică< или >, atunci aceste valori sunt eliminate. În inegalitățile nestricte, punctele trebuie să fie umbrite.

Apoi este necesar să se indice sensul inegalităților. Acest lucru se poate face folosind umbrirea sau arce. Intersecția lor va indica răspunsul.

A doua caracteristică este legată de înregistrarea acesteia. Există două opțiuni oferite aici. Prima este inegalitatea finală. Al doilea este sub formă de intervale. Cu el se întâmplă să apară dificultăți. Răspunsul în spații arată întotdeauna ca o variabilă cu semn de apartenență și paranteze cu numere. Uneori există mai multe spații, atunci trebuie să scrieți simbolul „și” între paranteze. Aceste semne arată astfel: ∈ și ∩. Parantezele de spațiere joacă, de asemenea, un rol. Cel rotund este plasat atunci când punctul este exclus din răspuns, iar cel dreptunghiular include această valoare. Semnul infinitului este întotdeauna între paranteze.

Exemple de rezolvare a inegalităților

1. Rezolvați inegalitatea 7 - 5x ≥ 37.

După transformări simple, obținem: -5x ≥ 30. Împărțind la „-5” putem obține următoarea expresie: x ≤ -6. Acesta este deja răspunsul, dar se poate scrie în alt mod: x ∈ (-∞; -6].

2. Rezolvați inegalitatea dublă -4< 2x + 6 ≤ 8.

Mai întâi trebuie să scazi peste tot 6. Obții: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

O ecuație liniară cu necunoscute x 1, x 2, ..., x n este o ecuație de forma

A 1 x 1 + a 2 x 2 + …+ a n x n = b;

numerele a și a 2 , a 2 , ..., a n se numesc coeficienți pentru necunoscute, numărul b este termenul liber al ecuației.

Ecuațiile liniare cu o necunoscută au putut fi rezolvate în Babilonul Antic și în Egipt cu peste 4 mii de ani în urmă. Să cităm, de exemplu, o problemă din papirusul Rhind (numit și papirusul Ahmes), păstrat în British Museum și datând din perioada 2000–1700. î.Hr e.: „Găsiți un număr dacă se știe că adunând 2/3 din el și scăzând a treia sa din suma rezultată, se obține numărul 10.” Soluția acestei probleme se rezumă la rezolvarea ecuației liniare

x + (2/3)x − (1/3)(x + (2/3)x) = 10, de unde x = 9.

Să prezentăm și problema lui Metrodor, despre a cărui viață nu se știe nimic decât că a fost autorul unor probleme interesante compuse în versuri.

Aici este îngropat Diophantus și piatra funerară
Cu o numărătoare pricepută ne va spune
Cât de lungă a fost viața lui.
Prin decretul lui Dumnezeu, el a fost băiat pentru o șaseme din viață;
În partea a douăsprezecea, a trecut apoi tinerețea lui strălucitoare.
Să adăugăm a șaptea parte a vieții - înaintea noastră este vatra lui Hymen.
Au trecut cinci ani; iar Hymen i-a trimis un fiu.
Dar vai de copil! Abia a trăit pe jumătate
Acei ani în care a murit tatăl, nefericitul.
Diophantus a suferit timp de patru ani din cauza pierderii unui astfel de mormânt
Și a murit, trăind pentru știință. Spune-mi,
Câți ani avea Diophantus când a ajuns la moarte?

Rezolvarea unei ecuații liniare

(1/6)x + (1/12)x +(1/7)x + 5 + (1/2)x + 4 = x,

constatăm că x = 84 – așa câți ani a trăit Diophantus.

Diophantus însuși a acordat o mare atenție ecuațiilor nedefinite (acesta este denumirea dată ecuațiilor algebrice sau sistemelor de astfel de ecuații cu două sau mai multe necunoscute cu coeficienți întregi, pentru care se caută soluții întregi sau raționale; numărul de necunoscute trebuie să fie mai mare decât numărul de ecuații). Aceste ecuații se numesc ecuații diofantine. Adevărat, Diophantus, care a trăit la începutul secolelor II-III, era preocupat în principal de ecuațiile nedefinite de grade superioare.

Un sistem de ecuații algebrice, fiecare având forma (1), se numește sistem liniar. Coeficienții ecuațiilor incluse în sistem sunt de obicei numerotați cu doi indici, primul dintre care este numărul ecuației, iar al doilea (ca în (1)) este numărul necunoscutului. De exemplu, un sistem de m ecuații cu n necunoscute este scris sub forma

$\stânga. \begin(aligned) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))+\ldots+((a)_ (1n))((x)_(n))=((b)_(1)), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_ (22))((x)_(2))+\ldots+((a)_(2n))((x)_(n))=((b)_(2)), \\ ((a )_(m1))((x)_(1))+((a)_(m2))((x)_(2))+\ldots+((a)_(mn))((x) _(n))=((b)_(m)). \\ \end(aliniat) \right\)(2)$

Să considerăm un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute:

$\stânga. \begin(aligned) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))=((b)_(1) )), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_(22))((x)_(2))=((b)_(2) )), \\ \end(aliniat) \right\)(3)$

Să înmulțim prima ecuație a sistemului (3) cu un 22 și să scădem din ecuația rezultată pe a doua, înmulțită cu un 12; în mod similar, înmulțim a doua ecuație a sistemului (3) cu 11 și scădem prima, înmulțită cu 21, din ecuația rezultată. După aceasta obținem sistemul:

$\stânga. \begin(aligned) (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 2 = a 11 b 2 -b 1 a 21 , (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 1 = b 1 a 22 - a 12 b 2 , \end(aligned) \right\)(4)$

$\stânga. \begin(aligned) (a_(11)a_(22)−a_(12)a_(21))x_2 = a_(11)b_2−b_1a_(21), \\ (a_(11)a_(22)−a_ (12)a_(21))x_1 = b_1a_(22)−a_(12)b_2, \\ \end(aligned) \right\)(4)$

care este o consecință a sistemului (3). Sistemul (4) poate fi scris sub forma

$\stânga. \begin(aligned) Δ⋅x_1=Δ_1, \\ Δ⋅x_2=Δ_2, \\ \end(aligned) \right\)(5)$

unde ∆ este determinantul unei matrice compuse din coeficienții sistemului (vezi Determinant), ∆ i sunt determinanții matricilor obținute din înlocuirea anterioară a coloanei i-a cu o coloană de termeni liberi, i = 1,2 . În plus, dacă ∆ ≠ 0, atunci sistemul (5) are o soluție unică:

x 1 = ∆ 1 /∆, x 2 = ∆ 2 /∆.

Substituția directă verifică că această pereche de numere este, de asemenea, o soluție pentru sistemul (3). Folosind aceeași regulă, se caută o soluție a unui sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute: dacă determinantul sistemului ∆ este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică și

x i = ∆ i /∆

unde ∆ i este determinantul matricei obţinute dintr-o matrice compusă din coeficienţii sistemului prin înlocuirea coloanei i-a din aceasta cu o coloană de termeni liberi. Regula descrisă pentru rezolvarea sistemelor liniare se numește regula lui Cramer. (G. Cramer - matematician elvețian, 1704–1752).

Dacă ∆ = 0, atunci atât ∆ 1, cât și ∆ 2 trebuie să dispară (în caz contrar (5), și mai ales (3) nu au soluții). Dacă condiția ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = 0 este îndeplinită, dacă coeficienții corespunzători pentru necunoscutele și termenii liberi ai ecuației sistemului (3) sunt proporționali, atunci sistemul va avea infinite soluții; dacă cel puțin unul dintre coeficienți pentru necunoscute este diferit de zero (de exemplu, dacă a 12 ≠ 0), atunci x 1 poate fi luat ca oricare, atunci

x 2 = b 1 /a 12 − a 11 x 1 /a 12

Rămâne de analizat cazul când sistemul are forma

$\stânga. \begin(aligned) 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ \end(aligned) \right\)$

pentru care răspunsul este evident: dacă b 1 = b 2 = 0, atunci soluția este orice pereche de numere, altfel nu există soluții.

În cazul general, pentru un sistem de n ecuații cu n necunoscute pentru ∆ ≠ 0, sistemul are o soluție unică, care, așa cum am menționat deja, poate fi găsită folosind regula lui Cramer. Dacă ∆ = 0 și cel puțin unul dintre determinanții ∆ i este diferit de zero, sistemul este inconsecvent (adică nu are soluții). În cazul în care ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = ... = ∆ n = 0, sistemul poate fi fie inconsecvent, fie are infinite de soluții. Este destul de dificil de stabilit care dintre aceste două cazuri se realizează folosind determinanți și nu ne vom ocupa de asta. În practică, regula lui Cramer nu este de obicei folosită pentru a rezolva sisteme liniare. Cel mai adesea, metoda Gaussiană este utilizată în aceste scopuri (vezi Excepție necunoscută).

După cum se știe, ecuația liniară a 1 x 1 + a 2 x 2 = b definește o dreaptă pe plan (x 1 ; x 2) în cazul în care cel puțin unul dintre coeficienții a 1 și a 2 este diferit de zero. Dacă luăm două drepte pe un plan, atunci sunt posibile următoarele cazuri (vezi figura): 1) dreptele sunt paralele și nu au puncte comune, iar atunci sistemul nu are soluții; 2) liniile se intersectează, iar apoi sistemul are o singură soluție; 3) liniile coincid, iar apoi sistemul are infinite de soluții. Dar două linii luate „aleatoriu” se vor intersecta „de regulă”, adică, de regulă, un sistem de două ecuații liniare cu două variabile va avea o soluție. Orice punct de pe o anumită dreaptă din plan corespunde soluției unui „sistem” (constând dintr-o ecuație), adică, de regulă, apare cazul 3 (cazul 2 este imposibil, iar cazul 1 se realizează dacă luăm ecuația 0 x 1 + 0 x 2 = b, unde b ≠ 0, care nu definește o dreaptă pe plan). Dacă luăm 3 sau mai multe linii pe un plan, atunci, în general, toate pot coincide sau pot trece printr-un punct, dar, de regulă, apare primul caz - liniile nu au un punct comun.