ABSTRACT

în geometrie

Construcția primitivelor grafice Modele matematice ale suprafețelor și obiectelor

Cristale (2)

4. Caracteristicile numerice ale solidelor platonice.

7. Solide arhimediene

8. Raportul de aur în dodecaedru și icosaedru.

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL FEDERATIEI RUSE

MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI ŞTIINŢEI AL REGIUNII MOSCOVA

INSTITUTUL REGIONAL DE UMANITATE DE STAT MOSCOVA

DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ ŞI METODE DE PREDARE A MATEMATICĂ

ABSTRACT

POLHEDI REGULAȚI ȘI SEMI-REGULAȚI

INTERPRETURI: .

ELEVI ANUL III, GRUPA I

FACULTATEA DE FIZICĂ ȘI MATEMATICĂ

PANKOVA ANASTASIA OLEGOVNA

ANTONOVA ELENA NIKOLAEVNA

OREKHOVO-ZUEVO

Poliedre regulate

sfidător de mic, dar acesta este foarte

o echipă modestă

a reușit să pătrundă chiar în adâncuri

diverse stiinte.

L. Carroll.

1. Introducere.

Omul a fost interesat de poliedre obișnuite de-a lungul întregii sale vieți conștiente, de la un copil de doi ani care se joacă cu blocuri de lemn până la un matematician matur care se bucură să citească cărți despre poliedre. Unele dintre solidele obișnuite și semi-regulate apar în natură sub formă de cristale, altele - sub formă de viruși (care pot fi vizualizate cu ajutorul unui microscop electronic). Albinele au construit faguri hexagonali cu mult înainte de apariția oamenilor, iar în istoria civilizației, crearea corpurilor cu mai multe fațete (cum ar fi piramidele), împreună cu alte tipuri de arte plastice, datează de secole în urmă.

Eseul nostru este dedicat subiectului poliedrelor regulate și semiregulate. Au fost studiati de Theaetetus, Platon, Euclid, Hypsicles si Pappus. De asemenea, aceste trupuri uimitoare nu ne-au lăsat indiferenți. La urma urmei, forma lor este un exemplu de perfecțiune!

Câte poliedre regulate există? Ce caracteristici au? Cum se face un model al oricărui poliedru regulat? Unde puteți găsi aceste cadavre? Răspunsul la aceste întrebări și la multe alte întrebări este scopul muncii noastre.

2. Poliedre regulate.

Poliedrul se numește corect, dacă: în primul rând, este convex; în al doilea rând, toate fețele sale sunt poligoane regulate egale între ele; în al treilea rând, același număr de muchii converg la fiecare dintre vârfurile sale; și în al patrulea rând, toate unghiurile sale diedrice sunt egale.

Se pune întrebarea: câte poliedre regulate există? La prima vedere, răspunsul la această întrebare este foarte simplu - există atâtea poligoane regulate câte există. Cu toate acestea, nu este. În Elementele lui Euclid găsim o dovadă riguroasă că există doar cinci poliedre regulate convexe - nici mai mult, nici mai puțin, iar fețele lor pot fi doar trei tipuri de poligoane regulate: triunghiuri, pătrate și pentagoane sau pentagoane regulate (tetraedru, hexaedru (cub)). , octaedru, icosaedru și dodecaedru).

Numele poliedrelor regulate provin din Grecia. Tradus literal din greacă, „tetraedru”, „octaedru”, „hexaedru”, „dodecaedru”, „icosaedru” înseamnă: „tetraedru”, „octaedru”, „hexaedru”, „dodecaedru”, „douăzeci de edru”. A 13-a carte din Elementele lui Euclid este dedicată acestor corpuri frumoase.

Toate poliedrele regulate sunt numite Solidele platonice, deoarece au ocupat un loc important în conceptul filozofic al lui Platon despre structura universului.

Platon (427-347 î.Hr.)

Patru poliedre au personificat patru esențe sau „elemente” în ea. Tetraedrul simbolizează focul, deoarece vârful său este îndreptat în sus; icosaedru - apă, deoarece este cea mai „raționalizată”; cub - pământ, ca cel mai „stabil”; octaedru - aer, ca cel mai „aerisit”. Al cincilea poliedru, dodecaedrul, a întruchipat „tot ce există sau” „Mintea Universală”, a simbolizat întregul univers și a fost considerat principalul lucru.

Grecii antici considerau relațiile armonioase ca fiind baza universului, așa că cele patru elemente ale lor erau legate prin următoarea proporție: pământ/apă = aer/foc.

Tetraedru – Acesta este un tetraedru, ale cărui fețe sunt triunghiuri, de exemplu. piramidă triunghiulară; un tetraedru regulat este mărginit de patru triunghiuri echilaterale; unul dintre cele cinci poligoane regulate (Fig. 1-a). Într-un tetraedru, trei triunghiuri echilaterale se întâlnesc la un vârf; în același timp, bazele lor formează un nou triunghi echilateral. Tetraedrul are cel mai mic număr de fețe dintre solidele platonice și este analogul tridimensional al unui triunghi regulat plat, care are cel mai mic număr de laturi dintre poligoane regulate.

Cub sau hexaedru regulat - aceasta este o prismă patruunghiulară regulată cu margini egale, limitată de șase pătrate (Figura 1-b). Un cub se face prin conectarea a trei pătrate într-un punct și apoi adăugarea altor trei.

Octaedru - acesta este un octaedru; un corp delimitat de opt triunghiuri; un octaedru regulat este delimitat de opt triunghiuri echilaterale; unul dintre cele cinci poliedre regulate (Fig. 1-c). Într-un octaedru, patru triunghiuri se întâlnesc la un vârf; rezultatul este o piramidă cu bază pătraunghiulară.

Icosaedru - este un corp de douăzeci de edri, un corp delimitat de douăzeci de poligoane; icosaedrul regulat este mărginit de douăzeci de triunghiuri echilaterale ( Fig 1-d).

Dodecaedru - este un dodecaedru, un corp delimitat de douăsprezece poligoane; pentagon obișnuit ( Fig 1-d ). Se bazează pe utilizarea următorului poligon regulat − Pentagon.

Poza 1. Solide platonice: (a) octaedru („Foc”), (b) hexaedru sau cub („Pământ”),
(c) octaedru („Aer”), (d) icosaedru („Apă”), (e) dodecaedru („Minte universală”)

Următorul poligon regulat este hexagon. Cu toate acestea, dacă conectăm trei hexagoane la un moment dat, obținem o suprafață, adică este imposibil să construim o figură tridimensională din hexagoane. Orice alte poligoane regulate deasupra unui hexagon nu pot forma deloc solide. Din aceste considerații rezultă că există doar cinci poliedre regulate, ale căror fețe pot fi doar triunghiuri echilaterale, pătrate și pentagoane.

Cubul și octaedrul sunt duali, adică. se obțin unul de la celălalt dacă centrele de greutate ale fețelor uneia sunt luate ca vârfuri ale celeilalte și invers. Dodecaedrul și icosaedrul sunt în mod similar dual. Tetraedrul este dual cu el însuși. Un dodecaedru obișnuit este obținut dintr-un cub prin construirea „acoperișurilor” pe fețele sale (metoda euclidiană), vârfurile tetraedrului sunt oricare patru vârfuri ale cubului care nu sunt adiacente perechi de-a lungul unei muchii. Așa se obțin toate celelalte poliedre regulate din cub. Însuși faptul că există doar cinci poliedre cu adevărat regulate este surprinzător - la urma urmei, există o infinitate de poligoane regulate în plan!

Dezvoltarea poliedrelor regulate:

3. Dovada existenței a cinci poliedre regulate.

Știm că există doar cinci poliedre regulate. Acum să încercăm să dovedim.

Să presupunem că un poliedru regulat are G fețele, fiecare dintre ele un n-gon regulat, converg la fiecare vârf k muchii, total în poliedru ÎN culmi si R margini, și n 3, deoarece cel puțin trei laturi converg la fiecare vârf și k3, deoarece cel puțin trei laturi converg la fiecare vârf .

Numărând muchiile de-a lungul fețelor, obținem: n Г = 2Р.

Fiecare margine aparține a două fețe, ceea ce înseamnă că în produs

n G numărul P se dublează.

Numărând muchiile după vârfuri, obținem: kB = 2P, deoarece fiecare muchie se sprijină pe 2 vârfuri. Atunci egalitatea lui Euler dă:

sau
. (*)

După condiție
, Apoi
, adică n și k nu pot fi mai mult de trei. De exemplu, dacă ar fi n = 4 și k = 4, atunci
Apoi
Și
Prin estimare, puteți verifica dacă alte valori ale lui n și k, mai mari decât 3, nu satisfac egalitatea (*). Aceasta înseamnă fie k = 3, fie n = 3.

Lăsa n = 3 , atunci egalitatea (*) va lua forma:

Deoarece
poate lua valori , ,

acestea. k = 3, 4, 5.

Dacă k = 3, n = 3, atunci P = 6, Г =
B =
este un tetraedru (vezi Tabelul 1).

Dacă k = 4, n = 3, atunci P = 12, G =
, B =
- acesta este un octaedru.

Dacă k = 5, n = 3, atunci P = 30, G =
B =
- acesta este un icosaedru.

Fie acum k = 3, atunci egalitatea (*) va lua forma:

, sau

Rezultă că n poate lua valori 3, 4, 5.

A fost analizat cazul n = 3.

Raman doua cazuri:

n = 4 pentru k = 3, atunci , i.e. P = 12, G = , V = - acesta este un cub.

n = 5 la k = 3, atunci
, P = 30, G = 12, V = 30 - acesta este un dodecaedru.

Deci am demonstrat că există cinci și doar cinci poliedre convexe regulate. Dovada că nu mai poate exista este cuprinsă în Elementele lui Euclid, iar Theaetetus este considerat autorul acestei dovezi. Se știe că timp de câțiva ani Theaetetus a fost membru al Academiei și a fost apropiat de Platon, iar această apropiere poate explica faptul că Platon s-a dovedit a fi familiarizat cu ultimele descoperiri din domeniul stereometriei la acea vreme.

poligoane regulate și corect poliedre asociat cu frumusețea și perfecțiunea formei... Aceasta este ultima formă de stea corect dodecaedru. Corect poliedru, compus din 12 echilaterale...

Lucrări de curs >> Matematică

Odihnă corect poliedre. Însuși faptul că există doar cinci este cu adevărat corect poliedre uimitor - la urma urmei corect poligoane...

Rezumat >> Geologie

Considerat de știința vremii. Într-o mare măsură corect poliedre au fost studiate de grecii antici. Câteva... cinci corect poliedreși prima dovadă cunoscută că sunt exact cinci dintre ele. Corect poliedre caracteristică...

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL FEDERATIEI RUSE

MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI ŞTIINŢEI AL REGIUNII MOSCOVA

INSTITUTUL REGIONAL DE UMANITATE DE STAT MOSCOVA

DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ ŞI METODE DE PREDARE A MATEMATICĂ

ABSTRACT

POLHEDI REGULAȚI ȘI SEMI-REGULAȚI

INTERPRETURI: .

ELEVI ANUL III, GRUPA I

FACULTATEA DE FIZICĂ ȘI MATEMATICĂ

PANKOVA ANASTASIA OLEGOVNA

ANTONOVA ELENA NIKOLAEVNA

OREKHOVO-ZUEVO

Poliedre regulate

sfidător de mic, dar acesta este foarte

o echipă modestă

a reușit să pătrundă chiar în adâncuri

diverse stiinte.

L. Carroll.

1. Introducere.

2. Poliedre regulate.

Toate poliedrele regulate sunt numite Solidele platonice, deoarece au ocupat un loc important în conceptul filozofic al lui Platon despre structura universului.

Platon (427-347 î.Hr.)

Grecii antici considerau relațiile armonioase ca fiind baza universului, așa că cele patru elemente ale lor erau legate prin următoarea proporție: pământ/apă = aer/foc.

Octaedru - acesta este un octaedru; un corp delimitat de opt triunghiuri; un octaedru regulat este mărginit de opt triunghiuri echilaterale; unul dintre cele cinci poliedre regulate (Fig. 1-c). Într-un octaedru, patru triunghiuri se întâlnesc la un vârf; rezultatul este o piramidă cu bază pătraunghiulară.

Icosaedru - este un corp de douăzeci de edri, un corp delimitat de douăzeci de poligoane; icosaedrul regulat este mărginit de douăzeci de triunghiuri echilaterale ( Fig 1-d).

Dodecaedru - este un dodecaedru, un corp delimitat de douăsprezece poligoane; pentagon obișnuit ( Fig 1-d ). Se bazează pe utilizarea următorului poligon regulat − Pentagon .

Poza 1. Solide platonice: (a) octaedru („Foc”), (b) hexaedru sau cub („Pământ”),
(c) octaedru („Aer”), (d) icosaedru („Apă”), (e) dodecaedru („Minte universală”)

Cubul și octaedrul sunt duali, adică. se obțin unul de la celălalt dacă centrele de greutate ale fețelor uneia sunt luate ca vârfuri ale celeilalte și invers. Dodecaedrul și icosaedrul sunt în mod similar dual. Tetraedrul este dual cu sine. Un dodecaedru obișnuit este obținut dintr-un cub prin construirea „acoperișurilor” pe fețele sale (metoda euclidiană), vârfurile tetraedrului sunt oricare patru vârfuri ale cubului care nu sunt adiacente perechi de-a lungul unei muchii. Așa se obțin toate celelalte poliedre regulate din cub. Însuși faptul că există doar cinci poliedre cu adevărat regulate este surprinzător - la urma urmei, există o infinitate de poligoane regulate în plan!

Dezvoltarea poliedrelor regulate:

3. Dovada existenței a cinci poliedre regulate.

Știm că există doar cinci poliedre regulate. Acum să încercăm să dovedim.

Să presupunem că un poliedru regulat are G fețele, fiecare dintre ele un n-gon regulat, converg la fiecare vârf k muchii, total în poliedru ÎN culmi si R muchii, cu n3, deoarece cel puțin trei laturi converg la fiecare vârf și k3, deoarece cel puțin trei muchii converg la fiecare vârf .

Numărând muchiile de-a lungul fețelor, obținem: n Г = 2Р.

Fiecare margine aparține a două fețe, ceea ce înseamnă că în produs

nG numărul P este dublat.

Numărând muchiile după vârfuri, obținem: kB = 2P, deoarece fiecare muchie se sprijină pe 2 vârfuri. Atunci egalitatea lui Euler dă:

sau . (*)

Prin condiție, deci, adică. n și k nu pot fi mai mult de trei. De exemplu, dacă au existat n = 4 și k = 4, atunci folosind Estimare se poate verifica că alte valori ale lui n și k, mai mari decât 3, nu satisfac egalitatea (*). Aceasta înseamnă fie k = 3, fie n = 3.

Lăsa n = 3 , atunci egalitatea (*) va lua forma:

Deoarece poate lua valorile, ,

acestea. k = 3, 4, 5.

Dacă k = 3, n = 3, atunci P = 6, Г = В = este un tetraedru (vezi Tabelul 1).

Dacă k = 4, n = 3, atunci P = 12, G = , B = este un octaedru.

Dacă k = 5, n = 3, atunci P = 30, G = B = este un icosaedru.

Fie acum k = 3, atunci egalitatea (*) va lua forma:

Rezultă că n poate lua valori 3, 4, 5.

A fost analizat cazul n = 3.

Raman doua cazuri:

n = 4 pentru k = 3, atunci , i.e. P = 12, G = , V = - acesta este un cub.

n = 5 cu k = 3, atunci , P = 30, G = 12, B = 30 este un dodecaedru.

Principalele caracteristici numerice Solidele platonice este numărul de laturi ale feței m, numărul de fețe n, convergând la fiecare vârf, număr de fețe G, numărul de vârfuri ÎN, numărul de coaste Rși numărul de unghiuri plate U pe suprafața poliedrului (Tabelul 1).

Tabelul 1. Caracteristicile numerice ale solidelor platonice.

Privind la masă 1, să punem întrebarea: „există un model în creșterea numărului în fiecare coloană de fețe, vârfuri și muchii?” Aparent nu. În coloana „margini”, totul a mers bine la început (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), apoi modelul dorit „a eșuat” (8 + 2). Nu există nici măcar o creștere stabilă în coloana „tops”. Numărul de vârfuri fie crește (de la 4 la 8, de la 6 la 20), fie uneori scade (de la 8 la 6, de la 20 la 12). În coloana „margini”, nici un model nu este vizibil.

Am comparat numerele din aceeași coloană. Dar puteți lua în considerare suma numerelor din două coloane, cel puțin în coloanele „margini” și „vârfuri” (G + V). Să comparăm noul tabel al calculelor noastre (vezi Tabelul 2).

masa 2

Acum modelul este vizibil.

Să o formulăm astfel: „Suma numărului de fețe și vârfuri este egală cu numărul de muchii crescut cu 2”: G + V = P + 2 .

formula lui Euler

Așadar, am obținut o formulă care a fost deja notată de Descartes în 1640, iar mai târziu redescoperită de Euler (1752), al cărui nume îl poartă de atunci. formula lui Euler adevărat pentru orice poliedre convexe.

Elemente de simetrie:

Tetraedru nu are centru de simetrie, dar are 3 axe de simetrie și 6 plane de simetrie.

Raza sferei descrise:

Raza sferei înscrise:

Suprafață:

Volumul tetraedrului:

cub are un centru de simetrie - centrul cubului, 9 axe de simetrie și 9 planuri de simetrie.

Raza sferei descrise:

Raza sferei înscrise:

Suprafața cubului:

Volumul cubului:

Octaedru are un centru de simetrie - centrul octaedrului, 9 axe de simetrie și 9 plane de simetrie.

Raza sferei descrise:

Raza sferei înscrise:

Suprafață:

Volumul octaedrului:

Icosaedru are un centru de simetrie - centrul icosaedrului, 15 axe de simetrie și 15 planuri de simetrie.

Raza sferei descrise:

Raza sferei înscrise:

Suprafață:

Volumul icosaedrului:

Dodecaedru are un centru de simetrie - centrul dodecaedrului, 15 axe de simetrie și 15 planuri de simetrie.

Raza sferei descrise:

Raza sferei înscrise:

Suprafață:

Volumul dodecaedrului:

5. Teoria lui Kepler.

În Europa în secolele XYI – XYII. Remarcabilul astronom, matematician și marele vizionar german Johannes Kepler (1571-1630) a trăit și a lucrat.

Kepler a acționat într-adevăr în știință ca astronom, matematician și vizionar. Dacă nu ar fi avut măcar una dintre aceste calități, nu ar fi putut atinge asemenea înălțimi în știință.

Pe baza unei generalizări a datelor obținute în urma observațiilor, el a stabilit trei legi ale mișcării planetare în raport cu Soarele.

Prima lege: Fiecare planetă se mișcă într-o elipsă, cu Soarele la un focar.

A doua lege: fiecare planetă se mișcă într-un plan care trece prin centrul Soarelui, iar aria sectorului orbital, descrisă de vectorul rază, se modifică proporțional cu timpul.

A treia lege: Pătratele timpului orbital al planetei în jurul Soarelui sunt legate de cuburile distanțelor lor medii față de Soare.

Dar acestea au fost doar ipoteze până când au fost explicate și clarificate pe baza legii gravitației universale de către Isaac Newton (1643-1727), care a creat teoria mișcării corpurilor cerești, care și-a dovedit viabilitatea prin faptul că cu ajuta oamenii au învățat să prezică multe fenomene cerești.

Dar să ne imaginăm în locul lui Kepler. În fața lui sunt diverse tabele — coloane de numere. Acestea sunt rezultatele observațiilor – atât ale sale, cât și ale marilor predecesori astronomi. În această mare de muncă computațională, o persoană vrea să găsească un model. Ce îl sprijină într-un plan atât de grandios? În primul rând, credința în armonie, încrederea că universul este structurat în mod natural, ceea ce înseamnă că legile structurii sale pot fi descoperite. Și în al doilea rând, imaginația combinată cu răbdarea și onestitatea. De fapt, trebuie să pleci de la ceva! Mai întâi trebuie să vii cu legile pe care le cauți în propriul tău cap și apoi să le verifici cu observații.

La început, Kepler a fost sedus de ideea că existau doar cinci poliedre regulate și doar șase (cum părea atunci) planete ale sistemului solar: Mercur, Venus, Pământ, Marte, Jupiter, Saturn. Se părea că armonia lumii și dragostea de repetiție a naturii au făcut din poliedre regulate verigile de legătură dintre cele șase corpuri cerești. Kepler a sugerat că sferele planetelor sunt interconectate de solidele platonice înscrise în ele. Întrucât pentru fiecare poliedru regulat centrele sferelor înscrise și circumscrise coincid, întregul model va avea un singur centru în care se află Soarele.

Kepler a efectuat o muncă de calcul enormă pentru a-și confirma presupunerile. În 1596, a publicat o carte în care erau conturate. Conform acestor ipoteze, un cub poate fi înscris în sfera orbitei lui Saturn, în care se încadrează sfera orbitei lui Jupiter. Tetraedrul descris în apropierea sferei orbitei lui Marte se încadrează în el, la rândul său. Dodecaedrul se încadrează în sfera orbitei lui Marte, în care se încadrează sfera orbitei Pământului. Și este descris lângă icosaedrul, în care este înscrisă sfera orbitei lui Venus. Sfera acestei planete este descrisă în jurul octaedrului, în care se încadrează sfera lui Mercur. Acest model al sistemului solar a fost numit „Cupa cosmică” a lui Kepler.

6. Problema testării teoriei cosmice a solidelor platonice.

Puteți verifica singur teoria cosmică a solidelor platonice. Să luăm în considerare problema:

„Razele orbitale medii ale lui Saturn și Jupiter sunt, respectiv, Rс = 1,427·10 9 km și Rу = 0,788 · 10 9 km. Găsiți raportul dintre razele orbitelor planetelor indicate și comparați raportul găsit cu raportul dintre razele sferei descrise în jurul cubului și sfera înscrisă în el."

Conform ipotezei lui Kepler, aceste rapoarte ar trebui să fie egale. Deci, din observații avem:

Conform ipotezei, un cub este înscris în sfera orbitei lui Saturn, să fie marginea lui egală cu a. Atunci raza cercului înscris este egală cu jumătate din diagonala cubului înscris, adică. dar chiar şi atunci. În acest cub este înscrisă o sferă (orbita lui Jupiter). Să notăm raza lui cu r. Este egal cu jumătate din marginea cubului, adică. . Apoi .

După cum vedem, discrepanța dintre raportul teoretic R:r și Rс:Rу nu este atât de mare, mai mică de 0,1. Dar la scară cosmică pare să fie acceptabil. Aceste „aproape coincidențe” l-au forțat pe Kepler să țină mult timp de teoria solidelor platonice, deoarece era ușor să bănuiești o eroare în observații.

An de an, și-a rafinat observațiile, a verificat de două ori datele colegilor săi, dar a găsit în sfârșit puterea de a abandona ipoteza tentantă. Cu toate acestea, urmele sale sunt vizibile în a treia lege a lui Kepler, care vorbește despre cuburile distanțelor medii față de Soare.

Cum ar putea apărea în mintea unei persoane dacă nu vorbește despre volumul corpurilor spațiale? La urma urmei, volumul, după cum știm, este exprimat în cuburi de dimensiunile liniare ale corpurilor. Dar aceasta este și o ipoteză, o ipoteză despre cum au fost găsite legile lui Kepler. Nu avem ocazia să-l testăm, dar știm un lucru sigur: fără ipoteze, uneori cele mai neașteptate, aparent nebunești, știința nu poate exista.

Poliedre semiregulate

Se cunosc mult mai multe corpuri perfecte, numite poliedre semiregulate sau Corpurile arhimedeene. De asemenea, au toate unghiurile poliedrice egale și toate fețele sunt poligoane regulate, dar de mai multe tipuri diferite. Există 13 poliedre semiregulate, a căror descoperire este atribuită lui Arhimede.

Arhimede (287 î.Hr. – 212 î.Hr.)

Multe solide arhimediene pot fi împărțite în mai multe grupuri. Prima dintre ele este formată din cinci poliedre, care sunt obținute din solidele platonice ca urmare a trunchierii lor. Un corp trunchiat este un corp cu vârful tăiat. Pentru solidele platonice, trunchierea se poate face în așa fel încât atât fețele noi rezultate, cât și părțile rămase ale celor vechi să fie poligoane regulate. În acest fel se pot obține cinci solide arhimediene: tetraedru trunchiat, hexaedru trunchiat (cub), octaedru trunchiat, dodecaedru trunchiat și icosaedru trunchiat (Fig. 2).


(A)	(b)	(V)


(G)	(d)

Figura 2. Solide arhimediene: (a) tetraedru trunchiat, (b) cub trunchiat, (c) octaedru trunchiat, (d) dodecaedru trunchiat, (e) icosaedru trunchiat

În prelegerea sa Nobel, omul de știință american Smalley, unul dintre autorii descoperirii experimentale a fulerenelor, vorbește despre Arhimede (287-212 î.Hr.) ca fiind primul cercetător al poliedrelor trunchiate, în special, icosaedru trunchiat, cu toate acestea, cu avertismentul că, probabil, Arhimede își asumă meritul pentru acest lucru și, poate, icosaedrele au fost trunchiate cu mult înaintea lui. Este suficient să menționăm cele găsite în Scoția și datate în jurul anului 2000 î.Hr. sute de obiecte de piatră (aparent în scop ritualic) în formă de sfere și diverse poliedre (corpuri delimitate pe toate părțile de fețe plate), inclusiv icosaedre și dodecaedre. Lucrarea originală a lui Arhimede, din păcate, nu a supraviețuit, iar rezultatele ei au ajuns la noi, după cum se spune, „la mâna a doua”. În timpul Renașterii totul Solide arhimediene unul după altul au fost „descoperiți” din nou. La urma urmei, Kepler în 1619, în cartea sa Harmonice Mundi, a oferit o descriere cuprinzătoare a întregului set de solide arhimediene - poliedre, fiecare față a cărora este un poligon regulat și toate vârfurile sunt în poziții echivalente (ca atomii de carbon dintr-o moleculă). C 60). Solidele arhimediene constau din cel puțin două tipuri diferite de poligoane, spre deosebire de 5 Solidele platonice, ale căror fețe sunt identice (ca în molecula C 20, de exemplu).

Figura 3. Construcția icosaedrului trunchiat arhimedian
din icosaedrul platonic

Deci, cum să proiectați Arhimede icosaedru trunchiat din Icosaedrul platonic? Răspunsul este ilustrat folosind fig. 3. Într-adevăr, după cum se poate observa din Tabel. 1, 5 fețe converg la oricare dintre cele 12 vârfuri ale icosaedrului. Dacă la fiecare vârf sunt tăiate 12 părți ale icosaedrului cu un plan, atunci se formează 12 fețe pentagonale noi. Împreună cu cele 20 de fețe existente, care după o astfel de tăiere s-au transformat din triunghiular în hexagonal, vor alcătui 32 de fețe ale icosaedrului trunchiat. În acest caz, vor exista 90 de muchii și 60 de vârfuri.

Dodecaedrul și icosaedrul său dual ocupă un loc special printre Solidele platonice. În primul rând, trebuie subliniat faptul că geometria dodecaedruȘi icosaedru direct legat de raportul de aur. Într-adevăr, margini dodecaedru(Fig.1-d) sunt pentagoane, adică pentagoane regulate bazate pe raportul de aur. Daca te uiti atent la icosaedru(Fig. 1-d), atunci puteți vedea că la fiecare dintre vârfurile sale converg cinci triunghiuri, ale căror laturi exterioare formează pentagon. Numai aceste fapte sunt suficiente pentru a ne convinge că raportul de aur joacă un rol semnificativ în proiectarea acestor două Solidele platonice .

Dar există dovezi matematice mai profunde pentru rolul fundamental jucat de raportul de aur în icosaedruȘi dodecaedru. Se știe că aceste corpuri au trei sfere specifice. Prima sferă (interioară) este înscrisă în corp și îi atinge fețele. Să notăm raza acestei sfere interioare cu R i. A doua sferă sau mijlocie își atinge coastele. Să notăm raza acestei sfere prin Rm.În cele din urmă, a treia sferă (exterioară) este descrisă în jurul corpului și trece prin vârfurile sale. Să notăm raza acestuia cu Rc. În geometrie s-a dovedit că valorile razelor sferelor indicate pentru dodecaedruȘi icosaedru, având o muchie de unitate de lungime, se exprimă prin proporția de aur t (Tabelul 3).

Rc	Rm	R i
Icosaedru
Dodecaedru

Tabelul 3. Raportul de aur în sferele dodecaedrului și icosaedrului

Rețineți că raportul razelor = este același ca pentru icosaedru, si pentru dodecaedru. Astfel, dacă dodecaedruȘi icosaedru au sfere înscrise identice, atunci sferele lor circumscrise sunt de asemenea egale între ele. Dovada acestui rezultat matematic este dată în Începuturile Euclid.

În geometrie, alte relații sunt cunoscute pentru dodecaedruȘi icosaedru, confirmând legătura lor cu raportul de aur. De exemplu, dacă luăm icosaedruȘi dodecaedru cu lungimea muchiei egală cu unu și calculați aria și volumul lor extern, apoi sunt exprimate prin proporția de aur (Tabelul 4).

Tabelul 4. Proporția de aur în suprafață și volum extern

dodecaedru și icosaedru.

Astfel, există un număr imens de relații obținute de matematicienii antici, confirmând faptul remarcabil că exact Raportul de aur este proporția principală a dodecaedrului și icosaedrului, iar acest fapt este deosebit de interesant din punctul de vedere al așa-zisului „doctrina dodecaedrală-icosaedrică” pe care ne vom uita mai jos.

9. Ce este un calendar?

Un proverb rus spune: „Timpul este ochiul istoriei”. Tot ceea ce există în Univers: Soarele, Pământul, stelele, planetele, lumi cunoscute și necunoscute și tot ceea ce există în natura lucrurilor vii și nevii, totul are o dimensiune spațiu-timp. Timpul se măsoară prin observarea periodică a proceselor de o anumită durată.

Astronomia bazează măsurarea timpului pe mișcarea corpurilor cerești, care reflectă trei factori: rotația Pământului în jurul axei sale, revoluția Lunii în jurul Pământului și mișcarea Pământului în jurul Soarelui. Diferitele concepte de timp depind de pe care dintre aceste fenomene se bazează măsurarea timpului. Astronomia cunoaște timpul sideral, ora solară, ora locală, ora standard, ora maternității, ora atomică etc.

Soarele, ca toate celelalte corpuri de iluminat, participă la mișcarea pe cer. Pe lângă mișcarea zilnică, Soarele are o așa-numită mișcare anuală, iar întregul drum al mișcării anuale a Soarelui pe cer se numește ecliptică. Dacă, de exemplu, observăm locația constelațiilor la o anumită oră de seară și apoi repetăm această observație în fiecare lună, atunci o imagine diferită a cerului va apărea în fața noastră. Aspectul cerului înstelat se schimbă continuu: fiecare anotimp are propriul său model de constelații de seară și fiecare astfel de model se repetă în fiecare an. În consecință, după un an, Soarele revine la locul inițial față de stele.

Pentru ușurința orientării în lumea înstelată, astronomii au împărțit întregul cer în 88 de constelații. Fiecare dintre ele are propriul nume. Dintre cele 88 de constelații, un loc aparte în astronomie îl ocupă cele prin care trece ecliptica. Aceste constelații, pe lângă propriile nume, au și un nume general - zodiacal (din cuvântul grecesc „zoop” - animal). Ele reprezintă simboluri (semne) și imagini alegorice cunoscute în întreaga lume, care sunt incluse în sistemele calendaristice.

Se știe că în procesul de deplasare de-a lungul eclipticii, Soarele traversează 13 constelații. Cu toate acestea, astronomii au considerat că este necesar să împartă calea Soarelui nu în 13, ci în 12 părți, combinând constelațiile Scorpion și Ophiuchus într-una singură - sub denumirea generală Scorpion (de ce?).

Problemele de măsurare a timpului sunt tratate de o știință specială numită cronologie. Ea stă la baza tuturor sistemelor calendaristice create de omenire. Crearea calendarelor în antichitate a fost una dintre cele mai importante sarcini ale astronomiei.

Ce este un „calendar” și ce sisteme de calendar există? Cuvântul calendar provine din cuvântul latin calendarium, care înseamnă literal „cartea datoriilor”; în astfel de cărți erau indicate primele zile ale fiecărei luni - calendele, pe care în Roma antică debitorii plăteau dobândă.

Din cele mai vechi timpuri, în țările din Asia de Est și de Sud-Est, la alcătuirea calendarelor, s-a acordat o mare importanță periodicității mișcărilor Soarelui, Lunii, precum și Jupiter și Saturn, cele două planete gigantice ale sistemului solar. Există motive să credem că ideea creării unui calendar jovian cu simbolism ceresc al ciclului animal de 12 ani este asociată cu rotația lui Jupiter în jurul Soarelui, care face o revoluție completă în jurul Soarelui în aproximativ 12 ani. (11.862 ani). Pe de altă parte, a doua planetă gigantică a sistemului solar, Saturn, face o revoluție completă în jurul Soarelui în aproximativ 30 de ani (29.458 de ani). Dorind să armonizeze ciclurile de mișcare ale planetelor gigantice, vechii chinezi au venit cu ideea de a introduce un ciclu de 60 de ani al sistemului solar. În timpul acestui ciclu, Saturn face 2 rotații complete în jurul Soarelui, iar Jupiter face 5 rotații.

La crearea calendarelor anuale se folosesc fenomene astronomice: schimbarea zilei și a nopții, schimbarea fazelor lunare și schimbarea anotimpurilor. Utilizarea diferitelor fenomene astronomice a dus la crearea a trei tipuri de calendare în rândul diferitelor popoare: lunar, bazat pe mișcarea Lunii, solar, bazat pe mișcarea Soarelui și lunisolar.

10. Structura calendarului egiptean

Unul dintre primele calendare solare a fost cel egiptean, creat în mileniul IV î.Hr. Anul calendaristic egiptean inițial a constat din 360 de zile. Anul a fost împărțit în 12 luni a câte exact 30 de zile fiecare. Cu toate acestea, ulterior s-a descoperit că această lungime a anului calendaristic nu corespunde cu cea astronomică. Și apoi egiptenii au adăugat o „coadă” de 5 zile anului calendaristic, care, totuși, nu făceau parte din luni. Acestea au fost 5 sărbători care leagă ani calendaristici vecini. Astfel, anul calendaristic egiptean a avut următoarea structură numerică: 365 = 12ґ 30 + 5. Rețineți că calendarul egiptean este prototipul calendarului modern.

Apare întrebarea: de ce au împărțit egiptenii anul calendaristic în 12 luni? La urma urmei, existau calendare cu un număr diferit de luni în an. De exemplu, în calendarul mayaș, anul consta din 18 luni cu 20 de zile pe lună. Următoarea întrebare referitoare la calendarul egiptean: de ce fiecare lună avea exact 30 de zile (mai precis, zile)? Unele întrebări pot fi, de asemenea, ridicate cu privire la sistemul egiptean de măsurare a timpului, în special în ceea ce privește alegerea unor astfel de unități de timp precum oră, minut, secundă. În special, se pune întrebarea: de ce a fost aleasă unitatea de oră în așa fel încât să se potrivească exact de 24 de ori într-o zi, adică de ce 1 zi = 24 (2½ 12) ore? Următorul: de ce 1 oră = 60 de minute și 1 minut = 60 de secunde? Aceleași întrebări se aplică și pentru alegerea unităților de mărime unghiulară, în special: de ce se împarte cercul în 360°, adică de ce 2p =360° =12ґ 30°? La aceste întrebări se adaugă altele, în special: de ce astronomii au considerat oportun să creadă că există 12 semne zodiacale, deși, de fapt, în procesul deplasării sale de-a lungul eclipticii, Soarele traversează 13 constelații? Și încă o întrebare „ciudată”: de ce sistemul numeric babilonian avea o bază foarte neobișnuită - numărul 60?

11. Legătura calendarului egiptean cu caracteristicile numerice ale dodecaedrului.

Analizând calendarul egiptean, precum și sistemele egiptene de măsurare a timpului și a valorilor unghiulare, constatăm că patru numere se repetă cu o constanță uimitoare: 12, 30, 60 și numărul derivat din ele 360 = 12ґ 30. Se pune întrebarea: este Există atunci o idee științifică fundamentală care ar putea oferi o explicație simplă și logică pentru utilizarea acestor numere în sistemele egiptene?

Pentru a răspunde la această întrebare, să ne întoarcem din nou la dodecaedrul prezentat în Fig. 3.1-d. Să ne amintim că toate rapoartele geometrice ale dodecaedrului se bazează pe raportul de aur.

Oare egiptenii cunoșteau dodecaedrul? Istoricii matematicii admit că egiptenii antici aveau informații despre poliedre regulate. Dar știau ei toate cele cinci poliedre regulate, în special dodecaedrul și icosaedrul, ca fiind cele mai complexe dintre ele? Matematicianul grec antic Proclu îi atribuie lui Pitagora construcția poliedrelor regulate. Dar Pitagora a împrumutat multe teoreme și rezultate matematice (în special, Teorema lui Pitagora) de la egiptenii antici în timpul „călătoriei de afaceri” sale foarte lungi în Egipt (conform unor informații, Pitagora a trăit în Egipt timp de 22 de ani!). Prin urmare, putem presupune că Pitagora poate să fi împrumutat cunoștințe despre poliedrele obișnuite de la vechii egipteni (și poate de la vechii babilonieni, deoarece, potrivit legendei, Pitagora a trăit în Babilonul antic timp de 12 ani). Dar există alte dovezi, mai convingătoare, că egiptenii aveau informații despre toate cele cinci poliedre regulate. În special, British Museum adăpostește o matriță din epoca ptolemaică, care are forma unui icosaedru, adică „solidul platonic”, dual cu dodecaedrul. Toate aceste fapte ne dau dreptul de a avansa ipoteza că dodecaedrul era cunoscut egiptenilor. Și dacă este așa, atunci din această ipoteză decurge un sistem foarte armonios, care ne permite să explicăm originea calendarului egiptean și, în același timp, originea sistemului egiptean de măsurare a intervalelor de timp și a unghiurilor geometrice.

12. Armonia ciclurilor Sistemului Solar.

Anterior, am stabilit că dodecaedrul are 12 fețe (pentagoane), 30 de muchii și 60 de unghiuri plate pe suprafața sa (Tabelul 3.1). Dacă pornim de la ipoteza că egiptenii cunoșteau dodecaedrul și caracteristicile sale numerice 5, 12, 30. 60, atunci imaginați-vă surprinderea lor când au descoperit că aceleași numere exprimau ciclurile sistemului solar și anume ciclul de 12 ani. al lui Jupiter, ciclul de 30 de ani al lui Saturn și, în sfârșit, ciclul de 60 de ani al sistemului solar. În același timp, ciclul principal al sistemului solar și ciclul lui Jupiter sunt conectate prin următorul raport numeric: 60 = 12ґ 5 (care, apropo, coincide cu structura numerică a ierarhiei de scară a Universului!) . Astfel, există o legătură matematică profundă între o figură spațială perfectă precum dodecaedrul și Sistemul Solar! Această concluzie a fost făcută de oamenii de știință antici. Acest lucru a condus la faptul că dodecaedrul a fost adoptat ca „figura principală”, care a simbolizat Armonia Universului. Și atunci egiptenii au decis ca toate sistemele lor principale (sistemul calendaristic, sistemul de măsurare a timpului, sistemul de măsurare a unghiurilor) să corespundă parametrilor numerici ai dodecaedrului! Deoarece, potrivit anticilor, mișcarea Soarelui de-a lungul eclipticii era strict circulară, atunci, prin alegerea a 12 semne ale zodiacului, distanța arcului dintre care era exact de 30°, egiptenii au coordonat surprinzător de frumos mișcarea anuală a Soarelui. de-a lungul eclipticii cu structura anului lor calendaristic: o lună corespundea mișcării Soarelui de-a lungul eclipticii între două semne zodiacale vecine! Mai mult, mișcarea Soarelui cu un grad corespundea unei zile din anul calendaristic egiptean! În acest caz, ecliptica a fost împărțită automat în 360°. După ce au împărțit fiecare zi în două părți, urmând dodecaedrul, egiptenii au împărțit apoi fiecare jumătate a zilei în 12 părți (12 fețe ale dodecaedrului) și astfel au introdus ora - cea mai importantă unitate de timp. Împărțind o oră în 60 de minute (60 de unghiuri plane pe suprafața dodecaedrului), egiptenii au introdus astfel minutul, următoarea unitate importantă de timp. În același mod, au introdus a doua, cea mai mică unitate de timp la acel moment.

Astfel, alegând dodecaedrul ca principală figură „armonică” a universului, și respectând cu strictețe caracteristicile numerice ale dodecaedrului 12, 30, 60, egiptenii au reușit să construiască un calendar extrem de armonios, precum și sisteme de măsurare a timpului și valori unghiulare care există până astăzi! Aceste sisteme erau complet în concordanță cu „Teoria armoniei” lor, care, potrivit unor informații, exista printre vechii egipteni. Această teorie s-a bazat pe raportul de aur și a apărut cu mult înainte de apariția științei și matematicii grecești.

Acestea sunt concluziile uimitoare care decurg din compararea dodecaedrului cu Sistemul Solar. Și dacă ipoteza noastră este corectă (să încerce cineva să o infirme), atunci rezultă că de multe milenii omenirea trăiește sub semnul raportului de aur! Și de fiecare dată când ne uităm la cadranul ceasului nostru, care este construit și pe utilizarea caracteristicilor numerice ale dodecaedrului 5,12, 30 și 60, atingem principalul „Misterul Universului” - raportul de aur, fără chiar știind asta!

13. Despre calendarul mayaș și sistemul numeric.

Se știe că anul calendaristic din calendarul mayaș avea următoarea structură numerică: 1 an = 360 + 5 = 20ґ 18 + 5 zile, ceea ce înseamnă că anul mayaș a fost împărțit în 18 luni a câte 20 de zile fiecare. Numerele 20 și 360 au fost folosite de mayași ca numere „nod” ale sistemului lor de numere. Cu toate acestea, în structura sa, anul calendaristic Maya a fost similar cu structura anului calendaristic egiptean: 1 an = 360 + 5 = 12ґ 30 + 5 zile, în care numerele 12 și 30 erau numerele dodecaedrului. Dar care este numărul 20 din calendarul mayaș? Să ne întoarcem din nou la icosaedru și dodecaedru. Aceste figuri „sacre” au o altă caracteristică numerică „sacră” - numărul de vârfuri, care este același pentru dodecaedru și icosaedru și este egal cu numărul 20! Astfel, mayașii antici au folosit, fără îndoială, această caracteristică numerică a dodecaedrului și icosaedrului în calendarul lor (împărțirea anului în 20 de luni) și în sistemul lor numeric (alegând numerele 20 și 360 ca numere „nod” ale sistemului lor de numere).

Potrivit comentatorului ultimei ediții a lucrărilor lui Platon, pentru el „toată proporționalitatea cosmică se bazează pe principiul diviziunii de aur sau proporție armonică”. După cum am menționat, cosmologia lui Platon se bazează pe poliedre regulate numite solide platonice. Ideea armoniei „de la capăt la capăt” universului a fost asociată invariabil cu întruchiparea sa în aceste cinci poliedre regulate, care exprimau ideea perfecțiunii universale a lumii. Și faptul că principala figură „cosmică” - dodecaedrul, simbolizând corpul lumii și sufletul universal, s-a bazat pe raportul de aur, i-a dat acestuia din urmă o semnificație specială, semnificația proporției principale a universului.

Cosmologia lui Platon a devenit baza așa-numitei doctrine icosaedrico-dodecaedrice, care de atunci a trecut ca un fir roșu prin toată știința umană. Esența acestei doctrine este că dodecaedrul și icosaedrul sunt forme tipice ale naturii în toate manifestările sale, de la spațiu până la microcosmos.

Întrebarea formei Pământului a ocupat în mod constant mințile oamenilor de știință din antichitate. Și când s-a confirmat ipoteza despre forma sferică a Pământului, a apărut ideea că Pământul are formă de dodecaedru. Deci, Socrate a scris deja: „Pământul, dacă îl privești de sus, arată ca o minge cusuta din 12 bucăți de piele”.

Această ipoteză a lui Socrate a găsit o dezvoltare științifică ulterioară în lucrările fizicienilor, matematicienilor și geologilor. Astfel, geologul francez de Bimon și celebrul matematician Poincaré credeau că forma Pământului este un dodecaedru deformat.

De asemenea, geologul rus S. Kislitsin a împărtășit opinia despre forma dodecaedrică a Pământului. El a emis ipoteza că acum 400-500 de milioane de ani, geosfera dodecaedrică s-a transformat într-un geo-icosaedru. Cu toate acestea, o astfel de tranziție s-a dovedit a fi incompletă și incompletă, drept urmare geo-dodecaedrul s-a găsit înscris în structura icosaedrului.

Recent, inginerii moscoviți V. Makarov și V. Morozov au prezentat o altă ipoteză interesantă cu privire la forma Pământului. Ei cred că nucleul Pământului are forma și proprietățile unui cristal în creștere, care influențează dezvoltarea tuturor proceselor naturale care au loc pe planetă. Razele acestui cristal, sau mai degrabă, câmpul său de forță, determină structura icosaedric-dodecaedrică a Pământului, care se manifestă prin faptul că în scoarța terestră apar proiecții de poliedre regulate înscrise în glob: icosaedrul și dodecaedrul. Cele 62 de vârfuri și puncte medii ale muchiilor, numite noduri de către autori, au o serie de proprietăți specifice care fac posibilă explicarea unor fenomene de neînțeles.

În ultimii ani, a fost testată ipoteza despre forma icosaedric-dodecaedrică a Pământului. Pentru a face acest lucru, oamenii de știință au aliniat axa dodecaedrului cu axa globului și, rotind acest poliedru în jurul lui, au observat că marginile sale coincid cu perturbări uriașe din scoarța terestră (de exemplu, cu creasta subacvatică a Atlanticului mijlociu). Apoi luând icosaedrul ca poliedru, au stabilit că marginile acestuia coincid cu diviziuni mai mici ale scoarței terestre (cresturi, falii etc.). Aceste observații confirmă ipoteza că structura tectonă a scoarței terestre este apropiată de formele dodecaedrului și icosaedrului. de presiune atmosferică extremă, zonele de unde provin uraganele, sunt situate în ele; într-unul dintre nodurile icosaedrului (în Gabon), a fost descoperit un „reactor atomic natural” care încă funcționa acum 1,7 miliarde de ani. Multe noduri de poliedre sunt asociate cu zăcăminte minerale uriașe (de exemplu, câmpul petrolier Tyumen), anomalii ale lumii animale (Lacul Baikal), centre de dezvoltare a culturilor umane (Egiptul Antic, civilizația proto-indiană Mohenjo-Daro, mongolă de nord etc.). Toate aceste exemple confirmă percepția uimitoare a intuiției lui Socrate.

Chintesența ideilor geometrice despre toate lucrurile este lucrarea cercetătorului american D. Winter, care conduce grupul „Planetary Heartbeats”. El este un predicator al idealului de formă, „rația de aur” unitară, care, ca un „lanț de aur”, leagă gena și Universul. Luând conceptul de formă icosaedric-dodecaedrică a Pământului, Winter îl dezvoltă în continuare. El subliniază că unghiul descris de axa de rotație a Pământului în timpul precesiunii sale de peste 26.000 de ani este de 32°. Acesta este exact egal cu unghiul la care poate fi înclinat cubul pentru a-l roti apoi în jurul axei sale (cu cinci opriri) pentru a obține un dodecaedru. Potrivit lui Winter, cadrul energetic al Pământului este un dodecaedru inserat într-un icosaedru, care, la rândul său, este inserat într-un al doilea dodecaedru. Relația geometrică dintre aceste poliedre este raportul de aur.

Structura dodecaedrică, după Winter, este inerentă nu numai cadrului energetic al Pământului, ci și structurii materiei vii. Și poate cel mai important, structura ADN-ului codului genetic al vieții este o desfășurare în patru dimensiuni (de-a lungul axei timpului) a unui dodecaedru rotativ! Astfel, reiese că întregul Univers - de la Metagalaxie până la celula vie - este construit după un principiu - dodecaedrul și icosaedrul infinit înscrise unul în celălalt, situate în proporția raportului de aur!

Și iată o altă confirmare a fecundității doctrinei dodecaedrico-icosaedrice în astronomie, dată în articolul lui Valery Shikhirin „Perspective pentru dezvoltarea tehnologiilor torusului, mecanicii elastice și „miracolele” pe care le creează în natură”. Potrivit declarației lui Shikhirin, „toate stelele și planetele „lichide”, cum ar fi Soarele, Jupiter, Saturn etc., s-au format în zona/centrul de deformare ultra-rece al laminatorului de stele a galaxiei în poliedre regulate. , fiind înghețat. În timpul mișcării de translație a galaxiei-toroide elastice naturale prin inversare în zona caldă, aceste stele și planete s-au dezghețat, adică au devenit lichide, cel puțin la suprafață, și au umplut fețele poliedrului împreună cu marginile acestuia. Iapet este un satelit al lui Saturn, nu are atmosferă, nu s-a topit din cauza temperaturii insuficiente pentru dezghețarea lui (compoziția chimică). Adică, are o suprafață vitată dură - un punct chel, din care tot praful, dacă a existat, a fost pur și simplu aruncat în spațiul cosmic și Iapet a rămas „în care mama Galaxy a născut”, adică un obișnuit. poliedru - un dodecaedru. Mai mult, pe suprafața lui Iapet (Fig. 3, jos, mijloc) este clar vizibilă așa-numita „Linie Maginot”, un lanț muntos care înconjoară planeta exact de-a lungul ecuatorului, parcă ar fi împărțit-o în două părți egale. Aceasta nu este altceva decât o bavuri (bavuri, bavuri, tiv, golf, proeminență) - excesul de material stors în timpul rulării elicoidale transversale prin spațiul dintre flanșele rolei.”

Orez. 3. Luna lui Jupiter Iapetus are forma unui dodecaedru

15. Rolul icosaedrului în dezvoltarea matematicii.

Numele remarcabilului geometru Felix Klein este cunoscut pe scară largă în știință. Principalele lucrări ale lui Klein sunt dedicate geometriei non-euclidiene, teoriei grupurilor continue, teoriei ecuațiilor algebrice, teoriei funcțiilor eliptice și teoriei funcțiilor automorfe. Klein și-a conturat ideile în domeniul geometriei în lucrarea sa „Comparative Consideration of New Geometric Research” (1872), cunoscută sub numele de Programul Erlangen. Pe lângă Programul Erlangen și alte realizări matematice remarcabile, geniul lui Felix Klein s-a manifestat și prin faptul că acum 100 de ani era capabil să prezică rolul remarcabil al solidelor platonice, în special al icosaedrului, în dezvoltarea viitoare a știință, în special matematică. În 1884 (să ne amintim anul acesta), Felix Klein a publicat o altă carte, „Prelegeri despre icosaedrul și soluția ecuațiilor de gradul cinci”, dedicată teoriei geometrice a icosaedrului.

După cum se știe, icosaedrul (și odată cu el dodecaedrul dual cu acesta) ocupă un loc special în natura „vie”; Unii virusi si radiolari au forma icosaedrica, adica forma icosaedrica si simetria pentagonala sunt fundamentale in organizarea materiei vii.

Prima parte a cărții definește și explică locul icosaedrului în matematică. Potrivit lui F. Klein, țesătura matematicii se răspândește pe scară largă și liber în foi de teorii individuale. Dar există obiecte în care converg mai multe foi - puncte de ramificare deosebite. Geometria lor conectează foile și vă permite să surprindeți semnificația matematică generală a diferitelor teorii. Icosaedrul este tocmai un astfel de obiect matematic, potrivit lui Klein. Klein tratează icosaedrul ca pe un obiect matematic de la care diverg cinci teorii matematice: geometrie, teoria Galois, teoria grupurilor, teoria invariante și ecuații diferențiale.

Astfel, ideea principală a lui Klein este extrem de simplă: „fiecare obiect geometric unic este, într-un fel sau altul, asociat cu proprietățile icosaedrului”.

Care este semnificația ideilor remarcabilului matematician din punctul de vedere al teoriei armoniei? În primul rând, „solidul platonic” - icosaedrul bazat pe raportul de aur - a fost ales ca obiect care unește „foile principale” ale matematicii. De aici rezultă în mod firesc ideea că Secțiunea de Aur este ideea geometrică principală care, potrivit lui Klein, poate uni toată matematica.

Contemporanii lui Klein nu au reușit să înțeleagă și să aprecieze în mod corespunzător natura revoluționară a ideii „icosaedrice” a lui Klein. Semnificația sa a fost înțeleasă exact 100 de ani mai târziu, adică abia în 1984, când fizicianul israelian Dan Shechtman a publicat o notă care confirma existența unor aliaje speciale (numite cvasicristale) cu așa-numita simetrie „icosaedrică”, adică simetrie de ordinul 5. , care este strict interzis de cristalografia clasică.

Astfel, în secolul al XIX-lea, intuiția genială a lui Felix Klein l-a condus la ideea că una dintre cele mai vechi figuri geometrice - icosaedrul - este principala figură geometrică a matematicii. Astfel, Klein în secolul al XIX-lea. a dat o nouă viață dezvoltării „ideei dodecaedrico-icosaedrice” a structurii Universului, ai cărui adepți au fost mari oameni de știință și filozofi: Platon, care și-a construit cosmologia pe baza poliedrelor regulate, Euclid, care și-a dedicat „Principiile” la expunerea teoriei solidelor platonice, Johannes Kepler, care a folosit corpurile solide platonice atunci când și-a creat Cupa cosmică, un model geometric foarte original al sistemului solar.

16. Poliedre regulate sunt în jurul nostru.

Când discutăm despre structura lumii, nu se poate ignora natura vie. Se găsesc poliedre regulate în natură?

1. Poliedre regulate se găsesc și în natura vie. De exemplu, scheletul unui organism unicelular feodaria (Circogoniaicosahedra) are forma unui icosaedru. Cele mai multe feodaria trăiesc în adâncurile mării și servesc drept pradă pentru peștii de corali. Dar cel mai simplu animal încearcă să se protejeze: din cele 12 vârfuri ale scheletului ies 12 ace goale. Capetele acelor au ghimpe care fac acul și mai eficient în protecție.

Ce a cauzat această geometrizare naturală a feodaria? Aparent, dintre toate poliedrele cu același număr de fețe, este icosaedrul care are cel mai mare volum cu cea mai mică suprafață. Această proprietate ajută organismul marin să depășească presiunea coloanei de apă.

2. Este interesant că icosaedrul a devenit centrul atenției biologilor în disputele lor privind forma unor virusuri. Virusul nu poate fi perfect rotund, așa cum se credea anterior. Pentru a-i determina forma, au luat poliedre diferite și au direcționat lumina către ele în aceleași unghiuri ca fluxul de atomi la virus. S-a dovedit că un singur poliedru dă exact aceeași umbră - icosaedrul. Proprietățile sale geometrice permit salvarea informațiilor genetice. Poliedrele regulate sunt cele mai avantajoase figuri. Și natura folosește pe scară largă acest lucru. Cristalele unor substanțe cunoscute nouă au forma unor poliedre regulate. Astfel, un cub prezintă forma unor cristale de sare de masă NaCl, un singur cristal de alaun de aluminiu-potasiu are forma unui octaedru, un cristal de pirită de sulf FeS are forma unui dodecaedru, sulfatul de sodiu antimoniu are forma unui tetraedru, iar borul are forma unui icosaedru.

3. Poliedrele regulate sunt figurile cele mai avantajoase. Și natura folosește pe scară largă acest lucru. Acest lucru este confirmat de forma unor cristale. Luați cel puțin sare de masă , fără de care nu ne putem descurca. Se știe că este foarte solubil în apă și servește drept conductor de curent electric. Iar cristalele de sare de masă (NaCl) au forma unui cub.

4. În timpul producției aluminiu utilizați alaun de aluminiu-potasiu (K 12H 2 O), al cărui monocristal are forma unui octaedru regulat.

5. Producția de acid sulfuric, fier și tipuri speciale de ciment nu se poate face fără pirită sulfuroasă (FeS). Cristalele acestei substanțe chimice au formă de dodecaedru.

6. Sulfatul de antimoniu de sodiu (Na 5 (SbO 4 (SO 4))), o substanță sintetizată de oamenii de știință, este utilizat în diferite reacții chimice sulfat de sodiu de antimoniu are forma unui tetraedru.

7. Ultimul poliedru regulat - icosaedrul transmite forma cristalelor bor (B). La un moment dat, borul a fost folosit pentru a crea semiconductori de prima generație.

Datorită poliedrelor obișnuite, nu sunt dezvăluite numai proprietățile uimitoare ale formelor geometrice, ci și modalități de înțelegere a armoniei naturale.

Int e ipoteza științifică naturală, ai cărei autori (la începutul anilor 80) au fost inginerii moscoviți V. Makarov și V. Morozov. Ei cred că nucleul Pământului are forma și proprietățile unui cristal în creștere, care influențează dezvoltarea tuturor proceselor naturale care au loc pe planetă. Razele acestui cristal, sau mai degrabă, câmpul său de forță, determină structura icosaedric-dodecaedrică a Pământului, care se manifestă prin faptul că în scoarța terestră apar proiecții de poliedre regulate înscrise în glob: icosaedrul și dodecaedrul. Cele 62 de vârfuri și puncte medii ale muchiilor, numite noduri de către autori, au o serie de proprietăți specifice care fac posibilă explicarea unor fenomene de neînțeles.

Dacă trasați centrele celor mai mari și mai remarcabile culturi și civilizații ale lumii antice de pe glob, veți observa un model în locația lor în raport cu polii geografici și ecuatorul planetei. Multe zăcăminte minerale se extind de-a lungul rețelei icosaedru-dodecaedru. Lucruri și mai uimitoare se întâmplă la intersecția acestor margini: aici sunt centrele culturilor și civilizațiilor antice: Peru, Mongolia de Nord, Haiti, cultura Ob și altele. În aceste puncte, sunt maxime și minime de presiune atmosferică, vârtejuri gigantice ale Oceanului Mondial, aici lacul scoțian Loch Ness, Triunghiul Bermudelor. Studiile ulterioare ale Pământului pot determina atitudinea față de această frumoasă ipoteză științifică, în care, după cum se vede, poliedrele regulate ocupă un loc important.

Concluzie.

În timp ce lucram la rezumat, am studiat poliedre obișnuite, am examinat modelele acestora, am identificat și sistematizat proprietățile fiecăruia dintre poliedre. În plus, am aflat că poliedrele obișnuite au atras atenția oamenilor de știință, constructorilor, arhitecților și multor altora încă din cele mai vechi timpuri. Au fost uimiți de frumusețea, perfecțiunea și armonia acestor poliedre. Pitagoreii considerau aceste poliedre ca fiind divine și le foloseau în scrierile lor filozofice despre esența lumii. Omul de știință grec antic Platon a descris în detaliu proprietățile poliedrelor regulate. Ultima carte a XIII-a a celebrelor „Elemente” ale lui Euclid este dedicată poliedrelor regulate. Poliedre au fost folosite și mai târziu. Acest lucru poate fi văzut din lucrările științifice ale lui Johannes Kepler.

Stahov A.P. Dodecaedrul, secretul calendarului egiptean, cicluri ale Sistemului Solar și „Aritmetica Universului” // „Academia Trinitarianismului”, M., El No. 77-6567, pub. 13065, 03/10/2006

Agenția Federală pentru Educație
Instituție de învățământ de stat
studii profesionale superioare
„Academia de Stat Social și Umanitar Regiunea Volga”

Facultatea de Învățământ Primar

Eseu

Poliedru. Explorarea poliedrului

în școala primară.

Completat de: student

51 de grupuri de TNF

Petruchina O.V.

SAMARA 2009

Introducere…………………………………………………………………………………………….4

Concepte de bază………………………………………………………………….6

Informații istorice despre poliedre regulate……………..….9

Formula lui Euler…………………………………………………………………….13

Poliedre regulate din jurul nostru…………………………………………..14

Concluzie………………………………………………………………………….18

Referințe………………………………………………………………………………….20

Introducere

Tema „Poliedre” este una dintre principalele cursului tradițional de geometrie școlară. Ele constituie, s-ar putea spune, subiectul central al stereometriei. Studiul liniilor și planelor paralele și perpendiculare, al unghiurilor diedrice și altele, precum și introducerea vectorilor și coordonatelor, este doar începutul stereometriei, pregătind instrumente pentru studiul obiectelor sale mai semnificative - în principal corpuri și suprafețe.
Rolul central al poliedrelor este determinat în primul rând de faptul că multe rezultate referitoare la alte corpuri sunt obținute pe baza rezultatelor corespunzătoare pentru poliedre; Este suficient să amintim determinarea volumelor corpurilor și suprafețelor prin trecerea la limita de la poliedre.
În plus, poliedrele înseși reprezintă un subiect de studiu extrem de semnificativ, remarcându-se printre toate corpurile pentru multe proprietăți și teoreme și probleme specifice legate de acestea. Se poate aminti, de exemplu, teorema lui Euler asupra numărului de fețe, muchii și vârfuri, simetria poliedrelor regulate, problema umplerii spațiului cu poliedre etc.
Ar trebui acordată mai multă atenție poliedrelor în cursurile școlare și pentru că oferă un material deosebit de bogat pentru dezvoltarea conceptelor spațiale, pentru dezvoltarea acelei combinații de imaginație spațială vie cu logică strictă, care este esența geometriei. Chiar și cele mai simple fapte referitoare la poliedre necesită o astfel de conexiune, ceea ce se dovedește a fi o chestiune deloc ușoară. Chiar și un fapt atât de simplu precum intersecția diagonalelor unui paralelipiped la un moment dat necesită un efort de imaginație pentru a-l vedea clar și are nevoie de dovezi riguroase.
Mai mult, utilizarea poliedrelor încă de la începutul studiului stereometriei servește diverse scopuri didactice. Pe poliedre este convenabil să se demonstreze poziția relativă a dreptelor și planelor în spațiu, să se arate utilizarea semnelor de paralelism și perpendicularitatea dreptelor și a planurilor în spațiu. Ilustrarea primelor teoreme de stereometrie pe modele specifice crește interesul elevilor pentru subiect.
De asemenea, unul dintre obiectivele principale ale predării matematicii este dezvoltarea gândirii abstracte la elevi. Acest obiectiv este mult facilitat de utilizarea mijloacelor vizuale, nu numai la clasele inferioare, ci și la clasele superioare. Subiectul „Poliedre” oferă oportunități ample pentru realizarea acestui obiectiv, în special, producția independentă de ajutoare vizuale de către studenți. În procesul de realizare a modelelor de poliedre, pe lângă cunoștințele și abilitățile teoretice, elevii consolidează conceptele nou formate cu ajutorul desenelor și rezolvă efectiv probleme de construcție. Când realizați singuri modele, imaginea este creată în părți, astfel încât cu acestea se pot face diverse manipulări. În același timp, toate proprietățile și caracteristicile lor sunt ușor de recunoscut și fixate ferm în memoria studenților.

Noțiuni de bază.

Un poliedru este un corp geometric delimitat pe toate laturile de poligoane plate numite margini.

Laturile fețelor - coaste poliedrul, iar capetele muchiilor sunt culmi poliedru. Pe baza numărului de fețe se disting tetraedre, pentaedre etc.

Poliedrul se numește convex, dacă toate sunt situate pe o parte a planului, fiecare dintre fețele sale.

Un poliedru convex se numește corect dacă toate fețele sale sunt poligoane regulate identice, același număr de muchii converg la fiecare vârf, iar fețele adiacente formează unghiuri egale.

Figura prezintă un tetraedru, un hexaedru, un octaedru, un dodecaedru și un icosaedru. Forma lor este un exemplu de perfecțiune! De ce poliedrele obișnuite au primit acest nume? Ce caracteristici au? Cum se face un model al oricărui poliedru regulat? Unde poți găsi aceste corpuri uimitoare?

Pentru a răspunde la acestea și la alte întrebări: scopul acestei lucrări.

Toate poliedrele obișnuite au un număr diferit de fețe și sunt numite după acest număr.

Tetraedrul (din tetra - patru și greacă hedra - față) este alcătuit din 4 triunghiuri regulate, 3 muchii se întâlnesc la fiecare vârf.

Un hexaedru (din grecescul hexa - șase și hedra - față) are 6 fețe pătrate, 3 muchii converg la fiecare vârf.

Hexaedrul este mai cunoscut ca cub(din latină, cubus"; din greacă, kubos".

Octaedrul (din grecescul okto - opt și hedra - față) are 8 fețe (triunghiulare), 4 muchii converg la fiecare vârf.

Dodecaedrul (din grecescul dodeka - doisprezece și hedra - față) are 12 fețe (pentagonale), 3 muchii converg la fiecare vârf.

Icosaedrul (din grecescul eikosi - douăzeci și hedra - față) are 20 de fețe (triunghiulare), 5 muchii converg la fiecare vârf. (5, p.267-269)

Se pare că există exact cinci poliedre regulate - nici mai mult, nici mai puțin. Într-adevăr, pentru a obține orice poliedru regulat, la fiecare vârf, conform definiției sale, trebuie să convergă același număr de fețe, fiecare dintre ele un poligon regulat.

Suma unghiurilor plane ale unui unghi poliedric trebuie să fie mai mică de 360°, altfel nu se va obține suprafață poliedrică. Enumerarea posibilelor soluții întregi la inegalități: 60k

Informații istorice despre poliedre regulate.

Filosoful grec antic Platon, (428 sau 427 î.Hr. - 348 sau 347), care a purtat conversații cu studenții săi în crângul lui Academus (Academus este un erou mitologic grecesc antic, care, conform legendei, a fost îngropat într-un crâng sacru de lângă Atena, de unde provine nume, academie”), a proclamat unul dintre motto-urile școlii sale: „Cei care nu cunosc geometria nu sunt admiși!”

Poliedrele regulate sunt numite și solide platonice. Deși semnele lor sunt pitagoreice cu câteva secole înainte de Platon.

În dialogul Timeu, el a asociat poliedre regulate cu cele patru elemente principale. Tetraedrul simboliza focul, deoarece. vârful său este îndreptat în sus; icosaedru - apă, pentru că este cel mai „raționalizat”; cub - pământ, ca cel mai „stabil”; octaedru - aer, ca cel mai „aerisit”. Al cincilea poliedru, dodecaedrul, a întruchipat „tot ce există”, a simbolizat întregul univers și a fost considerat principalul. Deși poliedrele regulate erau cunoscute pitagoreenilor cu câteva secole înainte de Platon, ele sunt numite solide platonice. (4, p.340)

Poliedrele regulate au ocupat un loc important în sistemul I. Kepler de structură armonioasă a lumii.

Dacă observați și examinați forme cu mai multe fațete, nu numai că le puteți simți frumusețea, ci și să descoperiți câteva modele care pot avea o semnificație practică.

Unele dintre corpurile regulate și semi-regulate se găsesc în natură sub formă de cristale, altele - sub formă de viruși, microorganisme simple.

Cristalele sunt corpuri care au o formă cu mai multe fațete. Iată un exemplu de astfel de corpuri: un cristal de pirit (pirită de sulf FeS) - un model natural al unui dodecaedru. Pirita (din grecescul „pyr” - foc) este sulfura de fier sau pirita de sulf, cel mai comun mineral din grupa sulfurilor. Cristalele de pirita ating adesea cativa centimetri si sunt un bun material de colectare. Se deosebește de alte minerale similare prin duritatea sa: zgârie sticla.

S-a observat că Mama noastră Pământ suferă în mod constant evoluția figurilor tridimensionale obișnuite. Există o mulțime de date care compară structurile și procesele Pământului cu cifrele de mai sus. Se crede că cele patru ere geologice ale Pământului corespund celor patru cadre de putere ale solidelor platonice obișnuite: Protozoic - tetraedru (patru plăci) Paleozoic - hexaedru (șase plăci) Mezozoic - octaedru (opt plăci) Cenozoic - dodecaedru (douăsprezece plăci).

Există o ipoteză conform căreia miezul Pământului are forma și proprietățile unui cristal în creștere, care afectează dezvoltarea tuturor proceselor naturale care au loc pe planetă. „Razele” acestui cristal, sau mai degrabă câmpul său de forță, determină structura icosaedric-dodecaedrică a Pământului, care se manifestă prin faptul că în scoarța terestră apar proiecții de poliedre regulate înscrise în glob: icosaedrul și dodecaedrul. . Cele 62 de vârfuri și puncte medii ale muchiilor, numite noduri, se dovedesc a avea o serie de proprietăți specifice care fac posibilă explicarea multor fenomene de neînțeles.

Dacă trasați centrele celor mai mari și mai remarcabile culturi și civilizații ale lumii antice de pe glob, veți observa un model în locația lor în raport cu polii geografici și ecuatorul planetei. Multe zăcăminte minerale se întind de-a lungul rețelei icosaedru-dodecaedru. Lucruri și mai uimitoare se întâmplă la intersecția acestor margini: aici sunt centrele culturilor și civilizațiilor antice: Peru, Mongolia de Nord, Haiti, cultura Ob și altele. În aceste puncte, sunt maxime și minime de presiune atmosferică, vârtejuri gigantice ale Oceanului Mondial, aici lacul scoțian Loch Ness, Triunghiul Bermudelor. Studiile ulterioare ale Pământului pot determina atitudinea față de această frumoasă ipoteză științifică, în care, după cum se vede, poliedrele regulate ocupă un loc important.

Inginerii sovietici V. Makarov și V. Morozov au petrecut zeci de ani cercetând această problemă. Ei au ajuns la concluzia că dezvoltarea Pământului a decurs în etape, iar în prezent procesele care au loc pe suprafața Pământului au dus la apariția unor depozite cu model icosaedru - dodecaedru. În 1929, S.N. Kislitsin în lucrările sale a comparat structura dodecaedrului-icosaedru cu depozitele de petrol și diamante.

V. Makarov și V. Morozov susțin că în prezent procesele de viață ale Pământului au structura unui dodecaedru-icosaedru. Douăzeci de regiuni ale planetei (vârfurile dodecaedrului) sunt centrele centurilor de materie care evadează care formează baza vieții biologice (floră, faună, oameni). Centrele tuturor anomaliilor magnetice și câmpul magnetic al planetei sunt situate la nodurile sistemului triunghiular. În plus, conform cercetărilor autorilor, în epoca actuală, toate corpurile cerești din apropiere își aranjează procesele în conformitate cu sistemul dodecaedru-icosaedru, care a fost observat cu Marte, Venus și Soare. Cadre energetice similare sunt inerente tuturor elementelor Cosmosului (galaxii, stele etc.).

Din punctul de vedere al studierii simetriei, ținând cont de ideea cadrului de forță dodecaedric-icosaedric al Pământului ca planetă, trebuie recunoscut că în acest sens Pământul este o ființă vie. Cu sufletul pe care P.A. Florensky a numit-o „pneumatosferă”, cu liber arbitru și rațiune.

Structura dodecaedrică, după D. Winter (matematician american), este inerentă nu numai cadrului energetic al Pământului, ci și structurii materiei vii. În timpul procesului de diviziune a ouălor, se formează mai întâi un tetraedru de patru celule, apoi un octaedru, un cub și, în final, o structură gastrulă dodecaedric-icosaedrică. Și, în sfârșit, poate cel mai important lucru - structura ADN-ului codului genetic al vieții - este o dezvoltare în patru dimensiuni (de-a lungul axei timpului) a unui dodecaedru rotativ! Astfel, reiese că întregul Univers - de la Metagalaxie până la celula vie - este construit după un principiu - dodecaedrul și icosaedrul infinit înscrise unul în celălalt, situate în proporția raportului de aur!

Există o familie de solide înrudite cu cele platonice - acestea sunt poliedre convexe semiregulate sau solide arhimediene. Toate unghiurile lor poliedrice sunt egale, toate fețele lor sunt poligoane regulate, dar de mai multe tipuri diferite. Sunat 13 sau 14 Solide arhimediene(numărul este imprecis, deoarece pseudorhombocuboctaedrul nu este uneori inclus în această familie).

În plus, mai multe tipuri de corpuri din două familii infinite - prisme și antiprisme - au unghiuri poliedrice egale și fețe regulate.

Johann Kepler (Kepler I, 1571-1630) - astronom german. A descoperit legile mișcării planetare. În 1596, Kepler a propus o regulă conform căreia un dodecaedru este descris în jurul sferei Pământului și un icosaedru se potrivește în el. („Armonia lumii”, 1619) I. Kepler a sugerat că distanțele dintre orbitele planetelor pot fi obținute pe baza solidelor platonice imbricate unele în altele. Rezultatele calculelor sale au fost de acord cu distanțele reale dintre orbitele planetare.

Ipoteza cosmologică a lui Kepler este foarte originală, în care el a încercat să conecteze unele proprietăți ale sistemului solar cu proprietățile poliedrelor regulate. Kepler a sugerat că distanțele dintre cele șase planete cunoscute atunci erau exprimate în termeni de dimensiuni a cinci poliedre convexe regulate (solide platonice). Între fiecare pereche de sfere cerești de-a lungul cărora, conform acestei ipoteze, se rotesc planetele, Kepler a înscris una dintre solidele platonice. Un octaedru este descris în jurul sferei lui Mercur, planeta cea mai apropiată de Soare. Acest octaedru este înscris în sfera lui Venus, în jurul căreia este descris icosaedrul. Sfera Pământului este descrisă în jurul icosaedrului, iar dodecaedrul este descris în jurul acestei sfere.

Dodecaedrul este înscris în sfera lui Marte, în jurul căreia este descris tetraedrul. Sfera lui Jupiter, înscrisă în cub, este descrisă în jurul tetraedrului. În cele din urmă, sfera lui Saturn este descrisă în jurul cubului.

Acest model părea destul de plauzibil pentru vremea lui. În primul rând, distanțele calculate folosind acest model au fost destul de apropiate de cele adevărate (dată fiind acuratețea măsurătorilor disponibilă la acel moment). În al doilea rând, modelul lui Kepler a oferit o explicație pentru ce existau doar șase planete (atât de multe erau cunoscute atunci) - cele șase planete erau în armonie cu cele cinci solide platonice.

formula lui Euler.

Să numărăm numărul de vârfuri (B), fețe (D), muchii (P) și scriem rezultatele în tabel.

Poliedru
Tetraedru
Hexaedru

Dodecaedru
Icosaedru

În ultima coloană, rezultatul este același pentru toate poliedrele: B+G- P=2. Această relație uimitoare a fost dovedită de unul dintre cei mai mari matematicieni, Leonhard Euler (1707 – 1783), așa că formula poartă numele lui: formula lui Euler. Acest om de știință genial, născut în Elveția, și-a trăit aproape toată viața în Rusia și, pe bună dreptate și cu mândrie, îl putem considera un compatriot.

Cel mai uimitor lucru la această formulă este că este adevărată nu numai pentru poliedrele obișnuite, ci și pentru toate poliedrele!

Doar pentru distracție, puteți verifica acest lucru pentru mai multe poliedre luate la întâmplare. (3, p.42)

Poliedre regulate sunt peste tot în jurul nostru.

În cartea biologului german de la începutul acestui secol, E. Haeckel, „Frumusețea formelor în natură”, puteți citi următoarele rânduri: „Natura hrănește în sânul ei un număr inepuizabil de creaturi uimitoare, care în frumusețe. iar diversitatea depășește cu mult toate formele create de arta umană.” De exemplu, organismele unicelulare ale Feodaria au forma unui icosaedru.

De asemenea, este interesant că icosaedrul a devenit centrul atenției biologilor în disputele lor cu privire la forma virușilor. Virusul nu poate fi perfect rotund, așa cum se credea anterior. Pentru a-i stabili forma, au luat diverse poliedre și au îndreptat lumina spre ele în aceleași unghiuri ca fluxul de atomi la virus. S-a dovedit că un singur poliedru dă exact aceeași umbră - icosaedrul. Proprietățile sale geometrice, menționate mai sus, permit salvarea informațiilor genetice. Poliedrele regulate sunt cele mai avantajoase figuri. Și natura folosește pe scară largă acest lucru. Cristalele unor substanțe cunoscute nouă au forma unor poliedre regulate. Astfel, un cub prezintă forma unor cristale de sare de masă NaCl, un singur cristal de alaun de aluminiu-potasiu are forma unui octaedru, un cristal de pirită de sulf FeS are forma unui dodecaedru, sulfatul de sodiu antimoniu are forma unui tetraedru, iar borul are forma unui icosaedru.

O ipoteză științifică interesantă, ai cărei autori (la începutul anilor 80) au fost inginerii moscoviți V. Makarov și V. Morozov. Ei cred că nucleul Pământului are forma și proprietățile unui cristal în creștere, care influențează dezvoltarea tuturor proceselor naturale care au loc pe planetă. Razele acestui cristal, sau mai degrabă, câmpul său de forță, determină structura icosaedric-dodecaedrică a Pământului, care se manifestă prin faptul că în scoarța terestră apar proiecții de poliedre regulate înscrise în glob: icosaedrul și dodecaedrul. Cele 62 de vârfuri și puncte medii ale muchiilor, numite noduri de către autori, au o serie de proprietăți specifice care fac posibilă explicarea unor fenomene de neînțeles.

Concluzie.

Lucrarea de cercetare a fost interesantă și variată și m-a făcut să înțeleg că lumea din jurul nostru respectă legile geometriei.

În cadrul lucrării de rezumat, s-a studiat literatura de specialitate pe această temă, s-au identificat trăsăturile poliedrelor regulate, s-au realizat desene, dezvoltări și modele ale poliedrelor regulate.

Poliedruîn spațiul tridimensional, o colecție de un număr finit de poligoane plate, astfel încât fiecare latură a oricăruia dintre poligoane este simultan latura altuia (dar numai unul), numit adiacent primului (pe această latură); din oricare dintre poligoane care alcătuiesc Poliedru, puteți ajunge la oricare dintre ele mergând la cel adiacent acestuia, iar de la acesta, la rândul său, la cel adiacent acestuia etc. Aceste poligoane se numesc fețe, laturile lor sunt muchii, iar vârfurile lor sunt vârfuri. Poliedru.

Lumea noastră este plină de simetrie. Din cele mai vechi timpuri, ideile noastre despre frumusețe au fost asociate cu aceasta. Acest lucru explică probabil interesul permanent al omului pentru poliedrele obișnuite - simboluri uimitoare ale simetriei care au atras atenția multor gânditori remarcabili, de la Platon și Euclid până la Euler și Cauchy.

Forma elementului primar al Pământului este un cub, Aerul este un octaedru, Focul este un tetraedru, Apa este un icosaedru, iar creatorul a dat lumii întregi forma unui dodecaedru pentagonal. Pitagoreii au învățat că Pământul este sferic. Potrivit lui Pitagora, există 5 figuri corporale: divinitatea supremă însăși a construit Universul pe baza formei geometrice a dodecaedrului. Pământul este asemănător Universului, iar pentru Platon Pământul este și un dodecaedru.

Matematica greacă, în care a apărut prima dată teoria poliedrelor, s-a dezvoltat sub marea influență a celebrului gânditor Platon.
Platon (427–347 î.Hr.) este marele filozof grec antic, fondatorul Academiei și fondatorul tradiției platonismului. Una dintre trăsăturile esențiale ale învățăturii sale este luarea în considerare a obiectelor ideale - abstracțiuni. Matematica, după ce a adoptat ideile lui Platon, a studiat obiectele abstracte, ideale încă de pe vremea lui Euclid. Cu toate acestea, atât Platon însuși, cât și mulți matematicieni antici au pus în termenul ideal nu doar un sens abstract, ci și cel mai bun sens. În conformitate cu tradiția venită de la matematicienii antici, dintre toate poliedrele cele mai bune sunt cele care au drept fețe poligoane regulate.

Teoria poliedrelor este una dintre ramurile fascinante și vibrante ale matematicii. În rezumatul prezentat, a fost luată în considerare doar o parte a acestei teorii. Din poliedre regulate - solide platonice - se pot obține așa-numitele poliedre semiregulate, sau solide arhimediene, ale căror fețe sunt și poligoane regulate, dar opuse, precum și solide stelare regulate.

Bibliografie

1. Dorofeev G.V., Peterson L.G. Matematică. clasa a 6-a. Partea 3 – M: Balass, 1988.

2. Sharygin I.F., Erganzhieva L.N. Geometrie vizuală pentru clasele V – VI. – M: Miros 1992.

3. Enciclopedie pentru copii. T. 11. Matematică. – M: Avanta plus, 2002.

4. Enciclopedie pentru copii. Eu explorez lumea. – M: Editura AST, 1999.

5. Pogorelov A.V. Geometrie. Manual pentru clasele 7-11. M., Educație, 1992.

Poliedre regulate.
Un poliedru regulat, sau cunoscut și ca „solid platonic”, este un tip de poliedru ale cărui fețe sunt poligoane regulate (triunghi, pătrat, pentagon, hexagon etc.) În funcție de tipul specific de poligon, care este fața unui poliedrul, poliedrele au propriile nume:
1. Tetraedrul – fața este un triunghi regulat, numărul de vârfuri este 4, numărul de muchii este 6, numărul de fețe este 4.

2. Hexaedrul (sau cunoscutul cub) – o față pătrată, numărul vârfurilor este 8, numărul muchiilor este 12, numărul fețelor este 6.

3. Dodecaedru – față pentagonală, număr de vârfuri - 20, număr de muchii - 30, număr de fețe - 12.

Pe lângă tetraedru, există și alte poliedre a căror față este un triunghi:
4. Octaedru – număr de vârfuri - 6, număr de muchii - 12, număr de fețe - 8.

5. Icosaedrul - număr de vârfuri - 12, număr de muchii - 30, număr de fețe - 20.

Există o formulă specială care a fost inventată de omul de știință Euler. Această formulă raportează numărul de muchii, fețe și laturi ale unui poliedru cu o relație simplă:
В+Г=Р+2, unde В – numărul de vârfuri; Г – numărul de fețe; P – numărul de coaste.

Câteva fapte din istoria poliedrelor:

1. Poliedrele au fost cunoscute cu mult înaintea lui Platon. Istoricii și arheologii au găsit figurine create de antici, în care formele poliedrelor regulate sunt clar vizibile. În plus, astfel de figuri au acționat adesea ca elemente ale structurilor arhitecturale antice.
2. Se crede că poliedrele (din punct de vedere al geometriei) au fost descoperite de Pitagora. Cu toate acestea, conform altor surse, el este creditat cu descoperirea a doar trei poliedre, și anume tetraedrul, hexaedrul și dodecaedrul. În ceea ce privește octaedrul și icosaedrul, descoperirea lor este atribuită matematicianului grec antic Theaetetus din Atena.
3. Poliedrele sunt numite și „solide platonice” deoarece, la un moment dat, Platon, într-una dintre lucrările sale, a comparat poliedre cu cele patru elemente naturale. Fiecărui poliedru îi corespundea propriul element: tetraedru – foc, hexaedru (cub) – pământ, octaedru – aer, icosaedru – apă.
4. Euclid a oferit o descriere completă a poliedrelor din punctul de vedere al matematicii și geometriei într-una dintre lucrările sale.
5. Pe vremea celebrului matematician Johannes Kepler se cunoșteau doar cinci planete din sistemul solar. Deoarece acest număr a coincis cu numărul de poliedre existente, dintre care sunt și 5, a încercat să găsească o corespondență între ele și planete.

ȘCOALA GENERALĂ Nr 3

Numărul de laturi de margine m

Numărul de fețe care se întâlnesc la un vârf n

Numărul de fețe

Numărul de vârfuri

Numărul de coaste

Numărul de unghiuri plate pe suprafață

Hexaedru (cub)

Dodecaedru

Subiect:

„Poliedre”.

Efectuat: elev de clasa a XI-a

Instituție de învățământ municipal școala gimnazială Nr.3

Aliayeva Iulia.

Verificat: profesor de matematică

Jeleznovodsk

Plan

I. Introducere. 3

II. Partea teoretică

1. Unghiul diedric4

2. Unghiuri triedrice și poliedrice4

3. Poliedru. . 5

4. Prisma6

7. Paralelepiped 9

8. Simetria centrală a unui paralelipiped10

9. Paralepiped dreptunghiular. . unsprezece

11. Piramida

13. Piramida trunchiată

14. Piramidă regulată. 15

15. Poliedre regulate

III. Partea practică

IV. Concluzie

V. Literatură

I. Introducere

Există subiecte speciale în geometria școlii pe care le așteptați cu nerăbdare, anticipând întâlnirea cu material incredibil de frumos. Astfel de subiecte includ „Poliedre”. Aici se deschide nu numai o lume uimitoare de corpuri geometrice cu proprietăți unice, ci și ipoteze științifice interesante. Și apoi lecția de geometrie devine un fel de studiu al aspectelor neașteptate ale unei discipline școlare familiare.

Niciun corp geometric nu are o asemenea perfecțiune și frumusețe ca poliedrele. „Există un număr șocant de mic de poliedre”, a scris odată L. Carroll, „dar această detașare foarte modestă ca număr a reușit să pătrundă în profunzimile diferitelor științe”.

II. Partea teoretică.

1. Unghiul diedric

Unghiul diedric este o figură formată din două „semiplane cu o linie dreaptă comună care le delimitează (fig. 1). margini, iar linia dreaptă care le limitează este margine unghi diedru.

Un plan perpendicular pe marginea unui unghi diedru își intersectează fețele de-a lungul a două semi-linii. Unghiul format de aceste semidrepte se numește liniar. unghi unghi diedru.

Măsura unui unghi diedru este considerată măsura unghiului liniar corespunzător. Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt combinate prin translație paralelă și, prin urmare, sunt egale. Prin urmare, măsura unghiului diedric nu depinde de alegerea unghiului liniar.

2. Unghiuri triedrice și poliedrice

Luați în considerare trei raze a, b, c, emanând din acelaşi punct şi nu se află în acelaşi plan. Unghi triunghiular (abc) este o figură formată din trei unghiuri plate (ab),(bc) și (ac) (fig. 2). Aceste unghiuri se numesc margini unghiul triedric, iar laturile lor sunt coaste, vârful comun al unghiurilor plane se numește top unghi triedric. Se numesc unghiuri diedrice formate din fețele unui unghi triedric unghiuri diedrice ale unghiurilor triedrice.

Conceptul de unghi poliedric este definit în mod similar (Fig. 3).

3. Poliedru

În stereometrie, sunt studiate figurile din spațiu numite corpuri. Din punct de vedere vizual, un corp (geometric) trebuie imaginat ca o parte a spațiului ocupată de un corp fizic și limitată de o suprafață.

Un poliedru este un corp a cărui suprafață constă dintr-un număr finit de poligoane plate (Fig. 4). Un poliedru se numește convex dacă este situat pe o parte a planului fiecărui poligon plan de pe suprafața sa. Partea comună a unui astfel de plan și suprafața unui poliedru convex se numește față. Fețele unui poliedru convex sunt poligoane convexe plate. Laturile fețelor se numesc muchiile poliedrului, iar vârfurile se numesc vârfuri ale poliedrului.

Să explicăm acest lucru folosind exemplul unui cub familiar (Fig. 5). Un cub este un poliedru convex. Suprafața sa este formată din șase pătrate: ABCD, BEFC, .... Acestea sunt fețele sale. Marginile cubului sunt laturile acestor pătrate: AB, BC, BE,.... Vârfurile unui cub sunt vârfurile pătratelor: A, B, C, D, E, .... Cubul are șase fețe, douăsprezece muchii și opt vârfuri.

Vom da cele mai simple poliedre - prisme și piramide, care vor constitui obiectul principal al studiului nostru - definiții care, în esență, nu folosesc conceptul de corp. Ele vor fi definite ca figuri geometrice care indică toate punctele din spațiu care le aparțin. Conceptul de corp geometric și suprafața acestuia în cazul general va fi prezentat mai târziu.

O prismă este un poliedru format din două poligoane plate situate în planuri diferite și combinate prin translație paralelă și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare acestor poligoane (Fig. 6). Poligoanele se numesc bazele prismei, iar segmentele care leagă vârfurile corespunzătoare se numesc marginile laterale ale prismei.

Deoarece translația paralelă este mișcare, bazele prismei sunt egale.

Deoarece în timpul translației paralele planul se transformă într-un plan paralel (sau în sine), atunci bazele prismei se află în planuri paralele.

Deoarece în timpul translației paralele punctele sunt deplasate de-a lungul liniilor paralele (sau care coincid) la aceeași distanță, atunci marginile laterale ale prismei sunt paralele și egale.

Suprafața prismei este formată din bază și suprafața laterală. Suprafața laterală este formată din paralelograme. În fiecare dintre aceste paralelograme, două laturi sunt laturile corespunzătoare ale bazelor, iar celelalte două sunt margini laterale adiacente.

Înălțimea unei prisme este distanța dintre planurile bazelor sale. Un segment care leagă două vârfuri ale unei prisme care nu aparțin aceleiași fețe se numește diagonala prismei.

O prismă se numește n-gonală dacă bazele sale sunt n-goni.

În viitor, vom lua în considerare doar prisme ale căror baze sunt poligoane convexe. Astfel de prisme sunt poliedre convexe.

Figura 6 prezintă o prismă pentagonală. Bazele sale sunt pentagoane A1A2...A5, A1'A"2...A"5. XX" - un segment care leagă punctele corespunzătoare ale bazelor. Marginile laterale ale segmentelor prismei A1A"2, A1A"2, ..., A5A"5. Fețele laterale ale prismei sunt paralelograme А1А2А"2А1 , А2А3А'3А"2, ... .

5. Imaginea unei prisme și construcția secțiunilor acesteia

În conformitate cu regulile de proiectare paralelă, imaginea prismei este construită după cum urmează. În primul rând, se construiește una dintre fundații R(Fig. 7). Acesta va fi un poligon plat. Apoi de la vârfurile poligonului R Marginile laterale ale prismei sunt desenate sub formă de segmente paralele de lungime egală. Capetele acestor segmente sunt conectate și se obține o altă bază a prismei. Marginile invizibile sunt desenate cu linii întrerupte.

Secțiunile unei prisme cu plane paralele cu marginile laterale sunt paralelograme. În special, secțiunile diagonale sunt paralelograme. Acestea sunt secțiuni pe plane care trec prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe (Fig. 8).

În practică, în special, atunci când se rezolvă probleme, este adesea necesar să se construiască o secțiune a unei prisme cu un plan care trece printr-o dreaptă dată. g pe planul uneia dintre bazele prismei. Această linie se numește Următorul planul de tăiere pe planul de bază. Pentru a construi o secțiune a unei prisme, este suficient să construiți segmentele de intersecție ale planului de tăiere cu fețele prismei. Vom arăta cum este construită o astfel de secțiune dacă se cunoaște un punct A pe suprafaţa prismei aparţinând secţiunii (Fig. 9).

Dacă acest punct A aparține unei alte baze a prismei, atunci intersecția sa cu planul de tăiere este un segment soare, paralel cu traseul gşi conţinând punctul dat A(Fig. 9, a).

Dacă acest punct A aparține feței laterale, atunci se construiește intersecția acestei fețe cu planul de tăiere, așa cum se arată în figura 9, b.Și anume: mai întâi se construiește punctul D,în care planul feței intersectează o urmă dată g. Apoi trageți o linie dreaptă prin puncte AȘi D. Segment de linie Soare Drept ANUNȚ pe fața luată în considerare este intersecția acestei fețe cu planul de tăiere. Dacă fața care conține punctul A, paralel cu traseul g, atunci planul de tăiere intersectează această față de-a lungul unui segment soare, trecând printr-un punct Ași paralel cu dreapta g.

Capetele segmentului Soare aparțin și fețelor vecine. Prin urmare, folosind metoda descrisă, putem construi intersecția acestor fețe cu planul nostru de tăiere. etc.

Figura 10 prezintă construcția unei secțiuni a unei prisme patrulatere printr-un plan care trece printr-o linie dreaptă Aîn planul bazei inferioare a prismei și un punct A pe una din coastele laterale.

O prismă se numește dreptă dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze. În caz contrar, prisma se numește oblică.

O prismă dreaptă are fețe laterale dreptunghiulare. Când înfățișați o prismă dreaptă în figură, nervurile laterale sunt de obicei desenate vertical (Fig. 11).

O prismă dreaptă se numește regulată dacă bazele sale sunt poligoane regulate.

Suprafața laterală a unei prisme (mai precis, aria suprafeței laterale) este suma ariilor fețelor laterale. Suprafața totală a prismei este egală cu suma suprafeței laterale și a ariilor bazelor.

Teorema 19.1. Suprafața laterală a unei prisme drepte este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei, adică lungimea marginii laterale.

Dovada. Fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri. Bazele acestor dreptunghiuri sunt laturile poligonului situat la baza prismei, iar înălțimile sunt egale cu lungimea marginilor laterale. Rezultă că suprafața laterală a prismei este egală cu

S=a1l+a1l+...+anl=pl,

Unde a1,..., un- lungimea nervurilor de bază, R - perimetrul bazei prismei, și 1 - lungimea coastelor laterale. Teorema este demonstrată.

7. Paralelepiped

Dacă baza prismei este un paralelogram, atunci se numește paralelipiped. Toate fețele unui paralelipiped sunt paralelograme.

Figura 12, a prezintă un paralelipiped înclinat, iar Figura 12, b - un paralelipiped drept.

Fețele unui paralelipiped care nu au vârfuri comune se numesc opuse.

Teorema 19.2. Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.

Dovada. Să luăm în considerare două fețe opuse ale paralelipipedului, de exemplu A1A2A"2A"1 și A3A4A"4A"3. (Fig. 13). Deoarece toate fețele unui paralelipiped sunt paralelograme, linia A1A2 este paralelă cu dreapta A4A3, iar dreapta A1A"1 este paralelă cu dreapta A4A4". Rezultă că planurile fețelor luate în considerare sunt paralele.

Din faptul că fețele unui paralelipiped sunt paralelograme, rezultă că segmentele A1A4, A1"A4", A"2A"3 și A2A3 sunt paralele și egale. De aici concluzionăm că fața A1A2A"2A"1 este combinată prin translație paralelă de-a lungul muchiei A1A4. cu muchia A3A4A"4A"3. Aceasta înseamnă că aceste margini sunt egale.

În mod similar, paralelismul și egalitatea oricăror alte fețe opuse ale paralelipipedului sunt dovedite. Teorema este demonstrată.

8. Simetria centrală a unui paralelipiped

Teorema 19.3. Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.

Dovada. Să luăm în considerare câteva diagonale ale unui paralelipiped, de exemplu A1A"3 și A4A"2 (Fig. 14). Deoarece patrulaterele A1A2A3A4 și A2A"2A"3A3 sunt paralelograme cu o latură comună A2A3, atunci laturile lor A1A4 și A"2A"3 sunt paralele între ele, ceea ce înseamnă că se află în același plan. Acest plan intersectează planele fețelor opuse ale paralelipipedului de-a lungul liniilor drepte paralele A1A"2 și A4A"3. Prin urmare, patrulaterul A4A1A"2A"3 este un paralelogram. Diagonalele paralelipipedului A1A"3 și A4A"2 sunt diagonalele acestui paralelogram. Prin urmare, ele se intersectează și sunt împărțite la jumătate de punctul de intersecție O.

În mod similar, se demonstrează că diagonalele A1A"3 și A2A"4, precum și diagonalele A1A"3 și A3A"1 se intersectează și sunt tăiate în două de punctul de intersecție. Din aceasta concluzionăm că toate cele patru diagonale ale paralelipipedului se intersectează într-un punct și sunt împărțite la jumătate de punctul de intersecție. Teorema este demonstrată.

Din teorema 19.3 rezultă că punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelipiped este centrul său de simetrie.

9. Paralepiped dreptunghiular

Un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi se numește cuboid. Un paralelipiped dreptunghiular are toate fețele care sunt dreptunghiuri.

Un paralelipiped dreptunghic cu toate muchiile egale se numește cub.

Lungimile marginilor neparalele ale unui paralelipiped dreptunghiular se numesc dimensiunile (dimensiunile) liniare ale acestuia. Un paralelipiped dreptunghiular are trei dimensiuni.

Teorema 19.4. Într-un paralelipiped dreptunghiular, pătratul oricărei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Dovada. Luați în considerare un paralelipiped dreptunghiular ABCDA"B"C"D" (Fig. 15). Din triunghiul dreptunghic AC"C folosind teorema lui Pitagora obținem:

AC"2 = AC2 + CC"2.

Din triunghiul dreptunghic ACB folosind teorema lui Pitagora obținem

AC2 = AB2 + BC2.

Prin urmare, AC"2 =CC"2 +AB2 + BC2.

Muchiile AB, BC și CC" nu sunt paralele și, prin urmare, lungimile lor sunt dimensiunile liniare ale paralelipipedului. Teorema este demonstrată.

10. Simetria unui paralelipiped dreptunghiular

Un paralelipiped dreptunghiular, ca orice paralelipiped, are un centru de simetrie - punctul de intersecție al diagonalelor sale. Are și trei planuri de simetrie, trecând prin centrul de simetrie paralel cu fețele. Figura 16 prezintă unul dintre aceste planuri. Trece prin mijlocul a patru margini paralele ale paralelipipedului. Capetele coastelor sunt puncte simetrice.

Dacă toate dimensiunile liniare ale unui paralelipiped sunt diferite, atunci acesta nu are alte planuri de simetrie cu excepția celor numite.

Dacă un paralelipiped are două dimensiuni liniare care sunt egale, atunci are încă două planuri de simetrie. Acestea sunt planurile secțiunilor diagonale prezentate în Figura 17.

Dacă un paralelipiped are toate dimensiunile liniare egale, adică este un cub, atunci planul oricărei secțiuni diagonale este un plan de simetrie. Astfel, cubul are nouă planuri de simetrie.

11. Piramida

Piramidă se numește poliedru care constă dintr-un poligon plat - baza piramidei, un punct care nu se află în planul bazei - vârful piramideiși toate segmentele care leagă vârful piramidei cu punctele de bază (Fig. 18).

Segmentele care leagă vârful piramidei cu vârfurile bazei se numesc coaste laterale.

Suprafața piramidei este formată dintr-o bază și fețe laterale. Fiecare față laterală este un triunghi. Unul dintre vârfurile sale este vârful piramidei, iar partea opusă este partea bazei piramidei.

Înălțimea piramidei numită perpendiculară căzută din vârful piramidei până în planul bazei.

O piramidă se numește n-gonală dacă baza ei este un n-gon. Piramida triunghiulară mai este numită tetraedru.

Piramida prezentată în figura 18 are baza poligonului A1A2 ...An, vârful piramidei - S, margini laterale - SA1, S A2, ..., S An, fețe laterale - DSA1A2, DSA2A3, ....

În cele ce urmează, vom lua în considerare doar piramidele cu un poligon convex la bază. Astfel de piramide sunt poliedre convexe.

12. Construcția unei piramide și a secțiunilor sale plate

În conformitate cu regulile de proiectare paralelă, imaginea piramidei este construită după cum urmează. Mai întâi se construiește fundația. Acesta va fi un poligon plat. Apoi este marcat vârful piramidei, care este conectat prin nervuri laterale de vârfurile bazei. Figura 18 prezintă o imagine a unei piramide pentagonale.

Secțiunile piramidei prin planuri care trec prin vârful ei sunt triunghiuri (Fig. 19). În special, triunghiurile sunt secțiuni diagonale. Acestea sunt secțiuni pe planuri care trec prin două margini laterale neadiacente ale piramidei (Fig. 20).

O secțiune a unei piramide printr-un plan cu o urmă dată g pe planul bazei este construită în același mod ca o secțiune a unei prisme.

Pentru a construi o secțiune a unei piramide cu un plan, este suficient să construiți intersecțiile fețelor sale laterale cu planul de tăiere.

Dacă pe o față care nu este paralelă cu urma g se cunoaște un punct A aparținând secțiunii, atunci mai întâi se construiește intersecția urmei g a planului de tăiere cu planul acestei fețe - punctul D din figura 21. Punctul D este legat de punctul A printr-o linie dreaptă. Atunci segmentul acestei linii aparținând feței este intersecția acestei fețe cu planul de tăiere. Dacă punctul A se află pe o față paralelă cu traseul g, atunci planul de tăiere intersectează această față de-a lungul unui segment paralel cu dreapta g. Deplasându-se pe fața laterală adiacentă, ei construiesc intersecția acesteia cu planul de tăiere etc. Ca rezultat, se obține secțiunea necesară a piramidei.

Figura 22 prezintă o secțiune a unei piramide patrulatere cu un plan care trece prin latura bazei și punctul A pe una dintre marginile sale laterale.

13. Piramida trunchiată

Teorema 19.5. Un plan care intersectează o piramidă și paralel cu baza ei taie o piramidă similară.

Dovada. Fie S vârful piramidei, A vârful bazei și A" punctul de intersecție a planului de tăiere cu muchia laterală SA (Fig. 23). Să supunem piramida unei transformări de omotezie față de vârful S cu coeficientul de omotetie

Cu această homotezie, planul bazei merge într-un plan paralel care trece prin punctul A, adică într-un plan secant și, prin urmare, întreaga piramidă în partea decupată de acest plan o parte a piramidei tăiate este o piramidă, similară cu aceasta, teorema a fost dovedită.

După teorema 19.5, un plan paralel cu planul bazei piramidei și care intersectează marginile sale laterale decupează o piramidă similară din ea. Cealaltă parte este un poliedru numit piramidă trunchiată (Fig. 24). Fețele unei piramide trunchiate aflate în planuri paralele se numesc baze; fetele rămase sunt numite marginile laterale. Bazele piramidei trunchiate sunt poligoane asemănătoare (mai mult, omotetice), fețele laterale sunt trapeze.

14. Piramida corectă

O piramidă se numește regulată dacă baza ei este un poligon regulat și baza înălțimii sale coincide cu centrul acestui poligon. Axa unei piramide regulate este linia dreaptă care conține înălțimea acesteia. Evident, o piramidă regulată are margini laterale egale; prin urmare, fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale.

Înălțimea feței laterale a unei piramide regulate, trasă din vârful acesteia, se numește apotema. Suprafața laterală a unei piramide este suma ariilor fețelor sale laterale.

Teorema 19.6. Suprafața laterală a unei piramide regulate este egală cu produsul dintre semiperimetrul bazei și apotema.

Dovada. Dacă partea laterală a bazei A, număr de laturi P, atunci suprafața laterală a piramidei este egală cu:

(a1/2)ap=a1p/2= p1/2"

Unde eu - apotema, a p- perimetrul bazei piramidei. Teorema este demonstrată.

O piramidă trunchiată care este obținută dintr-o piramidă obișnuită se mai numește corect. Fețele laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt trapeze isoscele egale; înălțimile lor se numesc apoteme.

15. Poliedre regulate

Un poliedru convex se numește regulat dacă fețele sale sunt poligoane regulate cu același număr de laturi și același număr de muchii converg la fiecare vârf al poliedrului.)

Există cinci tipuri de poliedre convexe regulate (Fig. 25): tetraedru regulat (1), cub (2), octaedru (3), dodecaedru (4); icosaedru (5).

Un tetraedru regulat are fețe care sunt triunghiuri regulate; Trei muchii converg la fiecare vârf. Un tetraedru este o piramidă triunghiulară în care toate muchiile sunt egale.

Toate fețele unui cub sunt pătrate; Trei muchii converg la fiecare vârf. Cubul este un paralelipiped dreptunghiular cu margini egale.

Fețele octaedrului sunt triunghiuri regulate, dar spre deosebire de tetraedru, patru muchii converg la fiecare vârf.

Dodecaedrul are fețe pentagonale regulate. Trei muchii converg la fiecare vârf.

Icosaedrul are fețe triunghiulare regulate, dar spre deosebire de tetraedru și octaedru, cinci muchii converg la fiecare vârf.

III. Partea practică.

Sarcina 1.

Din punctele A și B situate pe fețele unui unghi diedru, perpendicularele AA\ și BB\ sunt aruncate pe marginea unghiului. Aflați lungimea segmentului AB dacă AA1=a, BB1=b, A1B1=c și unghiul diedrul este egal cu a (Fig. 26).

Soluţie. Să desenăm linii drepte A1C||BB1 și ВС||А1В1. Patrulaterul A1B1BC este un paralelogram, ceea ce înseamnă AA1==BB1=b. Linia A1B1 este perpendiculară pe planul triunghiului AA1C, deoarece este perpendiculară pe două drepte din acest plan AA1 și CA1. În consecință, linia dreaptă BC paralelă cu aceasta este și ea perpendiculară pe acest plan. Aceasta înseamnă că triunghiul ABC este dreptunghic cu unghiul drept C. Prin teorema cosinusului

AC2=AA12+A1C2-2AA1 A1C cos a=a2+b2-2abcos a.

Conform teoremei lui Pitagora

AB = AC2 + BC2 = a2 + b2- 2ab cos a + c2.

Sarcina 2.

Un unghi triedric (abc) are un unghi diedru la o muchie cu o linie dreaptă, un unghi diedru la o muchie b este egal cu j, iar un unghi plan (bc) este egal cu g (j, g).

Soluţie. De la un punct arbitrar A, să aruncăm o perpendiculară AB pe muchia b și o perpendiculară AC pe muchia c dintr-un punct arbitrar A (Fig. 27). Conform teoremei celor trei perpendiculare, CB este perpendicular pe muchia b.

Din triunghiurile dreptunghiulare OAB, OSV, AOS și ABC obținem:

tg a =AB/OB=(BC/ cos j)/(BC/tg g)= tg g/ cos j

tg b =AC/OC=BC tg j / (BC/sin g)= tg g sin g

Problema 3.

O prismă înclinată are o secțiune perpendiculară pe nervurile laterale și care intersectează toate nervurile laterale. Aflați suprafața laterală a prismei dacă perimetrul secțiunii este egal cu p, iar marginile laterale sunt egale cu l.

Soluţie. Planul secțiunii desenate împarte prisma în două părți (Fig. 28). Să supunem una dintre ele translației paralele, combinând bazele prismei. În acest caz, obținem o prismă dreaptă, a cărei bază este secțiunea transversală a prismei originale, iar marginile laterale sunt egale cu l. Această prismă are aceeași suprafață laterală ca cea originală. Astfel, suprafața laterală a prismei originale este egală cu pl.

Sarcina 4.

Marginea laterală a piramidei este împărțită în patru părți egale și prin punctele de diviziune sunt trasate plane paralele cu baza. Suprafața de bază este de 400 cm2. Găsiți zonele de secțiune transversală.

Soluţie. Secțiunile sunt similare cu baza unei piramide cu factori de similitudine de ¼, 2/4 și ¾. Zonele figurilor similare sunt legate ca pătrate de dimensiuni liniare. Prin urmare, raporturile dintre zonele secțiunii transversale și aria bazei piramidei sunt (¼)2, (2/4)2 și (¾)2. Prin urmare, zonele secțiunii transversale sunt egale

400 (¼)2 =25 (cm2),

400 (2/4)2 =100 (cm2),

400 (¾)2 =225 (cm2).

Sarcina 5.

Demonstrați că suprafața laterală a unei piramide trunchiate regulate este egală cu produsul dintre jumătate din suma perimetrelor bazelor și apotema.

Soluţie. Fețele laterale ale unei trunchi de piramidă sunt trapeze cu aceeași bază superioară a, inferioară b și înălțime (apotemă) l. Prin urmare, aria unei fețe este ½ (a + b)l. Aria tuturor fețelor, adică suprafața laterală, este egală cu ½ (аn + bn)l, unde n este numărul de vârfuri de la baza piramidei, an și bn sunt perimetrele bazelor piramidei .

IV. Concluzie

Datorită acestei lucrări, am rezumat și sistematizat cunoștințele dobândite în cursul de clasa a XI-a, m-am familiarizat cu regulile de realizare a muncii creative, am acumulat noi cunoștințe și le-am aplicat în practică.

Aș vrea să menționez cele 3 cărți care mi-au plăcut cel mai mult:. „Geometrie”, G. Yakusheva „Matematică - o carte de referință pentru școlar”, „În spatele paginilor unui manual de geometrie”. Aceste cărți m-au ajutat mai mult decât altele.

Aș dori să pun mai des în practică noile mele cunoștințe dobândite.

V. Literatură

1. „Geometrie”. – M.: Educație, 1992

2. G. Yakusheva „Matematică - o carte de referință pentru școlar”. M.: Slovo, 1995

3. „Curs de analiză matematică” vol. 1, Moscova 1981

4. „În spatele paginilor unui manual de geometrie.” – M.: Educație, 1990