În această lecție, vom învăța cum să descompunem trinoame pătrate în factori liniari. Pentru aceasta, este necesar să ne amintim teorema lui Vieta și inversul acesteia. Această abilitate ne va ajuta să descompunem rapid și convenabil trinoamele pătrate în factori liniari și, de asemenea, să simplificăm reducerea fracțiilor constând din expresii.

Deci înapoi la ecuația pătratică , unde .

Ceea ce avem în partea stângă se numește trinom pătrat.

Teorema este adevărată: Dacă sunt rădăcinile unui trinom pătrat, atunci identitatea este adevărată

Unde este coeficientul conducător, sunt rădăcinile ecuației.

Deci, avem o ecuație pătratică - un trinom pătrat, unde rădăcinile ecuației pătratice sunt numite și rădăcinile trinomului pătratic. Prin urmare, dacă avem rădăcinile unui trinom pătrat, atunci acest trinom este descompus în factori liniari.

Dovada:

Dovada acestui fapt se realizează folosind teorema Vieta, pe care am luat-o în considerare în lecțiile anterioare.

Să ne amintim ce ne spune teorema lui Vieta:

Dacă sunt rădăcinile unui trinom pătrat pentru care , atunci .

Această teoremă implică următoarea afirmație că .

Vedem că, conform teoremei Vieta, adică substituind aceste valori în formula de mai sus, obținem următoarea expresie

Q.E.D.

Amintiți-vă că am demonstrat teorema că, dacă sunt rădăcinile unui trinom pătrat, atunci descompunerea este validă.

Acum să ne amintim un exemplu de ecuație pătratică, la care am selectat rădăcinile folosind teorema lui Vieta. Din acest fapt putem obține următoarea egalitate datorită teoremei demonstrate:

Acum să verificăm corectitudinea acestui fapt prin simpla extindere a parantezelor:

Vedem că am factorizat corect și orice trinom, dacă are rădăcini, poate fi factorizat conform acestei teoreme în factori liniari după formula

Cu toate acestea, să verificăm dacă pentru orice ecuație este posibilă o astfel de factorizare:

Să luăm de exemplu ecuația. Mai întâi, să verificăm semnul discriminantului

Și ne amintim că pentru a îndeplini teorema pe care am învățat-o, D trebuie să fie mai mare decât 0, prin urmare, în acest caz, factorizarea conform teoremei studiate este imposibilă.

Prin urmare, formulăm o nouă teoremă: dacă un trinom pătrat nu are rădăcini, atunci nu poate fi descompus în factori liniari.

Deci, am luat în considerare teorema Vieta, posibilitatea de a descompune un trinom pătrat în factori liniari, iar acum vom rezolva mai multe probleme.

Sarcina 1

În acest grup, vom rezolva efectiv problema invers celei puse. Am avut o ecuație și i-am găsit rădăcinile, descompunându-se în factori. Aici vom face invers. Să presupunem că avem rădăcinile unei ecuații pătratice

Problema inversă este următoarea: scrieți o ecuație pătratică astfel încât să fie rădăcinile ei.

Există 2 moduri de a rezolva această problemă.

Deoarece sunt rădăcinile ecuației, atunci este o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt date numere. Acum să deschidem parantezele și să verificăm:

Acesta a fost primul mod în care am creat o ecuație pătratică cu rădăcini date care nu are alte rădăcini, deoarece orice ecuație pătratică are cel mult două rădăcini.

Această metodă implică utilizarea teoremei Vieta inversă.

Dacă sunt rădăcinile ecuației, atunci ele îndeplinesc condiția ca .

Pentru ecuația pătratică redusă , , adică în acest caz , și .

Astfel, am creat o ecuație pătratică care are rădăcinile date.

Sarcina #2

Trebuie să reduceți fracția.

Avem un trinom la numărător și un trinom la numitor, iar trinoamele pot fi sau nu factorizate. Dacă atât numărătorul, cât și numitorul sunt factorizați, atunci printre ei pot exista factori egali care pot fi redusi.

În primul rând, este necesar să factorizezi numărătorul.

Mai întâi, trebuie să verificați dacă această ecuație poate fi factorizată, găsiți discriminantul . Deoarece , atunci semnul depinde de produs ( trebuie să fie mai mic decât 0), în acest exemplu , adică, ecuația dată are rădăcini.

Pentru a rezolva, folosim teorema Vieta:

În acest caz, deoarece avem de-a face cu rădăcini, va fi destul de dificil să ridicăm pur și simplu rădăcinile. Dar vedem că coeficienții sunt echilibrați, adică dacă presupunem că , și înlocuim această valoare în ecuație, atunci se obține următorul sistem: adică 5-5=0. Astfel, am ales una dintre rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Vom căuta a doua rădăcină substituind ceea ce este deja cunoscut în sistemul de ecuații, de exemplu, , i.e. .

Astfel, am găsit ambele rădăcini ale ecuației pătratice și putem înlocui valorile lor în ecuația originală pentru a o factoriza:

Amintiți-vă problema inițială, trebuia să reducem fracția.

Să încercăm să rezolvăm problema înlocuind în loc de numărător.

Este necesar să nu uităm că în acest caz numitorul nu poate fi egal cu 0, adică.

Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, atunci am redus fracția inițială la forma .

Sarcina #3 (sarcina cu un parametru)

La ce valori ale parametrului este suma rădăcinilor ecuației pătratice

Dacă rădăcinile acestei ecuații există, atunci , întrebarea este când .

Pentru factorizare este necesară simplificarea expresiilor. Acest lucru este necesar pentru a putea reduce în continuare. Descompunerea unui polinom are sens atunci când gradul său nu este mai mic decât al doilea. Un polinom cu gradul I se numește liniar.

Articolul va dezvălui toate conceptele de descompunere, fundamentele teoretice și metodele de factorizare a unui polinom.

Teorie

Teorema 1

Când orice polinom cu gradul n având forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , sunt reprezentate ca un produs cu un factor constant cu cel mai mare grad a n și n factori liniari (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , apoi P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , unde x i , i = 1 , 2 , … , n - acestea sunt rădăcinile polinomului.

Teorema este destinată rădăcinilor de tip complex x i , i = 1 , 2 , … , n și pentru coeficienți complecși a k ​​, k = 0 , 1 , 2 , … , n . Aceasta este baza oricărei descompunere.

Când coeficienții de forma a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n sunt numere reale, atunci rădăcinile complexe vor apărea în perechi conjugate. De exemplu, rădăcinile x 1 și x 2 legate de un polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sunt considerate conjugate complexe, atunci celelalte rădăcini sunt reale, deci obținem că polinomul ia forma P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, unde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

cometariu

Rădăcinile unui polinom pot fi repetate. Luați în considerare demonstrația teoremei algebrei, consecințele teoremei lui Bezout.

Teorema fundamentală a algebrei

Teorema 2

Orice polinom cu gradul n are cel puțin o rădăcină.

teorema lui Bezout

După împărțirea unui polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 pe (x - s) , atunci obținem restul, care este egal cu polinomul din punctul s , apoi obținem

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , unde Q n - 1 (x) este un polinom cu grad n - 1 .

Corolar din teorema lui Bezout

Când rădăcina polinomului P n (x) este considerată s , atunci P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Acest corolar este suficient atunci când este utilizat pentru a descrie soluția.

Factorizarea unui trinom pătrat

Un trinom pătrat de forma a x 2 + b x + c poate fi factorizat în factori liniari. atunci obținem că a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , unde x 1 și x 2 sunt rădăcini (complexe sau reale).

Aceasta arată că descompunerea în sine se reduce la rezolvarea mai târziu a ecuației pătratice.

Exemplul 1

Factorizați un trinom pătrat.

Soluţie

Este necesar să găsiți rădăcinile ecuației 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea discriminantului conform formulei, apoi obținem D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Prin urmare, avem asta

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

De aici obținem că 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Pentru a efectua verificarea, trebuie să deschideți parantezele. Apoi obținem o expresie de forma:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

După verificare, ajungem la expresia originală. Adică putem concluziona că extinderea este corectă.

Exemplul 2

Factorizați un trinom pătrat de forma 3 x 2 - 7 x - 11 .

Soluţie

Obținem că este necesar să se calculeze ecuația pătratică rezultată de forma 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Pentru a găsi rădăcinile, trebuie să determinați valoarea discriminantului. Înțelegem asta

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816

De aici obținem că 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

Exemplul 3

Factorizați polinomul 2 x 2 + 1.

Soluţie

Acum trebuie să rezolvați ecuația pătratică 2 x 2 + 1 = 0 și să găsiți rădăcinile acesteia. Înțelegem asta

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Aceste rădăcini sunt numite conjugate complexe, ceea ce înseamnă că descompunerea în sine poate fi reprezentată ca 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Exemplul 4

Extindeți trinomul pătrat x 2 + 1 3 x + 1 .

Soluţie

Mai întâi trebuie să rezolvați o ecuație pătratică de forma x 2 + 1 3 x + 1 = 0 și să găsiți rădăcinile acesteia.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

După ce au obținut rădăcinile, scriem

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

cometariu

Dacă valoarea discriminantului este negativă, atunci polinoamele vor rămâne polinoame de ordinul doi. De aici rezultă că nu le vom descompune în factori liniari.

Metode de factorizare a unui polinom de grad mai mare decât al doilea

Descompunerea presupune o metodă universală. Majoritatea cazurilor se bazează pe un corolar al teoremei lui Bezout. Pentru a face acest lucru, trebuie să selectați valoarea rădăcinii x 1 și să micșorați gradul ei prin împărțirea la un polinom la 1 prin împărțirea la (x - x 1) . Polinomul rezultat trebuie să găsească rădăcina x 2 , iar procesul de căutare este ciclic până când obținem o descompunere completă.

Dacă rădăcina nu este găsită, atunci se folosesc alte metode de factorizare: grupare, termeni suplimentari. Acest subiect presupune soluția ecuațiilor cu puteri mai mari și coeficienți întregi.

Scoaterea factorului comun din paranteze

Luați în considerare cazul în care termenul liber este egal cu zero, atunci forma polinomului devine P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Se poate observa că rădăcina unui astfel de polinom va fi egală cu x 1 \u003d 0, atunci puteți reprezenta polinomul sub forma unei expresii P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Se consideră că această metodă elimină factorul comun din paranteze.

Exemplul 5

Factorizați polinomul de gradul al treilea 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Soluţie

Vedem că x 1 \u003d 0 este rădăcina polinomului dat, apoi putem include x din întreaga expresie. Primim:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Să trecem la găsirea rădăcinilor trinomului pătrat 4 x 2 + 8 x - 1. Să găsim discriminantul și rădăcinile:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Apoi rezultă că

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Pentru început, să luăm în considerare o metodă de descompunere care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , unde coeficientul celei mai mari puteri este 1 .

Când polinomul are rădăcini întregi, atunci ele sunt considerate divizori ai termenului liber.

Exemplul 6

Extindeți expresia f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Soluţie

Luați în considerare dacă există rădăcini întregi. Este necesar să scrieți divizorii numărului - 18. Obținem că ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Rezultă că acest polinom are rădăcini întregi. Puteți verifica conform schemei Horner. Este foarte convenabil și vă permite să obțineți rapid coeficienții de expansiune ai unui polinom:

Rezultă că x \u003d 2 și x \u003d - 3 sunt rădăcinile polinomului original, care poate fi reprezentat ca un produs de forma:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Ne întoarcem la descompunerea unui trinom pătrat de forma x 2 + 2 x + 3 .

Deoarece discriminantul este negativ, înseamnă că nu există rădăcini reale.

Răspuns: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

cometariu

Este permisă folosirea selecției rădăcinilor și împărțirea unui polinom cu un polinom în locul schemei lui Horner. Să trecem la considerarea expansiunii unui polinom care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , dintre care cel mai mare nu este egal cu unul.

Acest caz are loc pentru fracțiile raționale fracționale.

Exemplul 7

Factorizează f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Soluţie

Este necesar să se schimbe variabila y = 2 x , se trece la un polinom cu coeficienți egali cu 1 la gradul cel mai înalt. Trebuie să începeți prin înmulțirea expresiei cu 4. Înțelegem asta

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Când funcția rezultată a formei g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 are rădăcini întregi, atunci găsirea lor se află printre divizorii termenului liber. Intrarea va arăta astfel:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

Să trecem la calculul funcției g (y) în aceste puncte pentru a obține zero ca rezultat. Înțelegem asta

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Obținem că y \u003d - 5 este rădăcina ecuației de forma y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, ceea ce înseamnă că x \u003d y 2 \u003d - 5 2 este rădăcina funcției originale.

Exemplul 8

Este necesar să se împartă la o coloană 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 cu x + 5 2.

Soluţie

Scriem și obținem:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Verificarea divizorilor va dura mult timp, deci este mai profitabil să luăm factorizarea trinomului pătrat rezultat de forma x 2 + 7 x + 3. Echivalând cu zero, găsim discriminantul.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

De aici rezultă că

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Trucuri artificiale la factorizarea unui polinom

Rădăcinile raționale nu sunt inerente în toate polinoamele. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați metode speciale pentru a găsi factori. Dar nu toate polinoamele pot fi descompuse sau reprezentate ca produs.

Metoda de grupare

Există cazuri în care puteți grupa termenii unui polinom pentru a găsi un factor comun și a-l scoate din paranteze.

Exemplul 9

Factorizează polinomul x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Soluţie

Deoarece coeficienții sunt numere întregi, atunci rădăcinile pot fi, probabil, și numere întregi. Pentru a verifica, luăm valorile 1 , - 1 , 2 și - 2 pentru a calcula valoarea polinomului în aceste puncte. Înțelegem asta

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Acest lucru arată că nu există rădăcini, este necesar să se folosească o metodă diferită de descompunere și soluție.

Gruparea este necesară:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

După gruparea polinomului inițial, este necesar să-l reprezentăm ca produs a două trinoame pătrate. Pentru a face acest lucru, trebuie să factorizăm. înţelegem asta

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

cometariu

Simplitatea grupării nu înseamnă că este suficient de ușor să alegeți termenii. Nu există o modalitate certă de a o rezolva, de aceea este necesar să folosiți teoreme și reguli speciale.

Exemplul 10

Factorizează polinomul x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Soluţie

Polinomul dat nu are rădăcini întregi. Termenii trebuie grupați. Înțelegem asta

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

După factoring, obținem asta

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Folosind înmulțirea prescurtată și formulele binomiale ale lui Newton pentru a factoriza un polinom

Aspectul nu indică întotdeauna clar ce mod de utilizare în timpul descompunerii. După ce au fost făcute transformările, puteți construi o linie formată din triunghiul lui Pascal, altfel se numesc binomul lui Newton.

Exemplul 11

Factorizează polinomul x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Soluţie

Este necesar să convertiți expresia în formă

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Secvența de coeficienți ai sumei dintre paranteze este indicată prin expresia x + 1 4 .

Deci avem x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

După aplicarea diferenței de pătrate, obținem

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Luați în considerare expresia care se află în a doua paranteză. Este clar că nu există cai acolo, așa că formula pentru diferența de pătrate ar trebui aplicată din nou. Primim o expresie ca

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Exemplul 12

Factorizează x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Soluţie

Să schimbăm expresia. Înțelegem asta

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de cuburi. Primim:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

O metodă pentru înlocuirea unei variabile la factorizarea unui polinom

La schimbarea unei variabile, gradul este redus și polinomul este factorizat.

Exemplul 13

Factorizați un polinom de forma x 6 + 5 x 3 + 6 .

Soluţie

Prin condiție, este clar că este necesar să se facă o înlocuire y = x 3 . Primim:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Rădăcinile ecuației pătratice rezultate sunt y = - 2 și y = - 3, atunci

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a sumei cuburilor. Obținem expresii de forma:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Adică am obținut expansiunea dorită.

Cazurile discutate mai sus vor ajuta la luarea în considerare și factorizarea unui polinom în diferite moduri.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În această lecție, vom învăța cum să descompunem trinoame pătrate în factori liniari. Pentru aceasta, este necesar să ne amintim teorema lui Vieta și inversul acesteia. Această abilitate ne va ajuta să descompunem rapid și convenabil trinoamele pătrate în factori liniari și, de asemenea, să simplificăm reducerea fracțiilor constând din expresii.

Deci înapoi la ecuația pătratică , unde .

Ceea ce avem în partea stângă se numește trinom pătrat.

Teorema este adevărată: Dacă sunt rădăcinile unui trinom pătrat, atunci identitatea este adevărată

Unde este coeficientul conducător, sunt rădăcinile ecuației.

Deci, avem o ecuație pătratică - un trinom pătrat, unde rădăcinile ecuației pătratice sunt numite și rădăcinile trinomului pătratic. Prin urmare, dacă avem rădăcinile unui trinom pătrat, atunci acest trinom este descompus în factori liniari.

Dovada:

Dovada acestui fapt se realizează folosind teorema Vieta, pe care am luat-o în considerare în lecțiile anterioare.

Să ne amintim ce ne spune teorema lui Vieta:

Dacă sunt rădăcinile unui trinom pătrat pentru care , atunci .

Această teoremă implică următoarea afirmație că .

Vedem că, conform teoremei Vieta, adică substituind aceste valori în formula de mai sus, obținem următoarea expresie

Q.E.D.

Amintiți-vă că am demonstrat teorema că, dacă sunt rădăcinile unui trinom pătrat, atunci descompunerea este validă.

Acum să ne amintim un exemplu de ecuație pătratică, la care am selectat rădăcinile folosind teorema lui Vieta. Din acest fapt putem obține următoarea egalitate datorită teoremei demonstrate:

Acum să verificăm corectitudinea acestui fapt prin simpla extindere a parantezelor:

Vedem că am factorizat corect și orice trinom, dacă are rădăcini, poate fi factorizat conform acestei teoreme în factori liniari după formula

Cu toate acestea, să verificăm dacă pentru orice ecuație este posibilă o astfel de factorizare:

Să luăm de exemplu ecuația. Mai întâi, să verificăm semnul discriminantului

Și ne amintim că pentru a îndeplini teorema pe care am învățat-o, D trebuie să fie mai mare decât 0, prin urmare, în acest caz, factorizarea conform teoremei studiate este imposibilă.

Prin urmare, formulăm o nouă teoremă: dacă un trinom pătrat nu are rădăcini, atunci nu poate fi descompus în factori liniari.

Deci, am luat în considerare teorema Vieta, posibilitatea de a descompune un trinom pătrat în factori liniari, iar acum vom rezolva mai multe probleme.

Sarcina 1

În acest grup, vom rezolva efectiv problema invers celei puse. Am avut o ecuație și i-am găsit rădăcinile, descompunându-se în factori. Aici vom face invers. Să presupunem că avem rădăcinile unei ecuații pătratice

Problema inversă este următoarea: scrieți o ecuație pătratică astfel încât să fie rădăcinile ei.

Există 2 moduri de a rezolva această problemă.

Deoarece sunt rădăcinile ecuației, atunci este o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt date numere. Acum să deschidem parantezele și să verificăm:

Acesta a fost primul mod în care am creat o ecuație pătratică cu rădăcini date care nu are alte rădăcini, deoarece orice ecuație pătratică are cel mult două rădăcini.

Această metodă implică utilizarea teoremei Vieta inversă.

Dacă sunt rădăcinile ecuației, atunci ele îndeplinesc condiția ca .

Pentru ecuația pătratică redusă , , adică în acest caz , și .

Astfel, am creat o ecuație pătratică care are rădăcinile date.

Sarcina #2

Trebuie să reduceți fracția.

Avem un trinom la numărător și un trinom la numitor, iar trinoamele pot fi sau nu factorizate. Dacă atât numărătorul, cât și numitorul sunt factorizați, atunci printre ei pot exista factori egali care pot fi redusi.

În primul rând, este necesar să factorizezi numărătorul.

Mai întâi, trebuie să verificați dacă această ecuație poate fi factorizată, găsiți discriminantul . Deoarece , atunci semnul depinde de produs ( trebuie să fie mai mic decât 0), în acest exemplu , adică, ecuația dată are rădăcini.

Pentru a rezolva, folosim teorema Vieta:

În acest caz, deoarece avem de-a face cu rădăcini, va fi destul de dificil să ridicăm pur și simplu rădăcinile. Dar vedem că coeficienții sunt echilibrați, adică dacă presupunem că , și înlocuim această valoare în ecuație, atunci se obține următorul sistem: adică 5-5=0. Astfel, am ales una dintre rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Vom căuta a doua rădăcină substituind ceea ce este deja cunoscut în sistemul de ecuații, de exemplu, , i.e. .

Astfel, am găsit ambele rădăcini ale ecuației pătratice și putem înlocui valorile lor în ecuația originală pentru a o factoriza:

Amintiți-vă problema inițială, trebuia să reducem fracția.

Să încercăm să rezolvăm problema înlocuind în loc de numărător.

Este necesar să nu uităm că în acest caz numitorul nu poate fi egal cu 0, adică.

Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, atunci am redus fracția inițială la forma .

Sarcina #3 (sarcina cu un parametru)

La ce valori ale parametrului este suma rădăcinilor ecuației pătratice

Dacă rădăcinile acestei ecuații există, atunci , întrebarea este când .

Extinderea polinoamelor pentru a obține un produs pare uneori confuză. Dar nu este atât de dificil dacă înțelegeți procesul pas cu pas. Articolul detaliază cum să factorizezi un trinom pătrat.

Mulți nu înțeleg cum să factorizeze un trinom pătrat și de ce se face acest lucru. La început poate părea că acesta este un exercițiu inutil. Dar la matematică, nimic nu se face așa. Transformarea este necesară pentru a simplifica expresia și comoditatea calculului.

Un polinom având forma - ax² + bx + c, se numește trinom pătrat. Termenul „a” trebuie să fie negativ sau pozitiv. În practică, această expresie se numește ecuație pătratică. Prin urmare, uneori ei spun diferit: cum se extinde o ecuație pătratică.

Interesant! Un polinom pătrat este numit datorită gradului său cel mai mare - un pătrat. Și un trinom - din cauza celor 3 termeni componente.

Alte tipuri de polinoame:

• binom liniar (6x+8);
• patrulater cub (x³+4x²-2x+9).

Factorizarea unui trinom pătrat

În primul rând, expresia este egală cu zero, apoi trebuie să găsiți valorile rădăcinilor x1 și x2. Poate să nu existe rădăcini, pot fi una sau două rădăcini. Prezența rădăcinilor este determinată de discriminant. Formula sa trebuie cunoscută pe de rost: D=b²-4ac.

Dacă rezultatul lui D este negativ, nu există rădăcini. Dacă este pozitiv, există două rădăcini. Dacă rezultatul este zero, rădăcina este una. Rădăcinile se calculează și prin formula.

Dacă la calculul discriminantului rezultă zero, puteți aplica oricare dintre formule. În practică, formula este pur și simplu abreviată: -b / 2a.

Formulele pentru diferite valori ale discriminantului sunt diferite.

Dacă D este pozitiv:

Dacă D este zero:

Calculatoare online

Există un calculator online pe internet. Poate fi folosit pentru factorizare. Unele resurse oferă posibilitatea de a vedea soluția pas cu pas. Astfel de servicii vă ajută să înțelegeți mai bine subiectul, dar trebuie să încercați să înțelegeți bine.

Video util: Factorizarea unui trinom pătrat

Exemple

Vă sugerăm să urmăriți exemple simple despre cum să factorizați o ecuație pătratică.

Exemplul 1

Aici se arată clar că rezultatul va fi doi x, deoarece D este pozitiv. Ele trebuie înlocuite în formulă. Dacă rădăcinile sunt negative, semnul din formulă este inversat.

Cunoaștem formula pentru factorizarea unui trinom pătrat: a(x-x1)(x-x2). Punem valorile între paranteze: (x+3)(x+2/3). Nu există niciun număr înainte de termen în exponent. Aceasta înseamnă că există o unitate, este coborâtă.

Exemplul 2

Acest exemplu arată clar cum se rezolvă o ecuație care are o rădăcină.

Înlocuiți valoarea rezultată:

Exemplul 3

Dat: 5x²+3x+7

Mai întâi, calculăm discriminantul, ca în cazurile anterioare.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Discriminantul este negativ, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini.

După primirea rezultatului, merită să deschideți parantezele și să verificați rezultatul. Ar trebui să apară trinomul original.

Solutie alternativa

Unii oameni nu au reușit niciodată să se împrietenească cu discriminatorul. Există o altă modalitate de a factoriza un trinom pătrat. Pentru comoditate, metoda este prezentată într-un exemplu.

Dat: x²+3x-10

Știm că ar trebui să ajungem cu 2 paranteze: (_)(_). Când expresia arată astfel: x² + bx + c, punem x la începutul fiecărei paranteze: (x_) (x_). Cele două numere rămase sunt produsul care dă „c”, adică -10 în acest caz. Pentru a afla care sunt aceste numere, puteți utiliza doar metoda de selecție. Numerele înlocuite trebuie să se potrivească cu termenul rămas.

De exemplu, înmulțirea următoarelor numere dă -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nu.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nu.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nu.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Se potrivește.

Deci, transformarea expresiei x2+3x-10 arată astfel: (x-2)(x+5).

Important! Ar trebui să aveți grijă să nu confundați semnele.

Descompunerea unui trinom complex

Dacă „a” este mai mare decât unu, încep dificultățile. Dar totul nu este atât de dificil pe cât pare.

Pentru a factoriza, trebuie mai întâi să vedem dacă este posibil să factorizezi ceva.

De exemplu, având în vedere expresia: 3x²+9x-30. Aici numărul 3 este scos din paranteze:

3(x²+3x-10). Rezultatul este trinomul deja cunoscut. Răspunsul arată astfel: 3(x-2)(x+5)

Cum se descompune dacă termenul care este pătrat este negativ? În acest caz, numărul -1 este scos din paranteză. De exemplu: -x²-10x-8. Expresia va arăta astfel:

Schema diferă puțin de cea anterioară. Sunt doar câteva lucruri noi. Să presupunem că expresia este dată: 2x²+7x+3. Răspunsul este scris și în 2 paranteze, care trebuie completate cu (_) (_). X este scris în a 2-a paranteză, iar ceea ce a rămas în prima. Arată astfel: (2x_)(x_). În caz contrar, schema anterioară se repetă.

Numărul 3 dă numerele:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Rezolvăm ecuații prin înlocuirea numerelor date. Ultima opțiune se potrivește. Deci transformarea expresiei 2x²+7x+3 arată astfel: (2x+1)(x+3).

Alte cazuri

Nu este întotdeauna posibil să transformi o expresie. În a doua metodă, soluția ecuației nu este necesară. Dar posibilitatea de a converti termenii într-un produs este verificată doar prin discriminant.

Merită să exersați rezolvarea ecuațiilor pătratice, astfel încât să nu existe dificultăți atunci când utilizați formule.

Video util: factorizarea unui trinom

Concluzie

Îl poți folosi în orice fel. Dar este mai bine să lucrezi atât la automatism. De asemenea, cei care își vor conecta viața cu matematica trebuie să învețe cum să rezolve bine ecuațiile pătratice și să descompună polinoamele în factori. Toate următoarele subiecte matematice sunt construite pe aceasta.

In contact cu

Factorizarea trinoamelor pătrate este una dintre sarcinile școlare cu care toată lumea se confruntă mai devreme sau mai târziu. Cum să o facă? Care este formula pentru factorizarea unui trinom pătrat? Să o parcurgem pas cu pas cu exemple.

Formula generala

Factorizarea trinoamelor pătrate se realizează prin rezolvarea unei ecuații pătratice. Aceasta este o sarcină simplă care poate fi rezolvată prin mai multe metode - prin găsirea discriminantului, folosind teorema Vieta, există și o modalitate grafică de a o rezolva. Primele două metode sunt studiate în liceu.

Formula generală arată astfel:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritm de execuție a sarcinilor

Pentru a factoriza trinoame pătrate, trebuie să cunoașteți teorema lui Wit, să aveți la îndemână un program de rezolvare, să puteți găsi o soluție grafic sau să căutați rădăcinile unei ecuații de gradul doi prin formula discriminantă. Dacă este dat un trinom pătrat și acesta trebuie factorizat, algoritmul acțiunilor este următorul:

1) Echivalați expresia originală cu zero pentru a obține ecuația.

2) Dați termeni similari (dacă este necesar).

3) Găsiți rădăcinile prin orice metodă cunoscută. Metoda grafică este utilizată cel mai bine dacă se știe dinainte că rădăcinile sunt numere întregi și numere mici. Trebuie amintit că numărul de rădăcini este egal cu gradul maxim al ecuației, adică ecuația pătratică are două rădăcini.

4) Valoare de înlocuire Xîn expresia (1).

5) Notați factorizarea trinoamelor pătrate.

Exemple

Practica vă permite să înțelegeți în sfârșit cum este îndeplinită această sarcină. Exemplele ilustrează factorizarea unui trinom pătrat:

trebuie să extindeți expresia:

Să folosim algoritmul nostru:

1) x 2 -17x+32=0

2) termenii similari sunt redusi

3) conform formulei Vieta, este dificil să găsiți rădăcinile pentru acest exemplu, de aceea este mai bine să folosiți expresia pentru discriminant:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Înlocuiți rădăcinile pe care le-am găsit în formula principală de descompunere:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Atunci răspunsul va fi:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Să verificăm dacă soluțiile găsite de discriminant corespund formulelor Vieta:

14,845 . 2,155=32

Pentru aceste rădăcini se aplică teorema lui Vieta, au fost găsite corect, ceea ce înseamnă că factorizarea pe care am obţinut-o este şi ea corectă.

În mod similar, extindem 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

În cazul precedent, soluțiile nu erau întregi, ci numere reale, care sunt ușor de găsit cu un calculator în fața ta. Acum luați în considerare un exemplu mai complex în care rădăcinile sunt complexe: factorizați x 2 + 4x + 9. Conform formulei Vieta, rădăcinile nu pot fi găsite, iar discriminantul este negativ. Rădăcinile vor fi pe planul complex.

D=-20

Pe baza acestui lucru, obținem rădăcinile care ne interesează -4 + 2i * 5 1/2 și -4-2i * 5 1/2 deoarece (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Obținem expansiunea dorită prin înlocuirea rădăcinilor în formula generală.

Un alt exemplu: trebuie să factorizați expresia 23x 2 -14x + 7.

Avem ecuația 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Deci rădăcinile sunt 14+21,166i și 14-21.166i. Raspunsul va fi:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21.166i )*(X- 14+21.166i ).

Să dăm un exemplu care poate fi rezolvat fără ajutorul discriminantului.

Să fie necesară descompunerea ecuației pătratice x 2 -32x + 255. Evident, poate fi rezolvată și de discriminant, dar este mai rapid în acest caz să găsești rădăcinile.

x 1 =15

x2=17

Mijloace x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).