Foarte des, numărătorul și numitorul unei fracții sunt expresii algebrice care trebuie mai întâi descompuse în factori, apoi, după ce am găsit același lucru între ei, împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul în ele, adică reduceți fracția. Un întreg capitol al unui manual de algebră în clasa a VII-a este dedicat sarcinilor de factorizare a unui polinom. Factorizarea se poate face 3 moduri, precum și o combinație a acestor metode.
1. Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate
După cum se știe înmulțiți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt polinom și să adăugați produsele rezultate. Există cel puțin 7 (șapte) cazuri comune de înmulțire a polinoamelor care sunt incluse în concept. De exemplu,
Tabelul 1. Factorizarea în primul mod
2. Scoaterea factorului comun din paranteză
Această metodă se bazează pe aplicarea legii distributive a înmulțirii. De exemplu,
Împărțim fiecare termen al expresiei originale la factorul pe care îl scoatem și, în același timp, obținem expresia dintre paranteze (adică rezultatul împărțirii a ceea ce a fost la ceea ce scoatem rămâne între paranteze). În primul rând, ai nevoie determinați corect multiplicatorul, care trebuie să fie între paranteze.
Polinomul dintre paranteze poate fi, de asemenea, un factor comun:
Când efectuați sarcina de „factorizare”, trebuie să fiți deosebit de atenți cu semnele atunci când scoateți factorul comun din paranteze. Pentru a schimba semnul fiecărui termen dintr-o paranteză (b - a), scoatem factorul comun -1 , în timp ce fiecare termen din paranteză este împărțit la -1: (b - a) = - (a - b) .
În cazul în care expresia dintre paranteze este pătrată (sau la orice putere pară), atunci numerele din paranteze pot fi schimbate complet gratuit, deoarece minusurile scoase dintre paranteze se vor transforma în plus într-un plus atunci când sunt înmulțite: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 și așa mai departe…
3. Metoda grupării
Uneori nu toți termenii din expresie au un factor comun, ci doar unii. Atunci poți încerca termeni de grup între paranteze, astfel încât să poată fi scos din fiecare un factor. Metoda de grupare este dubla paranteză a factorilor comuni.
4. Folosind mai multe metode simultan
Uneori trebuie să aplicați nu una, ci mai multe moduri de a factoriza un polinom în factori simultan.
Acesta este un rezumat al subiectului. "Factorizare". Alegeți următorii pași:
- Treceți la următorul rezumat:
- 1. Scoaterea factorului comun din paranteze și metoda de grupare. În unele cazuri, este recomandabil să înlocuiți unii termeni cu suma (diferența) de termeni similari sau să introduceți termeni care se anulează reciproc.
- 2. Folosind formule de înmulțire prescurtate. Uneori trebuie să scoateți factorii din paranteze, să grupați termenii, să selectați un pătrat întreg și abia apoi să reprezentați suma cuburilor, diferența de pătrate sau diferența de cuburi ca produs.
- 3. Folosind teorema Bezout și metoda coeficienților nedeterminați.
Exemplu . Multiplica:
P 3 (x)= x 3 +4x 2 +5x+2;
Deoarece P 3 (-1)=0, atunci polinomul P 3 (x) este divizibil cu x+1. Folosind metoda coeficienților nedeterminați, găsim câtul împărțirii polinomului
P 3 (x)= x 3 +4x 2 +5x+2 prin binomul x+1.
Fie câtul un polinom x 2 +. Deoarece x 3 +4x 2 +5x+2=(x+1) (x 2 +)=
X 3 +(+1) x 2 +() x+, obținem sistemul:
Unde. Prin urmare, P 3 (x)=(x+1)·(x 2 +3x+2).
Deoarece x 2 +3x+2=x 2 +x+2x+2=x (x+1)+2 (x+1)=(x+1) (x+2), atunci P 3 (x )=( x+1) 2 (x+2).
4. Folosind teorema Bezout și împărțirea după o „coloană”.
Exemplu . Factorizați
P 4 (x) \u003d 5 x 4 +9 x 3 -2 x 2 -4 x -8.
Soluţie . Deoarece P 4 (1) = 5+9-2-4-8 = 0, atunci P 4 (x) este divizibil cu (x-1). Împărțirea după o „coloană” găsim coeficientul
Prin urmare,
P 4 (x) \u003d (x-) (5 x 3 +14x 2 +12x + 8) \u003d
= (x-1) P 3 (x).
Deoarece P 3 (-2) = -40+56-24+8=0, atunci polinomul P 3 (x) = 5 x 3 +14x 2 +12x+8 este divizibil cu x+2.
Să găsim coeficientul împărțind „coloana”:
Prin urmare,
P 3 (x) \u003d (x + 2) (5 x 2 + 4x + 4).
Deoarece discriminantul trinomului pătrat 5 x 2 +4x+4 este D = -24<0, то этот
trinomul pătrat nu se descompune în factori liniari.
Deci, P 4 (x) = (x-1) (x+2) (5 x 2 +4x+4)
5. Utilizarea teoremei lui Bezout și a schemei lui Horner. Coeficientul obtinut prin aceste metode poate fi factorizat in orice alt mod sau in acelasi mod.
Exemplu . Multiplica:
P 3 (x) \u003d 2 x 3 -5 x 2 -196 x + 99;
Soluţie .
Dacă acest polinom are rădăcini raționale, atunci ele pot fi doar printre numerele 1/2, 1, 3/2, 3, 9/2, 11/2, 9, 33, 99, 11.
Pentru a găsi rădăcina acestui polinom, folosim următoarea afirmație:
Dacă la capetele unui anumit segment valorile polinomului au semne diferite, atunci pe interval (A; b) există cel puțin o rădăcină a acestui polinom.
Pentru un polinom dat P 3 (0) =99, P 3 (1) = - 100. Prin urmare, pe intervalul (0; 1) există cel puțin o rădăcină a acestui polinom. Prin urmare, dintre cele 24 de numere scrise mai sus, este indicat să verificați mai întâi acele numere care aparțin intervalului
(0; 1). Dintre aceste numere, doar unul aparține acestui interval.
Valoarea lui P 3 (x) la x=1/2 poate fi găsită nu numai prin substituție directă, ci și în alte moduri, de exemplu, conform schemei Horner, deoarece P () este egal cu restul împărțirii polinomul P (x) prin x-. Mai mult, în multe exemple această metodă este de preferat, deoarece coeficienții coeficientului se găsesc și în același timp.
Conform schemei Horner pentru acest exemplu, obținem:
Deoarece P 3 (1/2) = 0, atunci x =1/2 este rădăcina polinomului P 3 (x), iar polinomul P 3 (x) este divizibil cu x-1/2, adică. 2 x 3 -5 x 2 -196 x + 99 \u003d (x-1/2) (2 x 2 -4 x-198).
Deoarece 2 x 2 -4 x-198 = 2 (x 2 -2 x+1-100) = 2 ((x-1) 2 -10 2) = 2 (x+9) ( x-11), atunci
P 3 (x) \u003d 2 x 3 -5 x 2 -196 x + 99 \u003d 2 (x-1/2) (x + 9) (x-11).
Conceptul de inel polinomial
Lăsa LAȘi L inele comutative
Definiția 1 : Inel LA se numește o simplă extensie de inel K folosind elemente X si scrie:
L=K[x] daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:
subring al inelului
Set principal K[x] notate prin simboluri L, K[x].
Definiția 2 : Extensie simplă L=K[x] inele K prin utilizarea X- o simpla extensie transcendentala a inelului K prin utilizarea X daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:
subring al inelului
Daca atunci
Definiția 3 : Element X se numește transcendental peste inel K, dacă condiția este îndeplinită: , dacă, atunci
Oferi. Lăsa K[x] extensie transcendentală simplă. Dacă și unde atunci
Dovada . După condiție, scădem a doua din prima expresie, obținem: din moment ce elementul X transcendent peste K, apoi din (3) obținem:.
Concluzie. Orice element al unei simple extensii transcendentale non-nule a unui inel comutativ K folosind elementul X admite o reprezentare unică ca o combinație liniară a puterilor întregi nenegative ale unui element X
Definiție: Un inel polinomial din necunoscut X peste un inel diferit de zero K se numește o extensie transcendentală simplă a unui inel comutativ diferit de zero K folosind elementul X.
Teorema . Pentru orice inel comutativ diferit de zero K, există o simplă extensie transcendentală a acesteia cu elementul x, k[x]
Operatii pe polinoame
Fie k[x] un inel polinomial al unui inel comutativ diferit de zero K
Definiția 1: Polinoamele f și g aparținând lui k[x] se numesc egale și se scrie f = g dacă toți coeficienții polinoamelor f și g sunt egali între ei, la aceleași puteri ale necunoscutului. X.
Consecinţă . În scrierea unui polinom, ordinea termenilor nu este esențială. Atribuirea și excluderea termenilor cu coeficient zero din înregistrarea polinomului nu va modifica polinomul.
Definiția 2. Suma polinoamelor f și g este polinomul f + g definit prin egalitate:
Definiția 3 : - produsul polinoamelor, notat, care este determinat de regula:
Gradul de polinoame
Fie un inel comutativ. k[x] inel polinomial peste un câmp K : ,
Definiție : Fie orice polinom. Dacă, atunci un întreg nenegativ n este gradul polinoamelor f. În același timp ei scriu n=deg f.
Numerele sunt coeficienții polinomului, unde este coeficientul principal.
Dacă, f- normalizat. Gradul polinomului zero este nedefinit.
Proprietăţile gradului polinomial
K- zona de integritate
Dovada :
Din moment ce și. LA- zona de integritate.
Corolarul 1 : k[x] peste câmp LA(zona de integritate) la rândul său este o zonă de integritate. Pentru orice domeniu de integritate, există un domeniu de particularitate.
Consecința 2 : Pentru orice k[x] peste domeniul de integritate LA există un câmp privat.
Împărțirea după un binom și rădăcinile unui polinom.
Fie ca elementul să fie numit valoarea polinomului f din argument.
teorema lui Bezout : Pentru orice polinom și element, există un element: .
Dovada : Fie orice polinom
Consecinţă : Restul împărțirii unui polinom la, este egal.
Definiție : Elementul se numește rădăcina polinomului f, Dacă.
Teorema : Fie, elementul să fie rădăcina f dacă și numai dacă împărțind f
Dovada:
Necesitatile. Fie că, din teorema lui Bezout rezultă că, din proprietățile divizibilității rezultă că
Suficienta. Lasă asta. h.t.d.
Numărul maxim de rădăcini polinomiale peste regiunea de integritate.
Teorema : Fie k zona de integritate. Numărul de rădăcini ale unui polinom fîn domeniul integrităţii k nu mai mult grad n polinom f.
Dovada :
Prin inductie asupra gradului unui polinom. Fie polinomul f are zero rădăcini, iar numărul lor nu depășește.
Fie teorema să fie demonstrată pentru oricare.
Să arătăm că itemul 2 implică adevărul afirmației teoremei pentru polinoame.
Fie și, există două cazuri posibile:
- A) polinom f nu are rădăcini, prin urmare afirmația teoremei este adevărată.
- B) Polinom f are cel puţin o rădăcină, după teorema lui Bezout, din moment ce k- aria de integritate apoi prin proprietatea 3 (gradele polinomului), rezultă că
Deoarece, k- zona de integritate.
Astfel, toate rădăcinile polinomului, este rădăcina polinomului gîntrucât, prin ipoteza de inducție, numărul tuturor rădăcinilor polinomului g nu mai mult n, prin urmare, f nu mai are ( n+ 1) rădăcină.
Consecinţă : Lăsa k- aria de integritate, dacă numărul de rădăcini ale polinomului f mai mult număr n, atunci unde f este un polinom zero.
Egalitatea algebrică și funcțională a polinoamelor
Fie - un polinom, definește o funcție
în general, orice polinom poate defini o funcție.
Teorema : Lăsa k- zona de integritate, astfel, pentru egalitatea polinoamelor și egalitatea (egalitate identică ()) definită de și.
Dovada :
Necesitatile. Să fie și să fie domeniul integrității, .
Să, adică
Suficienta. Să ne prefacem că. Luați în considerare, pentru că k domeniul de integritate, apoi polinomul h are un număr de rădăcini, din corolar rezultă că h polinom zero. Astfel, h.t.d.
Teorema de divizibilitate cu rest
Definiție : inel euclidian K se numește o astfel de zonă de integritate k, că funcția este definită pe platou h, luând valori întregi nenegative și satisface condiția
În procesul de găsire a elementelor pentru aceste elemente se numește împărțire cu un rest, - un coeficient incomplet, - restul împărțirii.
Fie un inel polinomial peste un câmp.
Teoremă (la împărțirea cu rest) : Fie un inel de polinoame peste un câmp și un polinom există o pereche unică de polinoame astfel încât și condiția sau este satisfăcută. sau
Dovada : Existența unui polinom. Să, adică. Teorema este adevărată, evident, dacă - zero sau, deoarece sau. Să demonstrăm teorema când. Vom efectua demonstrarea prin inducție a gradului unui polinom, să presupunem că teorema este demonstrată (cu excepția unicității) pentru un polinom. Să arătăm că în acest caz afirmația teoremei este valabilă pentru . Într-adevăr, să fie coeficientul conducător al polinomului, prin urmare, polinomul va avea același coeficient principal și același grad ca polinomul, prin urmare polinomul va avea sau este un polinom zero. Dacă, atunci, deci, pentru și obținem. Dacă, atunci prin presupunerea inductivă, deci, adică pentru că obținem sau. Se dovedește existența polinomului.
Să arătăm că o astfel de pereche de polinoame este unică.
Să existe sau, să scadă: . Sunt două cazuri sau.
Pe cealaltă parte. După condiția gradului sau, sau.
Dacă. Se obţine astfel o contradicţie. Unicitatea este dovedită.
Corolarul 1 : Inelul de polinoame de peste câmp este spațiul euclidian.
Consecința 2 : Inelul polinoamelor peste, este inelul idealurilor principale (orice ideal are un generator unic)
Orice inel euclidian este factorial: un inel polinomial peste se numește inel factorial.
algoritmul lui Euclid. MCD a două polinoame
Fie inelul de polinoame să se termine.
Definiția 1 : Fie și, dacă există un polinom, atunci restul diviziunii este zero, atunci se numește divizor al polinomului și se notează: ().
Definiția 2 : Cel mai mare divizor comun al polinoamelor se numește polinom:
și (- divizor comun și).
(la orice divizor comun si).
Cel mai mare divizor comun al polinoamelor este notat cu mcd(;). Divizorii comuni ai oricăror polinoame includ toate polinoamele de grade zero din, adică un câmp diferit de zero. Se poate dovedi că două polinoame date și nu au divizori comuni care nu sunt polinoame zero.
Definiție : Dacă polinoame și nu au divizori comuni care nu sunt polinoame de grad zero, atunci se numesc coprim.
Lema : Dacă polinoame dintr-un câmp, este valabil, atunci cel mai mare divizor comun al polinoamelor și este asociat cu mcd. ~
Record ( a~b) înseamnă că (și) prin definiție.
Dovada : Lasă și
și, de aici rezultă că învățăm că este un divizor comun al polinomului și.
divizor comun și, obținem
algoritmul lui Euclid
Luați în considerare, folosind exemple specifice, cum să factorizați un polinom.
Vom extinde polinoamele în conformitate cu .
Factorizarea polinoamelor:
Verificați dacă există un factor comun. da, este egal cu 7cd. Să-l scoatem din paranteze:
Expresia dintre paranteze este formată din doi termeni. Nu mai există un factor comun, expresia nu este o formulă pentru suma cuburilor, ceea ce înseamnă că descompunerea este finalizată.
Verificați dacă există un factor comun. Nu. Polinomul este format din trei termeni, așa că verificăm dacă există o formulă pătrat complet. Doi termeni sunt pătratele expresiilor: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², al treilea termen este egal cu dublul produsului acestor expresii: 2∙5x∙3y=30xy. Deci acest polinom este un pătrat perfect. Deoarece produsul dublu este cu semnul minus, atunci acesta este:
Verificăm dacă este posibil să scoatem factorul comun din paranteze. Există un factor comun, este egal cu a. Să-l scoatem din paranteze:
Sunt doi termeni între paranteze. Verificăm dacă există o formulă pentru diferența de pătrate sau diferența de cuburi. a² este pătratul lui a, 1=1². Deci, expresia dintre paranteze poate fi scrisă conform formulei diferenței de pătrate:
Există un factor comun, este egal cu 5. Îl scoatem din paranteze:
între paranteze sunt trei termeni. Verificați dacă expresia este un pătrat perfect. Doi termeni sunt pătrate: 16=4² și a² este pătratul lui a, al treilea termen este egal cu dublul produsului lui 4 și a: 2∙4∙a=8a. Prin urmare, este un pătrat perfect. Deoarece toți termenii sunt cu semnul „+”, expresia dintre paranteze este pătratul complet al sumei:
Factorul comun -2x este scos din paranteze:
Între paranteze este suma celor doi termeni. Verificăm dacă expresia dată este suma cuburilor. 64=4³, x³-cub x. Deci, binomul poate fi extins conform formulei:
Există un factor comun. Dar, deoarece polinomul este format din 4 membri, vom scoate mai întâi și abia apoi factorul comun din paranteze. Grupăm primul termen cu al patrulea, în al doilea - cu al treilea:
Din primele paranteze scoatem factorul comun 4a, din al doilea - 8b:
Nu există încă un multiplicator comun. Pentru a-l obține, din a doua paranteză vom scoate parantezele „-”, în timp ce fiecare semn din paranteze se va schimba în opus:
Acum luăm factorul comun (1-3a) din paranteze:
În a doua paranteză există un factor comun 4 (acesta este același factor pe care nu l-am scos din paranteze la începutul exemplului):
Deoarece polinomul este format din patru termeni, efectuăm gruparea. Grupăm primul termen cu al doilea, al treilea cu al patrulea:
Nu există un factor comun în primele paranteze, dar există o formulă pentru diferența de pătrate, în a doua paranteză factorul comun este -5:
A apărut un factor comun (4m-3n). Să-l scoatem din paranteze.
Pentru factorizare este necesară simplificarea expresiilor. Acest lucru este necesar pentru a putea reduce în continuare. Descompunerea unui polinom are sens atunci când gradul său nu este mai mic decât al doilea. Un polinom cu gradul I se numește liniar.
Articolul va dezvălui toate conceptele de descompunere, fundamentele teoretice și metodele de factorizare a unui polinom.
Teorie
Teorema 1Când orice polinom cu gradul n având forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , sunt reprezentate ca un produs cu un factor constant cu gradul cel mai mare a n și n factori liniari (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , apoi P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , unde x i , i = 1 , 2 , … , n - acestea sunt rădăcinile polinomului.
Teorema este destinată rădăcinilor de tip complex x i , i = 1 , 2 , … , n și pentru coeficienți complecși a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Aceasta este baza oricărei descompunere.
Când coeficienții de forma a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n sunt numere reale, atunci rădăcinile complexe vor apărea în perechi conjugate. De exemplu, rădăcinile x 1 și x 2 legate de un polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sunt considerate conjugate complexe, atunci celelalte rădăcini sunt reale, deci obținem că polinomul ia forma P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, unde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
cometariu
Rădăcinile unui polinom pot fi repetate. Luați în considerare demonstrația teoremei algebrei, consecințele teoremei lui Bezout.
Teorema fundamentală a algebrei
Teorema 2Orice polinom cu gradul n are cel puțin o rădăcină.
teorema lui Bezout
După împărțirea unui polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 pe (x - s) , atunci obținem restul, care este egal cu polinomul din punctul s , apoi obținem
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , unde Q n - 1 (x) este un polinom cu grad n - 1 .
Corolar din teorema lui Bezout
Când rădăcina polinomului P n (x) este considerată s , atunci P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Acest corolar este suficient atunci când este utilizat pentru a descrie soluția.
Factorizarea unui trinom pătrat
Un trinom pătrat de forma a x 2 + b x + c poate fi factorizat în factori liniari. atunci obținem că a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , unde x 1 și x 2 sunt rădăcini (complexe sau reale).
Aceasta arată că descompunerea în sine se reduce la rezolvarea mai târziu a ecuației pătratice.
Exemplul 1
Factorizați un trinom pătrat.
Soluţie
Este necesar să găsiți rădăcinile ecuației 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea discriminantului conform formulei, apoi obținem D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Prin urmare, avem asta
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
De aici obținem că 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Pentru a efectua verificarea, trebuie să deschideți parantezele. Apoi obținem o expresie de forma:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
După verificare, ajungem la expresia originală. Adică putem concluziona că extinderea este corectă.
Exemplul 2
Factorizați un trinom pătrat de forma 3 x 2 - 7 x - 11 .
Soluţie
Obținem că este necesar să se calculeze ecuația pătratică rezultată de forma 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Pentru a găsi rădăcinile, trebuie să determinați valoarea discriminantului. Înțelegem asta
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816
De aici obținem că 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .
Exemplul 3
Factorizați polinomul 2 x 2 + 1.
Soluţie
Acum trebuie să rezolvați ecuația pătratică 2 x 2 + 1 = 0 și să găsiți rădăcinile acesteia. Înțelegem asta
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Aceste rădăcini sunt numite conjugate complexe, ceea ce înseamnă că descompunerea în sine poate fi reprezentată ca 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Exemplul 4
Extindeți trinomul pătrat x 2 + 1 3 x + 1 .
Soluţie
Mai întâi trebuie să rezolvați o ecuație pătratică de forma x 2 + 1 3 x + 1 = 0 și să găsiți rădăcinile acesteia.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i
După ce au obținut rădăcinile, scriem
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
cometariu
Dacă valoarea discriminantului este negativă, atunci polinoamele vor rămâne polinoame de ordinul doi. De aici rezultă că nu le vom descompune în factori liniari.
Metode de factorizare a unui polinom de grad mai mare decât al doilea
Descompunerea presupune o metodă universală. Majoritatea cazurilor se bazează pe un corolar al teoremei lui Bezout. Pentru a face acest lucru, trebuie să selectați valoarea rădăcinii x 1 și să micșorați gradul ei prin împărțirea la un polinom la 1 prin împărțirea la (x - x 1) . Polinomul rezultat trebuie să găsească rădăcina x 2 , iar procesul de căutare este ciclic până când obținem o expansiune completă.
Dacă rădăcina nu este găsită, atunci se folosesc alte metode de factorizare: grupare, termeni suplimentari. Acest subiect presupune soluția ecuațiilor cu puteri mai mari și coeficienți întregi.
Scoaterea factorului comun din paranteze
Luați în considerare cazul în care termenul liber este egal cu zero, atunci forma polinomului devine P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .
Se poate observa că rădăcina unui astfel de polinom va fi egală cu x 1 \u003d 0, atunci puteți reprezenta polinomul sub forma unei expresii P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Se consideră că această metodă elimină factorul comun din paranteze.
Exemplul 5
Factorizați polinomul de gradul al treilea 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Soluţie
Vedem că x 1 \u003d 0 este rădăcina polinomului dat, apoi putem include x din întreaga expresie. Primim:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Să trecem la găsirea rădăcinilor trinomului pătrat 4 x 2 + 8 x - 1. Să găsim discriminantul și rădăcinile:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Apoi rezultă că
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Pentru început, să luăm în considerare o metodă de descompunere care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , unde coeficientul celei mai mari puteri este 1 .
Când polinomul are rădăcini întregi, atunci ele sunt considerate divizori ai termenului liber.
Exemplul 6
Extindeți expresia f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Soluţie
Luați în considerare dacă există rădăcini întregi. Este necesar să scrieți divizorii numărului - 18. Obținem că ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Rezultă că acest polinom are rădăcini întregi. Puteți verifica conform schemei Horner. Este foarte convenabil și vă permite să obțineți rapid coeficienții de expansiune ai unui polinom:
Rezultă că x \u003d 2 și x \u003d - 3 sunt rădăcinile polinomului original, care poate fi reprezentat ca un produs de forma:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Ne întoarcem la descompunerea unui trinom pătrat de forma x 2 + 2 x + 3 .
Deoarece discriminantul este negativ, înseamnă că nu există rădăcini reale.
Răspuns: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
cometariu
Este permisă folosirea selecției rădăcinilor și împărțirea unui polinom cu un polinom în locul schemei lui Horner. Să trecem la considerarea expansiunii unui polinom care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , dintre care cel mai mare nu este egal cu unul.
Acest caz are loc pentru fracțiile raționale fracționale.
Exemplul 7
Factorizează f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Soluţie
Este necesar să se schimbe variabila y = 2 x , se trece la un polinom cu coeficienți egali cu 1 la gradul cel mai înalt. Trebuie să începeți prin înmulțirea expresiei cu 4. Înțelegem asta
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Când funcția rezultată a formei g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 are rădăcini întregi, atunci găsirea lor se află printre divizorii termenului liber. Intrarea va arăta astfel:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
Să trecem la calculul funcției g (y) în aceste puncte pentru a obține zero ca rezultat. Înțelegem asta
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Obținem că y \u003d - 5 este rădăcina ecuației de forma y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, ceea ce înseamnă că x \u003d y 2 \u003d - 5 2 este rădăcina funcției inițiale.
Exemplul 8
Este necesar să se împartă la o coloană 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 cu x + 5 2.
Soluţie
Scriem și obținem:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Verificarea divizorilor va dura mult timp, deci este mai profitabil să luăm factorizarea trinomului pătrat rezultat de forma x 2 + 7 x + 3. Echivalând cu zero, găsim discriminantul.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
De aici rezultă că
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Trucuri artificiale la factorizarea unui polinom
Rădăcinile raționale nu sunt inerente în toate polinoamele. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați metode speciale pentru a găsi factori. Dar nu toate polinoamele pot fi descompuse sau reprezentate ca produs.
Metoda de grupare
Există cazuri în care puteți grupa termenii unui polinom pentru a găsi un factor comun și a-l scoate din paranteze.
Exemplul 9
Factorizează polinomul x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Soluţie
Deoarece coeficienții sunt numere întregi, atunci rădăcinile pot fi, probabil, și numere întregi. Pentru a verifica, luăm valorile 1 , - 1 , 2 și - 2 pentru a calcula valoarea polinomului în aceste puncte. Înțelegem asta
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Acest lucru arată că nu există rădăcini, este necesar să se folosească o metodă diferită de descompunere și soluție.
Gruparea este necesară:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
După gruparea polinomului inițial, este necesar să-l reprezentăm ca produs a două trinoame pătrate. Pentru a face acest lucru, trebuie să factorizăm. înţelegem asta
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
cometariu
Simplitatea grupării nu înseamnă că este suficient de ușor să alegeți termenii. Nu există o modalitate certă de a o rezolva, de aceea este necesar să folosiți teoreme și reguli speciale.
Exemplul 10
Factorizează polinomul x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.
Soluţie
Polinomul dat nu are rădăcini întregi. Termenii trebuie grupați. Înțelegem asta
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
După factoring, obținem asta
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Folosind înmulțirea prescurtată și formulele binomiale ale lui Newton pentru a factoriza un polinom
Aspectul nu indică întotdeauna clar ce mod de utilizare în timpul descompunerii. După ce au fost făcute transformările, puteți construi o linie formată din triunghiul lui Pascal, altfel se numesc binomul lui Newton.
Exemplul 11
Factorizează polinomul x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Soluţie
Este necesar să convertiți expresia în formă
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Secvența de coeficienți ai sumei dintre paranteze este indicată prin expresia x + 1 4 .
Deci avem x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .
După aplicarea diferenței de pătrate, obținem
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Luați în considerare expresia care se află în a doua paranteză. Este clar că nu există cai acolo, așa că formula pentru diferența de pătrate ar trebui aplicată din nou. Primim o expresie ca
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Exemplul 12
Factorizează x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Soluţie
Să schimbăm expresia. Înțelegem asta
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de cuburi. Primim:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
O metodă pentru înlocuirea unei variabile la factorizarea unui polinom
La schimbarea unei variabile, gradul este redus și polinomul este factorizat.
Exemplul 13
Factorizați un polinom de forma x 6 + 5 x 3 + 6 .
Soluţie
Prin condiție, este clar că este necesar să se facă o înlocuire y = x 3 . Primim:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Rădăcinile ecuației pătratice rezultate sunt y = - 2 și y = - 3, atunci
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a sumei cuburilor. Obținem expresii de forma:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Adică am obținut expansiunea dorită.
Cazurile discutate mai sus vor ajuta la luarea în considerare și factorizarea unui polinom în diferite moduri.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
În această lecție, vom aminti toate metodele studiate anterior de factorizare a unui polinom și vom lua în considerare exemple de aplicare a acestora, în plus, vom studia o nouă metodă - metoda pătratului complet și vom învăța cum să o aplicăm în rezolvarea diferitelor probleme.
Subiect:Factorizarea polinoamelor
Lecţie:Factorizarea polinoamelor. Metoda de selecție a pătratului complet. Combinație de metode
Amintiți-vă principalele metode de factorizare a unui polinom care au fost studiate mai devreme:
Metoda de a scoate din paranteze un factor comun, adică un factor care este prezent în toți membrii polinomului. Luați în considerare un exemplu:
Amintiți-vă că un monom este un produs al puterilor și al numerelor. În exemplul nostru, ambii membri au câteva elemente comune, identice.
Deci, să scoatem factorul comun din paranteze:
;
Amintiți-vă că înmulțind multiplicatorul redat cu paranteză, puteți verifica corectitudinea redării.
metoda de grupare. Nu este întotdeauna posibil să scoateți un factor comun dintr-un polinom. În acest caz, trebuie să-i împărțiți membrii în grupuri, astfel încât în fiecare grup să puteți scoate un factor comun și să încercați să-l descompuneți astfel încât, după eliminarea factorilor din grupuri, să apară un factor comun pentru întreaga expresie, iar expansiunea ar putea fi continuată. Luați în considerare un exemplu:
Grupați primul termen cu al patrulea, al doilea cu al cincilea și, respectiv, al treilea cu al șaselea:
Să scoatem factorii comuni din grupuri:
Expresia are un factor comun. Hai să-l scoatem:
Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate. Luați în considerare un exemplu:
;
Să scriem expresia în detaliu:
Evident, avem în față formula pătratului diferenței, deoarece există o sumă a pătratelor a două expresii și din ea se scade produsul lor dublu. Să trecem după formula:
Astăzi vom învăța un alt mod - metoda de selecție a pătratului complet. Se bazează pe formulele pătratului sumei și pătratului diferenței. Amintiți-le:
Formula pentru pătratul sumei (diferența);
Particularitatea acestor formule este că conțin pătrate a două expresii și produsul lor dublu. Luați în considerare un exemplu:
Să scriem expresia:
Deci prima expresie este , iar a doua .
Pentru a face o formulă pentru pătratul sumei sau al diferenței, produsul dublu al expresiilor nu este suficient. Trebuie adăugat și scăzut:
Să restrângem pătratul complet al sumei:
Să transformăm expresia rezultată:
Aplicăm formula diferenței de pătrate, amintim că diferența de pătrate a două expresii este produsul și sumele prin diferența lor:
Deci, această metodă constă, în primul rând, în faptul că este necesar să se identifice expresiile a și b care sunt pătrate, adică să se determine care expresii sunt pătrate în acest exemplu. După aceea, trebuie să verificați prezența unui produs dublu și, dacă nu este acolo, adăugați și scădeți, acest lucru nu va schimba sensul exemplului, dar polinomul poate fi factorizat folosind formulele pentru pătratul lui. suma sau diferența și diferența de pătrate, dacă este posibil.
Să trecem la rezolvarea exemplelor.
Exemplul 1 - factorizați:
Găsiți expresii care sunt la pătrat:
Să scriem care ar trebui să fie produsul lor dublu:
Să adunăm și să scădem produsul dublu:
Să restrângem pătratul complet al sumei și să dăm altele similare:
Vom scrie după formula diferenței de pătrate:
Exemplul 2 - rezolvați ecuația:
;
Există un trinom în partea stângă a ecuației. Trebuie să-l factorizezi. Folosim formula pătratului diferenței:
Avem pătratul primei expresii și produsul dublu, lipsește pătratul celei de-a doua expresii, să adunăm și să scădem:
Să prăbușim pătratul complet și să dăm termeni similari:
Să aplicăm formula diferenței de pătrate:
Deci avem ecuația 
Știm că produsul este egal cu zero doar dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Pe baza acestui lucru, vom scrie ecuații:
Să rezolvăm prima ecuație:
Să rezolvăm a doua ecuație:
Răspuns: sau
;
Acționăm în mod similar cu exemplul anterior - selectați pătratul diferenței.
