Operația aritmetică care este efectuată ultima când se calculează valoarea unei expresii este operația „master”.

Adică dacă înlocuiți câteva (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este înmulțirea, atunci avem un produs (expresia este factorizată).

Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi redusă).

Pentru a consolida acest lucru, rezolvați singur câteva exemple:

Exemple:

Solutii:

1. Sper că nu te-ai grăbit imediat să tai și? Încă nu a fost suficient să „reducem” unități ca aceasta:

Primul pas ar trebui să fie factorizarea:

4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Reducerea fracțiilor la un numitor comun.

Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite este o operație familiară: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii.

Să ne amintim:

Raspunsuri:

1. Numitorii și sunt relativ primi, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM a acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:

2. Aici numitorul comun este:

3. Aici, în primul rând, convertim fracțiile mixte în fracțiuni improprii și apoi conform schemei obișnuite:

Este cu totul altceva dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:

Să începem cu ceva simplu:

a) Numitorii nu conțin litere

Aici totul este la fel ca în cazul fracțiilor numerice obișnuite: găsim numitorul comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii:

Acum, la numărător, puteți da unele similare, dacă există, și le puteți factoriza:

Incearca-l tu insuti:

Raspunsuri:

b) Numitorii conțin litere

Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:

· în primul rând, determinăm factorii comuni;

· apoi scriem toți factorii comuni pe rând;

· și înmulțiți-le cu toți ceilalți factori necomuni.

Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi factorăm în factori primi:

Să subliniem factorii comuni:

Acum să scriem factorii comuni unul câte unul și să adăugăm la ei toți factorii neobișnuiți (nesubliniați):

Acesta este numitorul comun.

Să revenim la litere. Numitorii sunt dați exact în același mod:

· factorizarea numitorilor;

· determina factori comuni (identici);

· scrieți toți factorii comuni o dată;

· înmulțiți-le cu toți ceilalți factori necomuni.

Deci, în ordine:

1) factorizează numitorii:

2) determinați factori comuni (identici):

3) scrieți toți factorii comuni o dată și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori (nesubliniați):

Deci aici există un numitor comun. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua - cu:

Apropo, există un singur truc:

De exemplu: .

Vedem aceiași factori în numitori, doar toți cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:

într-o măsură

într-o măsură.

Să complicăm sarcina:

Cum se face ca fracțiile să aibă același numitor?

Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:

Nicăieri nu spune că același număr poate fi scăzut (sau adunat) de la numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că nu este adevărat!

Vedeți singur: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu, . Ce ai învățat?

Deci, o altă regulă de neclintit:

Când reduceți fracțiile la un numitor comun, utilizați numai operația de înmulțire!

Dar cu ce trebuie să înmulțiți pentru a obține?

Deci înmulțiți cu. Și înmulțiți cu:

Vom numi expresiile care nu pot fi factorizate „factori elementari”.

De exemplu, - acesta este un factor elementar. - La fel. Dar nu: poate fi factorizat.

Dar expresia? Este elementar?

Nu, deoarece poate fi factorizat:

(ați citit deja despre factorizare în subiectul „”).

Deci, factorii elementari în care descompuneți o expresie cu litere sunt un analog al factorilor simpli în care descompuneți numerele. Și ne vom ocupa de ei în același mod.

Vedem că ambii numitori au un multiplicator. Va merge la numitorul comun al gradului (vă amintiți de ce?).

Factorul este elementar și nu au un factor comun, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu înmulțită cu ea:

Alt exemplu:

Soluţie:

Înainte de a înmulți acești numitori în panică, trebuie să te gândești cum să-i factorizezi? Ambele reprezintă:

Grozav! Apoi:

Alt exemplu:

Soluţie:

Ca de obicei, să factorizăm numitorii. La primul numitor pur și simplu îl punem între paranteze; în al doilea - diferența de pătrate:

S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți cu atenție, sunt asemănătoare... Și este adevărat:

Deci hai sa scriem:

Adică, s-a dovedit așa: în paranteză am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat în opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.

Acum să o aducem la un numitor comun:

Am înţeles? Să verificăm acum.

Sarcini pentru soluție independentă:

Raspunsuri:

Aici trebuie să ne amintim încă un lucru - diferența de cuburi:

Vă rugăm să rețineți că numitorul celei de-a doua fracții nu conține formula „pătratul sumei”! Pătratul sumei ar arăta astfel: .

A este așa-numitul pătrat incomplet al sumei: al doilea termen din acesta este produsul dintre primul și ultimul, și nu produsul lor dublu. Pătratul parțial al sumei este unul dintre factorii de extindere a diferenței de cuburi:

Ce să faci dacă există deja trei fracții?

Da, același lucru! În primul rând, să ne asigurăm că numărul maxim de factori din numitori este același:

Vă rugăm să rețineți: dacă schimbați semnele dintr-o paranteză, semnul din fața fracției se schimbă în opus. Când schimbăm semnele din a doua paranteză, semnul din fața fracției se schimbă din nou în opus. Ca urmare, acesta (semnul din fața fracției) nu s-a schimbat.

Scriem întreg primul numitor în numitorul comun și apoi adăugăm la acesta toți factorii care nu au fost încă scriși, din al doilea și apoi din al treilea (și așa mai departe, dacă există mai multe fracții). Adică, se dovedește așa:

Hmm... Este clar ce să faci cu fracțiile. Dar ce zici de cei doi?

Este simplu: știi cum să adunăm fracții, nu? Deci, trebuie să facem ca doi să devină o fracțiune! Să ne amintim: o fracție este o operație de împărțire (numărătorul se împarte la numitor, în cazul în care ai uitat). Și nu este nimic mai ușor decât împărțirea unui număr la. În acest caz, numărul în sine nu se va schimba, ci se va transforma într-o fracție:

Exact ce este nevoie!

5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Ei bine, partea cea mai grea s-a terminat acum. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:

Procedură

Care este procedura de calcul a unei expresii numerice? Amintiți-vă, calculând sensul acestei expresii:

ai numarat?

Ar trebui să funcționeze.

Deci, permiteți-mi să vă reamintesc.

Primul pas este să calculezi gradul.

Al doilea este înmulțirea și împărțirea. Dacă există mai multe înmulțiri și împărțiri în același timp, acestea se pot face în orice ordine.

Și, în sfârșit, facem adunarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.

Dar: expresia dintre paranteze se evaluează din nou!

Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, mai întâi calculăm expresia din fiecare dintre paranteze, apoi le înmulțim sau le împărțim.

Ce se întâmplă dacă există mai multe paranteze în interiorul parantezelor? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Când calculezi o expresie, ce ar trebui să faci mai întâi? Așa e, calculează parantezele. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi totul.

Deci, procedura pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o fac chiar acum):

Bine, totul este simplu.

Dar aceasta nu este același lucru cu o expresie cu litere?

Nu, e la fel! Numai în loc de operații aritmetice, trebuie să faceți operații algebrice, adică acțiunile descrise în secțiunea anterioară: aducând similare, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea de factorizare a polinoamelor (folosim adesea acest lucru atunci când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru a factoriza, trebuie să folosiți I sau pur și simplu să scoateți factorul comun dintre paranteze.

De obicei, scopul nostru este de a reprezenta expresia ca produs sau coeficient.

De exemplu:

Să simplificăm expresia.

1) În primul rând, simplificăm expresia dintre paranteze. Acolo avem o diferență de fracții, iar scopul nostru este să o prezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:

Este imposibil să simplificați mai mult această expresie; toți factorii de aici sunt elementari (mai vă amintiți ce înseamnă asta?).

2) obținem:

Înmulțirea fracțiilor: ce ar putea fi mai simplu.

3) Acum puteți scurta:

OK, totul sa terminat acum. Nimic complicat, nu?

Alt exemplu:

Simplificați expresia.

Mai întâi, încercați să o rezolvați singur și abia apoi uitați-vă la soluție.

Soluţie:

În primul rând, să stabilim ordinea acțiunilor.

Mai întâi, să adăugăm fracțiile în paranteze, astfel încât în loc de două fracții obținem una.

Apoi vom face împărțirea fracțiilor. Ei bine, să adăugăm rezultatul cu ultima fracție.

Voi numerota pașii schematic:

Acum vă voi arăta procesul, colorând acțiunea curentă în roșu:

1. Daca sunt asemanatoare, acestea trebuie aduse imediat. În orice moment apar altele asemănătoare în țara noastră, este indicat să le aducem imediat în discuție.

2. Același lucru este valabil și pentru fracțiile reducătoare: de îndată ce apare oportunitatea de a reduce, trebuie profitată de aceasta. Excepția este pentru fracțiile pe care le adunați sau scădeți: dacă acum au aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.

Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:

Și ceea ce s-a promis chiar de la început:

Raspunsuri:

Soluții (pe scurt):

Dacă ai făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci ai stăpânit subiectul.

Acum, la învățare!

CONVERSIUNEA EXPRESIUNILOR. REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

Operatii de simplificare de baza:

Aducerea asemănătoare: pentru a adăuga (reduce) termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să atribuiți partea de litere.
Factorizare: scoaterea factorului comun din paranteze, aplicarea acestuia etc.
Reducerea unei fracții: Numătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, ceea ce nu modifică valoarea fracției.
1) numărătorul și numitorul factorizați
2) dacă numărătorul și numitorul au factori comuni, aceștia pot fi tăiați.
IMPORTANT: numai multiplicatorii pot fi redusi!
Adunarea și scăderea fracțiilor:
;
Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
;

Să luăm în considerare subiectul transformării expresiilor cu puteri, dar mai întâi să ne oprim asupra unui număr de transformări care pot fi efectuate cu orice expresii, inclusiv cu cele de putere. Vom învăța cum să deschidem parantezele, să adăugăm termeni similari, să lucrăm cu baze și exponenți și să folosim proprietățile puterilor.

Ce sunt expresiile puterii?

În cursurile școlare, puțini oameni folosesc expresia „expresii puternice”, dar acest termen se găsește constant în colecțiile pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat. În cele mai multe cazuri, o expresie denotă expresii care conțin grade în intrările lor. Aceasta este ceea ce vom reflecta în definiția noastră.

Definiția 1

Exprimarea puterii este o expresie care conține grade.

Să dăm câteva exemple de expresii de putere, începând cu o putere cu un exponent natural și terminând cu o putere cu un exponent real.

Cele mai simple expresii de putere pot fi considerate puteri ale unui număr cu exponent natural: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Și, de asemenea, puteri cu exponent zero: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Și puteri cu puteri întregi negative: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Este puțin mai dificil să lucrezi cu un grad care are exponenți raționali și iraționali: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indicatorul poate fi variabila 3 x - 54 - 7 3 x - 58 sau logaritmul x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Ne-am ocupat de întrebarea ce sunt expresiile puterii. Acum să începem să le convertim.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii

În primul rând, ne vom uita la transformările identitare de bază ale expresiilor care pot fi efectuate cu expresii de putere.

Exemplul 1

Calculați valoarea unei expresii de putere 2 3 (4 2 − 12).

Soluţie

Vom efectua toate transformările în conformitate cu ordinea acțiunilor. În acest caz, vom începe prin a efectua acțiunile dintre paranteze: vom înlocui gradul cu o valoare digitală și vom calcula diferența a două numere. Avem 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Tot ce trebuie să facem este să înlocuim gradul 2 3 intelesul sau 8 și calculați produsul 8 4 = 32. Iată răspunsul nostru.

Răspuns: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Exemplul 2

Simplificați expresia cu puteri 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Soluţie

Expresia dată nouă în enunțul problemei conține termeni similari pe care îi putem da: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Răspuns: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Exemplul 3

Exprimați expresia cu puteri 9 - b 3 · π - 1 2 ca produs.

Soluţie

Să ne imaginăm numărul 9 ca o putere 3 2 și aplicați formula de înmulțire prescurtată:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Răspuns: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Acum să trecem la analiza transformărilor identitare care pot fi aplicate în mod specific expresiilor de putere.

Lucrul cu baza și exponent

Gradul în bază sau exponent poate avea numere, variabile și unele expresii. De exemplu, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7Și . Lucrul cu astfel de înregistrări este dificil. Este mult mai ușor să înlocuiți expresia din baza gradului sau expresia din exponent cu o expresie identică egală.

Transformările de grad și exponent se realizează conform regulilor cunoscute de noi separat unul de celălalt. Cel mai important este că transformarea are ca rezultat o expresie identică cu cea originală.

Scopul transformărilor este de a simplifica expresia originală sau de a obține o soluție a problemei. De exemplu, în exemplul dat mai sus, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 puteți urma pașii pentru a merge la grad 4 , 1 1 , 3 . Deschizând parantezele, putem prezenta termeni similari cu baza puterii (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)și obțineți o expresie a puterii de o formă mai simplă a 2 (x + 1).

Utilizarea proprietăților gradului

Proprietățile puterilor, scrise sub formă de egalități, sunt unul dintre principalele instrumente de transformare a expresiilor cu puteri. Vă prezentăm aici pe cele principale, ținând cont de faptul că AȘi b sunt numere pozitive și rȘi s- numere reale arbitrare:

Definiția 2

a r · a s = a r + s ;
a r: a s = a r − s ;
(a · b) r = a r · b r ;
(a: b) r = a r: b r ;
(a r) s = a r · s .

În cazurile în care avem de-a face cu exponenți naturali, întregi, pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot fi mult mai puțin stricte. Deci, de exemplu, dacă luăm în considerare egalitatea a m · a n = a m + n, Unde mȘi n sunt numere naturale, atunci va fi valabil pentru orice valori ale lui a, atât pozitive, cât și negative, precum și pentru a = 0.

Proprietățile puterilor pot fi utilizate fără restricții în cazurile în care bazele puterilor sunt pozitive sau conțin variabile al căror interval de valori admisibile este astfel încât bazele să ia numai valori pozitive pe el. De fapt, în programa școlară de matematică, sarcina elevului este să selecteze o proprietate adecvată și să o aplice corect.

Când vă pregătiți pentru a intra în universități, puteți întâmpina probleme în care aplicarea incorectă a proprietăților va duce la o îngustare a DL și alte dificultăți de rezolvare. În această secțiune vom examina doar două astfel de cazuri. Mai multe informații despre acest subiect pot fi găsite în subiectul „Conversia expresiilor folosind proprietățile puterilor”.

Exemplul 4

Imaginează-ți expresia a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 sub forma unei puteri cu o bază A.

Soluţie

În primul rând, folosim proprietatea de exponențiere și transformăm cel de-al doilea factor folosindu-l (a 2) − 3. Apoi folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Răspuns: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Transformarea expresiilor puterii în funcție de proprietatea puterilor se poate face atât de la stânga la dreapta, cât și în sens invers.

Exemplul 5

Aflați valoarea expresiei puterii 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Soluţie

Dacă aplicăm egalitatea (a · b) r = a r · b r, de la dreapta la stânga, obținem un produs de forma 3 · 7 1 3 · 21 2 3 și apoi 21 1 3 · 21 2 3 . Să adunăm exponenții la înmulțirea puterilor cu aceleași baze: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Există o altă modalitate de a realiza transformarea:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Răspuns: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Exemplul 6

Dată o expresie de putere a 1, 5 − a 0, 5 − 6, introduceți o nouă variabilă t = a 0,5.

Soluţie

Să ne imaginăm gradul a 1, 5 Cum a 0,5 3. Utilizarea proprietății grade în grade (a r) s = a r · s de la dreapta la stânga și obținem (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Puteți introduce cu ușurință o nouă variabilă în expresia rezultată t = a 0,5: primim t 3 − t − 6.

Răspuns: t 3 − t − 6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

De obicei avem de-a face cu două versiuni de expresii de putere cu fracții: expresia reprezintă o fracție cu o putere sau conține o astfel de fracție. Toate transformările de bază ale fracțiilor sunt aplicabile unor astfel de expresii fără restricții. Ele pot fi reduse, aduse la un nou numitor sau lucrate separat cu numărătorul și numitorul. Să ilustrăm acest lucru cu exemple.

Exemplul 7

Simplificați expresia puterii 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Soluţie

Avem de-a face cu o fracție, așa că vom efectua transformări atât la numărător, cât și la numitor:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Pune un semn minus în fața fracției pentru a schimba semnul numitorului: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Răspuns: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Fracțiile care conțin puteri sunt reduse la un nou numitor în același mod ca și fracțiile raționale. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un factor suplimentar și să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu acesta. Este necesar să selectați un factor suplimentar, astfel încât să nu ajungă la zero pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplul 8

Reduceți fracțiile la un nou numitor: a) a + 1 a 0, 7 la numitor A, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 până la numitorul x + 8 · y 1 2 .

Soluţie

a) Să selectăm un factor care ne va permite să reducem la un nou numitor. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, prin urmare, ca factor suplimentar vom lua a 0, 3. Gama de valori permise ale variabilei a include setul tuturor numerelor reale pozitive. Licenta in acest domeniu a 0, 3 nu merge la zero.

Să înmulțim numărătorul și numitorul unei fracții cu a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Să fim atenți la numitor:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Să înmulțim această expresie cu x 1 3 + 2 · y 1 6, obținem suma cuburilor x 1 3 și 2 · y 1 6, adică. x + 8 · y 1 2 . Acesta este noul nostru numitor la care trebuie să reducem fracția inițială.

Așa am găsit factorul suplimentar x 1 3 + 2 · y 1 6 . Pe intervalul de valori admisibile ale variabilelor XȘi y expresia x 1 3 + 2 · y 1 6 nu dispare, prin urmare, putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu ea:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Răspuns: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Exemplul 9

Reduceți fracția: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Soluţie

a) Folosim cel mai mare numitor comun (MCG), prin care putem reduce numărătorul și numitorul. Pentru numerele 30 și 45 este 15. Putem face și o reducere de x0,5+1 iar pe x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Primim:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Aici prezenţa unor factori identici nu este evidentă. Va trebui să efectuați câteva transformări pentru a obține aceiași factori la numărător și numitor. Pentru a face acest lucru, extindem numitorul folosind formula diferenței de pătrate:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Răspuns: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Operațiile de bază cu fracții includ conversia fracțiilor la un nou numitor și reducerea fracțiilor. Ambele acțiuni sunt efectuate în conformitate cu o serie de reguli. La adunarea și scăderea fracțiilor, mai întâi fracțiile sunt reduse la un numitor comun, după care se efectuează operații (adunare sau scădere) cu numărătorii. Numitorul rămâne același. Rezultatul acțiunilor noastre este o nouă fracție, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor.

Exemplul 10

Efectuați pașii x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Soluţie

Să începem prin a scădea fracțiile care sunt în paranteze. Să le aducem la un numitor comun:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Să scădem numărătorii:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Acum înmulțim fracțiile:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Să reducem cu o putere x 1 2, obținem 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

În plus, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula diferenței de pătrate: pătrate: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Răspuns: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Exemplul 11

Simplificați expresia legii puterii x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Soluţie

Putem reduce fracția cu (x 2 , 7 + 1) 2. Obținem fracția x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Să continuăm transformarea puterilor lui x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Acum puteți folosi proprietatea de a împărți puterile cu aceleași baze: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Trecem de la ultimul produs la fracția x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Răspuns: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

În cele mai multe cazuri, este mai convenabil să transferați factorii cu exponenți negativi de la numărător la numitor și înapoi, schimbând semnul exponentului. Această acțiune vă permite să simplificați decizia ulterioară. Să dăm un exemplu: expresia puterii (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 poate fi înlocuită cu x 3 · (x + 1) 0, 2.

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

În probleme există expresii de putere care conțin nu numai puteri cu exponenți fracționari, ci și rădăcini. Este indicat să reduceți astfel de expresii doar la rădăcini sau doar la puteri. Este de preferat să obțineți diplome, deoarece sunt mai ușor de lucrat cu acestea. Această tranziție este de preferat mai ales atunci când ODZ de variabile pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu puteri fără a fi nevoie să accesați modulul sau să împărțiți ODZ-ul în mai multe intervale.

Exemplul 12

Exprimați expresia x 1 9 · x · x 3 6 ca putere.

Soluţie

Interval de valori ale variabilelor admisibile X este definită de două inegalități x ≥ 0și x x 3 ≥ 0, care definesc mulțimea [ 0 , + ∞) .

Pe acest set avem dreptul de a trece de la rădăcini la puteri:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Folosind proprietățile puterilor, simplificăm expresia puterii rezultată.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Răspuns: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Conversia puterilor cu variabile în exponent

Aceste transformări sunt destul de ușor de realizat dacă utilizați corect proprietățile gradului. De exemplu, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Putem înlocui cu produsul puterilor, ai cărui exponenți sunt suma unei variabile și a unui număr. În partea stângă, acest lucru se poate face cu primul și ultimul termen din partea stângă a expresiei:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Acum să împărțim ambele părți ale egalității la 7 2 x. Această expresie pentru variabila x ia doar valori pozitive:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Să reducem fracțiile cu puteri, obținem: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri ale rapoartelor, rezultând ecuația 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, care este echivalent cu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Să introducem o nouă variabilă t = 5 7 x, care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția ecuației pătratice 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.

Conversia expresiilor cu puteri și logaritmi

În probleme se găsesc și expresii care conțin puteri și logaritmi. Un exemplu de astfel de expresii este: 1 4 1 - 5 · log 2 3 sau log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Transformarea unor astfel de expresii se realizează folosind abordările și proprietățile logaritmilor discutate mai sus, despre care am discutat în detaliu în subiectul „Transformarea expresiilor logaritmice”.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Instituție de învățământ de stat municipală

gimnaziu de bază nr 25

Lecție de algebră

Subiect:

« Conversia expresiilor care conțin puteri cu exponenți fracționari"

Dezvoltat de:

profesor de matematică

mai sus lacategoria de calificare

Nodal

2013

Subiectul lecției: Conversia expresiilor care conțin exponenți cu exponenți fracționari

Scopul lecției:

1. Dezvoltarea în continuare a abilităților, cunoștințelor și abilităților în conversia expresiilor care conțin grade cu exponenți fracționari

2. Dezvoltarea capacității de a găsi erori, dezvoltarea gândirii, a creativității, a vorbirii, a abilităților de calcul

3. Stimularea independenței, interesului pentru subiect, atenție, acuratețe.

TCO: tablă magnetică, carduri de test, mese, carduri individuale, școlarii au pe masă foi albe semnate pentru lucru individual, un puzzle de cuvinte încrucișate, tabele pentru încălzire matematică, un proiector multimedia.

Tipul de lecție: securizarea ZUN.

Planul de lecție în timp

1. Aspecte organizatorice (2 min)

2. Verificarea temelor (5 min)

3. Cuvinte încrucișate (3 min)

4. Încălzire matematică (5 min)

5. Rezolvarea exercițiilor de întărire frontală (7 min)

6. Lucru individual (10 min)

7. Rezolvarea exercițiilor de repetare (5 min)

8. Rezumatul lecției (2 min)

9. Temă pentru acasă (1 min.)

În timpul orelor

1) Verificarea temelor pentru acasă sub formă de evaluare de la egal la egal . Elevii buni verifică caietele copiilor slabi. Iar cei slabi verifică cu cei puternici folosind un eșantion de card de control. Tema pentru acasă este dată în două versiuni.

eu opțiune sarcina nu este dificilă

II opțiune sarcina este dificilă

În urma verificării, băieții evidențiază greșelile cu un simplu creion și acordă un rating. Verific în sfârșit munca după ce copiii își predau caietele după oră. Îi întreb pe băieți rezultatele testului lor și pun note pentru acest tip de muncă în tabelul meu rezumativ.

2) Pentru a testa materialul teoretic, este oferit un puzzle de cuvinte încrucișate.

Vertical:

1. Proprietatea înmulțirii folosită la înmulțirea unui monom cu un polinom?

2. Efectul exponenților la ridicarea unei puteri la o putere?

3. O diplomă cu indice zero?

4. Un produs format din factori identici?

Orizontal:

5. Rădăcină n – oh gradul unui număr nenegativ?

6. Acțiunea exponenților la înmulțirea puterilor?

7. Efectul exponenților în împărțirea puterilor?

8. Numărul tuturor factorilor identici?

3) Încălzire matematică

a) efectuați calculul și folosiți cifra pentru a citi cuvântul ascuns în problemă.

Există o masă pe tablă în fața ta. Tabelul din coloana 1 conține exemple care trebuie calculate.

Cheia la masă


491/2
27-1/3
4*81/3
5*25-1/2
7*82/3
(49/144)1/2	7/12
(27*64)1/3







7/12

Și scrieți răspunsul în coloană II, iar în coloana III pune litera corespunzătoare acestui răspuns.

Profesor: Deci, cuvântul criptat este „grad”. În sarcina următoare lucrăm cu gradele 2 și 3

b) Joc „Asigură-te că nu greșești”

În loc de puncte, puneți un număr

a) x=(x...)2; b) a3/2 = (a1/2)…; c) a=(a1/3)…; d) 5... = (51/4)2; e) 34/3=(34/9)…; e) 74/5 = (7...)2; g) x1/2=(x...)2; h) y1/2=(y...)2

Să găsim eroarea:

А1/4 – 2а1/2 + 1 = (а1/

Deci, băieți, ce trebuia folosit pentru a finaliza această sarcină:

Proprietatea gradelor: la ridicarea unui grad la o putere, exponenții sunt înmulțiți;

4) Acum să începem cu lucrarea scrisă front-end. , folosind rezultatele muncii anterioare. Deschide caietele și notează data și subiectul lecției.

№ 000

a) a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2 = (a1/2 – b1/2)*(a1/2 + b1/2)

b) a – c = (a1/3)3 – (b1/3)3 = (a1/3 – c1/3)*(a2/3 + a1/3 b1/3 + b2/3)

Nr. 000 (a, c, d, e)

A ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)

c) a3 – 4 = (a3/2)2 – 22 = (a3/2 – 2)*(a3/2 +2)

d) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)

e) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)

Nr. 000 (a, d, f)

a) x3 – 2 = x3 – (21/3)3 = (x – 21/3)*(x2 + 21/3 x + 22/3)

d) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 – 3 a2/5 + 9)

e) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)

Nota

5) Lucrați pe carduri individuale folosind patru opțiuni pe foi separate

Sarcinile cu diferite grade de dificultate sunt îndeplinite fără nicio solicitare din partea profesorului.

Verific imediat munca și pun notele pe masa mea și pe foile băieților.

Nr. 000 (a, c, d, h)

a) 4*31/2/(31/2 – 3) = 4*31/2 /31/2*(1 – 31/2) = 4 / (1 – 31/2)

c) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2

e) (a2/3 – b2/3)/(a1/3 +b1/3) = (a1/3)2 – (b1/3)2/(a1/3 +b1/3) = (a1/3) + b1/3)*(a1/3 – b1/3)/(a1/3 + b1/3) = a1/3 – b1/3

h) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 +(y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 +(y1/3)2)/(x1/3 +y1/3)*((x1) /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)

7) Lucrați pe carduri individuale cu diferite grade de complexitate. În unele exerciții există recomandări de la profesor, deoarece materialul este complicat și este dificil pentru copiii slabi să facă față muncii

Există, de asemenea, patru opțiuni disponibile. Evaluarea are loc imediat. Am pus toate notele într-o foaie de calcul.

Problema nr. din colectie

Profesorul pune întrebări:

1. Ce ar trebui găsit în problemă?

2. Ce trebuie să știi pentru asta?

3. Cum se exprimă timpul de 1 pieton și 2 pietoni?

4. Comparați timpii pietonilor 1 și 2 în funcție de condițiile problemei și creați o ecuație.

Rezolvarea problemei:

Fie x (km/h) viteza unui pieton

X +1 (km/h) – viteza a 2 pietoni

4/х (h) – timp pietonal

4/(x +1) (h) – ora celui de-al doilea pieton

Conform condițiilor problemei 4/x >4/ (x +1) timp de 12 minute

12 min = 12/60 h = 1/5 h

Să facem o ecuație

X/4 – 4/ (x +1) = 1/5

NOZ: 5x(x +1) ≠ 0

5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)

20x + 20 – 20x – x2 – x = 0

X2 +x –20 = 0

D=1 – 4*(-20) = 81, 81>0, 2 k

x1 = (-1 -√81)/(-2) = 5 km/h – viteza unui pieton

x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 – nu se potrivește cu sensul problemei, deoarece x>0

Răspuns: 5 km/h – viteza a 2 pietoni

9) Rezumatul lecției: Așadar, băieți, astăzi în lecție am consolidat cunoștințele, abilitățile și abilitățile de transformare a expresiilor care conțin grade, am aplicat formule de înmulțire abreviate, am mutat factorul comun din paranteze și am repetat materialul tratat. Subliniez avantajele și dezavantajele.

Rezumarea lecției într-un tabel.

Cuvinte încrucișate	Mat. încălzire	Față. Loc de munca	Ind. lucru K-1	Ind. lucru K-2

10) Anunț notele. Temă pentru acasă

Fișe individuale K – 1 și K – 2

schimb B – 1 și B – 2; B – 3 și B – 4, deoarece sunt echivalente

Aplicații la lecție.

1) Carduri pentru teme

1. simplifica

a) (x1/2 – y1/2)2 + 2x1/2 y1/2

b) (a3/2 + 5a1\2)2 – 10a2

2. prezenta ca sumă

a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)

b) (a1/2 – b1/2)*(a + a1/2 b1\2 + c)

3. scoateți multiplicatorul total

c) 151/3 +201/3

1. simplifica

a) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1\8 – b1/8)

2. prezenta ca sumă

a) x0,5 y0,5*(x-0,5 – y1,5)

b) (x1/3 + y1/3)*(x2\3 – x1/3 y1\3 + y2/3)

3. Scoateți factorul comun din paranteze

b) c1\3 – c

c) (2a)1/3 – (5a)1\3

2) card de control pentru B – 2

a) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2)2) = m 1/2 + n 1/2 – m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 – n 1/2 = 2 m 1/4 n 1/4

b) (a1/4 + b1/4)*(a1/8 + b1/8)*(a1/8 – b1/8) = (a1/4 + b1/4)*(a1/8)2 – ( в1/8)2 = (а1/4 + в1/4)*(а1/4 – в1/4) = (а1/4)2 – (в1/4)2 = а1/2 – в1/2

a) x0.5 y0.5* (x-0.5-y1.5) = x0.5 y0.5 x-0.5 – x0.5 y0.5y1.5 = x0 y0.5 – x0.5 y2 = y0. 5 – x0,5 y2

b) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 – x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 – x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y

a) 3 – 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)

b) v1/3 – v = v1/3 *(1 – v2/3)

c) (2a)1/3 – (5a)1/3 = a1/3*(21/3 – 51/3)

3) Carduri pentru prima lucrare individuală

a) a – y, x ≥ 0, y ≥ 0

b) a – și, a ≥ 0

1. Factorizați ca diferență de pătrate

a) a1/2 – b1/2

2. Factorizați ca diferență sau sumă de cuburi

a) c1/3 + d1/3

1. Factorizați ca diferență de pătrate

a) X1/2 + Y1/2

b) X1/4 – U1/4

2. Factorizați ca diferență sau sumă de cuburi

4) cartonașe pentru a doua lucrare individuală

a) (x – x1/2)/ (x1/2 – 1)

Instrucțiuni: x1/2, scoateți numărătorii din paranteze

b) (a - c)/(a1/2 – b1/2)

Notă: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Reduceți fracția

a) (21/4 – 2)/ 5*21/4

Instrucțiuni: îndepărtați 21/4 din paranteze

b) (a – c)/(5а1/2 – 5в1/2)

Notă: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

Opțiunea 3

1. Reduceți fracția

a) (x1/2 – x1/4)/x3/4

Instrucțiuni: puneți x1/4 din paranteze

b) (a1/2 – b1/2)/(4a1/4 – 4b1/4)

Opțiunea 4

Reduceți fracția

a) 10/ (10 – 101/2)

b) (a - c)/(a2/3 + a1\3b1/3+ B 1/3)

O expresie de forma a (m/n), unde n este un număr natural, m este un număr întreg și baza gradului a este mai mare decât zero, numit grad cu exponent fracționar. Mai mult, următoarea egalitate este adevărată. n√(a m) = a (m/n) .

După cum știm deja, numerele de forma m/n, unde n este un număr natural și m este un număr întreg, se numesc numere fracționale sau raționale. Din toate cele de mai sus obținem că gradul este definit pentru orice exponent rațional și orice bază pozitivă a gradului.

Pentru orice numere raționale p,q și orice a>0 și b>0 sunt adevărate următoarele egalități:

1. (a p)*(a q) = a (p+q)
2. (a p):(b q) = a (p-q)
3. (a p) q = a (p*q)
4. (a*b) p = (a p)*(b p)
5. (a/b) p = (a p)/(b p)

Aceste proprietăți sunt utilizate pe scară largă la conversia diferitelor expresii care conțin puteri cu exponenți fracționari.

Exemple de transformări ale expresiilor care conțin puteri cu exponent fracționar

Să ne uităm la câteva exemple care demonstrează cum aceste proprietăți pot fi folosite pentru a transforma expresii.

1. Calculați 7 (1/4) * 7 (3/4) .

7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. Calculați 9 (2/3) : 9 (1/6) .

9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Calculați (16 (1/3)) (9/4) .

(16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. Calculați 24 (2/3) .

24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Calculați (8/27) (1/3) .

(8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. Simplificați expresia ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3) )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. Calculați (25 (1/5))*(125 (1/5)).

(25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Simplificați expresia

(a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)).
(a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)) =
= ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
= 1 +a - (1-a) = 2*a.

După cum puteți vedea, folosind aceste proprietăți, puteți simplifica semnificativ unele expresii care conțin puteri cu exponenți fracționari.

Expresii, conversie de expresii

Expresii de putere (expresii cu puteri) și transformarea lor

În acest articol vom vorbi despre conversia expresiilor cu puteri. În primul rând, ne vom concentra asupra transformărilor care sunt efectuate cu expresii de orice fel, inclusiv expresii de putere, cum ar fi deschiderea parantezelor și aducerea de termeni similari. Și apoi vom analiza transformările inerente în mod specific expresiilor cu grade: lucrul cu baza și exponentul, utilizarea proprietăților gradelor etc.

Navigare în pagină.

Ce sunt expresiile puterii?

Termenul „expresii de putere” practic nu apare în manualele școlare de matematică, dar apare destul de des în colecții de probleme, în special în cele destinate pregătirii pentru Examenul Unificat de Stat și Examenul Unificat de Stat, de exemplu. După analizarea sarcinilor în care este necesară efectuarea oricăror acțiuni cu expresii de putere, devine clar că expresiile de putere sunt înțelese ca expresii care conțin puteri în intrările lor. Prin urmare, puteți accepta următoarea definiție pentru dvs.:

Definiție.

Expresii de putere sunt expresii care conțin grade.

Să dăm exemple de expresii de putere. Mai mult, le vom prezenta în funcție de modul în care are loc dezvoltarea vederilor de la un grad cu exponent natural la un grad cu un exponent real.

După cum se știe, mai întâi se familiarizează cu puterea unui număr cu exponent natural în această etapă, primele expresii de putere cele mai simple de tip 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1); 4, 3 a 2 apar −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Puțin mai târziu, se studiază puterea unui număr cu exponent întreg, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere cu puteri întregi negative, precum următoarele: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

În liceu se întorc la grade. Acolo este introdus un grad cu exponent rațional, care implică apariția expresiilor de putere corespunzătoare: , , și așa mai departe. În sfârșit, se consideră grade cu exponenți iraționali și expresii care îi conțin: , .

Problema nu se limitează la expresiile de putere enumerate: mai departe variabila pătrunde în exponent și, de exemplu, apar următoarele expresii: 2 x 2 +1 sau . Și după ce ne-am familiarizat cu , încep să apară expresii cu puteri și logaritmi, de exemplu, x 2·lgx −5·x lgx.

Deci, ne-am ocupat de întrebarea ce reprezintă expresiile puterii. În continuare vom învăța să le transformăm.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii

Cu expresii de putere, puteți efectua oricare dintre transformările de bază de identitate ale expresiilor. De exemplu, puteți deschide paranteze, puteți înlocui expresiile numerice cu valorile lor, puteți adăuga termeni similari etc. Desigur, în acest caz, este necesar să urmați procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. Să dăm exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 ·(4 2 −12) .

Soluţie.

În conformitate cu ordinea de execuție a acțiunilor, mai întâi efectuați acțiunile dintre paranteze. Acolo, în primul rând, înlocuim puterea 4 2 cu valoarea sa 16 (dacă este necesar, vezi), iar în al doilea rând, calculăm diferența 16−12=4. Avem 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

În expresia rezultată înlocuim puterea 2 3 cu valoarea ei 8, după care calculăm produsul 8·4=32. Aceasta este valoarea dorită.

Asa de, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Răspuns:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Exemplu.

Simplificați expresiile cu puteri 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Soluţie.

Evident, această expresie conține termeni similari 3·a 4 ·b −7 și 2·a 4 ·b −7 , și îi putem prezenta: .

Răspuns:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exemplu.

Exprimați o expresie cu puteri ca produs.

Soluţie.

Puteți face față sarcinii reprezentând numărul 9 ca o putere a lui 3 2 și apoi folosind formula de înmulțire abreviată - diferența de pătrate:

Răspuns:

Există, de asemenea, o serie de transformări identice inerente în mod specific expresiilor de putere. Le vom analiza mai departe.

Lucrul cu baza și exponent

Există grade a căror bază și/sau exponent nu sunt doar numere sau variabile, ci unele expresii. Ca exemplu, dăm intrările (2+0.3·7) 5−3.7 și (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Când lucrați cu astfel de expresii, puteți înlocui atât expresia din baza gradului, cât și expresia din exponent cu o expresie identică egală în ODZ a variabilelor sale. Cu alte cuvinte, după regulile cunoscute de noi, putem transforma separat baza gradului și separat exponentul. Este clar că în urma acestei transformări se va obține o expresie identică cu cea inițială.

Astfel de transformări ne permit să simplificăm expresiile cu puteri sau să atingem alte scopuri de care avem nevoie. De exemplu, în expresia de putere menționată mai sus (2+0.3 7) 5−3.7, puteți efectua operații cu numerele din bază și exponent, ceea ce vă va permite să treceți la puterea 4.1 1.3. Și după ce deschidem parantezele și aducem termeni similari la baza gradului (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), obținem o expresie a puterii de o formă mai simplă a 2·(x+). 1) .

Utilizarea proprietăților gradului

Unul dintre instrumentele principale pentru transformarea expresiilor cu puteri sunt egalitățile care reflectă . Să le amintim pe cele principale. Pentru orice numere pozitive a și b și numere reale arbitrare r și s, următoarele proprietăți ale puterilor sunt adevărate:

a r ·a s =a r+s ;
a r:a s =a r−s ;
(a·b) r =a r ·b r ;
(a:b) r =a r:b r ;
(a r) s =a r·s .

Rețineți că pentru exponenții naturali, întregi și pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot să nu fie atât de stricte. De exemplu, pentru numerele naturale m și n egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată nu numai pentru a pozitiv, ci și pentru cele negative și pentru a=0.

La școală, accentul principal atunci când transformați expresiile puterii este pe capacitatea de a alege proprietatea potrivită și de a o aplica corect. În acest caz, bazele gradelor sunt de obicei pozitive, ceea ce permite ca proprietățile gradelor să fie utilizate fără restricții. Același lucru este valabil și pentru transformarea expresiilor care conțin variabile în bazele puterilor - intervalul de valori admisibile ale variabilelor este de obicei astfel încât bazele să ia numai valori pozitive pe el, ceea ce vă permite să utilizați liber proprietățile puterilor . În general, trebuie să vă întrebați în mod constant dacă este posibil să utilizați vreo proprietate de grade în acest caz, deoarece utilizarea incorectă a proprietăților poate duce la o îngustare a valorii educaționale și la alte probleme. Aceste puncte sunt discutate în detaliu și cu exemple în articolul transformarea expresiilor folosind proprietățile grade. Aici ne vom limita la a lua în considerare câteva exemple simple.

Exemplu.

Exprimați expresia a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ca o putere cu baza a.

Soluţie.

Mai întâi, transformăm cel de-al doilea factor (a 2) −3 folosind proprietatea de a ridica o putere la o putere: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Expresia originală a puterii va lua forma a 2,5 ·a −6:a −5,5. Evident, rămâne să folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază, avem
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Răspuns:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Proprietățile puterilor la transformarea expresiilor de putere sunt folosite atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei puterii.

Soluţie.

Egalitatea (a·b) r =a r ·b r, aplicată de la dreapta la stânga, ne permite să trecem de la expresia originală la un produs al formei și mai departe. Și atunci când înmulțim puteri cu aceleași baze, exponenții se adună: .

A fost posibil să se transforme expresia originală într-un alt mod:

Răspuns:

Exemplu.

Având în vedere expresia puterii a 1,5 −a 0,5 −6, introduceți o nouă variabilă t=a 0,5.

Soluţie.

Gradul a 1,5 poate fi reprezentat ca un 0,5 3 și apoi, pe baza proprietății gradului la gradul (a r) s =a r s, aplicat de la dreapta la stânga, se transformă în forma (a 0,5) 3. Prin urmare, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Acum este ușor să introduceți o nouă variabilă t=a 0,5, obținem t 3 −t−6.

Răspuns:

t 3 −t−6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

Expresiile puterii pot conține sau reprezenta fracții cu puteri. Oricare dintre transformările de bază ale fracțiilor care sunt inerente fracțiilor de orice fel sunt pe deplin aplicabile acestor fracții. Adică, fracțiile care conțin puteri pot fi reduse, reduse la un nou numitor, lucrate separat cu numărătorul lor și separat cu numitorul etc. Pentru a ilustra aceste cuvinte, luați în considerare soluții pentru mai multe exemple.

Exemplu.

Simplificați exprimarea puterii .

Soluţie.

Această expresie a puterii este o fracție. Să lucrăm cu numărătorul și numitorul. La numărător deschidem parantezele și simplificăm expresia rezultată folosind proprietățile puterilor, iar la numitor prezentăm termeni similari:

Și să schimbăm și semnul numitorului punând un minus în fața fracției: .

Răspuns:

Reducerea fracțiilor care conțin puteri la un nou numitor se realizează în mod similar cu reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor. În acest caz, se găsește și un factor suplimentar și se înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu acesta. Când efectuați această acțiune, merită să ne amintim că reducerea la un nou numitor poate duce la o îngustare a ODZ. Pentru a preveni acest lucru, este necesar ca factorul suplimentar să nu ajungă la zero pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplu.

Reduceți fracțiile la un nou numitor: a) la numitorul a, b) la numitor.

Soluţie.

a) În acest caz, este destul de ușor să ne dăm seama care multiplicator suplimentar ajută la obținerea rezultatului dorit. Acesta este un multiplicator de 0,3, deoarece a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Rețineți că în intervalul de valori permise ale variabilei a (aceasta este mulțimea tuturor numerelor reale pozitive), puterea lui 0,3 nu dispare, prin urmare, avem dreptul de a înmulți numărătorul și numitorul unui anumit număr. fracție de acest factor suplimentar:

b) Aruncând o privire mai atentă la numitor, veți găsi că

iar înmulțirea acestei expresii cu va da suma cuburilor și , adică . Și acesta este noul numitor la care trebuie să reducem fracția inițială.

Așa am găsit un factor suplimentar. În intervalul de valori admisibile ale variabilelor x și y, expresia nu dispare, prin urmare, putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu aceasta:

Răspuns:

A) , b) .

De asemenea, nu este nimic nou în reducerea fracțiilor care conțin puteri: numărătorul și numitorul sunt reprezentați ca un număr de factori, iar aceiași factori ai numărătorului și numitorului sunt reduse.

Exemplu.

Reduceți fracția: a) , b).

Soluţie.

a) În primul rând, numărătorul și numitorul pot fi reduse cu numerele 30 și 45, care este egal cu 15. De asemenea, este evident posibil să se efectueze o reducere cu x 0,5 +1 și cu . Iată ce avem:

b) În acest caz, factori identici la numărător și numitor nu sunt imediat vizibili. Pentru a le obține, va trebui să efectuați transformări preliminare. În acest caz, ele constau în factorizarea numitorului folosind formula diferenței de pătrate:

Răspuns:

A)

b) .

Conversia fracțiilor la un nou numitor și reducerea fracțiilor sunt folosite în principal pentru a face lucruri cu fracții. Acțiunile sunt efectuate conform regulilor cunoscute. La adunarea (scăderea) fracțiilor, acestea se reduc la un numitor comun, după care se adună (se scad) numărătorii, dar numitorul rămâne același. Rezultatul este o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor. Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu inversul acesteia.

Exemplu.

Urmareste pasii .

Soluţie.

În primul rând, scădem fracțiile din paranteze. Pentru a face acest lucru, îi aducem la un numitor comun, care este , după care scădem numărătorii:

Acum înmulțim fracțiile:

Evident, se poate reduce cu o putere de x 1/2, după care avem .

De asemenea, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula diferenței de pătrate: .

Răspuns:

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Soluţie.

Evident, această fracție poate fi redusă cu (x 2,7 +1) 2, aceasta dă fracția . Este clar că trebuie făcut altceva cu puterile lui X. Pentru a face acest lucru, transformăm fracția rezultată într-un produs. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a profita de proprietatea de a împărți puterile cu aceleași baze: . Și la sfârșitul procesului trecem de la ultimul produs la fracțiune.

Răspuns:

Și să mai adăugăm că este posibil, și în multe cazuri de dorit, să se transfere factori cu exponenți negativi de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător, schimbând semnul exponentului. Astfel de transformări simplifică adesea acțiunile ulterioare. De exemplu, o expresie de putere poate fi înlocuită cu .

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

Adesea, în expresiile în care sunt necesare unele transformări, sunt prezente și rădăcini cu exponenți fracționari alături de puteri. Pentru a transforma o astfel de expresie în forma dorită, în cele mai multe cazuri este suficient să mergem doar la rădăcini sau doar la puteri. Dar, din moment ce este mai convenabil să lucrezi cu puteri, acestea se mută de obicei de la rădăcini la puteri. Cu toate acestea, este recomandabil să efectuați o astfel de tranziție atunci când ODZ de variabile pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu puteri fără a fi nevoie să vă referiți la modul sau să împărțiți ODZ-ul în mai multe intervale (am discutat acest lucru în detaliu în trecerea articolului de la rădăcini la puteri și înapoi După ce ne-am familiarizat cu gradul cu exponent rațional se introduce un grad cu un exponent irațional, ceea ce ne permite să vorbim despre un grad cu un exponent real arbitrar În această etapă, începe să fie a studiat la scoala. functie exponentiala, care este dată analitic de o putere, a cărei bază este un număr, iar exponentul este o variabilă. Așadar, ne confruntăm cu expresii de putere care conțin numere în baza puterii, iar în exponent - expresii cu variabile și, firește, apare nevoia de a efectua transformări ale unor astfel de expresii.

Trebuie spus că transformarea expresiilor de tipul indicat trebuie de obicei efectuată la rezolvare ecuații exponențialeȘi inegalități exponențiale, iar aceste conversii sunt destul de simple. În majoritatea covârșitoare a cazurilor, acestea se bazează pe proprietățile gradului și vizează, în cea mai mare parte, introducerea unei noi variabile în viitor. Ecuația ne va permite să le demonstrăm 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

În primul rând, puterile, în exponenții cărora este suma unei anumite variabile (sau expresii cu variabile) și a unui număr, sunt înlocuite cu produse. Acest lucru se aplică primului și ultimului termeni ai expresiei din partea stângă:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

În continuare, ambele părți ale egalității sunt împărțite la expresia 7 2 x, care pe ODZ a variabilei x pentru ecuația originală ia doar valori pozitive (aceasta este o tehnică standard pentru rezolvarea ecuațiilor de acest tip, nu suntem vorbind despre asta acum, așa că concentrează-te pe transformările ulterioare ale expresiilor cu puteri ):

Acum putem anula fracții cu puteri, ceea ce dă .

În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri de relații, rezultând ecuația , care este echivalent . Transformările efectuate ne permit să introducem o nouă variabilă, care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția unei ecuații pătratice