Metoda Gauss este ușoară! De ce? Faimosul matematician german Johann Carl Friedrich Gauss, în timpul vieții sale, a primit recunoașterea drept cel mai mare matematician al tuturor timpurilor, un geniu și chiar porecla „Regele matematicii”. Și totul ingenios, după cum știți, este simplu! Apropo, nu numai frații primesc bani, ci și genii - portretul lui Gauss era pe bancnota de 10 mărci germane (înainte de introducerea monedei euro), iar Gauss încă le zâmbește misterios nemților din mărcile poștale obișnuite.

Metoda Gauss este simplă prin faptul că CUNOAȘTEREA UNUI ELEV DE CLASA A V-A ESTE SUFICIENTĂ pentru a o stăpâni. Trebuie să știi să adun și să înmulți! Nu este o coincidență faptul că profesorii iau în considerare adesea metoda de excludere secvențială a necunoscutelor la opțiunile de matematică ale școlii. Este un paradox, dar studenților li se pare că metoda Gauss este cea mai dificilă. Nimic surprinzător - totul este despre metodologie și voi încerca să vorbesc despre algoritmul metodei într-o formă accesibilă.

În primul rând, să sistematizăm puține cunoștințe despre sistemele de ecuații liniare. Un sistem de ecuații liniare poate:

1) Aveți o soluție unică.
2) Au infinit de soluții.
3) Nu au soluții (fi nearticulată).

Metoda Gauss este instrumentul cel mai puternic și universal pentru găsirea unei soluții orice sisteme de ecuații liniare. După cum ne amintim, Regula lui Cramer și metoda matricei sunt nepotrivite în cazurile în care sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent. Și metoda de eliminare secvențială a necunoscutelor Oricum ne va conduce la răspuns! În această lecție, vom lua în considerare din nou metoda Gauss pentru cazul nr. 1 (singura soluție a sistemului), articolul este dedicat situațiilor punctelor nr. 2-3. Observ că algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri.

Să revenim la cel mai simplu sistem din lecție Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare?
și rezolvați-l folosind metoda Gaussiană.

Primul pas este să scrieți matrice de sistem extinsă:
. Cred că toată lumea poate vedea după ce principiu se scriu coeficienții. Linia verticală din interiorul matricei nu are nicio semnificație matematică - este pur și simplu o bară pentru ușurință de proiectare.

Referinţă :Vă recomand să vă amintiți termeni algebră liniară. Matricea sistemului este o matrice compusă numai din coeficienți pentru necunoscute, în acest exemplu matricea sistemului: . Matrice de sistem extinsă– aceasta este aceeași matrice a sistemului plus o coloană de termeni liberi, în acest caz: . Pentru concizie, oricare dintre matrice poate fi numită pur și simplu matrice.

După ce matricea extinsă a sistemului este scrisă, este necesar să efectuați câteva acțiuni cu aceasta, care sunt, de asemenea, numite transformări elementare.

Există următoarele transformări elementare:

1) Siruri de caractere matrici Poate sa rearanja in unele locuri. De exemplu, în matricea luată în considerare, puteți rearanja fără durere primul și al doilea rând:

2) Dacă există (sau au apărut) rânduri proporționale (ca caz special - identice) în matrice, atunci ar trebui să șterge din matrice toate aceste rânduri cu excepția unuia. Luați în considerare, de exemplu, matricea . În această matrice, ultimele trei rânduri sunt proporționale, deci este suficient să lăsați doar unul dintre ele: .

3) Dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el șterge. Nu voi desena, desigur, linia zero este linia în care toate zerourile.

4) Rândul matricei poate fi înmulțire (împărțire) la orice număr diferit de zero. Luați în considerare, de exemplu, matricea . Aici este recomandabil să împărțiți prima linie cu –3 și să înmulțiți a doua linie cu 2: . Această acțiune este foarte utilă deoarece simplifică transformările ulterioare ale matricei.

5) Această transformare provoacă cele mai multe dificultăți, dar de fapt nici nu este nimic complicat. La un rând de matrice puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero. Să ne uităm la matricea noastră dintr-un exemplu practic: . Mai întâi voi descrie transformarea în detaliu. Înmulțiți prima linie cu –2: , Și la a doua linie adunăm prima linie înmulțită cu –2: . Acum prima linie poate fi împărțită „înapoi” cu –2: . După cum puteți vedea, linia care este ADAUGĂ LI – nu s-a schimbat. Mereu linia LA CARE SE ADAUGĂ se modifică UT.

În practică, desigur, nu o scriu atât de detaliat, ci o scriu pe scurt:

Încă o dată: la a doua linie a adăugat prima linie înmulțită cu –2. O linie este de obicei înmulțită oral sau pe o schiță, procesul de calcul mental mergând cam așa:

„Rescriu matricea și rescriu prima linie: »

„Prima coloană. În partea de jos trebuie să obțin zero. Prin urmare, îl înmulțesc pe cel de sus cu –2: , și îl adaug pe primul la a doua linie: 2 + (–2) = 0. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Acum a doua coloană. În partea de sus, înmulțesc -1 cu -2: . Adaug primul la a doua linie: 1 + 2 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

„Și a treia coloană. În vârf înmulțesc -5 cu -2: . Adaug primul la a doua linie: –7 + 10 = 3. Scriu rezultatul pe a doua linie: »

Vă rugăm să înțelegeți cu atenție acest exemplu și să înțelegeți algoritmul de calcul secvențial, dacă înțelegeți acest lucru, atunci metoda Gauss este practic în buzunar. Dar, desigur, vom lucra în continuare la această transformare.

Transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații

! ATENŢIE: manipulări considerate Nu pot folosi, dacă vi se oferă o sarcină în care matricele sunt date „de la sine”. De exemplu, cu „clasic” operatii cu matrici Sub nicio formă nu trebuie să rearanjați nimic în interiorul matricelor!

Să revenim la sistemul nostru. Este practic dus în bucăți.

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o reducem la vedere în trepte:

(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Și din nou: de ce înmulțim prima linie cu –2? Pentru a obține zero în partea de jos, ceea ce înseamnă a scăpa de o variabilă din a doua linie.

(2) Împărțiți a doua linie la 3.

Scopul transformărilor elementare – reduceți matricea la forma treptat: . În proiectarea sarcinii, ei doar marchează „scările” cu un creion simplu și, de asemenea, încercuiesc numerele care se află pe „trepte”. Termenul „vedere în trepte” în sine nu este în întregime teoretic; în literatura științifică și educațională este adesea numit vedere trapezoidală sau vedere triunghiulară.

În urma unor transformări elementare, am obţinut echivalent sistemul original de ecuații:

Acum, sistemul trebuie să fie „desfășurat” în direcția opusă - de jos în sus, acest proces este numit inversa metodei gaussiene.

În ecuația inferioară avem deja un rezultat gata făcut: .

Să luăm în considerare prima ecuație a sistemului și să înlocuim valoarea deja cunoscută a lui „y” în ea:

Să luăm în considerare cea mai comună situație, când metoda Gaussiană necesită rezolvarea unui sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.

Exemplul 1

Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda Gauss:

Să scriem matricea extinsă a sistemului:

Acum voi desena imediat rezultatul la care vom ajunge în timpul soluției:

Și repet, scopul nostru este să aducem matricea într-o formă treptată folosind transformări elementare. Unde să încep?

Mai întâi, uită-te la numărul din stânga sus:

Ar trebui să fie aproape întotdeauna aici unitate. În general vorbind, –1 (și uneori și alte numere) este potrivit, dar cumva s-a întâmplat în mod tradițional ca unul să fie de obicei plasat acolo. Cum se organizează o unitate? Ne uităm la prima coloană - avem o unitate terminată! Transformarea unu: schimbați prima și a treia linie:

Acum prima linie va rămâne neschimbată până la sfârșitul soluției. Acum bine.

Unitatea din colțul din stânga sus este organizată. Acum trebuie să obțineți zerouri în aceste locuri:

Obținem zerouri folosind o transformare „dificilă”. Mai întâi ne ocupăm de a doua linie (2, –1, 3, 13). Ce trebuie făcut pentru a obține zero în prima poziție? Trebuie sa la a doua linie se adaugă prima linie înmulțită cu –2. Mental sau pe o schiță, înmulțiți prima linie cu –2: (–2, –4, 2, –18). Și efectuăm în mod constant (din nou mental sau pe o schiță) adăugare, la a doua linie adăugăm prima linie, deja înmulțită cu –2:

Scriem rezultatul pe a doua linie:

Ne ocupăm de a treia linie în același mod (3, 2, –5, –1). Pentru a obține un zero în prima poziție, aveți nevoie la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu –3. Mental sau pe o schiță, înmulțiți prima linie cu –3: (–3, –6, 3, –27). ȘI la a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu –3:

Scriem rezultatul pe a treia linie:

În practică, aceste acțiuni sunt de obicei efectuate oral și scrise într-un singur pas:

Nu este nevoie să numărați totul deodată și în același timp. Ordinea calculelor și „scrierea” rezultatelor consistentși, de obicei, este așa: mai întâi rescriem prima linie și umflam încet pe noi înșine - CONSECUT și ATENT:


Și am discutat deja despre procesul mental al calculelor în sine.

În acest exemplu, acest lucru este ușor de făcut; împărțim a doua linie la –5 (deoarece toate numerele de acolo sunt divizibile cu 5 fără rest). În același timp, împărțim a treia linie la –2, deoarece cu cât numerele sunt mai mici, cu atât soluția este mai simplă:

În etapa finală a transformărilor elementare, trebuie să obțineți un alt zero aici:

Pentru aceasta la a treia linie adăugăm a doua linie înmulțită cu –2:


Încercați să vă dați seama singur această acțiune - înmulțiți mental a doua linie cu –2 și efectuați adunarea.

Ultima acțiune efectuată este coafura rezultatului, împărțiți a treia linie la 3.

Ca rezultat al transformărilor elementare, s-a obținut un sistem echivalent de ecuații liniare:

Misto.

Acum intră în joc inversul metodei gaussiene. Ecuațiile se „desfășoară” de jos în sus.

În a treia ecuație avem deja un rezultat gata:

Să ne uităm la a doua ecuație: . Sensul cuvântului „zet” este deja cunoscut, astfel:

Și în sfârșit, prima ecuație: . „Igrek” și „zet” sunt cunoscute, este doar o chestiune de lucruri mărunte:

Răspuns:

După cum sa menționat deja de mai multe ori, pentru orice sistem de ecuații este posibil și necesar să se verifice soluția găsită, din fericire, aceasta este ușor și rapid.

Exemplul 2

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, un eșantion al designului final și un răspuns la sfârșitul lecției.

Trebuie remarcat faptul că dvs progresul deciziei poate să nu coincidă cu procesul meu de decizie, și aceasta este o caracteristică a metodei Gauss. Dar răspunsurile trebuie să fie aceleași!

Exemplul 3

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem unul acolo. Problema este că nu există deloc unități în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Am facut asta:
(1) La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus este „minus unu”, care ni se potrivește destul de bine. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o mișcare suplimentară: înmulțiți prima linie cu –1 (schimbați-i semnul).

(2) La a doua linie a fost adăugată prima linie înmulțită cu 5. La a treia linie a fost adăugată prima linie înmulțită cu 3.

(3) Prima linie a fost înmulțită cu –1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel încât la a doua „treaptă” să avem unitatea necesară.

(4) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 2.

(5) A treia linie a fost împărțită la 3.

Un semn rău care indică o eroare în calcule (mai rar, o greșeală de scriere) este un rezultat „reu”. Adică, dacă avem ceva de genul , mai jos și, în consecință, , apoi cu un grad mare de probabilitate putem spune că s-a făcut o eroare în timpul transformărilor elementare.

Încărcăm invers, în proiectarea exemplelor, adesea nu rescriu sistemul în sine, dar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Ștergerea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. Da, iată un cadou:

Răspuns: .

Exemplul 4

Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Acesta este un exemplu de rezolvat pe cont propriu, este ceva mai complicat. Este în regulă dacă cineva se încurcă. Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției. Soluția ta poate fi diferită de soluția mea.

În ultima parte ne vom uita la câteva caracteristici ale algoritmului gaussian.
Prima caracteristică este că uneori unele variabile lipsesc din ecuațiile sistemului, de exemplu:

Cum se scrie corect matricea sistemului extins? Am vorbit deja despre acest punct în clasă. regula lui Cramer. Metoda matricei. În matricea extinsă a sistemului, punem zerouri în locul variabilelor lipsă:

Apropo, acesta este un exemplu destul de ușor, deoarece prima coloană are deja un zero și sunt mai puține transformări elementare de efectuat.

A doua caracteristică este aceasta. În toate exemplele luate în considerare, am plasat fie –1, fie +1 pe „trepte”. Ar putea fi alte numere acolo? În unele cazuri pot. Luați în considerare sistemul: .

Aici, în „pasul” din stânga sus avem un doi. Dar observăm faptul că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2 fără rest - iar celălalt este doi și șase. Și ni se vor potrivi cei doi din stânga sus! În primul pas, trebuie să efectuați următoarele transformări: adăugați prima linie înmulțită cu –1 la a doua linie; la a treia linie se adaugă prima linie înmulțită cu –3. În acest fel vom obține zerourile necesare în prima coloană.

Sau un alt exemplu convențional: . Aici ni se potrivesc și cei trei de pe al doilea „pas”, deoarece 12 (locul în care trebuie să obținem zero) este divizibil cu 3 fără rest. Este necesar să se efectueze următoarea transformare: se adaugă a doua linie la a treia linie, înmulțită cu –4, în urma căreia se va obține zeroul de care avem nevoie.

Metoda lui Gauss este universală, dar există o particularitate. Puteți învăța cu încredere să rezolvați sisteme folosind alte metode (metoda lui Cramer, metoda matricei) literalmente prima dată - au un algoritm foarte strict. Dar pentru a te simți încrezător în metoda Gaussiană, trebuie să te pricepi la ea și să rezolvi cel puțin 5-10 sisteme. Prin urmare, la început pot exista confuzii și erori în calcule și nu este nimic neobișnuit sau tragic în acest sens.

Vreme ploioasă de toamnă în afara ferestrei.... Prin urmare, pentru toți cei care doresc un exemplu mai complex pe care să îl rezolve singuri:

Exemplul 5

Rezolvați un sistem de patru ecuații liniare cu patru necunoscute folosind metoda Gauss.

O astfel de sarcină nu este atât de rară în practică. Cred că chiar și un ceainic care a studiat temeinic această pagină va înțelege algoritmul pentru rezolvarea unui astfel de sistem în mod intuitiv. În principiu, totul este la fel - există doar mai multe acțiuni.

Cazurile în care sistemul nu are soluții (inconsecvente) sau are infinit de soluții sunt discutate în lecția Sisteme incompatibile și sisteme cu o soluție generală. Acolo puteți repara algoritmul considerat al metodei gaussiene.

Vă doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte.


Transformări elementare efectuate:
(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1. Atenţie! Aici ați putea fi tentat să scădeți prima din a treia linie; vă recomand cu căldură să nu o scădeți - riscul de eroare crește foarte mult. Doar pliază-l!
(2) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu –1). A doua și a treia linie au fost schimbate. Notă, că pe „trepte” ne mulțumim nu doar cu una, ci și cu –1, ceea ce este și mai convenabil.
(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 5.
(4) Semnul celei de-a doua linii a fost schimbat (înmulțit cu –1). A treia linie a fost împărțită la 14.

Verso:

Răspuns: .

Exemplul 4: Soluţie : Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Conversii efectuate:
(1) La prima linie a fost adăugată o a doua linie. Astfel, unitatea dorită este organizată în „treapta” din stânga sus.
(2) Prima linie înmulțită cu 7 a fost adăugată la a doua linie, prima linie înmulțită cu 6 a fost adăugată la a treia linie.

Cu al doilea „pas” totul se înrăutățește , „candidații” pentru acesta sunt numerele 17 și 23 și avem nevoie fie de unul, fie de –1. Transformările (3) și (4) vor avea ca scop obținerea unității dorite

(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1.
(4) A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –3.
(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 4. A doua linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –1.
(4) S-a schimbat semnul liniei a doua. A patra linie a fost împărțită la 3 și plasată în locul celei de-a treia rânduri.
(5) A treia linie a fost adăugată la a patra linie, înmulțită cu –5.

Verso:

FILIALA KOSTROMA A UNIVERSITĂȚII MILITARE DE PROTECȚIE RCB

Departamentul de automatizare a controlului trupelor

Doar pentru profesori

"Sunt de acord"

Șef Departament Nr.9

Colonelul YAKOVLEV A.B.

„____”______________ 2004

Conf. univ. SMIRNOVA A.I.

"MATRICE. METODA GAUSS"

PRELEGERE Nr. 2 / 3

Discutate la ședința departamentului nr. 9

„____”___________ 2003

Protocol nr.___________

Kostroma, 2003

Cdeţinere

Introducere

1. Operatii pe matrici.

2. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss.

Concluzie

Literatură

1. V.E. Schneider et al., Un scurt curs de matematică superioară, volumul I, capitolul 2, §6, 7.

2. V.S. Şchipaciov, Matematică superioară, cap. 10, § 1, 7.

INTRODUCERE

Prelegerea discută conceptul de matrice, operații pe matrice, precum și metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Pentru un caz special, așa-numitele matrici pătrate, puteți calcula determinanți, al căror concept a fost discutat în prelegerea anterioară. Metoda Gauss este mai generală decât metoda Cramer discutată anterior pentru rezolvarea sistemelor liniare. Întrebările discutate în prelegere sunt utilizate în diferite ramuri ale matematicii și în probleme aplicative.

Prima întrebare de studiu ACȚIUNI PE MATRICE

DEFINIȚIA 1. Masa dreptunghiulara dem, nnumere care conținm– linii șin– coloane, cum ar fi:

numit matricea dimensiunilor m ´ n

Se numesc numerele care alcătuiesc matricea elemente ale matricei.

Poziția elementului Ai j în matrice sunt caracterizate printr-un indice dublu:

primul i- Numărul de linie;

al doilea j– numărul coloanei la intersecția căreia se află elementul.

Matricele sunt prescurtate cu majuscule: A, B, C...

Pe scurt se poate scrie astfel:

DEFINIȚIA 2.O matrice în care numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane, i.e.m = n, numit pătrat.

Numărul de rânduri (coloane) ale unei matrice pătrate se numește ordinea matricei.

EXEMPLU.

OBSERVAȚIE 1. Vom lua în considerare matrice ale căror elemente sunt numere. În matematică și aplicațiile sale, există matrici ale căror elemente sunt alte obiecte, de exemplu, funcții, vectori.

OBSERVAȚIA 2. Matricea este un concept matematic special. Folosind matrice, este convenabil să scrieți diverse transformări, sisteme liniare etc., prin urmare matricele se găsesc adesea în literatura matematică și tehnică.

DEFINIȚIA 3.Matricea dimensiunilor 1 n, format dintr-o linie, se numește matrice - rând.

Matrice de dimensiune T 1 format dintr-o coloană se numește matrice - coloană.

DEFINIȚIA 4. Matrice zero este o matrice ale cărei elemente sunt toate zero.

Luați în considerare o matrice pătrată de ordine n:

diagonală laterală

diagonala principală

Se numește diagonala unei matrice pătrate care merge de la elementul din stânga sus al tabelului până la dreapta jos diagonala principală a matricei(pe diagonala principală există elemente ale formei Ai i).

Diagonala care merge de la elementul din dreapta sus la elementul din stânga jos este numită diagonala secundară a matricei.

Să luăm în considerare câteva tipuri particulare de matrici pătrate.

1) Se numește o matrice pătrată diagonală, dacă toate elementele care nu se află pe diagonala principală sunt egale cu zero.

2) Se numește o matrice diagonală în care toate elementele diagonalei principale sunt egale cu unul singur. Indicat de:

3) Se numește o matrice pătrată triunghiular, dacă toate elementele situate pe o parte a diagonalei principale sunt egale cu zero:

sus jos

matrice triunghiulară matrice triunghiulară

Pentru o matrice pătrată se introduce următorul concept: determinant matriceal. Acesta este un determinant format din elemente de matrice. Indicat de:

Este clar că determinantul matricei de identitate este 1: ½ E½ = 1

COMETARIU. O matrice nepătrată nu are determinant.

Dacă determinantul unei matrice pătratice este diferit de zero, atunci matricea este numită nedegenerat, dacă determinantul este zero, atunci matricea este numită degenerat.

DEFINIȚIA 5.Se numește matricea obținută de la una dată prin înlocuirea rândurilor sale cu coloane cu aceleași numere transpus la cel dat.

Matrice transpusă în A, denota A T.

EXEMPLU.

3 3 2

DEFINIȚIE.Se numesc două matrice de aceeași dimensiune egal dacă toate elementele lor corespunzătoare sunt egale .

Să luăm în considerare operațiile pe matrice.

ADAUGARE MATRICE.

Operația de adăugare este introdusă numai pentru matrice de aceeași dimensiune.

DEFINIȚIA 7. Suma a două matrice A = (a i j ) și B = ( b i j ) aceeași mărime numită matrice C = (ci j)de aceeași dimensiune, ale căror elemente sunt egale cu sumele elementelor corespunzătoare termenilor matricelor, adică. Cui j = a i j + b i j

Se notează suma matricelor A + B.

EXEMPLU.

MULTIPLICAREA MATRICELOR CU UN NUMĂR REAL

DEFINIȚIA 8.Pentru a înmulți o matrice cu un numărk, trebuie să înmulțiți fiecare element al matricei cu acest număr:

Dacă A=(Ai j ), Acea k · A= (k · A i j )

EXEMPLU.

PROPRIETĂȚI DE ADĂUTARE ȘI MULTIPLICARE A MATRICELOR CU UN NUMĂR

1. Proprietate comutativă: A + B = B + A

2. Proprietatea combinației: (A + B) + C = A + (B + C)

3. Proprietatea distributivă: k · (A + B) = k A + k B, Unde k – număr

MULTIPLICARE MATRICE

Matrice A să-l numim în concordanță cu matricea ÎN, dacă numărul de coloane de matrice A egal cu numărul de rânduri ale matricei ÎN, adică pentru matricea matrice potrivită A are dimensiunea m ´ n, matrice ÎN are dimensiunea n ´ k . Matricele pătrate sunt consistente dacă sunt de aceeași ordine.

DEFINIȚIA 9.Produsul unei matrice A de dimensiunem ´ npe dimensiunea matricei Bn ´ knumită matrice de mărime Cm ´ k, al cărui element ai j , situat îni-a linia șij– a-a coloană, egală cu suma produselor elementelori– rândurile ale matricei A în elementele corespunzătoarej– coloana matricei B, i.e.

c i j = A i 1 b 1 j + A i 2 b 2 j +……+ A i n b n j

Să notăm: C = A· ÎN.

Acea

Muncă ÎN´ A nu are sens, pentru că matrici

nu s-a convenit.

NOTĂ 1. Dacă A´ ÎN are sens atunci ÎN´ A poate să nu aibă sens.

NOTĂ 2. Dacă are sens A´ ÎNȘi ÎN´ A, atunci, în general vorbind

A´ ÎN ¹ ÎN´ A, adică Înmulțirea prin matrice nu are o lege comutativă.

NOTA 3. Daca A este o matrice pătrată și E este matricea identitară de același ordin, atunci A´ E= E´ A = A.

Rezultă că matricea identitară joacă rolul unuia atunci când este înmulțită.

EXEMPLE. Găsiți-l dacă este posibil A´ ÎNȘi ÎN´ A.

Soluţie: Matricele pătrate de același ordin al doilea sunt consistente în acea altă ordine, deci A´ ÎNȘi ÎN´ A exista.

Să fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare care trebuie rezolvat (găsiți astfel de valori ale necunoscutelor xi care transformă fiecare ecuație a sistemului într-o egalitate).

Știm că un sistem de ecuații algebrice liniare poate:

1) Nu au soluții (fi nearticulată).
2) Au infinit de soluții.
3) Aveți o singură soluție.

După cum ne amintim, regula lui Cramer și metoda matricei nu sunt potrivite în cazurile în care sistemul are infinite de soluții sau este inconsecvent. metoda Gauss – cel mai puternic și versatil instrument pentru găsirea de soluții la orice sistem de ecuații liniare, care în fiecare caz ne va conduce la răspuns! Algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri. Dacă metodele Cramer și matrice necesită cunoașterea determinanților, atunci pentru a aplica metoda Gauss ai nevoie doar de cunoștințe de operații aritmetice, ceea ce o face accesibilă chiar și elevilor de școală primară.

Transformări matriceale crescute ( aceasta este matricea sistemului - o matrice compusă numai din coeficienții necunoscutelor, plus o coloană de termeni liberi) sisteme de ecuații algebrice liniare în metoda Gauss:

1) Cu troki matrici Poate sa rearanja in unele locuri.

2) dacă în matrice apar (sau există) rânduri proporționale (ca caz special – identice), atunci ar trebui să șterge din matrice toate aceste rânduri cu excepția unuia.

3) dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el șterge.

4) un rând al matricei poate fi înmulțire (împărțire) la orice alt număr decât zero.

5) la un rând al matricei pe care o puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero.

În metoda Gauss, transformările elementare nu modifică soluția sistemului de ecuații.

Metoda Gauss constă din două etape:

1. „Mișcare directă” - folosind transformări elementare, aduceți matricea extinsă a unui sistem de ecuații algebrice liniare într-o formă de pas „triunghiulară”: elementele matricei extinse situate sub diagonala principală sunt egale cu zero (deplasare de sus în jos). De exemplu, la acest tip:

Pentru a face acest lucru, efectuați următorii pași:

1) Să considerăm prima ecuație a unui sistem de ecuații algebrice liniare și coeficientul pentru x 1 este egal cu K. A doua, a treia etc. transformăm ecuațiile astfel: împărțim fiecare ecuație (coeficienții necunoscutelor, inclusiv termenii liberi) la coeficientul necunoscutului x 1 din fiecare ecuație și înmulțim cu K. După aceasta, o scădem pe prima din a doua ecuație ( coeficienţi de necunoscute şi termeni liberi). Pentru x 1 din a doua ecuație obținem coeficientul 0. Din a treia ecuație transformată scădem prima ecuație până când toate ecuațiile, cu excepția primei, pentru necunoscut x 1, au coeficientul 0.

2) Să trecem la următoarea ecuație. Fie aceasta a doua ecuație și coeficientul pentru x 2 egal cu M. Continuăm cu toate ecuațiile „inferioare” așa cum este descris mai sus. Astfel, „sub” necunoscutul x 2 vor fi zerouri în toate ecuațiile.

3) Treceți la următoarea ecuație și așa mai departe până când rămâne o ultimă necunoscută și termenul liber transformat.

1. „Mișcarea inversă” a metodei Gauss este de a obține o soluție la un sistem de ecuații algebrice liniare (mișcarea „de jos în sus”). Din ultima ecuație „inferioară” obținem o primă soluție - necunoscuta x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară A * x n = B. În exemplul dat mai sus, x 3 = 4. Înlocuim valoarea găsită în următoarea ecuație „superioară” și o rezolvăm în raport cu următoarea necunoscută. De exemplu, x 2 – 4 = 1, i.e. x 2 = 5. Și așa mai departe până găsim toate necunoscutele.

Exemplu.

Să rezolvăm sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss, așa cum ne sfătuiesc unii autori:

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem unul acolo. Problema este că nu există deloc unități în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Să o facem:
1 pas . La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus este „minus unu”, care ni se potrivește destul de bine. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o acțiune suplimentară: înmulțiți prima linie cu –1 (schimbați-i semnul).

Pasul 2 . Prima linie, înmulțită cu 5, a fost adăugată la a doua linie, prima linie, înmulțită cu 3, a fost adăugată la a treia linie.

Pasul 3 . Prima linie a fost înmulțită cu –1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel încât la a doua „treaptă” să avem unitatea necesară.

Pasul 4 . A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu 2.

Pasul 5 . A treia linie a fost împărțită la 3.

Un semn care indică o eroare în calcule (mai rar, o greșeală de scriere) este un rezultat „proast”. Adică, dacă avem ceva de genul (0 0 11 |23) mai jos și, în consecință, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atunci cu un grad mare de probabilitate putem spune că a fost făcută o eroare în timpul elementului transformări.

Să facem invers; în proiectarea exemplelor, sistemul în sine nu este adesea rescris, dar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. În acest exemplu, rezultatul a fost un cadou:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, deci x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Răspuns:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Să rezolvăm același sistem folosind algoritmul propus. Primim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Împărțim a doua ecuație la 5 și a treia la 3. Obținem:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Înmulțind a doua și a treia ecuație cu 4, obținem:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Scădeți prima ecuație din a doua și a treia ecuație, avem:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Împărțiți a treia ecuație la 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Înmulțiți a treia ecuație cu 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Scăzând a doua ecuație din a treia ecuație, obținem o matrice extinsă „în trepte”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Astfel, din moment ce eroarea acumulată în timpul calculelor, obținem x 3 = 0,96 sau aproximativ 1.

x 2 = 3 și x 1 = –1.

Rezolvând în acest fel, nu te vei încurca niciodată în calcule și, în ciuda erorilor de calcul, vei obține rezultatul.

Această metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare este ușor de programat și nu ține cont de caracteristicile specifice ale coeficienților pentru necunoscute, deoarece în practică (în calculele economice și tehnice) trebuie să se ocupe de coeficienți neîntregi.

Vă doresc succes! Ne vedem la ore! Tutore.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

De la începutul secolelor XVI-XVIII, matematicienii au început să studieze intens funcțiile, datorită cărora s-au schimbat atât de multe în viața noastră. Tehnologia informatică pur și simplu nu ar exista fără aceste cunoștințe. Au fost create diverse concepte, teoreme și tehnici de rezolvare pentru a rezolva probleme complexe, ecuații liniare și funcții. Una dintre astfel de metode și tehnici universale și raționale de rezolvare a ecuațiilor liniare și a sistemelor lor a fost metoda Gauss. Matrici, rangul lor, determinant - totul poate fi calculat fără a utiliza operații complexe.

Ce este SLAU

În matematică, există conceptul de SLAE - un sistem de ecuații algebrice liniare. Cum este ea? Acesta este un set de m ecuații cu n cantități necunoscute necesare, de obicei notate ca x, y, z sau x 1, x 2 ... x n sau alte simboluri. Rezolvarea unui sistem dat folosind metoda Gauss înseamnă găsirea tuturor necunoscutelor necunoscute. Dacă un sistem are același număr de necunoscute și ecuații, atunci se numește sistem de ordin al n-lea.

Cele mai populare metode de rezolvare a SLAE-urilor

În instituțiile de învățământ din învățământul secundar sunt studiate diferite metode de rezolvare a unor astfel de sisteme. Cel mai adesea acestea sunt ecuații simple formate din două necunoscute, așa că orice metodă existentă pentru a găsi răspunsul la ele nu va dura mult timp. Aceasta poate fi ca o metodă de substituție, când o alta este derivată dintr-o ecuație și substituită în cea originală. Sau metoda scăderii și adunării termen cu termen. Dar metoda Gauss este considerată cea mai ușoară și universală. Face posibilă rezolvarea ecuațiilor cu orice număr de necunoscute. De ce această tehnică specială este considerată rațională? E simplu. Lucrul bun despre metoda matricei este că nu necesită rescrierea simbolurilor inutile de mai multe ori ca necunoscute; este suficient să efectuați operații aritmetice asupra coeficienților - și veți obține un rezultat fiabil.

Unde sunt utilizate SLAE-urile în practică?

Soluția SLAE-urilor sunt punctele de intersecție a liniilor de pe graficele funcțiilor. În era computerelor de înaltă tehnologie, oamenii care sunt strâns asociați cu dezvoltarea jocurilor și a altor programe trebuie să știe cum să rezolve astfel de sisteme, ce reprezintă acestea și cum să verifice corectitudinea rezultatului rezultat. Cel mai adesea, programatorii dezvoltă programe speciale pentru calculatoare de algebră liniară, care include și un sistem de ecuații liniare. Metoda Gauss vă permite să calculați toate soluțiile existente. Sunt utilizate și alte formule și tehnici simplificate.

Criteriul de compatibilitate SLAU

Un astfel de sistem poate fi rezolvat doar dacă este compatibil. Pentru claritate, să reprezentăm SLAE sub forma Ax=b. Are o soluție dacă rang(A) este egal cu rang(A,b). În acest caz, (A,b) este o matrice de formă extinsă care poate fi obținută din matricea A prin rescrierea ei cu termeni liberi. Se pare că rezolvarea ecuațiilor liniare folosind metoda Gauss este destul de ușoară.

Poate că unele dintre simboluri nu sunt complet clare, așa că este necesar să luăm în considerare totul cu un exemplu. Să presupunem că există un sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Este format din doar două ecuații, în care există 2 necunoscute. Sistemul va avea o soluție numai dacă rangul matricei sale este egal cu rangul matricei extinse. Ce este rangul? Acesta este numărul de linii independente ale sistemului. În cazul nostru, rangul matricei este 2. Matricea A va consta din coeficienți localizați în apropierea necunoscutelor, iar coeficienții aflați în spatele semnului „=” se potrivesc, de asemenea, în matricea extinsă.

De ce pot fi reprezentate SLAE-urile sub formă de matrice?

Pe baza criteriului de compatibilitate conform teoremei dovedite Kronecker-Capelli, un sistem de ecuații algebrice liniare poate fi reprezentat sub formă de matrice. Folosind metoda cascadei Gauss, puteți rezolva matricea și puteți obține un singur răspuns de încredere pentru întregul sistem. Dacă rangul unei matrice obișnuite este egal cu rangul matricei sale extinse, dar este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de răspunsuri.

Transformări de matrice

Înainte de a trece la rezolvarea matricelor, trebuie să știți ce acțiuni pot fi efectuate asupra elementelor lor. Există mai multe transformări elementare:

• Rescriind sistemul sub formă de matrice și rezolvându-l, puteți înmulți toate elementele seriei cu același coeficient.
• Pentru a transforma matricea în formă canonică, puteți schimba două rânduri paralele. Forma canonică implică faptul că toate elementele matricei care sunt situate de-a lungul diagonalei principale devin unu, iar cele rămase devin zerouri.
• Elementele corespunzătoare ale rândurilor paralele ale matricei pot fi adăugate unele la altele.

metoda Jordan-Gauss

Esența rezolvării sistemelor de ecuații liniare omogene și neomogene folosind metoda Gaussiană este eliminarea treptat a necunoscutelor. Să presupunem că avem un sistem de două ecuații în care există două necunoscute. Pentru a le găsi, trebuie să verificați compatibilitatea sistemului. Ecuația este rezolvată foarte simplu prin metoda Gauss. Este necesar să se noteze coeficienții aflați lângă fiecare necunoscută sub formă de matrice. Pentru a rezolva sistemul, va trebui să scrieți matricea extinsă. Dacă una dintre ecuații conține un număr mai mic de necunoscute, atunci trebuie pus „0” în locul elementului lipsă. Toate metodele de transformare cunoscute sunt aplicate matricei: înmulțirea, împărțirea cu un număr, adăugarea elementelor corespunzătoare ale seriei între ele și altele. Se pare că în fiecare rând este necesar să lăsați o variabilă cu valoarea „1”, restul ar trebui redus la zero. Pentru o înțelegere mai precisă, este necesar să luăm în considerare metoda Gauss cu exemple.

Un exemplu simplu de rezolvare a unui sistem 2x2

Pentru început, să luăm un sistem simplu de ecuații algebrice, în care vor exista 2 necunoscute.

Să-l rescriem într-o matrice extinsă.

Pentru a rezolva acest sistem de ecuații liniare sunt necesare doar două operații. Trebuie să aducem matricea la forma canonică, astfel încât să existe unele de-a lungul diagonalei principale. Deci, transferând din forma matricei înapoi în sistem, obținem ecuațiile: 1x+0y=b1 și 0x+1y=b2, unde b1 și b2 sunt răspunsurile rezultate în procesul de rezolvare.

1. Prima acțiune la rezolvarea unei matrice extinse va fi următoarea: primul rând trebuie înmulțit cu -7 și adăugat elemente corespunzătoare celui de-al doilea rând pentru a scăpa de o necunoscută din a doua ecuație.
2. Deoarece rezolvarea ecuațiilor folosind metoda Gauss implică reducerea matricei la formă canonică, atunci este necesar să se efectueze aceleași operații cu prima ecuație și să se elimine a doua variabilă. Pentru a face acest lucru, scădem a doua linie din prima și obținem răspunsul necesar - soluția SLAE. Sau, așa cum se arată în figură, înmulțim al doilea rând cu un factor de -1 și adăugăm elementele celui de-al doilea rând la primul rând. Este la fel.

După cum putem vedea, sistemul nostru a fost rezolvat prin metoda Jordan-Gauss. O rescriem în forma cerută: x=-5, y=7.

Un exemplu de soluție SLAE 3x3

Să presupunem că avem un sistem mai complex de ecuații liniare. Metoda Gauss face posibilă calcularea răspunsului chiar și pentru sistemul cel mai aparent confuz. Prin urmare, pentru a aprofunda metodologia de calcul, puteți trece la un exemplu mai complex cu trei necunoscute.

Ca și în exemplul anterior, rescriem sistemul sub forma unei matrice extinse și începem să-l aducem la forma sa canonică.

Pentru a rezolva acest sistem, va trebui să efectuați mult mai multe acțiuni decât în ​​exemplul anterior.

1. Mai întâi trebuie să faceți din prima coloană un element de unitate și restul zerouri. Pentru a face acest lucru, înmulțiți prima ecuație cu -1 și adăugați a doua ecuație la ea. Este important să ne amintim că rescriem prima linie în forma sa originală, iar a doua într-o formă modificată.
2. În continuare, eliminăm această primă necunoscută din a treia ecuație. Pentru a face acest lucru, înmulțiți elementele primului rând cu -2 și adăugați-le la al treilea rând. Acum, prima și a doua linie sunt rescrise în forma lor originală, iar a treia - cu modificări. După cum puteți vedea din rezultat, l-am primit pe primul la începutul diagonalei principale a matricei și cu zerourile rămase. Încă câțiva pași, iar sistemul de ecuații prin metoda Gauss va fi rezolvat în mod fiabil.
3. Acum trebuie să efectuați operații pe alte elemente ale rândurilor. A treia și a patra acțiune pot fi combinate într-una singură. Trebuie să împărțim a doua și a treia linie la -1 pentru a scăpa de cele minus de pe diagonală. Am adus deja a treia linie la forma necesară.
4. Apoi aducem a doua linie la forma canonică. Pentru a face acest lucru, înmulțim elementele celui de-al treilea rând cu -3 și le adăugăm la al doilea rând al matricei. Din rezultat este clar că a doua linie se reduce și la forma de care avem nevoie. Rămâne să mai efectuăm câteva operații și să eliminați coeficienții necunoscutelor de pe prima linie.
5. Pentru a face 0 din al doilea element al unui rând, trebuie să înmulțiți al treilea rând cu -3 și să îl adăugați la primul rând.
6. Următorul pas decisiv va fi adăugarea elementelor necesare din al doilea rând la primul rând. În acest fel obținem forma canonică a matricei și, în consecință, răspunsul.

După cum puteți vedea, rezolvarea ecuațiilor folosind metoda Gauss este destul de simplă.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații 4x4

Unele sisteme de ecuații mai complexe pot fi rezolvate folosind metoda Gaussiană folosind programe de calculator. Este necesar să introduceți coeficienții pentru necunoscute în celulele goale existente, iar programul însuși va calcula pas cu pas rezultatul necesar, descriind în detaliu fiecare acțiune.

Instrucțiunile pas cu pas pentru rezolvarea unui astfel de exemplu sunt descrise mai jos.

În primul pas, coeficienții liberi și numerele pentru necunoscute sunt introduse în celulele goale. Astfel, obținem aceeași matrice extinsă pe care o scriem manual.

Și toate operațiile aritmetice necesare sunt efectuate pentru a aduce matricea extinsă la forma sa canonică. Este necesar să înțelegem că răspunsul la un sistem de ecuații nu este întotdeauna numere întregi. Uneori, soluția poate fi din numere fracționale.

Verificarea corectitudinii solutiei

Metoda Jordan-Gauss prevede verificarea corectitudinii rezultatului. Pentru a afla dacă coeficienții sunt calculați corect, trebuie doar să înlocuiți rezultatul în sistemul original de ecuații. Partea stângă a ecuației trebuie să se potrivească cu partea dreaptă din spatele semnului egal. Dacă răspunsurile nu se potrivesc, atunci trebuie să recalculați sistemul sau să încercați să-i aplicați o altă metodă de rezolvare a SLAE-urilor cunoscute de dvs., cum ar fi substituția sau scăderea și adunarea termen cu termen. La urma urmei, matematica este o știință care are un număr mare de metode diferite de rezolvare. Dar rețineți: rezultatul ar trebui să fie întotdeauna același, indiferent de metoda de soluție pe care ați folosit-o.

Metoda Gauss: cele mai frecvente erori la rezolvarea SLAE-urilor

Când se rezolvă sisteme liniare de ecuații, apar cel mai adesea erori, cum ar fi transferul incorect al coeficienților în formă de matrice. Există sisteme în care unele necunoscute lipsesc dintr-una dintre ecuații; apoi, atunci când se transferă date într-o matrice extinsă, acestea pot fi pierdute. Ca urmare, la rezolvarea acestui sistem, rezultatul poate să nu corespundă cu cel real.

O altă greșeală majoră poate fi scrierea greșită a rezultatului final. Este necesar să înțelegem clar că primul coeficient va corespunde primei necunoscute din sistem, al doilea - celui de-al doilea și așa mai departe.

Metoda Gauss descrie în detaliu soluția ecuațiilor liniare. Datorită acesteia, este ușor să efectuați operațiunile necesare și să găsiți rezultatul potrivit. În plus, acesta este un instrument universal pentru a găsi un răspuns de încredere la ecuații de orice complexitate. Poate de aceea este atât de des folosit când rezolvăm SLAE-uri.

În calculatorul nostru veți găsi gratuit rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss online cu soluții detaliate și chiar cu numere complexe. Cu noi poți rezolva atât un sistem de ecuații definit obișnuit, cât și unul nedefinit, care are un număr infinit de soluții. In acest caz, in raspuns vei primi dependenta unor variabile prin altele - libere. De asemenea, puteți verifica sistemul pentru consecvență folosind aceeași metodă Gaussiană.

Puteți citi mai multe despre cum să utilizați calculatorul nostru online în instrucțiuni.

Despre metoda

La rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss, se parcurg următorii pași.

1. Scriem matricea extinsă.
2. De fapt, algoritmul este împărțit în înainte și invers. O mișcare directă este reducerea unei matrice la o formă în trepte. Mișcarea inversă este reducerea matricei la o formă specială în trepte. Dar, în practică, este mai convenabil să eliminați imediat ceea ce este situat atât deasupra cât și sub elementul în cauză. Calculatorul nostru folosește exact această abordare.
3. Este important de reținut că, atunci când se rezolvă folosind metoda Gauss, prezența în matrice a cel puțin unui rând zero cu o parte dreaptă NON-zero (coloana de termeni liberi) indică inconsecvența sistemului. Nu există soluție în acest caz.

Pentru a înțelege cel mai bine cum funcționează algoritmul, introduceți orice exemplu, selectați „soluție foarte detaliată” și studiați răspunsul.