Lasă variabila X n ia o succesiune infinită de valori

X 1 , X 2 , ..., X n , ..., (1)

iar legea schimbării variabilei este cunoscută X n, adică pentru fiecare număr natural n puteți specifica valoarea corespunzătoare X n. Prin urmare, se presupune că variabila X n este o functie a n:

X n = f(n)

Să definim unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice - limita unei secvențe sau, ceea ce este același, limita unei variabile X n, parcurgând secvența X 1 , X 2 , ..., X n , ... . .

Definiție. Număr constant A numit limita secvenței X 1 , X 2 , ..., X n , ... . sau limita unei variabile X n, dacă pentru un număr pozitiv arbitrar mic e există un astfel de număr natural N(adică numărul N) că toate valorile variabilei X n, incepand cu X N, diferă de Aîn valoare absolută mai mică decât cu e. Această definiție este scrisă pe scurt după cum urmează:

| X n -A |< (2)

în fața tuturor n  N, sau, ce este la fel,

Determinarea limitei Cauchy. Un număr A se numește limita unei funcții f (x) într-un punct a dacă această funcție este definită într-o vecinătate a punctului a, cu posibila excepție a punctului a însuși, și pentru fiecare ε > 0 există δ > 0 astfel încât pentru toate x satisface condiția |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Determinarea limitei Heine. Un număr A se numește limita unei funcții f (x) într-un punct a dacă această funcție este definită într-o vecinătate a punctului a, cu posibila excepție a punctului a însuși și pentru orice succesiune astfel încât convergând către numărul a, succesiunea corespunzătoare de valori ale funcției converge către numărul A.

Dacă o funcție f (x) are o limită în punctul a, atunci această limită este unică.

Numărul A 1 se numește limita funcției f (x) din stânga în punctul a dacă pentru fiecare ε > 0 există δ >

Numărul A 2 se numește limita funcției f (x) din dreapta în punctul a dacă pentru fiecare ε > 0 există δ > 0 astfel încât inegalitatea să fie valabilă pentru toate

Limita din stânga se notează cu limita din dreapta - Aceste limite caracterizează comportamentul funcției la stânga și la dreapta punctului a. Acestea sunt adesea numite limite unidirecționale. În desemnarea limitelor unilaterale pentru x → 0, primul zero este de obicei omis: și . Deci, pentru funcție

Dacă pentru fiecare ε > 0 există o δ-vecinătate a unui punct astfel încât pentru tot x care îndeplinește condiția |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, atunci se spune că funcția f (x) are o limită infinită în punctul a:

Astfel, funcția are o limită infinită în punctul x = 0. Limitele egale cu +∞ și –∞ se disting adesea. Asa de,

Dacă pentru fiecare ε > 0 există un δ > 0 astfel încât pentru fiecare x > δ inegalitatea |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Teorema existenței pentru un supremum exact

Definiție:АR mR, m este fața superioară (inferioară) a lui А, dacă аА аm (аm).

Definiție: O mulțime A este mărginită de sus (de jos), dacă există un m astfel încât aA, am (am) să aibă loc.

Definiție: SupA=m, dacă 1) m este supremul lui A

2) m’: m’ m’ nu este suprema lui A

InfA = n, dacă 1) n este infimul lui A

2) n’: n’>n => n’ nu este infimul lui A

Definiție: SupA=m este un număr astfel încât: 1)  aA am

2) >0 a  A, astfel încât a  a-

InfA = n este un număr astfel încât: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, astfel încât a E a+

Teorema: Orice mulțime nevidă AR mărginită de sus are un supremum exact și unul unic.

Dovada:

Să construim numărul m pe dreapta numerică și să demonstrăm că acesta este supremul lui A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - limita superioară a lui A

Segmentul [[m],[m]+1] - împărțit în 10 părți

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m k =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - marginea superioară A

Să demonstrăm că m=[m],m 1 ...m K este supremul și că este unic:

k: )