Funcția liniară

Funcția liniară este o funcție care poate fi specificată prin formula y = kx + b,

unde x este variabila independentă, k și b sunt niște numere.

Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă.

Se numește numărul k panta unei drepte– graficul funcției y = kx + b.

Dacă k > 0, atunci unghiul de înclinare al dreptei y = kx + b față de axă X picant; dacă k< 0, то этот угол тупой.

Dacă pantele dreptelor care sunt grafice ale două funcții liniare sunt diferite, atunci aceste drepte se intersectează. Și dacă coeficienții unghiulari sunt aceiași, atunci liniile sunt paralele.

Graficul unei funcții y =kx +b, unde k ≠ 0, este o dreaptă paralelă cu dreapta y = kx.

Proporționalitate directă.

Proporționalitate directă este o funcție care poate fi specificată prin formula y = kx, unde x este o variabilă independentă, k este un număr diferit de zero. Se numește numărul k coeficient de proporţionalitate directă.

Graficul proporționalității directe este o linie dreaptă care trece prin originea coordonatelor (vezi figura).

Proporționalitatea directă este un caz special al unei funcții liniare.

Proprietățile funcțieiy =kx:

Proporționalitate inversă

Proporționalitate inversă se numește funcție care poate fi specificată prin formula:

k
y = -
x

Unde x este variabila independentă și k– un număr diferit de zero.

Graficul proporționalității inverse este o curbă numită hiperbolă(vezi poza).

Pentru o curbă care este graficul acestei funcții, axa xŞi y acţionează ca asimptote. Asimptotă- aceasta este linia dreaptă de care se apropie punctele curbei pe măsură ce se îndepărtează la infinit.

k
Proprietățile funcțieiy = -:
x

Cu care este asociat numele său. Aceasta se referă la o funcție reală a unei variabile reale.

YouTube enciclopedic

• 1 / 5

  Dacă toate variabilele x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle x_(1),x_(2),\dots,x_(n))și șanse a 0 , a 1 , a 2 , … , a n (\displaystyle a_(0),a_(1),a_(2),\dots ,a_(n)) sunt numere reale, apoi graficul unei funcții liniare în (n + 1) (\displaystyle (n+1))-spaţiul dimensional al variabilelor x 1 , x 2 , … , x n , y (\displaystyle x_(1),x_(2),\dots ,x_(n),y) este n (\displaystyle n)-hiperplan dimensional

  y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n (\displaystyle y=a_(0)+a_(1)x_(1)+a_(2)x_(2)+\dots +a_ (n)x_(n))

  în special când n = 1 (\displaystyle n=1)- o linie dreaptă pe un plan.

  Algebră abstractă

  Termenul „funcție liniară”, sau mai precis „funcție liniară omogenă”, este adesea folosit pentru a descrie o reprezentare liniară a unui spațiu vectorial X (\displaystyle X) peste vreun domeniu k (\displaystyle k)în acest domeniu, adică pentru o astfel de afișare f: X → k (\displaystyle f:X\to k), care pentru orice elemente x , y ∈ X (\displaystyle x,y\in X)și orice α , β ∈ k (\displaystyle \alpha ,\beta \in k) egalitatea este adevărată

  f (α x + β y) = α f (x) + β f (y) (\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y))

  Mai mult, în acest caz, în locul termenului „funcție liniară”, sunt folosiți și termenii liniar funcțional și liniar form - însemnând și liniar omogen funcţia unei anumite clase.

  În clasa a VII-a am studiat funcțiile y = C, y = kx, y = kx + m, y = x 2 și în cele din urmă a ajuns la concluzia că o ecuație cu două variabile de forma y = f(x) (funcție) este un model matematic convenabil pentru, după ce a dat o anumită valoare a variabilei independente x (argument), să se calculeze

  valoarea corespunzătoare a variabilei dependente y. De exemplu, dacă este dată funcția y = x 2, i.e. f(x) = x 2, atunci pentru x = 1 obținem y = 1 2 = 1; Pe scurt, se scrie astfel: f(1) = 1. Pentru x = 2 se obține f(2) = 2 2 = 4, adică y = 4; pentru x = - 3 obținem f(- 3) = (- 3) 2 = 9, adică y = 9 etc.

  Deja în clasa a VII-a, tu și cu mine am început să înțelegem că în egalitatea y = f(x) partea dreaptă, adică. expresia f(x) nu se limitează la cele patru cazuri enumerate mai sus (C, kx, kx + m, x 2).
  De exemplu, am întâlnit deja funcții pe bucăți, adică funcții definite prin diferite formule pe intervale diferite. Iată o astfel de funcție:

  y = f(x), unde

  Vă amintiți cum să reprezentați grafic astfel de funcții? Mai întâi trebuie să construiți o parabolă y = x 2 și să luați parte la x< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (Fig. 2). Și, în sfârșit, ambele părți selectate trebuie să fie combinate într-un singur desen, adică construite pe același plan de coordonate (vezi Fig. 3).

  
  

  Acum sarcina noastră este următoarea: să reumplem stocul de funcții studiate. În viața reală, există procese descrise de diverse modele matematice de forma y = f(x), nu doar cele pe care le-am enumerat mai sus. În această secțiune vom lua în considerare funcția y = kx 2, unde coeficientul k este orice număr diferit de zero.

  
  De fapt, funcția y = kx 2 într-un caz vă este puțin familiară. Uite: dacă k = 1, atunci obținem y = x 2; Ați studiat această funcție în clasa a VII-a și probabil vă amintiți că graficul ei este o parabolă (Fig. 1). Să discutăm ce se întâmplă la alte valori ale coeficientului k.
  Luați în considerare două funcții: y = 2x 2 și y = 0,5x 2. Să facem un tabel de valori pentru prima funcție y = 2x 2:

  Să construim punctele (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5) pe planul de coordonate (Fig. 4); ei conturează o anumită linie, să o desenăm

  (Fig. 5).
  Să facem un tabel de valori pentru a doua funcție y = 0,5x 2:

  Să construim punctele (0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), C; 4.5), (-3; 4.5) pe planul de coordonate (Fig. 6); ei conturează o anumită linie, să o desenăm (Fig. 7)

  .

  Punctele prezentate în fig. 4 și 6 sunt uneori numite puncte de control pentru graficul funcției corespunzătoare.

  Comparați figurile 1, 5 și 7. Nu este adevărat că liniile trasate sunt similare? Fiecare dintre ele se numește parabolă; în acest caz, punctul (0; 0) se numește vârful parabolei, iar axa y este axa de simetrie a parabolei. „Viteza de mișcare în sus” a ramurilor parabolei depinde de valoarea coeficientului k sau, după cum se spune,
  „gradul de abrupt” al unei parabole. Acest lucru este clar vizibil în fig. 8, unde toate cele trei parabole construite mai sus sunt situate pe același plan de coordonate.

  Situația este exact aceeași cu orice altă funcție de forma y = kx 2, unde k > 0. Graficul său este o parabolă cu vârful la origine, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus și cu cât este mai abruptă, cu atât este mai mare. coeficientul k. Axa y este axa de simetrie a parabolei. Apropo, de dragul conciziei, matematicienii spun adesea „parabola y = kx 2” în loc de expresia lungă „parabola care servește ca grafic al funcției y = kx 2” și în loc de termenul „axa de simetrie a o parabolă” folosesc termenul „axă parabolă”.

  Observați că există o analogie cu funcția y = kx? Dacă k > 0, atunci graficul funcției y = kx este o dreaptă care trece prin originea coordonatelor (rețineți că am spus pe scurt: dreaptă y = kx), și aici, de asemenea, „gradul de abruptitate” al linia dreaptă depinde de valoarea coeficientului k. Acest lucru este clar vizibil pe
  orez. 9, unde graficele funcțiilor liniare y = kx sunt afișate într-un sistem de coordonate pentru trei valori ale coeficientului

  
  

  Să revenim la funcția y = kx 2. Să aflăm cum stau lucrurile în cazul unui coeficient negativ ft. Să construim, de exemplu, un grafic al funcției

  y = - x 2 (aici k = - 1). Să creăm un tabel de valori:

  Marcați punctele (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) pe planul de coordonate (Fig. 10); ei conturează o anumită linie, să o desenăm (Fig. 11). Aceasta este o parabolă cu vârful în punctul (0; 0), axa y este axa de simetrie, dar spre deosebire de cazul în care k > 0, de această dată ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Situația este similară pentru alte valori negative ale coeficientului k.

  
  

  Deci, graficul unei funcții este o parabolă cu vârful său la origine; axa y este axa parabolei; ramurile parabolei sunt îndreptate în sus la k>0 u în jos la k<0.

  Să observăm, de asemenea, că parabola y = kx 2 atinge axa x în punctul (0; 0), adică o ramură a parabolei trece lin în cealaltă, ca și cum ar apăsa pe axa x.
  Dacă trasați grafice ale funcțiilor y = x2 și y = - x2 în același sistem de coordonate, atunci este ușor de observat că aceste parabole sunt simetrice între ele în raport cu axa x, ceea ce este clar vizibil în Fig. 12. În același mod, parabolele y = 2x 2 și y = - 2x 2 sunt simetrice între ele în raport cu axa x (nu fi leneș, construiește acestea
  două parabole în același sistem de coordonate și asigurați-vă că afirmația este adevărată).

  În general, graficul funcției y = - f(x) este simetric față de graficul funcției y = f(x) față de axa x.

  Proprietățile funcției y = kx 2 pentru k > 0

  Descriind proprietățile acestei funcții, ne vom baza pe modelul ei geometric - o parabolă (Fig. 13).

  1. Deoarece pentru orice valoare a lui x valoarea corespunzătoare a lui y poate fi calculată folosind formula y = kx 2, funcția este definită în orice punct x (pentru orice valoare a argumentului x). Pe scurt, se scrie astfel: domeniul de definire al funcției este (-oo, +oo), adică întreaga linie de coordonate.

  
  

  2. y = 0 la x = 0; y > O la . Acest lucru poate fi văzut și din graficul funcției (este situat în întregime deasupra axei x), dar poate fi justificat fără ajutorul unui grafic: dacă

  Atunci kx 2 > O ca produsul a două numere pozitive k și x 2 .

  3. y = kx 2 este o funcție continuă. Să reamintim că deocamdată considerăm acest termen drept sinonim pentru propoziția „graficul unei funcții este o linie continuă care poate fi trasată fără a ridica creionul de pe hârtie”. La clasele superioare se va da o interpretare matematică mai precisă a conceptului de continuitate a unei funcții, fără a se baza pe ilustrarea geometrică.

  4.y/ naim = 0 (realizat la x = 0); nai6 nu exista.

  Reamintim că (/max este cea mai mică valoare a funcției, iar Unaib. este cea mai mare valoare a funcției pe un interval dat; dacă intervalul nu este specificat, atunci unaim- și y max. sunt, respectiv, cel mai mic și cel mai mare valorile funcției în domeniul definiției.

  5. Funcția y = kx 2 crește pe măsură ce x > O și scade pe măsură ce x< 0.

  Să ne amintim că la cursul de algebră de clasa a VII-a am convenit să numim o funcție al cărei grafic al intervalului luat în considerare merge de la stânga la dreapta ca „în sus”, crescător și o funcție al cărei grafic al intervalului luat în considerare merge de la stânga la drept ca „în jos”, - în scădere. Mai exact, putem spune așa: funcția y = f (x) se spune că este crescătoare pe intervalul X dacă pe acest interval îi corespunde o valoare mai mare a argumentului
  valoare mai mare a funcției; se spune că o funcție y = f (x) este descrescătoare pe un interval X dacă pe acest interval o valoare mai mare a argumentului îi corespunde unei valori mai mici a funcției.

  În manualul de Algebra 7, am numit procesul de enumerare a proprietăților unei funcții care citește un grafic. Procesul de citire a unui grafic va deveni treptat mai bogat și mai interesant pe măsură ce învățăm noi proprietăți ale funcțiilor. Am discutat despre cele cinci proprietăți enumerate mai sus în clasa a VII-a pentru funcțiile pe care le-am studiat acolo. Să adăugăm o proprietate nouă.

  O funcție y = f(x) se numește mărginită mai jos dacă toate valorile funcției sunt mai mari decât un anumit număr. Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că graficul funcției este situat deasupra unei anumite linii drepte paralele cu axa x.

  Acum uitați: graficul funcției y = kx 2 este situat deasupra liniei drepte y = - 1 (sau y = - 2, nu contează) - este prezentat în Fig. 13. Prin urmare, y - kx2 (k > 0) este o funcție mărginită de jos.

  Alături de funcțiile mărginite mai jos, sunt luate în considerare și funcțiile mărginite mai sus. Se spune că o funcție y - f(x) este mărginită de sus dacă toate valorile funcției sunt mai mici decât un anumit număr. Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că graficul funcției este situat sub o linie dreaptă paralelă cu axa x.
  Există o astfel de linie pentru parabola y = kx 2, unde k > 0? Nu. Aceasta înseamnă că funcția nu este limitată superioară.

  Deci, avem încă o proprietate, să o adăugăm la cele cinci enumerate mai sus.

  6. Funcția y = kx 2 (k > 0) este mărginită mai jos și nu mărginită deasupra.

  Proprietățile funcției y = kx 2 pentru k< 0

  Când descriem proprietățile acestei funcții, ne bazăm pe modelul ei geometric - o parabolă (Fig. 14).

  

  1. Domeniul de definire al funcției este (—oo, +oo).

  2. y = 0 la x = 0; la< 0 при .

  Z.у = kx 2 este o funcție continuă.
  4. y nai6 = 0 (realizat la x = 0), unaim nu există.

  5. Funcția crește cu x< 0, убывает при х > 0.

  6. Funcția este limitată de sus și nu limitată de jos.

  Să explicăm ultima proprietate: există o linie dreaptă paralelă cu axa x (de exemplu, y = 1, este desenată în Fig. 14), astfel încât întreaga parabola să se afle sub această linie dreaptă; aceasta înseamnă că funcția este mărginită mai sus. Pe de altă parte, este imposibil să se tragă o linie dreaptă paralelă cu axa x astfel încât întreaga parabolă să fie situată deasupra acestei linii drepte; aceasta înseamnă că funcția nu este mărginită mai jos.

  Ordinea mișcărilor folosită mai sus la enumerarea proprietăților unei funcții nu este o lege, atâta timp cât s-a dezvoltat cronologic în acest fel.

  Vom dezvolta treptat o ordine mai mult sau mai puțin definită a mișcărilor și o vom unifica în cursul de algebră de clasa a IX-a.

  Exemplul 1. Aflați cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției y = 2x 2 pe segmentul: a) ; b) [- 2, - 1]; c) [- 1, 1,5].

  Soluţie.
  a) Să construim un grafic al funcției y = 2x2 și să evidențiem partea acesteia pe segment (Fig. 15). Remarcăm că 1/nume. = 0 (realizat la x = 0) și y max = 8 (realizat la x = 2).

  b) Să construim un grafic al funcției y = 2x2 și să evidențiem partea acesteia pe segmentul [- 2, - 1] (Fig. 16). Observăm că 2/max = 2 (realizat la x = - 1) și y max = 8 (realizat la x = - 2).

  c) Să construim un grafic al funcției y = 2x2 și să evidențiem partea acesteia pe segmentul [- 1, 1.5] (Fig. 17). Observăm că unanm = 0 (realizat la x = 0), iar y se realizează cel mai mult în punctul x = 1,5; Să calculăm această valoare: (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. Deci, y max = 4,5.

  
  

  Exemplul 2. Rezolvați ecuația - x 2 = 2x - 3.

  Soluţie. În manualul „Algebra-7” am dezvoltat un algoritm pentru rezolvarea grafică a ecuațiilor;

  Pentru a rezolva grafic ecuația f(x) = g (x), aveți nevoie de:

  1) se consideră două funcții y = -x 2 și y = 2x -3;
  2) construiți un grafic al funcției i/ = / (x);
  3) construiți un grafic al funcției y = g (x);
  4) găsiți punctele de intersecție ale graficelor construite; abscisa-
  Sys acestor puncte sunt rădăcinile ecuației f(x) = g (x).
  Să aplicăm acest algoritm la ecuația dată.
  1) Luați în considerare două funcții: y = - x2 și y = 2x - 3.
  2) Să construim o parabolă - un grafic al funcției y = - x 2 (Fig. 18).

  3) Să construim un grafic al funcției y = 2x - 3. Aceasta este o linie dreaptă pentru a o construi, este suficient să găsiți oricare două puncte pe grafic; Dacă x = 0, atunci y = - 3; dacă x = 1,

  atunci y = -1. Deci, am găsit două puncte (0; -3) și (1; -1). Linia dreaptă care trece prin aceste două puncte (graficul funcției y = 2x - 3) este reprezentată în același

  desen (vezi Fig. 18).

  4) Conform desenului, constatăm că linia dreaptă și parabola se intersectează în două puncte A(1; -1) și B(-3; -9). Aceasta înseamnă că această ecuație are două rădăcini: 1 și - 3 - acestea sunt abscisele punctelor A și B.

  Răspuns: 1,-3.

  
  

  Comentariu. Desigur, nu poți avea încredere orbește în ilustrațiile grafice. Poate ni se pare că punctul A are coordonate (1; - 1) și mai departe
  Sunt de fapt diferite, de exemplu (0,98; - 1,01)?

  Prin urmare, este întotdeauna util să vă verificați. Deci, în exemplul luat în considerare, trebuie să vă asigurați că punctul A(1; -1) aparține parabolei y = - x 2 (acest lucru este ușor - doar înlocuiți coordonatele punctului A în formula y = - x 2 ; obținem - 1 = - 1 2 - egalitate numerică corectă) și linia dreaptă y = 2x - 3 (și acest lucru este ușor - doar înlocuiți coordonatele punctului A în formula y = 2x - 3; obținem - 1 = 2-3 - egalitatea numerică corectă). Același lucru trebuie făcut pentru
  punctele 8. Această verificare arată că în ecuația luată în considerare, observațiile grafice au condus la rezultatul corect.

  Exemplul 3. Rezolvarea sistemului de ecuații

  

  Soluţie. Să transformăm prima ecuație a sistemului în forma y = - x 2. Graficul acestei funcții este o parabolă prezentată în Fig. 18.
  Să transformăm a doua ecuație a sistemului în forma y = 2x - 3. Graficul acestei funcții este linia dreaptă prezentată în Fig. 18.

  Parabola și dreapta se intersectează în punctele A (1; -1) și B (- 3; - 9). Coordonatele acestor puncte servesc ca soluții pentru un anumit sistem de ecuații.

  Răspuns: (1; -1), (-3; -9).

  Exemplul 4. Având în vedere o funcție y - f (x), unde

  

  Necesar:

  a) calculați f(-4), f(-2), f(0), f(1.5), f(2), f(3);

  b) construiți un grafic al funcției;

  c) utilizați un grafic pentru a enumera proprietățile funcției.

  Soluţie,

  a) Valoarea x = - 4 satisface condiția - prin urmare, f(-4) trebuie calculat folosind prima linie a definiției funcției Avem f(x) = - 0,5x2, ceea ce înseamnă
  f(-4) = -0,5 . (-4) 2 = -8.
  În mod similar găsim:

  f(-2) = -0,5 . (-2) 2 =-2;
  f(0) = -0,5 . 0 2 = 0.

  Valoarea îndeplinește condiția, deci trebuie calculată folosind a doua linie a specificației funcției. Avem f(x) = x + 1, ceea ce înseamnă

  Valoarea x = 1,5 satisface condiția 1< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит,
  f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
  În mod similar, obținem
  f(2)= 2 . 2 2 =8.
  Valoarea x = 3 nu îndeplinește niciuna dintre cele trei condiții pentru specificarea unei funcții și, prin urmare, f(3) nu poate fi calculată în acest caz punctul x = 3 nu aparține domeniului de definire a funcției; Sarcina de a calcula f(3) este incorectă.

  b) Vom construi graficul „piesă cu bucată”. Mai întâi, să construim o parabolă y = -0,5x 2 și să selectăm partea ei pe segmentul [-4, 0] (Fig. 19). Apoi construim dreapta y = x + 1 u. Să selectăm partea sa pe jumătate de interval (0, 1] (Fig. 20). În continuare, vom construi o parabolă y = 2x2 și vom selecta partea sa pe jumătate de interval.

  (1, 2] (Fig. 21).

  În cele din urmă, vom reprezenta toate cele trei „piese” într-un singur sistem de coordonate; obţinem un grafic al funcţiei y = f(x) (Fig. 22).

  c) Să enumerăm proprietățile funcției sau, după cum am convenit să spunem, să citim graficul.

  

  1. Domeniul de definire al funcției este segmentul [—4, 2].

  2. y = 0 la x = 0; y > 0 la 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.

  3. Funcția suferă o discontinuitate la x = 0.

  4. Funcția crește pe segmentul [-4, 2].

  5. Funcția este limitată atât de jos, cât și de sus.

  6. y max = -8 (realizat la x = -4); y cele mai6 . = 8 (realizat la x = 2).

  Exemplul 5. Este dată funcția y = f(x), unde f(x) = 3x 2. Găsi:

  f(1), f(- 2), f(а), f(2а), f(а + 1), f(-х), f(Зх), f(x - 1),
  f(x + a), f(x) + 5, f(x) + b, f(x + a) + b, f(x 2), f(2x 3).

  Soluţie. Deoarece f (x) = 3x 2, obținem în mod constant:

  f(1) =3 .1 2 = 3;
  f(a) = Pentru 2;
  f(a+1) = 3(a + 1) 2;
  f(3x) = 3.(3x) 2 = 27x 2 ;
  f(x + a) = 3(x + a) 2 ;

  f(x 2) +b = 3x 2 +b
  f(x 2) = 3 . (x 2) 2

  F(- 2) = Z . (-2) 2 = 12
  f(2a) =З . (2a) 2 =12a 2

  F(x) =З . (-x) 2 =3x 2

  F(-x)+ 5 =3x 2 +5
  f(x + a) + b = 3 (x + a) 2 + b;
  f(2x 3) = 3 . (2x3)2

  Se consideră funcția y=k/y. Graficul acestei funcții este o dreaptă, numită hiperbolă în matematică. Vederea generală a unei hiperbole este prezentată în figura de mai jos. (Graficul arată funcția y egal cu k împărțit la x, pentru care k este egal cu unu.)

  Se poate observa că graficul este format din două părți. Aceste părți sunt numite ramuri ale hiperbolei. De asemenea, este de remarcat faptul că fiecare ramură a hiperbolei se apropie într-una dintre direcțiile din ce în ce mai aproape de axele de coordonate. Axele de coordonate în acest caz se numesc asimptote.

  În general, orice drepte la care graficul unei funcții se apropie la infinit, dar nu le atinge, se numesc asimptote. O hiperbola, ca o parabolă, are axe de simetrie. Pentru hiperbola prezentată în figura de mai sus, aceasta este linia y=x.

  Acum să ne uităm la două cazuri comune de hiperbolă. Graficul funcției y = k/x, pentru k ≠0, va fi o hiperbolă, ale cărei ramuri sunt situate fie în primul și al treilea unghi de coordonate, pentru k>0, fie în al doilea și al patrulea unghi de coordonate, pentru k<0.

  Proprietățile de bază ale funcției y = k/x, pentru k>0

  

  Graficul funcției y = k/x, pentru k>0

  5. y>0 la x>0; y6. Funcția scade atât pe intervalul (-∞;0), cât și pe intervalul (0;+∞).

  10. Domeniul de valori al funcției este de două intervale deschise (-∞;0) și (0;+∞).

  Proprietățile de bază ale funcției y = k/x, pentru k<0

  

  Graficul funcției y = k/x, la k<0

  1. Punctul (0;0) este centrul de simetrie al hiperbolei.

  2. Axele de coordonate - asimptotele hiperbolei.

  4. Domeniul de definire al funcției este tot x cu excepția x=0.

  5. y>0 la x0.

  6. Funcția crește atât pe intervalul (-∞;0), cât și pe intervalul (0;+∞).

  7. Funcția nu este limitată nici de jos, nici de sus.

  8. O funcție nu are nici o valoare maximă, nici o valoare minimă.

  9. Funcția este continuă pe intervalul (-∞;0) și pe intervalul (0;+∞). Are un interval la x=0.

  În acest articol ne vom uita la funcţie liniară, graficul unei funcții liniare și proprietățile acesteia. Și, ca de obicei, vom rezolva mai multe probleme pe această temă.

  Funcția liniară numită funcţie a formei

  Într-o ecuație a funcției, numărul cu care îl înmulțim se numește coeficient de pantă.

  De exemplu, în ecuația funcției ;

  în ecuația funcției;

  în ecuația funcției;

  în ecuația funcției.

  Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă.

  1. Pentru a reprezenta o funcție, avem nevoie de coordonatele a două puncte aparținând graficului funcției. Pentru a le găsi, trebuie să luați două valori x, să le înlocuiți în ecuația funcției și să le utilizați pentru a calcula valorile y corespunzătoare.

  De exemplu, pentru a reprezenta graficul unei funcții, este convenabil să luați și , atunci ordonatele acestor puncte vor fi egale cu și .

  Obținem punctele A(0;2) și B(3;3). Să le conectăm și să obținem un grafic al funcției:

  
  

  2 . Într-o ecuație a funcției, coeficientul este responsabil pentru panta graficului funcției:

  Titlu="k>0">!}

  Coeficientul este responsabil pentru deplasarea graficului de-a lungul axei:

  Titlu="b>0">!}

  Figura de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor; ;

  
  

  Rețineți că în toate aceste funcții coeficientul mai mare decât zero corect. Mai mult, cu cât valoarea este mai mare, cu atât linia dreaptă este mai abruptă.

  În toate funcțiile - și vedem că toate graficele intersectează axa OY în punctul (0;3)

  Acum să ne uităm la graficele funcțiilor; ;

  
  

  De data aceasta în toate funcţiile coeficientul mai putin de zero, iar toate graficele funcțiilor sunt înclinate stânga.

  Rețineți că cu cât |k| este mai mare, cu atât linia dreaptă este mai abruptă. Coeficientul b este același, b=3, iar graficele, ca și în cazul precedent, intersectează axa OY în punctul (0;3)

  Să ne uităm la graficele funcțiilor; ;

  

  Acum coeficienții din toate ecuațiile funcției sunt egali. Și avem trei linii paralele.

  Dar coeficienții b sunt diferiți, iar aceste grafice intersectează axa OY în puncte diferite:

  Graficul funcției (b=3) intersectează axa OY în punctul (0;3)

  Graficul funcției (b=0) intersectează axa OY în punctul (0;0) - originea.

  Graficul funcției (b=-2) intersectează axa OY în punctul (0;-2)

  Deci, dacă cunoaștem semnele coeficienților k și b, atunci ne putem imagina imediat cum arată graficul funcției.

  Dacă k<0 и b>0 , atunci graficul funcției arată astfel:

  

  Dacă k>0 și b>0, atunci graficul funcției arată astfel:

  

  Dacă k>0 și b<0 , atunci graficul funcției arată astfel:

  

  Dacă k<0 и b<0 , atunci graficul funcției arată astfel:

  

  Dacă k=0, apoi funcția se transformă într-o funcție și graficul ei arată astfel:

  

  Ordonatele tuturor punctelor de pe graficul funcției sunt egale

  Dacă b=0, atunci graficul funcției trece prin origine:

  

  Acest grafic de proporționalitate directă.

  3. Aș dori să notez separat graficul ecuației. Graficul acestei ecuații este o dreaptă paralelă cu axa, toate punctele care au o abscisă.

  De exemplu, graficul ecuației arată astfel:

  Atenţie! Ecuația nu este o funcție, deoarece valori diferite ale argumentului corespund aceleiași valori a funcției, care nu corespunde.

  

  4 . Condiție pentru paralelismul a două linii:

  Graficul unei funcții paralel cu graficul funcției, Dacă

  5. Condiția pentru perpendicularitatea a două drepte:

  Graficul unei funcții perpendicular pe graficul funcției, dacă sau

  6. Puncte de intersecție ale graficului unei funcții cu axele de coordonate.

  Cu axa OY. Abscisa oricărui punct aparținând axei OY este egală cu zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OY, trebuie să înlocuiți zero în ecuația funcției în loc de x. Obținem y=b. Adică, punctul de intersecție cu axa OY are coordonatele (0; b).

  Cu axa OX: Ordonata oricărui punct aparținând axei OX este egală cu zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OX, trebuie să înlocuiți zero în ecuația funcției în loc de y. Se obține 0=kx+b. De aici. Adică, punctul de intersecție cu axa OX are coordonatele (;0):

  
  

  Să ne uităm la rezolvarea problemelor.

  1. Construiți un grafic al funcției dacă se știe că aceasta trece prin punctul A(-3;2) și este paralelă cu dreapta y=-4x.

  Ecuația funcției are doi parametri necunoscuți: k și b. Prin urmare, textul problemei trebuie să conțină două condiții care caracterizează graficul funcției.

  a) Din faptul că graficul funcției este paralel cu dreapta y=-4x, rezultă că k=-4. Adică, ecuația funcției are forma

  b) Trebuie doar să găsim b. Se știe că graficul funcției trece prin punctul A(-3;2). Dacă un punct aparține graficului unei funcții, atunci când înlocuim coordonatele sale în ecuația funcției, obținem egalitatea corectă:

  deci b=-10

  Astfel, trebuie să trasăm funcția

  Știm punctul A(-3;2), să luăm punctul B(0;-10)

  Să punem aceste puncte în planul de coordonate și să le conectăm cu o linie dreaptă:

  

  2. Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctele A(1;1); B(2;4).

  Dacă o dreaptă trece prin puncte cu coordonate date, prin urmare, coordonatele punctelor satisfac ecuația dreptei. Adică, dacă înlocuim coordonatele punctelor în ecuația unei drepte, vom obține egalitatea corectă.

  Să substituim coordonatele fiecărui punct în ecuație și să obținem un sistem de ecuații liniare.

  Scădeți prima din a doua ecuație a sistemului și obțineți . Să substituim valoarea lui k în prima ecuație a sistemului și să obținem b=-2.

  Deci, ecuația dreptei.

  3. Reprezentați grafic ecuația

  Pentru a afla la ce valori ale necunoscutului produsul mai multor factori este egal cu zero, trebuie să echivalați fiecare factor cu zero și să luați în considerare fiecare multiplicator.

  Această ecuație nu are restricții privind ODZ. Să factorizăm a doua paranteză și să setăm fiecare factor egal cu zero. Obținem un set de ecuații:

  Să construim grafice ale tuturor ecuațiilor mulțimii într-un singur plan de coordonate. Acesta este graficul ecuației :

  
  4. Construiți un grafic al funcției dacă aceasta este perpendiculară pe dreapta și trece prin punctul M(-1;2)

  Nu vom construi un grafic, vom găsi doar ecuația dreptei.

  a) Deoarece graficul unei funcții, dacă aceasta este perpendiculară pe o dreaptă, deci, deci. Adică, ecuația funcției are forma

  b) Știm că graficul funcției trece prin punctul M(-1;2). Să substituim coordonatele sale în ecuația funcției. Primim:

  De aici.

  Prin urmare, funcția noastră arată astfel: .

  5. Reprezentați grafic funcția

  Să simplificăm expresia din partea dreaptă a ecuației funcției.

  Important!Înainte de a simplifica expresia, să-i găsim ODZ.

  Numitorul unei fracții nu poate fi zero, deci title="x1">, title="x-1">.!}

  

  Atunci funcția noastră ia forma:

  Titlu="delim(lbrace)(matrice(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

  Adică, trebuie să construim un grafic al funcției și să decupăm două puncte pe el: cu abscisele x=1 și x=-1: