Jaunųjų mokytojų konkursas

Briansko sritis

„Pedagoginis debiutas – 2014 m.

2014-2015 mokslo metai

Matematikos sutvirtinimo pamoka 6 klasėje

tema „GCD. Abipusiai pirminiai skaičiai"

Darbo vieta:Briansko rajono MBOU „Gliniščevskajos vidurinė mokykla“.

Tikslai:

Švietimas:

• Susisteminti ir sisteminti studijuojamą medžiagą;
• Praktikuokite skaičių skaidymo į pirminius veiksnius ir gcd radimo įgūdžius;
• Tikrinti mokinių žinias ir nustatyti spragas;

Švietimas:

• Skatinti mokinių loginio mąstymo, kalbos ir protinių operacijų įgūdžių ugdymą;
• Prisidėti prie gebėjimo pastebėti šablonus ugdymo;
• Prisidėti prie matematinės kultūros lygio gerinimo;

Švietimas:

• Skatinti domėjimąsi matematika; gebėjimas reikšti savo mintis, klausytis kitų, apginti savo požiūrį;
• nepriklausomybės, susikaupimo ir susikaupimo ugdymas;
• ugdykite sąsiuvinio tvarkymo tikslumo įgūdžius.

Pamokos tipas: žinių apibendrinimo ir sisteminimo pamoka.

Mokymo metodai : aiškinamasis ir iliustruojamasis, savarankiškas darbas.

Įranga: kompiuteris, ekranas, pristatymas, dalomoji medžiaga.

Užsiėmimų metu:

1. Laiko organizavimas.

„Skambėjo skambutis ir nutilo - pamoka prasideda.

Tu tyliai atsisėdai prie savo stalų, visi žiūrėjo į mane.

Palinkėkite vienas kitam sėkmės akimis.

Ir pirmyn į naujas žinias“.

Draugai, ant staliukų matote “Balų lapą”, t.y. Be mano įvertinimo, atlikdami kiekvieną užduotį įvertinsite save.

Vertinimo dokumentas

Vaikinai, kokią temą studijavote per kelias pamokas? (Mes išmokome rasti didžiausią bendrą daliklį).

Kaip manote, ką šiandien veiksim? Suformuluokite mūsų pamokos temą. (Šiandien tęsime darbą su didžiausiu bendruoju dalikliu. Mūsų pamokos tema „Didžiausias bendras daliklis“. Šioje pamokoje surasime didžiausią kelių skaičių bendrąjį daliklį ir spręsime uždavinius naudodami žinias apie didžiausio bendrojo daliklio radimą. ).

Atsiverskite sąsiuvinius, užsirašykite numerį, klasės darbą ir pamokos temą: „Didžiausias bendras daliklis. Abipusiai pirminiai skaičiai.

1. Žinių atnaujinimas

Keletas teorinių klausimų

Ar teiginiai teisingi? "Taip" - __; "Ne" - /\. 3-4 skaidrės

• Pirminis skaičius turi lygiai du daliklius; (dešinėje)
• 1 yra pirminis skaičius; (netiesa)
• Mažiausias dviženklis pirminis skaičius yra 11; (dešinėje)
• Didžiausias dviženklis sudėtinis skaičius yra 99; (dešinėje)
• Skaičiai 8 ir 10 yra pirminiai (netiesa)
• Kai kurie sudėtiniai skaičiai negali būti suskirstyti į koeficientus; (netiesa).

Raktas: _ /\ _ _/\ /\.

Įvertinkite savo žodinį pasirodymą balų lape.

1. Žinių sisteminimas

Šiandien mūsų pamokoje bus šiek tiek magijos.

Kur vyksta magija? (pasakoje)

Iš paveikslėlio atspėk, kurioje pasakoje atsidursime. ( 5 skaidrė ) Pasaka apie žąsis ir gulbes. Visiškai teisus. Šauniai padirbėta. Dabar visi kartu pabandykime prisiminti šios pasakos turinį. Grandinė labai trumpa.

Ten gyveno vyras ir moteris. Jie turėjo dukrą ir mažą sūnų. Tėvas ir mama išėjo į darbą ir paprašė dukters prižiūrėti brolį.

Ji pasodino mano brolį ant žolės po langu, ji išbėgo į lauką, pradėjo žaisti ir pasivaikščioti. Kai mergina grįžo, jos brolio jau nebuvo. Ji pradėjo jo ieškoti, rėkė, skambino, bet niekas neatsiliepė. Ji išbėgo į atvirą lauką ir tik pamatė: gulbės žąsys išskriejo į tolį ir dingo už tamsaus miško. Tada mergina suprato, kad jos brolį išsivežė. Ji jau seniai žinojo, kad gulbės žąsys išnešioja mažus vaikus.

Ji puolė juos iš paskos. Pakeliui ji sutiko krosnį, obelį ir upę. Bet mūsų upė – ne pieno upė ant želė krantų, o eilinė, kurioje labai labai daug žuvų. Nė vienas nepasiūlė, kur žąsys atskrenda, nes pati jų prašymų neįvykdė.

Ilgą laiką mergina bėgiojo per laukus ir miškus. Diena jau artėja prie vakaro, staiga pamato ant vištų kojų stovinčią trobelę su vienu langu, besisukančią. Trobelėje senoji Baba Yaga sukasi kuodelį. O jos brolis sėdi ant suoliuko prie lango. Mergina nesakė, kad atėjo dėl brolio, o melavo sakydama, kad pasiklydo. Jei ne pelytė, kurią ji maitino koše, Baba Yaga būtų ją iškepusi orkaitėje ir suvalgiusi. Mergina greitai pagriebė brolį ir nubėgo namo. Žąsys ir gulbės juos pastebėjo ir nuskrido iš paskos. O ar jie saugiai grįš namo – dabar viskas priklauso nuo mūsų, vaikinų. Tęskime pasakojimą.

Jie bėgo, bėgo ir pasiekė upę. Jie paprašė upės padėti.

Tačiau upė padės jiems pasislėpti tik tuo atveju, jei jūs, vaikinai, „pagausite“ visas žuvis.

Dabar dirbsite poromis. Kiekvienai porai duodu po voką – tinklelį, į kurį įsipainioja trys žuvys. Jūsų užduotis yra gauti visas žuvis, užrašyti Nr. 1 ir išspręsti

Žuvies užduotys. Įrodykite, kad skaičiai yra pirminiai

1) 40 ir 15 2) 45 ir 49 3) 16 ir 21

Tarpusavio peržiūra. Atkreipkite dėmesį į vertinimo kriterijus. 6-7 skaidrės

Apibendrinimas: kaip įrodyti, kad skaičiai yra santykinai pirminiai?

Įvertino.

Šauniai padirbėta. Padėjo mergaitei ir berniukui. Upė juos priglaudė po savo krantu. Pro šalį praskriejo žąsys-gulbės.

Kaip dėkingumo ženklą, berniukas suteiks jums fizinę minutę (vaizdo įrašas) 9 skaidrė

Kokiu atveju obelis juos paslėps?

Jei mergina bando savo miško obuolį.

Teisingai. „Valgykime“ miško obuolius visi kartu. Ir obuoliai ant jo nėra paprasti, su neįprastomis užduotimis, tai vadinama LOTO. Didelius obuolius „valgome“ po vieną grupėje, t.y. Dirbame grupėmis. Raskite GCD kiekvienoje mažų kortelių langelyje, kad gautumėte atsakymą. Kai visos ląstelės bus uždarytos, apverskite korteles ir turėtumėte gauti paveikslėlį.

Miško obelų ieškojimai

Raskite GCD:

1 grupė		2-oji grupė
GCD(48,84)=	gcd(60.48)=	GCD(60,80)=	GCD (80,64) =
GCD (12,15)=	GCD(15,20)=	gcd(50.30)=	GCD (12,16) =
3 grupė		4 grupė
GCD (123,72) =	gcd(120.96)=	gcd(90.72)=	gcd(15;100)=
GCD(45,30)=	gcd(15.9)=	GCD(14,42)=	GCD (34,51) =

Patikrinkite: aš einu per eilutes ir patikrinu paveikslėlį

Apibendrinimas: ką reikia padaryti norint rasti GCD?

Šauniai padirbėta. Obelis jas nustelbė šakomis ir uždengė lapais. Žąsys ir gulbės jas pametė ir skrido toliau. Taigi, kas toliau?

Jie vėl bėgo. Nebuvo toli, o tada žąsys jas pamatė, pradėjo plakti sparnais ir norėjo išplėšti brolį iš rankų. Jie pasiekė viryklę. Viryklė juos paslėps, jei mergina išbandys ruginį pyragą.

Padėkime mergaitei.Parinkčių užduotis, testas

TESTAS

Tema

1 variantas

1. Kurie skaičiai yra bendrieji 24 ir 16 koeficientai?

1) 4, 8; 2) 6, 2, 4;

3) 2, 4, 8; 4) 8, 6.

1. Ar skaičius 9 yra didžiausias bendras skaičių 27 ir 36 daliklis?

1. Taip; 2) ne.

1. Duoti skaičiai 128, 64 ir 32. Kuris iš jų yra didžiausias visų trijų skaičių daliklis?

1) 128; 2) 64; 3) 32.

1. Ar skaičiai 7 ir 418 yra santykinai pirminiai?

1) taip; 2) ne.

1) 5 ir 25;

2) 64 ir 2;

3) 12 ir 10;

4) 100 ir 9.

TESTAS

Tema : NOD. Abipusiai pirminiai skaičiai.

1 variantas

1. Kurie skaičiai yra bendrieji koeficientai 18 ir 12?

1) 9, 6, 3; 2) 2, 3, 4, 6;

3) 2, 3; 4) 2, 3, 6.

1. Ar skaičius 4 yra didžiausias bendras skaičių 16 ir 32 daliklis?

1. Taip; 2) ne.

1. Duoti skaičiai 300, 150 ir 600. Kuris iš jų yra didžiausias visų trijų skaičių daliklis?

1) 600; 2) 150; 3) 300.

1. Ar skaičiai 31 ir 44 yra santykinai pirminiai?

1) taip; 2) ne.

1. Kurie skaičiai yra santykinai pirminiai?

1) 9 ir 18;

2) 105 ir 65;

3) 44 ir 45;

4) 6 ir 16.

Apžiūra. Savęs patikrinimas iš skaidrės. Vertinimo kriterijus. 10-11 skaidrė

Šauniai padirbėta. Mes valgėme pyragus. Mergina su broliu atsisėdo į stomatą ir pasislėpė. Gulbės žąsys skraidė ir skraidė, rėkė ir šaukė, ir tuščiomis nuskrido pas Baba Yagą.

Mergina padėkojo krosnelei ir nubėgo namo.

Netrukus tėvas ir mama grįžo iš darbo.

Pamokos santrauka. Kokias temas kartojome, kol padėjome mergaitei ir berniukui? (Dviejų skaičių gcd radimas, pirminiai skaičiai.)

Kaip rasti kelių natūraliųjų skaičių gcd?

Kaip įrodyti, kad skaičiai yra santykinai pirminiai?

Per pamoką aš tau duodavau pažymius už kiekvieną užduotį, o tu įvertinai save. Palyginus juos, bus skiriamas vidutinis pamokos balas.

Atspindys.

Mieli draugai! Apibendrinant pamoką, norėčiau išgirsti jūsų nuomonę apie pamoką.

• Kas buvo įdomaus ir pamokančio pamokoje?
• Ar galiu būti tikras, kad susidorosite su tokio tipo užduotimis?
• Kurios užduotys pasirodė pačios sunkiausios?
• Kokios žinių spragos atsiskleidė pamokos metu?
• Kokių problemų sukėlė ši pamoka?
• Kaip vertinate mokytojo vaidmenį? Ar tai padėjo jums įgyti įgūdžių ir žinių sprendžiant tokio tipo problemas?

Klijuokite obuolius ant medžio. Kas atliko visas užduotis ir viskas buvo aišku – priklijuokite raudoną obuolį. Kam kilo klausimas – žalia, kas nesuprato – geltona. 12 skaidrė

Ar teiginys teisingas? Mažiausias dviženklis pirminis skaičius yra 11

Ar teiginys teisingas? Didžiausias dviejų skaitmenų sudėtinis skaičius yra 99

Ar teiginys teisingas? Skaičiai 8 ir 10 yra pirminiai

Ar teiginys teisingas? Kai kurių sudėtinių skaičių negalima koeficientuoti

Diktanto raktas: _ /\ _ _ /\ /\ Vertinimo kriterijai Nėra klaidų – „5“ 1–2 klaidos – „4“ 3 klaidos – „3“ Daugiau nei trys – „2“

Įrodykite, kad skaičiai 16 ir 21 yra pirminiai 3 Įrodykite, kad skaičiai 40 ir 15 yra pirminiai. Įrodykite, kad skaičiai 45 ir 49 yra pirminiai 2 1 40=2·2·2·5 15=3,5 GCD(40; 15) =5, skaičiai yra ne pirminiai 45=3·3·5 49=7,7 gcd(45, 49)=, skaičiai yra pirminiai 16=2·2·2·2 21=3,7 gcd(45, 49) =1, skaičiai yra santykinai pirminiai

Vertinimo kriterijai Klaidų nėra – „5“ 1 klaida – „4“ 2 klaidos – „3“ Daugiau nei dvi – „2“

1 grupė GCD(48.84)= GCD(60.48)= GCD(12.15)= GCD(15.20)= 3 grupė GCD(123.72)= GCD(120.96)= GCD(45, 30)= GCD(15.9)= 2 grupė GCD( 60.80)= GCD(80.64)= GCD(50.30)= GCD(12.16)= 4-oji grupė GCD(90.72)= GCD (15.100)= GCD (14.42)= GCD(34.51)=

Užduotys nuo viryklės B1 3 2. 1 3. 3 4. 1 5. 4 B2 4 2. 2 3. 2 4. 1 5. 3

Vertinimo kriterijai Klaidų nėra – „5“ 1–2 klaidos – „4“ 3 klaidos – „3“ Daugiau nei trys – „2“

Apmąstymas man buvo aiškus, susitvarkiau su visomis užduotimis, buvo nedidelių sunkumų, bet su jais susitvarkiau, liko keli klausimai

Prisiminti!

Jei natūralusis skaičius dalijasi tik iš 1 ir savęs, tada jis vadinamas pirminiu.

Bet kuris natūralusis skaičius visada dalijasi iš 1 ir savęs.

Skaičius 2 yra mažiausias pirminis skaičius. Tai vienintelis lyginis pirminis skaičius; visi kiti pirminiai skaičiai yra nelyginiai.

Yra daug pirminių skaičių, o pirmasis iš jų yra skaičius 2. Tačiau paskutinio pirminio skaičiaus nėra. Skiltyje „Studijuoti“ galite atsisiųsti pirminių skaičių lentelę iki 997.

Tačiau daugelis natūraliųjų skaičių dalijasi ir iš kitų natūraliųjų skaičių.

Pavyzdžiui:

• skaičius 12 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12;
• Skaičius 36 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12, iš 18, iš 36.

Skaičiai, iš kurių skaičius dalijasi iš visumos (12 atveju tai yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12), vadinami skaičiaus dalikliais.

Prisiminti!

Natūralaus skaičiaus a daliklis yra natūralusis skaičius, dalijantis duotą skaičių „a“ be liekanos.

Natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du daliklius, vadinamas sudėtiniu.

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 12 ir 36 turi bendrų faktorių. Šie skaičiai yra: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Didžiausias šių skaičių daliklis yra 12.

Bendras dviejų nurodytų skaičių „a“ ir „b“ daliklis yra skaičius, iš kurio abu duoti skaičiai „a“ ir „b“ dalijami be liekanos.

Prisiminti!

Didžiausias bendras daliklis(GCD) iš dviejų nurodytų skaičių „a“ ir „b“ yra didžiausias skaičius, iš kurio abu skaičiai „a“ ir „b“ dalijami be liekanos.

Trumpai tariant, didžiausias bendras skaičių „a“ ir „b“ daliklis parašytas taip:

GCD (a; b) .

Pavyzdys: gcd (12; 36) = 12.

Skaičių dalikliai sprendimo įraše žymimi didžiąja raide „D“.

D (7) = (1, 7)

D (9) = (1, 9)

GCD (7; 9) = 1

Skaičiai 7 ir 9 turi tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Tokie skaičiai vadinami pirminiai skaičiai.

Prisiminti!

Kopirminiai skaičiai- tai yra natūralūs skaičiai, turintys tik vieną bendrą daliklį - skaičių 1. Jų gcd yra 1.

Kaip rasti didžiausią bendrą daliklį

Norėdami rasti dviejų ar daugiau natūraliųjų skaičių gcd, jums reikia:

1. išskaidyti skaičių daliklius į pirminius veiksnius;

Skaičiavimus patogu rašyti naudojant vertikalią juostą. Į kairę nuo eilutės pirmiausia užrašome dividendą, dešinėje - daliklį. Toliau kairiajame stulpelyje užrašome koeficientų reikšmes.

Iš karto paaiškinkime tai pavyzdžiu. Suskaičiuokime skaičius 28 ir 64 į pirminius koeficientus.

1. Abiejuose skaičiuose pabrėžiame tuos pačius pirminius veiksnius.
   28 = 2 2 7

   64 = 2 2 2 2 2 2

2. Raskite identiškų pirminių veiksnių sandaugą ir užrašykite atsakymą;
   GCD (28; 64) = 2 2 = 4

   Atsakymas: GCD (28; 64) = 4

GCD vietą galite formalizuoti dviem būdais: stulpelyje (kaip padaryta aukščiau) arba „eilėje“.

Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai

1 apibrėžimas. Bendras kelių natūraliųjų skaičių daliklis yra skaičius, kuris yra kiekvieno iš šių skaičių daliklis.

2 apibrėžimas. Didžiausias bendras daliklis vadinamas didžiausias bendras daliklis (GCD).

1 pavyzdys. Bendrieji skaičių 30, 45 ir 60 dalikliai yra skaičiai 3, 5, 15. Didžiausias bendras šių skaičių daliklis yra

GCD (30, 45, 10) = 15.

3 apibrėžimas. Jei kelių skaičių didžiausias bendras daliklis yra 1, tada šie skaičiai vadinami abipusiai pirminis.

2 pavyzdys. Skaičiai 40 ir 3 bus pirminiai skaičiai, bet skaičiai 56 ir 21 nėra pirminiai, nes skaičiai 56 ir 21 turi bendrą koeficientą 7, kuris yra didesnis nei 1.

Pastaba. Jei trupmenos skaitiklis ir trupmenos vardiklis yra tarpusavyje pirminiai skaičiai, tai tokia trupmena yra neredukuojama.

Algoritmas ieškant didžiausio bendro daliklio

Pasvarstykime didžiausio bendro daliklio paieškos algoritmas keli skaičiai toliau pateiktame pavyzdyje.

3 pavyzdys. Raskite didžiausią skaičių 100, 750 ir 800 bendrąjį daliklį.

Sprendimas. Išskaidykime šiuos skaičius į pirminius veiksnius:

Pirminis koeficientas 2 įtraukiamas į pirmąją faktorizaciją laipsniu 2, į antrąjį faktorizavimą – į 1 laipsnį, o į trečiąjį faktorizavimą – į 5 laipsnį. Pažymėkime mažiausias šių įgaliojimų raide a. Tai akivaizdu a = 1 .

Pirminis koeficientas 3 įtraukiamas į pirmąją faktorizaciją iki 0 laipsnio (kitaip tariant, koeficientas 3 iš viso neįtraukiamas į pirmąją faktorizaciją), į antrąjį faktorių jis įtraukiamas į 1 laipsnį, o į trečioji faktorizacija – iki 0 laipsnio. Pažymėkime mažiausias šių įgaliojimų raide b. Tai akivaizdu b = 0 .

Pirminis koeficientas 5 įtraukiamas į pirmąją faktorizaciją laipsniu 2, į antrąjį faktorizavimą – į 3 laipsnį, o į trečiąjį – į 2 laipsnį. Pažymėkime mažiausias šių įgaliojimų raide c. Tai akivaizdu c = 2 .

Matematikos pamoka 5A klasėje tema:

(pagal G.V. Dorofejevo, L.G. Petersono vadovėlį)

Matematikos mokytoja: Danilova S.I.

Pamokos tema: Didžiausias bendras daliklis. Abipusiai pirminiai skaičiai.

Pamokos tipas: Naujos medžiagos mokymosi pamoka.

Pamokos tikslas: Gaukite universalų būdą rasti didžiausią bendrą skaičių daliklį. Išmokite rasti skaičių gcd naudodami faktorizavimo metodą.

Sugeneruoti rezultatai:

Tema: sudaryti ir įsisavinti GCD paieškos algoritmą, išmokyti jį pritaikyti praktiškai.

Asmeninis: ugdyti gebėjimus valdyti ugdomosios ir matematinės veiklos procesą ir rezultatą.

Metasubject: ugdyti gebėjimą rasti skaičių gcd, taikyti dalijimosi kriterijus, kurti loginius samprotavimus, išvadas ir daryti išvadas.

Planuojami rezultatai:

Studentas išmoks rasti skaičių gcd, skaičiuodamas skaičius į pirminius veiksnius.

Pagrindinės sąvokos: Skaičių GCD. Abipusiai pirminiai skaičiai.

Studentų darbo formos: frontalinis, individualus.

Reikalinga techninė įranga: mokytojo kompiuteris, projektorius, interaktyvi lenta.

Pamokos struktūra.

Laiko organizavimas.

Darbas žodžiu. Gimnastika protui.

Pamokos temos žinutė. Naujos medžiagos mokymasis.

Kūno kultūros minutė.

Pirminis naujos medžiagos konsolidavimas.

Savarankiškas darbas.

Namų darbai. Veiklos atspindys.

Per užsiėmimus

Laiko organizavimas.(1 minutė.)

Etapo tikslai: sudaryti aplinką klasės mokinių darbui ir psichologiškai paruošti juos bendravimui būsimoje pamokoje

Sveikinimai:

Sveiki bičiuliai!

Žiūrėjome vienas į kitą,

Ir visi tyliai susėdo.

Varpas jau suskambo.

Pradėkime savo pamoką.

Darbas žodžiu. Proto gimnastika. (5 minutės.)

Etapo tikslai: prisiminti ir įtvirtinti pagreitintų skaičiavimų algoritmus, pakartoti skaičių dalijimosi požymius.

Senais laikais Rusijoje sakydavo, kad dauginimas yra kančia, o dalyba – bėda.

Kiekvienas, kuris mokėjo greitai ir tiksliai padalinti, buvo laikomas puikiu matematiku.

Pažiūrėkime, ar jus galima vadinti puikiais matematikais.

Užsiimkime proto gimnastika.

1) Pasirinkite iš įvairių

A=(716, 9012, 11211, 123400, 405405, 23025, 11175)

skaičiai, kurie yra 2 kartotiniai, 5 kartotiniai, 3 kartotiniai.

2) Apskaičiuokite žodžiu:

5 . 37 . 2 = 3. 50 . 12 . 3 . 2 =

2. 25 . 51 . 3 . 4 = 4. 8 . 125 . 7 =

Motyvacija mokymosi veiklai. Pamokos tikslų ir uždavinių nustatymas.(4 min.)

Tikslas :

1) mokinių įtraukimas į edukacinę veiklą;

2) organizuoti studentų veiklą, siekiant nustatyti teminius rėmus: naujus GCD numerių radimo būdus;

3) sudaryti sąlygas mokiniui išsiugdyti vidinį poreikį įtraukti į ugdomąją veiklą.

– Vaikinai, kokia tema dirbote ankstesnėse pamokose? (Apie skaičių skaidymą į pirminius veiksnius) Kokių žinių mums prireikė? (Dalijimosi ženklai)

Atsivertėme sąsiuvinius, patikrinkime namų numerį Nr. 638.

Savo namų darbuose naudojote faktorizaciją, kad nustatytumėte, ar skaičius a dalijasi iš skaičiaus b, ir radote koeficientą. Pažiūrėkime, ką turite. Patikrinkime Nr. 638. Kokiu atveju a dalijama iš b? Jei a dalijasi iš b, tai kas b yra a? Kas b reiškia a ir b? Kaip manote, kaip rasti skaičių gcd, jei vienas iš jų nesidalina iš kito? Kokie jūsų spėjimai?

Dabar pažiūrėkime į problemą: „Koks yra didžiausias identiškų dovanų skaičius, kurį galima pagaminti iš 48 saldainių su „voverėmis“ ir 36 „įkvėpimo“ šokoladais, jei reikia sunaudoti visus saldainius ir šokoladus?

Užrašykite lentoje ir sąsiuviniuose:

36=2*2*3*3

48=2*2*2*2*3

GCD(36.48)=2*2*3=12

Kaip galime pritaikyti faktorizaciją šiai problemai išspręsti? Ką mes iš tikrųjų randame? Skaičių GCD. Koks mūsų pamokos tikslas? Išmokite nauju būdu rasti skaičių gcd.

4. Praneškite apie pamokos temą. Naujos medžiagos mokymasis.(3,5 min.)

Užrašykite pamokos numerį ir temą: „Didžiausias bendras daliklis“.

(Didžiausias bendras daliklis yra didžiausias skaičius, dalijantis kiekvieną iš pateiktų natūraliųjų skaičių). Visi natūralieji skaičiai turi bent vieną bendrą daliklį – skaičių 1.

Tačiau daugelis skaičių turi keletą bendrų veiksnių. Universalus būdas rasti GCD yra išskaidyti šiuos skaičius į pirminius veiksnius.

Užsirašykime kelių skaičių gcd paieškos algoritmą.

Padalinkite pateiktus skaičius į pirminius veiksnius.

Raskite identiškus veiksnius ir juos pabraukite.

Raskite bendrų veiksnių sandaugą.

Kūno kultūros minutė(atsikėlė nuo savo stalų) - flash video. (1,5 min.)

(Alternatyvus variantas:

Mes kartu pasiekėme,

Ir jie šypsojosi vienas kitam.

Vienas – ploji ir du – ploji.

Kairė koja - stomp, o dešinė - stomp.

Jie papurtė galvas -

Ištiesiame kaklą.

Pėdos stomp, dabar dar vienas

Kartu mes galime viską.)

Pirminis naujos medžiagos konsolidavimas. ( 15 minučių. )

Užbaigto projekto įgyvendinimas

Tikslas:

1) organizuoti pastatyto projekto įgyvendinimą pagal planą;

2) organizuoti naujo veiksmo būdo užrašymą kalboje;

3) organizuoti naujo veikimo būdo fiksavimą ženkluose (naudojant etaloną);

4) organizuoti įveikimo fiksavimą sunkumai;

5) organizuoti naujų žinių bendro pobūdžio išaiškinimą (galimybė panaudoti naują veiksmų metodą sprendžiant visas tokio tipo užduotis).

Ugdymo proceso organizavimas: № 650(1-3), 651(1-3)

№ 650 (1-3).

№ 650 (2) detaliai išardyti, nes Nėra bendrų pagrindinių veiksnių.

Pirmas punktas baigtas.

2. D (A; b) = ne

3. GCD ( A; b ) = 1

Ką įdomaus pastebėjote? (Skaičiai neturi bendrų pirminių veiksnių.)

Matematikoje tokie skaičiai vadinami pirminiais skaičiais. Įrašas į sąsiuvinius:

Vadinami skaičiai, kurių didžiausias bendras daliklis yra 1 abipusiai paprasta.

A Ir b santykinai pagrindinis  gcd ( a ; b ) = 1

Ką galite pasakyti apie didžiausią bendrą kopirminių skaičių daliklį?

(Didžiausias bendras pirminių skaičių daliklis yra 1.)

№ 651 (1-3)

Užduotis atliekama prie lentos su komentarais.

Sudėkime skaičius į pirminius veiksnius, naudodami gerai žinomą algoritmą:

75 3 135 3

25 5 45 3

5 5 15 3

1 5 5

GCD (75; 135) = 3 * 5 = 15.

180 2*5 210 2*5

18 2 21 3

9 3 7 7

3 3 1

GCD (180, 210) = 2 * 5 * 3 = 30

125 5 462 2

25 5 231 3

5 5 77 7

1 11 11

GCD (125, 462) = 1

7. Savarankiškas darbas.(10 min.)

Kaip galite įrodyti, kad išmokote nauju būdu rasti didžiausią bendrąjį skaičių daliklį? (Turite atlikti savarankišką darbą.)

Savarankiškas darbas.

Raskite didžiausią bendrąjį skaičių daliklį naudodami pirminius koeficientus.

1 variantas 2 variantas

a = 2 × 3 × 3 × 7 × 11 1) a = 2 × 3 × 5 × 7 × 7

b = 2 × 5 × 7 × 7 × 13 b = 3 × 3 × 7 × 13 × 19

60 ir 165 2) 75 ir 135

81 ir 125 3) 49 ir ​​125

4) 180, 210 ir 240 (neprivaloma)

Vaikinai, pasistenkite pritaikyti savo žinias dirbdami savarankišką darbą.

Mokiniai iš pradžių atlieka savarankišką darbą, tada tikrina kolegas ir tikrina su pavyzdžiu skaidrėje.

Savarankiško darbo tikrinimas:

1 variantas 2 variantas

GCD(a,b)=2 × 7=14 1) GCD(a,b)=3 × 7=21

GCD( 60, 165 ) = 3 × 5 = 15 2) GCD(75, 135) = 3 × 5 = 15

GCD(81, 125) = 1 3) GCD (49, 125) = 1

8. Veiklos atspindys.(5 minutės.)

Ką naujo išmokote pamokoje? (Naujas būdas rasti GCD naudojant pirminius faktorius, kokie skaičiai vadinami koprime, kaip rasti skaičių GCD, jei didesnis skaičius dalijasi iš mažesnio skaičiaus.)

Kokį tikslą išsikėlėte sau?

Ar pasiekėte savo tikslą?

Kas padėjo pasiekti užsibrėžtą tikslą?

– Pats nustatykite vieno iš šių teiginių (R-1) tiesą.

Ką reikia padaryti namuose, kad geriau suprastumėte šią temą? (Perskaitykite pastraipą ir praktikuokite GCD radimą naudodami naują metodą).

Namų darbai:

2 punktas, №№ 672 (1,2); 673 (1-3), 674.

Nustatykite, ar vienas iš šių teiginių jums tinka:

„Sužinojau, kaip rasti skaičių gcd“,

„Žinau, kaip rasti skaičių gcd, bet vis tiek darau klaidų“,

„Aš vis dar turiu neišspręstų klausimų“.

Pateikite savo atsakymus kaip jaustukus ant popieriaus lapo.

Šiame straipsnyje kalbėsime apie tai, kas yra pirminiai skaičiai. Pirmoje pastraipoje suformuluosime dviejų, trijų ar daugiau santykinai pirminių skaičių apibrėžimus, pateiksime keletą pavyzdžių ir parodysime, kokiais atvejais du skaičiai gali būti laikomi pirminiais vienas kito atžvilgiu. Po to pereiname prie pagrindinių savybių ir jų įrodymų formulavimo. Paskutinėje pastraipoje kalbėsime apie susijusią sąvoką – porinius pirminius skaičius.

Kas yra pirminiai skaičiai

Du sveikieji skaičiai arba daugiau iš jų gali būti pirminiai. Pirmiausia įveskime dviejų skaičių apibrėžimą, kuriems reikia jų didžiausio bendro daliklio sąvokos. Jei reikia, pakartokite tam skirtą medžiagą.

1 apibrėžimas

Du tokie skaičiai a ir b bus tarpusavyje pirminiai, kurių didžiausias bendras daliklis lygus 1, t.y. GCD (a , b) = 1 .

Iš šio apibrėžimo galime daryti išvadą, kad vienintelis teigiamas bendras dviejų pirminių skaičių daliklis bus lygus 1. Tik du tokie skaičiai turi du bendrus daliklius – vieną ir minus vieną.

Kokie yra pirminių skaičių pavyzdžiai? Pavyzdžiui, tokia pora būtų 5 ir 11. Jie turi tik vieną bendrą teigiamą daliklį, lygų 1, o tai patvirtina jų abipusį paprastumą.

Jei imsime du pirminius skaičius, tai vienas kito atžvilgiu jie visais atvejais bus pirminiai, tačiau tokie tarpusavio ryšiai susidaro ir tarp sudėtinių skaičių. Pasitaiko atvejų, kai vienas skaičius santykinai pirminių skaičių poroje yra sudėtinis, o antrasis – pirminis, arba jie abu yra sudėtiniai.

Šį teiginį iliustruoja toks pavyzdys: sudėtiniai skaičiai 9 ir 8 sudaro santykinai pirminę porą. Įrodykime tai apskaičiuodami didžiausią jų bendrą daliklį. Norėdami tai padaryti, užrašome visus jų daliklius (rekomenduojame dar kartą perskaityti straipsnį apie skaičiaus daliklių radimą). 8 atveju tai bus skaičiai ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, o 9 - ± 1, ± 3, ± 9. Iš visų daliklių pasirenkame tą, kuris bus bendras ir didžiausias – tai yra vienybė. Todėl, jei GCD (8, − 9) = 1, tada 8 ir - 9 bus vienas kito pirminiai.

Pirminiai skaičiai nėra 500 ir 45, nes jie turi kitą bendrą daliklį - 5 (žr. straipsnį apie dalijimosi iš 5 kriterijus). Penki yra didesni už vieną ir yra teigiamas skaičius. Kita panaši pora galėtų būti - 201 ir 3, nes abu gali būti padalyti iš 3, kaip rodo atitinkamas dalijimosi ženklas.

Praktikoje gana dažnai reikia nustatyti santykinį dviejų sveikųjų skaičių pirmumą. Tai išsiaiškinus, galima surasti didžiausią bendrą daliklį ir palyginti jį su vienybe. Taip pat patogu naudoti pirminių skaičių lentelę, kad nereikėtų atlikti nereikalingų skaičiavimų: jei vienas iš pateiktų skaičių yra šioje lentelėje, tada jis dalijasi tik iš vieneto ir iš savęs. Pažvelkime į tokios problemos sprendimą.

1 pavyzdys

Būklė: išsiaiškinkite, ar skaičiai 275 ir 84 yra pirminiai.

Sprendimas

Abu skaičiai aiškiai turi daugiau nei vieną daliklį, todėl negalime iš karto jų vadinti santykinai pirminiais.

Didžiausią bendrąjį daliklį apskaičiuojame naudodami Euklido algoritmą: 275 = 84 3 + 23, 84 = 23 3 + 15, 23 = 15 1 + 8, 15 = 8 1 + 7, 8 = 7 1 + 1, 7 = 7 · 1.

Atsakymas: kadangi GCD (84, 275) = 1, tada šie skaičiai bus santykinai pirminiai.

Kaip minėjome anksčiau, tokių skaičių apibrėžimas gali būti išplėstas ir tais atvejais, kai turime ne du skaičius, o daugiau.

2 apibrėžimas

Sveikieji skaičiai a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 bus tarpusavyje pirminiai, kai jų didžiausias bendras daliklis lygus 1 .

Kitaip tariant, jei turime kai kurių skaičių aibę, kurių didžiausias teigiamas daliklis yra didesnis nei 1, tai visi šie skaičiai nėra atvirkštiniai vienas kito atžvilgiu.

Paimkime kelis pavyzdžius. Taigi sveikieji skaičiai − 99, 17 ir − 27 yra santykinai pirminiai. Bet koks pirminių skaičių skaičius bus bendras visų populiacijos narių atžvilgiu, kaip ir sekose 2, 3, 11, 19, 151, 293 ir 667. Tačiau skaičiai 12, − 9, 900 ir − 72 nebus santykinai pirminis, nes be vienybės jie turės dar vieną teigiamą daliklį, lygų 3. Tas pats pasakytina ir apie skaičius 17, 85 ir 187: išskyrus vieną, juos visus galima padalyti iš 17.

Paprastai abipusis skaičių pirmumas iš pirmo žvilgsnio nėra akivaizdus; šį faktą reikia įrodyti. Norėdami sužinoti, ar kai kurie skaičiai yra santykinai pirminiai, turite rasti didžiausią jų bendrą daliklį ir padaryti išvadą, pagrįstą jo palyginimu su vienu.

2 pavyzdys

Būklė: nustatyti, ar skaičiai 331, 463 ir 733 yra santykinai pirminiai.

Sprendimas

Patikrinkime pirminių skaičių lentelę ir nustatykime, kad joje yra visi trys šie skaičiai. Tada jų bendras daliklis gali būti tik vienas.

Atsakymas: visi šie skaičiai bus vienas kito pirminiai.

3 pavyzdys

Būklė:Įrodykite, kad skaičiai − 14, 105, − 2 107 ir − 91 nėra pirminiai.

Sprendimas

Pradėkime nuo jų didžiausio bendro daliklio nustatymo, tada įsitikinkite, kad jis nėra lygus 1. Kadangi neigiami skaičiai turi tuos pačius daliklius kaip ir atitinkami teigiami, tai gcd (− 14, 105, 2 107, − 91) = gcd (14, 105, 2 107, 91). Pagal taisykles, kurias pateikėme straipsnyje, kaip rasti didžiausią bendrą daliklį, šiuo atveju gcd bus lygus septyniems.

Atsakymas: septyni yra didesni už vieną, o tai reiškia, kad šie skaičiai nėra santykinai pirminiai.

Pagrindinės kopirminių skaičių savybės

Tokie skaičiai turi keletą praktiškai svarbių savybių. Išvardinkime juos iš eilės ir įrodykime.

3 apibrėžimas

Jei sveikuosius skaičius a ir b padalinsime iš skaičiaus, atitinkančio jų didžiausią bendrą daliklį, gausime santykinai pirminius skaičius. Kitaip tariant, a: gcd (a, b) ir b: gcd (a, b) bus santykinai pirminiai.

Šią savybę mes jau įrodėme. Įrodymą galima rasti straipsnyje apie didžiausio bendro daliklio savybes. Jo dėka galime nustatyti santykinai pirminių skaičių poras: tereikia paimti bet kokius du sveikuosius skaičius ir padalyti iš GCD. Dėl to turėtume gauti pirminius skaičius.

4 apibrėžimas

Būtina ir pakankama skaičių a ir b tarpusavio pirmumo sąlyga yra tokių sveikųjų skaičių buvimas u 0 Ir v 0, kurioms lygybė a · u 0 + b · v 0 = 1 bus tiesa.

1 įrodymas

Pradėkime nuo šios sąlygos būtinumo įrodinėjimo. Tarkime, kad turime du santykinai pirminius skaičius, žymimus a ir b. Tada pagal šios sąvokos apibrėžimą jų didžiausias bendras daliklis bus lygus vienetui. Iš gcd savybių žinome, kad sveikiesiems skaičiams a ir b yra Bezout ryšys a · u 0 + b · v 0 = gcd (a, b). Iš to mes tai gauname a · u 0 + b · v 0 = 1. Po to turime įrodyti sąlygos pakankamumą. Tegul lygybė a · u 0 + b · v 0 = 1 bus tiesa šiuo atveju, jei GCD (a, b) dalijasi ir a , ir b , tada ji taip pat padalins sumą a · u 0 + b · v 0, ir atitinkamai vienetas (tai galima teigti remiantis dalomumo savybėmis). Ir tai įmanoma tik tuo atveju, jei GCD (a, b) = 1, kuris įrodo a ir b abipusį paprastumą.

Tiesą sakant, jei a ir b yra koprime, tada pagal ankstesnę savybę lygybė bus teisinga a · u 0 + b · v 0 = 1. Abi puses padauginame iš c ir gauname a · c · u 0 + b · c · v 0 = c. Pirmąjį terminą galime padalinti a · c · u 0 + b · c · v 0 iš b, nes tai įmanoma a · c, o antrasis narys taip pat dalijasi iš b, nes vienas iš mūsų faktorių yra lygus b. Iš to darome išvadą, kad visą sumą galima padalyti iš b, o kadangi ši suma lygi c, tai c galima padalyti iš b.

5 apibrėžimas

Jei du sveikieji skaičiai a ir b yra pirmieji, tai gcd (a c, b) = gcd (c, b).

2 įrodymas

Įrodykime, kad GCD (a c, b) padalins GCD (c, b), o po to, kad GCD (c, b) padalins GCD (a c, b), o tai bus lygybės GCD teisingumo įrodymas. (a · c , b) = GCD (c , b) .

Kadangi GCD (a · c, b) dalija ir a · c, ir b, o GCD (a · c, b) dalijasi b, tada jis taip pat dalins b · c. Tai reiškia, kad GCD (a c, b) dalija ir a c, ir b c, todėl dėl GCD savybių dalijasi ir GCD (a c, b c), kuris bus lygus c GCD (a, b ) = c . Todėl GCD (a · c, b) dalija ir b, ir c, todėl dalija ir GCD (c, b).

Taip pat galima sakyti, kad kadangi GCD (c, b) dalijasi ir c, ir b, tai jis skirs ir c, ir a c. Tai reiškia, kad GCD (c, b) dalija ir a · c, ir b, todėl dalija ir GCD (a · c, b).

Taigi gcd (a c, b) ir gcd (c, b) tarpusavyje dalijasi, o tai reiškia, kad jie yra lygūs.

6 apibrėžimas

Jei skaičiai yra iš sekos a 1 , a 2 , … , a k bus santykinai pirminis sekos skaičių atžvilgiu b 1, b 2, …, b m(natūralioms k ir m vertėms), tada jų produktai a 1 · a 2 · … · a k Ir b 1 · b 2 · … · b m taip pat yra palyginti geriausi, ypač a 1 = a 2 = … = a k = a Ir b 1 = b 2 = … = b m = b, Tai a k Ir b m- abipusiai paprasta.

3 įrodymas

Pagal ankstesnę savybę galime parašyti tokios formos lygybes: GCD (a 1 · a 2 · … · a k, b m) = GCD (a 2 · … · a k, b m) = … = GCD (a k, b m) = 1. Paskutinio perėjimo galimybę užtikrina tai, kad a k ir b m yra santykinai pirminiai pagal sąlygą. Tai reiškia, kad GCD (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1 .

Pažymime a 1 · a 2 · … · a k = A ir gaukime, kad GCD (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = GCD (b 1 · b 2 · … · b m , A) = GCD (b 2 · … · b · b m , A) = … = GCD (b m , A) = 1 . Tai bus tiesa dėl paskutinės lygybės iš aukščiau sukonstruotos grandinės. Taigi gauname lygybę GCD (b 1 · b 2 · … · b m, a 1 · a 2 · … · a k) = 1, kuria galime įrodyti sandaugų abipusį pirmumą. a 1 · a 2 · … · a k Ir b 1 · b 2 · … · b m

Tai yra visos kopirminių skaičių savybės, apie kurias norėtume papasakoti.

Porinių pirminių skaičių samprata

Žinodami, kas yra pirminiai skaičiai, galime suformuluoti porinių pirminių skaičių apibrėžimą.

7 apibrėžimas

Poriniai pirminiai skaičiai yra sveikųjų skaičių seka a 1 , a 2 , ... , a k , kur kiekvienas skaičius bus santykinai pirminis kitų atžvilgiu.

Porinių pirminių skaičių sekos pavyzdys būtų 14, 9, 17 ir – 25. Čia visos poros (14 ir 9, 14 ir 17, 14 ir – 25, 9 ir 17, 9 ir – 25, 17 ir – 25) yra pirminės. Atkreipkite dėmesį, kad pirminių porinių skaičių sąlyga yra privaloma, tačiau abipusiai pirminiai skaičiai ne visais atvejais bus pirminiai skaičiai. Pavyzdžiui, sekoje 8, 16, 5 ir 15 skaičiai nėra tokie skaičiai, nes 8 ir 16 nebus pirminiai.

Taip pat turėtumėte pasilikti ties tam tikro pirminių skaičių rinkinio koncepcija. Jie visada bus paprasti ir tarpusavyje, ir su poromis. Pavyzdžiui, seka 71, 443, 857, 991. Pirminių skaičių atveju abipusio ir porinio pirminio skaičiaus sąvokos sutaps.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter