Integracija po dijelovima. Primjeri rješenja

Bok opet. Danas ćemo u lekciji naučiti kako integrirati po dijelovima. Metoda integracije po dijelovima jedan je od temelja integralnog računa. Na kolokviju, ispitu studentu se gotovo uvijek nudi rješavanje integrala sljedećih vrsta: najjednostavniji integral (vidi članak) ili integral za promjenu varijable (vidi članak) ili integral samo na način integracije po dijelovima.

Kao i uvijek, pri ruci bi trebalo biti: Tablica integrala I Tablica izvedenica. Ako ih još uvijek nemate, posjetite skladište moje stranice: Matematičke formule i tablice. Neću se umoriti ponavljati - bolje je sve tiskati. Nastojat ću izložiti sav materijal na dosljedan, jednostavan i pristupačan način, nema posebnih poteškoća u objedinjavanju po dijelovima.

Koji problem rješava integracija po dijelovima? Metoda integracije po dijelovima rješava vrlo važan problem, omogućuje integraciju nekih funkcija koje nisu u tablici, raditi funkcije, au nekim slučajevima - i privatne. Kao što se sjećamo, ne postoji prikladna formula: . Ali postoji ovaj: je formula za integraciju po dijelovima osobno. Znam, znam, ti si jedina - s njom ćemo raditi cijelu lekciju (već je lakše).

I odmah popis u studiju. Integrali sljedećih vrsta uzimaju se po dijelovima:

1) , , - logaritam, logaritam pomnožen nekim polinomom.

2) ,je eksponencijalna funkcija pomnožena nekim polinomom. To uključuje i integrale poput - eksponencijalne funkcije pomnožene s polinomom, ali u praksi je to 97 posto, ispod integrala se šepuri lijepo slovo "e". ... članak ispadne nešto lirski, o da ... stiglo je proljeće.

3) , , su trigonometrijske funkcije pomnožene nekim polinomom.

4) , - inverzne trigonometrijske funkcije (“lukovi”), “lukovi”, pomnoženi nekim polinomom.

Također, neke frakcije se uzimaju u dijelovima, također ćemo detaljno razmotriti odgovarajuće primjere.

Integrali logaritama

Primjer 1

klasična. S vremena na vrijeme ovaj se integral može naći u tablicama, ali je nepoželjno koristiti gotov odgovor, budući da učitelj u proljeće ima beriberi i mnogo će grditi. Budući da razmatrani integral nipošto nije tablični - uzima se u dijelovima. Mi odlučujemo:

Prekidamo rješenje za međuobjašnjenja.

Koristimo formulu za integraciju po dijelovima:

Formula se primjenjuje s lijeva na desno

Gledamo lijevu stranu:. Očito je da u našem primjeru (i u svim ostalim koje ćemo razmotriti) nešto treba označiti s , a nešto s .

U integralima razmatranog tipa uvijek označavamo logaritam.

Tehnički, dizajn rješenja je implementiran na sljedeći način, pišemo u stupcu:

To jest, jer smo označili logaritam, a za - preostali dio integrand.

Sljedeći korak: pronađite diferencijal:

Diferencijal je gotovo isti kao izvod, već smo razgovarali o tome kako ga pronaći u prethodnim lekcijama.

Sada nalazimo funkciju. Da bi se našla funkcija potrebno je integrirati desna strana niža jednakost:

Sada otvaramo naše rješenje i konstruiramo desnu stranu formule: .
Usput, evo primjera konačnog rješenja uz par napomena:

Jedini trenutak u proizvodu sam odmah preuredio i, budući da je uobičajeno pisati množitelj prije logaritma.

Kao što vidite, primjena formule integracije po dijelovima u biti je svela naše rješenje na dva jednostavna integrala.

Imajte na umu da u nekim slučajevima odmah nakon primjena formule, pojednostavljenje se nužno provodi pod preostalim integralom - u primjeru koji razmatramo smanjili smo integrand za "x".

Napravimo provjeru. Da biste to učinili, morate uzeti derivat odgovora:

Dobiven je izvorni integrand, što znači da je integral točno riješen.

Tijekom provjere koristili smo pravilo razlikovanja proizvoda: . I to nije slučajnost.

Formula za integraciju po dijelovima i formula To su dva međusobno obrnuta pravila.

Primjer 2

Nađi neodređeni integral.

Integrand je umnožak logaritma i polinoma.
Mi odlučujemo.

Još jednom ću detaljno opisati postupak primjene pravila, ubuduće će primjeri biti kraći, a ako imate poteškoća u rješavanju sami, morate se vratiti na prva dva primjera lekcije .

Kao što je već spomenuto, za je potrebno označiti logaritam (činjenica da je u stupnju nije važna). Označavamo preostali dio integrand.

Pišemo u stupcu:

Prvo nalazimo diferencijal:

Ovdje koristimo pravilo diferenciranja složene funkcije . Nije slučajno da već na prvoj lekciji teme Neodređeni integral. Primjeri rješenja Fokusirao sam se na to da se za svladavanje integrala treba "dobiti u ruke" izvodnica. Derivati ​​će se morati suočiti više puta.

Sada nalazimo funkciju, za ovo integriramo desna strana niža jednakost:

Za integraciju smo primijenili najjednostavniju tabelarnu formulu

Sada ste spremni za primjenu formule . Otvaramo ga "zvjezdicom" i "dizajniramo" rješenje u skladu s desnom stranom:

Ispod integrala opet imamo polinom na logaritmu! Stoga se rješavanje ponovno prekida i drugi put se primjenjuje pravilo integracije po dijelovima. Ne zaboravite da se za u sličnim situacijama uvijek označava logaritam.

Bilo bi lijepo kada biste u ovom trenutku mogli usmeno pronaći najjednostavnije integrale i derivacije.

(1) Nemojte se zbuniti u znakovima! Ovdje se vrlo često gubi minus, također imajte na umu da vrijedi minus svima zagrada , a ove zagrade moraju biti ispravno otvorene.

(2) Proširite zagrade. Pojednostavit ćemo zadnji integral.

(3) Uzimamo posljednji integral.

(4) “Češljanje” odgovora.

Potreba da se pravilo integracije po dijelovima primijeni dvaput (ili čak triput) nije neuobičajena.

A sada nekoliko primjera za neovisno rješenje:

Primjer 3

Nađi neodređeni integral.

Ovaj primjer je riješen promjenom metode varijable (ili podvođenjem pod predznak diferencijala)! A zašto ne - možete pokušati uzeti u dijelovima, dobit ćete smiješnu stvar.

Primjer 4

Nađi neodređeni integral.

Ali ovaj integral je integriran po dijelovima (obećani razlomak).

Ovo su primjeri za samostalno rješavanje, rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Čini se da su u primjerima 3,4 integrandi slični, ali su metode rješenja različite! Upravo je to glavna poteškoća u svladavanju integrala - ako odaberete krivu metodu za rješavanje integrala, onda se s njim možete petljati satima, kao s pravom zagonetkom. Dakle, što više rješavate raznih integrala, to će vam test i ispit biti bolji, lakši. Osim toga, na drugoj godini bit će diferencijalne jednadžbe, a bez iskustva u rješavanju integrala i derivacija tu se nema što raditi.

Logaritmima, možda i više nego dovoljno. Za užinu se mogu sjetiti i da studenti tehnike ženske grudi nazivaju logaritmima =). Usput, korisno je znati napamet grafove glavnih elementarnih funkcija: sinusa, kosinusa, arktangensa, eksponenta, polinoma trećeg, četvrtog stupnja itd. Ne, naravno, kondom na kugli zemaljskoj
Neću povlačiti, ali sada ćete se sjetiti mnogo toga iz odjeljka Grafovi i funkcije =).

Integrali eksponenta pomnoženi polinomom

Opće pravilo:

Primjer 5

Nađi neodređeni integral.

Koristeći poznati algoritam, integriramo po dijelovima:

Ako imate poteškoća s integralom, trebali biste se vratiti na članak Metoda promjene varijable u neodređenom integralu.

Ostaje još samo "pročešljati" odgovor:

Ali ako vaša tehnika izračuna nije baš dobra, ostavite najprofitabilniju opciju kao odgovor. ili čak

Odnosno, primjer se smatra riješenim kada se uzme posljednji integral. To neće biti pogreška, druga je stvar koju učitelj može tražiti da pojednostavi odgovor.

Primjer 6

Nađi neodređeni integral.

Ovo je primjer "uradi sam". Ovaj integral se integrira dva puta po dijelovima. Posebnu pozornost treba obratiti na znakove - lako se zbuniti u njima, također se sjećamo toga - složena funkcija.

O izlagaču se nema što više reći. Mogu samo dodati da su eksponencijal i prirodni logaritam međusobno inverzne funkcije, ovo sam ja na temi zabavnih grafova više matematike =) Stani-stani, ne brini, predavač je trijezan.

Integrali trigonometrijskih funkcija pomnoženi polinomom

Opće pravilo: uvijek stoji za polinom

Primjer 7

Nađi neodređeni integral.

Integracija po dijelovima:

Hmmm... i nema se što komentirati.

Primjer 8

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer rješenja "uradi sam".

Primjer 9

Nađi neodređeni integral

Još jedan primjer s razlomkom. Kao iu prethodna dva primjera, polinom je označen sa.

Integracija po dijelovima:

Ako imate bilo kakvih poteškoća ili nesporazuma s pronalaženjem integrala, preporučujem pohađanje lekcije Integrali trigonometrijskih funkcija.

Primjer 10

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer "uradi sam".

Savjet: prije korištenja metode integracije po dijelovima, trebali biste primijeniti neku trigonometrijsku formulu koja pretvara umnožak dviju trigonometrijskih funkcija u jednu funkciju. Formula se također može koristiti u tijeku primjene metode integracije po dijelovima, kome to više odgovara.

To je, možda, sve u ovom paragrafu. Iz nekog razloga prisjetio sam se stiha iz himne Fizičko-matematičkog odsjeka “I sinusni graf val za valom teče po apscisnoj osi” ....

Integrali inverznih trigonometrijskih funkcija.
Integrali inverznih trigonometrijskih funkcija pomnoženi polinomom

Opće pravilo: uvijek stoji za inverznu trigonometrijsku funkciju.

Podsjećam vas da inverzne trigonometrijske funkcije uključuju arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens. Zbog kratkoće, nazivat ću ih "lukovima"

Detaljno se razmatraju primjeri rješenja integrala po dijelovima čiji integrand sadrži logaritam, arksinus, arktangens, kao i logaritam na cjelobrojnu potenciju i logaritam polinoma.

Sadržaj

Vidi također: Metoda integracije po dijelovima
Tablica neodređenih integrala
Metode izračunavanja neodređenih integrala
Osnovne elementarne funkcije i njihova svojstva

Formula za integraciju po dijelovima

U nastavku se pri rješavanju primjera primjenjuje formula integracije po dijelovima:
;
.

Primjeri integrala koji sadrže logaritamske i inverzne trigonometrijske funkcije

Evo primjera integrala koji se integriraju po dijelovima:
, , , , , , .

Kod integriranja, onaj dio integranda koji sadrži logaritam ili inverzne trigonometrijske funkcije označava se s u, ostatak - s dv.

Ispod su primjeri s detaljnim rješenjima ovih integrala.

Jednostavan primjer logaritma

Računamo integral koji sadrži umnožak polinoma i logaritma:

Ovdje integrand sadrži logaritam. Izrada zamjena
u= u x, dv = x 2 dx . Zatim
,
.

Integriramo po dijelovima.
.

.
Zatim
.
Na kraju izračuna dodamo konstantu C .

Primjer logaritma na potenciju 2

Razmotrimo primjer u kojem integrand uključuje logaritam na cjelobrojnu potenciju. Takvi se integrali mogu integrirati i po dijelovima.

Izrada zamjena
u= (ln x) 2, dv = x dx . Zatim
,
.

Preostali integral se također izračunava po dijelovima:
.
Zamjena
.

Primjer gdje je argument logaritma polinom

Djelomično se mogu izračunati integrali čiji integrand uključuje logaritam čiji je argument polinomska, racionalna ili iracionalna funkcija. Kao primjer, izračunajmo integral s logaritmom čiji je argument polinom.
.

Izrada zamjena
u= log (x 2 - 1), dv = x dx .
Zatim
,
.

Izračunavamo preostali integral:
.
Ovdje ne pišemo znak modula. u | x 2 - 1|, budući da je integrand definiran za x 2 - 1 > 0 . Zamjena
.

Primjer arkusina

Razmotrimo primjer integrala čiji integrand uključuje arksinus.
.

Izrada zamjena
u= arcsin x,
.
Zatim
,
.

Nadalje, primjećujemo da je integrand definiran za |x|< 1 . Proširujemo znak modula ispod logaritma, uzimajući u obzir da 1 - x > 0 I 1 + x > 0.

Primjer arc tangente

Riješimo primjer s arc tangentom:
.

Integriramo po dijelovima.
.
Uzmimo cijeli broj razlomka:
x 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + x 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1) (x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Integriramo:
.
Napokon imamo.

Integrali logaritama

Integracija po dijelovima. Primjeri rješenja

Riješenje.

Npr.

Izračunaj integral:

Primjena svojstava integrala (linearnost), ᴛ.ᴇ. , svesti na tablični integral, to dobivamo

Bok opet. Danas ćemo u lekciji naučiti kako integrirati po dijelovima. Metoda integracije po dijelovima je ϶ᴛᴏ jedan od kamena temeljaca integralnog izračuna. Na kolokviju, ispitu studentu se gotovo uvijek nudi rješavanje integrala sljedećih vrsta: najjednostavniji integral (vidi članakNeodređeni integral. Primjeri rješenja ) ili integral za promjenu varijable (vidi članakMetoda promjene varijable u neodređenom integralu ) ili integral samo na način integracije po dijelovima.

Kao i uvijek, pri ruci bi trebalo biti: Tablica integrala I Tablica izvedenica. Ako ih još uvijek nemate, posjetite ostavu moje stranice: Matematičke formule i tablice. Neću se umoriti ponavljati - bolje je sve tiskati. Nastojat ću izložiti sav materijal na dosljedan, jednostavan i pristupačan način, nema posebnih poteškoća u objedinjavanju po dijelovima.

Koji problem rješava integracija po dijelovima? Metoda integracije po dijelovima rješava vrlo važan problem, omogućuje integraciju nekih funkcija koje nisu u tablici, raditi funkcije, au nekim slučajevima - i privatne. Kao što se sjećamo, ne postoji prikladna formula: . Ali postoji ovo: - formula za integraciju po dijelovima osobno. Znam, znam, ti si jedina - s njom ćemo raditi cijelu lekciju (već je lakše).

I odmah popis u studiju. Integrali sljedećih vrsta uzimaju se po dijelovima:

1) , - logaritam, logaritam pomnožen nekim polinomom.

2) , je eksponencijalna funkcija pomnožena nekim polinomom. Tu spadaju i integrali poput - eksponencijalne funkcije pomnožene s polinomom, ali u praksi je to 97 posto, ispod integrala se šepuri lijepo slovo ʼʼeʼʼ. ... članak ispadne nešto lirski, o da ... stiglo je proljeće.

3) , su trigonometrijske funkcije pomnožene nekim polinomom.

4) , su inverzne trigonometrijske funkcije (ʼʼlukoviʼʼ), ʼʼlukoviʼʼ, pomnožene nekim polinomom.

Također, neke frakcije se uzimaju u dijelovima, također ćemo detaljno razmotriti odgovarajuće primjere.

Primjer 1

Nađi neodređeni integral.

klasična. S vremena na vrijeme ovaj se integral može naći u tablicama, ali je nepoželjno koristiti gotov odgovor, budući da učitelj u proljeće ima beriberi i mnogo će grditi. Budući da razmatrani integral nipošto nije tablični - uzima se u dijelovima. Mi odlučujemo:

Prekidamo rješenje za međuobjašnjenja.

Koristimo formulu za integraciju po dijelovima:

Integrali logaritama - pojam i vrste. Klasifikacija i značajke kategorije "Integrali logaritama" 2017., 2018.

Kompleksni integrali

Ovaj članak dovršava temu neodređenih integrala, a uključuje integrale koje smatram prilično teškima. Lekcija je nastala na višekratni zahtjev posjetitelja koji su izrazili želju da se teži primjeri analiziraju na stranici.

Pretpostavlja se da je čitatelj ovog teksta dobro pripremljen i da zna primijeniti osnovne tehnike integracije. Lutke i ljudi koji nisu baš sigurni u integrale neka pogledaju već prvu lekciju - Neodređeni integral. Primjeri rješenja gdje možete naučiti temu gotovo od nule. Iskusniji studenti mogu se upoznati s tehnikama i metodama integracije, koje do sada nisu susrele u mojim člancima.

Koji će se integrali razmatrati?

Prvo razmatramo integrale s korijenima, za čije rješavanje sukcesivno koristimo varijabilna supstitucija I integracija po dijelovima. To jest, u jednom primjeru dvije metode se kombiniraju odjednom. I još više.

Zatim ćemo se upoznati sa zanimljivim i originalnim metoda svođenja integrala na sebe. Ne tako malo integrala se rješava na ovaj način.

Treći broj programa bit će integrali složenih razlomaka, koji su prošli pored blagajne u prethodnim člancima.

Četvrto, analizirat će se dodatni integrali iz trigonometrijskih funkcija. Konkretno, postoje metode koje izbjegavaju dugotrajnu univerzalnu trigonometrijsku zamjenu.

(2) U integrandu dijelimo brojnik s nazivnikom član po član.

(3) Koristimo svojstvo linearnosti neodređenog integrala. U posljednjem integralu odmah dovesti funkciju pod predznak diferencijala.

(4) Uzimamo preostale integrale. Imajte na umu da možete koristiti zagrade u logaritmu, a ne u modulu, jer .

(5) Vršimo obrnutu zamjenu, izražavajući iz izravne zamjene "te":

Mazohistički studenti mogu diferencirati odgovor i dobiti izvorni integrand, kao što sam ja upravo učinio. Ne, ne, provjerio sam u pravom smislu =)

Kao što vidite, u tijeku rješavanja moralo se koristiti čak više od dvije metode rješavanja, tako da su vam za rad s takvim integralima potrebne pouzdane vještine integracije i nimalo iskustvo.

U praksi je, naravno, kvadratni korijen češći, evo tri primjera za neovisno rješenje:

Primjer 2

Nađi neodređeni integral

Primjer 3

Nađi neodređeni integral

Primjer 4

Nađi neodređeni integral

Ovi primjeri su istog tipa, pa će cjelovito rješenje na kraju članka biti samo za Primjer 2, u Primjerima 3-4 - jedan odgovor. Koju zamjenu koristiti na početku odluka, mislim da je očito. Zašto sam izabrao istu vrstu primjera? Često se nalaze u njihovim ulogama. Češće, možda, samo nešto slično .

Ali ne uvijek, kada je korijen linearne funkcije ispod arktangensa, sinusa, kosinusa, eksponenta i drugih funkcija, mora se primijeniti nekoliko metoda odjednom. U nizu slučajeva moguće je "lako se riješiti", odnosno odmah nakon zamjene dobiva se jednostavan integral koji se elementarno uzima. Najlakši od gore predloženih zadataka je primjer 4, u kojem se nakon zamjene dobiva relativno jednostavan integral.

Metoda svođenja integrala na sebe

Pametna i lijepa metoda. Pogledajmo klasike žanra:

Primjer 5

Nađi neodređeni integral

Ispod korijena nalazi se kvadratni binom, a kada pokušavate integrirati ovaj primjer, čajnik može patiti satima. Takav se integral uzima po dijelovima i svodi na sebe. U principu, nije teško. Ako znate kako.

Označimo razmatrani integral latiničnim slovom i započnemo rješavanje:

Integracija po dijelovima:

(1) Pripremamo integrand za dijeljenje član po član.

(2) Dijelimo integrand član po član. Možda ne razumiju svi, detaljnije ću napisati:

(3) Koristimo svojstvo linearnosti neodređenog integrala.

(4) Uzimamo posljednji integral ("dugi" logaritam).

Sada pogledajmo sam početak rješenja:

I za kraj:

Što se dogodilo? Kao rezultat naših manipulacija, integral se sveo na sebe!

Izjednačite početak i kraj:

Prelazimo na lijevu stranu s promjenom predznaka:

I rušimo dvojku na desnu stranu. Kao rezultat:

Konstantu je, strogo govoreći, trebalo dodati ranije, ali ja sam je dodao na kraju. Toplo preporučujem da ovdje pročitate koja je ozbiljnost:

Bilješka: Strože, završna faza rješenja izgleda ovako:

Tako:

Konstanta se može preimenovati s . Zašto možete preimenovati? Jer još uvijek traje bilo koji vrijednosti, te u tom smislu nema razlike između konstanti i.
Kao rezultat:

Sličan trik s stalnim preimenovanjem naširoko se koristi u diferencijalne jednadžbe. I tu ću biti strog. I ovdje takve slobode dopuštam samo kako vas ne bih zbunio nepotrebnim stvarima i fokusirao se na sam način integracije.

Primjer 6

Nađi neodređeni integral

Još jedan tipičan integral za neovisno rješenje. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Razlika u odnosu na odgovor prethodnog primjera bit će!

Ako ispod kvadratnog korijena stoji kvadratni trinom, tada se rješenje u svakom slučaju svodi na dva analizirana primjera.

Na primjer, razmotrite integral . Sve što trebate učiniti je unaprijed odaberite cijeli kvadrat:
.
Zatim se provodi linearna zamjena, koja prolazi "bez ikakvih posljedica":
, što rezultira integralom . Nešto poznato, zar ne?

Ili ovaj primjer, s kvadratnim binomom:
Odabir punog kvadrata:
I, nakon linearne zamjene, dobivamo integral, koji se također rješava već razmatranim algoritmom.

Razmotrimo još dva tipična primjera redukcije integrala na sebe:
je integral eksponenta pomnožen sa sinusom;
je integral eksponenta pomnoženog s kosinusom.

U navedenim integralima po dijelovima morat ćete integrirati već dva puta:

Primjer 7

Nađi neodređeni integral

Integrand je eksponent pomnožen sa sinusom.

Dvaput integriramo po dijelovima i reduciramo integral na sebe:

Kao rezultat dvostruke integracije po dijelovima, integral se svodi na sebe. Izjednačite početak i kraj rješenja:

Prebacujemo se na lijevu stranu s promjenom predznaka i izražavamo svoj integral:

Spreman. Usput je poželjno češljati desnu stranu, t.j. izvadite eksponent iz zagrada, a sinus i kosinus stavite u zagrade "lijepim" redom.

Sada se vratimo na početak primjera, odnosno na integraciju po dijelovima:

Jer odredili smo izlagača. Postavlja se pitanje, eksponent bi uvijek trebao biti označen sa ? Nije potrebno. Zapravo, u razmatranom integralu temeljno nema veze, za što označiti, moglo bi se ići drugim putem:

Zašto je to moguće? Budući da se eksponent pretvara u sebe (pri diferenciranju i integriranju), sinus i kosinus se međusobno pretvaraju (opet, i kod diferenciranja i kod integriranja).

Odnosno, može se označiti i trigonometrijska funkcija. Ali u razmatranom primjeru to je manje racionalno, jer će se pojaviti razlomci. Ako želite, možete pokušati riješiti ovaj primjer na drugi način, odgovori moraju biti isti.

Primjer 8

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer "uradi sam". Prije odluke razmislite što je u ovom slučaju isplativije označiti, eksponencijalnu ili trigonometrijsku funkciju? Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

I, naravno, ne zaboravite da je većinu odgovora u ovoj lekciji prilično lako provjeriti razlikovanjem!

Primjeri se nisu smatrali najtežim. U praksi su češći integrali, gdje je konstanta i u eksponentu iu argumentu trigonometrijske funkcije, na primjer: . Mnogi će se ljudi morati zbuniti u takvom integralu, a i sam se često zbunim. Činjenica je da u rješenju postoji velika vjerojatnost pojave frakcija, a vrlo je lako izgubiti nešto zbog nepažnje. Osim toga, velika je vjerojatnost pogreške u predznacima, imajte na umu da je u eksponentu znak minus, a to predstavlja dodatnu poteškoću.

U završnoj fazi često se ispostavi nešto ovako:

Čak i na kraju rješenja, trebali biste biti izuzetno oprezni i pravilno se nositi s razlomcima:

Integracija složenih razlomaka

Polako se približavamo ekvatoru lekcije i počinjemo razmatrati integrale razlomaka. Opet, nisu svi super složeni, samo iz ovog ili onog razloga, primjeri su malo "izvan teme" u drugim člancima.

Nastavljajući temu korijena

Primjer 9

Nađi neodređeni integral

U nazivniku ispod korijena nalazi se kvadratni trinom plus izvan korijenskog "dodatka" u obliku "x". Integral ovog oblika rješava se standardnom zamjenom.

Mi odlučujemo:

Zamjena je ovdje jednostavna:

Pogled na život nakon zamjene:

(1) Nakon supstitucije članove pod korijenom svodimo na zajednički nazivnik.
(2) Vadimo ga ispod korijena.
(3) Brojnik i nazivnik smanjujemo za . U isto vrijeme, ispod korijena, preuredio sam pojmove u prikladnom redoslijedu. Uz određeno iskustvo, korake (1), (2) možete preskočiti izvođenjem komentiranih radnji usmeno.
(4) Rezultirajući integral, kao što se sjećate iz lekcije Integracija nekih razlomaka, riješen je metoda odabira punog kvadrata. Odaberite cijeli kvadrat.
(5) Integracijom dobivamo obični "dugi" logaritam.
(6) Vršimo obrnutu zamjenu. Ako u početku , onda natrag: .
(7) Završna radnja je usmjerena na friziranje rezultata: pod korijenom pojmove ponovno dovodimo pod zajednički nazivnik i vadimo ih ispod korijena.

Primjer 10

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer "uradi sam". Ovdje se konstanta dodaje pojedinačnom x, a zamjena je gotovo ista:

Jedina stvar koju treba dodatno učiniti je izraziti "x" iz zamjene:

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Ponekad u takvom integralu ispod korijena može biti kvadratni binom, to ne mijenja način rješavanja rješenja, čak će biti još jednostavnije. Osjeti razliku:

Primjer 11

Nađi neodređeni integral

Primjer 12

Nađi neodređeni integral

Kratka rješenja i odgovori na kraju lekcije. Treba napomenuti da je primjer 11 upravo binomni integral, čija je metoda rješenja razmatrana u lekciji Integrali iracionalnih funkcija.

Integral nerastavljivog polinoma 2. stupnja na stupanj

(polinom u nazivniku)

Rjeđi, ali se ipak pojavljuje u praktičnim primjerima oblik integrala.

Primjer 13

Nađi neodređeni integral

No, vratimo se primjeru sa sretnim brojem 13 (iskreno, nisam pogodio). I ovaj integral je iz kategorije onih s kojima se možete poprilično namučiti ako ne znate riješiti.

Rješenje počinje umjetnom transformacijom:

Mislim da je svima već jasno kako podijeliti brojnik nazivnikom pojam po pojam.

Rezultirajući integral uzima se u dijelovima:

Za integral oblika ( je prirodan broj), dobili smo ponavljajući formula za degradaciju:
, Gdje je integral nižeg stupnja.

Provjerimo valjanost ove formule za riješeni integral.
U ovom slučaju: , , koristimo formulu:

Kao što vidite, odgovori su isti.

Primjer 14

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer "uradi sam". Otopina uzorka koristi gornju formulu dva puta zaredom.

Ako je ispod stupnja nerazloživ kvadratni trinom, tada se rješenje reducira na binom izdvajanjem punog kvadrata, na primjer:

Što ako postoji dodatni polinom u brojniku? U ovom slučaju koristi se metoda neodređenih koeficijenata, a integrand se proširuje u zbroj razlomaka. Ali u mojoj praksi takvog primjera nikad upoznao, pa sam ovaj slučaj preskočio u članku Integrali razlomačko-racionalne funkcije, sad ću to preskočiti. Ako se takav integral i dalje pojavljuje, pogledajte udžbenik - tamo je sve jednostavno. Ne smatram svrhovitim uključivanje materijala (čak ni jednostavnog), čija vjerojatnost susreta teži nuli.

Integracija složenih trigonometrijskih funkcija

Pridjev "težak" za većinu je primjera opet uglavnom uvjetan. Počnimo s tangensima i kotangensima u velikim potencijama. Sa stajališta metode korištene za rješavanje tangensa i kotangensa gotovo su iste, pa ću više govoriti o tangensu, što znači da demonstrirana metoda rješavanja integrala vrijedi i za kotangens.

U gornjoj lekciji pogledali smo univerzalna trigonometrijska supstitucija za rješavanje određene vrste integrala trigonometrijskih funkcija. Nedostatak univerzalne trigonometrijske supstitucije je što njezina primjena često dovodi do glomaznih integrala s teškim izračunima. A u nekim slučajevima, univerzalna trigonometrijska zamjena se može izbjeći!

Razmotrimo još jedan kanonski primjer, integral jedinstva podijeljen sinusom:

Primjer 17

Nađi neodređeni integral

Ovdje možete koristiti univerzalnu trigonometrijsku zamjenu i dobiti odgovor, ali postoji racionalniji način. Pružit ću cjelovito rješenje s komentarima za svaki korak:

(1) Koristimo trigonometrijsku formulu za sinus dvostrukog kuta.
(2) Provodimo umjetnu transformaciju: u nazivniku dijelimo i množimo s .
(3) Prema poznatoj formuli u nazivniku razlomak pretvaramo u tangentu.
(4) Funkciju dovodimo pod predznak diferencijala.
(5) Uzimamo integral.

Nekoliko jednostavnih primjera koje možete sami riješiti:

Primjer 18

Nađi neodređeni integral

Savjet: Prvi korak je upotreba formule za smanjenje i pažljivo izvršite radnje slične prethodnom primjeru.

Primjer 19

Nađi neodređeni integral

Pa, ovo je vrlo jednostavan primjer.

Potpuna rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Mislim da sada nitko neće imati problema s integralima:
i tako dalje.

Koja je ideja iza metode? Ideja je koristiti transformacije, trigonometrijske formule za organiziranje samo tangenti i derivacije tangente u integrandu. Odnosno, govorimo o zamjeni: . U primjerima 17-19 zapravo smo koristili ovu zamjenu, ali integrali su bili toliko jednostavni da je to učinjeno ekvivalentnom akcijom - dovođenjem funkcije pod diferencijalni predznak.

Slično razmišljanje, kao što sam već spomenuo, može se izvesti za kotangens.

Postoji i formalni preduvjet za primjenu gornje zamjene:

Zbroj potencija kosinusa i sinusa je negativan cijeli PARNI broj, Na primjer:

za integral, cjelobrojni negativni PARNI broj.

! Bilješka : ako integrand sadrži SAMO sinus ili SAMO kosinus, tada se integral uzima parni s negativnim neparnim stupnjem (najjednostavniji slučajevi su u primjerima br. 17, 18).

Razmotrite nekoliko smislenijih zadataka za ovo pravilo:

Primjer 20

Nađi neodređeni integral

Zbroj stupnjeva sinusa i kosinusa: 2 - 6 \u003d -4 - negativan cijeli broj PARNI broj, što znači da se integral može svesti na tangente i njegovu derivaciju:

(1) Transformirajmo nazivnik.
(2) Prema poznatoj formuli dobivamo .
(3) Transformirajmo nazivnik.
(4) Koristimo formulu .
(5) Funkciju dovodimo pod predznak diferencijala.
(6) Izvršavamo zamjenu. Iskusniji učenici možda neće izvršiti zamjenu, ali ipak je bolje zamijeniti tangentu jednim slovom - manji je rizik od zabune.

Primjer 21

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer "uradi sam".

Čekaj, prvenstvena kola počinju =)

Često u integrandu postoji "mješavina":

Primjer 22

Nađi neodređeni integral

Ovaj integral u početku sadrži tangentu, što odmah sugerira već poznatu misao:

Umjetnu transformaciju ostavljam na samom početku, a ostale korake bez komentara, jer je sve već rečeno.

Nekoliko kreativnih primjera za samostalno rješenje:

Primjer 23

Nađi neodređeni integral

Primjer 24

Nađi neodređeni integral

Da, u njima, naravno, možete smanjiti stupnjeve sinusa, kosinusa, koristiti univerzalnu trigonometrijsku zamjenu, ali rješenje će biti puno učinkovitije i kraće ako se povuče kroz tangente. Potpuno rješenje i odgovori na kraju lekcije