Linije drugog reda.
Elipsa i njezina kanonska jednadžba. Krug

Nakon temeljitog proučavanja ravne linije na ravnini nastavljamo proučavati geometriju dvodimenzionalnog svijeta. Ulozi su dvostruki i pozivam vas da posjetite slikovitu galeriju elipsa, hiperbola, parabola koje su tipični predstavnici linije drugog reda. Razgledavanje je već počelo, a prvo kratka informacija o cjelokupnoj izložbi na različitim katovima muzeja:

Pojam algebarskog pravca i njegov poredak

Pravac na ravnini naziva se algebarski, ako je u afini koordinatni sustav njegova jednadžba ima oblik , gdje je polinom koji se sastoji od članova oblika ( je realan broj, su nenegativni cijeli brojevi).

Kao što vidite, jednadžba algebarske linije ne sadrži sinuse, kosinuse, logaritme i druge funkcionalne beau monde. Samo "x" i "y" unutra cijeli broj nenegativan stupnjeva.

Redoslijed redova jednaka je maksimalnoj vrijednosti pojmova uključenih u njega.

Prema odgovarajućem teoremu, pojam algebarskog pravca, kao i njegov poredak, ne ovise o izboru afini koordinatni sustav, stoga, radi lakšeg postojanja, smatramo da se svi kasniji izračuni odvijaju u Kartezijeve koordinate.

Opća jednadžba linija drugog reda ima oblik , gdje je su proizvoljni realni brojevi (uobičajeno je pisati s množiteljem - "dva"), a koeficijenti nisu istovremeno jednaki nuli.

Ako je , tada se jednadžba pojednostavljuje na , a ako koeficijenti nisu istovremeno jednaki nuli, onda je to točno opća jednadžba "ravne" prave, koji predstavlja linija prvog reda.

Mnogi su razumjeli značenje novih pojmova, ali ipak, kako bismo 100% usvojili materijal, guramo prste u utičnicu. Da biste odredili redoslijed redova, ponovite svi uvjeti njegove jednadžbe i za svaku od njih pronaći zbroj snaga ulazne varijable.

Na primjer:

termin sadrži "x" do 1. stupnja;
izraz sadrži "Y" na 1. potenciju;
u članu nema varijabli, pa je zbroj njihovih potencija nula.

Sada shvatimo zašto jednadžba postavlja liniju drugi narudžba:

pojam sadrži "x" u 2. stupnju;
član ima zbroj stupnjeva varijabli: 1 + 1 = 2;
pojam sadrži "y" u 2. stupnju;
svi ostali uvjeti - manji stupanj.

Najveća vrijednost: 2

Dodamo li našoj jednadžbi, recimo, , tada će ona već odrediti linija trećeg reda. Očito je da opći oblik jednadžbe linije 3. reda sadrži "potpun skup" članova, zbroj stupnjeva varijabli u kojem je jednak tri:
, gdje koeficijenti nisu istovremeno jednaki nuli.

U slučaju dodavanja jednog ili više prikladnih izraza koji sadrže , tada ćemo razgovarati o linije 4. reda itd.

S algebarskim pravcima 3., 4. i viših reda morat ćemo se suočiti više puta, osobito pri upoznavanju s polarni koordinatni sustav.

Ipak, vratimo se općoj jednadžbi i prisjetimo se njezinih najjednostavnijih školskih varijanti. Primjeri su parabola, čija se jednadžba lako može svesti na opći oblik, i hiperbola s ekvivalentnom jednadžbom. Ipak, nije sve tako glatko....

Značajan nedostatak opće jednadžbe je to što gotovo uvijek nije jasno koju liniju definira. Čak i u najjednostavnijem slučaju nećete odmah shvatiti da je riječ o hiperboli. Takvi su rasporedi dobri samo u maskenbalu, stoga se u tijeku analitičke geometrije razmatra tipičan problem svođenje jednadžbe pravca 2. reda na kanonski oblik.

Što je kanonski oblik jednadžbe?

Ovo je općeprihvaćeni standardni oblik jednadžbe, kada u roku od nekoliko sekundi postane jasno koji geometrijski objekt definira. Osim toga, kanonski oblik je vrlo prikladan za rješavanje mnogih praktičnih zadataka. Tako npr. prema kanonskoj jednadžbi "ravna" ravna, prvo, odmah je jasno da je ovo ravna linija, a drugo, točka koja joj pripada i vektor smjera jednostavno su vidljivi.

Očito, bilo koji linija 1. reda predstavlja ravnu liniju. Na drugom katu nas više ne čeka domar, već puno šarolikije društvo od devet kipova:

Klasifikacija linija drugog reda

Uz pomoć posebnog skupa radnji, svaka jednadžba linije drugog reda reducira se na jednu od sljedećih vrsta:

( i su pozitivni realni brojevi)

1) je kanonska jednadžba elipse;

2) je kanonska jednadžba hiperbole;

3) je kanonska jednadžba parabole;

4) – zamišljena elipsa;

5) - par linija koje se sijeku;

6) - par zamišljena pravci koji se sijeku (sa jedinom pravom sjecišnom točkom u ishodištu);

7) - par paralelnih linija;

8) - par zamišljena paralelne linije;

9) je par linija koje se podudaraju.

Neki čitatelji mogu steći dojam da je popis nepotpun. Na primjer, u stavku broj 7, jednadžba postavlja par direktno, paralelan s osi, te se postavlja pitanje: gdje je jednadžba koja određuje pravce paralelne s osi y? Odgovori ne smatra se kanonom. Ravne linije predstavljaju isti standardni slučaj zakrenut za 90 stupnjeva, a dodatni unos u klasifikaciji je suvišan, jer ne nosi ništa bitno novo.

Dakle, postoji devet i samo devet različitih tipova vodova 2. reda, ali u praksi su najčešći elipsa, hiperbola i parabola.

Pogledajmo prvo elipsu. Kao i obično, fokusiram se na one točke koje su od velike važnosti za rješavanje problema, a ako vam je potrebna detaljna derivacija formula, dokazi teorema, pogledajte, na primjer, udžbenik Bazylev / Atanasyan ili Aleksandrov.

Elipsa i njezina kanonska jednadžba

Pravopis ... molim vas da ne ponavljate pogreške nekih korisnika Yandexa koje zanima "kako izgraditi elipsu", "razlika između elipse i ovala" i "elebs ekscentričnost".

Kanonska jednadžba elipse ima oblik , gdje su pozitivni realni brojevi, i . Kasnije ću formulirati definiciju elipse, ali sada je vrijeme da se odmorimo od razgovora i riješimo uobičajeni problem:

Kako izgraditi elipsu?

Da, uzmi i samo nacrtaj. Zadatak je uobičajen, a značajan dio učenika ne snalazi se baš kompetentno s crtežom:

Primjer 1

Konstruirajte elipsu zadanu jednadžbom

Riješenje: prvo dovodimo jednadžbu u kanonski oblik:

Zašto donijeti? Jedna od prednosti kanonske jednadžbe je ta što vam omogućuje trenutno određivanje vrhovi elipse, koji se nalaze na točkama . Lako je vidjeti da koordinate svake od ovih točaka zadovoljavaju jednadžbu .

U ovom slučaju :


Segment linije nazvao glavna os elipsa;
segment linije – sporedna os;
broj nazvao velika poluos elipsa;
broj – polumala os.
u našem primjeru: .

Da biste brzo zamislili kako izgleda ova ili ona elipsa, samo pogledajte vrijednosti "a" i "be" njezine kanonske jednadžbe.

Sve je u redu, uredno i lijepo, ali postoji jedna zamjerka: dovršio sam crtež pomoću programa. I možete crtati s bilo kojom aplikacijom. Međutim, u surovoj stvarnosti, kockasti papirić leži na stolu, a miševi nam plešu po rukama. Ljudi s umjetničkim talentom, naravno, mogu raspravljati, ali imate i miševa (iako manjih). Čovječanstvo nije uzalud izumilo ravnalo, šestar, kutomjer i druge jednostavne uređaje za crtanje.

Iz tog razloga, malo je vjerojatno da ćemo moći točno nacrtati elipsu, poznavajući samo vrhove. Još uvijek je u redu, ako je elipsa mala, na primjer, s poluosima. Alternativno, možete smanjiti mjerilo i, sukladno tome, dimenzije crteža. Ali u općem slučaju vrlo je poželjno pronaći dodatne točke.

Postoje dva pristupa konstruiranju elipse - geometrijski i algebarski. Ne volim graditi šestarom i ravnalom zbog kratkog algoritma i značajnog nereda crteža. U slučaju nužde, molimo pogledajte udžbenik, ali u stvarnosti je mnogo racionalnije koristiti alate algebre. Iz jednadžbe elipse na nacrtu brzo izražavamo:

Jednadžba se zatim dijeli na dvije funkcije:
– definira gornji luk elipse;
– definira donji luk elipse.

Elipsa dana kanonskom jednadžbom je simetrična u odnosu na koordinatne osi, kao i u odnosu na ishodište. I to je sjajno - simetrija je gotovo uvijek preteča besplatna. Očito je dovoljno pozabaviti se 1. koordinatnom četvrtinom, pa nam treba funkcija . Predlaže pronalaženje dodatnih točaka s apscisama . Na kalkulatoru smo pogodili tri SMS-a:

Naravno, također je ugodno da ako se u izračunima napravi ozbiljna pogreška, to će odmah postati jasno tijekom izgradnje.

Označite točke na crtežu (crvena boja), simetrične točke na ostalim lukovima (plava boja) i pažljivo povežite cijelo poduzeće linijom:


Bolje je nacrtati početnu skicu tanko i tanko, a tek onda pritisnuti olovku. Rezultat bi trebala biti sasvim pristojna elipsa. Usput, želite li znati koja je ova krivulja?

Definicija elipse. Fokusi elipse i ekscentricitet elipse

Elipsa je poseban slučaj ovala. Riječ "oval" ne treba shvatiti u filistarskom smislu ("dijete je nacrtalo oval" itd.). Ovo je matematički pojam s detaljnom formulacijom. Svrha ove lekcije nije razmatranje teorije ovala i njihovih različitih vrsta, kojima se praktički ne posvećuje pozornost u standardnom tečaju analitičke geometrije. I, sukladno aktualnijim potrebama, odmah prelazimo na strogu definiciju elipse:

Elipsa- ovo je skup svih točaka ravnine, od kojih je zbroj udaljenosti do svake od dvije zadane točke, tzv. trikovi elipse, je konstantna vrijednost, brojčano jednaka duljini velike osi ove elipse: .
U tom je slučaju udaljenost između žarišta manja od ove vrijednosti: .

Sada će biti jasnije:

Zamislite da se plava točka "vozi" na elipsi. Dakle, bez obzira koju točku elipse uzmemo, zbroj duljina odsječaka uvijek će biti isti:

Uvjerimo se da je u našem primjeru vrijednost zbroja doista jednaka osam. Mentalno postavite točku "em" u desni vrh elipse, zatim: , što je bilo potrebno provjeriti.

Drugi način crtanja elipse temelji se na definiciji elipse. Viša matematika ponekad je uzrok napetosti i stresa, pa je vrijeme za još jednu seansu rasterećenja. Uzmite komad papira ili veliki list kartona i pričvrstite ga za stol s dva čavla. To će biti trikovi. Zavežite zeleni konac na izbočene glave čavlića i povucite ga olovkom do kraja. Vrat olovke bit će u nekoj točki koja pripada elipsi. Sada počnite voditi olovku preko lista papira, držeći zelenu nit jako zategnutom. Nastavite s postupkom dok se ne vratite na početnu točku ... odlično ... crtež možete predati na ovjeru liječniku učitelju =)

Kako pronaći fokus elipse?

U gornjem primjeru prikazao sam "gotove" fokusne točke, a sada ćemo naučiti kako ih izvući iz dubina geometrije.

Ako je elipsa dana kanonskom jednadžbom, tada njeni fokusi imaju koordinate , gdje je udaljenost svakog žarišta od središta simetrije elipse.

Proračuni su lakši od repe kuhane na pari:

! Sa značenjem "ce" nemoguće je identificirati specifične koordinate trikova! Ponavljam, ovo je DISTANCE od svakog fokusa do centra(koji se u općem slučaju ne mora nalaziti točno u ishodištu).
Stoga se ni udaljenost između žarišta ne može vezati uz kanonski položaj elipse. Drugim riječima, elipsa se može premjestiti na drugo mjesto i vrijednost će ostati nepromijenjena, dok će fokusi prirodno promijeniti svoje koordinate. Imajte to na umu dok dalje istražujete temu.

Ekscentricitet elipse i njeno geometrijsko značenje

Ekscentricitet elipse je omjer koji može poprimiti vrijednosti unutar .

U našem slučaju:

Otkrijmo kako oblik elipse ovisi o njezinoj ekscentričnosti. Za ovo popraviti lijevi i desni vrh elipse koja se razmatra, odnosno vrijednost velike poluosi ostat će konstantna. Tada će formula ekscentriciteta imati oblik: .

Počnimo približavati vrijednost ekscentriciteta jedinici. To je moguće samo ako. Što to znači? ...sjećanje trikova . To znači da će se žarišta elipse "raspršiti" po apscisnoj osi do bočnih vrhova. A budući da "zeleni segmenti nisu gumeni", elipsa će se neizbježno početi spljoštavati, pretvarajući se u sve tanju i tanju kobasicu nanizanu na os.

Tako, što je ekscentricitet elipse bliži jedinici, to je elipsa duguljasta.

Sada simulirajmo suprotan proces: žarišta elipse išli jedan prema drugom, približavajući se središtu. To znači da vrijednost "ce" postaje sve manja i, sukladno tome, ekscentricitet teži nuli: .
U tom će slučaju „zeleni segmenti“, naprotiv, „postati gužva“ i počet će „gurati“ liniju elipse gore-dolje.

Tako, što je vrijednost ekscentričnosti bliža nuli, to elipsa više sliči... pogledajte granični slučaj, kada su žarišta uspješno ponovno ujedinjena u ishodištu:

Krug je poseban slučaj elipse

Doista, u slučaju jednakosti poluosi, kanonska jednadžba elipse poprima oblik, koji refleksno prelazi u poznatu jednadžbu kruga iz škole sa središtem u ishodištu radijusa "a".

U praksi se češće koristi zapis s "govorećim" slovom "er":. Polumjer se naziva duljina segmenta, dok je svaka točka kruga udaljena od središta za udaljenost polumjera.

Imajte na umu da definicija elipse ostaje potpuno točna: žarišta su se podudarala, a zbroj duljina uparenih segmenata za svaku točku na kružnici je konstantna vrijednost. Budući da je udaljenost između žarišta ekscentricitet bilo koje kružnice je nula.

Krug se gradi jednostavno i brzo, dovoljno je naoružati se šestarom. Ipak, ponekad je potrebno saznati koordinate neke njegove točke, u ovom slučaju idemo poznatim putem - jednadžbu dovodimo do veselog Matanova oblika:

je funkcija gornjeg polukruga;
je funkcija donjeg polukruga.

Zatim nalazimo željene vrijednosti, diferencijabilan, integrirati i činiti druge dobre stvari.

Članak je, naravno, samo za referencu, ali kako se može živjeti bez ljubavi u svijetu? Kreativni zadatak za samostalno rješavanje

Primjer 2

Sastavite kanonsku jednadžbu elipse ako je poznato jedno njezino žarište i mala poluos (središte je u ishodištu). Pronađite vrhove, dodatne točke i nacrtajte liniju na crtežu. Izračunajte ekscentricitet.

Rješenje i crtež na kraju lekcije

Dodajmo radnju:

Rotirajte i premjestite elipsu

Vratimo se kanonskoj jednadžbi elipse, naime, stanju čija zagonetka muči radoznale umove od prvog spomena ove krivulje. Ovdje smo razmatrali elipsu , ali u praksi ne može jednadžba ? Uostalom, ovdje, međutim, izgleda da je i kao elipsa!

Takva je jednadžba rijetka, ali se susreće. I definira elipsu. Raspršimo mistiku:

Kao rezultat konstrukcije dobiva se naša izvorna elipsa, zakrenuta za 90 stupnjeva. To je, - Ovo nekanonski unos elipsa . Snimiti!- jednadžba ne navodi nijednu drugu elipsu, budući da na osi nema točaka (žarišta) koje bi zadovoljile definiciju elipse.

ovalan- ovo je krivulja zatvorenog kutija, koja ima dvije osi simetrije i sastoji se od dvije potporne kružnice istog promjera, unutarnje konjugirane lukovima (slika 13.45). Oval karakteriziraju tri parametra: duljina, širina i polumjer ovala. Ponekad su navedene samo duljina i širina ovala, bez određivanja njegovih polumjera, tada problem konstruiranja ovala ima veliki broj rješenja (vidi sl. 13.45, a ... d).

Također koriste metode za konstruiranje ovala na temelju dvaju identičnih referentnih krugova koji se dodiruju (Sl. 13.46, a), sijeku (Sl. 13.46, b) ili se ne sijeku (Sl. 13.46, c). U ovom slučaju zapravo su postavljena dva parametra: duljina ovala i jedan od njegovih radijusa. Ovaj problem ima mnogo rješenja. Očito je da R > OA nema gornju granicu. Posebno R \u003d O 1 O 2(vidi sl. 13.46.a i sl. 13.46.c), a središta oko 3 I Oko 4 definirane su kao točke sjecišta osnovnih krugova (vidi sl. 13.46, b). Prema općoj teoriji točaka, konjugacije su definirane na ravnoj liniji koja povezuje središta lukova susjednih kružnica.

Konstruiranje ovala s dodirnim potpornim krugovima(problem ima mnogo rješenja) ( riža. 3.44). Iz središta potpornih krugova OKO I 0 1 s radijusom jednakim, na primjer, udaljenosti između njihovih središta, lukovi kružnica crtaju se dok se ne sijeku u točkama OKO 2 i Oko 3 .

Slika 3.44

Ako iz točaka OKO 2 i oko 3 povucite ravne linije kroz središta OKO I O 1, tada na sjecištu s potpornim kružnicama dobivamo točke konjugacije S, C1, D I D1. Od bodova OKO 2 i oko 3 kao iz središta s radijusom R2 voditi konjugacijske lukove.

Konstruiranje ovala s križnim potpornim kružnicama(problem također ima mnogo rješenja) (sl. 3.45). Iz sjecišta oslonskih kružnica od 2 I oko 3 povucite ravne linije, na primjer, kroz središta OKO I O 1 do sjecišta s referentnim kružnicama u spojnim točkama C, C 1 D I D1, i radijusi R2, jednak promjeru kružnice nosača – konjugacijskog luka.

Slika 3.45 Slika 3.46

Konstrukcija ovala po dvjema zadanim osima AB i CD(Slika 3.46). Ispod je jedno od mnogih mogućih rješenja. Segment se iscrtava na okomitoj osi OE, pola velike osi AB. Od točke S kako nacrtati luk iz centra s radijusom CE do sjecišta sa segmentom AC u točki E 1. Do sredine segmenta AE 1 obnoviti okomicu i označiti točke njezina sjecišta s osi ovala O 1 I 0 2 . Izgradite bodove O 3 I 0 4 , simetrično na točke O 1 I 0 2 o sjekirama CD I AB. bodova O 1 I 0 3 bit će središta potpornih kružnica radijusa R1, jednak segmentu Oko 1 A, i bodova O2 I 0 4 - središta lukova konjugacije polumjera R2, jednak segmentu Oko 2 C. Ravne linije koje povezuju središta O 1 I 0 3 S O2 I 0 4 na sjecištu s ovalom odredit će se spojne točke.

U AutoCAD-u, oval se konstruira pomoću dva referentna kruga istog radijusa, a to su:

1. imati dodirnu točku;

2. presijecati;

3. ne sijeku se.

Razmotrimo prvi slučaj. Izgrađen je isječak OO 1 =2R, paralelan s osi X, na čijim su krajevima (točke O i O 1) smještena središta dviju referentnih kružnica polumjera R i središta dviju pomoćnih kružnica polumjera R 1 =2R. Iz sjecišta pomoćnih kružnica O 2 i O 3 grade se lukovi CD odnosno C 1 D 1 . Uklanjaju se pomoćni krugovi, a zatim, u odnosu na lukove CD i C 1 D 1, unutarnji dijelovi potpornih krugova su odsječeni. Na slici bb dobiveni oval je označen debelom linijom.

Slika Konstruiranje ovala s dodirujućim nosivim kružnicama istog polumjera

U astronomiji, kada se razmatra kretanje kozmičkih tijela u orbitama, često se koristi koncept "elipse", budući da njihove putanje karakterizira upravo ova krivulja. Razmotrite u članku pitanje što je označena figura, a također dajte formulu za duljinu elipse.

Što je elipsa?

Prema matematičkoj definiciji, elipsa je zatvorena krivulja, za koju je zbroj udaljenosti od bilo koje njezine točke do dvije druge određene točke koje leže na glavnoj osi, a nazivaju se žarištima, konstanta. Ispod je slika koja objašnjava ovu definiciju.

Na slici je zbroj udaljenosti PF "i PF jednak 2 * a, odnosno PF" + PF \u003d 2 * a, gdje su F "i F žarišta elipse, "a" je duljina njegove velike poluosi. Segment BB "naziva se malom poluosi, a udaljenost CB = CB" = b je duljina male poluosi. Ovdje točka C određuje središte figure.

Gornja slika također prikazuje jednostavnu metodu niza i dva klina koja se široko koristi za crtanje eliptičnih krivulja. Drugi način da dobijete ovu figuru je izvesti pod bilo kojim kutom prema svojoj osi koji nije jednak 90 o .

Ako se elipsa okreće duž jedne od svoje dvije osi, tada ona tvori trodimenzionalni lik, koji se naziva sferoid.

Formula opsega elipse

Iako je lik koji se razmatra prilično jednostavan, opseg njegovog opsega može se točno odrediti izračunavanjem takozvanih eliptičkih integrala druge vrste. Međutim, početkom 20. stoljeća, samouki hinduistički matematičar Ramanujan predložio je prilično jednostavnu formulu za duljinu elipse, koja se rezultatu gornjih integrala približava odozdo. Odnosno, vrijednost razmatrane vrijednosti izračunate iz nje bit će nešto manja od stvarne duljine. Ova formula izgleda ovako: P ≈ pi * , gdje je pi = 3,14 broj pi.

Na primjer, neka su duljine dviju poluosi elipse a = 10 cm i b = 8 cm, tada je njezina duljina P = 56,7 cm.

Svatko može provjeriti da ako je a = b = R, odnosno razmatra se obična kružnica, tada se Ramanujanova formula svodi na oblik P = 2 * pi * R.

Imajte na umu da školski udžbenici često daju drugačiju formulu: P = pi * (a + b). Jednostavniji je, ali i manje točan. Dakle, ako se primijeni na razmatrani slučaj, tada dobivamo vrijednost P = 56,5 cm.

U astronomiji, kada se razmatra kretanje kozmičkih tijela u orbitama, često se koristi koncept "elipse", budući da njihove putanje karakterizira upravo ova krivulja. Razmotrite u članku pitanje što je označena figura, a također dajte formulu za duljinu elipse.

Što je elipsa?

Prema matematičkoj definiciji, elipsa je zatvorena krivulja, za koju je zbroj udaljenosti od bilo koje njezine točke do dvije druge određene točke koje leže na glavnoj osi, a nazivaju se žarištima, konstanta. Ispod je slika koja objašnjava ovu definiciju.

Zanimat će vas:

Na slici je zbroj udaljenosti PF "i PF jednak 2 * a, odnosno PF" + PF \u003d 2 * a, gdje su F "i F žarišta elipse, "a" je duljina njegove velike poluosi. Segment BB "naziva se malom poluosi, a udaljenost CB = CB" = b je duljina male poluosi. Ovdje točka C određuje središte figure.

Gornja slika također prikazuje jednostavnu metodu niza i dva klina koja se široko koristi za crtanje eliptičnih krivulja. Drugi način da dobijete ovu figuru je da prerežete stožac pod bilo kojim kutom u odnosu na njegovu os koji nije jednak 90o.

Ako se elipsa okreće duž jedne od svoje dvije osi, tada ona tvori trodimenzionalni lik, koji se naziva sferoid.

Formula opsega elipse

Iako je lik koji se razmatra prilično jednostavan, opseg njegovog opsega može se točno odrediti izračunavanjem takozvanih eliptičkih integrala druge vrste. Međutim, početkom 20. stoljeća, samouki hinduistički matematičar Ramanujan predložio je prilično jednostavnu formulu za duljinu elipse, koja se rezultatu gornjih integrala približava odozdo. Odnosno, vrijednost razmatrane vrijednosti izračunate iz nje bit će nešto manja od stvarne duljine. Ova formula izgleda ovako: P ≈ pi * , gdje je pi = 3,14 broj pi.

Na primjer, neka su duljine dviju poluosi elipse a = 10 cm i b = 8 cm, tada je njezina duljina P = 56,7 cm.

Svatko može provjeriti da ako je a = b = R, odnosno razmatra se obična kružnica, tada se Ramanujanova formula svodi na oblik P = 2 * pi * R.

Imajte na umu da školski udžbenici često daju drugačiju formulu: P = pi * (a + b). Jednostavniji je, ali i manje točan. Dakle, ako se primijeni na razmatrani slučaj, tada dobivamo vrijednost P = 56,5 cm.

opseg Naziva se zatvorena ravninska krivulja čije su sve točke jednako udaljene od dane točke (središta kružnice). Udaljenost od bilo koje točke kruga \(P\lijevo((x,y) \desno)\) do njegovog središta naziva se radius. Središte kružnice i sama kružnica leže u istoj ravnini. Jednadžba kruga radijusa \(R\) sa središtem u ishodištu ( kanonska jednadžba kruga ) ima oblik
\((x^2) + (y^2) = (R^2)\).

Kružna jednadžba polumjer \(R\) sa središtem u proizvoljnoj točki \(A\lijevo((a,b) \desno)\) je napisano kao
\((\lijevo((x - a) \desno)^2) + (\lijevo((y - b) \desno)^2) = (R^2)\).



Jednadžba kružnice koja prolazi kroz tri točke , napisano kao: \(\left| (\begin(array)(*(20)(c)) ((x^2) + (y^2)) & x & y & 1\\ (x_1^2 + y_1^2) & ((x_1)) & ((y_1)) & 1\\ (x_2^2 + y_2^2) & ((x_2)) & ((y_2)) & 1\\ (x_3^2 + y_3^2) & ((x_3)) & ((y_3)) & 1 \end(niz)) \desno| = 0.\\\)
Ovdje \(A\lijevo(((x_1),(y_1)) \desno)\), \(B\lijevo(((x_2),(y_2)) \desno)\), \(C\lijevo(( (x_3),(y_3)) \desno)\) su tri točke koje leže na kružnici.



Kružna jednadžba u parametarskom obliku
\(\lijevo\( \begin(poravnano) x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end(poravnano) \desno., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
gdje su \(x\), \(y\) koordinate točaka kruga, \(R\) je polumjer kruga, \(t\) je parametar.

Opća jednadžba kruga
\(A(x^2) + A(y^2) + Dx + Ey + F = 0\)
pod uvjetom \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Središte kružnice nalazi se u točki s koordinatama \(\lijevo((a,b) \desno)\), gdje
\(a = - \veliki\frac(D)((2A))\normalna veličina,\;\;b = - \veliki\frac(E)((2A))\normalna veličina.\)
Polumjer kruga je
\(R = \sqrt (\veliki\frac(((D^2) + (E^2) - 4AF))((2\lijevo| A \desno|))\normalna veličina) \)

Elipsa naziva se ravninska krivulja, za svaku točku zbroj udaljenosti do dvije zadane točke ( trikovi elipse ) je konstantna. Udaljenost između žarišta naziva se žarišna duljina a označava se s \(2c\). Sredina segmenta koji povezuje žarišta naziva se središte elipse . Elipsa ima dvije osi simetrije: prvu ili žarišnu os, koja prolazi kroz fokuse, i drugu os koja je okomita na nju. Točke presjeka tih osi s elipsom nazivaju se vrhovi. Crta koja spaja središte elipse s vrhom naziva se poluos elipse . Velika poluos je označena \(a\), mala poluos - \(b\). Elipsa čije je središte u ishodištu koordinata, a čije poluosi leže na koordinatnim pravcima, opisuje se sljedećim kanonska jednadžba :
\(\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalsize + \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ normalna veličina = 1.\)



Zbroj udaljenosti od bilo koje točke elipse do njezinih žarišta konstantno:
\((r_1) + (r_2) = 2a\),
gdje su \((r_1)\), \((r_2)\) udaljenosti od proizvoljne točke \(P\lijevo((x,y) \desno)\) do žarišta \((F_1)\) i \(( F_2)\), \(a\) je velika poluos elipse.



Odnos između poluosi elipse i žarišne duljine
\((a^2) = (b^2) + (c^2)\),
gdje je \(a\) velika poluos elipse, \(b\) mala poluos, \(c\) polovica žarišne duljine.

Ekscentricitet elipse
\(e = \veliki\frac(c)(a)\normalna veličina

Jednadžbe direktrise elipse
Direktrisa elipse je ravna crta okomita na njezinu žarišnu os i siječe je na udaljenosti \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) od središta. Elipsa ima dvije direktrise koje se nalaze na suprotnim stranama središta. Direktrisne jednadžbe se pišu kao
\(x = \pm \veliki\frac(a)(e)\normalna veličina = \pm \veliki\frac(((a^2)))(c)\normalna veličina.\)

Jednadžba elipse u parametarskom obliku
\(\lijevo\( \begin(poravnano) x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end(poravnano) \desno., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
gdje su \(a\), \(b\) poluosi elipse, \(t\) je parametar.

Opća jednadžba elipse
\(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
gdje je \((B^2) - 4AC

Opća jednadžba elipse čije su poluosi paralelne s koordinatnim osama
\(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
gdje je \(AC > 0\).

Opseg elipse
\(L = 4aE\lijevo(e\desno)\),
gdje je \(a\) velika poluos elipse, \(e\) je ekscentricitet, \(E\) je potpuni eliptički integral druge vrste.

Približne formule za opseg elipse
\(L \približno \pi \lijevo[ (\veliki\frac(3)(2)\normalna veličina\lijevo((a + b) \desno) - \sqrt (ab) ) \desno],\;\;L \approx \pi \sqrt (2\lijevo(((a^2) + (b^2)) \desno)),\)
gdje su \(a\),\(b\) poluosi elipse.

Područje elipse
\(S = \pi ab\)