UDK 681.51.011

MATRIČNA ANALIZA U SISTEMU UPRAVLJANJA PREDUZEĆEM

© 2006 A.V. Volgin1, G.E. Belashevsky2

DOO "Samara - AviaGaz"

Samara State Aerospace University

U radu se analiziraju različiti načini upotrebe matrica u upravljanju preduzećima. Odnos (veza) između elemenata dva ili više skupova može se predstaviti u matričnom obliku. Kompozicija relacija vam omogućava da pojednostavite analizu odnosa između elemenata skupova. Dat je primjer upotrebe matrica prioriteta u sistemu upravljanja preduzećem.

Matrice, kao alat za analizu, dugo se koriste u sistemu upravljanja preduzećem. Dovoljno je navesti takve alate kvaliteta kao što su matrični grafikoni, matrice prioriteta, matrična analiza u implementaciji funkcije kvaliteta.

1. Upotreba matrica u upravljanju posljedica je činjenice da gotovo svako preduzeće karakteriše veliki skup objekata (razna oprema, odjeli, dobavljači, potrošači), te je teško opisati odnose između njih ovisnostima poput y \u003d f (x) . Prave veze su višedimenzionalne i implicitne. Matrice, s druge strane, omogućavaju da se takvi odnosi identificiraju u prilično vizualnom obliku i analiziraju. U zadatku formiranja proizvodne strukture preduzeća može se koristiti matrica odnosa između grupa delova B = ], gde je ^ broj jedinica.

opšta oprema koja se koristi u obradi 1. i] -tog dela, u marketinško istraživanje koristi se matrica tehničkog nivoa u = \u^], gdje je

i y - tehnički nivo 1. preduzeća na ] -tom tržištu i matrica cijena.

Sa stanovišta matematike, dodeljivanje matrice može se tumačiti kao specifikacija odnosa (veze) između objekata dva skupa. Element matrice u ovom slučaju može značiti i vezu objekata (kao što je "da" ili "ne"), i snagu veze, izraženu brojem. U slučaju tri ili više skupova, mogu se graditi višedimenzionalne relacije i, shodno tome, višedimenzionalne matrice. Međutim, ovaj pristup gubi jasnoću i lakoću tumačenja. Složenost analize višedimenzionalnih odnosa

joni se mogu prevazići uz pomoć kompozicije odnosa.

2. Pretpostavimo da kompanija ima dobavljače P1 P2, ... P5, koji isporučuju materijale (dijelove, sklopove, komponente) Mí, M2, M3. Od ovih materijala preduzeće proizvodi proizvode Ib I2, ... I, za kupce (potrošače) Zi, Z2, ... Z5. Za ove skupove možete sastaviti matrice veza. Neka se, na primjer, uspostave odnosi između dobavljača i materijala koje isporučuju (Tabela 1), proizvoda i neophodni materijali(tabela 2), kupci i proizvodi (tabela 3). Znak "x" označava vezu objekata dva skupa.

Tabela 1. Matrica odnosa sa dobavljačima

i isporučeni materijali (PM)

PM Pí P2 Pz P4 P5

Tabela 2. Matrica odnosa između proizvoda i materijala (IM)

IM Mí M2 Mz

Tabela 3. Matrica odnosa između kupaca i proizvoda (PI)

ZI II I2 Od Od

Koristeći sastav omjera datih matricama PM, MI i ZI, nije teško sastaviti matricu omjera PP. PZ matrica (tabela 4) prikazuje veze koje je uspostavilo preduzeće između dobavljača P i kupaca Z^ Tako se, na primer, interakcija kupca Z3 sa preduzećem odvija na proizvodu I3, za koji su potrebni materijali M! i M3 napajaju Pn P3 i P5.

Tabela 4. Matrica odnosa između dobavljača-

Detaljno planiranje tehnoloških procesa (proizvodnih linija) uz pomoć matrica odnosa pojednostavljuje određivanje dodane vrednosti za kupca, profita preduzeća i njegovih gubitaka.

3. Izgradnja sistema upravljanja kvalitetom preduzeća povezana je sa alokacijom mreže procesa. Distribucija procesa po poslovnim jedinicama, implementacija zahtjeva standarda, na primjer, ISO 9001-2000, može se izvršiti pomoću matrica. Recimo, istaknuti su procesi: ugovaranje, upravljanje QMS dokumentacijom, interna revizija, nabavka, proizvodnja, praćenje zadovoljstva kupaca, a kompanija ima divizije: odjel marketinga, odjel nabave, odjel glavnog projektanta, odjeljenje glavnog tehnologa, proizvodnja, odjeljenje za garancijsku podršku. Na osnovu rezultata razgovora sa predstavnicima odeljenja može se sastaviti PP matrica (Tabela 5). S druge strane, namjenski procesi bi trebali pokrivati ​​zahtjeve standarda, kao što je ISO 9001-2000. Povezivanje procesa sa ISO 9001-2000 rezultira TP matricom (tabela 6).

Koristeći kompoziciju relacija, dobijamo ISO matricu (tabela 7).

mi i kupci (PP)

PZ Zí 32 Zz 34 35

Tabela 5. Matrica veza između procesa i odjela (SP)

PP matrica Odeljenje marketinga Odeljenje nabavke Odeljenje glavnog projektanta Odeljenje glavnog tehnologa Odeljenje za podršku u proizvodnji i garanciji

Ugovaranje X X

Interna revizija X

Nabavka X

Proizvodnja X

Tabela 6. Odnos procesa prema ISO 9001-2000

TP matrica Sistemi upravljanja kvalitetom Odgovornost upravljanja Upravljanje resursima Procesi životnog ciklusa proizvoda Mjerenje, analiza i poboljšanje

Ugovaranje X

Upravljanje dokumentacijom QMS X X

Interna revizija X X

Nabavka X

Proizvodnja X X X

Praćenje zadovoljstva kupaca X

ISO Matrix Marketing Department Odeljenje nabavke Pogl. dizajnerski odjel pogl. tehnolog Odjel za podršku proizvodnim garancijama

Sistemi upravljanja kvalitetom X X

Odgovornost menadžmenta X X X

Upravljanje resursima X

Procesi životnog ciklusa proizvoda X X X

Mjerenje, analiza i poboljšanje X X

Očigledno, sa ovakvom raspodjelom ISO zahtjeva, nedosljednosti se mogu očekivati ​​u dijelu 5 „Odgovornost menadžmenta“, budući da je politika kvaliteta odgovornost najvišeg menadžmenta.

4. Proširivanje svakog elementa matrice odnosa, na primjer, "Odgovornost menadžmenta - Odjel za marketing" može biti korištenjem matrice prioriteta koja leži u osnovi metode analize hijerarhije. Zahtevi serije ISO 9000-2000 utvrđuju obim i dubinu regulatorne i tehničke dokumentacije neophodne za funkcionisanje QMS-a preduzeća. Jedan od obaveznih dokumenata QMS-a preduzeća je politika i ciljevi u oblasti kvaliteta. Ciljevi preduzeća su formulisani u različitim oblastima: finansije, tržište, konkurencija

(benchmarking), zadovoljstvo kupaca, poboljšanje performansi proizvoda i procesa. Ciljeve cijele organizacije treba projektovati (rasporediti, dekomponovati) u njene odjele, tako da osoblje bude svjesno svoje uključenosti i odgovornosti za postizanje određenog cilja cijele organizacije.

Planiranje, odabir ciljeva, optimizacija ponašanja u konkurentskom okruženju uvijek zahtijevaju odluku u određenoj fazi. Postalo je praktično očigledno da su društveni procesi, posebno procesi upravljanja, slabo formalizovani u klasičnom okviru.

teme. U ovom slučaju, metoda analize hijerarhija može biti prilično efikasna.

Metoda analize hijerarhija zasniva se na tzv. matrici prioriteta. Pretpostavimo da je zadatak uporediti faktore koji utječu na odabrani objekt. Po pravilu, broj faktora koji utiču na to je prilično velik, tačne zavisnosti su nepoznate i praktično je nemoguće izvršiti matematičku formalizaciju problema. Veštak takođe ima poteškoća u proceni uticaja faktora na objekat. Začudo, problem se lakše rješava ako se izvrši parno poređenje utjecaja faktora na objekt. (Suština je da je teško odgovoriti na pitanje koliko je A težak, mnogo je lakše odlučiti šta je teže: A ili B)

Za analitičko planiranje razvoja preduzeća potrebno je opisati početno stanje (pozicija „kao što jeste“), ciljno stanje (ciljevi) i način povezivanja ovih stanja. U nastavku je dat primjer primjene metode analize hijerarhije, kao objekt, odabran je cilj iz politike kvaliteta „Održivi rast profita preduzeća“ i istaknuti neki faktori koji utiču na cilj (Tabela 8).

Specijalisti – stručnjaci preduzeća sastavili su matrice prioriteta prema odabranim kriterijumima (primer je dat u tabeli 9).

Logistika menadžmenta

planiranje, nabavka,

Investicije, odnosi sa dobavljačima,

Oglašavanje, kontrola ulaza,

Prodajne cijene, kontrola resursa.

Marketinška strategija. Kadrovi i razvoj

kvalifikacija za proizvodnju,

Poštivanje rokova, obuka osoblja,

Tehnologija, motivacija osoblja,

Kvalitet, kreativnost,

Organizacija proizvodnje, kontrola troškova. planiranje novih razvoja

Tabela 9. Primjer matrice "Proizvodnja"

Proizvodnja Usklađenost sa rokovima isporuke proizvoda Tehnologija Kvalitet Organizacija proizvodnje Kontrola troškova

Usklađenost sa rokovima isporuke proizvoda 1 5 1 3 3

Tehnologija 1/5 1 3 1 3

Kvalitet 1 1/3 1 3 1

Organizacija proizvodnje 1/3 1 1/3 1 1

Kontrola troškova 1/3 1/3 1 1 1

Skala odnosa i popunjavanje tabela 1 - ekvivalencija faktora, 3 - dominacija jednog faktora nad drugim faktorom,

5 - jaka dominacija jednog faktora nad drugim faktorom, 2,4 - moguće međuvrijednosti.

Matematička obrada matrica sastojala se u pronalaženju vektora prioriteta kao svojstvenog vektora koji odgovara maksimalnoj svojstvenoj vrijednosti. Kao primjer, ispod su rezultati obrade procjena eksperta N (tabela 10). Kolone označavaju komponente vektora prioriteta po razni faktori, na primjer, prema kriteriju "Menadžment"

Prioritet je dat investicijama.

Na sl. 1. Dati su rezultati izračunavanja prioriteta eksperata prema gore navedenim kriterijumima. Ostvarenje cilja povezano je sa ulaganjem, kvalitetom,

planiranje novih razvoja i kontrolu resursa.

Tabela 10. Rezultati obrade procjena stručnjaka N

Cilj - Održiv rast profita kompanije

Menadžment Proizvodnja Mat - tehničko snabdevanje Kadrovi i razvoj

0,1084 0,3268 0,3072 0,1625

0,4198 0,1280 0,2059 0,0773

0,1084 0,2829 0,1552 0,1007

0,2356 0,1002 0,3316 0,2080

0,1279 0,1621 0,4516

Menadžment

Proizvodnja

S&I^TO o i_CO

Kadrovi i razvoj

Rice. 1. Rezultati izračunavanja prioriteta eksperata

Poznavanje distribucije prioriteta prema odabranim kriterijumima omogućava najvišem menadžmentu preduzeća da vodi razumnu politiku za postizanje cilja.

Bibliografija

1. Gludkin O.P., Gorbunov NM., Gurov A.I., Zorin Yu.V. Totalno upravljanje kvalitetom. - M.: Radio i komunikacija, 1999.

2. Kuzin B., Yuriev V., Shakhdinarov G. Metode i modeli upravljanja firmom. - Sankt Peterburg: Petar, 2001.

3. Faure R., Kofman A., Denis-Papin M. Moderna matematika. - M.: Mir, 1966.

4. Saati T. Donošenje odluka. Metoda analize hijerarhije. / per. sa engleskog. - M.: Radio i komunikacija, 1993.

MATRIČNA ANALIZA U IZVRŠNOM SISTEMU PREDUZEĆA

© 2006 A.V. Volgin1, G.E. Belachewskij2

\cSamara - Aviagas»

Samara State Aerospace University

U radu se analiziraju različiti načini primjene matrica u poslovanju. Relacija (veza) između elemenata dva i više skupova može se prikazati u matričnom obliku. Kompozicija relacija omogućava da se pojednostavi analiza veza između elemenata skupova. Rezultat je primjer upotrebe matrica prioriteta u kontrolnom sistemu preduzeća.

Matrična analiza ili matrična metoda je postala široko rasprostranjena u uporednom vrednovanju različitih ekonomskih sistema (preduzeća, pojedinačne podjele preduzeća, itd.). Matrična metoda vam omogućava da odredite integralnu procjenu svakog preduzeća za nekoliko indikatora. Ova procjena se naziva rejtingom preduzeća. Razmotrite primjenu matrične metode u fazama koristeći poseban primjer.

1. Izbor indikatora evaluacije i formiranje matrice početnih podataka a ij, odnosno tabele, gde su brojevi sistema (preduzeća) prikazani u redovima, a brojevi indikatora (i = 1,2 ... .n) - sistemi su prikazani u kolonama; (j=1,2…..n) - indikatori. Odabrani indikatori treba da imaju isti fokus (što više, to bolje).

2. Sastavljanje matrice standardiziranih koeficijenata. U svakoj koloni se određuje maksimalni element, a zatim se svi elementi ove kolone dijele sa maksimalnim elementom. Na osnovu rezultata proračuna kreira se matrica standardizovanih koeficijenata.

Odabiremo maksimalni element u svakoj koloni.

metoda naučno istraživanje svojstva objekata zasnovana na korištenju pravila teorije matrica, koja određuju vrijednost elemenata modela, odražavajući odnos ekonomskih objekata. Koristi se u slučajevima kada je glavni predmet proučavanja bilansni odnos troškova i rezultata proizvodno-ekonomskih aktivnosti i standardi troškova i rezultata.

• - pseudomost, matrični most

  Molekularna biologija i genetika. Rječnik

• - Engleski. matrična analiza; njemački Matrixanalysis. U sociologiji - metoda proučavanja svojstava društvenog. objekti zasnovani na korišćenju pravila teorije matrica...

  Enciklopedija sociologije

• - u štamparskoj industriji - presa za utiskivanje stereotipnih matrica ili nemetala. stereotipi su obično hidraulični...

  Veliki enciklopedijski politehnički rječnik

• - Uređaj koji se koristi za presovanje kartonskih ili vinil plastičnih matrica, kao i plastičnih stereotipa...

  Kratak eksplanatorni rečnik poligrafije

• - Vidi: matrični štampač...

  Pojmovnik poslovnih pojmova

• - metoda naučnog proučavanja svojstava objekata zasnovana na upotrebi pravila teorije matrica, koja određuju vrijednost elemenata modela, odražavajući odnos ekonomskih objekata...

  Veliki ekonomski rječnik

• - u ekonomiji, metoda naučnog proučavanja svojstava objekata zasnovana na upotrebi pravila teorije matrica, koja određuju vrijednost elemenata modela, odražavajući odnos ekonomskih objekata...

  Velika sovjetska enciklopedija

• - metoda za proučavanje odnosa između ekonomskih objekata sa njihovim matričnim modeliranjem...

  Veliki enciklopedijski rečnik

• - ...

  Pravopisni rečnik ruskog jezika

• - MATRI-A, -s, f. ...

  Objašnjavajući Ožegovov rječnik

• - MATRICA, matrica, matrica. adj. na matricu. Matrix karton...

  Objašnjavajući Ušakovljev rječnik

• - matrica I prid. rel. sa imenicom. matrica I povezana s njom II prid. 1. odnos sa imenicom. matrica II, povezana s njom 2. Omogućava štampanje pomoću matrice. III adj. omjer...

  Objašnjavajući rečnik Efremove

• - m "...

  ruski pravopisni rječnik

• - ...

  Forme riječi

• - pril., broj sinonima: 1 matrica-vektor ...

  Rečnik sinonima

• - prid., broj sinonima: 1 četiri ...

  Rečnik sinonima

"MATRICA ANALIZE" u knjigama

T.N. Panchenko. Strawson i Wittgenstein. Analiza kao otkrivanje formalne strukture neformalnog jezika i analiza kao terapija

Iz knjige Filozofske ideje Ludwiga Wittgensteina autor Gryaznov Aleksandar Feodosijevič

T.N. Panchenko. Strawson i Wittgenstein. Analiza kao otkrivanje formalne strukture neformalnog jezika i analiza kao terapija *** Ludwig Wittgenstein i Peter Strawson na neki način određuju granice filozofije analize, njen početak i kraj. Jedan od njih pripada

§ 34. Temeljni razvoj fenomenološke metode. Transcendentalna analiza kao eidetička analiza

Iz knjige Kartezijanske refleksije autor Husserl Edmund

§ 34. Temeljni razvoj fenomenološke metode. Transcendentalna analiza kao eidetička analiza važna tačka, problemi fenomenološke geneze i, dakle,

2.6. Biosinteza proteina i nukleinskih kiselina. Matrična priroda biosintetskih reakcija. Genetske informacije u ćeliji. Geni, genetski kod i njegova svojstva

Iz knjige Biologija [ Kompletna referenca pripremiti se za ispit] autor Lerner Georgij Isaakovič

2.6. biosinteza proteina i nukleinske kiseline. Matrična priroda biosintetskih reakcija. Genetske informacije u ćeliji. Geni, genetski kod i njegova svojstva Pojmovi i pojmovi ispitani u ispitnom radu: antikodon, biosinteza, gen, genetske informacije,

Matrična analiza

Iz knjige Velika sovjetska enciklopedija (MA) autora TSB

2.4. ANALIZA ZAHTJEVA ZA SISTEM (ANALIZA SISTEMA) I FORMULACIJA CILJEVA

Iz knjige Tehnologije programiranja autor Kamaev V A

2.4. ANALIZA ZAHTJEVA PREMA SISTEMU (ANALIZA SISTEMA) I FORMULACIJA CILJEVA Zadatak optimizacije razvoja programa je postizanje ciljeva uz najmanju moguću potrošnju resursa.

Matrično mjerenje

Iz knjige Digitalna fotografija od A do Ž autor Gazarov Artur Jurijevič

Matrično mjerenje Matrično mjerenje (Pattern Evaluative, E) se također naziva višezonsko, višezonsko, multi-segmentno, evaluativno. U automatskom načinu rada, kamera postavlja standardno matrično mjerenje koje se koristi češće od ostalih. Ovo je najinteligentnije mjerenje

Pitanje 47 Činjenično-pravna osnova. Analiza dokaza.

Iz knjige Autorski advokatski ispit

Pitanje 47 Činjenično-pravna osnova. Analiza dokaza. Pošteno, razumno i savjesno pružanje pravne pomoći u bilo kojem obliku, bilo da se radi o savjetovanju, izradi raznih dokumenata, zastupanju interesa ili odbrani

9. Nauka u službi toksikologije. Spektralna analiza. Kristali i tačke topljenja. Analiza strukture rendgenskim snimkom. hromatografija

Iz knjige Sto godina forenzike autor Thorvald Jürgen

9. Nauka u službi toksikologije. Spektralna analiza. Kristali i tačke topljenja. Analiza strukture rendgenskim snimkom. Kromatografija U međuvremenu, događaji koji su se odigrali u procesu protiv Buchanana postali su poznati širom svijeta. Uz svo nepoštovanje američke nauke tih godina, ove

12.9. Metoda razvoja matričnog rješenja

Iz knjige Sistematsko rješavanje problema autor Lapygin Jurij Nikolajevič

12.9. Matrična metoda razvoja odluka Donošenje odluka na osnovu matrične metode svodi se na donošenje izbora, vodeći računa o interesima svih zainteresovanih strana. Šematski, proces odlučivanja u ovom slučaju izgleda kao što je prikazano na Sl. 12.7. Kao što vidimo, postoji

4. Istraživanje i analiza tržišta (analiza poslovnog okruženja organizacije)

Iz knjige Poslovno planiranje: bilješke s predavanja autor Beketova Olga

4. Istraživanje i analiza tržišta (analiza poslovnog okruženja organizacije) Istraživanje i analiza tržišta prodaje je jedna od najvažnijih faza u pripremi biznis planova, koji treba da odgovori na pitanja ko, zašto i u čemu količine kupuje ili će kupiti proizvode

5.1. Analiza eksternog i internog okruženja organizacije, SWOT analiza

autor Lapygin Jurij Nikolajevič

5.1. Analiza eksternih i unutrašnje okruženje organizacije, SWOT analiza Eksterno okruženje i adaptacija sistema Organizacije su, kao i svaki sistem, izolovane od spoljašnjeg okruženja, a istovremeno su povezane sa spoljnim okruženjem na način da dobijaju resurse koji su im potrebni iz spoljašnjeg okruženja i

8.11. Matrična metoda RUR

Iz knjige Upravljačke odluke autor Lapygin Jurij Nikolajevič

8.11. Matrična metoda RSD Donošenje odluka na osnovu matrične metode svodi se na donošenje izbora, uzimajući u obzir interese svih zainteresovanih strana. Šematski, RUR proces u ovom slučaju izgleda kao što je prikazano na Sl. 8.13. Rice. 8.13. RUR model matričnom metodom

4. Analiza snaga i slabosti projekta, njegovih perspektiva i prijetnji (SWOT analiza)

autor Filonenko Igor

4. Analiza snaga i slabosti projekta, njegovih perspektiva i prijetnji (SWOT-analiza) Prilikom procjene izvodljivosti pokretanja novog projekta igra ulogu kombinacija faktora, a nije uvijek finansijski rezultat od najveće važnosti. Na primjer, za izložbenu kompaniju

5. Politička, ekonomska, društvena i tehnološka analiza (PEST-analiza)

Iz knjige Menadžment izložbe: strategije upravljanja i marketinške komunikacije autor Filonenko Igor

5. Politička, ekonomska, socijalna i tehnološka analiza (PEST analiza)

11.3. Metoda razvoja matrične strategije

Iz knjige Strateški menadžment: tutorial autor Lapygin Jurij Nikolajevič

11.3. Matrična metoda za razvoj strategija Razvoj vizije organizacije Različita stanja eksternog i unutrašnjeg okruženja organizacija objašnjavaju raznolikost samih organizacija i njihovo stvarno stanje Multifaktorska priroda parametara koji određuju poziciju svake organizacije

Kurs predavanja iz discipline

"Matrična analiza"

za studente 2. godine

Matematički fakultet specijalnost

"Ekonomska kibernetika"

(predavač Dmitruk Marija Aleksandrovna)

Poglavlje 3. Matrične funkcije.

1. Definicija funkcije.

Df. Neka funkcija bude skalarni argument. Potrebno je definisati šta se podrazumeva pod f(A), tj. moramo proširiti funkciju f(x) na matričnu vrijednost argumenta.

Rješenje ovog problema je poznato kada je f(x) polinom: , tada.

Definicija f(A) u općem slučaju.

Neka je m(x) minimalni polinom A i ima kanonsku dekompoziciju takvu da svojstvene vrijednosti A. Neka polinomi g(x) i h(x) imaju iste vrijednosti.

Neka je g(A)=h(A) (1), tada je polinom d(x)=g(x)-h(x) anihilirajući polinom za A, pošto je d(A)=0, dakle d(x) ) je djeljiv linearnim polinomom, tj. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Zatim, tj. (3), .

Dogovorimo se da nazovemo m brojeva za f(x) takvih vrijednosti funkcije f(x) na spektru matrice A, a skup ovih vrijednosti će biti označen.

Ako je skup f(Sp A) definiran za f(x), tada je funkcija definirana na spektru matrice A.

Iz (3) slijedi da polinomi h(x) i g(x) imaju iste vrijednosti na spektru matrice A.

Naše rezonovanje je reverzibilno, tj. iz (3) (3) (1). Dakle, ako je data matrica A, tada je vrijednost polinoma f(x) u potpunosti određena vrijednostima ovog polinoma na spektru matrice A, tj. svi polinomi gi(x) koji imaju iste vrijednosti na spektru matrice imaju iste vrijednosti matrice gi(A). Zahtevamo da se definicija vrednosti f(A) u opštem slučaju pridržava istog principa.

Vrijednosti funkcije f(x) na spektru matrice A moraju u potpunosti odrediti f(A), tj. funkcije koje imaju iste vrijednosti na spektru moraju imati istu vrijednost matrice f(A). Očigledno, za određivanje f(A) u općem slučaju, dovoljno je pronaći polinom g(x) koji bi na spektru A poprimio iste vrijednosti kao funkcija f(A)=g(A).

Df. Ako je f(x) definiran na spektru matrice A, tada je f(A)=g(A), gdje je g(A) polinom koji na spektru uzima iste vrijednosti kao i f(A),

Df. Vrijednost funkcije iz matrice A vrijednost polinoma u ovoj matrici nazivamo at.

Među polinomima iz S[x], uzimajući iste vrijednosti na spektru matrice A, kao f(x), stepena ne većeg od (m-1), uzimajući iste vrijednosti na spektru A , jer je f(x) ostatak podjele bilo kojeg polinoma g(x) koji ima iste vrijednosti na spektru matrice A kao f(x) minimalnim polinomom m(x)=g(x) =m(x)*g(x)+r(x).

Ovaj polinom r(x) naziva se Lagrange-Sylvester interpolacijski polinom za funkciju f(x) na spektru matrice A.

Komentar. Ako minimalni polinom m(x) matrice A nema višestruke korijene, tj. , zatim vrijednost funkcije na spektru.

primjer:

Naći r(x) za proizvoljno f(x) ako je matrica

. Konstruirajmo f(H1 ). Pronađite minimalni polinom H1 posljednji invarijantni faktor:

, dn-1=x2 ; dn-1=1;

mx=fn(x)=dn(x)/dn-1(x)=xn 0 nvišestruki korijen m(x), tj. n-struke vlastite vrijednosti H1 .

, r(0)=f(0), r(0)=f(0),…,r(n-1)(0)=f(n-1)(0) .

1. Svojstva funkcija iz matrica.

Nekretnina #1. Ako matrica ima svojstvene vrijednosti (među njima mogu biti višekratnici), a, tada su vlastite vrijednosti matrice f(A) vlastite vrijednosti polinoma f(x): .

dokaz:

Neka karakteristični polinom matrice A ima oblik:

Hajde da prebrojimo. Pređimo sa jednakosti na determinante:

Napravimo promjenu u jednakosti:

Jednakost (*) vrijedi za bilo koji skup f(x), pa polinom f(x) zamijenimo sa, dobićemo:

Na lijevoj strani smo dobili karakterističan polinom za matricu f(A), proširen s desne strane u linearni faktori, odakle slijedi da su svojstvene vrijednosti matrice f(A).

CHTD.

Nekretnina #2. Neka su matrica i svojstvene vrijednosti matrice A, f(x) proizvoljna funkcija definirana na spektru matrice A, tada su vlastite vrijednosti matrice f(A) jednake.

dokaz:

Jer funkcija f(x) je definirana na spektru matrice A, tada postoji interpolacijski polinom matrice r(x) takav da, a zatim f(A)=r(A), i matrica r(A) ima svojstvene vrijednosti prema svojstvu br. 1 koje su respektivno jednake.

CHTD.

Nekretnina #3 Ako su A i B slične matrice, tj. , a f(x) je proizvoljna funkcija definirana na spektru matrice A, tada

dokaz:

Jer A i B su slični, tada su njihovi karakteristični polinomi isti i njihove vlastite vrijednosti, dakle, vrijednost f(x) na spektru matrice A poklapa se sa vrijednošću funkcije f(x) na spektru matrice B, i postoji interpolacijski polinom r(x) takav da je f(A)=r(A), .

CHTD.

Nekretnina broj 4. Ako je A blok dijagonalna matrica, onda

Posljedica: Ako je, onda, gdje je f(x) funkcija definirana na spektru matrice A.

1. Lagrange-Sylvester interpolacijski polinom.

Slučaj broj 1.

Neka se da. Razmotrimo prvi slučaj: karakteristični polinom ima tačno n korijena, među kojima nema višekratnika, tj. sve vlastite vrijednosti matrice A su različite, tj. , Sp A je jednostavan. U ovom slučaju konstruišemo osnovne polinome lk(x):

Neka je f(x) funkcija definirana na spektru matrice A i neka su vrijednosti ove funkcije na spektru. Moramo graditi.

Izgradimo:

Zapazimo to.

Primjer: Konstruirajte Lagrange-Sylvester interpolacijski polinom za matricu.

Konstruirajmo osnovne polinome:

Tada za funkciju f(x) definiranu na spektru matrice A dobivamo:

Uzmimo, zatim interpolacijski polinom

Slučaj broj 2.

Karakteristični polinom matrice A ima višestruke korijene, ali minimalni polinom ove matrice je djelitelj karakterističnog polinoma i ima samo jednostavne korijene, tj. . U ovom slučaju, interpolacijski polinom se konstruiše na isti način kao u prethodnom slučaju.

Slučaj broj 3.

Hajde da razmotrimo opšti slučaj. Neka minimalni polinom ima oblik:

gdje je m1+m2+…+ms=m, deg r(x)

Sastavimo frakciono-racionalnu funkciju:

i rastaviti ga na jednostavne razlomke.

Označimo: . Pomnožite (*) sa i dobijete

gdje je neka funkcija koja ne ide u beskonačnost u.

Ako stavimo (**), dobijamo:

Da bi se pronašao ak3 treba (**) diferencirati dva puta, i tako dalje. Dakle, koeficijent aki je jednoznačno određen.

Nakon pronalaženja svih koeficijenata, vraćamo se na (*), pomnožimo sa m(x) i dobijemo interpolacijski polinom r(x), tj.

Primjer: Pronađite f(A) ako, gdje je tneki parametar,

Provjerimo da li je funkcija definirana na spektru matrice A

Pomnoži (*) sa (x-3)

na x=3

Pomnoži (*) sa (x-5)

Na ovaj način,je interpolacijski polinom.

Primjer 2

Ako a, onda to dokažite

Nađimo minimalni polinom matrice A:

je karakteristični polinom.

d2 (x)=1, tada minimalni polinom

Uzmimo u obzir f(x)=sin x na matričnom spektru:

funkcija je definirana na spektru.

Pomnožite (*) sa

.

Pomnožite (*) sa:

Izračunajte uzimajući izvod (**):

. Pretpostavljam,

, tj..

dakle,,

Primjer 3

Neka je f(x) definiran na spektru matrice čiji minimalni polinom ima oblik. Pronađite interpolacijski polinom r(x) za funkciju f(x).

Rješenje: Uslovom f(x) definiran je na spektru matrice A f(1), f(1), f(2), f(2), f(2) definisano.

Koristimo metodu neodređenih koeficijenata:

Ako je f(x)=log x

f(1)=0f(1)=1

f(2)=log 2f(2)=0.5 f(2)=-0.25

4. Jednostavne matrice.

Neka je matrica, pošto je C algebarski zatvoreno polje, onda je x