Конкурс молодых педагогических работников
Брянской области
«Педагогический дебют – 2014»
2014-2015 учебный год
Урок закрепления по математике в 6 классе
по теме «НОД. Взаимно простые числа»
Место выполнения работы: МБОУ «Глинищевская СОШ» Брянского района
Цели:
Образовательные:
- Закрепить и систематизировать изученный материал;
- Отработать навыки разложения чисел на простые множители и нахождения НОД;
- Проверить знания учащихся и выявить пробелы;
Развивающие:
- Способствовать развитию логического мышления учащихся, речи и навыков мыслительных операций;
- Способствовать формированию умения подмечать закономерности;
- Способствовать повышению уровня математической культуры;
Воспитательные:
- Способствовать формированию интереса к математике; умения высказывать свои мысли, слушать других, отстаивать свою точку зрения;
- воспитание самостоятельности, сосредоточенности, концентрации внимания;
- прививать навыки аккуратности ведении тетради.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Методы обучения : объяснительно-иллюстративный, самостоятельная работа.
Оборудование: компьютер, экран, презентация, раздаточный материал.
Ход урока:
- Организационный момент .
«Прозвенел звонок и смолк – Начинается урок.
Вы за парты тихо сели, на меня все посмотрели.
Пожелайте друг другу успехов глазами.
И вперед за новыми знаниями».
Друзья, на столах вы видите «Оценочный лист», т.е. помимо моего оценивания, вы сами себя будете оценивать, выполнив каждое задание.
Оценочный лист
Ребята, какую тему вы изучали на протяжении нескольких уроков? (Учились находить наибольший общий делитель).
А как вы считаете, чем мы с вами займемся сегодня? Сформулируйте тему нашего урока. (Сегодня мы продолжим работу с наибольшим общим делителем. Тема нашего урока: “Наибольший общий делитель”. На этом уроке мы будем находить наибольший общий делитель нескольких чисел, и решать задачи, используя знания о нахождении наибольшего общего делителя.).
Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока: “Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа”.
- Актуализация знаний
Несколько теоретических вопросов
Верно ли высказывания. «да» - __; «нет» - /\. Слайд 3-4
- Простое число имеет ровно два делителя; (верно)
- 1 является простым числом; (не верно)
- Наименьшее двузначное простое число – это 11; (верно)
- Наибольшее двузначное составное число – это 99; (верно)
- Числа 8 и 10 взаимно простые (не верно)
- Некоторые составные числа нельзя разложить на простые множители; (не верно).
Ключ: _ /\ _ _/\ /\.
Оценили свою устную работу в оценочном листе.
- Систематизация знаний
Сегодня на нашем уроке будет присутствовать немного волшебства.
А где встречается волшебство? (в сказке)
Догадайтесь по рисунку, в какую сказку мы попадем. (Слайд 5 ) Сказка Гуси- лебеди. Абсолютно верно. Молодцы. А теперь давайте все вместе попытаемся вспомнить содержание этой сказки. По цепочки очень кратко.
Жили мужик да баба. У них была дочка да маленький сынок. Отец с матерью ушли на работу и попросили дочку присмотреть за братцем.
Посадила братца на травку под окошко, а сама побежала на улицу, заигралась, загулялась. Когда девочка вернулась, братца уже не было. Она начала его искать, она кричала, звала его, но никто не откликнулся. Выбежала она в чистое поле и только увидела: метнулись вдалеке гуси- лебеди и пропали за темным лесом. Тут девочка и поняла, что они унесли ее братца. Она уже давно знала, что гуси- лебеди уносили маленьких детей.
Бросилась она за ними. По дороге она встретила печку, яблоню, речку. Но речка у нас не молочная в кисельных берегах, а обычная, в которой очень- очень много рыбы. Ни один из них не подсказал, куда полетели гуси, т. к она сама не стала выполнять их просьбы.
Долго девочка бегала по полям, по лесам. День уже клонится к вечеру, вдруг она видит - стоит избушка на курей ножке, с одним окошком, кругом себя поворачивается. В избушке старая Баба-Яга прядет кудель. А на лавочке у окошка сидит её братец. Девочка не сказала, что пришла за братцем, а солгала, сказав, что заблудилось. Если бы не маленькая мышка, которую она покормила кашкой, то её Баба-Яга зажарила бы в печке и съела. Девочка скорее схватила братца и побежала домой. Гуси – лебеди их заметили и полетели вдогонку. А доберутся ли они благополучно домой – все теперь зависит от нас, ребята. Продолжим рассказ.
Бегут они, бегут и добежали до речки. Попросили они помочь речку.
Но речка поможет им спрятаться лишь в том случае, если вы, ребята, «выловите» все рыбки.
Сейчас вы поработаете в парах. Каждой паре я раздаю конверт – сеть, в которой запутались по три рыбки. Ваша задача, достать всех рыбок, записываем №1 и решаем
Задания на рыбках. Докажите, что числа взаимно простые
1) 40 и 15 2) 45 и 49 3) 16 и 21
Взаимопроверка. Обратите внимание на критерии оценивания. Слайд 6-7
Обобщение: Как доказать, что числа взаимно простые?
Поставили оценку.
Молодцы. Помогли девочке с мальчиком. Укрыла их речка под своим бережком. Гуси-лебеди пролетели мимо.
В знак благодарности Мальчик проведет для вас физ.минутку (видео) Слайд 9
В каком случае яблоня их спрячет?
Если девочка попробует её лесного яблочка.
Верно. Давайте все вместе будем «есть» лесные яблоки. А яблоки на ней не простые, с заданиями необычными, называется ЛОТО. Яблоки большие «едим» одно на группу, т.е. работаем в группах. Найдите НОД в каждой клеточки на маленьких карточках ответ. Когда все клеточки закроются, переверните карточки и должна получится картинка.
Задания на лесных яблочках
Найдите НОД:
1 группа | 2 группа | ||
НОД(48,84)= | НОД (60,48)= | НОД(60,80)= | НОД (80,64)= |
НОД (12,15)= | НОД(15,20)= | НОД (50,30)= | НОД (12,16)= |
3 группа | 4 группа | ||
НОД (123,72)= | НОД(120,96)= | НОД(90,72)= | НОД(15;100)= |
НОД(45,30)= | НОД (15,9)= | НОД(14,42)= | НОД (34,51)= |
Проверка: прохожу по рядам проверяю картинку
Обобщение: Что нужно сделать, чтобы найти НОД?
Молодцы. Яблоня их заслонила ветвями, прикрыла листьями. Гуси – лебеди потеряли их и полетели дальше. А дальше?
Они снова побежали. Недалеко уже оставалось, тут гуси их увидели, начали крыльями бить, хотят братца из рук вырвать. Добежали они до печки. Печка спрячет их, если девочка попробует ржаного пирожка.
Давайте, поможем девочке. Задание по вариантам, тест
ТЕСТ
Тема
Вариант 1
- Какие из чисел являются общими делителями чисел 24 и 16?
1) 4, 8; 2) 6, 2, 4;
3) 2, 4, 8; 4) 8, 6.
- Является ли число 9 наибольшим общим делителем чисел 27 и 36?
- да; 2) нет.
- Даны числа 128, 64 и 32. Какое из них является наибольшим делителем всех трех чисел?
1) 128; 2) 64; 3) 32.
- Являются ли числа 7 и 418 взаимно простыми?
1) да; 2) нет.
1) 5 и 25;
2) 64 и 2;
3) 12 и 10;
4) 100 и 9.
ТЕСТ
Тема : НОД. Взаимно простые числа.
Вариант 1
- Какие из чисел являются общими делителями чисел 18 и 12?
1) 9, 6, 3; 2) 2, 3, 4, 6;
3) 2, 3; 4) 2, 3, 6.
- Является ли число 4 наибольшим общим делителем чисел 16 и 32?
- да; 2) нет.
- Даны числа 300, 150 и 600. Какое из них является наибольшим делителем всех трех чисел?
1) 600; 2) 150; 3) 300.
- Являются ли числа 31 и 44 взаимно простыми?
1) да; 2) нет.
- Какие из чисел являются взаимно простыми?
1) 9 и 18;
2) 105 и 65;
3) 44 и 45;
4) 6 и 16.
Проверка. Самопроверка со слайда. Критерии оценивания.
Слайд 10-11
Молодцы. Пирожки съели. Девочка с братцем сели в устьице и спрятались. Гуси-лебеди полетели-полетели, покричали-покричали и ни с чем улетели к Бабе-Яге.
Девочка поблагодарила печку и побежала домой.
Скоро и отец с матерью пришли с работы.
Итог урока. Пока мы помогали девочке с мальчиком, какие темы мы повторили? (Нахождение НОД двух чисел, взаимно простые числа.)
Как найти НОД нескольких натуральных чисел?
Как доказать что числа взаимно простые?
В течение урока за каждое задания я выставляла вам оценки и вы оценивали себя. Сравнив их, будет выставлен средний балл за урок.
Рефлексия .
Дорогие друзья! Подводя итоги урока, мне бы хотелось услышать ваше мнение об уроке.
- Что интересного и поучительного было на уроке?
- Можно ли мне быть уверенным, что с задачами такого типа вы справитесь?
- Какие из задач оказались наиболее трудными?
- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?
- Какие проблемы породил этот урок?
- Как вы оцениваете роль учителя? Помог ли он вам овладеть умениями и знаниями для решения задач такого типа?
На дерево приклеить яблоки. Кто справился со всеми заданиями, и было все понятно – приклейте красное яблоко. У кого был вопрос – зеленое, кому было не понятно – желтое. Слайд 12
Верно ли утверждение? Наименьшее двузначное простое число – это 11
Верно ли утверждение? Наибольшее двузначное составное число – это 99
Верно ли утверждение? Числа 8 и 10 взаимно простые
Верно ли утверждение? Некоторые составные числа нельзя разложить на простые множители
Ключ к диктанту: _ /\ _ _ /\ /\ Критерии оценки Нет ошибок – « 5 » 1-2 ошибки – « 4 » 3 ошибки – « 3 » Больше трех – « 2 »
Докажите, что числа 16 и 21 взаимно простые 3 Докажите, что числа 40 и 15 взаимно простые Докажите, что числа 45 и 49 взаимно простые 2 1 40=2·2·2·5 15=3·5 НОД(40; 15)=5, числа не взаимно простые 45=3·3·5 49=7·7 НОД(45; 49)=, числа взаимно простые 16=2·2·2·2 21=3·7 НОД(45; 49)=1, числа взаимно простые
Критерии оценки Нет ошибок – « 5 » 1 ошибка – « 4 » 2 ошибки – « 3 » Больше двух – « 2 »
1 группа НОД(48,84)= НОД (60,48)= НОД (12,15)= НОД(15,20)= 3 группа НОД(123,72)= НОД (120,96)= НОД (45,30)= НОД(15,9)= 2 группа НОД(60,80)= НОД (80,64)= НОД (50,30)= НОД(12,16)= 4 группа НОД(90,72)= НОД (15,100)= НОД (14,42)= НОД(34,51)=
Задания от печки В1 3 2. 1 3. 3 4. 1 5. 4 В2 4 2. 2 3. 2 4. 1 5. 3
Критерии оценки Нет ошибок – « 5 » 1-2 ошибки – « 4 » 3 ошибки – « 3 » Больше трех – « 2 »
Рефлексия мне было все понятно, со всеми заданиями я справился были небольшие трудности, однако я с ними справился осталось несколько вопросов
Запомните!
Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.
Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.
Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.
Простых чисел много, и первое среди них — число 2 . Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997 .
Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.
Например:
- число 12 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 ;
- число 36 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 , на 18 , на 36 .
Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12 ) называются делителями числа.
Запомните!
Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число «a » без остатка.
Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.
Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Наибольший из делителей этих чисел — 12 .
Общий делитель двух данных чисел «a » и «b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа «a » и «b ».
Запомните!
Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел «a » и «b » — это наибольшее число, на которое оба числа «a » и «b » делятся без остатка.
Кратко наибольший общий делитель чисел «a » и «b » записывают так :
НОД (a; b) .
Пример: НОД (12; 36) = 12 .
Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».
Д (7) = {1, 7}
Д (9) = {1, 9}
НОД (7; 9) = 1
Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1 . Такие числа называют взаимно простыми числами .
Запомните!
Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1 . Их НОД равен 1 .
Как найти наибольший общий делитель
Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:
- разложить делители чисел на простые множители;
Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.
Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64 .
- Подчёркиваем одинаковые
простые множители в обоих числах.
28 = 2 · 2 · 764 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
- Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;
НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».
Простые и составные числа
Определение 1 . Общим делителем нескольких натуральных чисел называют число, которое является делителем каждого из этих чисел.
Определение 2 . Самый большой из общих делителей называют наибольшим общим делителем (НОД) .
Пример 1 . Общими делителями чисел 30 , 45 и 60 будут числа 3 , 5 , 15 . Наибольшим общим делителем этих чисел будет
НОД (30 , 45 , 10) = 15 .
Определение 3 . Если наибольший общий делитель нескольких чисел равен 1 , то эти числа называют взаимно простыми .
Пример 2 . Числа 40 и 3 будут взаимно простыми числами, а числа 56 и 21 не являются взаимно простыми, поскольку у чисел 56 и 21 есть общий делитель 7 , который больше, чем 1.
Замечание . Если числитель дроби и знаменатель дроби являются взаимно простыми числами, то такая дробь несократима .
Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя
Рассмотрим алгоритм нахождения наибольшего общего делителя нескольких чисел на следующем примере.
Пример 3 . Найти наибольший общий делитель чисел 100, 750 и 800 .
Решение . Разложим эти числа на простые множители :
Простой множитель 2 в первое разложение на множители входит в степени 2 , во второе разложение – в степени 1 , в третье разложение – в степени 5 . Обозначим наименьшую из этих степеней буквой a . Очевидно, что a = 1 .
Простой множитель 3 в первое разложение на множители входит в степени 0 (другими словами, множитель 3 в первое разложение на множители вообще не входит), во второе разложение входит в степени 1 , в третье разложение – в степени 0 . Обозначим наименьшую из этих степеней буквой b . Очевидно, что b = 0 .
Простой множитель 5 в первое разложение на множители входит в степени 2 , во второе разложение – в степени 3 , в третье разложение – в степени 2 . Обозначим наименьшую из этих степеней буквой c . Очевидно, что c = 2 .
Урок математики в 5 А классе по теме:
(по учебнику Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон)
Учитель математики: Данилова С.И.
Тема урока: Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.
Тип урока: Урок изучения нового материала.
Цель урока: Получить универсальный способ нахождения наибольшего общего делителя чисел. Научиться находить НОД чисел методом разложения на множители.
Формируемые результаты :
Предметные: составить и освоить алгоритм нахождения НОД, тренировать способность к его практическому применению.
Личностные: формировать умение контролировать процесс и результат учебной и математической деятельности.
Метапредметные: формировать умение находить НОД чисел, применять признаки делимости, строить логическое рассуждение, умозаключение и делать выводы.
Планируемые результаты:
Учащийся научится находить НОД чисел с помощью разложения чисел на простые множители.
Основные понятия: НОД чисел. Взаимно простые числа.
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.
Необходимое техническое оборудование: компьютер учителя, проектор, интерактивная доска.
Структура урока.
Организационный момент.
Устная работа. Гимнастика для ума.
Сообщение темы урока. Изучение нового материала.
Физкультминутка.
Первичное закрепление нового материала.
Самостоятельная работа.
Домашнее задание. Рефлексия деятельности.
Ход урока
Организационный момент. (1 мин.)
Задачи этапа: обеспечить обстановку для работы обучающихся класса и психологически подготовить их к общению на предстоящем уроке
Приветствие:
Здравствуйте, ребята!
Друг на друга поглядели,
И тихонечко все сели.
Прозвенел уже звонок.
Начинаем наш урок.
Устная работа. Гимнастика ума. (5 мин.)
Задачи этапа: вспомнить и закрепить алгоритмы ускоренных вычислений, повторить признаки делимости чисел.
В старину на Руси говорили, что умножение- мучение, а с делением беда.
Тот, кто умел быстро и безошибочно делить, считался великим математиком.
Давайте проверим можно ли вас назвать великими математиками.
Проведем гимнастику ума.
1) Выберите из множества
А={716, 9012, 11211, 123400, 405405, 23025, 11175}
числа, кратные 2, кратные 5, кратные 3.
2) Вычислите устно:
5 . 37 . 2 = 3. 50 . 12 . 3 . 2 =
2. 25 . 51 . 3 . 4 = 4. 8 . 125 . 7 =
Мотивация к учебной деятельности. Постановка цели и задач урока. (4 мин.)
Цель:
1) включение учащихся в учебную деятельность;
2) организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок: новые способы нахождения НОД чисел;
3) создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.
– Ребята, над какой темой вы работали на прошлых уроках? (Над разложением чисел на простые множители) Какие знания нам при этом понадобились? (Признаки делимости)
Открыли тетради, проверим домашний номер № 638.
В домашней работе вы определяли с помощью разложения на множители делится ли число а на число b и находили частное. Давайте проверим, что у вас получилось. Проверяем № 638. В каком случае а делится на b ? Если а делится нацело на b , то чем является b для а? Чем является b для а и b ? А как вы думаете, как найти НОД чисел, если одно из них не делится на другое? Какие у вас предположения?
А теперь давайте рассмотрим задачу: «Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «белочка» и 36 шоколадок «вдохновение», если надо использовать все конфеты и шоколадки?»
На доске и в тетрадях запись:
36=2*2*3*3
48=2*2*2*2*3
НОД(36,48)=2*2*3=12
Как мы можем применить разложение на множители для решения этой задачи? Что мы фактически находим? НОД чисел. Какова цель нашего урока? Научиться находить НОД чисел новым способом.
4. Сообщение темы урока. Изучение нового материала. (3.5 мин.)
Запишите число и тему урока: «Наибольший общий делитель».
(наибольший общий делитель – это наибольшее число, на которое делится каждое из данных натуральных чисел). Все натуральные числа имеют хотя бы один общий делитель – число 1.
Однако многие числа имеют несколько общих делителей. Универсальным способом поиска НОД является разложение данных чисел на простые множители.
Запишем алгоритм нахождения НОД нескольких чисел.
Разложить данные числа на простые множители.
Найти одинаковые множители и подчеркнуть их.
Найти произведение общих множителей.
Физкультминутка (встали из-за парт)- флэш ролик. (1.5 мин.)
(Запасной вариант:
Вверх мы дружно потянулись,
И друг другу улыбнулись.
Раз – хлопок и два – хлопок.
Ногой левой – топ, и правой - топ.
Покачали головой –
Разминаем шею.
Топ ногой, теперь – другой
Вместе все успеем.)
Первичное закрепление нового материала. (15 мин.)
Реализация построенного проекта
Цель:
1) организовать реализацию построенного проекта в соответствии с планом;
2) организовать фиксацию нового способа действия в речи;
3) организовать фиксацию нового способа действия в знаках (с помощью эталона);
4) организовать фиксацию преодоления затруднения;
5) организовать уточнение общего характера нового знания (возможность применения нового способа действий для решения всех заданий данного типа).
Организация учебного процесса: № 650(1-3), 651(1-3)
№ 650 (1-3).
№ 650 (2) разобрать подробно, т.к. общих простых делителей нет.
Первый пункт выполнен.
2. D (а ; b ) = нет
3. НОД (а ; b ) = 1
Что интересного вы заметили? (Числа не имеют общих простых делителей.)
В математике такие числа называются взаимно простыми числами. Запись в тетрадях:
Числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называются взаимно простыми.
а и b взаимно простые НОД (a ; b ) = 1
Что вы можете сказать о наибольшем общем делители взаимно простых чисел?
(Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен 1.)
№ 651 (1-3)
Задание выполняется у доски с комментарием.
Разложим числа на простые множители, используя известный алгоритм:
75 3 135 3
25 5 45 3
5 5 15 3
1 5 5
НОД (75; 135) =3*5= 15.
180 2*5 210 2*5
18 2 21 3
9 3 7 7
3 3 1
НОД (180, 210)=2*5*3=30
125 5 462 2
25 5 231 3
5 5 77 7
1 11 11
НОД (125, 462)=1
7. Самостоятельная работа.
(10 мин.)
Как доказать, что вы научились находить наибольший общий делитель чисел новым способом? (Надо выполнить самостоятельную работу.)
Самостоятельная работа.
Найдите наибольший общий делитель чисел с помощью разложения на простые множители.
Вариант 1 Вариант 2
a=2 × 3 × 3 × 7 × 11 1) a=2 × 3 × 5 × 7 × 7
b=2 × 5× 7 × 7 × 13 b=3 × 3 × 7 × 13 × 19
60 и 165 2) 75 и 135
81 и 125 3) 49 и 125
4) 180, 210 и 240 (дополнительный)
Ребята, попробуйте применить свои знания при выполнении самостоятельной работы.
Ученики сначала выполняют самостоятельную работу, затем взаимопроверка и проверка с образцом на слайде.
Проверка самостоятельной работы:
Вариант 1 Вариант 2
НОД(a,b)=2 × 7=14 1) НОД(a,b)=3 × 7=21
НОД(60, 165 )=3 × 5 =15 2) НОД(75, 135)=3 × 5 =15
НОД(81, 125)=1 3) НОД(49, 125)=1
8. Рефлексия деятельности. (5 мин.)
Что нового вы узнали на уроке? (Новый способ нахождения НОД, используя разложения на простые множители, какие числа называются взаимно простые, как найти НОД чисел, если большее число делится на меньшее число.)
Какую цель вы ставили перед собой?
Вы достигли цели?
Что вам помогло в достижении цели?
– Определите истинность для себя одного из следующих утверждений (Р-1).
Что вам необходимо сделать дома, чтобы лучше разобраться в данной теме? (Прочитать пункт, и потренироваться в нахождении НОД новым методом).
Домашнее задание:
п.2, №№ 672 (1,2); 673 (1-3), 674.
Определите истинность для себя одного из следующих утверждений:
«Я понял, как находить НОД чисел», 
«Я знаю, как находить НОД чисел, но еще допускаю ошибки», 
«У меня остались нерешенные вопросы».
Отобразите свои ответы в виде смайликов на листочке.
В этом статье мы расскажем о том, что такое взаимно простые числа. В первом пункте сформулируем определения для двух, трех и более взаимно простых чисел, приведем несколько примеров и покажем, в каких случаях два числа можно считать простыми по отношению друг к другу. После этого перейдем к формулировке основных свойств и их доказательствам. В последнем пункте мы поговорим о связанном понятии – попарно простых числах.
Что такое взаимно простые числа
Взаимно простыми могут быть как два целых числа, так и их большее количество. Для начала введем определение для двух чисел, для чего нам понадобится понятие их наибольшего общего делителя. Если нужно, повторите материал, посвященный ему.
Определение 1
Взаимно простыми будут два таких числа a и b , наибольший общий делитель которых равен 1 , т.е. НОД (a , b) = 1 .
Из данного определения можно сделать вывод, что единственный положительный общий делитель у двух взаимно простых чисел будет равен 1 . Всего два таких числа имеют два общих делителя – единицу и минус единицу.
Какие можно привести примеры взаимно простых чисел? Например, такой парой будут 5 и 11 . Они имеют только один общий положительный делитель, равный 1 , что является подтверждением их взаимной простоты.
Если мы возьмем два простых числа, то по отношению друг к другу они будут взаимно простыми во всех случаях, однако такие взаимные отношения образуются также и между составными числами. Возможны случаи, когда одно число в паре взаимно простых является составным, а второе простым, или же составными являются они оба.
Это утверждение иллюстрирует следующий пример: составные числа - 9 и 8 образуют взаимно простую пару. Докажем это, вычислив их наибольший общий делитель. Для этого запишем все их делители (рекомендуем перечитать статью о нахождении делителей числа). У 8 это будут числа ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 , а у 9 – ± 1 , ± 3 , ± 9 . Выбираем из всех делителей тот, что будет общим и наибольшим – это единица. Следовательно, если НОД (8 , − 9) = 1 , то 8 и - 9 будут взаимно простыми по отношению друг к другу.
Взаимно простыми числами не являются 500 и 45 , поскольку у них есть еще один общий делитель – 5 (см. статью о признаках делимости на 5). Пять больше единицы и является положительным числом. Другой подобной парой могут быть - 201 и 3 , поскольку их оба можно разделить на 3 , на что указывает соответствующий признак делимости.
На практике довольно часто приходится определять взаимную простоту двух целых чисел. Выяснение этого можно свести к поиску наибольшего общего делителя и сравнению его с единицей. Также удобно пользоваться таблицей простых чисел, чтобы не производить лишних вычислений: если одно из заданных чисел есть в этой таблице, значит, оно делится только на единицу и само на себя. Разберем решение подобной задачи.
Пример 1
Условие: выясните, являются ли взаимно простыми числа 275 и 84 .
Решение
Оба числа явно имеют больше одного делителя, поэтому сразу назвать их взаимно простыми мы не можем.
Вычисляем наибольший общий делитель, используя алгоритм Евклида: 275 = 84 · 3 + 23 , 84 = 23 · 3 + 15 , 23 = 15 · 1 + 8 , 15 = 8 · 1 + 7 , 8 = 7 · 1 + 1 , 7 = 7 · 1 .
Ответ: поскольку НОД (84 , 275) = 1 , то данные числа будут взаимно простыми.
Как мы уже говорили раньше, определение таких чисел можно распространить и на случаи, когда у нас есть не два числа, а больше.
Определение 2
Взаимно простыми целые числа a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 будут тогда, когда они имеют наибольший общий делитель, равный 1 .
Иными словами, если у нас есть набор некоторых чисел с наибольшим положительным делителем, большим 1 , то все эти числа не являются по отношению друг к другу взаимно обратными.
Возьмем несколько примеров. Так, целые числа − 99 , 17 и − 27 – взаимно простые. Любое количество простых чисел будет взаимно простым по отношению ко всем членам совокупности, как, например, в последовательности 2 , 3 , 11 , 19 , 151 , 293 и 667 . А вот числа 12 , − 9 , 900 и − 72 взаимно простыми не будут, потому что кроме единицы у них будет еще один положительный делитель, равный 3 . То же самое относится к числам 17 , 85 и 187: кроме единицы, их все можно разделить на 17 .
Обычно взаимная простота чисел не является очевидной с первого взгляда, этот факт нуждается в доказательстве. Чтобы выяснить, будут ли некоторые числа взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель и сделать вывод на основании его сравнения с единицей.
Пример 2
Условие: определите, являются ли числа 331 , 463 и 733 взаимно простыми.
Решение
Сверимся с таблицей простых чисел и определим, что все три этих числа в ней есть. Тогда их общим делителем может быть только единица.
Ответ: все эти числа будут взаимно простыми по отношению друг к другу.
Пример 3
Условие: приведите доказательство того, что числа − 14 , 105 , − 2 107 и − 91 не являются взаимно простыми.
Решение
Начнем с выявления их наибольшего общего делителя, после чего убедимся, что он не равен 1 . Поскольку у отрицательных чисел те же делители, что и у соответствующих положительных, то НОД (− 14 , 105 , 2 107 , − 91) = НОД (14 , 105 , 2 107 , 91) . Согласно правилам, которые мы привели в статье о нахождении наибольшего общего делителя, в данном случае НОД будет равен семи.
Ответ: семь больше единицы, значит, взаимно простыми эти числа не являются.
Основные свойства взаимно простых чисел
Такие числа имеют некоторые практически важные свойства. Перечислим их по порядку и докажем.
Определение 3
Если разделить целые числа a и b на число, соответствующее их наибольшему общему делителю, мы получим взаимно простые числа. Иначе говоря, a: НОД (a , b) и b: НОД (a , b) будут взаимно простыми.
Это свойство мы уже доказывали. Доказательство можно посмотреть в статье о свойствах наибольшего общего делителя. Благодаря ему мы можем определять пары взаимно простых чисел: достаточно лишь взять два любых целых числа и выполнить деление на НОД. В итоге мы должны получить взаимно простые числа.
Определение 4
Необходимым и достаточным условием взаимной простоты чисел a и b является существование таких целых чисел u 0 и v 0 , при которых равенство a · u 0 + b · v 0 = 1 будет верным.
Доказательство 1
Начнем с доказательства необходимости этого условия. Допустим, у нас есть два взаимно простых числа, обозначенных a и b . Тогда по определению этого понятия их наибольший общий делитель будет равен единице. Из свойств НОД нам известно, что для целых a и b существует соотношение Безу a · u 0 + b · v 0 = НОД (a , b) . Из него получим, что a · u 0 + b · v 0 = 1 . После этого нам надо доказать достаточность условия. Пусть равенство a · u 0 + b · v 0 = 1 будет верным, в таком случае, если НОД (a , b) делит и a , и b , то он будет делить и сумму a · u 0 + b · v 0 , и единицу соответственно (это можно утверждать, исходя из свойств делимости). А такое возможно только в том случае, если НОД (a , b) = 1 , что доказывает взаимную простоту a и b .
В самом деле, если a и b являются взаимно простыми, то согласно предыдущему свойству, будет верным равенство a · u 0 + b · v 0 = 1 . Умножаем обе его части на c и получаем, что a · c · u 0 + b · c · v 0 = c . Мы можем разделить первое слагаемое a · c · u 0 + b · c · v 0 на b , потому что это возможно для a · c , и второе слагаемое также делится на b , ведь один из множителей у нас равен b . Из этого заключаем, что всю сумму можно разделить на b , а поскольку эта сумма равна c , то c можно разделить на b .
Определение 5
Если два целых числа a и b являются взаимно простыми, то НОД (a · c , b) = НОД (c , b) .
Доказательство 2
Докажем, что НОД (a · c , b) будет делить НОД (c , b) , а после этого – что НОД (c , b) делит НОД (a · c , b) , что и будет доказательством верности равенства НОД (a · c , b) = НОД (c , b) .
Поскольку НОД (a · c , b) делит и a · c и b , а НОД (a · c , b) делит b , то он также будет делить и b · c . Значит, НОД (a · c , b) делит и a · c и b · c , следовательно, в силу свойств НОД он делит и НОД (a · c , b · c) , который будет равен c · НОД (a , b) = c . Следовательно, НОД (a · c , b) делит и b и c , следовательно, делит и НОД (c , b) .
Также можно сказать, что поскольку НОД (c , b) делит и c , и b , то он будет делить и c , и a · c . Значит, НОД (c , b) делит и a · c и b , следовательно, делит и НОД (a · c , b) .
Таким образом, НОД (a · c , b) и НОД (c , b) взаимно делят друг друга, значит, они являются равными.
Определение 6
Если числа из последовательности a 1 , a 2 , … , a k будут взаимно простыми по отношению к числам последовательности b 1 , b 2 , … , b m (при натуральных значениях k и m), то их произведения a 1 · a 2 · … · a k и b 1 · b 2 · … · b m также являются взаимно простыми, в частности, a 1 = a 2 = … = a k = a и b 1 = b 2 = … = b m = b , то a k и b m – взаимно простые.
Доказательство 3
Согласно предыдущему свойству, мы можем записать равенства следующего вида: НОД (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = НОД (a 2 · … · a k , b m) = … = НОД (a k , b m) = 1 . Возможность последнего перехода обеспечивается тем, что a k и b m взаимно просты по условию. Значит, НОД (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1 .
Обозначим a 1 · a 2 · … · a k = A и получим, что НОД (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = НОД (b 1 · b 2 · … · b m , A) = НОД (b 2 · … · b · b m , A) = … = НОД (b m , A) = 1 . Это будет справедливым в силу последнего равенства из цепочки, построенной выше. Таким образом, у нас получилось равенство НОД (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = 1 , с помощью которого можно доказать взаимную простоту произведений a 1 · a 2 · … · a k и b 1 · b 2 · … · b m
Это все свойства взаимно простых чисел, о которых бы мы хотели вам рассказать.
Понятие попарно простых чисел
Зная, что из себя представляют взаимно простые числа, мы можем сформулировать определение попарно простых чисел.
Определение 7
Попарно простые числа – это последовательность целых чисел a 1 , a 2 , … , a k , где каждое число будет взаимно простым по отношению к остальным.
Примером последовательности попарно простых чисел может быть 14 , 9 , 17 , и − 25 . Здесь все пары (14 и 9 , 14 и 17 , 14 и − 25 , 9 и 17 , 9 и − 25 , 17 и − 25) взаимно просты. Отметим, что условие взаимной простоты является обязательным для попарно простых чисел, но взаимно простые числа будут попарно простыми далеко не во всех случаях. Например, в последовательности 8 , 16 , 5 и 15 числа не являются таковыми, поскольку 8 и 16 не будут взаимно простыми.
Также следует остановиться на понятии совокупности некоторого количества простых чисел. Они всегда будут и взаимно, и попарно простыми. Примером может быть последовательность 71 , 443 , 857 , 991 . В случае с простыми числами понятия взаимной и попарной простоты будут совпадать.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
