Самостоятельная работа:

2 вариант:

1 вариант:

Проверь ответы:

2 вариант:

1 вариант:

Теорема косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

• Самое древнее доказательство для теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке. Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере

Насир ад-Дин Ат-Туси

Теорема синусов :

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

• Замечание: Можно доказать, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Следовательно, для любого треугольника ABC со сторонами AB=c, BC=a, CA=b имеют место равенства
• Где R – радиус описанной окружности.

1) Запишите теорему синусов для данного треугольника:

2) Запишите теорему косинусов для вычисления стороны МК:

Найдите угол В.

Найдите длину стороны ВС.

Найдите длину стороны АВ.

Найдите MN.

Запишите формулу для вычисления:

• http://ppt4web.ru/geometrija/teoremy-sinusov-i-kosinusov0.html
• http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/10/15/teorema-sinusov-i-kosinusov
• https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Johannes_Regiomontanus2.jpg/500px-Johannes_Regiomontanus2.jpg
• http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/10/110/217/110217775_Nesreddi_tusi.jpg
• http://www.biografguru.ru/about/evklid/?q=3117

Теоремы синусов и косинусов в задачах с практическим содержанием

верны ?

Задание 1

произведения этих сторон на sin угла между ними.

Квадрат любой стороны тр-ка равен сумме

квадратов двух других сторон без

произведения этих сторон на cos угла между ними.

Квадрат любой стороны тр-ка равен сумме

квадратов двух других сторон без удвоенного

произведения этих сторон на cos угла между ними.

В прямоугольном треугольнике

квадрат катета равен разности квадратов

гипотенузы и другого катета.

Какие из следующих утверждений верны ?

Задание 2

синусам противополежащих углов.

Стороны треугольника пропорциональны

косинусам противополежащих углов.

Стороны треугольника пропорциональны

синусам прилежащих углов.

Стороны треугольника пропорциональны

противополежащим углам.

Какие из следующих утверждений верны ?

Задание 3

площадь и периметр.

Решить треугольник – это значит измерить все

его элементы.

Решить треугольник – это значит найти его

неизвестные элементы по трем известным.

Решить треугольник – это значит найти ему

равный треугольник.

Не верно!

Не верно!

Не верно!

Установите соответствие?

Задание 4

А) теорема синусов

Б) формула Герона

В) теорема Пифагора

Г) теорема косинусов

Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии

8 шагов от столба, на котором висит фонарь.

Тень человека равна четырем шагам. На какой

высоте (в метрах) расположен фонарь?

Задание 5

8 шагов

4 шага

Подсказка (2)

Рассмотреть подобные треугольники

ΔАВС

ΔАКМ

Футбольный мяч находится у Ежика, который расположился на расстояниях 23 м и 24 м от стоек ворот. Ширина ворот 7 м. Найдите угол попадания мяча в ворота?

Задание 6

Задание 7

Алгоритм решения практических задач

• Выполнить рисунок
• Решить геометрическую задачу

Задание 7

Найти расстояние до недоступного предмета

Алгоритм нахождения расстояния до недоступного предмета

• Наметить 2 точки, расстояние между которыми можно измерить
• Выполнить измерение углов
• Построить математическую модель (чертеж)
• Решить геометрическую задачу, используя теорему синусов

Использую данные, приведенные на рисунке, найдите ширину АВ озера. В ответе укажите целое число метров

Решите сами 1 вариант Для определения ширины реки (AC) отметили 2 пункта С и В на расстоянии 50м друг от друга. Измерили углы АСВ и АВС, где А – это дерево, стоящее на другом берегу реки у кромки воды. (<АCВ=550, <АВС=650) 2 вариант Для определения ширины реки (AC) отметили 2 пункта В и С на расстоянии 40м друг от друга. Измерили углы АСВ и АВС, где А – это дерево, стоящее на другом берегу реки у кромки воды. (<АCВ=600, <АВС=700) Проверьте друг друга <А=1800-600-700= 50 0 AВ = 49 м

Тема « Теорема косинусов»

Тип урока : урок усвоения новых знаний

Место урока – первый урок по данной теме

Обучающая цель урока :

знание учениками формулировки теоремы косинусов;

умение:

находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу

между ними;

определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным

сторонам;

определять вид треугольника по трем известным сторонам.

Задачи личностного развития:

организовать ситуации для:

самоопределения учащихся на прогнозируемый результат

познавательной деятельности;

развития рефлексивных способностей;

создать условия для:

развития коммуникативных способностей учащихся;

развития мышления учеников, умения аргументировать, доказывать.

Оборудование и материалы: мультимедийная установка, экран, доска, мел.

Краткий план урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация ведущих знаний и способов действий.

3. Мотивация и целеполагание.

4. Основная часть. Доказательство теоремы косинусов. Представление

образцов применения теоремы косинусов при решении задач.

Самостоятельное применение знаний. (Мини-тест).

5. Рефлексия. Подведение итогов урока.

Ход урока

1этап Организационный. Приветствую учащихся, проверяю готовность рабочего места школьников к учебному занятию. Создаю настрой на работу, объявляю учащимся, что в течение урока они оценивают себя, выставляя отметки в рабочую карту.

2этап Актуализация знаний учащихся, выдвижение гипотезы.

Предлагаю для начала разминку (тест) по формулам «Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰».

Записать формулу нахождения расстояния между точками по их координатам.

3этап Создание проблемной ситуации, ее разрешение. Мотивация и целеполагание.

Проблемная задача повышает мотивацию учеников на дальнейшую познавательную деятельность. Организуется ситуация для постановки цели урока и прогнозирования результатов занятия, например, необходимо выяснить универсальный способ нахождения длины третьей стороны треугольника по известным длинам двух других сторон и углу между ними.

Работа в группе.

Решение задачи . Задача. Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС ▲ АВС, если А(0;0), В (с;0), С(bcosA ; bsinA ).

Вывод: дадим словесную формулировку, полученного равенства. Получим теорему, которая называется теоремой косинусов :

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Одно из самых красивых и простых доказательств теоремы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.

Можно ли сказать, что теорема Пифагора-это частный случай теоремы косинусов? Да, т.к. cos 90 o =0.

4этап. Физминутка .

6этап. Постановка проблемы: какое количество элементов должно быть известно, чтобы задача была решена? Построить модель, определить тип задачи, исследовать отношения и связи между элементами треугольника .

Вопрос для обсуж дения . Какую задачу можно решать, используя теорему косинусов?

Зная, что имеет вид a 2 =b 2 +c 2 - 2bc×cosγ, преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы искомой величиной стал угол γ: b 2 +c 2 =2bc×cosγ+a 2 .
Затем приведите показанное уравнение к несколько иному виду: b 2 +c 2- a 2 =2bc×cosγ. Затем данное выражение следует в представленное ниже:

cosγ=√b 2 +c 2 -a2/2bc.
Вопрос для обсуж дения . Что можно находить по этой формуле?

Значение косинуса угла в треугольнике.

Ученикам предлагается вычислить косинус большего угла в треугольнике с известными длинами трех сторон и определить вид этого треугольника.

Вычислить косинус большего угла в треугольнике, если его стороны равны:

Вариантам №1

Вариант №2

Вариант №3

c = 6, b = 8, a = 9

c = 6, b = 8, a = 10

c = 6, b = 8, a = 11

cos 19/96

cos 0

cos 0

79 0

90 0

103 0

Результаты вычислений каждой группы заносятся в таблицу, обсуждаются, делаются выводы:

Для определения вида треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный)

необходимо:

Вычислить косинус угла, лежащего напротив большей стороны;

Если cos 0 , треугольник остроугольный;

Если cos 0 , треугольник прямоугольный;

Если cos 0, треугольник тупоугольный.

Вопрос для обсуж дения. Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса наибольшего угла? Вспоминается теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. (В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона).

ВЫВОД.

Пусть с – наибольшая сторона
– если с 2 < a 2 + b 2 , то треугольник остроугольный;
– если с 2 = a 2 + b 2 , то треугольник прямоугольный;
– если с 2 > a 2 + b 2 , то треугольник тупоугольный.

Проверьте вывод на выполненных задачах(дома).

7 этап. Построение перспективного плана дальнейшей работы.

- вопрос учителя : Вопрос для обсуждения . Какие задачи можно решить с помощью теоремы косинусов?

-ответы учеников

находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;

определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным сторонам

определять вид треугольника по трем известным сторонам

5этап. Закрепление. Мини - тес

Мини - тест

Условие

Варианты ответа

В треугольнике со сторонами m , n , p против стороны

p лежит угол α . Тогда справедлива следующая

формула:

А) m 2 n 2 p 2 2 np cosα

Б) m n 2 p 2 2 np cos α

В) p 2 m 2 n 2 mn cos α ;

Г) p m 2 n 2 mn cos α ;

Если косинус большего угла треугольника

отрицателен, то этот треугольник:

А) остроугольный; Б) прямоугольный;

В) тупоугольный.

Длины двух сторон треугольника равны и 3, а угол

между ними 45 0 . Тогда длина третьей стороны равна:

А) 2; Б) 3; В) √ 5; Г) 5

В треугольнике длины сторон равны √3; 4; √7. Определить вид треугольника

А) остроугольный; Б) прямоугольный;

В) тупоугольный.

Проверка.

Варианты ответа

1

В) p 2 m 2 n 2 mn cos α ;

2

В) тупоугольный.

3

В)√ 5

4

В) тупоугольный

Что еще нужно сделать, чтобы урок был завершен?»

Ученики: « Задать домашнее задание».

Учитель: «Если бы вы были учителем, то, какое бы домашнее задание вы бы задали?»

8этап. Домашнее задание. П.98, № 1025(д).

Предлагаю выставить итоговую отметку в рабочих картах и провести рефлексию по заполнению таблицы.

Обсуждение заполнение таблицы. Оценки

Приложения № 1. Разминка. Тест

«Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰»

1. sin (90 ⁰ - α ) =

2. cos (90 ⁰ - α ) =

3. sin (180 ⁰ - α ) = 1. cosα 2. sinα 3. - cosα 4. - sinα

4. cos (180 ⁰ - α ) 1) cosα 2) sinα 3) - cosα 4) - sinα

5. cos 60 ⁰ = 1) 2) 3)

6. cos 30 ⁰ = 1) 2) 3)

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Теорема синусов

Теорема 12.2 (теорема синусов) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

C В A a sinA b sinB = = c sinC a b c Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

М O X MO sinX MX sinO = = OX sinC Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

C D E CD sinE EC sinD = = DE sinC Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Следствие из теоремы синусов где R – радиус окружности, описанной около ∆ АВС

Задача Найти радиус окружности, описанной около ∆ АВС, если АС = 2 см, АВС = 45° A С В 45 0 2 По следствию из теоремы синусов R = R = 2: (2 ·) R =

Тригонометрическая таблица № 1 № 2 № 3 № 4 № 5

AB sinC AC sinB = C A B 75 0 60 0 60 0 4 4 ? 45 0 45 0 Найти АВ Задача № 1 Таблица

AB sinC BC sinA = C A B 60 0 60 0 ? 2 3 3 2 Задача № 2 Таблица

2 AB sinC AC sinB = C A B ? 2 2 2 2 2 13 5 0 13 5 0 Найти угол А Задача № 3 Таблица

120 0 AC sinD AD sinC = AB С D – параллелограмм. Найти AC . D A B C 30 0 30 0 6 0 0 5 5 ? 120 0 30 0 Задача № 4 Таблица

45 0 2 45 0 BC sinA AB sinC = AB С D – параллелограмм. Найти BC . D A B C 30 0 30 0 2 ? 105 0 30 0 Задача № 5 Таблица

Домашнее задание Стр. 162-163, п.110; доказать теорему 12.2; по рабочей тетради № 99 – 104

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Интерактивный тест, который содержит 5 заданий с выбором одного верного ответа из четырех предложенных, с учетом времени, затраченного на прохождение теста; тест создан в программе PowerPoint-2007 с и...

Урок - Решение задач по геометрии 9 кл. "Площадь треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов."

Решение задач предусматривает умение применять знания в стандартных условиях или при небольших отклонениях от них. Так же рассматриваются задачи, в которых требуется уметь применять знания в усложненн...