Обычно уравнения системы записывают в столбик одно под другим и объединяют фигурной скобкой

Система уравнений такого вида, где a, b, c - числа, а x, y - переменные, называется системой линейных уравнений .

При решении системы уравнений используют свойства, справедливые для решения уравнений .

Решение системы линейных уравнений способом подстановки

Рассмотрим пример

1) Выразить в одном из уравнений переменную. Например, выразим y в первом уравнении, получим систему:

2) Подставляем во второе уравнение системы вместо y выражение 3х-7 :

3) Решаем полученное второе уравнение:

4) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Система уравнений имеет единственное решение: пару чисел x=1, y=-4 . Ответ: (1; -4) , записывается в скобках, на первой позиции значение x , на второй - y .

Решение системы линейных уравнений способом сложения

Решим систему уравнений из предыдущего примера методом сложения.

1) Преобразовать систему таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными . Умножим первое уравнение системы на "3".

2) Складываем почленно уравнения системы. Второе уравнение системы (любое) переписываем без изменений.

3) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Решение системы линейных уравнений графическим способом

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Графическое решение системы

Метод введения новых переменных

Замена переменных может привести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.

Рассмотрим решение системы

Введем замену , тогда

Переходим к первоначальным переменным

Особые случаи

Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.

В данном случае удобно из второго уравнения системы выразить x через y и подставить полученное выражение вместо x в первое уравнение:

Первое уравнение — уравнение с одной переменной y. Решаем его:

5(7-3y)-2y = -16

Полученное значение y подставляем в выражение для x:

Ответ: (-2; 3).

В данной системе проще из первого уравнения выразить y через x и подставить полученное выражение вместо y во второе уравнение:

Второе уравнение — уравнение с одной переменной x. Решим его:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

В выражение для y вместо x подставляем x=1 и находим y:

Ответ: (1; -5).

Здесь удобнее из второго уравнения выразить y через x (поскольку делить на 10 проще, чем на 4, -9 или 3):

Решаем первое уравнение:

4x-9(1,6-0,3x)= -1

4x-14,4+2,7x= -1

Подставляем x=2 и находим y:

Ответ: (2; 1).

Прежде чем применить метод подстановки, эту систему следует упростить. Обе части первого уравнения можно умножить на наименьший общий знаменатель, во втором уравнении раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Получили систему линейных уравнений с двумя переменными. Теперь применим подстановку. Удобно из второго уравнения выразить a через b:

Решаем первое уравнение системы:

3(21,5 + 2,5b) — 7b = 63

Осталось найти значение a:

Согласно правилам оформления, ответ записываем в круглых скобках через точку с запятой в алфавитном порядке.

Ответ: (14; -3).

Выражая одну переменную через другую, иногда удобнее оставлять её с некоторым коэффициентом.

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Место урока в системе уроков: третий урок изучения темы “Системы двух линейных уравнений с двумя переменными”

Тип урока: изучения новых знаний

Образовательная технология: развитие критического мышления через чтение и письмо

Метод обучения: исследование

Цели урока: освоить еще один способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - способом сложения

Задачи:

• предметные : формирование практических навыков в решении систем линейных уравнений способом подстановки;
• метапредметные : развивать мышление, сознательное восприятие учебного материала;
• личностные : воспитание познавательной активности, культуры общения и привитие интереса к предмету.

В результате ученик:

• Знает определение системы линейных уравнений с двумя переменными;
• Знает, что значит решить систему линейных уравнений с двумя переменными;
• Умеет записывать систему линейных уравнений с двумя переменными;
• Понимает, сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными;
• Умеет определять, имеет ли система решения, и если имеет, то сколько;
• Знает алгоритм решения систем линейных уравнений способом подстановки, алгебраического сложения, графическим способом.

Проблемный вопрос: “Как решить систему линейных уравнений с двумя переменными?”

Ключевые вопросы: Как и зачем мы используем уравнения в жизни?

Оборудование: презентация; мультимедийный проектор; экран; компьютер, рабочая тетрадь по алгебре: 7 класс: к учебнику А.Г. Мордковича и др. “Алгебра – 7” 2012 г.

Ресурсы (откуда берется информация по теме: книги, учебники, Интернет и т.д.): учебник “Алгебра – 7” 2012г., А.Г. Мордкович

Формы организации учебной деятельности учащихся (групповая, парно-групповая, фронтальная и т.д.): индивидуальная, частично фронтальная, частично парная

Критерии оценивания:

• А – знание и понимание +
• В – применение и рассуждение
• С – сообщение +
• D – рефлексия и оценка

Области взаимодействия:

• ATL - Уметь эффективно использовать время, планировать свою деятельность в соответствии с поставленными целями и задачами, определять наиболее рациональную последовательность деятельности. Умение отвечать на вопросы, приводить доводы, аргументировать. Уметь анализировать и оценивать собственную учебно-познавательную деятельность, находить пути решения проблем.
• HI учащиеся исследуют последствия деятельности человека

Ход урока

I. Организация урока

II. Проверка самоподготовки

a) № 12.2(б, в).

Ответ:(5; 3). Ответ:(2; 3).

Ответ: (4;2)

Выразите одну переменную через другую:

• p = р /(g * h) – плотность жидкости
• р = g * p * h - давление жидкости на дно сосуда
• h = р /(g * p) – высота
• p = m / V - плотность
• m = V * p -масса
• p = m / V – плотность

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки:

1. Выразить y через x из первого (или второго) уравнения системы.
2. Подставить полученное на первом шаге выражение вместо y во второе (первое) уравнение системы.
3. Решить полученное на втором шаге уравнение относительно х.
4. Подставить найденное на третьем шаге значение x в выражение y через x, полученное на первом шаге.
5. Записать ответ в виде пары значений (x; y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шагах.

Самостоятельная работа:

В рабочей тетради стр. 46 – 47.

• на “3” № 6(а);
• на “4” № 6(б);
• на “5” № 7.

III. Актуализация опорных знаний

Что такое система линейных уравнений с двумя переменными?

Система уравнений - это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения.

Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными?

Если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны, корней нет.

Если угловые коэффициенты не равны, то прямые пересекаются, один корень (координаты точки пересечения).

Если угловые коэффициенты равны, то прямые совпадают, корень бесконечно много.

IV. Изучение нового материала

Заполни пропуски: Приложение 1 (с последующей самопроверкой по слайдам)

V. Работа по теме урока

В классе: №№ 13.2(а, г),13.3(а, г).

VI. Домашнее задание

Параграф 13 - учебник; словарь; № 13.2(б, в), 13.3(б, в).

VII. Итог урока

• Ура!!! Мне всё понятно!
• Есть моменты, над которыми мне надо поработать!
• Были неудачи, но я все преодолею!

VIII. Решение задач на военную составляющую

Основной боевой танк Т-80.

Принят на вооружение в 1976 году. Первый в мире серийный танк с основной силовой установкой на базе газотурбинного двигателя.

Основные тактико-технические данные (ТТД):

Масса, т – 46

Скорость, км/ч – 70

Запас хода, км – 335-370

Вооружение: 125-мм гладкоствольное орудие (боекомплект 40 шт.);

12,7-мм пулемет (боекомплект 300 шт.);

7,62-мм пулемет ПКТ (боекомплект 2000 шт.)

Сколько времени может находиться в движении танк Т-80 без дозаправки?

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Метод подстановки позволяет легко решить системы линейных уравнений любой сложности. Суть метода заключается в том, что, используя первое выражение системы, мы выражаем "у", а далее производим подстановку полученного выражения во второе уравнение системы вместо "у". Поскольку уравнение уже содержит не два неизвестных, а только одно, то мы легко находим значение этой переменной, а затем с ее помощью определяем значение второй.

Допустим, дана система линейных уравнений следующего вида:

\[\left\{\begin{matrix} 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end{matrix}\right.\]

Выразим \

\[\left\{\begin{matrix} 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end{matrix}\right.\]

Выполним подстановку полученного выражения во 2 уравнение:

\[\left\{\begin{matrix} y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end{matrix}\right.\]

Найдем значение \

Упростим и решим уравнение с помощью открытия скобок и учета правил переноса членов:

Теперь нам известно значение \ Используем это для нахождения значения \

Ответ: \[(4;2).\]

Где можно решить систему уравнений онлайн методом подстановки?

Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте . Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте.