1.7.1. Площина.

Розглянемо в декартовому базисі довільну площину Р та вектор нормалі (перпендикулярний) до неї `n (А, В, С). Візьмемо у цій площині довільну фіксовану точку М0(х0, у0, z0) та поточну точку М(х, у, z).

Вочевидь, що ?`n = 0 (1.53)

(Див.(1.20) при j = p /2). Це рівняння площини у векторній формі. Переходячи до координат, отримаємо загальне рівняння площини

А(х - х0) + В (у - у0) + С (z - z0) = 0? Ах + Ву + Сz + D = 0 (1.54).

(D = -Ах0 - Ву0 - Сz0; А2 + В2 + С2? 0).

Можна показати, що в декартових координатах кожна площина визначається рівнянням першого ступеня і, навпаки, кожне рівняння першого ступеня визначає площину (тобто площина є поверхня першого порядку і поверхня першого порядку є площина).

Розглянемо деякі окремі випадки розташування площини, заданої загальним рівнянням:

А = 0 – паралельна осі Ох; У = 0 – паралельна осі Оу; З = 0 – паралельна осі Оz. (Такі площини, перпендикулярні до однієї з координатних площин, називають проектуючими); D = 0 - проходить через початок координат; А = В = 0 – перпендикулярна до осі Оz (паралельна площині хОу); А = В = D = 0 – збігається із площиною хОу (z = 0). Аналогічно аналізуються й інші випадки.

Якщо D? 0, то, розділивши обидві частини (1.54) на D, можна привести рівняння площини до виду: (1.55),

а = - D /А, b = -D / В, з = -D /С. Співвідношення (1.55) називається рівнянням площини у відрізках; а, b, с – абсцису, ординату та аплікату точок перетину площини з осями Ох, Оу, Оz, а |a|, |b|, |c| - Довжини відрізків, що відсікаються площиною на відповідних осях від початку координат.

Помножуючи обидві частини (1.54) на множник, що нормує (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1.56)

де cosa = Аm, cosb = Вm, cosg = Сm - спрямовують косинуси нормалі до площини, р - відстань до площини від початку координат.

Розглянемо основні співвідношення, які у розрахунках. Кут між площинами А1х + В1у + С1z + D1 = 0 і А2х + В2у + С2z + D2 = 0 легко визначити як кут між нормалями цих площин `n1 (А1, В1, С1) та

`n2 (А2, В2, С2): (1.57)

З (1.57) легко отримати умову перпендикулярності

А1А2 + В1 В2 + С1 С2 = 0 (1.58)

та паралельності (1.59) площин та їх нормалей.

Відстань від довільної точки М0(х0, у0, z0) до площини (1.54)

визначається виразом: (1.60)

Рівняння площини, що проходить через три задані точки М1(х1, у1, z1), М2(х2, у2, z2), М3(х3, у3, z3) найзручніше записати використовуючи умову компланарності (1.25) векторів де М(х, у , z) – поточна точка площини.

(1.61)

Наведемо рівняння пучка площин (тобто.

Багато площин, що проходять через одну пряму) – його зручно використовувати в ряді завдань.

(А1х + В1у + С1z + D1) + l (А2х + В2у + С2z + D2) = 0 (1.62)

Де l Î R, а в дужках - рівняння двох будь-яких площин пучка.

Контрольні питання.

1) Як перевірити, що ця точка лежить на поверхні, заданій даним рівнянням?

2) Яка характерна ознака, що відрізняє рівняння площини в системі декартової координат від рівняння інших поверхонь?

3) Як розташована площина щодо системи координат, якщо у її рівнянні відсутня: а) вільний член; б) одна з координат; в) дві координати; г) одна з координат та вільний член; д) дві координати та вільний член?

1) Дані точки М1(0,-1,3) та М2(1,3,5). Написати рівняння площини, яка проходить через точку М1 та перпендикулярна до вектора Вибрати правильну відповідь:

а) ; б).

2) Знайти кут між площинами та . Вибрати правильну відповідь:

а) 135о; б) 45о

1.7.2. Пряма. Площини, нормалі яких не колінеарні, або перетинаються, однозначно визначаючи пряму як лінію їх перетину, що записується наступним чином:

Через цю пряму можна провести нескінченно багато площин (пучок площин (1.62)), у тому числі проектують її на координатні площини. Щоб отримати їх рівняння, достатньо перетворити (1.63), виключивши з кожного рівняння однією невідомою і привівши їх, наприклад, до виду (1.63`).

Поставимо завдання – провести через точку М0(х0,у0,z0) пряму, паралельну вектору `S(l, m, n) (його називають напрямним). Візьмемо на прямій довільну точку М(х,у,z). Вектори та повинні бути колінеарними, звідки отримуємо канонічні рівняння прямої.

(1.64) або (1.64`)

де cosa, cosb, cosg - спрямовуючі косинуси вектора `S. З (1.64) легко отримати рівняння прямої, що проходить через задані точки М1(х1, у1, z1) та М2(х2, у2, z2) (вона паралельна )

Або (1.64 ``)

(Значення дробів (1.64) рівні для кожної точки прямої і можуть бути позначені через t, де t R. Це дозволяє ввести параметричні рівняння прямої

Кожному значенню параметра t відповідає набір координат х, у, z точки на прямій або (інакше) значення невідомих, що задовольняють рівнянь прямої).

Використовуючи вже відомі властивості векторів та операцій над ними та канонічні рівняння прямої легко отримати наступні формули:

Кут між прямими: (1.65)

Умова паралельності (1.66).

перпендикулярність l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) прямих.

Кут між прямою та площиною (легко отримати, знайшовши кут між прямою та нормаллю до площини, що становить у сумі з шуканим p/2)

(1.68)

З (1.66) отримуємо умову паралельності Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

та перпендикулярності (1.70) прямої та площини. Необхідну та достатню умову знаходження двох прямих в одній площині легко отримати з умови компланарності (1.25).

(1.71)

Контрольні питання.

1) Які способи завдання прямої лінії у просторі?

1) Написати рівняння прямої, яка проходить через точку А(4,3,0) і паралельна вектору Вказати правильну відповідь:

а) ; б) .

2) Написати рівняння прямої, що проходить через точки А(2,-1,3) та В(2,3,3). Вказати правильну відповідь.

а) ; б).

3) Знайти точку перетину прямої з площиною: , . Вказати правильну відповідь:

а) (6,4,5); б) (6-4,5).

1.7.3. Поверхні другого порядку. Якщо лінійне рівняння у тривимірному декартовому базисі однозначно визначає площину, будь-яке нелінійне рівняння, що містить х, у, z описує якусь іншу поверхню. Якщо рівняння має вигляд

Ах2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, воно описує поверхню другого порядку (загальне рівняння поверхні другого порядку). Вибором або перетворенням декартових координат рівняння можна максимально спростити, привівши до однієї з таких форм, що описують відповідну поверхню.

1. Канонічні рівняння циліндрів другого порядку, що утворюють паралельні осі Oz, а напрямними служать відповідні криві другого порядку, що лежать у площині хОу:

(1.72), (1.73), у2 = 2рх (1.74)

еліптичний, гіперболічний та параболічний циліндри відповідно.

(Нагадаємо, що циліндричною називають поверхню, отриману переміщенням прямою, званою твірною, паралельно самій собі. Лінію перетину цієї поверхні з площиною, перпендикулярної твірної, називають спрямовуючою – вона визначає форму поверхні).

За аналогією можна записати рівняння таких же циліндричних поверхонь з утворюючими, паралельними осі Оу та осі Oх. Направляючу можна задати, як лінію перетину поверхні циліндра та відповідної координатної площини, тобто. системою рівнянь виду:

2. Рівняння конуса другого порядку з вершиною на початку координат:

(1.75)

(осями конуса служать осі Oz, Oy та Ох відповідно)

3. Канонічне рівняння еліпсоїда: (1.76);

Приватними випадками є еліпсоїди обертання, наприклад - Поверхня, отримана обертанням еліпса навколо осі Оz (Прі

а > з еліпсоїд стиснутий, при a х2 + у2 + z2 + = r2 – рівняння сфери радіусу r із центром на початку координат).

4. Канонічне рівняння однопорожнинного гіперболоїду

(знак “ – ” може стояти перед будь-яким із трьох доданків лівої частини – це змінює лише положення поверхні у просторі). Приватні випадки – однопорожнинні гіперболоїди обертання, наприклад - Поверхня, отримана обертанням гіперболи навколо осі Oz (уявної осі гіперболи).

5. Канонічне рівняння двопорожнинного гіперболоїду

(знак "-" може стояти перед будь-яким із трьох доданків лівої частини).

Окремі випадки – двопорожнинні гіперболоїди обертання, наприклад – поверхня, отримана обертанням гіперболи навколо осі Оz (дійсної осі гіперболи).

6. Канонічне рівняння еліптичного параболоїда

(p >0, q >0) (1.79)

7. Канонічне рівняння гіперболічного параболоїда

(p >0, q >0) (1.80)

(Змінна z може помінятися місцями з будь-якою зі змінних х і у – зміниться положення поверхні у просторі).

Зауважимо, що уявлення про особливості (форму) цих поверхонь легко одержати, розглядаючи перерізи цих поверхонь площинами, перпендикулярними до осей координат.

Контрольні питання.

1) Яка безліч точок у просторі визначає рівняння?

2) Які канонічні рівняння циліндрів другого порядку; конуса другого порядку; еліпсоїда; однопорожнинного гіперболоїду; двопорожнинного гіперболоїду; еліптичного параболоїду; гіперболічного параболоїду?

1) Знайти центр і радіус сфери та вказати правильну відповідь:

а) С(1,5;-2,5;2), ; б) С(1,5;2,5;2), ;

2) Визначити вид поверхні, заданої рівняннями: . Вказати правильну відповідь:

а) однопорожнинний гіперболоїд; гіперболічний параболоїд; еліптичний параболоїд; конус.

б) двопорожнинний гіперболоїд; гіперболічний параболоїд; еліптичний параболоїд; конус.

§7. Площина як поверхня першого порядку. Загальне рівняння площини. Рівняємо площину, що проходить через дану точку перпендикулярно заданому вектору Введемо в просторі прямокутну декартову систему координат Oxyz і розглянемо рівняння першого ступеня (або лінійне рівняння) щодо x, y, z: (7.1) Ax  By  B2  C 2  0 . Теорема 7.1. Будь-яка площина може бути задана у довільній прямокутній декартовій системі координат рівнянням виду (7.1). Так само, як і у випадку прямої на площині, справедлива теорема, обернена до теореми 7.1. Теорема 7.2. Будь-яке рівняння виду (7.1) задає у просторі площину. Доказ теорем 7.1 та 7.2 можна провести аналогічно доказу теорем 2.1, 2.2. З теорем 7.1 та 7.2 випливає, що площина і тільки вона є поверхнею першого порядку. Рівняння (7.1) називається загальним рівнянням площини. Його  коефіцієнти A, B, C трактуються геометрично як координати вектора n перпендикулярного площині, що визначається цим рівнянням. Цей вектор n(A, B, C) називається вектором нормалі до даної площини. Рівняння (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 при всіляких значеннях коефіцієнтів A, B, C задає всі площини, що проходять через точку M 0 (x0 , y0 , z0). Воно називається рівнянням зв'язування площин. Вибір конкретних значень A, B, C (7.2) означає вибір площини P з зв'язки, що проходить через точку M 0 перпендикулярно  заданому вектору n(A, B, C) (рис.7.1). Приклад 7.1. Написати рівняння площини Р, що проходить через точку   А(1, 2, 0) паралельно векторам a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Вектор нормалі n до Р ортогональний даним векторам a і b (рис. 7.2),   тому за n можна взяти їх векторний n добуток: А    Р i j 1 2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n   a    b 2i  3. Підставимо координати Мал. 7.2. Наприклад 7.1 P M0  точки M 0 і вектора n рівняння (7.2), отримаємо Рис. 7.1. До рівняння рівняння площини зв'язки площин P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 або P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1 Якщо два з коефіцієнтів A, B, C рівняння (7.1) дорівнюють нулю, воно задає площину, паралельну одній з координатних площин. Наприклад, при A  B  0 , C  0 – площина P1: Cz  D  0 або P1: z   D / C (рис. 7.3). Вона паралельна площині Oxy, бо її вектор  нормалі n1(0, 0, C) перпендикулярний цій площині. При A  C  0 , B  0 або B  C  0 , A  0 рівняння (7. 1) визначає площини P2: By  D  0 та P3: Ax  D  0 , паралельні координатним площинам Oxz та Oyz, тому що   їх вектори нормали n2(0, B, 0) та n3(A, 0, 0 ) їм перпендикулярні (рис. 7.3). Якщо тільки один з коефіцієнтів A, B, C рівняння (7.1) дорівнює нулю, воно задає площину, паралельну одній з координатних осей (або її містить, якщо D 0). Так, площина P: Ax  By  D  0 паралельна до осі Oz, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Рис. 7.4. Площина P: Ax  B y  D  0, паралельна осі Oz Мал. 7.3. Площини паралельні площин координат  оскільки її вектор нормалі n(A, B, 0) перпендикулярний осі Oz. Зауважимо, що вона проходить через пряму L: Ax  By  D  0 , що лежить у площині Oxy (рис. 7.4). При D 0 рівняння (7.1) задає площину, що проходить через початок координат. Приклад 7.2. Знайти значення параметра , при яких рівняння x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 визначає площину P: а) паралельну одній з координат б) паралельну до однієї з координатних осей; в) проходить через початок координат. Запишемо дане рівняння у вигляді x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) За будь-якого значення  рівняння (7.3) визначає деяку площину, оскільки коефіцієнти при x, y, z (7.3) не обертаються в нуль одночасно. а) При   0 рівняння (7.3) визначає площину P , паралельну площині Oxy , P: z   3/2 , а при   2 воно визначає площину P , 2 паралельну площині Oyz , P: x  2 . За жодних значень  площина P , яка визначається рівнянням (7.3), не паралельна площині Oxz , оскільки коефіцієнти при x, z (7.3) не обертаються в нуль одночасно. б) При   1 рівняння (7.3) визначає площину P , паралельну осі Oz , P: x  3y  2  0 . За інших значень параметра  воно не визначає площини, паралельної тільки одній з координатних осей. в) При   3 рівняння (7.3) визначає площину P , що проходить через початок координат, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Приклад 7.3. Написати рівняння площини Р, яка проходить через: а) точку M (1,  3, 2) паралельно площині вісь Оху; б) вісь Ох та точку M (2,  1, 3) .   а) За вектор нормалі n до Р тут можна взяти вектор k (0, 0,1) – орт осі Oz, оскільки він перпендикулярний площині Оху. Підставимо координати точки  M (1,  3, 2) та вектора n до рівняння (7.2), отримаємо рівняння площини P: z 3  0.   б) Вектор нормалі n до Р ортогональний векторам i (1, 0, 0) і OM (2,  1, 3) ,  тому за n можна взяти їх векторний добуток: 01   3 j  k . 2 1 3  Підставимо координати точки Про та вектора n у рівняння (7.2), отримаємо рівняння площини P:  3(y  0)  (z  0) 0 або P: 3 y  z  0 .◄ 3

З тією відмінністю, що замість «плоських» графіків ми розглянемо найпоширеніші просторові поверхні, а також навчимося грамотно будувати їх від руки. Я досить довго підбирав програмні засоби для побудови тривимірних креслень і знайшов пару непоганих додатків, але, незважаючи на зручність використання, ці програми погано вирішують важливе практичне питання. Справа в тому, що в найближчому історичному майбутньому студенти, як і раніше, будуть озброєні лінійкою з олівцем, і, навіть маючи якісний «машинний» креслення, багато хто не зможе коректно перенести його на картатий папір. Тому в методичці особливу увагу приділено техніці ручної побудови, і значна частина ілюстрацій сторінки є handmade-продуктом.

Чим відрізняється цей довідковий матеріал від аналогів?

Маючи пристойний практичний досвід, я дуже добре знаю, з якими поверхнями найчастіше доводиться мати справу в реальних завданнях вищої математики, і сподіваюся, що ця стаття допоможе вам у найкоротші терміни поповнити свій багаж відповідними знаннями та прикладними навичками, яких у 90-95% випадків має вистачити.

Що потрібно вміти зараз?

Найпростіше:

По-перше, необхідно вміти правильно будуватипросторову декартову систему координат (Див. початок статті Графіки та властивості функцій) .

Що ви придбаєте після прочитання цієї статті?

Пляшку Після освоєння матеріалів уроку ви навчитеся швидко визначати тип поверхні за її функцією та/або рівнянням, уявляти, як вона розташована в просторі, і, звичайно ж, виконувати креслення. Нічого страшного, якщо не все впаде в голові з одного прочитання - до будь-якого параграфа при необхідності завжди можна повернутися пізніше.

Інформація під силу кожному – для її освоєння не потрібно якихось надзнань, особливого художнього таланту та просторового зору.

Починаємо!

На практиці просторова поверхня зазвичай задається функцією двох зміннихабо рівнянням виду (Константа правої частини найчастіше дорівнює нулю або одиниці). Перше позначення більше притаманно математичного аналізу, друге – для аналітичної геометрії. Рівняння , по суті, є неявно заданоюфункцією 2 змінних, яку у типових випадках легко привести до вигляду . Нагадую найпростіший приклад з:

–рівняння площинивиду.

- функція площини в явному вигляді .

Давайте з неї і почнемо:

Поширені рівняння площин

Типові варіанти розташування площин у прямокутній системі координат детально розглянуті на початку статті Рівняння площини. Тим не менш, ще раз зупинимося на рівняннях, які мають велике значення для практики.

Перш за все, ви повинні на повному автоматі пізнавати рівняння площин, які є паралельними координатним площинам . Фрагменти площин стандартно зображують прямокутниками, які в останніх двох випадках виглядають як паралелограми. За умовчанням розміри можна вибрати будь-які (в розумних межах, звичайно), при цьому бажано, щоб точка, в якій координатна вісь «протикає» площину, була центром симетрії:


Строго кажучи, координатні осі місцями слід було зобразити пунктиром, але щоб уникнути плутанини нехтуватимемо цим нюансом.

– (лівий креслення)нерівність задає далекий від нас напівпростір, виключаючи саму площину;

– (Середній креслення)нерівність задає праве напівпростір, включаючи площину;

– (Правий креслення)подвійна нерівність задає «шар», розташований між площинами, включаючи обидві площини.

Для самостійної розминки:

Приклад 1

Зобразити тіло, обмежене площинами
Скласти систему нерівностей, що визначають це тіло.

З-під грифеля вашого олівця має вийти старий знайомий прямокутний паралелепіпед. Не забувайте, що невидимі ребра та грані потрібно прокреслити пунктиром. Готовий креслення наприкінці уроку.

Будь ласка, НЕ ЗНЕБЕРАЙТЕнавчальними завданнями, навіть якщо вони здаються надто простими. А то може статися, раз пропустили, два пропустили, а потім витратили биту годину, вимучуючи тривимірне креслення в якомусь реальному прикладі. Крім того, механічна робота допоможе набагато ефективніше засвоїти матеріал та розвинути інтелект! Не випадково у дитячому садку та початковій школі дітей завантажують малюванням, ліпленням, конструкторами та іншими завданнями на дрібну моторику пальців. Вибачте за відступ, не пропадати ж моїм двома зошитами за віковою психологією =)

Наступну групу площин умовно назвемо "прямими пропорційностями" - це площини, що проходять через координатні осі:

2) рівняння виду задає площину, що проходить через вісь;

3) рівняння виду задає площину, що проходить через вісь.

Хоча формальна ознака очевидна (яка змінна відсутня у рівнянні – через ту вісь і проходить площину), завжди корисно розуміти суть подій, що відбуваються:

Приклад 2

Побудувати площину

Як краще здійснити побудову? Пропоную наступний алгоритм:

Спочатку перепишемо рівняння у вигляді , з якого добре видно, що «Ігрек» може приймати будь-якізначення. Зафіксуємо значення , тобто розглядатимемо координатну площину . Рівняння задають просторову пряму, що лежить у цій координатній площині. Зобразимо цю лінію на кресленні. Пряма проходить через початок координат, тому для її побудови достатньо знайти одну точку. Нехай. Відкладаємо крапку та проводимо пряму.

Тепер повертаємось до рівняння площини. Оскільки «гравець» приймає будь-якізначення, то побудована у площині пряма безперервно «тиражується» вліво та вправо. Саме так і утворюється наша площина, що проходить через вісь. Щоб завершити креслення, ліворуч і праворуч від прямої відкладаємо дві паралельні лінії та поперечними горизонтальними відрізками «замикаємо» символічний паралелограм:

Так як умова не накладала додаткових обмежень, то фрагмент площини можна було зобразити трохи менших або більших розмірів.

Ще раз повторимо зміст просторової лінійної нерівності на прикладі. Як визначити напівпростір, який він ставить? Беремо якусь точку, не належитьплощині, наприклад, точку з ближнього до нас напівпростору і підставляємо її координати в нерівність:

Отримано правильна нерівність, Отже, нерівність задає нижній (щодо площині) напівпростір, при цьому сама площина не входить у рішення.

Приклад 3

Побудувати площини
а);
б).

Це завдання для самостійної побудови, у разі складнощів використовуйте аналогічні міркування. Короткі вказівки та креслення наприкінці уроку.

Насправді особливо поширені площини, паралельні осі . Окремий випадок, коли площина проходить через вісь, щойно був у пункті «бе», і зараз ми розберемо загальне завдання:

Приклад 4

Побудувати площину

Рішення: в рівняння в явному вигляді не бере участь змінна «зет», а значить, площина паралельна осі аплікат. Застосуємо ту ж техніку, що й у попередніх прикладах.

Перепишемо рівняння площини у вигляді з якого зрозуміло, що «зет» може приймати будь-якізначення. Зафіксуємо і в «рідній» площині накреслимо звичайну «плоску» пряму. Для її побудови зручно взяти опорні точки.

Оскільки «зет» приймає Усезначення, то побудована пряма безперервно «розмножується» вгору і вниз, утворюючи цим шукану площину . Акуратно оформляємо паралелограм розумної величини:

Готово.

Рівняння площини у відрізках

Найважливіший прикладний різновид. Якщо Усекоефіцієнти загального рівняння площини відмінні від нуля, то воно представимо у вигляді , який називається рівнянням площини у відрізках. Очевидно, що площина перетинає координатні осі в точках і велика перевага такого рівняння полягає в легкості побудови креслення:

Приклад 5

Побудувати площину

Рішення: спочатку складемо рівняння площини у відрізках. Перекинемо вільний член праворуч і розділимо обидві частини на 12:

Ні, тут не друкарська помилка і всі справи відбуваються саме в просторі! Досліджуємо запропоновану поверхню тим самим методом, що нещодавно використовували для площин. Перепишемо рівняння у вигляді , з якого випливає, що «зет» приймає будь-якізначення. Зафіксуємо і побудуємо у площині еліпс. Оскільки «зет» приймає Усезначення, то побудований еліпс безперервно «тиражується» вгору та вниз. Легко зрозуміти, що поверхня нескінченна:

Ця поверхня називається еліптичним циліндром. Еліпс (на будь-якій висоті) називається спрямовуючоюциліндра, а паралельні прямі, що проходять через кожну точку еліпса, називаються утворюючимициліндра (які у буквальному значенні слова його і утворюють). Вісь є віссю симетріїповерхні (але не її частиною!).

Координати будь-якої точки, що належить даній поверхні, обов'язково задовольняють рівняння .

Просторовенерівність задає «начинку» нескінченної «труби», включаючи саму циліндричну поверхню, і, відповідно, протилежна нерівність визначає безліч точок поза циліндром.

У практичних завданнях найбільш популярний окремий випадок, коли спрямовуючоюциліндра є коло:

Приклад 8

Побудувати поверхню, задану рівнянням

Нескінченну «трубу» зобразити неможливо, тому мистецтва обмежуються, як правило, «обрізанням».

Спочатку зручно побудувати коло радіусу в площині, а потім ще пару кіл зверху і знизу. Отримані кола ( напрямніциліндра) акуратно з'єднуємо чотирма паралельними прямими ( утворюючимициліндра):

Не забуваймо використовувати пунктир для невидимих ​​нам ліній.

Координати будь-якої точки, що належить даному циліндру, задовольняють рівняння . Координати будь-якої точки, що лежить суворо всередині «труби», задовольняють нерівність , а нерівність задає безліч точок зовнішньої частини. Для кращого розуміння рекомендую розглянути кілька конкретних точок простору та переконатися у цьому самостійно.

Приклад 9

Побудувати поверхню та знайти її проекцію на площину

Перепишемо рівняння у вигляді з якого випливає, що «ікс» приймає будь-якізначення. Зафіксуємо і в площині зобразимо коло- З центром на початку координат, одиничного радіусу. Оскільки «ікс» безперервно приймає Усезначення, то побудоване коло породжує круговий циліндр із віссю симетрії . Малюємо ще одне коло ( спрямовуючуциліндра) і акуратно з'єднуємо їх прямими ( утворюючимициліндра). Місцями вийшли накладки, але що робити, такий нахил:

Цього разу я обмежився шматочком циліндра на проміжку, і це не випадково. Насправді часто й потрібно зобразити лише невеликий фрагмент поверхні.

Тут, до речі, вийшло 6 утворюючих – дві додаткові прямі «закривають» поверхню з лівого верхнього та правого нижнього кутів.

Тепер знаємо проекцію циліндра на площину. Багато читачів розуміють, що таке проекція, проте проведемо чергову фізкульт-п'ятихвилинку. Будь ласка, встаньте і схиліть голову над кресленням так, щоб вістря осі дивилося перпендикулярно вам у чоло. Те, чим з цього ракурсу здається циліндр – і є його проекція на площину. А здається він нескінченною смугою, укладеною між прямими, включаючи самі прямі. Ця проекція – це точно область визначенняфункцій (верхній "жолоб" циліндра), (нижній "жолоб").

Давайте, до речі, прояснимо ситуацію і з проекціями на інші координатні площини. Нехай промені сонця світять на циліндр з боку вістря і вздовж осі. Тінню (проекцією) циліндра на площину є аналогічна нескінченна смуга – частина площини, обмежена прямими ( – будь-яке), включаючи самі прямі.

А ось проекція на площину дещо інша. Якщо дивитися на циліндр з вістря осі, то він спроектується в коло одиничного радіусу. , з якої ми починали побудову.

Приклад 10

Побудувати поверхню та знайти її проекції на координатні площини

Це завдання самостійного рішення. Якщо умова не дуже зрозуміла, зведіть обидві частини квадрат і проаналізуйте результат; з'ясуйте, яку саме частину циліндра задає функція . Використовуйте методику побудови, яка неодноразово застосовувалася вище. Коротке рішення, креслення та коментарі наприкінці уроку.

Еліптичні та інші циліндричні поверхні можуть бути зміщені щодо координатних осей, наприклад:

(за знайомими мотивами статті про лініях 2-го порядку) - Циліндр одиничного радіусу з лінією симетрії, що проходить через точку паралельно осі. Однак на практиці подібні циліндри трапляються досить рідко, і зовсім неймовірно зустріти «косу» щодо координатних осей циліндричну поверхню.

Параболічні циліндри

Як випливає з назви, спрямовуючоютакого циліндра є парабола.

Приклад 11

Побудувати поверхню та знайти її проекції на координатні площини.

Не міг утриматись від цього прикладу =)

Рішення: йдемо второваною стежкою. Перепишемо рівняння у вигляді , з якого випливає, що «зет» може набувати будь-яких значень. Зафіксуємо і збудуємо звичайну параболу на площині, попередньо відзначивши тривіальні опорні точки. Оскільки «зет» приймає Усезначення, то побудована парабола безперервно «тиражується» вгору і вниз до безкінечності. Відкладаємо таку ж параболу, скажімо, на висоті (у площині) і акуратно з'єднуємо їх паралельними прямими ( утворюючими циліндра):

Нагадую корисний технічний прийом: якщо спочатку немає впевненості як креслення, то лінії спочатку краще прокреслити тонко-тонко олівцем. Потім оцінюємо якість ескізу, з'ясовуємо ділянки, де поверхня прихована від очей, і лише потім надаємо натиск грифелю.

Проекції.

1) Проекцією циліндра на площину є парабола. Слід зазначити, що в даному випадку не можна міркувати про області визначення функції двох змінних- З тієї причини, що рівняння циліндра не призводить до функціонального вигляду .

2) Проекція циліндра на площину є напівплощиною, включаючи вісь

3) І, нарешті, проекцією циліндра на площину є вся площина.

Приклад 12

Побудувати параболічні циліндри:

а) обмежитися фрагментом поверхні в ближньому напівпросторі;

б) на проміжку

У разі труднощів не поспішаємо і розмірковуємо за аналогією з попередніми прикладами, благо технологія досконало відпрацьована. Не критично, якщо поверхні виходитимуть трохи корявими – важливо правильно відобразити принципову картину. Я і сам особливо не морочуся над красою ліній, якщо вийшов стерпний креслення «на трієчку», зазвичай не переробляю. У зразку рішення, до речі, використано ще один прийом, що дозволяє покращити якість креслення;-)

Гіперболічні циліндри

Напрямнимитаких циліндрів є гіперболи. Цей тип поверхонь, за моїми спостереженнями, зустрічається значно рідше, ніж попередні види, тому я обмежуся єдиним схематичним кресленням гіперболічного циліндра:

Принцип міркування тут такий самий – звичайна шкільна гіперболаз площини безперервно «розмножується» вгору та вниз до нескінченності.

Розглянуті циліндри відносяться до так званих поверхням 2-го порядку, і зараз ми продовжимо знайомитись з іншими представниками цієї групи:

Еліпсоїд. Сфера та куля

Канонічне рівняння еліпсоїда у прямокутній системі координат має вигляд , де - позитивні числа ( півосіеліпсоїда), які в загальному випадку різні. Еліпсоїдом називають як поверхня, так і тіло, обмежена цією поверхнею. Тіло, як багато хто здогадався, задається нерівністю і координати будь-якої внутрішньої точки (а також будь-якої точки поверхні) обов'язково задовольняють цю нерівність. Конструкція симетрична щодо координатних осей та координатних площин:

Походження терміна «еліпсоїд» теж очевидне: якщо поверхню «розрізати» координатними площинами, то в перерізах вийдуть три різні (загалом)

Рівняння першого порядку з трьома невідомими має вигляд Ax + Ву + Cz + D = 0, причому хоча б один з коефіцієнтів A, C повинен бути відмінний від нуля. Воно задає у просторі в прямокутної системи координат Oxyz поверхню алгебри першого порядку.

Властивості поверхні алгебри першого порядку багато в чому аналогічні властивостям прямої на площині - геометричному образу рівняння першого порядку з двома невідомими.

Теорема 5.1.Будь-яка площина у просторі є поверхнею першого порядку і кожна поверхня першого порядку у просторі є площину.

◄ Як затвердження теореми, так і її доказ аналогічні до теореми 4.1. Дійсно, нехай площина π задана своєю точкою М 0 і ненульовим вектором n, який їй перпендикулярний. Тоді безліч усіх точок у просторі розбивається на три підмножини. Перше складається з точок, що належать площині, а два інших - з точок, розташованих по одну та з іншої сторони площини. Якій із цих множин належить довільна точка M простору, залежить від знака скалярного твору nM 0 M. Якщо точка M належить площині (рис. 5.1 а), то кут між векторами n і M 0 M прямий, і тому згідно теореми 2.7 їх скалярний добуток дорівнює нулю:

nM 0 M = 0

Якщо точка M не належить площині, то кут між векторами n і M 0 M гострий або тупий, і тому nM 0 M > 0 або nM 0 M

Позначимо координати точок M 0 , M та вектора n через (х 0 ; у 0 ; z 0), (х; у; z) і (A; В; C) відповідно. Оскільки M 0 M = (х - х 0 0; у - у 0 ; z - z 0 ), то, записуючи скалярний твір з (5.1) у координатній формі (2.14) як суму попарних творів однойменних координат векторів n та M 0 M , отримуємо умову належності точки M площині, що розглядається, у вигляді

A(x - х 0) + В(у - у 0) + C (z - z 0) = 0. (5.2)

Розкриття дужок дає рівняння

Ax + Ву + Cz + D = 0, (5.3)

де D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 і хоча б один з коефіцієнтів A, або C відрізняється від нуля, так як вектор n = (A; В; C) ненульовий. Це означає, що є геометричним чином рівняння (5.3), тобто. поверхнею алгебри першого порядку.

Провівши викладений доказ першого затвердження теореми у зворотному порядку, ми доведемо, що геометричним чином рівняння Ax + Ву + Cz + D = 0, A 2 + В 2 + C 2 = 0 є площина. Виберемо три числа (х = х 0, у = у 0, z = z 0), що задовольняють цього рівняння. Такі числа є. Наприклад, за A ≠ 0 можна покласти у 0 = 0, z 0 = 0 і тоді х 0 = - D/A. Вибраним числам відповідає точка M 0 (x 0 ; у 0 ; z 0), що належить геометричному образу заданого рівняння. З рівності Ax 0 + Ву 0 + Cz 0 + D = 0 випливає, що D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0. Підставляючи цей вираз у розглянуте рівняння, отримуємо Ax + Ву + Cz - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 = 0, що рівносильно (5.2). Рівність (5.2) можна як критерій ортогональності векторів n = (A; В; C) та M 0 M , де точка M має координати (х; у; z). Цей критерій виконаний для точок площини, що проходить через точку M 0 перпендикулярно вектору n = (A; В; C) і не виконаний для інших точок простору. Отже, рівняння (5.2) є рівнянням зазначеної площини.

Рівняння Ax + Ву + Cz + D = 0 називають загальним рівнянням площини. Коефіцієнти A, B, C при невідомих у цьому рівнянні мають наочний геометричний зміст: вектор n = (A; В; C) перпендикулярний площині. Його називають нормальним вектором площині. Він, як і загальне рівняння площини, визначається з точністю до (ненульового) числового множника.

За відомими координатами точки, що належить деякій площині, та ненульового вектора, перпендикулярного їй, за допомогою (5.2) рівняння площини записується без будь-яких обчислень.

Приклад 5.1.Знайдемо загальне рівняння площини перпендикулярної радіус-векторуточки A(2; 5; 7) і проходить через точку М 0 (3; - 4; 1).

Оскільки ненульовий вектор OA = (2; 5; 7) перпендикулярний площині, що шукається, то її рівняння типу (5.2) має вигляд 2(х - 3) + 5(у + 4) + 7(z- 1) = 0. Розкриваючи дужки , отримуємо загальне рівняння площини 2х + 5у + 7z + 7 = 0.