Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Unghi mic de atac - [A.S. Goldberg. Dicționar energetic englez-rus. 2006] Subiecte inginerie energetică în general Sinonime unghi scăzut de atac EN incidență negativă incidență scăzută ...

unghi negativ de tăiere- - Subiecte industria petrolului și gazelor EN unghi negativ de tăiere unghi negativ de tăiere grebla negativă ... Ghidul tehnic al traducătorului

unghiul de teșire negativ al suprafeței superioare a periei- [GOST 21888 82 (IEC 276 68, IEC 560 77)] Subiecte ale mașinilor electrice rotative în general... Ghidul tehnic al traducătorului

unghiul aripii Enciclopedia „Aviație”

unghiul aripii- Unghi de instalare a aripii. unghiul unghiului de instalare al aripii φ0 între coarda centrală a aripii și axa de bază a aeronavei (vezi figura). În funcție de configurația aerodinamică a aeronavei, acest unghi poate fi fie pozitiv, fie negativ. De obicei … Enciclopedia „Aviație”

Unghiul aripii- unghiul (φ)0 dintre coarda centrală a aripii și axa de bază a aeronavei. În funcție de configurația aerodinamică a aeronavei, acest unghi poate fi fie pozitiv, fie negativ. De obicei este în intervalul de la -2(°) la +3(°). Unghi (φ)0… … Enciclopedia tehnologiei

unghiul de amăgire- (Unghi deprimat) unghiul format de linia de elevație (cm) cu orizontul când primul trece sub orizont, adică un unghi de elevație negativ. Dicționar marin Samoilov K.I. M.L.: Editura Navală de Stat a Uniunii NKVMF... ... Dicționar marin

UNGHIUL AXELOR OPTICE- unghi ascutit intre opt. axe în arbori biaxiali. U. o. O. numit pozitiv când bisectoarea acută este Ng și negativă când bisectoarea acută este Np (vezi Cristal biaxial optic). Adevărat U. o. O. este desemnat...... Enciclopedie geologică

Rolă (unghi)- Acest termen are alte semnificații, vezi Castor. θ roată, linia roșie este axa de direcție a roții. În figură, roata este pozitivă (unghiul este măsurat în sensul acelor de ceasornic, partea din față a mașinii este pe stânga) ... Wikipedia

Rolă (unghi de rotație)- Rolă θ, linia roșie este axa de direcție a roții. În figură, roata este pozitivă (unghiul este măsurat în sensul acelor de ceasornic, partea din față a mașinii este pe stânga) Rota (rota engleză) este unghiul de înclinare longitudinală a axei de rotație a roții mașinii. Castor... ...Wikipedia

unghi de inclinare- 3.2.9 unghi de rake: Unghiul dintre suprafața de rake și planul de bază (vezi Figura 5). 1 unghi negativ de greblare; 2 unghi pozitiv de rake Figura 5 Unghiuri de rake

Un concept important în trigonometrie este unghiul de rotatie. Mai jos vom oferi în mod constant o idee despre turneu și vom introduce toate conceptele aferente. Să începem cu o idee generală a unei viraj, să spunem o rotație completă. În continuare, să trecem la conceptul de unghi de rotație și să luăm în considerare principalele sale caracteristici, cum ar fi direcția și mărimea rotației. În cele din urmă, dăm definiția rotației unei figuri în jurul unui punct. Vom oferi întreaga teorie în text cu exemple explicative și ilustrații grafice.

Navigare în pagină.

Cum se numește rotația unui punct în jurul unui punct?

Să observăm imediat că, împreună cu expresia „rotire în jurul unui punct”, vom folosi și expresiile „rotire în jurul unui punct” și „rotire în jurul unui punct”, care înseamnă același lucru.

Să vă prezentăm conceptul de întoarcere a unui punct în jurul unui punct.

Mai întâi, să definim centrul de rotație.

Definiție.

Se numește punctul în jurul căruia se face rotația centrul de rotație.

Acum, să spunem ce se întâmplă ca urmare a rotirii punctului.

În urma rotirii unui anumit punct A în raport cu centrul de rotație O, se obține un punct A 1 (care, în cazul unui anumit număr, poate coincide cu A), iar punctul A 1 se află pe un cerc cu o centru în punctul O al razei OA. Cu alte cuvinte, atunci când este rotit în raport cu punctul O, punctul A merge în punctul A 1 situat pe un cerc cu un centru în punctul O cu raza OA.

Se crede că punctul O, atunci când se întoarce în jurul său, se transformă în sine. Adică, ca rezultat al rotației în jurul centrului de rotație O, punctul O se transformă în sine.

De asemenea, este de remarcat faptul că rotația punctului A în jurul punctului O ar trebui considerată ca o deplasare ca urmare a mișcării punctului A într-un cerc cu un centru în punctul O al razei OA.

Pentru claritate, vom oferi o ilustrare a rotației punctului A în jurul punctului O; în figurile de mai jos, vom arăta mișcarea punctului A către punctul A1 folosind o săgeată.

Turn complet

Este posibil să se rotească punctul A în raport cu centrul de rotație O, astfel încât punctul A, după ce a trecut de toate punctele cercului, să fie în același loc. În acest caz, ei spun că punctul A s-a deplasat în jurul punctului O.

Să dăm o ilustrare grafică a unei revoluții complete.

Dacă nu vă opriți la o singură rotație, ci continuați să mutați punctul în jurul cercului, atunci puteți efectua două, trei și așa mai departe revoluții complete. Desenul de mai jos arată cum se pot face două ture complete la dreapta și trei ture la stânga.

Conceptul unghiului de rotație

Din conceptul de rotire a unui punct introdus în primul paragraf, este clar că există un număr infinit de opțiuni pentru rotirea punctului A în jurul punctului O. Într-adevăr, orice punct dintr-un cerc cu un centru în punctul O cu raza OA poate fi considerat ca punct A 1 obținut ca urmare a rotației punctului A. Prin urmare, pentru a distinge o tură de alta, introducem conceptul de unghi de rotație.

Una dintre caracteristicile unghiului de rotație este Directia rotatiei. Direcția de rotație determină dacă punctul este rotit în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic.

O altă caracteristică a unghiului de rotație este sa magnitudinea. Unghiurile de rotație sunt măsurate în aceleași unități ca: grade și radiani sunt cele mai comune. Este de remarcat aici că unghiul de rotație poate fi exprimat în grade prin orice număr real de la minus infinit la plus infinit, spre deosebire de unghiul din geometrie, a cărui valoare în grade este pozitivă și nu depășește 180.

Literele mici ale alfabetului grecesc sunt de obicei folosite pentru a indica unghiurile de rotație: etc. Pentru a desemna un număr mare de unghiuri de rotație, este adesea folosită o literă cu indice, de exemplu, .

Acum să vorbim despre caracteristicile unghiului de rotație mai detaliat și în ordine.

Direcția de întoarcere

Punctele A și A 1 să fie marcate pe un cerc cu centrul în punctul O. Puteți ajunge la punctul A 1 din punctul A rotind în jurul centrului O fie în sensul acelor de ceasornic, fie în sens invers acelor de ceasornic. Este logic să considerăm aceste viraje diferite.

Să ilustrăm rotații într-o direcție pozitivă și negativă. Desenul de mai jos arată rotația într-o direcție pozitivă în stânga și într-o direcție negativă în dreapta.

Valoarea unghiului de rotație, unghiul de valoare arbitrară

Unghiul de rotație al unui punct altul decât centrul de rotație este complet determinat prin indicarea mărimii acestuia; pe de altă parte, după mărimea unghiului de rotație se poate judeca modul în care a fost efectuată această rotație.

După cum am menționat mai sus, unghiul de rotație în grade este exprimat ca un număr de la −∞ la +∞. În acest caz, semnul plus corespunde unei rotații în sensul acelor de ceasornic, iar semnul minus corespunde unei rotații în sens invers acelor de ceasornic.

Acum rămâne de stabilit o corespondență între valoarea unghiului de rotație și rotația căreia îi corespunde.

Să începem cu un unghi de rotație de zero grade. Acest unghi de rotație corespunde mișcării punctului A spre sine. Cu alte cuvinte, atunci când este rotit cu 0 grade în jurul punctului O, punctul A rămâne pe loc.

Se trece la rotirea punctului A în jurul punctului O, în care rotația are loc în decurs de o jumătate de rotație. Vom presupune că punctul A merge la punctul A 1. În acest caz, valoarea absolută a unghiului AOA 1 în grade nu depășește 180. Dacă rotația a avut loc într-o direcție pozitivă, atunci valoarea unghiului de rotație este considerată egală cu valoarea unghiului AOA 1, iar dacă rotația a avut loc în sens negativ, atunci valoarea sa este considerată egală cu valoarea unghiului. AOA 1 cu semnul minus. Ca exemplu, iată o imagine care arată unghiuri de rotație de 30, 180 și -150 de grade.

Unghiurile de rotație mai mari de 180 de grade și mai mici de -180 de grade sunt determinate pe baza următoarelor, destul de evidente proprietăţile spirelor succesive: mai multe rotații succesive ale punctului A în jurul centrului O sunt echivalente cu o rotație, a cărei mărime este egală cu suma mărimilor acestor rotații.

Să dăm un exemplu care ilustrează această proprietate. Să rotim punctul A în raport cu punctul O cu 45 de grade, apoi să rotim acest punct cu 60 de grade, după care să rotim acest punct cu -35 de grade. Să notăm punctele intermediare în timpul acestor ture ca A 1, A 2 și A 3. Am putea ajunge la același punct A 3 efectuând o rotație a punctului A la un unghi de 45+60+(−35)=70 de grade.

Deci, vom reprezenta unghiuri de rotație mai mari de 180 de grade ca mai multe ture succesive pe unghiuri, a căror sumă dă valoarea unghiului de rotație inițial. De exemplu, un unghi de rotație de 279 de grade corespunde rotațiilor succesive de 180 și 99 de grade, sau 90, 90, 90 și 9 grade, sau 180, 180 și -81 de grade, sau 279 de rotații succesive de 1 grad.

Unghiurile de rotație mai mici de -180 de grade sunt determinate în mod similar. De exemplu, un unghi de rotație de -520 de grade poate fi interpretat ca rotații succesive ale punctului cu -180, -180 și -160 de grade.

Rezuma. Am determinat unghiul de rotație, a cărui valoare în grade este exprimată printr-un număr real din intervalul de la −∞ la +∞. În trigonometrie, vom lucra în mod specific cu unghiuri de rotație, deși cuvântul „rotație” este adesea omis și ei spun pur și simplu „unghi”. Astfel, în trigonometrie vom lucra cu unghiuri de mărime arbitrară, prin care înțelegem unghiuri de rotație.

Pentru a încheia acest punct, observăm că o rotație completă în direcția pozitivă corespunde unui unghi de rotație de 360 ​​de grade (sau 2 π radiani), iar în direcție negativă - un unghi de rotație de -360 de grade (sau -2 π rad) . În acest caz, este convenabil să se reprezinte unghiuri mari de rotație ca un anumit număr de rotații complete și o altă rotație la un unghi cuprins între -180 și 180 de grade. De exemplu, să luăm un unghi de rotație de 1.340 de grade. Este ușor să ne imaginăm 1.340 ca 360·4+(−100) . Adică, unghiul de rotație inițial corespunde la 4 ture complete în direcția pozitivă și o rotație ulterioară de -100 de grade. Un alt exemplu: un unghi de rotație de −745 grade poate fi interpretat ca două rotații în sens invers acelor de ceasornic urmate de o rotație de −25 grade, deoarece −745=(−360) 2+(−25) .

Rotiți o formă în jurul unui punct cu un unghi

Conceptul de rotație a punctelor este ușor de extins la rotiți orice formă în jurul unui punct cu un unghi(vorbim despre o astfel de rotație, încât atât punctul despre care se efectuează rotația, cât și figura care este rotită se află în același plan).

Prin rotirea unei figuri înțelegem rotirea tuturor punctelor figurii în jurul unui punct dat cu un unghi dat.

Ca exemplu, să ilustrăm următoarea acțiune: rotiți segmentul AB cu un unghi față de punctul O; acest segment, atunci când este rotit, se va transforma în segmentul A 1 B 1.

Bibliografie.

• Algebră: Manual pentru clasa a IX-a. medie scoala/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Educație, 1990.- 272 p.: ill.- isbn 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov.- ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

O pereche de raze diferite Oa și Ob care emană dintr-un punct O se numește unghi și se notează prin simbolul (a, b). Punctul O se numește vârful unghiului, iar razele Oa și Ob se numesc laturile unghiului. Dacă A și B sunt două puncte ale razelor Oa și Ob, atunci (a, b) se notează și prin simbolul AOB (Fig. 1.1).

Un unghi (a, b) se numește desfășurat dacă razele Oa și Ob, care ies din același punct, se află pe aceeași linie dreaptă și nu coincid (adică direcții opuse).

Fig.1.1

Două unghiuri sunt considerate egale dacă un unghi poate fi suprapus peste celălalt astfel încât laturile unghiurilor să coincidă. Bisectoarea unui unghi este o rază cu originea la vârful unghiului, împărțind unghiul în două unghiuri egale.

Ei spun că raza OS care emană de la vârful unghiului AOB se află între laturile sale dacă intersectează segmentul AB (Fig. 1.2). Se spune că punctul C se află între laturile unui unghi dacă prin acest punct este posibil să se deseneze o rază cu originea la vârful unghiului și situată între laturile unghiului. Ansamblul tuturor punctelor planului situate între laturile unghiului formează regiunea internă a unghiului (Fig. 1.3). Setul de puncte ale planului care nu aparțin regiunii interne și laturilor unghiului formează regiunea exterioară a unghiului.

Unghiul (a, b) este considerat mai mare decât unghiul (c, d) dacă unghiul (c, d) poate fi suprapus peste unghiul (a, b), astfel încât, după combinarea unei perechi de laturi, a doua latură a unghiului (c, d) va fi situat între laturile unghiului (a, b). În fig. 1.4 AOB este mai mare decât AOC.

Fie raza c să se afle între laturile unghiului (a, b) (Fig. 1.5). Perechile de raze a, c și c, b formează două unghiuri. Unghiul (a, b) se spune că este suma a două unghiuri (a, c) și (c, b) și scriu: (a, b) = (a, c) + (c, b).

Fig.1.3

De obicei, în geometrie avem de-a face cu unghiuri mai mici decât unghiul desfășurat. Cu toate acestea, adăugarea a două unghiuri poate avea ca rezultat un unghi mai mare decât cel desfășurat. În acest caz, acea parte a planului care este considerată zona interioară a colțului este marcată cu un arc. În fig. 1.6, partea interioară a unghiului AOB, obținută prin adăugarea unghiurilor AOS și COB și a celui mai mare desfășurat, este marcată cu arc.

Fig.1.5

Există și unghiuri mai mari de 360°. Astfel de unghiuri sunt formate, de exemplu, prin rotirea elicei unui avion, rotația unui tambur pe care este înfășurată o frânghie etc.

În viitor, atunci când luăm în considerare fiecare unghi, vom fi de acord să considerăm una dintre laturile acestui unghi ca latură inițială, iar cealaltă ca latură finală.

Orice unghi, de exemplu unghiul AOB (Fig. 1.7), poate fi obținut prin rotirea unui fascicul în mișcare în jurul vârfului O de la latura inițială a unghiului (OA) la latura sa finală (OB). Vom măsura acest unghi, ținând cont de numărul total de rotații făcute în jurul punctului O, precum și de direcția în care s-a produs rotația.

Unghiuri pozitive și negative.

Să avem un unghi format din razele OA și OB (Fig. 1.8). Fasciculul în mișcare, care se rotește în jurul punctului O din poziția sa inițială (OA), își poate lua poziția finală (OB) în două direcții diferite de rotație. Aceste direcții sunt prezentate în Figura 1.8 prin săgețile corespunzătoare.

Fig.1.7

Așa cum pe axa numerelor una dintre cele două direcții este considerată pozitivă și cealaltă negativă, se disting și două direcții diferite de rotație ale fasciculului în mișcare. Am convenit să considerăm direcția pozitivă de rotație ca fiind direcția opusă direcției de rotație în sensul acelor de ceasornic. Sensul de rotație care coincide cu sensul de rotație în sensul acelor de ceasornic este considerat negativ.

Conform acestor definiții, unghiurile sunt, de asemenea, clasificate în pozitive și negative.

Un unghi pozitiv este unghiul format prin rotirea fasciculului în mișcare în jurul punctului de plecare într-o direcție pozitivă.

Figura 1.9 prezintă câteva unghiuri pozitive. (Directia de rotatie a fasciculului in miscare este indicata in desene prin sageti.)

Un unghi negativ este unghiul format prin rotirea fasciculului în mișcare în jurul punctului de plecare într-o direcție negativă.

Figura 1.10 prezintă câteva unghiuri negative. (Directia de rotatie a fasciculului in miscare este indicata in desene prin sageti.)

Dar două raze coincidente pot forma și unghiuri +360°n și -360°n (n = 0,1,2,3,...). Să notăm cu b cel mai mic unghi nenegativ posibil de rotație care transferă fasciculul OA în poziția OB. Dacă acum raza OB face o revoluție completă suplimentară în jurul punctului O, atunci obținem o valoare diferită a unghiului, și anume: ABO = b + 360°.

Măsurarea unghiurilor folosind arce de cerc. Unități pentru arce și unghiuri

În unele cazuri, se dovedește a fi convenabil să măsurați unghiurile folosind arce circulare. Posibilitatea unei astfel de măsurători se bazează pe binecunoscuta propunere a planimetriei că într-un cerc (sau în cercuri egale) unghiurile centrale și arcele corespunzătoare sunt direct proporționale.

Fie ca un arc de cerc dat să fie luat ca unitate de măsură a arcelor. Luăm ca unitate de măsură pentru unghiuri unghiul central corespunzător acestui arc. În această condiție, orice arc de cerc și unghiul central corespunzător acestui arc vor conține același număr de unități de măsură. Prin urmare, prin măsurarea arcelor de cerc, se poate determina valoarea unghiurilor centrale corespunzătoare acestor arce.

Să ne uităm la cele două sisteme cele mai comune pentru măsurarea arcurilor și unghiurilor.

Măsura gradului de unghiuri

La măsurarea unghiurilor în grade, un unghi de un grad (notat cu 1?) este luat ca unitate de măsură de bază a unghiurilor (unghiul de referință cu care sunt comparate diferite unghiuri). Un unghi de un grad este un unghi egal cu 1/180 din unghiul inversat. Un unghi egal cu 1/60 dintr-un unghi de 1° este un unghi de un minut (notat 1"). Un unghi egal cu 1/60 dintr-un unghi de un minut este un unghi de o secundă (notat 1").

Măsura radianilor unghiurilor

Alături de măsurarea gradului de unghiuri, geometria și trigonometria folosesc și o altă măsură a unghiurilor, numită radian. Să considerăm un cerc de rază R cu centrul O. Să desenăm două raze O A și OB astfel încât lungimea arcului AB să fie egală cu raza cercului (Fig. 1.12). Unghiul central rezultat AOB va fi un unghi de un radian. Un unghi de 1 radian este luat ca unitate de măsură în radian pentru unghiuri. La măsurarea unghiurilor în radiani, unghiul rotit este egal cu p radiani.

Unitățile de măsură ale unghiurilor de grad și radiani sunt legate prin egalități:

1 radian =180?/р57° 17" 45"; 1?=p/180 radiani0,017453 radiani;

1"=p/180*60 radian0,000291 radian;

1""=p/180*60*60 radiani0,000005 radiani.

Măsura gradului (sau radianului) a unui unghi se mai numește și mărimea unghiului. Unghiul AOB este uneori notat /

Clasificarea unghiurilor

Un unghi egal cu 90°, sau în radian p/2, se numește unghi drept; este adesea notat cu litera d. Un unghi mai mic de 90° se numește acut; Un unghi mai mare de 90° dar mai mic de 180° se numește obtuz.

Două unghiuri care au o latură comună și se adună până la 180° se numesc unghiuri adiacente. Două unghiuri care au o latură comună și se adună până la 90° se numesc unghiuri suplimentare.

Colţ: ° π rad =

Convertiți în: radiani grade 0 - 360° 0 - 2π pozitiv negativ Calculați

Când liniile se intersectează, există patru zone diferite în raport cu punctul de intersecție.
Aceste noi zone sunt numite colțuri.

Imaginea prezintă 4 unghiuri diferite formate prin intersecția dreptelor AB și CD

Unghiurile sunt de obicei măsurate în grade, care este notat cu °. Când un obiect face un cerc complet, adică se deplasează din punctul D prin B, C, A și apoi înapoi la D, atunci se spune că s-a întors la 360 de grade (360 °). Deci un grad este $\frac(1)(360)$ dintr-un cerc.

Unghiuri mai mari de 360 ​​de grade

Am vorbit despre cum, atunci când un obiect face un cerc complet în jurul unui punct, merge la 360 de grade, totuși, când un obiect face mai mult de un cerc, face un unghi de peste 360 ​​de grade. Acesta este un eveniment comun în viața de zi cu zi. Roata se învârte în multe cercuri când mașina se mișcă, adică formează un unghi de peste 360°.

Pentru a afla numărul de cicluri (cercuri finalizate) la rotirea unui obiect, numărăm de câte ori trebuie să adăugăm 360 la sine pentru a obține un număr egal sau mai mic decât un unghi dat. În același mod, găsim un număr pe care îl înmulțim cu 360 pentru a obține un număr mai mic, dar cel mai apropiat de unghiul dat.

Exemplul 2
1. Aflați numărul de cercuri descrise de un obiect care formează un unghi
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Soluţie
a) 380 = (1 × 360) + 20
Obiectul a descris un cerc și 20°
Deoarece $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ cerc
Obiectul a descris $1\frac(1)(18)$ cercuri.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Obiectul a descris două cercuri și 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ cerc
Obiectul descrie $2\frac(5)(36)$ dintr-un cerc
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ cercuri
Obiectul a descris $2\frac(7)(9)$ cercuri

Când un obiect se rotește în sensul acelor de ceasornic, formează un unghi negativ de rotație, iar când se rotește în sens invers acelor de ceasornic, formează un unghi pozitiv. Până în acest punct, am luat în considerare doar unghiurile pozitive.

Sub formă de diagramă, un unghi negativ poate fi reprezentat așa cum se arată mai jos.

Figura de mai jos arată semnul unghiului, care este măsurat dintr-o linie dreaptă comună, axa 0 (axa x - axa x)

Aceasta înseamnă că dacă există un unghi negativ, putem obține un unghi pozitiv corespunzător.
De exemplu, partea de jos a unei linii verticale este de 270°. Când se măsoară în direcția negativă, obținem -90°. Pur și simplu scădem 270 din 360. Având în vedere un unghi negativ, adunăm 360 pentru a obține unghiul pozitiv corespunzător.
Când unghiul este de -360°, înseamnă că obiectul a făcut mai mult de un cerc în sensul acelor de ceasornic.

Exemplul 3
1. Găsiți unghiul pozitiv corespunzător
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) - 670°

2. Aflați unghiul negativ corespunzător de 80°, 167°, 330° și 1300°.
Soluţie
1. Pentru a găsi unghiul pozitiv corespunzător, adăugăm 360 la valoarea unghiului.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Aceasta înseamnă un cerc în sensul acelor de ceasornic (360)
360 + (-310) = 50°
Unghiul este 360 ​​+ 50 = 410°

2. Pentru a obține unghiul negativ corespunzător, scădem 360 din valoarea unghiului.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (o tură finalizată)
940 - 360 = 580 (a doua rundă finalizată)
580 - 360 = 220 (turda a treia finalizată)
220 - 360 = -140°
Unghiul este -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Astfel 1300° = -1220°

Radian

Un radian este unghiul din centrul unui cerc care cuprinde un arc a cărui lungime este egală cu raza cercului. Aceasta este o unitate de măsură pentru mărimea unghiulară. Acest unghi este de aproximativ 57,3°.
În cele mai multe cazuri, acest lucru este notat ca bucuros.
Astfel $1 rad \aprox 57,3^(\circ)$

Raza = r = OA = OB = AB
Unghiul BOA este egal cu un radian

Deoarece circumferința este dată ca $2\pi r$, atunci există $2\pi$ raze în cerc și, prin urmare, în întregul cerc există $2\pi$ radiani.

Radianii sunt de obicei exprimați în termeni de $\pi$ pentru a evita zecimale în calcule. În majoritatea cărților, abrevierea bucuros nu apare, dar cititorul trebuie să știe că atunci când vine vorba de unghi, acesta este specificat în termeni de $\pi$, iar unitățile de măsură devin automat radiani.

$360^(\circ) = 2\pi\rad$
$180^(\circ) = \pi\rad$,
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$,
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$,
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$,
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

Exemplul 4
1. Convertiți 240°, 45°, 270°, 750° și 390° în radiani folosind $\pi$.
Soluţie
Să înmulțim unghiurile cu $\frac(\pi)(180)$.
$240^(\circ) = 240 \times \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \times \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. Convertiți următoarele unghiuri în grade.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) 3,12 $\pi$
c) 2,4 radiani
Soluţie
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
b) $3,12\pi = 3,12 \times 180 = 561,6^(\circ)$
c) 1 rad = 57,3°
$2.4 = \frac(2.4 \times 57.3)(1) = 137.52$

Unghiuri negative și unghiuri mai mari de $2\pi$ radiani

Pentru a converti un unghi negativ într-unul pozitiv, îl adăugăm la $2\pi$.
Pentru a converti un unghi pozitiv în unul negativ, scădem $2\pi$ din el.

Exemplul 5
1. Convertiți $-\frac(3)(4)\pi$ și $-\frac(5)(7)\pi$ în unghiuri pozitive în radiani.

Soluţie
Adăugați $2\pi$ la unghi
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$

$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$

Când un obiect se rotește cu un unghi mai mare de $2\pi$;, acesta face mai mult de un cerc.
Pentru a determina numărul de rotații (cercuri sau cicluri) într-un astfel de unghi, găsim un număr, înmulțindu-l cu $2\pi$, rezultatul este egal sau mai mic, dar cât mai aproape de acest număr.

Exemplul 6
1. Aflați numărul de cercuri străbătute de obiect la unghiuri date
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$

Soluţie
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ implică un ciclu în sensul acelor de ceasornic, aceasta înseamnă că
obiectul a făcut 5 cicluri în sensul acelor de ceasornic.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ jumătate de ciclu
obiectul a făcut patru cicluri și jumătate în sens invers acelor de ceasornic

c) $\frac(7)(2)\pi=3,5\pi=2\pi+1,5\pi$, $1,5\pi$ este egal cu trei sferturi din ciclul $(\frac(1,5\pi)(2 \pi)= \frac(3)(4))$
obiectul a trecut printr-un ciclu și trei sferturi în sens invers acelor de ceasornic