Instrucțiuni

Înainte de a găsi derivata rădăcinii, acordați atenție celorlalte funcții prezente în exemplul care se rezolvă. Dacă problema are multe expresii radicale, atunci folosiți următoarea regulă pentru a găsi derivata rădăcinii pătrate:

(√x)" = 1 / 2√x.

Și pentru a găsi derivata rădăcinii cubice, utilizați formula:

(³√x)" = 1 / 3(³√x)²,

unde ³√x desemnează rădăcina cubă a lui x.

Dacă, destinată diferențierii, există o variabilă în fracțional, atunci convertiți rădăcina într-o funcție de putere cu exponentul corespunzător. Pentru o rădăcină pătrată va fi o putere de ½, iar pentru o rădăcină cubă va fi ⅓:

√x = x^½,
³√х = x ^ ⅓,

unde ^ denotă exponențiația.

Pentru a găsi derivata unei funcții de putere în general și x^1, x^⅓ în special, utilizați următoarea regulă:

(x^n)" = n * x^(n-1).

Pentru derivata unei rădăcini, această relație implică:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) și
(x^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔).

După ce am diferențiat totul, priviți cu atenție restul exemplului. Dacă aveți o expresie foarte greoaie în răspunsul dvs., atunci probabil că o puteți simplifica. Majoritatea exemplelor școlare sunt structurate în așa fel încât rezultatul final să fie un număr mic sau o expresie compactă.

În multe probleme derivate, rădăcinile (pătrat și cub) se găsesc împreună cu alte funcții. Pentru a găsi derivata rădăcinii în acest caz, utilizați următoarele reguli:
derivata unei constante (număr constant, C) este egală cu zero: C" = 0;
factorul constant este scos din semnul derivat: (k*f)" = k * (f)" (f este o funcție arbitrară);
derivata sumei mai multor funcții este egală cu suma derivatelor: (f + g)" = (f)" + (g)";
derivata produsului a două funcții este egală cu... nu, nu produsul derivatelor, ci următoarea expresie: (fg)" = (f)"g + f (g)";
derivata coeficientului nu este, de asemenea, egală cu câtul derivatelor, dar se găsește după următoarea regulă: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g².

Notă

Pe această pagină puteți calcula online derivata unei funcții și puteți obține o soluție detaliată a problemei. Rezolvarea derivatelor unei funcții se face folosind regulile de diferențiere pe care studenții le studiază în cursul analizei matematice la institut. Pentru a găsi derivata unei funcții, trebuie să introduceți funcția de diferențiere în câmpul „Funcție” conform regulilor de introducere a datelor.

Sfaturi utile

Derivata unei funcții este limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului atunci când incrementul argumentului tinde spre zero: Sensul matematic al acestei definiții nu este foarte ușor de înțeles, deoarece într-o școală desigur algebră conceptul de limită a unei funcții fie nu este studiat deloc, fie este studiat foarte superficial. Dar pentru a învăța cum să găsești derivate ale diferitelor funcții, acest lucru nu este necesar.

Surse:

• rădăcina derivată a lui x

Funcțiile de tip complex nu se potrivesc întotdeauna cu definiția unei funcții complexe. Dacă există o funcție de forma y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, atunci nu poate fi considerată complexă, spre deosebire de y = sin 2 x.

Acest articol va arăta conceptul de funcție complexă și identificarea acesteia. Să lucrăm cu formule pentru găsirea derivatei cu exemple de soluții în concluzie. Utilizarea tabelului de derivate și a regulilor de diferențiere reduce semnificativ timpul pentru găsirea derivatei.

Definiții de bază

Definiția 1

O funcție complexă este una al cărei argument este și o funcție.

Se notează astfel: f (g (x)). Avem că funcția g (x) este considerată un argument f (g (x)).

Definiția 2

Dacă există o funcție f și este o funcție cotangentă, atunci g(x) = ln x este funcția logaritmului natural. Constatăm că funcția complexă f (g (x)) va fi scrisă ca arctg(lnx). Sau o funcție f, care este o funcție ridicată la puterea a 4-a, unde g (x) = x 2 + 2 x - 3 este considerată o funcție rațională întreagă, obținem că f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Evident, g(x) poate fi complex. Din exemplul y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 este clar că valoarea lui g are rădăcina cubă a fracției. Această expresie poate fi notată ca y = f (f 1 (f 2 (x))). De unde avem că f este o funcție sinus, iar f 1 este o funcție situată sub rădăcina pătrată, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 este o funcție rațională fracțională.

Definiția 3

Gradul de cuibărit este determinat de orice număr natural și se scrie ca y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . (f n (x)))))) .

Definiția 4

Conceptul de compoziție a funcției se referă la numărul de funcții imbricate în funcție de condițiile problemei. Pentru a rezolva, utilizați formula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe de forma

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Exemple

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții complexe de forma y = (2 x + 1) 2.

Soluţie

Condiția arată că f este o funcție la pătrat, iar g(x) = 2 x + 1 este considerată o funcție liniară.

Să aplicăm formula derivată pentru o funcție complexă și să scriem:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Este necesar să găsiți derivata cu o formă originală simplificată a funcției. Primim:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

De aici avem asta

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultatele au fost aceleași.

Când rezolvați probleme de acest tip, este important să înțelegeți unde va fi localizată funcția formei f și g (x).

Exemplul 2

Ar trebui să găsiți derivatele funcțiilor complexe de forma y = sin 2 x și y = sin x 2.

Soluţie

Prima notație a funcției spune că f este funcția de pătrat și g(x) este funcția sinus. Atunci obținem asta

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

A doua intrare arată că f este o funcție sinus, iar g(x) = x 2 denotă o funcție de putere. Rezultă că scriem produsul unei funcții complexe ca

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formula pentru derivata y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . (f n (x))))) se va scrie ca y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

Exemplul 3

Aflați derivata funcției y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Soluţie

Acest exemplu arată dificultatea de a scrie și de a determina locația funcțiilor. Atunci y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) indică unde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) este funcția sinus, funcția de ridicare la 3 grade, funcție cu logaritm și baza e, funcție arctangentă și liniară.

Din formula pentru definirea unei funcții complexe avem că

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Primim ceea ce trebuie să găsim

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ca derivată a sinusului conform tabelului de derivate, apoi f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ca derivată a unei funcții de putere, atunci f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) ca derivată logaritmică, apoi f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) ca derivată a arctangentei, apoi f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Când găsiți derivata f 4 (x) = 2 x, eliminați 2 din semnul derivatei folosind formula pentru derivata unei funcții de putere cu un exponent egal cu 1, apoi f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Combinăm rezultatele intermediare și obținem asta

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza unor astfel de funcții amintește de păpușile de cuib. Regulile de diferențiere nu pot fi întotdeauna aplicate explicit folosind un tabel derivat. Adesea trebuie să utilizați o formulă pentru a găsi derivate ale funcțiilor complexe.

Există unele diferențe între aspectul complex și funcțiile complexe. Cu o capacitate clară de a distinge acest lucru, găsirea derivatelor va fi deosebit de ușoară.

Exemplul 4

Este necesar să luați în considerare oferirea unui astfel de exemplu. Dacă există o funcție de forma y = t g 2 x + 3 t g x + 1, atunci poate fi considerată ca o funcție complexă de forma g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Evident, este necesar să folosiți formula pentru un derivat complex:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

O funcție de forma y = t g x 2 + 3 t g x + 1 nu este considerată complexă, deoarece are suma t g x 2, 3 t g x și 1. Totuși, t g x 2 este considerată o funcție complexă, atunci obținem o funcție de putere de forma g (x) = x 2 și f, care este o funcție tangentă. Pentru a face acest lucru, diferențiați în funcție de cantitate. Înțelegem asta

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Să trecem la găsirea derivatei unei funcții complexe (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Obținem că y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funcțiile de tip complex pot fi incluse în funcții complexe, iar funcțiile complexe însele pot fi componente ale funcțiilor de tip complex.

Exemplul 5

De exemplu, să considerăm o funcție complexă de forma y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Această funcție poate fi reprezentată ca y = f (g (x)), unde valoarea lui f este o funcție a logaritmului de bază 3, iar g (x) este considerată suma a două funcții de forma h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 și k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Evident, y = f (h (x) + k (x)).

Se consideră funcția h(x). Acesta este raportul l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 la m (x) = e x 2 + 3 3

Avem că l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) este suma a două funcții n (x) = x 2 + 7 și p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , unde p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) este o funcție complexă cu coeficient numeric 3, iar p 1 este o funcție cub, p 2 printr-o funcție cosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 printr-o funcție liniară.

Am constatat că m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) este suma a două funcții q (x) = e x 2 și r (x) = 3 3, unde q (x) = q 1 (q 2 (x)) este o funcție complexă, q 1 este o funcție cu exponențială, q 2 (x) = x 2 este o funcție de putere.

Aceasta arată că h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Când trecem la o expresie de forma k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), este clar că funcția este prezentată sub forma unui complex s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) cu un întreg rațional t (x) = x 2 + 1, unde s 1 este o funcție de pătrat și s 2 (x) = ln x este logaritmică cu baza e.

Rezultă că expresia va lua forma k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Atunci obținem asta

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Pe baza structurilor funcției, a devenit clar cum și ce formule trebuie utilizate pentru a simplifica expresia atunci când o diferențiază. Pentru a vă familiariza cu astfel de probleme și pentru conceptul soluției lor, este necesar să trecem la punctul diferențierii unei funcții, adică găsirea derivatei acesteia.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere.

Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului incrementului la incrementul argumentului, a apărut un tabel de derivate și reguli de diferențiere precis definite. . Primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor au fost Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu trebuie să calculați limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să utilizați tabelul de derivate și regulile de diferențiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.

Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul prim descompune funcțiile simple în componenteși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. În continuare, găsim derivatele funcțiilor elementare în tabelul de derivate, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient - în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.

Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata unei sume de funcții este suma derivatelor de funcții, adică.

Din tabelul derivatelor aflăm că derivata lui „x” este egală cu unu, iar derivata sinusului este egală cu cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Diferențiem ca derivată a unei sume în care al doilea termen are un factor constant; acesta poate fi scos din semnul derivatei:

Dacă încă apar întrebări despre unde provine ceva, acestea sunt de obicei clarificate după ce te-ai familiarizat cu tabelul derivatelor și cu cele mai simple reguli de diferențiere. Trecem la ele chiar acum.

Tabel de derivate ale funcțiilor simple

1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Întotdeauna egal cu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des
2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „X”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut pentru o lungă perioadă de timp
3. Derivat de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile nepătrate în puteri.
4. Derivată a unei variabile la puterea -1
5. Derivată de rădăcină pătrată
6. Derivată de sinus
7. Derivată a cosinusului
8. Derivata tangentei
9. Derivat de cotangente
10. Derivată de arcsinus
11. Derivată a arccosinusului
12. Derivată a arctangentei
13. Derivată a cotangentei arcului
14. Derivată a logaritmului natural
15. Derivata unei functii logaritmice
16. Derivată a exponentului
17. Derivata unei functii exponentiale

Reguli de diferențiere

1. Derivată a unei sume sau diferențe
2. Derivat al produsului
2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant
3. Derivată a coeficientului
4. Derivata unei functii complexe

Regula 1.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci funcțiile sunt diferențiabile în același punct

și

acestea. derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.

Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-un termen constant, atunci derivatele lor sunt egale, adică

Regula 2.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este diferențiabil în același punct

și

acestea. Derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii si derivata celeilalte.

Corolarul 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:

Corolarul 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecarui factor si a tuturor celorlalti.

De exemplu, pentru trei multiplicatori:

Regula 3.Dacă funcţiile

diferentiabil la un moment dat Și , atunci în acest moment câtul lor este de asemenea diferențiabilu/v și

acestea. derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul fostul numărător.

Unde să cauți lucruri pe alte pagini

La găsirea derivatei unui produs și a unui coeficient în probleme reale, este întotdeauna necesar să se aplice mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că există mai multe exemple despre aceste derivate în articol„Derivată a produsului și coeficientul de funcții”.

Cometariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen dintr-o sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Aceasta este o greșeală tipică care apare în etapa inițială a studiului derivatelor, dar pe măsură ce studentul obișnuit rezolvă mai multe exemple cu una sau două părți, el nu mai face această greșeală.

Și dacă, la diferențierea unui produs sau a unui coeficient, ai un termen u"v, in care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (acest caz este discutat în exemplul 10).

O altă greșeală comună este rezolvarea mecanică a derivatei unei funcții complexe ca derivată a unei funcții simple. De aceea derivata unei functii complexe este dedicat un articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.

Pe parcurs, nu te poți descurca fără transformarea expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți manualul în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniȘi Operații cu fracții .

Dacă căutați soluții la derivatele fracțiilor cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca , apoi urmați lecția „Derivată de sume de fracții cu puteri și rădăcini”.

Dacă aveți o sarcină ca , apoi veți lua lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.

Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Definim părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă un produs, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii prin derivata celeilalte:

În continuare, aplicăm regula de diferențiere a sumei: derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă al doilea termen are semnul minus. În fiecare sumă vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „X” se transformă în unu, iar minus 5 se transformă în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori derivate:

Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:

Și puteți verifica soluția problemei derivate pe.

Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicăm formula de diferențiere a câtului: derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorul, iar numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:

Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător în exemplul curent, este luat cu semnul minus:

Dacă căutați soluții la probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și puteri, cum ar fi, de exemplu, , atunci bun venit la curs „Derivată a sumelor fracțiilor cu puteri și rădăcini” .

Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altor funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , atunci o lecție pentru tine „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .

Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, a cărei derivată ne-am familiarizat în tabelul de derivate. Folosind regula de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Puteți verifica soluția problemei derivate la calculator de derivate online .

Exemplul 6. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un coeficient al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Folosind regula de diferențiere a coeficientilor, pe care am repetat-o ​​și aplicată în exemplul 4, și valoarea tabelată a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Pentru a scăpa de o fracție din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .

1. Cazul general al formulei pentru derivata unei rădăcini de grad arbitrar- o fracție în numărătorul căreia există unul, iar în numitor un număr egal cu puterea rădăcinii pentru care s-a calculat derivata, înmulțit cu rădăcina aceleiași puteri, a cărei expresie radicală este o variabilă în puterea rădăcinii pentru care a fost calculată derivata, redusă cu unu
2. Derivat rădăcină pătrată- este un caz special al formulei anterioare. Derivată a rădăcinii pătrate a lui x este o fracție al cărei numărător este unul și numitorul este de două ori rădăcina pătrată a lui x
3. Derivat de rădăcină cubă, de asemenea un caz special al formulei generale. Derivata unei rădăcini cubice este una împărțită la trei rădăcini cubice de x pătrat.

Mai jos sunt transformări care explică de ce formulele pentru găsirea derivatelor rădăcinilor pătrate și cubice sunt exact aceleași ca cele prezentate în figură.

Desigur, nu trebuie să vă amintiți deloc aceste formule, dacă țineți cont de faptul că extragerea rădăcinii unei puteri derivate este la fel cu ridicarea unei fracții al cărei numitor este egal cu aceeași putere. Atunci găsirea derivatei rădăcinii se reduce la aplicarea formulei de găsire a derivatei puterii fracției corespunzătoare.

Derivată a unei variabile sub rădăcină pătrată

(√x)" = 1 / (2√x) sau 1/2 x -1/2

Explicaţie:
(√x)" = (x 1/2)"

Rădăcina pătrată este exact aceeași operație cu ridicarea la puterea de 1/2,Aceasta înseamnă că pentru a găsi derivata unei rădăcini, puteți aplica formula din regula pentru găsirea derivatei unei variabile într-un grad arbitrar:

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

Derivatul rădăcinii cubice (derivat al rădăcinii a treia)

Derivatul unei rădăcini cubice se găsește folosind exact același principiu ca și rădăcina pătrată.

Să ne imaginăm rădăcina cubă ca o putere de 1/3 și să găsim derivata folosind regulile generale de diferențiere. Formula pe scurt poate fi văzută în imaginea de mai sus, iar mai jos este o explicație a motivului pentru care este așa.

Puterea -2/3 se obține prin scăderea unuia din 1/3

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții putere (x la puterea lui a). Sunt considerate derivate din rădăcinile lui x. Formula pentru derivata unei funcții de putere de ordin superior. Exemple de calculare a derivatelor.

Conţinut

Vezi si: Funcția de putere și rădăcini, formule și grafic
Grafice ale funcției de putere

Formule de bază

Derivata lui x la puterea lui a este egală cu a ori x puterea unui minus unu:
(1) .

Derivata rădăcinii a n-a a lui x la puterea a m este:
(2) .

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții de putere

Cazul x > 0

Să considerăm o funcție de putere a variabilei x cu exponent a:
(3) .
Aici a este un număr real arbitrar. Să luăm în considerare mai întâi cazul.

Pentru a găsi derivata funcției (3), folosim proprietățile unei funcții de putere și o transformăm în următoarea formă:
.

Acum găsim derivata folosind:
;
.
Aici .

Formula (1) a fost dovedită.

Derivarea formulei pentru derivata unei rădăcini de gradul n a lui x la gradul de m

Acum luați în considerare o funcție care este rădăcina următoarei forme:
(4) .

Pentru a găsi derivata, transformăm rădăcina într-o funcție de putere:
.
Comparând cu formula (3) vedem că
.
Apoi
.

Folosind formula (1) găsim derivata:
(1) ;
;
(2) .

În practică, nu este nevoie să memorați formula (2). Este mult mai convenabil să transformați mai întâi rădăcinile în funcții de putere și apoi să găsiți derivatele lor folosind formula (1) (vezi exemplele de la sfârșitul paginii).

Cazul x = 0

Dacă , atunci funcția de putere este definită pentru valoarea variabilei x = 0 . Să găsim derivata funcției (3) la x = 0 . Pentru a face acest lucru, folosim definiția unei derivate:
.

Să înlocuim x = 0 :
.
În acest caz, prin derivată înțelegem limita din dreapta pentru care .

Așa că am găsit:
.
Din aceasta rezultă clar că pentru , .
La , .
La , .
Acest rezultat se obține și din formula (1):
(1) .
Prin urmare, formula (1) este valabilă și pentru x = 0 .

Cazul x< 0

Luați în considerare din nou funcția (3):
(3) .
Pentru anumite valori ale constantei a, este definită și pentru valori negative ale variabilei x. Și anume, fie a un număr rațional. Apoi poate fi reprezentat ca o fracție ireductibilă:
,
unde m și n sunt numere întregi care nu au un divizor comun.

Dacă n este impar, atunci funcția de putere este definită și pentru valorile negative ale variabilei x. De exemplu, când n = 3 și m = 1 avem rădăcina cubă a lui x:
.
De asemenea, este definit pentru valorile negative ale variabilei x.

Să găsim derivata funcției de putere (3) pentru și pentru valorile raționale ale constantei a pentru care este definită. Pentru a face acest lucru, să reprezentăm x în următoarea formă:
.
Apoi ,
.
Găsim derivata plasând constanta în afara semnului derivatei și aplicând regula de diferențiere a unei funcții complexe:

.
Aici . Dar
.
De atunci
.
Apoi
.
Adică, formula (1) este valabilă și pentru:
(1) .

Derivate de ordin superior

Acum să găsim derivate de ordin superior ale funcției de putere
(3) .
Am găsit deja derivata de ordinul întâi:
.

Luând constanta a în afara semnului derivatei, găsim derivata de ordinul doi:
.
În mod similar, găsim derivate de ordinul al treilea și al patrulea:
;

.

Din aceasta este clar că derivată de ordin al n-lea arbitrar are următoarea formă:
.

observa asta dacă a este un număr natural, atunci derivata a n-a este constantă:
.
Atunci toate derivatele ulterioare sunt egale cu zero:
,
la .

Exemple de calculare a derivatelor

Exemplu

Aflați derivata funcției:
.

Să convertim rădăcinile în puteri:
;
.
Atunci funcția originală ia forma:
.

Găsirea derivatelor puterilor:
;
.
Derivata constantei este zero:
.